（计算机应用技术专业论文）求解浅水波方程的光滑粒子流体动力学法.pdf

安徽大学坝士学位论文 摘要 摘要 随着海洋开发、灾害预防、环境保护等方面发展的需要，浅水波方程的数值 求解越来越受到人们的重视，己成为国内外计算数学、计算流体力学的热门课题。 现今，人们求解浅水方程的所使用的方法大部分都是基于网格的数值方法， 本文使用一种无网格粒子法s p h 法求解浅水方程，根据s p h 法的基本思想 建立了求解浅水波方程的s p h 法模型，详细地介绍了求解过程及方法。 在文中，根据具体模型使用m o n a g h a n 人工粘性的变形形式，有效地防止了 相互靠近粒子的穿透，消除了s p h 方法在模拟流体动力学问题时产生的数值振 荡。通过使用可变光滑长度，使邻近粒子的数量保持相对稳定，提高了求解的计 算效率和精度。同时，对光滑长度进行了修正以获取对称光滑长度，保持了粒子 【剖相互作用对称性。 为了解决传统s p h 法存在的边界缺陷问题和处理固定边界，本文引入了l i u 提出的两利，类型的虚粒子：第一种类型的虚粒子司以表示固定边界，对靠近边界 的内部粒子施加边界排斥力，防止内部粒子穿透边界：第二种类型的虚粒子可以 处理固定边界和自由表面，消除s p h 法存在的边界缺陷问题。这不仅仅提高了 s p h 近似法在边界区域处的精度，而且有效的防止了粒子非物理穿透边界。 此外，本文详细地介绍了s p h 法现存的四种最近相邻粒子的搜索方法，并 对其作了初步的讨论，实现了全配对搜索法和树形搜索法，在模拟一维和二：维溃 坝问题时使用了这两种方法进行最近相邻粒子的搜索，对其所耗费的时间进行了 比较，得出一些有用的结论。 通过使用s p h 法求解浅水方程模拟了滴水涟漪、风吹水面这两种常见的水 流现象和计算流体力学中的经典算例一维溃坝和二维溃坝问题进行了模拟，取得 了较好的效果。通过实验得出了在s p h 法初始粒子分布应注意使各个粒子的质 量尽量相等或者是连续分布，并指出了在s p h 法在模拟过程中仍然存在的不足 之处。 关键词：浅水方程、光滑粒于流体动力学法、人工粘度、最近相邻粒子搜索、边 界缺陷 堂兰堡兰型堂苎 ：些婴! a b s t r a c t w i t ht h e d e v e l o p m e n t so fo c e a ne x p l o i t a t i o n ，d i s a s t e r p r e p a r e d n e s sa n d e n v i r o n m e n t a lp r o t e c t i o n ，m o r ea n dm o r ei n t e r e s ti sf o c u so nt h en u m e r i c a ls o l u t i o n o ft h es h a l l o ww a t e re q u a t i o n s ，w h i c hh a sb e c o m eah o tt o p i ci nt h ei n t e r n a t i o n a l r e s e a r c ha r e a so f t h ec o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c sa n dc o m p u t a t i o n a lf l u i dd y n a m i c s i nr e c e n t y e a r s ，p e o p l ea l w a y su s et h eg r i d b a s e ds o l u t i o n st os o l v es h a l l o w w a t e re q u a t i o n s i nt h i sp a p e r , t h es m o o t h e dp a r t i c l eh y d r o d y n a m i c s ( s p h ) w h i c h i sa m e s h f r e ep a r t i c l em e t h o di si n t r o d u c e d t h es p hm o d e lf o rs o l v i n gt h es h a l l o ww a r e r e q u a t i o ni se s t a b l i s h e do nt h eb a s i so f t h es p hb a s i ci d e a s a n dt h ei n f o r m a t i o no nt h e m e t h o d sa n dp r o c e d u r e sw h i c ha r ei n v o l v e di nu s i n gs p hm e t h o da r eg i v e ni nd e t a i l i nt h i sp a p e r ，ad i s t o r t i o no fm o n a g h a na r t i f i c i a l v i s c o s i t yi si n t r o d u c e dt o p r e v e n tu n p h y s i c a lp e n e t r a t i o nf o rp a r t i c l e sa p p r o a c h i n ge a c ho t h e ra n dr e m o v e n u m e r i c a lo s c i l l a t i o ni n h y d r o d y n a m i c ss i m u l a t i o n su s i n gs p h o n ea p p r o a c ht o d y n a m i c a l l ye v o l v et h es m o o t h i n gl e n g t hi s p r o p o s e dt ok e e pt h en u m b e ro f n e i g h b o r i n gp a r t i c l e sr e l a t i v e l yc o n s t a n ta n di m p r o v et h e e f f i c i e n c y o ft h e c o m p u l a f i o na n dt h ea c c u r a c yo ft h es o l u t i o n m e a n w h i l e ，i no r d e rt op r e s e r v et h e s y m m e t r yo fp a r t i c l ei n t e r a c t i o n ，s o m ew a y st op e r f o r mt h em o d i f i c a t i o na r eu s e dt o p r o d u c eas y m m e t r i cs m o o t h i n gl e n g t h 。 t w ot y p e so fv i r t u a lp a r t i c l e sw h i c hl i us u g g e s t e da r ei n t r o d u c e dt os o l v et h e b o u n d m yd e f i c i e n c yp r o b l e ma n dt r e a tt h es o l i db o u n d a r yc o n d i t i o n s w h e nar e a l p a r t i c l ei sa p p r o a c h i n gt h eb o u n d a r y ，af o r c ei sa p p l i e dp a i r w i s e l ya l o n gt h ec e n t e r i n g l i n e c o n n e c t i n gt h er e a lp a r t i c l ea n dap a r t i c l eo ft h ef i r s t t y p ew h i c hi st h e n e i g h b o r i n gp a r t i c l eo ft h er e a lp a r t i c l e t h ep a r t i c l e so ft h es e c o n dt y p ea r eu s e dt o t r e a tt h e b o u n d a r ) d e f i c i e n c yp r o b l e m ，i m p r o v et h e a c c u r a c y o ft h es p h a p p r o x i m a t i o ni nt h eb o u n d a r yr e g i o r _ la n dp r e v e n tt h eu n p h y s i c a lp a r t i c l ep e n e t r a t i o n o u t s i d et h es o l i db o u n d a r y i i 安徽大学硕士学位论文 a b s t r a c t m o r e o v e r ，s o m ee x i s t e dn e a r e s tn e i g h b o r i n gp a r t i c l es e a r c h i n gi si n t r o d u c e di n d e t a i la n dd i s c u s s e dp r e l i m i n a r i l y t h ea l l p a i rs e a r c ha l g o r i t h ma n dt r e es e a r c h a l g o r i t h m a r ec a r r i e do u ta n du s e di ns i m u l a t i n gt h eo n e d i m e n s i o n a la n dt w o d i m e n s i o n a ld a m - b r e a kp r o b l e m s s o m eu s e f u lc o n c l u s i o n sa r eo b t a i n e dt h r o u g h c o m p a r i n gt h et i m ec o n s u m e d i nt h i s p a p e r , s o m ef a m i l i a rl i q u i dp h e n o m e n aa r es i m u l a t e d ，s u c ha sw a t e r d r o p l e t s ，t h ep r o c e s so ft h ew i n db l o w i n gw a t e rs u r f a c e t h ec l a s s i c a lp r o b l e m d a m - b r e a kp r o b l e mi nt h ec o m p u t a t i o n a lf l u i dd y n a m i c sf i e l di sa l s os i m u l a t e d ，a n d g o o dr e s u l t s a r ea c h i e v e d i na d d i t i o n ，al a wo ft h ei n i t i a lp a r t i c l ed i s t r i b u t i o ni s o b t m n e dt h r o u g ht h ee x p e r i m e n t ，i e ，m a k i n gt h eq u a l i t yo fe a c hp a r t i c l ee q u a la sf a r a sp o s s i b l e0 1 c h a n g ec o n t i n u o u s l y f u r t h e r m o r e ，t h er e s u l t so b t m n e db ys p hm e t h o d a r ec o m p a r e dw i t ht h a to b t a i n e db yt h el a g r a n g i a ng r i d b a s e dm e t h o d s ，s u c ha s d i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o dw h i c hu s e st h ea d a p t i v e 鲥d ，p o i n to u tt h ed e f i d e n c y w h i c hs t i l le x i s t e di nt h es i m u l a t i o nb ys p hm e t h o d k e y w o r d s ：s h a l l o ww a t e re q u a t i o n ，s m o o t h e dp a r t i c l eh y d r o d y n a m i c sm e t h o d ， a r t i f i c i a lv i s c o s i t y ，n e a r e s tn e i g h b o r i n gp a r t i c l es e a r c h i n g ，b o u n d a r yd e f i c i e n c y 安徽大学硕士学位论文图表目录 图3 2 1 图3 3 1 图4 2 1 图4 3 1 图5 1 1 图5 2 1 图5 3 1 图5 3 2 图5 4 1 图6 1 1 图6 1 2 图6 1 3 图6 1 4 图6 1 5 图6 2 1 图6 2 2 图6 2 3 图6 2 4 图6 2 5 图6 2 6 图6 2 7 图6 2 8 图6 2 9 图6 2 1 0 图6 2 | 1 1 图6 2 1 2 图表索引 光滑函数的支持域和问题域1 0 粒子近似法1 4 一维、二维情况下水粒子的分布示意图1 7 实粒子和l i u 提出的两种类型虚粒子2 5 在二维空间里应用全配对粒子搜索法搜索最近相邻粒子2 9 在二维空间里应用链表搜索法搜索最近相邻粒子3 0 二维空间的树形结构和树形搜索算法3 2 全配对搜索法与树形搜索法的比较示意图3 4 一个问题域被分割成矩形戽斗3 5 单水滴 双水滴4 1 风源的组成和吹风机的作用区域4 2 风吹水面4 4 初始时施加不同风力当t = 9 0 s 时的水面对比图4 4 溃坝计算模型4 5 平底、无阻力水库溃坝后t = 3 0 0 s 时的水流深度图4 7 平底、无阻力水库溃坝后t = 3 0 0 s 、6 0 0 s 、9 0 0 s 的水流深度图4 8 平底、有阻力水库溃坝后t = 1 5 0 s 、t = 3 0 0 s 、t - - - 4 5 0 s 的水流深度图4 9 斜底、无阻力水库溃坝后t = - 1 5 0 s 、t = 3 0 0 s 、t - - 4 5 0 s 的水流深度图5 0 斜底、有阻力水库溃坝后t = 1 5 0 s 、t = 3 0 0 s 、t - - - 4 5 0 s 的水流深度图5 1 二维方溃坝的平面图5 l 二维方溃坝初始粒子分布情况平面图5 2 使用s p h 法得到的在t - - 2 0 s 时的水深等高线5 3 使用s p h 法得到的在t - - - 4 0 s 时的水深等高线5 3 使用s p h 法得到的在卢7 2 s 时的水深等高线5 4 使用固定网格的间断有限元法得到的在t - = 7 2 s 时的水深等高线5 4 v i 安徽大学硕士学位论文 图表目录 图6 2 1 3 图6 2 1 4 图6 2 1 5 图6 2 1 6 图6 2 1 7 图6 2 1 8 图6 2 1 9 图6 2 2 0 图6 2 2 1 图6 2 2 2 图6 2 2 3 图6 2 2 4 使用自适应网格的间断有限元法得到的在t = 7 2 s 时的水深等高线5 5 圆溃坝初始图5 5 圆溃坝初始粒子分布图。5 6 初始粒子形状图。 使用s p h 法在第( 1 ) 种情况下得到的t = 0 6 9 s 水深等值线5 8 使用s p h 法在第( 1 ) 种情况下t - - - 0 6 9 s 水深剖面图5 8 使用s p h 法在第( 2 ) 种情况下t - - 0 6 9 s 水深等值线5 9 使用s p h 法在第( 2 ) 种情况下t = 0 6 9 s 水深剖面图5 9 使用s p h 法在第( 3 ) 种情况下r - - 0 2 s 水深等值线6 0 使用s p h 法在第( 3 ) 种情况下t - - 0 6 9 s 水深等值线6 0 使用s p h 法在第( 3 ) 种情况下间6 9 s 水深剖面图6 1 使用自适应网格的间断有限元法得到的t - - - - 0 6 9 s 水深剖面图6 1 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得徽大学或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：涨：毋k 惑签字日期：, 2 0 0 7 年- 4 - 月掣目 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解安铡蔽大喾有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权委；氛萄以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者虢张妹慧，翩虢以堤 签字日期：2 研年4 月2 牛i 签字日期：州 年月妒f i 学位论文作者毕业去向： 工作单位： 电话： 通讯地址：邮编： 安徽大学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究背景及意义 水力学是力学的一个重要分支，也是许多工程技术领域的技术基础学科。具 有自由表面的浅水问题广泛的存在于水利、土木、洪水灾害、水环境和航运等工 程技术领域。1 9 世纪，n a v i e r 和s t o k e s 研究了粘性流体力学问题，建立了 n a v i e r - s t o k e s 方程：r e y n o l d s 考虑了湍流，建立了雷诺平均的n a v i e r - s t o k e s 方 程；尽管雷诺平均的n a v i e r - s t o k e s 方程足以用于计算浅水流动问题，但由于受 计算机条件和数值计算技术的限制，解决大尺度的实际工程问题还很困难。远在 1 5 0 年前的法国数学家拉普拉斯和拉格朗日就开始了明渠非恒定流研究并提出了 浅水波波速公式。法国科学院的学会会刊1 8 7 1 军酌7 3 卷中刊登圣维南的两篇文 章，其中一篇就是“圣维南不恒定流偏微分方程”的基本论著。圣维南对明槽非 恒定流进行比较深入的数学处理。但是真正的水流模型技术的运用是在电子计算 机问世时开始，1 9 5 2 年到1 9 5 4 年l s a a c s o n , s t o k e r 和t r o e s c h 开始建立m i s s i s s i p p i 比和o h i o 河的水流模型。5 0 年代限于一维模型，7 0 年代国外开始研究和应用二 维模型，准三维问题也作了一些工作，到9 0 年代，局部问题的三维模型研究开 始建立，并开始广泛发展和利用二维模型系统，一维模型系统给出的结果己可以 与比尺实体模型类比。 中国是一个水利大国，也是水利古国。从大禹治水到近代，治水害、兴水利， 历来是治国兴邦的大事。前人在建设我们国家、与水害的斗争中积累了丰富的经 验。水力学的研究也取得了很大进步。水流是三维的，数学模型最终应以三维形 式模拟水动力过程，才能全面地反映其特征。但是很多实际工程以及洪水预报等， 常常进行必要的简化。 浅水方程就是水流运动的基本方程纳维一斯托克斯方程( 即n - s 方程) 的简 化形式，是各种各样浅水环境流体运动的数学描述，二维形式把沿水流垂线方向 视为均匀流，一维形式把沿水流垂线方向和纵向都为均匀流。这些简化适用于天 然缓变地形。通过这些简化使我们在解决实际问题时抓住主要问题，从数值上把 握诸如海湾、港湾的潮汐、涌浪，溃坝，水环境污染扩散等问题的规律，使得用 l 安徽大学硕士学位论文求解浅水波方程的光精粒子流体动力学法 数值模拟解决很多复杂的实际问题成为可能。随着海洋开发、灾害预防、环境保 护等方面发展的需要，浅水波方程的数值求解越来越受到人们的重视，已成为国 内外计算数学、计算流体力学的热门课题。而溃坝问题历来受到人们的极大关注， 它不仅是实际工程中需要研究的课题，也是水动力学中一个重要的模型。通过对 溃坝模型的计算，人们可以了解溃坝问题的基本特征参数，如最大水深、最大流 量、涌波推进速度等等，这些参数也是进行工程设计、预报预测、管理维护的必 要基础。 了解水的流动规律，可以更好的避免各种不同的水灾，可以更好利用水能源 来为人类服务。水的研究有理论研究、数值计算和实验三种方法。这三种方法取 长补短，相互促进，解决水力学上很多问题，促使水力学得以飞速发展。由于实 际工程问题边界的几何形状的不规则性和流动的非线性等性质，理论分析解很多 情况下是很难求得，所以，一般采用实验和数值计算来解决问题，而实验费时， 耗很多人力和物力。相对来说数值计算比较省时、省钱，不受模型比尺等约束。 适应性很强、应用比较广，能满足工程需要的定性结果，所以对数值计算的研究 有着重要的实际意义。 1 2 课题当前研究概况 当前计算浅水波方程的算法很多，但是最流行的算法有有限差分法、有限元 法、有限体积法和特征线法。 圣维南方程的求解和应用发展至今己经非常成熟。1 9 9 4 年g a r c i a - n a v a r r o i l l 等人隐式格式的离散方法求解，并应用到模拟明渠和管道的水流中。1 9 9 9 年 z o p p o u 和r o b e r t s l 2 l 使用显式的离散方法并考虑质量守恒等问题，他们还把这方 法应用到城市供水的水库的模拟中。浅水波方程的二维算法的研究这些年得到长 足的发展，1 9 7 3 年a b b o r t 等人用有限差分法来离散浅水波方程，但是这些方法 不能解决间断水流问题，后来很多入对浅水波方程不断地迸行了研究，特别是解 决问断问题方面。1 9 9 3 年a l c r u d o 和g a r e i a - n a v a r r 0 1 3 1 和1 9 9 5 年j h a l 4 等人采用 g o d u n o v 格式的有限体积法计算二维的浅水波方程，采用了r o e 近似的r i e m a n n 求解器。这算法和以后提出的算法都考虑到计算间断水流问题。1 9 9 8 年m i n g h a m 和c a u s o n l 5 使用e l l 通量方法求解浅水波方程，采用了近似的r i e m a n n 求解器， 2 安徽大学硕士学位论文第一章绪论 后来这方法经过改进后，能适应于复杂的边界条件和地理条件。2 0 0 0 年z o p p o u 和r o b e r t s l 6 1 使用w a f ( w e i g h t e da v e r a g ef l u x ) 方法来求解浅水波方程：同年， c o c k b t t m 等人采用间断性g a l e r k i n 方法求解了比较复杂的问题，比如溃坝问题 等。这个方法利用间断空间离散，保证单元界面上的通量守恒，而且在每一个单 元里采用高阶多项逼近。2 0 0 4 年s e r g i of a g h e r a z z i 和p a t r i c k r a s e t a t i n e r a r l 等人采 用r k d g 方法，对时间项采用r u n g e k u t a 法离散，空间上的离散采用高阶多项 离散，单元之间采用近似r i e m a n n 求解器。 国外的模拟方面的研究取得了巨大的发展，国内也不甘示弱。1 9 9 8 年，王 嘉松、倪汉根、金生瞵1 等人应用空气动力学中的t v d 格式构造了用于溃坝水流 计算的显隐格式，模拟一维瞬间全溃时洪水波的运动。2 0 0 2 年，徐昆、潘存鸿 9 1 以b o l t z m a r m 方程为基础，提出了求解非平底浅水方程的k f v s ( k i n e t i cf l u x v e c t o rs p l i t t i n g ) 格式。2 0 0 4 年，程冰、周晓阳0 0 1 等人通过无量纲化变换，建立了 一个一维浅水方程的l b 模型，对一维溃坝波进行了模拟计算。2 0 0 5 年，王志力、 耿艳芬、金生】等以r o e 的近似r i e m a n n 基础，将源项按特征方向进行特征分解， 建立了一维带源项浅水方程的通量平衡g o d u n o v 求解格式。二维浅水波数值模 拟方面的研究同样进步很大，1 9 9 5 年，胡四一、谭维炎0 2 提出有限体积法在非 结构网格上使用，将一维o s h e r 、t v d 两种通量分裂格式自然地推广至二维浅水 方程组。给出了各种情况下浅水方程组有限体积法边界处理的计算公式。2 0 0 3 年，王同科【1 3 】提出基于三角形网格的特征差分格式，并分析其收敛性等。褚克坚、 华祖林、王惠民采用三角形网格结合有限体积法，构造三角形网格交替方向隐式 的有限体积法。2 0 0 4 年，汪继文、李付鹏f 14 j 等人应用几种复合型数值方法( l w 与l f 、u p w i n d 与l w 、w e n o 与l w 的复合算法) 就一维浅水方程的两个算例 分别作了数值对比试验，准确捕捉了激波又不产生非物理震荡。2 0 0 5 年，汪继 文、张飞【b l 等人应用间断g a l e r k i n 方法模拟了溃坝、斜水跃、后台阶流动等问题。 同年，白玉川、许栋”6 1 等人对浅永方程进行g o d u n o v 差分离散和对泥沙运动方 程进行一阶迎风差分离散，建立了平面二维溃坝水流泥沙数值模型。张永祥、陈 景秋1 17 墙】等采用守恒元和解元方法( 简称c e s e 法) 来求解二维浅水方程，进 一步对二维局部溃坝洪水波的演进过程进行模拟，后来，又用采用改进的时空守 恒元和解元方法( 简称c e s e 法) 构造了求解二维浅水方程的数值格式，建立 3 安徽大学硕士学位论文 求解浅水波方程的光滑粒子流体动力学法 了模拟大坝瞬间全溃和局部溃所致的洪水演进、绕流和反射过程的数学模型。 2 0 0 5 年l o 月，梁爱国、槐文信【1 9 】在交错网格上，基于混合有限分析法离散浅水 方程组和水深平均k 吨两方程湍流模型，并运用s i m p l e 算法求解离散后的代数 方程组，建立平面二维溃坝洪水波演进模型，等等。 然而，这些基于网格的数值方法在很多方面仍存在不足之处，从而使其在许 多问题的应用上受到限制。基于网格的数值方法在基于网格的数值方法中，数值 模拟的先决条件就是在问题域生成网格，这项操作常常占用很大的计算工作量， 欧拉网格法，如有限差分法，为不规则及复杂边界构造规则网格是很困难的，经 常需要复杂的数学变形去贴合边界。例如曲线坐标转换，往往比数值模式本身还 要复杂：在处理自由表面、动边界、变动的多物质界面和剧烈流体运动时，欧拉 网格法更是捉襟见肘；另外，欧拉网格法在描述流动水团随时间的变化上也不是 很方便。拉格朗日网格法，如有限元法，在生成网格时需要满足一定质量要求的 网格，这是一项麻烦的工作，并直接影响计算结果；在处理大变形问题时，往往 需要特殊的技术来实现，如网格重分这类复杂而耗计算时间的处理，同时会带来 额处的数值误差。同时，网格方法不能适应不连续问题和多连通域问题的计算。 近年来无网格法得到了迅速发展，受到了国际计算力学界的高度重视，越 来越多的人开始了无网格方法领域的研究。1 9 7 7 年l u c y 【2 0 1 和g - i n g o l d l 2 1 1 等分别 提出了光滑质点流体动力学方法( s m o o t h e d p a r t i c l e h y d r o d y n a m i e s ，简称s p h ) 并且成功地应用于天体物理领域中；1 9 9 2 年n a y r o l e 2 2 将移动最小二乘近似 ( m o v i n g l e a s t s q u a r e ，简称m l s ) 引入g a l e r k i n 法中，提出了散射元法 ( d i f f u s e e l e m e n t m e t h o d ，简称d e m ) 。1 9 9 4 年b e l y t s c h k o 2 3 1 等列- d e m 进行了 两点改进，提出了无单元g a l e r k i n 法( t h ee l e m e n t f r e eg l e r k i nm e t h o d ，简称 e f g ) ，给出了误差估计，并成功地应用于动态裂纹扩展数值模拟和三维撞击分 析，掀起了无网格法的研究热潮；1 9 9 8 年，a t l u r i 和z h u 2 4 1 提出了无网格局部 p e t r o v g a l e r k i n 法( m l p g ) ，被广泛的应用于梁结构和板结构的分析、流体流 动问题和其他力学问题。2 0 0 3 年，在结合强弱形势的基础上又提出了一种无网 格强一弱形式法( m w s ) 2 5 1 ，通过使用不规则分布的点对固体力学问题进行了求 解，得到稳定、精确的结果，等等。 无网格法才刚刚起步，在严格的数学论证、计算效率、边界条件处理和大量 4 安徽大学硕士学位论文第一章绪论 应用实例等方面都还不能与成熟的有限元法相媲美，更未形成有效的通用软件。 另外，无网格法的计算量一般大于有限元法。如何提高无网格法的计算效率也是 近年来的研究热点。虽然无网格法还远不成熟，但由于它不需要网格，近似函数 是建立在一系列离散点上的，不需要借助于网格，克服了基于网格的数值方法对 网格的依赖性，在涉及网格畸变、网格移动等问题中显示出明显的优势。同时， 无网格法的前处理过程也比基于网格的数值方法更为简单，因此无网格方法仍具 有广阔的发展前景。 1 3 本文的研究内容 光滑粒子流体动力学法( s p h ) 是近二十年来逐渐兴起的一种纯的拉格朗日 无网格粒子法，最早是由l u c y 和g i n g o l d & m o n a g h a a 在1 9 7 7 年并行独立提出， m o n a g h a n 同时发表了介绍和回顾s p h 方法的文章1 2 6 - 2 s l ，包括质量、动量，能量 守恒方程、人为粘性、偏微变形技巧等内容。此方法最初提出是为了求解三维开 放空间上的天体物理学问题，特别是多变性问题，后来逐渐延伸到电磁学、热传 导、核物理、计算固体力学，分子力学、计算流体力学等领域。本文研究的是如 何将s p h 法应用于浅水波方程，数值模拟一些常见的自然现象和溃坝问题。下 面简要的介绍本文各章节主要的研究内容： ( 1 ) 在本论文的第二章给出了文中使用的的计算模型即浅水控制方程。 ( 2 ) 第三章介绍了s p h 方法的光滑函数，s p h 法的基本思想和基本方程。 ( 3 ) 第四章将s p h 方法应用于一维和二维浅水方程，推出了浅水方程的 s p h 模型，并给出了s p h 方法的模拟过程，及在模拟过程中为了解决一些问题 引入的方法和性质，如人工粘性、虚粒子等等。 ( 4 ) 第五章介绍了s p h 法中的国内外提出的几种最近相邻粒子搜索方法， 并且将树形搜索方法和全配对搜索方法进行了比较，得出了一些有用的结论。 ( 5 ) 第六章使用s p h 方法模拟了水滴涟漪、风吹水面等自然现象及一维溃 坝、二维方溃坝、圆溃坝等问题，分析了实验结果，指出了s p h 法的优缺点， 及s p h 法在初始分配时应遵循的原则。 ( 6 ) 第七章结论与展望。 5 安徽大学硕士学位论文 求解浅水披方程的光滑粒子流体动力学法 第二章浅水控制方程 完整的流体动力学方程组描述了流体最一般的运动特征，方程组包括质量守 恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程，完整的方程组比较复杂，一般模拟水流 大多使用简化的模型，在本文中采用的是浅水条件下的水流控制方程。浅水控制 方程分为一维的圣维南( s a i n tv e n a n t ，简称s v ) 方程和二维深度平均的 n a v i e r - s t o k e s ( 简称n s ) 方程。在本文中对这两种方程进行了计算。二维的浅 水方程应用领域十分广泛。相比之下，一维的s v 方程是检验各种算法的一个良好 的平台，这源于s v 方程具有解析解，因而我们能对各种算法进行有效的评估。 此外应用于s v 方程的一些算法可以被推广到二维的浅水方程，而同时二维浅水 方程很难获得解析解，因此对s v 方程数值解算法的评估也十分必要。 2 1 一维浅水方程 描写一维瞬变( t r a n s i e n t ) 自由面流体运动的浅水波方程的守恒形式可以写 成守恒型的s a i n tv e n a n t 方程组形式： a u + a f ( u ) ：s ( ( 2 1 ) o ti g x 、7 这里u 是守恒变量向量，f ( u ) 是流函数，s ( u ) 是源项： u = ( 盎) ，c u ，= h u 2 + g 日： ，s c u ，= ( 一g 日c o + 。，) 其中h 为水的深度，”为深度平均速度分量，s o 为河床斜率项，o 为底部 摩擦力项，g 为重力加速度。x 为沿河底的距离，取下游方向为正，t 为时间。 盯由谢才公式确定 。，2 雨 式中c o 为谢才系数，r 为水力半径，对矩形河道r z 。 6 安徽大学硕士学位论文第二章浅水控制方程 2 2 二维浅水方程 实际的浅水波问题是三维形式的，利用沿水深积分平均方法得到的二维浅水 波问题的控制方程，大大简化了一般浅水波问题的数值模拟工作。 对于比较开阔的水域如浅海，河口、湖泊、大型水库这样的宽水域，水域的 水平尺度远远大于水的深度，永深、流速等水力参数沿垂直方向的交化较之沿水 平方向的变化要小得多，压强沿水深的分布也可以采用静水压强的分布假定，垂 向流速和垂向加速度可以忽略。a n a s t a s i o u 3 副等人采用了一种完全守恒的浅水波 方程。忽略一些次要的作用力只有的二维浅水波方程的守恒形式为： 票+ 掣十挈一4 掣+ 掣旺z ) 西缸 砂l 缸 勿j 其中q 是守恒变量向量，( 9 和f ( q ) 是无粘性通量，矗。( g ) 和r ( q ) 是粘性通 量。s ( q ) 是力作用向量，q 、，( 9 、，( q ) 、胄。( q ) 、矗7 ( q ) 、s ( q ) 为： q 骨职驴卜驯一= f 日1 麒q ) = l 杈l i h v y ) 阶。- g n 。( s 矗埚+ 。s o j ) + + 脚h c v 协 h u v h v 2 + ：1g 铲 其中，日为水的深度，“和v 分别是水平x 和y 方向上深度平均的速度分量， u x 、q 和k 、0 则是深度平均速度分量在x 和) ，方向上的导数，占是重力加速度， ( s 口，) 是河床底部摩擦项，( s o ，s o ，) 是河床沿着x 和_ ，方向上的坡降，c ，是因 地球自转而引入的c o r i o l i s 参数，p 是动力学粘性系数，t 为时间。 s 矿s n 的表达式由曼宁阻力公式给出： 7 、， 日眠也 ，。l = q ) 尼 安徽大学硕士学位论文 求解浅水波方程的光滑粒子流体动力学法 歌：下l q 2 u x 厅u 2 + v 2 ，岛；颦 ( 2 2 2 ) h 一3 日i 其中，行为曼宁粗糙系数。 此时，若将水视为理想的不可压缩无粘性流体，不考虑粘性效应和右函数项 的影响，可得到简化了的二维浅水波方程的守恒形式为： u + ( e ( u ) ) ，+ ( g ( u ) ) 。= s ( u ) ( 2 - 3 ) 其中是守恒变量向量，e ( u ) 、g ( u ) 是对流向流量分量， g ( u ) = r 1 阽h u j 胁 h u v 协2 + 委g h 2 刚十纠 一。喇- g l c ( 驴s 。o , + s 且) ， 将方程展开为分量形式为： 丝+ 曼丝+ 旦盟：o 国苏 a y 了o ( h u ) + c 8 ( h 1 u 2 + r l g h 2 ) + 1 0 ( h 厂t m ) ：一g 日( 晶，+ ) ( 2 4 ) 部苏却4 ”7 掣+ 掣+ o ( h v 2 百+ 1 9 h 2 ) ：趔( 驴)魂敏如 y ” 如果没有考虑河床摩擦倾斜的影响，则源项s ( 为0 。 方程( 2 4 ) 里面各分量含义与上面所列方程( 2 2 ) 里分量含义相同。此方 程即为描写二维瞬变( t r a n s i e n t ) 自由面流体运动的浅水波方程的守恒形式，是 当前流行的二维浅水波模型，对于诸如二维溃坝、水跃和各种河道的涌浪的形成， 进行的比较满意的数值模拟实验。 安徽大学硕士学位论文 第三章光滑粒子流体动力学( s p h ) 法 第三章光滑粒子流体动力学( s p h ) 法 光滑粒子流体动力学( s m o o t h e dp a r t i c l eh y d r o d y n a m i c s ，简称s p h ) 法是近 二十年来发展起来的一种纯的拉格朗日无网格粒子法，它最初提出是为了解决三 维开放空间中的天体物理学问题，尤其是多变性问题。 与传统的基于网格的方法如f d m 和f e m 相比，s p h 法的主要优点在于不 需要使用任何提前定义的提供结点连接信息的网格，而是基于一个粒子集有效地 进行函数近似，并且在其他无网格方法中，无网格结点只是用作插值点，而s p h 法中的粒子具有材料性质，如质量、密度等，并在内部相互作用力和外力的作用 下运动。由于s p h 法在计算空间导数时不需要使用网格并且具有自适应性质， 从而避免了高维拉氏网格法中的网格缠结和扭曲的麻烦，可处理具有大变形、移 动材料界面、可变形边界、自由表面等的问题。 3 1s p h 的基本思想 如前所述，s p h 方法是为求解流体动力学问题而提出的，两流体动力学问题 的求解主要是基于密度、速度、能量等变场的偏微分方程组( p d e s ) 。除了一些 简单的情况，往往很难应用这些p d e s 求得解析解。因此必须寻求数值解法。 s p h 法的核心思想如下： ( 1 ) 无网格：若问题域不是以粒子的形式表示的，则用一系列任意分布的 例子来表示问题域。粒子之间不需要任何连接。 ( 2 ) 核近似( k e r n e la p p r o x i m a t i o n ) ：用积分表示法来近似场函数。 ( 3 ) 粒子近似：应用粒子来对核近似方程迸一步近似。实施这个过程是通 过一共局部区域内的相邻粒子对应的值来叠加求和取代场函数及其导数的积分 表示形式。其中所取得局部区域又称为支持域。 ( 4 ) 自适应性：在每一个时间步内都要进行粒子近似过程，所使用的粒子 取决于当静局部分布的粒子。 ( 5 ) 拉格朗同性：将粒子近似法应用于所有p d e s 的场函数相关项中，则 可得到一系列只于时间相关的离散化形式的o d e s 。 9 安徽大学硕士学位论文求解浅水波方程的光滑粒子流体动力学法 ( 6 ) 动力学性质：应用显式积分法来求解o d e s 以获得最快的时间积分， 并可得到所有粒子的场变量随时间的变化值。 以上六点结合起来，使得s p h 方法成为具有无网格、自适应、稳定以及拉 格朗日性质的动力学问题求解器【3 0 1 。正是由于s p h 方法中的自适应性、粒子性 质和拉格朗日性质的和谐结合，使得其在工程和科学不同领域都得到了实际应 用，特别是流体力学的相关领域。 3 2 光滑核函数 光滑核函数，又称光滑函数。在s p h 法中，通过使用光滑函数引进积分表 示式。光滑函数非常重要，它不仅决定了函数近似式的形式、定义粒子支持区域 的尺寸，而且还决定核近似和粒子近似的一致性和精度。 3 2 1 光滑核函数的性质 下： 许多文献讨论了光滑核函数的不同条件和性质1 3 m 3 1 ，其主要特性总结归纳如 ( 1 ) 归一性：光滑