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硕士论文基于d m d 的全息显示系统的研究 摘要 全息显示是激光全息领域的一个非常活跃的分支，全息显示能表现出与真实 物体样的深度和视差，被认为是理想的三维显示。但是传统的光学全息由波阵 面记录与重现两个独立的过程构成，因此无法实现全息显示的动态性和实时眭， 又由于光全息技术要求具有高度相干性及高强度的光源、非常稳定的光学系统以 及需要采用胶片作为记录介质，因此限制了它们的应用范围，特别是限制了在动 态显示中的应用。 随着电子计算机技术与计算技术的迅速发展，它们与全息技术相结合，相继 产生了计算全息和数字全息技术。计算全息是利用计算机来生成全息图，它不要 求物体的实际存在，只需要把物光波的数学描述输入到计算机处理后，用成图设 备绘制出全息图，然后用光学的方法重现。本文介绍了光学全息的基本原理、菲 涅耳全息图和傅里叶变换全息图的计算机生成及重现，应用分数傅里叶变换，给 出单透镜分数傅里叶变换全息图的模拟和重现结果。本文使用自建的全息显示系 统，把计算全息条纹直接加载到空间光调制器上调制入射光波，形成所需要的波 阵面，重现物体的像。 全息显示系统的设计中的一个核心部件是空间光调制器，根据全息显示的技 术要求，要对空间光调制器有所选择。本文采用的数字微反射镜装置( d m d ) 是美 国德州仪器( t i ) 公司的专利产品，是近年来发展起来的微电子机械( m e m s ) 领域的 最新研究成果。与常见的液晶显示器( l c d ) 空间光调制器相比，d m d 用在全息中具 有更高光能利用率、更多灰阶和更大的像素分辨率，因而更适用于全息显示。本 文研究t d m d 空间光调制器的结构和工作原理，分析了d m d 相位调制的光学特性， 研究了d m d 的光学反射衍射混合特性，探讨了d i l l 3 的作为闪耀光栅的光学调制特 性。把d m d 作为单独的元件，使用自建的光路，研制出了使用d m d 作为空间光调制 器的全息显示系统，把计算所得的菲涅耳全息图，傅里叶变换全息图和分数傅里 叶变换全息图加载到系统上进行实验，给出了实验结果和分析。 论文中具体完成了以下工作： l 、应用分数傅里叶变换，讨论了分数傅罩叶变换计算全息的方法。给出了单透 镜分数傅里叶变换全息图的计算机模拟及再现结果。 硕士论文基于d m d 的全息硅示系统的研究 2 、分析了d m d 的光学特性，研究了d m d 的光学反射衍射混合特性，讨论了d m d 作为闪耀光栅的光学特性。 3 、用d m d 作为空间光调制器实现了全息显示系统的设计。把计算所得的菲涅耳 全息图、傅里叶变换全息图和分数傅里叶变换全息图加载到系统上进行实验， 并给出了结果。 关键词：菲涅耳衍射：计算全息；分数傅里叶变换全息图：数字微反射镜装置 硕士论文基于d m d 的全息显示系统的研究 a b s t r a c t h o l o g r a p h i cd i s p l a yi s am u c ha c t i v eb r a n c hi nl a s e rh o l o g r a p h ya r e a s ，i ti s c o n s i d e r e da ni d e a l3 - dd i s p l a yb e c a u s ei tc a ne x h i b i tt h ed e e p sa n dp a r a l l a xt h es a m e a sr e a lo b j e c t s i ti si m p o s s i b l et or e a l i z ed y n a m i ca n dr e a l - t i m ed i s p l a yf o rt y p i c a l l y o p t i c a lh o l o g r a p h yw h e r et h e r ea r et w oi n d e p e n d e n c ec o u r s e so fo p t i c a lh o l o g r a p h i c r e c o r d i n ga n do p t i c a lh o l o g r a p h i cd i s p l a y o p t i c a lh o l o g r a p h yn e e d sh i g hc o h e r e n t a n dh i g hi n t e n s i t ys o u r c e ，v e r ys t a b l eo p t i c a ls y s t e ma n dn e e d sf i l m sa sar e c o r d i n g m e d i u m ，t h u sl i m i t st h e i ra p p l i e da r e ae s p e c i a l l yi nd y n a m i cd i s p l a y a l o n gw i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to ft h ee l e c t r o n i cc o m p u t e rt e c h n o l o g ya n d c o m p u t i n gt e c h n o l o g y ，t h e yc o m b i n e dw i t hh o l o g r a p h ya n dt h u sp r o d u c e dc o m p u t e r g e n e r a t e dh o l o g r a ma n dd i g i t a lh o l o g r a p h yo n ea f t e ra n o t h e r c o m p u t e rg e n e r a t e d h o l o g r a mu s e sc o m p u t e rt og e n e r a t eh o l o g r a m ，i td o e sn o tr e q u i r et h eo b j e c t sr e a l e x i s tb u tn e e dm a t h e m a t i cd e s c r i p t i o no fo b j e c tw a v et oi n p u ti n t oc o m p u t e rt o p r o c e s s ，t or e n d e rh o l o g r a ma n dt h e nr e c o n s t r u c t sw i t ho p t i c a lm e t h o d t h i st h e s i s a d d r e s s e sf u n d a m e n t a lp r i n c i p l eo fo p t i c a lh o l o g r a p h y ，c o m p u t e rs i m u l a t i o na n d r e c o n s t r u c t i o no ff r e s n e la n df o u r i e rh o l o g r a m ，a p p l i e sf r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r m a n dp r e s e n t ss i m u l a t i o na n dr e c o n s t r u c t i o nr e s u l to fs i n g l e l e n sf r a c t i o n a lf o u r i e r t r a n s f o r mh o l o g r a m t h i st h e s i sl o a d sc o m p u t e rg e n e r a t e dh o l o g r a mt os p a t i a ll i g h t m o d u l a t o rt om o d u l a t ei n c i d e n tl i g h td i r e c t l ya n dr e c o n s t r u c t so b j e c t si m a g e sw i t h s e l f - b u i l dh o l o g r a p h i cd i s p l a ys y s t e m ac o r ec o m p o n e n ti nh o l o g r a p h i cd i s p l a ys y s t e md e s i g ni sas p a t i a ll i g h t m o d u l a t o r i tm u s tc h o o s es p a t i a ll i g h tm o d u l a t o ra c c o r d i n gt oh o l o g r a p h i ct e c h n i c a l r e q u i r e m e n t s t h i st h e s i su s e sd i g i t a lm i c r o m i r r o rd e v i c e ( d m d ) a sas p a t i a ll i g h t m o d u l a t o r d m di sap a t e n tp r o d u c t i o no ft e x a si n s t r u m e n t sc o r p o r a t e ( t i ) o f a m e r i c a i ti sal a t e s tr e s e a r c hp r o d u c t i o ni nm i c r oe l e c t r om e c h a n i c a ls y s t e m s ( m e m s ) t h a td e v e l o p e di nr e c e n ty e a r s c o m p a r i n gw i t hf a m i l i a rl c ds p a t i a ll i g h t m o d u l a t o r ，d m dh a sh i g h e rl i g h te n e r g yu t i l i t y ，m o r eg r a y s c a l ea n dg r e a t e rp i x e l r e s o l u t i o n ，a n di ti sm o r es u i t a b l ef o rh o l o g r a p h i cd i s p l a y t h i st h e s i ss t u d i e st h e n l 硕士论文基于d m d 的全息显示系统的研究 s t r u c t u r ea n dw o r k i n g p r i n c i p l eo fd m d ，a n a l y s e sd m d so p t i c a lc h a r a c t e ro fp h a s e m o d u l a t i o n ，s t u d i e sd m d sr e f l e c t i o na n dd i f f r a c t i o nc h a r a c t e ra n dd i s c u s s e so p t i c a l c h a r a c t e ra sab l a z e dg r a t i n go fd m d t h i st h e s i sd e v e l o p sah o l o g r a p h i cd i s p l a y s y s t e mb a s e do nd m da sas p a t i a ll i g h tm o d u l a t o r ；l o a d sc o m p u t e rg e n e r a t e df r e s n e i h o l o g r a m ，f o u r i e rt r a n s f o r mh o l o g r a ma n df r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r mh o l o g r a mt o e x p e r i m e n t ，p r e s e n t sa n da n a l y z e st h er e s u l t s t h e t o p i c sw eh a v et a c k l e da r ea st h ef o l l o w i n g ， 1 a p p l i e sf r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r mt od i s c u s sam e t h o do ff r a c t i o n a lf o u r i e r t r a n s f o r mh o l o g r a m p r e s e n t sc o m p u t e rs i m u l a t i o na n dr e c o n s t r u c t i o nr e s u l t o fs i n g l e l e n sf r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r mh o l o g r a m 2 a n a l y s e sd m d so p t i c a lc h a r a c t e gs t u d i e sd m d sr e f l e c t i o na n dd i f f r a c t i o n c h a r a c t e ra n dd i s c u s s e so p t i c a lc h a r a c t e ra sab l a z e dg r a t i n go f d m d 3 t h eh o l o g r a p h i cd i s p l a ys y s t e mi ss e tu pu s i n gd m da st h es p a t i a ll i g h t m o d u l a t o r l o a d sc o m p u t e rg e n e r a t e df r e s n e lh o l o g r a m ；f o u r i e rt r a n s f o r m h o l o g r a ma n df r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r mh o l o g r a mt oe x p e r i m e n ta n d p r e s e n tt h er e s u l t s k e y w o r d s ：f r e s n e ld i f f r a c t i o n ；c o m p u t e rg e n e r a t e dh o l o g r a m ( c g h ) ；f r a c t i o n a l f o u r i e rt r a n s f o r mh o l o g r a m ；d i g i t a lm i c r o m i r r o rd e v i c e ( d m d ) 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得注 鼓夫窖或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 _ 1叶 学位论文作者签名：5 钆亍互：签字日期：a 彳年当月2 0 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盘 薮火芒有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授硅饭夫萄以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印，缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：弓殳于玄 导师签名： 苇3 建厂 签字日期：a 肋年5 月2 。日签字日期：2 启巾毛) 年，月叫日 学位论文作者毕业去向：f 工作单位：电话： 通讯地址：邮编： 硕士论文 基于d m d 的全息显示系统的研究 第一章引言 1 1 研究的背景与目的 人类获得的信息约8 0 来自视觉，显示技术的研究对信息的表达和理解具有 重要的意义。目前表达可视信息的主要手段是二维的，包括图纸、显示屏等。二 维图像的显示技术虽然在多方面满足了人们的需要，但由于缺乏临场感，自然界 的真三维特征无法重现。用二维表现三维物体时必须做投影，在投影中失去了很 多的三维信息。用照相机和c c d 摄像机获取的图像信息，只记录了表示物体明暗 的强度，无法记录表示物体深度的相位。虽然人们采用了各种方法来增加图形的 真实感，在计算机图形学中采用了消除隐藏线( 面) 、明暗、阴影处理等技术，这 些技术产生了一定的三维效果，但并不是包括全部深度感的真三维图像。计算机 图形只能生成平面图像，虽然能绘制“三维图像”，人类视觉系统看到的仍然是 平面像素。1 9 世纪中叶，照相技术的发明使得人们对三维显示技术有了研究， 主要有体视镜、视差挡板、集成照相、投影式三维显示，但这些技术只能提供全 部深度感中的一种或几种，不是真正的三维显示技术。真正的三维显示技术应该 提供全部深度感，全息术就是这样的一种技术。 全息术最初是由英国科学家丹尼斯盖伯( d e n n i sg a b o r ) 于1 9 4 8 年为提高 电子显微镜分辨率，在布喇格( b r a g g ) 和泽尼克( z e r n i k e ) 工作基础上提出的“1 。 但是由于这种技术要求高度相干性及高强度的光源而一度发展缓慢，直到1 9 6 0 年第一台激光器问世，解决了相干光源的问题，继而在1 9 6 2 年美国科学家利思 ( l e i t h ) 和乌帕特尼克斯( u p a t n i e k s ) 提出了离轴全息图以后，全息技术的研究刁 获得了突飞猛进的发展，并越来越为人们所重视。4 0 多年来，全息术的发展经 历了四个阶段。全息技术的研究日趋广泛深入，逐渐开辟了全息应用的新领域， 成为近代光学的个重要分支。 随着计算机技术的发展，计算机在各个领域的应用已经越来越广泛。计算机 技术与光全息术相结合开辟了许多新的研究领域，如计算全息，计算云纹，数字 全息等，计算机的应用推动了光学全息的发展。计算全息( c o m p u t e rg e n e r a t e d h o l o g r a m ：c g h ) 就是计算机技术与全息术相结合的全息图制作的一种新技术。计 算全息是利用计算机来综合全息图，用计算机的数值计算代替物理干涉，它不要 硕士论文 基于d m d 的全息显不系统的研冗 求物体的实际存在，只需要知道物光波的数学描述即可。计算全息始于1 9 6 5 年， 最早由k o z m a 和k e l l y 提出。b r o w n 和l o h m a n n 等人把通讯理论中的抽样定理应用到 空间滤波器的计算机合成中，奠定了计算全息技术的理论基础”3 ，并于1 9 6 6 年做 出了世界上第一张二维计算全息图。计算全息图的制作和再现主要分为以下几个 步骤：1 t 抽样：得到物体或波面在离散样点上的值；2 计算：计算物光波在全息 平面上的光场分布：3 编码：把全息平面上光波的复振幅分布编码为全息图的透 过率变化；4 成图：在计算机控制下，将全息图的透过率变化在成图设备上成图。 如果成图设备的分辨率不够，再经过光学缩版得到实用的全息图：5 再现：计算 全息图的再现过程本质上与光学全息图的再现没有区别。计算全息与传统光学全 息相比有很多独特的优点，如低噪音、高重复性、可记录世间不存在的物体的图 像。计算全息可按要求实现对波阵面的灵活、细微的调制能力，这是未来光信息 处理系统的必然要求，也是计算全息技术最具有优势的地方”3 。 计算全息条纹通过空间光调制器( s p a t i a ll i g h tm o d u l a t o r ：s l m ) 调制入射 光，形成所需要的三维场景。实时、高速、高带宽积的s l m 面临挑战，有待开发， 主要原因来自于大数据量的条纹样本。目前用于动态显示的空间光调制器主要有 液晶显示器( l c d ) 、声光调制器( a o m ) 和数字微反射镜装置( d m d ) 等”“1 。 数字微反射镜装置( d i g i t a lm i c r o m i r r o rd e v i c e ：d m d ) 是美国德克萨斯州 仪器公司( t i ) 的专利产品，是近年来发展起来的微电子机械( m e m s ) 领域的最新研 究成果。d m d 被研制出来之后，t i 公司一直在寻找和扩大它的用途。目前已经报 道的d m d 主要被用在投影仪上，t i 公司还专门为使用d m d 作为空间光调制器的投影 仪产品注册了项专利，注册商标为d l p l ，b p d i g i t a ll i g h tp r o c e s s i n g ，中文 翻译为数字光处理。除了此项最主要的用途之外，t i 公司还给出了d m d 可以在印 刷产业中作硬拷贝用；可以用于制作新型显示器和扫描仪；另外，许多光学信息 处理的研究人员也提出了许多d m d 在科研上的用途，当然也包括把d m d 用在全息摄 影中。与常见的液晶空问光调制器相比，d m d 具有更高光能利用率、更多灰阶和 更高的像素分辨率，本文采用d m d 作为空间光调制器来建立全息显示系统。 1 2 国内外研究现状 近年来，计算机技术和微电子技术的迅猛发展，给动态全息显示带来了希望。 硕士论文基于d m d 的全息显示系统的研究 世界上几个先进国家开始对这一领域进行研究，取得了一些进展，但也面临挑战。 2 0 0 0 年，在美国召开的“c r i t i c a lt e c h n o l o g i e sf o rt h ef u t u r eo f c o m p u t i n g ” 专题会议上，c d c a m e r o n 等科学家发表了题为“c o m p u t a t i o n a le h a l l e n g e so f e m e r g i n gn o v e lt r u e3 dh o l o g r a p h i cd i s p l a y s ”的报告，提出了真三维全息 显示和具有三维感的图像显示的挑战性及重要性”3 。 从国外在该领域的研究情况看，1 9 9 0 年美国麻省理工学院( m i t ) 媒体实验室 以s a b e n t o n 为首的空间成像小组利用全息视频技术，在美国a r p a ( a d v a n c e d r e s e a r c hp r o j e c ta g e n c y ) 、n s f ( n a t i o n a ls c i e n c ef o u n d a t i o n ) 和i b m 、n e c 、 k o d a r 、i n t e l 、p h i l i p s 、s u n 、m i c r o s o f t 等世界著名企业和组织的大力资助下， 取得了突破性的进展”1 ，于1 9 9 0 年首次生成t 3 0 m m x3 0 m m 3 0 m m 的实时、具有水 平视差的三维全息图；1 9 9 2 年又生成了1 5 0 m m 7 5 m m x1 6 0 m m 真彩的实时、三维全 息图像；1 9 9 4 年以后，m a r kl u c e n t e 研究的快速算法对三维全息图的带宽进行了 压缩，使得三维显示实时性更强。在美国底特律1 9 9 9 汽车展览会上，z e b r a 公司 为福特汽车公司制造了一个以光聚合物作为全息底板的1 6 英尺4 英尺( 4 8 8 m 1 2 3 m ) ，真彩色，全视差，大视角的目前世界上最大的全息图。评论指出z e b r a 公司己完全掌握了制造大幅面真彩色全息图的技术，可从任意角度观看到。全息 图具有全视差，弯腰看到图像底部，站高看到顶部。z e b r a 公司全息图工艺大大 超过了传统的全息图工艺，这种具有深度和真彩色的全息图在贸易展览，户外广 告，汽车广告，橱窗广告等方面有无穷尽的应用前景。2 0 0 0 年，m i t 和日本大坂 城市大学相继研究出实时的三维全息空间成像系统”3 。2 0 0 0 年波兰华沙大学 s u t k o w s k i m 、k n j a w i n s k a m 以数字全息概念开展了用高分辨率液晶二维c c d 和高 精度距离选通技术直接获取物体的灰度和相位信息的研究。近几年来，美国华盛 顿大学h i t 实验室发展利用低功率激光器，通过视网膜显示器，使形成图像的激 光束能直接被人的视网膜接收到，以达到使人能在空间直接观察到高亮度三维图 像的目的，并在航空、军事等领域得到重要应用。瑞士洛桑大学在全息显微领域 作了大量的工作，基于菲涅耳衍射，采用数字全息重构方法显示了细胞变化的三 维图像“”。日本、韩国等科研人员通过c c d 获取物体系列视差投影图像，采用全 息图综合方法生成具有三维感的全息图像。全息电视的研究在国外也悄然进行， 已能显示静态或动画图像“。 从国内研究情况看，对于动态全息显示的研究甚少。国内研究机构在研究动 硕士论文基于d m d 的全息显示系统的研究 态全息时显示，所选择的空间光调制器大都是液晶制品，如厦门大学物理系利用 液晶光阀显示了静态的二维全息图像。苏州大学现代光学研究所对数字全息进行 了研究，并通过激光刻蚀技术，用在新材料上生成特定图像的特定基元全息光栅 的方法，衍射生成三维全息图像。上海光机所等院所在x 光衍射方面开展了研究 工作，通过x 光全息，研究材料的结构。最近也有学者注意到数字微反射镜装置 d m d ，并把它用在光学信息处理中，但许多研究人员都把d m d 用在全息记录过程， 中国海洋大学把d m d 用在了数字合成激光全息系统的设计中。 1 3 论文的内容和结构 本文的主要工作是利用美国德州仪器( t i ) 公司的专利产品d m d 作为空间光 调制器，把计算所得到的菲涅耳全息图、傅里叶变换全息图、分数傅里叶变换全 息图加载到d m d 上，使用自建的光路系统，实现全息显示。在光的标量衍射理论 部分，由瑞利一索末菲衍射公式推导出菲涅耳衍射和夫琅和费衍射公式。对光的 菲涅耳衍射和夫琅和费衍射公式采用离散化处理，给出了数值计算公式。利用图 形方式直观显示了菲涅耳衍射和夫琅和费衍射的特性，实现了光的衍射这一物理 现象的可视化，显示了数字模拟方法的优越性，从而更好的理解光的衍射特性。 接着，在全息基本原理中，首先介绍光学全息原理；接着介绍计算全息，给出菲 涅耳全息图和傅里叶变换全息图的计算机生成及数字重现，介绍了分数傅里叶变 换全息图，并对单透镜分数傅里叶变换全息图进行了计算机模拟及数字重现。最 后，介绍了d m d 的结构和工作原理，解释了d m d 相位调制的光学特性；把d m d 作为空间光调制器，建立了全息显示系统；把计算所得全息图加载到d m d 上进行 实验，给出了实验结果和分析。 全文共分六章，各章内容如下： 第一章引言。介绍本论文的研究背景和研究目的、国内外研究现状以及本文 的内容和结构。 第二章光的标量衍射理论。介绍了光的传播特性，由瑞利一索末菲衍射公式 推导出菲涅耳近似条件和夫琅和费近似条件，得到菲涅耳衍射公式和夫琅和费衍 射公式。同时，以光线通过矩形孔径传播为例，对菲涅耳衍射与夫琅和费衍射的 复光场分布进行了数值模拟，以图形方式给出了结果。 硕士论文 基于d m d 的全息显示系统的研究 第三章全息基本原理。本章介绍光全息的基本原理，菲涅耳全息图和傅里叶 变换全息图的计算机模拟及数字重现以及分数傅里叶变换全息的基本原理，并给 出了单透镜分数傅里叶变换全息图的计算机模拟及数字重现。 第四章数字微反射镜装置( d m d ) 。详细介绍了数字微反射镜装置( d m d ) 的基本 结构和投影工作原理，解释了d m d 相位调制的光学特性。 第五章基于d m d 的全息显示系统。本章介绍我们研究小组用d m d 建立的显示 系统，并把用不同方法计算的全息图加载到系统上进行实验，给出了实验结果。 第六章总结与展望。本章是对本论文的总结和对未来研究工作的展望。 硕士论文基于d m d 的全息显示系统的研觅 第二章光的标量衍射理论 光的传播是光学研究的基本问题之一，也是光能够记录、储存、处理和传送 信息的基础。几何光学的基本定律光沿直线传播，是光的波动理论的近似。作 为电磁波的光的传播要用衍射理论才能准确说明。索末菲( s o m m e r f e d ) 把 ； ：亍射定 义为：不能用反射或折射来解释的光线对直线光路的任何偏离。衍射是光传播过 程的普遍属性，是光具有波动性的表现。光波是矢量波，要精确解决光的衍射问 题，必须考虑光波的矢量性，但是用矢量波处理衍射过程非常复杂。基尔霍夫 ( k i r c h h o f f ) 的标量衍射理论的主要简化和近似，是把光作为标量来处理，即只 研究电磁场的一个横向分量的复振幅，并假定任何别的分量都可以用同样的方法 独立处理。而实际上电磁场矢量的各个分量通过麦克斯韦方程组联系在起，不 能单独处理。研究表明，只要满足两个条件，即衍射孔径比波长大很多，观察点 离衍射孔径不要太近，标量理论可以得到满意的结果。我们讨论的大多数问题， 这两个条件是能够满足的。当然也确实存在些很有实际意义的情况，不能满足 以上两个条件，这就必须把光场作为矢量场来考虑，才能得到准确的结果。本文 只讨论光的标量衍射理论。 经典的标量衍射理论最初是于1 6 7 8 年由惠更斯( h u y g e n s ) 提出的。1 8 1 8 年 菲涅耳( f r e s n e l ) 引入干涉的概念补充了惠更斯原理。1 8 8 2 年基尔霍夫从波动的 微分方程出发，利用场论中的格林( g r e e n ) 函数作了理论推导，找到更精确的数 学公式，并指出惠更斯一菲涅耳( h u y g e n s f r e s n e l ) 原理的近似条件。基尔霍夫衍 射公式可以给出与实际符合的很好的结果，因而在实际中得到广泛的应用。然而 从理论上讲，这个公式有着内在的理论上的不一致性。索末菲选择了与基尔霍夫 不同的格林函数，克服了基尔霍夫边界条件自身的矛盾，得出瑞利一索末菲 ( r a y e i g h s o m m e r f e l d ) 衍射公式。基尔霍夫衍射公式和瑞利一索末菲衍射公式 都是比较一般的公式，数学运算非常复杂。在实际应用中，常对这些理论作某些 近似。按不同的近似条件，可分为菲涅耳近似和夫琅和费( f r a u n h o f e r ) 近似。 为了更好地理解、说明全息成像的原理，本章以光的菲涅耳衍射和夫琅和费 衍射为例，对光的菲涅耳衍射和夫琅和费衍射公式采用离散化处理，在数值计算 的基础上，利用图形方式直观显示了菲涅耳衍射和夫琅和费衍射的特性。 硕士论文 基于d m d 的全息显示系统的研究 2 1 瑞利一索末菲衍射公式 瑞利一索末菲( r a y l e i g h s o m m e r f e l d ) 衍射公式具有下述形式“： “( q ) ：皂e x p k ( s + r ) c 。s ( n , r ) d e ( 21 ) l g 。s 式中各量可参考图2 - 1 ，图中s 为照明光源，0 为衍射物，日为观察平面，q 为 观察平面上的任一观察点，该点光振动复振幅用u ( q ) 表示：p 为衍射物上任意 一点，有s p = s 和p q = r ；( n ，r ) 是s 和r 方向之间的夹角，即在p 点入射波方 向和衍射波方向之间的夹角曰。c o s ( n ，) 则表示倾斜因子，是衍射物的开孔。 图2 - 1 光线传播示意图 如果在开孔处放置一个透射系数为r ( x 。，y 。) 的衍射物0 ，那么入射光通过 衍射物后的光场为： o ( x o , y o ) ：e oe x p ( j k s ) r ( x o , y o ) ( 2 - 2 ) 这个公式可以理解为照明光波与透射系数的乘积等于衍射物的光场。如果将式 ( 2 - 1 ) 中的倾斜因子表示为c o s ( n ，r ) = z 0 ，则式( 2 1 ) 可以写成： 吣= 击驴砒) 等掣蚺。 ( 2 - s ) 这就是瑞利一索末菲衍射公式的一种形式。它带有倾斜因子，可用于大衍射角的 情况。 式( 2 - 3 ) 中的，均可以用下述坐标表示： ，= z ；+ ( x x o ) 2 + ( y y o ) 2 们 ( 2 4 ) 硕士论文基于d m d 的全息显示系统的研究 如果衍射角较小，倾斜因子的影响可以忽略，则式( 2 1 ) 变为 。( 训) ：去f f o ( x 。，) 型砒( 2 - 5 ) ，以。r 这就是早期的惠更斯一菲涅耳( h u y g e n s f r e s n e l ) 衍射公式。 2 2 衍射区的划分 通常将光的衍射分为三种类型：瑞利一索末菲衍射、菲涅耳衍射和夫琅和费 衍射。三个衍射区的划分如图2 2 所示。光通过衍射物以后的区域均可以称为瑞 利一索末菲衍射区。在紧靠孔径后的平面上，光场分布基本上与孑l 径的形状相同， 这个区域称为几何投影区域；随着传播距离的增加，衍射图样与孔径的相似性逐 渐消失，衍射图的中心产生亮暗变化，从这个区域开始到无穷远处，均称为菲涅 耳衍射区；当传播距离进一步增加，这时衍射图样的相对强度关系不再改变，只 是衍射图的尺寸随距离的增加而变大，幅度随之降低，这个区域称为夫琅和费衍 射区。夫琅和费衍射区包含在菲涅耳衍射区内，通常不太确切地把前者称为远场 衍射，后者称为近场衍射。 图2 - 2 衍射区的划分 将式( 2 - 4 ) 代入式( 2 - 3 ) 中，就可以得到在索末菲衍射区的衍射公式： 吣= 嚣。执，掣黧等浅罱芈砒e ， 表示在衍射场中一点q ( x ，y ) 的复振幅是物体复振幅与另一函数的卷积。用这个 公式计算是很复杂的。 硕士论文基于d m d 的全息显示系统的研觅 2 3 菲涅耳衍射和夫琅和费衍射 基尔霍夫衍射公式和瑞利一索末菲衍射公式都是比较一般的，用它们来进行 计算，数学上是非常困难的。具有实用意义的是对这些普遍的理论作某些近似， 用所得到的近似公式计算定范围内的衍射光场的分布，数学运算便简单的多， 而且这些近似又是实际问题所允许的。按照近似条件不同，分为菲涅耳近似和夫 琅和费近似。 2 3 1 菲涅耳衍射公式 将r 用二项式定理展开： r = 【z j + ( x x o ) 2 + ( y y o ) 2 1 2 z + 虹半丛r ， =z。十量三二!至立：e：zo趔一!生生二兰旦2掣+石z 0 由此可见当x ，y 值为极限值，物体大小一定时，随着z 。的增大，含l 止j 的项变 小，当 ! ! 兰二兰21 ：! 羔二兰! ! ：! ： 旯( 2 - 8 ) 8 三j 时，含1 z ；的项和以上的高次项均可以忽略，就称为菲涅耳近似，满足这个条件 的衍射区称为菲涅耳衍射区。 这时r 有： 。+ 坚麓趔 ：。十垒卫+ 壶监一堕型! ( 2 - 9 ) u 2 z ：2 z ：z ：， 现在研究菲涅耳衍射情况，利用式( 2 9 ) ，并略去常数位相项e x p ( j k z 。) 。式 ( 2 3 ) 写为： 或 m = 两1o ( x o , y o ) e x p 弦堕哇孚= 丛k 砒c z - 9 堡主丝苎苎兰唑堕竺星里! 墨堑旦竺苎一 心：c 舻冼，e x p ，t ( 笋里秀划螂。 式中c ：e x p j k ( x 2 + y 2 ) 2 z 。l j z z 。是一个与( x ，_ y ) 有关的复常量。其中指数部分 说明衍射场的相位变化，也称为二次位相因子，这个二次位相因子并不影响衍射 场的强度分布。式( 2 - 1 0 ) 和式( 2 一儿) 即为菲涅耳衍射公式。 2 3 2 夫琅和费衍射公式 在式( 2 9 ) 中，n 为x c - aq ( x ，y ) 积分时，第一、二两项是常量，如果第三 项与波长相比可以忽略，即满足条件： 生盟 五 2 2 0 ( 2 1 2 ) 时，称为夫琅和费近似。满足这一条件的衍射区称为夫琅和费衍射区。在这种情 形下，式( 2 一1 1 ) 中的平方项消去，成为： 甜c z ，y ，= c f o ( x o , y o ) e x p 一声苎兰旦；竽 出。匆一 e z 一，s ， 注意在式( 2 1 0 ) 、( 2 一i 1 ) 和( 2 - 1 3 ) 中，均略去了一个常数位相因子e x p ( j k z o ) 。 式( 2 - 1 3 ) 即为夫琅和费衍射公式。 在式( 2 - 1 3 ) 中，如果令： x ：f ，二：7 7 ( 2 1 4 ) 姬f ) 2 ( 并假设在衍射物体p 。，y 。) 以外，光场为零，式( 2 1 3 ) 的积分可以扩展到无限， 改写为： “( w ) = c jj o ( x o , y 。) e x p 一j 2 a ( g 扛。+ r y “) d y 。( 2 - 1 5 ) 可见除了一个复常数c 外，夫琅和费衍射场的复振幅分布是衍射物体复振幅 分布的傅里叶( f o u r i e r ) 变换。这样衍射场的强度可写成： 毗州“( x 卅= 砺1 祈 ( 2 1 6 式中： 硕士论文 基于d m d 的全息显示系统的研究 。吒，7 7 ) = o ( x o , y ：，) e x p 一j 2 n ( 参c 。+ 帆) l a x c ，西o ( 2 - 1 7 ) 0 ( 4 ，7 7 )o ( x 。，y 。) 的傅里叶变换。由逆变换知： o ( x o , y 。) = jj p ( ，叩) e x p j 2 e r ( c i 5 ：。+ 秽。) d 4 d , z ( 2 - 1 8 ) 于是在夫琅和费衍射场中，衍射物体和衍射场的光场分布之间的关系即是傅里叶 变换的关系。 2 4 菲涅耳衍射和夫琅和费衍射的数值模拟 本节利用菲涅耳衍射公式和夫琅和费衍射公式，在计算机上用m a t l a b 语言 编程实现光线经过矩形孔径的菲涅耳衍射和夫琅和费衍射的数值模拟。 2 4 1 菲涅耳衍射的数值模拟 用计算机进行处理必须离散，将菲涅耳衍射公式( 2 一i l ) 离散化。设衍射场x ， y 方向总取样点数分别为m ，n ，取样间隔分别为。和。物场x y 。方向 总取样点数分别为r ，s ，取样间隔分别为。和。n n n 4 - 二n 的菲涅耳衍 射公式为： = 嘻弘唧 ，去睁2 蜘m ) 一( m a a x o + n y s a y o ) 其中c = e x p ( j k z 。) e x p j k ( x 2 + y 2 ) 2 z 。 尼o 。 设物平面上有一个不透光的屏，屏上带有一个透光的矩形孔，矩孔的透过率 为1 ，屏上其它点的透过率为0 。即这个屏的透过率为： 贴= 托嚣鼻( 2 - 2 则屏后的透射场】f ，( x ，j ，) 与入射场帆( _ ) f ，_ y ) 的关系为： ( x ，y ) = 妒，( x ，y ) g ( x ，y ) ( 2 2 1 ) 用振幅为1 的单色平面波为入射波照射，则屏后透射场为： v ( x ，y ) = g ( x ，y ) ( 2 2 2 ) 硕士论文 基于d m d 的全息姓1 i 系统的研究 设g ( x ，y ) 为一3 m m x 3 m m 的矩形孔径，单色平面波的波长为五= 6 3 2 8 n m 。 光线传播o 8 m ，物平面和衍射场的取样点都为5 1 2 x 5 1 2 。可以得到z = 0 8 处衍 射场的光强分布如图2 - 4 所示。 图2 - 3 物场的光强分布 图2 4z = 0 8 m 处的光强分布 由于直接积分方法的数据量非常巨大，所以计算速度非常慢。假设物场和衍 射场的取样点都为n x n ，则总算法复杂度为n 4 。所以在实际的运算中很少使用 直接积分法。由于这一原因，常常采用其它的快速算法“3 1 。 2 4 2 夫琅和费衍射的数值模拟 当光场通过孔径的传播距离进一步增加时，衍射图样的相对强度关系不再改 变，只是衍射图的尺寸随距离的增加而变大，幅度随之降低。由夫琅和费衍射公 式( 2 1 3 ) 知，夫琅和费衍射场的复振幅分布是衍射物体复振幅的傅里叶变换。 图2 - 5 为矩形孔径夫琅和费衍射场的光强分布。矩形孔径的大小为 3 m m 3 r a m ，入射光波长为6 3 2 8 r i m ，原始物场和衍射场的取样点数都为 5 】2 x 5 1 2 。 图2 5 矩孔夫琅和费衍射场的光强分布 硕士论文基于d m d 的全息显示系统的研究 第三章全息原理及全息图的生成 普通照相是根据几何光学成像原理，记录下光波的强度( 即振幅) ，将空问物 体成像在一个平面上，由于丢失了光波的相位，因而失去了物体的三维信息。如 果能够记录物光波的振幅和相位，并在一定条件下再现，则以可看到包括物体全 部信息的三维像，即使物体己经移开，仍然可以看到原始物体本身具有的全部现 象，包括三维感觉和视差。利用干涉原理，将物体发出的特定光波以干涉条纹的 形式记录下来，使物光波阵面的全部信息都贮存在记录介质中，故所记录的干涉 条纹图样称为“全息