（概率论与数理统计专业论文）双复合泊松风险模型的破产概率问题.pdf

扎0r ii r u i np r o b a b i l i t i e si nar i s km o d e l w i t hd o u b l ec o m p o u n dp o i s s o n p r o c e s s ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e df o rt h ed e g r e eo fm a s t e r c a n d i d a t e ：l i uq i n g s u p e r v i s o r ：p r o f w a nc h e n g g a o h u b e iu n i v e r s i t y w u h a n ，c h i n a 7洲286洲3帅7 川1洲y r 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权 说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的作品或成果对本文的研究做出重要贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式标明本声明的法律后果由本人承担 论文作者签名：荔7 灰 签名日期：如o 年石月3 日 学位论文使用授权说明 本人完全了解湖北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即：按照学校 要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的印刷本和 电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其 它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或 全部内容( 保密论文在解密后遵守此规定) 论文作者签名：参l 久 签名日期：沙扣年月弓日 导师签名：彳灰易 签名日期：p 年多月3 日 摘要 金融市场不断地发展，现实的风险状况越来越复杂，经典风险模型已经 无法满足模拟现实的风险状况的需要在实际运营中，越来越多的险种的保费 收入都不是按固定保费收取的，而是随机收取的同时，保险公司的投资利润 决定了保险公司的总利润，因此我们考虑带投资的，带随机保费收取的风险模 型足非常有意义的 本文讨论的保费收取除了包括常值保费收取外还包括随机保费收取的风 险模型，且随机保费收取过程为齐次泊松过程第一部分首先利用全慨率公式 给出了双复合p o i s s o n 风险模型下生存概率满足的积分一微分方程，然后在 该模型下讨论了带干扰的双复合p o i s s o n 风险模型和连续时间带利率的双复合 p o i s s o n 风险模型，利用鞅方法得到了破产概率的上界第二部分考虑带随机 保费收取且投资风险市场的比例为常数k 的对外风险投资模型，在该模型中 用几何布朗运动来描述投资于风险市场的资金，利用伊藤公式求出该模型下 生存概率所满足的积分一微分方程，并进一步证明了该方程解的存在性，然 后将该模型推广到多险种的风险模型第三部分考虑投资风险市场的比例为 时间t 的函数的风险模型，利用伊藤公式求出该模型下盈余过程和时间t 的一 个二元函数所满足的积分一微分方程，并在s o b o l e v 空间上讨论了积分一微 分方程的初边值问题及弱解的存在唯一性问题最后将该模型推广到多险种 的风险模型 关键词：生存概率；伊藤公式；积分一微分方程；泊松过程；随机保 费；s o b o l e v 空间 n 目录 一、引言1 1 1 相关研究背景1 1 2 本文研究的主要内容5 二、双复合泊松风险模型破产概率的探讨8 2 1 生存概率的积分一微分方程及破产概率的上界8 2 2 连续时间带利率的双复合泊松模型1 1 三、常比例投资于风险市场的风险模型1 4 3 1 生存概率的积分一微分方程1 4 3 2 积分一微分方程解的存在性1 7 3 3 推广到多险种的风险模型1 8 四、投资于风险市场的比例为变量的风险模型2 0 4 1 生存概率的积分一微分方程2 1 4 2 预备知识2 3 4 3 积分一微分方程弱解的存在惟一性问题2 5 4 4 推广到多险种的风险模型2 7 参考文献3 0 致谢3 3 一引言 一引言 1 1 相关研究背景 破产理论是风险理论的核心内容之一瑞典精算师l u n d b e r g 于1 9 0 3 年发 表博士论文中首次提出了一类最重要的随机过程，即齐次p o i s s o n 过程他引 入了齐次p o i s s o n 过程的风险模型，为数学界和精算界的研究发展作出了巨大 的贡献继l u n d b e r g 工作之后，由h a r d l dc r a m e r 为首的瑞典学派将其工作严 格化，让其符合现代数学的严格标准同时，他们还发展了严格的随机过程的 基本理论继h a r d l dc r a m e r 之后h a s u g e r b e r 是当代研究破产理论的领先学 者，他以严谨的概率论基础，简练清晰地深化了经典破产理论的研究内容，并 取得了重大的突破近年来，随机过程理论不断发展，不断系统化，不断成熟 化，随机理论为风险理论的研究提供了强有力的方法，使风险理论发展非常迅 速破产理论中研究的模型为了越来越接近现实，在经典的c r a m e r l u n d b e r g 模型下，很多学者做了多方面的改造和推广，得到了许多复杂的风险模型，使 模型也越来越能满足现实情况的需要同时，这些改造和推广丰富了风险理论 的研究内容，更能促进风险理论的发展，促进保险业的发展 经典的c r a m e r l u n d b e r g 模型如下l 在概率空间( q ，j r ，p ) 上定义： ( 1 ) 点过程n t = ( ) ；t o ，n ( 0 ) = o ； ( 2 ) k 墨，都是非负独立同分布的随机变量，表示每次的理赔量，其分布 函数为f ( z ) ，f ( o ) = 0 ，均值为，7 ，方差为a 2 ； ( 3 ) 定义保险公司的盈余过程为 ( t ) u ( t ) = z + p t 一：k ， ( 1 1 ) i = 1 其中常数p 为保费率，x ( x 0 ) 为保险公司的初始准备金，n ( t ) 为理赔次 数过程，是以a 为参数的p o i s s o n 过程假设e 【( ) 】= 疵，保险公司在时间段 ( 0 ，胡的利润为 ( ) x ( t ) = 肼一 ：k ， i = 1 1 湖北大学硕士学位论文 那么期望利润 e x ( ) 】= p 一e n ( t ) i e y i 】= ( p a t 7 ) t 定义相对安全系数 p ：i t - - o 。r 1 ：旦一1 = 一= 一 q 卵o t 卵 假设r 是z e 佗d f ( z ) = 1 + 等的正解，称冗为l u n d b e r g 系数在经典风 险模型下定义： 有限时间破产概率： 咖( z ，t ) = p u ( t ) 0 ，3 t t ) ，0 t o o ，z o ； 无限时间破产概率： 曲( z ) = 咖( z ，o o ) = p u ( t ) 0 ，3 t t ) ，0 t 。，z 0 为了方便计算，我们一般定义有限时间或无限时间内生存概率为 妒( z ，t ) = p u ( t ) 0 ，v t t ) ，0 ：k ， t = 1 则保险公司的财富过程可以这样描述： e t n ( t ) = e 以( 。+ e 。8 d u ( s ) ) ( 1 2 ) 、 ，o 7 在模型( 1 2 ) 下生存概率可如下定义： 妒( z ，t )= p r ( t ) 0 ，v t t ) ，0 t o 。，z o ； 妒( z ) = 妒( z ，o 。) = p r ( t ) 20 ，v t o ) ，z 0 3 湖北大学硕士学位论文 在上述模型( 1 2 ) 下，s u n d t b ，t c u g c l s j 删给出生存概率满足的积分方程，并 用递推方法得出了终极破产概率的上，下界 在经典的c r a m e r l u n d b e r g 模型下加入有风险的投资项目，将风险盈余的 一个固定比例k ( 0 0 为固定常数，a 表示风险期望收益率，b 表示风险波动收益率， m 为标准b r o w n 运动，并独立于u ( ) 假定保险公司进行对外投资后在t 时刻总资产为y ( ) ，并将资金k y ( t 一) 投 资于股票市场( 0 0 ，t 0 g a i e r 2 和g r a n d i t s ) 1 l 利用伊藤公式得出了该风险投资模型下生存概率满足的 积分一微分方程 去妒”( x ) ( k b x ) 2 + 妒( z ) ( ( 口一r ) 后+ r ) z = 一p 妒7 ( z ) + a 妒( o ) 户( z ) + 入( z z ) 户( 2 ) d z ， ，0 并证明了该积分一微分方程解的存在性，还得到了当索赔尾分布为亚指数分 布时满足正则变化，变化的指标满足确定的不等式：西( z ) 一c p ( x ) 其中c 为 常数h i p p 和p l u m s l 也研究了该经典模型下的风险投资模型下生存概率满 足的积分一微分方程，也给出了解的存在性证明，并进一步得到当索赔大小 为指数分布时生存概率的显式解i o a n n i sk a r a t z a s ，s t c v e ne s h r e v e i r a 也研究 了模型 d y ( t ) = r y ( t 一) ( 1 一k ) d t + d r ( t ) + y ( t - ) k d w 。6 ( ) ，t 0 对于投资者而言，保险公司总希望在保证一定预留金的前提下，使得公司 总资产得到最大收益但是由于不同时间季节保费收入多寡不同。索赔的时间 也不同，从而保费，索赔，投资利润等均随时间变化，这样任意时刻都是以一 4 一引言 个固定常数比例的资产投入到风险财富的风险模型无法满足现实的需求，于 足将t 时刻风险盈余投资于风险资本市场的比例由常数k 变化为时间t 的一 个函数k ( ) ，( 0 0 ， 其中r ( r 0 ) 为投资于无风险项目的收益率，a 表示风险期望收益率，b 表 示风险波动收益率，m 表示标准b r o w n 运动，并独立于u ( t ) 假定考虑保 险公司进行对外投资后在t 时刻总资产为y ( t ) ，并将k ( t ) y ( t 一) 投资于股票市 场( 0 0 ) 为保险公司的初始准备金 第二章首先利用全概率公式导出该模型( 1 3 ) 下生存概率满足的积分一微 分方程 p 妒( z ) = ( a 1 + a ) 妒( z ) 一a 妒( z u ) d f ( u ) 一a 1 妒( z + u ) d a ( u ) ， ，oj o 5 湖北大学硕士学位论文 然后讨论带干扰的风险模型，模型如下： l ( ) r 2 ( ) u ( ) = z + p + g 一k + 盯m ， ( 1 4 ) 其中盯 0 ， m ，t 0 ) 是标准布朗运动我们通过构造指数鞅的方法得到 模型( 1 4 ) 下破产概率的指数型上界e - 如，接着考虑连续时间带利率的双复合 p o i s s o n 风险模型的破产概率问题，模型如下； tl ( t )( ) 吲幻= x e 6 t + # oe 6 v d v + 若驴叫卜若珞烈卜引， ( 1 5 ) 利用鞅方法得到模型( 1 5 ) 下破产概率的上界e - 鼬 第三章主要讨论了常比例投资于风险市场的风险模型在剩余过程u ( t ) 的 基础上我们考虑保险公司的对外投资，设投资于无风险项目的收益率为r ( r o ) ，投资于风险财富( 股票) s ( ) 的情形描述如下： ，d s ( t ) = s ( t ) ( a d t + 6 d m ) ，t 0 ， 其中a ，6 0 为固定常数，n 表示风险期望收益率，b 表示风险波动收益率， m 为标准b r o w n 运动，并独立于u ( t ) 假定考虑保险公司进行对外投资后在t 时刻总资产为y ( ) ，并将k y ( t 一) 投 资于股票市场( 0 0 ，t 0 。 在该模型下本文得出了生存概率满足的积分一微分方程： 去妒”( z ) ( 忌6 z ) 2 + 妒7 ( z ) ( ( o r ) 七+ r ) z ，z1 0 0 = 一肛妒( z ) + a 妒( o ) 户( z ) + a ( z z ) f ( z ) d z a 1 妒( z + z ) g ( z ) d z ， ，0j o 并利用g a i e r 2 1 和g r a n d i t s 1 中证明解的存在性的方法证明该积分一微分方程 解的存在性，然后还将该模型推广到多险种的风险模型并给出了该模型下生 存概率所满足的积分一微分方程 第四章讨论了投资风险市场的比例为变量函数k ( t ) 的风险模型： d y ( t ) = d u ( t ) + k ( t ) y ( t 一) ( a d t + b d m ) + ( 1 一k ( t ) ) 】，( 一) r d r ， y ( o ) = z ，z 0 ，t 0 ， 6 一引言 其中r ( r 0 ) 为投资于无风险项目的收益率，a 表示风险期望收益率，b 表示 风险波动收益率，m 表示标准b r o w n 运动，并独立于u ( ) 假定考虑保险公 司进行对外投资后在t 时刻总资产为y ( t ) ，并将资金k ( t ) y ( t 一) 投资于股票市 场( 0 0 ， w t ，t 0 ) 足标准布朗运动，常数p 为保费率，x ( x 0 ) 为保险公司的初始准备金，6 0 为常利率因子；正，i 1 表示第i 次理赔时刻，岛，j 1 表示第j 次随机保费 收取的时刻，u ( t ) ，巩( ) 都表示保险公司在时刻t 的盈余，托= 五一互一l ，i 1 表示第i 1 次索赔与第i 次索赔发生的时间间隔 我们定义破产概率如下： 有限时间破产概率妒( z ，t ) = p u ( t ) 0 ，3 t t ，0 t 0 ，那么 ， 加( z ) = p o o = p uc u , c r o ) 0 ) 是鞅 破产时刻丁= i n f t o ；c ，( t ) 0 ，7 - at 是一有界停时，于是有 e e r ( 丌( r 。) 一q ( r 。) + q ( s ) ) j 7 - t ) e e 一只( 7 r ( 1 _ ) 一q ( 丁 ) ) = 1 ， e e r ( 丌( 丁 。) 一口( 训) + q ( 8 ) ) ， 7 t ) = e e r ( 丌( 丁) 一q ( 7 ) ) ， r ) e 砌p 7 班( 2 8 ) 所以p 7 ) = 1 一妒( z ，t ) e - 如，即砂( z ，t ) e - 如当t _ 。o 时， ( z ) e - m 定理2 2 结论成立 2 2 连续时间带利率的双复合泊松模型 j u nc a i ，d a v i dc m d i c k s o n 6 ，吴容，杜永宏【2 5 】以及林庆敏，汪荣明1 2 4 】都 分析了连续时间带利率更新风险模型，分析了破产概率上界，破产时赤字分布 及破产前盈余分布，且都假设保费为常值保费下面考虑连续时间带利率的双 复合p o i s s o n 风险模型的破产概率问题 令模型( 2 3 ) 的盈余现值为 l ( )( ) ( 死) = 卅c # e - 6 s j 一y i e “正+ u t ( 2 9 ) j = l i = 1 引理2 1 1 6 1 存在唯一的正数r 0 ，使得 m ( c ) e ( e x p 一r ( c e 一6 s j y e 一6 t ) ) ) = - ( 2 - o ) j = l 定理2 3r 是引理2 1 中定义的常数，那么对于任意的z 0 ，有 0 6 ( z ) se - 鼢 1 1 湖北大学硕士学位论文 证明 l ( + 1 )( 死+ 1 ) k ( 死+ 1 ) = k ( 死) + q e - 6 s l 一f i e - 蹋+ 1 + p ( 死+ 1 一霸) j = n l ( 对)扛( 对) n l ( + 1 )n + l = k ( 品) +q e 一晒一m e 一6 + 1 + 肛( 死+ l 一死) j = n 1 ( 对) 扛n n 1 ( + 1 ) = ) + e j e - 6 s j y n + l e 一+ 1 + p + 1 j = n l ( 对) 记 1 1 ( + 1 ) 1 m ( 对，+ 1 ) = 一r i g e - 6 ( s f 一一y , - , + l e 一+ 1l ， l j = n d 对) j 由于索赔过程n ( t ) 是以a 为参数的p o i s s o n 过程，则时间间隔 五，i 1 ) 是 独立且参数同为入的指数分布，于是e x + 1 = 1 a 令r n = 仃m ，正，死】，有 e ( e 州哦叭订= l 利用条件期望的性质以及n l ( t ) ，n ( s ) 独立性和平稳性且+ 1 = t n + l 一死 和+ 1 是相互独立于k ，对任意孔0 ，两边同时取期望有 e ( e 娟吲引i r n ) = e 坷吲死) e ( e m ( 对，晶+ l e e 一勘+ 1ih ) = e 胡以剐e ( e m 瞅忍e e - r = e r ( r ) e 一瓤 e ( e m 对 矗+ 1 ir 。) e - r v ( t n ) ， 所以e ( 一r ) ，n 1 ) 是上鞅 已知破产时刻是停时，a 仃是有界停时，由上鞅的有界停时定理，得 又由于 e e r ( n ) e e 一册；( t 0 ) = e - 船 e e r ( 了h n ) e e 一只( 2 k n ) i ( r 6 佗) = e e 一兄( ) j r ( 付) e i ( r 6 n ) = 咖6 ( z ；n ) ， 二双复合泊松风险模型破产概率的探讨 则 所以 咖6 ( z ；n ) e e r ( 2 k n ) e - 肋 咖( z ；n ) e - 肋， 当n o o 时，咖( 仳) e - 腼定理3 2 结论成立 1 3 湖北大学硕士学位论文 三常比例投资于风险市场的风险模型 在考虑对外投资的风险模型中，我们通篇假定模型有正的安全负荷 常比例投资于风险市场的风险模型是在模型( 2 1 ) 的基础上进行讨论的， 模型如下： 其中( t ) ，l ( ) 分别是以a 和a 1 为参数的p o i s s o n 过程； g 罂l 和 m 墨1 都是非负独立同分布的随机变量，分别用c ，y 表示，其分布函数分别为： g ( z ) ，f ( z ) ，且( ) ，n l ( t ) ， g ) 墨l ， m 罄1 都是相互独立的常数p 为保 费率，x ( x 0 ) 为保险公司的初始准备金，u ( t ) 表示保险公司在时刻t 的盈 余，妒( z ) 表示无限时间生存概率 在剩余过程u ( t ) 的基础上我们考虑保险公司的对外投资，设投资于无风险 项目的收益率为r ( r o ) ，投资于风险财富( 股票) s ( t ) 的情形描述如下： d s ( t ) = s ( t ) ( a d t + 6 d 吼) ，t 0 ， 其中a 6 0 为固定常数，a 表示风险期望收益率，b 表示风险波动收益率， m 为标准b r o w n 运动，并独立于u ( t ) 假定考虑保险公司进行对外投资后在t 时刻总资产为y ( t ) ，并将k y ( t 一) 投 资于股票市场( 0 0 ，t 0 ( 3 1 ) 在该模型下定义破产时刻：r = i n f t o ；y ( t ) o ) ； 破产概率：妒( z ) = p ( 下 。oiy ( o ) = z ) ； 生存概率：妒( z ) = 1 一( z ) = p ( r = o oiy ( o ) = z ) 1 4 k 汹 一 q 删 +舭+ z = u 三常比例投资于风险市场的风险模型 3 1 生存概率的积分一微分方程 定义3 1 1 3 6 设随机过程x = x ( ) ，t o ) ，对v0 t o t z 满足如下 的伊藤积分，或等价地写作伊藤微分公式： f t，t x ( t ) 一x ( t o ) =5 ( 8 ，x ( s ) ) d s + 口( s ，x ( s ) ) d b ( s ) ，( 3 2 ) ，t o，幻 d x ( t ) = b ( t ，x ( t ) ) d t + 盯( t ，x ( ) ) d b ( ) ，( 3 3 ) 其中6 ( ，x ) ，盯( t ，x ) 是二元连续函数，且对v z r ，i b ( t ，x ) i ，盯( ，x ) 辟，则 称x 为伊藤随机过程，称( 3 2 ) 式为伊藤随机积分方程，称( 3 3 ) 式为伊藤随 机微分方程 引理3 1 ( 伊藤公式) 设x = x ( t ) ，t o ) ，对v 0 t o t z 满 足等式( 3 3 ) ，y = f ( t ，z ) 是二元函数，且具有连续偏导数筹，甏，貉，令 q ( t ) = f ( t ，x ( t ) ) ，则q = q ( t ) ，t 0 ) 是随机过程，且对v 0 t o t 满足如下 的伊藤积分方程： q ( t ) 一q ( t o = f 峨r o f + 6 蕊o + 譬嘉 ( s 酬d s + 口鼢酬州，( 3 4 ) 或等价的伊藤微分形式： d q ( 归( 筹+ 6 墓+ 譬寡) 刖m + 盯。口z f ( ) ( n e ) ( 3 5 ) 定义3 2 ( 压缩映象) 例设g 是b a n a c h 空间x 上的子集，t 是g 到x 上的 映射，对v z ，y g ，如果存在一常数q ，使得0 q 1 ，且i t x t y l o l z 一耖i ， 我们称t 是一个压缩映象 引理3 2 ( b a n a c h 压缩映象原理) 假设g 是b a n a c h 空间x 的非空闭子 集，t ：g g 是压缩映象，即对v z ，y g ，且0 q l ，有i t x t y is 口i z y l ， 则存在惟一的z + g ，使得t x = 矿，即t 在g 内存在惟一的不动点矿 定理3 1 针对模型( 3 1 ) ，其生存概率妒( z ) 满足下面的积分一微分方程； 去妒”( z ) ( 后6 z ) 2 + 妒7 ( z ) ( ( 口一r ) k + r ) z = 一，正( z ) + a 妒( o ) 户( z ) + a 妒( z z ) f ( z ) d z j o a ll 妒( z + z ) o ( z ) d z ( 3 6 ) 证明在模型( 3 1 ) 下，在无穷小时间d t 内讨论n ( t ) 和1 ( ) 的变化，主要有 以下四种情况： 1 5 湖北大学硕士学位论文 ( 1 ) n ( t ) 和n 1 ( ) 都没有发生跳跃，概率是( 1 一a 1 d t ) ( 1 一a d t ) + d ( d ) ； ( 2 ) n ( t ) 发生一次跳跃而n 1 ( ) 没有发生跳跃，概率是( 1 一a l d t ) a d t + o ( d t ) ； ( 3 ) l ( t ) 发生一次跳跃而n ( t ) 没有发生跳跃，概率是( a 1 d t ) ( 1 一a d t ) + o ( d t ) ； ( 4 ) 由于出是无穷小时间段，n ( t ) 和n 1 ( t ) 同时发生一次跳跃或多于一 次跳跃的概率为o ( d t ) 令 ( y ( t ) ) = 1 一e ( i t 。) ly ( ) ) ，当t = 0 时，y ( o ) = z ，则有 ( y ( t ) ) i 拄0 = 妒( z ) 现在考虑在很小的时间间隔( t ，t + d t l 内风险发生的情况 在( t ，t + d t 】内仅发生一次索赔的概率为a d t ( 1 一a l d t ) + o ( d t ) ，索赔额y y ( t ) 时，函数 ( y ( ) ) 在时刻t + d t 为h ( y ( t ) 一y ) ； 在( t ，t + d t 】内仅发生一次额外保费收取的概率为a 1 d r ( 1 一a d t ) + o ( d t ) ，且 函数 ( y ( t ) ) 在时刻t + d t 为h ( y ( t ) + c ) ，其中c 为保费收取额； 在( t ，t + d t 】内没有发生索赔，也没有发生额外保费收取的概率为( 1 一 a l d t ) ( 1 一a d t ) + d ( d ) ，且函数 ( y ( ) ) 在时刻t + d t 为h ( y ( t ) + 皿t + k y ( t ) ( a d t + 6 d m ) + ( 1 一k ) y ( t ) r d t ) 从而 ( y ( ) ) = 危( y ( ) + p d + 七y ( ) ( n d t + b d w t ) + ( 1 一七) y ( t ) 7 d t ) ( 1 一入1 d r ) ( 1 一a d o + h ( y ( t ) 一y ) a d t ( 1 一a l d t ) + h ( y ( t ) + c ) a l d t ( 1 一a d t ) + o ( d t ) ， 化简可得 ( ( y ( t ) + 山+ ( 七n + r 一七r ) y ( t ) d t + k b y ( t ) d w t ) 一九( y ( ) ) = ( y ( t ) + 阻+ ( 后口十r 一七r ) y ( t ) l d t + k b y ( t ) d w t ) 一 ( y ( t ) ) + ( y ( ) ) ) ( ( a l + a ) d t a 1 a d 2 ) 一a d t ( y ( t ) 一y ) + a l a d 2 ( y ( ) 一y ) 一a l d th ( y ( t ) + c ) + a 1a d 2 th ( y ( t ) + c ) + o ( d t ) 由伊藤公式知 i l ( y ( t ) + 山+ ( 七n + ，一屉r ) y ( t ) d t + k b y ( t ) d w t ) 一 ( y ( ) ) = ( i l ( y ( 亡) ) + ( 忌口一七7 - + r ) y ( 亡) 】+ 互1 ( y ( t ) ) ( 七6 y ( t ) ) 2 d 芒 + ，l ( y ( t ) ) k b y ( t ) d w t 1 6 三常比例投资于风险币场的风险模型 于是 ( 7 ( y ( ) ) 阻+ ( 后。凫7 + 7 ) y ( ) 】+ 互1 ”( 】，( ) ) ( 硒y ( ) ) 2 d + 7 ( y ( t ) ) k b y ( t ) d w t = ( ( a 1 + a ) d t a 1 a d 2 ) ( ( 危( 】，( t ) ) 阻+ ( 七n 一七r + r ) y ( t ) 】 + 丢 ”( y ( t ) ) ( 柚y ( t ) ) 2d t + ( y ( ) ) 七6 y ( ) d w t + ( y ( t ) ) 一a d t h ( y ( t ) 一y ) + a i a d 2 t h ( y ( t ) 一y ) 一a 1 d t h ( y ( t ) + c ) + 入1 a d 2 t h ( y ( t ) + c ) = ( ( a l + a ) d t a 1 a d 2 t ) ( ( ( 】厂( t ) ) 阻+ ( 七n 一七r + r ) y ( ) l + 三 ”( y ) ) ( 七6 y ( t ) ) 2d t + 7 ( y ( t ) ) 柚y ( t ) d w t ) 一a d t h ( y ( t ) 一】，) + a l a d 2 t h ( y ( t ) 一y ) 一a l d t h ( y ( t ) + c ) + a 1 a d 2 t h ( y ( t ) + c ) + ( y ( ) ) ( ( 入】+ a ) d t a 】a d 2 t ) + o ( d t ) 两边同时取期望，然后两边同时除以m ，并令出_ 0 ，得 e ( ( y ( t ) ) + ( 岛a - 七r + r ) y ( ) 】) + 丢e ( ”( y ( ) ) ( 七6 y ( ) ) 2 ) = ( 入1 + m e ( h ( y ( t ) ) 一a e ( h ( y ( t ) 一y ) ) 一x 1 e ( h ( y ( t ) + c ) ) ( 3 7 ) 当t = 0 时，p ( y ( o ) = z ) = 1 ( y ( ) ) i y ( o ) ：。，t - 0 = 妒( z ) ，且有 e ( h 7 ( y ( ) ) i y ( o ) ：z ，仁o ) = e ( h ( y ( 0 ) ) = 妒( z ) ( 3 8 ) 故( 3 7 ) 在t = 0 处可化为 ) 山+ ( k a k r + r ) 叫- 4 - ：妒”( x ) ( k b x ) 2 = ( a l - 4 - 入) 妒( z ) 一, x e ( c p ( x y ) ) 一a 1 e ( 妒( x + c ) ) ，z，0 0 = a 妒( o ) 户( z ) + a 妒7 ( z z ) g ( z ) d z a l 妒( z + z ) c , ( z ) d z ，0，0 3 2 积分一微分方程解的存在性 引入记号； u ( 加妒协7 = 堑裂型，q = 器， 产k ) = 器。间卅序( z 叫靴) d z ) 一品u ( 矿淼z 气( m 厩州名， 方程( 3 6 ) 化为： ( o l + 7 z ) 让( z ) + z 2 u ( z ) = ，( ”) ( z ) ，( 3 9 ) 17 湖北大学硕士学位论文 解微分方程( 3 9 ) 得 u ( z ) = e a z x - y ( 卢似b ) y y - 2 e - a y d y ) ( 3 1 0 ) 引理3 3 对充分小的跏，