（应用数学专业论文）实clifford分析中双超正则函数的积分公式和plemelj公式.pdf

实c l i 怕r d 分析中双超正则函数的c a u c h y 型积分 公式和p l e m e l j 公式 摘要本文第一部分在c l i f f o r d 分析中借助黄沙老师拟置换的思想得到了双超正则函 数的等赞条件，第二部分讨沦了实c l i 孙r d 分析中双超正刑嚣数的c a u c h y 裂拱分公 式和p l e m e l j 公式 关铡 词c l i 肋r d 分析c a u c h y 型积分公式 双超正则硒数p l e m e l j 公式 2 塑韭塑堇杰鲎塑主黧塞圭璺垒篓裹 3 a b 8 t r a c t kt h e 基r s tp a r o f 毛h i sp a p e r r e s o r t i n gt ot 量堇ei d e 8o fq u a s i 一薹) e r m u t a t i o 歉w h i 吐 c r e a t e db ys h ah u a 肛g ，w eg i v et h ee q u i v a | e n tc o n d i t i o no fb i h y p e r m o n o g e n i cf u n c t i o n s t h e n ，i nt h es e e o n dp a r ，w ed i s c u s s 蛆ec a u c h yi n t e g r a lf o r m u l aa n dp l e m e l jf o r m u l af o r t h eb i h y p e r m o n o g e 毛l i ef u n c t i 潍si nr e a lc l i 黝难a n a l y s i s k e y w o r d s ： c l i 踟磁a | l y s i s ；c a u c h yi n t e ；r a lf o r m u l a ；b i 玲p e r m o n o h i c 瓢n c _ t i o n ；p l e m e l jf o r m u l a 河北师范太学硕士研究生学位论文 一引言 硎i ，o 州代数4 。+ 1 ( r ) 魁一个可结合而不可交换的代数结构，创建于上世纪初，实g “，0 r d 分税是研究从实向薰空闽j 到a 。+ l ( r ) 的函数的数学分支，属于高维空间的分析，劐1 9 8 2 年，d o ，o r d 分析作为近代最新的分析分支得以充分的发疑二十多年来，闻国精，黄沙， 岔出u 伽，f r o 札自s ，r 胃口扎，乔玉荚等人研究了g f i ，甜d 分析中正则函数和超正剜函数的性质及 一些边值l 霹题翻【3 】洲引，正则葱数( 又称革演函数) 是在d 打聪e 箨子翡基础上提出来的，它凳复变 函数中解析函数在意维空间的推广，对于它的一些性质也曾披许多学者研究黄沙老师采用拟置换的 手法得到了厩则函数的等价条件f 6 j 0 矿e 礼9 r t 札卵和日l e n z t 肺f e r 研究r 3 中的超芷则函数 f 7 】畛s l e 竹七s s o 扎b 砸链e 帮盯e 豫妞j 靠e r 引入了a i ，钟矗分柝中超正则函数并礤究了它的一 些性质，使g i ，d r d 分析中的函数理论有了进步的发展【9 进而讨论了超正则函数的积分表示 l 。l ，乔玉葵讨论了超正剩函数的遗傻问题f n 】在实和笈g 跣，。r d 分析强f 1 2 l 一书中，黄沙老师 l l 入了双正荆丞数并研究了它的些性质本文燕在诧基础主得到了双麓正刘遁数的e 8 钍c 悬琶积 分公式，利用积分表求式得到了双超正则函数的p f e m e 0 公式，这使得我们对e f i ，。r d 分析中的 函数有了更深入的了解 二预备知识 1 g “，。r d 健数a 时l ( 兄) 设e o = l ，e 1 ，为j 妒+ 1 的标准j e 交基，则a n + l ( 渤怒默e 。= l ，8 l ，； 8 1 8 2 ，e n l e 。；e 1 - - e n 为慕的2 ”维空间，其元索e o ( 有时记作) 为r 卅1 的单位元 g f i ，。砌数。= 譬 e a 。a r ，a = i l ，i 2 ，- 一，该| l i l i 2 氟札 舔 为多熏指标；e a = e ，瑶= 岛l 岛2 e 瑶 定义其基元索的乘法： e ；= 一1 ，t = l ，n ，e t q + 勺e ；= o ，i ，j = l ，n ，i 线性扩充成整个空间的乘法，显然a 时l ( 咒) 是一个可结合非交换的代数，称为实e f i ，d 埘代数， r 时1ca n + l ( r ) ，r “+ 1 孛的元素茁= ( 。o ，l ，z 。) = 。o e o + 芷l e l + + 茁n e n 称为 4 河北蜂范大学硕士磷究生学位论文 且。+ l ( r ) 中的向量冗素 2 g “，o r d 分析 实g 托，d r d 分析研究函数，：qcr “+ 1 4a 。+ 1 ( r ) ，自变量。= z o + z l e l + + z 。 ，( 或( z o ，寥i ，一，。) r “+ 1 ) ，扛) 一扎扣) e ，a 为多重指标，对所有a ，厶杠) ：q _ 戴 为i l + 1 元实值函数 3 。微分算子 实d i r a c 算子( 导数的推广) 和算子：设ncr 叶1 为一区域；，：q 斗a 。+ 1 ( r ) 为 g 1 函数，定义d i r a c 算子如下： w = 参差m ，= 塞鼢 瓦，= 塞玩差，珥，= 塞挚 若d ，扛) = o 在q 上成立，则称，( 岳) 为n 上的左正则函数，简称为正则函数，类似的可 定义右正则嫡数通过运算，右结论td d = d d = 4 a 孔+ l ( r ) 中的一种对合运算和一种分解 定义一种对合运算：a 。 l ( 兄) 一a 时l ( r ) 如下：若茗= 。 e a ，则z = 。且( 一1 ) 吲e a l a i 表示集合中元素的个数一种分解：设z a 。+ 1 ( r ) ，z = 茁a e a 分解，z 可写为z ； 6 + c 。，6 ，c a 。( 戴) 定义群种映射： 或凡= z e a n 显然有 e o = e 0 = 1 p ，q ：a 。+ t ( 月) 斗。( r ) ，p z = 6 ，q z c = z a e a n ( z 叫) = z 锄，v z ，叫a 。+ l ( 置) 塑热塑整查兰塑生塑垄垒兰垡连墨一6 5 ，实超鞭剐函数 修正的d i r a c 箅子：m ，m ，耐，j 谨7 南 膨m 卜玩m ) + 自掣， 蠼m ) = d r m ) + 南譬， 磁他) ：_ f m ) 一七掣， 丽m ) ：_ r m ) 一竽 其中q ，一( q ，n 若一个蠡数，在q 和| z 。= o 上满是肘，= o ，衙写为 f ，2o 则称， 在q 上为左超正则函数( 简称为超正则函数) ，类似可定义右越正则酾数，另外面孑称为 彳的共轭 算予 6 a 。+ l ( r ) 中的第一粪拟置换，第三类拟置换殪其它们的性质 黄沙老师g l 入了第一类拟赣换和第三裳拟置换， 第一类拟嚣换：设a = 允l ， 2 ，- 一，玩 ，o 妄a l 忍2 “札，且他眠i2 l ，2 ，一，1 m n 为任一整数， 称 ， 丽： a m ，m 肖； i g l ，9 2 ，9 + 1 ) ，m 隹a 为第一粪拟置换，其中臻auf m ) ，o f 1 9 2 一 乳+ 1 且而虿丽= l ，m o = = m 称6 耐= 颤丽= = ( 一1 p 为第一类拟置换符号，其中p 表示1 1 ，m l 鸽个数- 第一类拟置换有如下性艇： 1 若而= 露，刚丽= = = a ； 2 若m o ，则瞻一l ； 3 若而 = b ，劐6 谳= 一6 甜； 4 e m e = 6 衙e 丽x 河北师范太学硕士研究生学位论文 第三类拟置换：设，是自然数，d = 危l ，矗2 ，一， ，o l t 鬼曼 n 1 p s ) 是自然数，称马怒j d 的第三类拟嚣换 称 ， i ( 一1 一v p 【l ，s 】，j ； 勺。21 ( 一1 ) s l ，| p 1 ，s j ， ，：j 0 d = 1 为第三类拟鼹按的符号 第三类季鞋麓换的性质 e 3 e d2 j d e d e j 7 。赫尔德条件和赫尔德函数类的一般概念 函数a ( 地钉) = a a ( p ，u ) ，对任意，咎) a n l o q 2 ，都有不等式 i a ( 上l ，u 1 ) 一a ( p 2 ， 2 ) i g l ( p 1 ，u 1 ) 一( 肛2 ， 2 ) l 卢 成立，其中g 和芦( 0 多 1 ) 是正的常数， f ( p 1 ， 1 ) 一( 卢2 ， 2 ) i = “p 1 一p 2 1 2 + i ”1 一副2 1 2 ； 称a ( 胁u ) 在勰l 0 q 2 上满足条 牛日，把满足赫尔德条件的函数集合h q 擞赫尔德函数类，记做 日( 毋q l 舰2 ，声) ，定义其上的范数为| | 川口= g ( ，8 q l a q 2 ) + 日( ，毋n l a q 2 ，国，其中 叫枷斓邪卜。最州。，畿等卷裂，( p t ，) 鼬l 8 n 2 ，( p 1 一1 ) ( ，2 ， 2 ) il p l ，l ，一l p 2 ，u 2 ，i a ( ，。q 1 搠2 ) 2 墨拳a n 。i m ，吼，h ( a n l a q 2 ，卢) 兰双超正则函数的等价条件 n = q l q 2 是敬几量德空闻霆”+ 1 冗。+ 1 中的开区域，l m 冬扎，ls s 礼，用 璐表示在q 中e r 函数的全体， 硌= ，i ，：q a + ，。+ 2 ( 挖) ，( z ，掣) = ，a ( 。，) e a 以 a ( z ，9 ) g ( n ) ，。焱”+ 1 ，掣冗。+ 1 7 河北师范大学硕士研究生学位煎塞 定义1 如果 l 嘭，( z ，f ) = o 【蜂，( 。，9 ) = o 则称，( z ，) 是双超正则的 弓i 理1 设集合卢= e l a = h l ， 2 ，- ， ，) ，1 茎九1 n 2 h r 茎n ) ，r = 8 两n 4 = f 1 ， 2 ，一，b ) ，1s 1 也f db ( z ，) ed 、m l e b z m 悬i 。 令弭= a 则a = 弦，哧= 一螗，所以 嵋，( z ，) a ，且( 。，可) a z 。 = 荨且岩一善等薹咖e b 警 + 等1 ，a ，。( 训) e ( 。) e b 山m m ab 再将第二个和中的c 用a 记，由引理1 上式等于 荨莓( w b 掣薹嘶e 口掣)7 2 lj， + 掣 ，b ( 删) e a m e 口 山m m 口 对第二式取d = a 7 n ) 则a = 可示再记d 为a ，则上式等于 车善卜掣ab u 山0 导杠a 历，。( 删) 一蚤哧w 日半j j = l 。山j 1 ) 川庶日( z ，可) e e b 9 口 喇 1 一 坚 河北师范大学硕士研究生学位论文 从掰霹褥 职，( 茹，笋) 一毳莓( 氅掣一薹暾掣) 螂萝 掰以礁，( 茹，可) = o 簿份予 一薹蠕掣+ 等严嘲哪，卜 莓( 掣一薹螗掣) 一o ，m “ 吲掣一薹啊掣+ 等锄江小她 鄄 疗办，拉( o ，可) 0 茹o 8 厶，b ( z ，奶 9 轧 僦a 一薹啄掣地。 一薹蛹掣+ 等，州 类似壤a 鬈，( 。，f ) 一。等份予男羚两个方程， 证毕 本定理给出了e 托，。州分橱串方程组 噬，红，口) = o 稍商维套间串多个自蹙蟹秘多个 l 弼，( g ，们一。 来知函数方程缱之阏的关系，为霸0 耱，。嘲分析中超正剐函数的性茨珊究偏擞分方程蠲疆建立了 桥梁， 四双超正爨l j 函数的g 。牡e 的黧积分公式 引瑗2 i 1 0 1 设n ( r ，1 一 茹一 。，z 1 ，。) l 搿。 o ) 为一有界开集，匿cn ，8 嚣是霹微 的，紧致豹，哥定向的，五i 雄m 辩d 口曲面，骜，在q 上蹙超正则霸数，且秽劐 l o 彩 鼍| a b l 嚣 耐 ，illtlj(1iii_【 河北师范大学硕士研究生学位论文 其中 m ) = 等( z 啡觑m ) z 脚朋d 而) 厢) 脚剐= f 籍筹矛， 劫= 两喾眷， “k + l 是j p ”中单位超球的表面积 定理2 设q ，q ”分别是姹“+ z 。o 和芄蚺 溉so 中的拜集，丑n l ，q 2 分别 是m 十l ，梃+ l 维链，两cq7 ，砺cn ”，若妒( 茹，”) 在q q ”内是双超正则函数，且 茹n i ，暂q 2 ，则 妒( 搿，秽) = a 厶脚魁。) 如。妒( 刖) d 取) 一a 厶吣溉z ( 力唑缈曼垃嫉) 一a 。 ( 芦，o ) d 。- 0 ( 弘) 妒( p ， ) d 铀( 口) e ；( 计，) j 撇l 8 n 2 + a 厶。斓。髫) d 锄( 弘) 唑型璺盟慨( 喇) ， 其中 、一2 ”一1 。鬻一1 2 h 9 2 q 酶厕一若糯，( f 一竞) 脚一d 黔， 河北师范大学硕士研究生学位论文 定义如下：首先基元素自= e ；，i = o ，1 ，2 ，一，m 一1 ，蠢= e “，d r d 空间v 定义如下：首先基元素3 58 t ，i 。o ，1 ，2 线性扩充到整个c f f i ，o r d 空间 证明： 因上式右端为 e 。，然后线性扩充到整个 七一l ，钆= 一，然后 a 上n ，( 肛，z ) d a 。( 肛) 上。 妒( 肛，”) d c r o ( ”) 既( ”，) 一划坐g 生慨( w ，可) ) 一az 。( 舭) d 醌) 卜西) 慨( ”) 风( 哪) 一 掣慨( 剐) ) 由妒( 儿u ) 是双超正则函数，即孵妒( p ， ) = o ，嵋妒( “，u ) = o ，得 等川池州州悯沪掣掣m 川 刊m 车壁f 卜西) 慨( 。) 甄( ) u + l j a n 2l 上式可变形为 2 m1 z 篇一1 u m + 1 e 1 m ( p ，z ) d 盯o ( p ) 妒( ，y ) u m + l ( p ，z ) 赢( p ) 妒再y ) 又由磁妒， ) = o ，可得上式右端= 妒( 。，) 证毕 五双超正则函数的p f e m e f 7 公式 定义2 积分 m ，t 2 ) = a 以n 舯n ：( 肛，t 1 ) d 印( 肛) 妒( 刚) d ( ) 毋( 口，2 ， a 厶。概( 肛，t ) d 。( 卢) 唑丝曼型慨( ”，。) a 一 w 。( p ，t 1 ) d 盯o ( 卢) 妒( p ， ) d 盯o ( 口) 。酞( ，t 2 ) j a n l a n 2 十ak ( 川痂z ) 幽地( 州z ) 1 2 t 1 一 河北师范大学硕士研究生学位论文 称为在a n l a n 2 上的奇异积分 其中a ，局( p ，t 1 ) ，尬( 弘，t 1 ) 如定理2 所述 定义3 若溉州t ，t 。) 一，其中 ( l ，t 2 ) = a z n 。a m 一沁i ( 芦，t t ) 矗印( 肛) 妒缸，口) d 舶扣) ( ，如) a ，一。殴。( 弘， 1 ) d 酽。( 弘) 妒( p ，目) 如o ( 口) 弧( 口，t 2 ) j 8 n 1 a n 2 一 5 、_ - 一、，一 一az 吣m k ( 川d 醌) 妒面蚓”) 段( ”，如) ， 一一 十a 且磊。( 弘，1 ) d 锄( 越) 妒( p ，钉) d ( 哲) a 颤( 钉，t 2 ) j 8 n l 0 n 2 一a d 、，一、7 则称j 为奇募积分蛉拇霞主德，记，= 妒( t l ，2 ) 薯| 理3 f 1 1 l 设n ，k ，a 如引理2 所述，则有 攀( z 坼瑚州妒z 耳批瑚d 雨) = 妊 引理4 【1 l l 设q ，8 k 如l 璎2 所述，划当毋耳，蠢 等( 上k 酢川酢) 一五耳脚川d 乖) ) = ； 定理3 若妒( “，廿) 日( 0 q 1 秽n 2 ，国，剥奇异积分存在拇鼹主值，强 ( 丸2 ) = 一；妒t 2 ) 十x l 2 ) + 拖t 2 ) 十弱( 圮t 2 ) + 五( 圮t 2 ) + ；( b 妒十岛妒) 一pj ( q - 妒+ q 。妒) 一 十 k 碰 箩 笋 塑! ! 堑蕊盎堂塑主塑塞生堂焦整塞 1 4 且 其中 一a z 。，枷。( p ) 帆砂t ( 刚) 如。甄( u 沌) = 一a z n ，。e m ( 芦，t z ) 矗唧妒。( 刚) $ 地( u ，t z ) = a z 吣t ) 藏咖。) d 盯。取( u 沌) ， = a 以叭( p ，。z ) d 唧妒4 ( 刚) e 慨( u 愚) 妒l ( p ， ) 桊妒( 芦，u ) 一妒( p ，t 2 ) 妒( l ， ) + 妒( 吉l ，t 2 ) 妒2 ( 弘，钌)= 妒( p ，”) 一妒( p ，t 2 ) 一妒( t l ，u ) + 妒( t l ，屯) 、- - 、，一、，一 妒3 ( p ， )尝妒( 肛，u ) 一妒( 肛，t 2 ) 一妒( t h u ) 十妒( t 1 ，z 2 ) 咖( 肛，”)= 妒( 弘，u ) 一妒( ，2 ) 妒( 1 ，u ) 十妒( h t 2 ) 、v 。_ 一、_ _ v _ _ ， 蜀妒= 2 a t 厶；( 州t ) 鲰妒。) 玛妒= 2 a 2 z 妒( 九u ) 如t ，取( ”，2 ) q t 妒= 嘲- z 。( 删玩妒瓣。) q ：妒2 蝴。互。：避型b 慨z ) ， 河北师范大学硕士研究生学位论文 证明： l 已 其中 a 篇a l a 2 ，a i 4 也= 忑+ t = l 2 m 一1 z 爱一1 a 。：生型 u + l e ( “，t 】) d 口“妒( t l ，t 2 ) d 吼( u ，t 2 ) d e 。( p ，t 1 ) d q ；矽l ( p ， ) d e k ( 一 ， 32 a 五。扰卜k ( 鼬) 峨慨却，。z ) 一妒( f 1 。) 汹。甄( 钉，。z ) 瓦= a 以n 删n 2 - 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