（基础数学专业论文）werner态及迷向态的bsa纠缠度.pdf

摘要 在本文中，我们首先证明量子态的最优l e w e n s t e i n - s a n p e r a 分解中 的参数可以作为一个纠缠度s k a r n a s 与m l e w e n s t e i n 于2 0 0 1 年证 明了该结论在这里我们给出了一个更简化的证明过程这个纠缠 度称为b s a 纠缠度然后我们对w e r n e r 态和迷向态进行了l e w e n s t e i n - s a n p e r a 分解，并计算了它们的b s a 宝q 缠度最后，把这两类对称态 的b s a 宝q 缠度与形成纠缠度，c o n c u r r e n c e 和t a n g l e 进行了比较 关键词：l e n w e n s t e i n - s a n p e r a 分解，b s a 2 q 缠度，c o n c u r r e n c e ，t a n g l e a b s tr a c t i nt h i sp a p e r ，a tf i r s tw ep r o v et h a tt h ep a r a m e t e ro b t a i n e di n a no p t i m a ld e c o m p o s i t i o no fas t a t ec a nb eu s e da sa ne n t a n g l e m e n t m e a s u r e ，c a l l e db s ae n t a n g l e m e n tm e a s u r e t h i sf a c tw a sp r o v e db y s k a r n a sa n dm l e w e n s t e i ni n2 0 01 h e r ew ep r e s e n tam o r es i m p l e p r o o f t h e nw eg i v et h el e w e n s t e i n s a n p e r ad e c o m p o s i t i o n sf o rw e r n e r s t a t e sa n di s o t r o p i cs t a t e s ，a n do b t a i nt h e i rb s ae n t a n g l e m e n tm e a s u r e m o r e o v e r ，w ec o m p a r et h eb s ae n t a n g l e m e n tm e a s u r ef o rt h e s et w o f a m i l i e s o fs y m m e t r i cs t a t e sw i t ht h e i ro t h e re n t a n g l e m e n tm e a s u r e s s u c ha se n t a n g l e m e n to ff o r m a t i o n c o n c u r r e n c ea n dt a n g l e k e yw o r d s ：l e w e n s t e i n - s a n p e r ad e c o m p o s i t i o n ，b s a e n t a n g l e m e n tm e a - s u r e ，c o n c u r r e n c e ，t a n g l e 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不 含任何其它个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意 识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名： 弃狴屯 日期：加蟛年f 月必日 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留，使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版 和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检 索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后 适用本规定 学位敝作者鼢愉幽鲢 日期：细孑年岁月握网 1 引言 量子信息是一门新兴的科学，对它的研究可以追溯到几十年前， 但真正引起广泛关注的是2 0 世纪9 0 年代中期在最近的科学研究中， 量子纠缠现象无疑是最值得关注的问题之一它是量子力学中另一 类基本的静态资源它的性质与经典信息论中熟悉的资源之间存 在惊人差异，而这些性质尚未被完全认识它作为概念和术语最早 是由e i n s t e i n ，p o d o l s k y _ ；l ；l r o s e n ( e p r ) 及s c h r s d i n g e r 于1 9 3 5 年提出的 并且s c h r 6 d i n g e r 在他的文章中称之为“量子力学的精髓”由此可见， 量子纠缠在量子理论中占据着重要的地位而量子信息发展到今天，量 子纠缠作为一个新的资源，它在量子通信和量子计算中正在被广泛地 应用因此，判断一个混合态是否是纠缠的也就变得十分的必要 为了度量纠缠的程度，就引入了纠缠度的概念由于考察角度的不 同，引入纠缠度的定义有好几种分别有不同的用途，也不是完全吻合 的但不管怎么定义的，它们都要满足相同的准则这些准则早就由很 多人研究过，并且给出了具体的表达形式 本文涉及的另一个重要概念是对称性对称性在现代物理学中有 十分重要的作用在大多数情况下，它不仅使得问题的分析过程得以简 化，而且能够让人们更深入地对那些物理理论进行理解在量子信息理 论中，最先引入对称性的是r f w e r n e r 1 5 他提出了一类在酉变换 下不变的两体量子混合态这就是我们现在熟知的w e r n e r 态还有一 类和w e r n e r 态十分类似的，称为迷向态( i s o t r o p i cs t a t e ) 已经有很多文 献 3 ，1 2 1 对这两类态的c o n c u r r e n c e 5 ，1 7 $ 1 t a n g l e 4 纠缠度进行了计 算本文计算这两类对称量子态的b s a 坌q 缠度然后和已经得到的那些 纠缠度进行了对比 2基本概念和基本知识 2 1量子态和密度矩阵 任一孤立的物理系统都有一个称之为系统状态空间的复内积向 量空间( 即h i l b e r t 空间) 与之相联系，系统完全由状态向量所描述这 个向量是系统状态空间的个单位向量d i r a c 应用了一个称之为右 矢( k e tv e c t o r ) 的符号来表示这个态矢量：i 砂) 砂是表示具体态矢的特 征量或符号，l ) 表示这是个向量d i r a c 还引进了符号( i ，称为左矢( b r a v e c t o r ) 左矢( 妒l 是右矢l 砂) 的共轭向量引进共轭向量后，态矢空间两 矢量i 矽1 ) ，i 矽2 ) 的内积记为( 矽1 i 矽2 ) 量子态的内积满足下面的性质： ( 1 ) 线性的： ( 矽i 忱) = o d q o d ； ii ( 2 ) ( 妒1l 妒2 ) = ( ( 矽2 l 矽1 ) ) 幸； ( 3 ) ( 砂l 矽) 0 ，等号成立当且仅当i 矽) = o ； ( 4 ) 1 1 1 砂) 1 l 三 ( 矽i 矽) 最简单的，也是我们最常关心的量子系统，是量子比特一个量子 比特有一个2 维的状态空间设i o ) 和i1 ) 构成这个状态空间的一个标准 正交基，则状态空间的任何态向量都可写作 l 矽) = a l o ) - - t - b 1 1 ) ， 其中和6 是复数，r l a l 2 + 1 6 1 2 = 1 以上我们是用状态向量的语言描述量子态另一种描述是采用称 为密度算子或者密度矩阵的工具这种形式在数学上等价于状态向量 方法它为描述状态不完全已知的量子系统提供了一条方便的途径 确切地，量子系统以概率p i 处在一组状态l 砒) 中的某一个，其中i 是一 个指标，则称 p i ，i c d 为一个纯态的系综( e n s e m b l eo fp u r es t a t e s ) 系 2 统的密度算子定义为 p = p t ( 蚶 i 一个轭米算子j 9 是和某个系综 仇，) ) 相关联的密度算子当且仅 当它满足如下条件 ( 1 ) ( 迹条件) ( 2 ) ( 半正定条件) t r ( p ) = 1 ； p 0 2 2纯态和混合态 有了密度算子的定义，可以给出纯态与混合态的一个更明确的刻 画下面两个定义是等价的 定义1 对密度矩阵p ，若t r ( p ) = 1 ，则称p 是纯态；若t r ( p ) ，则f 可以用标准正交基表示为：f = 关滓li i j ) ( j i i 是单位算子表达式中的参数，定义为，= t r ( p f ) ， 并且，要满足一1 ，1 事实上，由w e r n e r 态的表达式可以看 出，w e r n e r 态由表达式中的参数，唯一决定当且仅当0 ，1 时， w e r n e r 态是可分的，在其它情况下，w e r n e r 态都是纠缠的 1 4 】 事实上，任何两体密度矩阵都可以在t w i r l 变换下变成一个w e r n e r 态 t w i r l 算子表示如下： ， l ( p ) = d u u u p ( u u ) t ， 3 其中d u 表示酉群上的标准h a a r ；测度这个t w i r l 算子有如下的性质： ( 1 ) 它是完全正映射，将密度矩阵映射到一个新的密度矩阵，将单位矩 阵映射到单位矩阵 ( 2 ) w e r n e r 态在t w i r l 算子作用下还是个w e r n e r 态，即 l ( p f ) = p i 1 2 ( 3 ) 任何一个密度矩阵在这个作用下都变成一个w e r n e r 态，即 l ( l ( p ) ) = l ( p ) 事实上，可以简单地证明如下： ( 仉。巩) id u ( vou ) p ( uou ) t ( u 1of 1 ) t = d u ( u i u u 1 u ) p ( u 1 u u 1 u ) t = d u 2 u 2 q v 2 ；( u 2qu 2 ) t ， 其中巩= 巩u ( 4 ) t w i r l 算子不改变一个矩阵的可分性，即如果密度矩阵p 是可分的， 贝j j l ( p ) 也是可分的 在介绍w e r n e r 态和迷向态的【广s 分解之前，我们先总结一下在其 它文章中已经有的一些基本结论参考文献i s ，1 4 1 的思想是从混合态 密度矩阵中“抽取一些直积态，并且这些直积态i ，厶) 在密度矩 阵p 的值域中这样可以从密度矩阵中抽取可分态p ：= n 入n p n ( 这 时不需要考虑标准化) ，其中p q = i 既，厶) ( 既，厶i ，只要满足a q 0 ， 5 p = p 一珙o e p 可这样当成达到p 的最大可分近似( b e s ts e p a r a b l e a p p r o x i m a t i o n ) 时，就得到了最优分解在本文中，我们用的是另一种 方法 首先，我们引入矩阵分析中的一个结论 引理 6 ( w e y l 定理) 设日和k 是两个d d 的厄米矩阵，则 九( 日) + a i ( k ) a i ( h + k ) a i ( h ) + a d ( k ) ， 其中特征值九按递增的顺序排列 对于一个给定的w e r n e r 态j d 厂，如果0 ，1 ，则这是一个可分态 它的l s 分解可写成： 。 py=lpf+0阢， 其中j d e 可以是任意纠缠态 1 3 由此看出，我们只要考虑纠缠的情况即可由定理1 我们知道，任 何w e r n e r 态都可以写成： p f = k p s + ( 1 一入) j 口e ， 其中a 【0 ，1 】，p e ，p s 分别表示纠缠和可分的密度矩阵它们现在还不 是w e r n e r 态但是当我们在等式两边同时应用一个t w i r l 算子，则上式 可以写成： p = 入p f l + ( 1 一k ) p x 2 ， 其中耽，p ，2 分别表示参数为 和止的w e r n e r 态，并且p 是可分的，p ，2 是纠缠的这些我们可以通过t w i r l 算子的性质得到 下面我们就分析怎样将l 广s 分解中的参数a 达到最大事实上， 1 1 9 j r l 可以写成如下形式： p f l = 志 ( d f 1 ) i + ( d f l 一1 ) f 】， 其中0 1 然后我们根据 ( 1 一k ) p f , ：p i a p a 0 ， 将p ，和的表达式带入上述的不等式中，我们可以得到： 志 ( d 一，) 一a ( d 一 ) 】i + 【( 珂一1 ) 一入( d f a 一1 ) 】f ) o 设 h = 【( d 一，) 一a ( d f 1 ) i ，k = ( d r 一1 ) 一a ( 析一1 ) i f 这样我们就得到 a ( h ) = ( c f 一，) 一a ( d 一 ) ) 因为f 2 = i ，所以就有 a ( k ) = 士 ( 彤一1 ) 一入( 奶一1 ) 】) 1 4 这里a ( ) 表示一个矩阵所有特征值组成的集合 从引理我们可以得到如下不等式： ( d 一，) 一a ( d 一，1 ) + 入( 彤1 1 ) 一( 够一1 ) 入 ( h + k ) ， a i ( h + k ) ( d 一，) 一入( d 一 ) + ( 够一1 ) 一入( 奶一1 ) 由密度矩阵的半正定性可得到如下式子： ( d 一，) 一a ( d 一 ) + 入( 奶一1 ) 一( 够一1 ) 0 ， 于是 入葛 同理由 ( d 一，) 一a ( d 一 ) + ( 万一1 ) 一a ( 吼一1 ) ) 0 入崭 综上所述得 入篇 由上述不等式，我们只需在 o ，1 】范围内找到一个合适的 ，使 得入达到最大值，即使得这个分解成为最优分解从a 的范围限制不等 式我们得到：当f l = 0 时，入m a x - - - f + 1 这样我们就得到了一个纠缠 的w e r n e r 态的最优l s 分解： p i = ( 1 + f ) p y 。+ ( 一f ) p f 2 不仅如此，我们将f l = 0 代入w e r n e r 态的表达式中，就可以将这个最优 分解的具体形式写出来经过计算，我们可以得到这个最优分解的具体 形式： 耽：0 = d 31 _ d ( 。血一f ) ， p=2d 上一上。) ， - 1 = 万1 习( i f ) 1 5 综上所述，我们得到了一个w e r n e r 态的b s a 坌q 缠度： e ( j d ，) = 。- ，f , 。- l ，f 1 。； 在参考文献 3 中，我们已经知道t w e r n e r 态的其它两个纠缠度： c o n c u r r e n c e 和t a n g f e 令c ( p ，) 和丁( p ，) 分别表示w b r n e r 态的c o n c u r r e n c e $ 1 ：i t a n g l e ，它们在可分的时候纠缠度都是零，在纠缠的时候分别为： jc ( p ，) = 一， i7 - ( p ，) = 厂2 从上面的描述我们可以看出，w e r n e r 态的b s a 坌q 缠度和它们 的c o n c u r r e n c e 是一样的所以我们也可以用b s a 纠缠度来判断一 个w e r n e r 态的纠缠程度该纠缠度由态的表达式中的参数所唯一决定 4 2迷向态的b s a 纠缠度 下面我们来介绍另一种对称态一迷向态的b s a 2 q 缠度迷向态 是d0d 系统中的一类混合态它$ 1 ：l w e r n e r 态的定义有异曲同工之 处它们是在酉变换u u + 下不变的它们的具体表达形式是混合 态i d 2 = i d i d d 2 和最大纠缠态p + 的凸组合，其中 p + 2 帆砂+ 1 i i ) ( j j l ，2 丽1 峨 这里的l i ) 表示h i l b e r t 空间的一组标准正交基这样的混合态可表达为： 力= 矗 导1w 一扣 ， 以= 万jl 万h 【，一万j p + i ， 表达式中的参数，的取值范围是0 ，1 它是芦和i 矽+ ) 的保真度用 式子表示就是 f = ( 砂+ i 卢i 妒十) 当且仅当o ，丢时，迷向态是可分的；当且仅当丢 ，1 时，迷向 态是纠缠的 1 2 ，7 】由此，从前面所述的有关w e r n e r 态的有关知识中 1 6 我们知道，p + = f t b ，其中f 就是前面所说的翻转算子，而表示对 系统的第二个空间进行转置所以我们就可以看出，迷向态可以通过 对w e r n e r 态的第二个空间进行部分转置而得到，反之亦然 和前面一样，在迷向态中也有t w i r l 算子l 定义如下： ， l ( p ) = d u ( u o u + ) p ( uou 4 ) t ， ， 其中c f u 表示在酉群上的标准的h a a r 狈, 1 度它有如下性质： ( 1 ) 它是一个完全正映射，也就是说它将一个密度算子还是变成_ 个 密度算子 ( 2 ) 迷向态在这个变换下不变，也就是说 l ( 乃，) = 芦， ( 3 ) 任何一个密度矩阵在这个变换下变为一个迷向态： l ( l ( p ) ) = l ( p ) 我们可以简单证明如下： ( u 1o 听) fa u ( v 圆u ) j d ( u u 奉) t ( 仉 嵋) t = fd u ( u 1 u 固( u 1 叨木p ( u , vou 1 u + ) + = ，d 观魄o p ( v 2o ) t ， 其中u 2 = u 1 u ( 4 ) t w i r l 算子不改变密度矩阵的可分与纠缠性质 下面我们来介绍有关迷向态的l s 分解很显然，对于可分的迷向 态声，它们的l s 分解可以简单表示为： 卢，= l f 3 i + 0 卢e ， 1 7 其中乃e 可以是任意纠缠态所以我们只要考虑纠缠的情况即可由l - s 分解定理知道，任何密度矩阵都可以写成可分态和纠缠态的凸组合的 形式这同样适用于纠缠的迷向态设纠缠的迷向态 办= a ，s + ( 1 一a ) 戊， p s 和j f ) e 分别表示可分的和纠缠的密度矩阵它们现在还不是迷向态当 我们将t w i r l 算子作用于上述等式的两边后，它们就都变为迷向态，并且 不改变它们的可分与纠缠属性所以我们就得到等式： 卢，= x p l , + ( 1 一x ) h x 2 ， 其中卢 ，s h 分别表示参数为 和如的迷向态由它们的可分纠缠性就 知道表达式中的参数的范围：0 刍，1 0 n 4 a 蒜 三二二掣+ ，一万1 一a ( 一刍) o( f 2 ( f 2 “儿 d 2 7 二” a 丢 因此，根据参数的取值范围可得 a 嵩 从上面的不等式我们知道，只要在 o ，丢】内找到 ，使得a 达到最 大值即可当 = 丢时，我们可以使a 达到最大位为： 、d ( 1 一厂) m a x = 1 二r 。 因此对于纠缠的迷向态卢，它们的最优l s 分解为： 芦，= 入m x 甄： + ( 1 一入m 腻) 厦 将鲰： 及卢，的表达式代入上述的最优分解中，我们可以计算出上 式中的纠缠态为： 夸e = 西f ：1 = p + 综上所述，我们就得到了迷向态的b s a 2 q 缠度为： 酬2 尝，弼美101dld 一， 、，二“ 1 9 在参考文献 1 1 】中，作者已经得到了迷向态c o n c u r r r e n c e 和t a n g l e 纠缠度分别为： 哳庐 涤护轨 形沪陬掣 ，丢； 丢，1 厂丢； 丢掣； a ( d ，f 2 - 1 ) 厂1 我们将它们和b s a $ q 缠度进行对比可知，迷向态的b s a 坌q 缠度和 它们的c o n c u r r e n c e 坌q 缠度是成正比的，而$ i t a n g l e 纠缠度有一定的不 同而且它们的t a n g l e 2 q 缠度的分布和w e r n e r 态有所不同这正如参考 文献【3 】中所说的那样：“虽然w e r n e r 态和迷向态是针对一个子系统内 某个参数范围内的，对彼此的部分转置而得到的，但是w e r n e r 态有着比 迷向态更微妙的纠缠结构 5总结 量子纠缠是一种奇特复杂的量子现象，在量子信息中有着十分重 要的作用因此对于一个态纠缠度的计算引起了大家的注意而事实 上由于纠缠度定义的抽象性，对于一般的态，我们要计算出它的确切的 纠缠度值往往是不可能完成的任务w e r n e r 态和迷向态有着很好的对 称性，它们的纠缠度的计算就显得格外的方便本文也是从这个角度出 发，运用关于特征值的定理，得到它们的b s a 坌q 缠度的另外，b s a 与已 知的其它纠缠度进行了比较 r e f e r e n c e s 1 】s j a k h t a r s h e n a s a n dm a j a f a r i z a d e h ，o p t i m a ll e w e n s t e i n s a n p e r ad e c o m p o s i t i o nf o rs o m eb i p a r t i t es y s t e m s 、3 p h y s ajm a t h g e n 3 7 2 9 6 5 ( 2 0 0 4 ) 2 】c h b e n n e t t ，d p d i v i n c e n z o ，j a s m o l i na n dw k w o o t t e r s ， m i x e d s t a t ee n t a n g l e m e n ta n dq u a n t u me r r o rc o r r e c t i o n ，p h y s r e v a5 4 ，3 8 2 4 ( 1 9 9 6 ) 【3 】3 k a ic h e n ，s e r g i oa l b e v e r i oa n ds h a o - m i n gf e i ，c o n c u r r e n c e - b a s e d e n t a n g l e m e n tm e a s u r ef o rw e r n e rs t a t e s ，r e p m a t h p h y s 5 8 ， 3 2 5 ( 2 0 0 6 ) 【4 】v c o f f m a n ，j k u n d ua n dw k w o o t t e r s ，d i s t r i b u t e de n t a n g l e - m e n t ，p h y s r e v a6 1 ，0 5 2 3 0 6 ( 2 0 0 0 ) 【5 s h i l la n dw k w o o t t e r s ，e n t a n g l e m e n to fap a i ro fq u a n t u m b i t s ，p h y s r e v l e t t 7 8 ，5 0 2 2 ( 1 9 9 8 ) 【6 】r a h o r na n dr j o h n s o n ，m a t r i xa n a l y s i s ，c a m b r i d g eu n i v e r s i t y p r e s s ，n e w y o r k ( 1 9 8 5 ) ， 【7 】m h o r o d e c k ia n dp h o r o d e c k i ，r e d u c t i o nc r i t e r i o no fs e p a r a b i l i t y a n dl i m i t s f o rac l a s so fd i s t i l l a t i o np r o t o c o l s ，p h y s r e v a5 9 ， 4 2 0 6 ( 1 9 9 8 ) 8 】s k a r n a sa n dm l e w e n s t e i n ，s e p a r a b l ea p p r o x i m a t i o n so fd e n s i t y m a t r i c e so fc o m p o s i t eq u a n t u ms y s t e m s 、j p h y s ，a ：m a t h g e n 3 4 ，6 9 1 9 ( 2 0 0 1 ) 9 】m l e w e n s t e i na n da s a n p e r a ，s e p a r a b i l i t ya n de n t a n g l e m e n to f c o m p o s i t eq u a n t u ms y s t e m s ，p h y s r e v l e t t 8 0 ，2 2 6 1 ( 1 9 9 8 ) 2 1 1 0 】p r u n g t a ，v b u 乏e k ，c a r l t o nm c a v e s ，m h i l l e r y , a n d g j m i l b u r n ，u n i v e r s a ls t a t ei n v e r s i o na n dc o n c u r r e n c e i na r b i t r a r yd i - m e n s i o n s ，p h y s r e v a6 4 ，0 4 2 3 1 5 ( 2 0 0 1 ) 1 1 】p r u n g t aa n dc m c a v e s ，c o n c u r r e n c e b a s e de n t a n g l e m e n tm e a - s u r e sf o ri s o t r o p i cs t a t e s ，