（计算机应用技术专业论文）基于人类视觉的小波图像编码算法研究.pdf

的构造方法，至此小 编码发展至今，已经 提出了很多经典的图像编码方法。其中s a i d 和p e a r l m a n 提出的层树分集编码算法( s p i h t ) 成为小波内嵌编码算法的通用基准，它以零树结构为基础，利用小波变换分解后相同方 向上不同分辨率的系数之间的强相关性等性质，有效完成嵌入编码。该算法不仅结构简 单，支持多码率，而且具有较高信噪比和较好图像复原质量。但是该算法不仅所需内存 多，不易于硬件实现，而且实验表明，在低比特率下压缩时，复原图像质量较差。本文 研究了小波变换的数学理论基础，针对小波变换后的系数特点，利用了人类对图像的视 觉特性对这一算法进行了改进，以提高在低比特率下编码算法的压缩性能。 本文首先分析短时f o u r i e r 变换的缺点来介绍连续小波变换和离散小波变换，从多 分辨率的分析入手推导了m a l l a t 算法。 其次，研究了小波变换应用于图像压缩的特性，包括小波变换系数的特点，如何对 小波编码技术后的重建图像进行质量评价。 最后，本文分别提出了基于离散小波变换( d w t ) 的灰度图像和彩色图像的静i e 图 像编码算法。对于灰度图像的编码算法，利用了人类视觉系统对图像不同频率的视觉敏 感特性来对小波变换系数进行加权；而对于彩色图像的编码算法，充分考虑了人眼对彩 色图像不同分量的不同敏感性，以及在图像空间中不同分量之间的强烈相关性。分别形 成了相应的模型来对s p i h t 算法进行改进。改进算法的优点在于：给小波变换后不同分 量不同子带小波系数赋予不同的视觉权值，保证优先传输人类视觉较敏感的系数，以求 提高图像复原质量；更充分利用了小波系数的分布特点，进一步去除了码流中的冗余， 提高了编码效率。实验结果表明，所给出方法的重构图像质量均优于传统的s p i h t 方法。 关键词：小波变换；人类视觉；图像编码；s p i h t ；加权 w a v e l e ti m a g e c o d i n ga l g o r i t h mb a s e d o nh u m a nv i s u a l a b s t r a c t m a l l a tp r e s e n t st h ei d e ao fm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s a n du n i t st h ec o n s t r u c t e dw a yo fa l l t h ew a v e l e tf u n c t i o n si n19 8 9 ，s ow a v e l e tt r a n s f o r m ( w t ) i sa p p l i e dw i d e l yi n i m a g e c o m p r e s s i o n f o l l o w i n gd e v e l o p m e n to fi m a g ec o d i n gb a s e do nw t ，m a n yc l a s s i cm e t h o d so f i m a g ec o d i n gh a sb e e np r o p o s e d a m o n gt h e m ，s a i da n dp e a r l m a n ss e tp a r t i t i o n i n gi n h i e r a r c h i c a lt r e e s ( s p i h t ) i sw e l lk n o w nf o ri t s s i m p l i c i t ya n de f f i c i e n c ya so n eo f a l g o r i t h m sb a s e do nw a v e l e tt r a n s f o r i l la n dz e r o t r e eq u a n t i z a t i o n b a s e do nz e r o t r e es t r u c t u r e ， i ti sa ne f f i c i e n te m b e d d e di m a g ec o m p r e s s i o na l g o r i t h m ，u t i l i z i n gc h a r a c t e r i s t i c so fs t r o n g c o r r e l a t i o na m o n gw a v e l e tc o e f f i c i e n t so fd i f f e r e n tr e s o l u t i o n si nt h es a m ed i r e c t i o n b u tt h e a l g o r i t h mi sm e m o r yc o n s u m e da n dn o te a s yt oi m p l e m e n to nh a r d w a r e t h ep a p e rd e s c r i b e r s t h em a t ht h e o r yb a s eo fw ta n dt h ec h a r a c t e r i s t i e so fw tc o e f f i c i e n t s ，i m p r o v e st h e a l g o r i t h mu t i l i z i n gh u m a nv i s u a l c h a r a c t e r i s t i c st oa c h i e v eb e t t e r p e r f o r m a n c eo ft h e a l g o r i t h ma tl o wb i tr a t e f i r s t l y ，i ti n t r o d u c e sc o n t i n u o u sa n dd i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r i l la c c o r d i n gt oa n a l y s i so f t h ed i s a d v a n t a g eo fs h o r tt i m ef o u r i e rt r a n s f o r m f r o mt h ev i e w p o i n to fm u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s ，m a u a ta l g o r i t h mi sd e d u c e d s e c o n d l y ，t h ec h a r a c t e r o ft h ew a v e l e tt r a n s f o r mu s e di n i m a g ec o m p r e s s i o n si s r e s e a r c h e d ，i n c l u d i n gt h ec h a r a c t e r i s t i c so fw tc o e f f i c i e n t s ，a n dh o wt oa s s e s st h e r e c o n s t r u c t e di m a g ea f t e rw a v e l e ti m a g ec o m p r e s s i o n f i n a l l y ，s t i l li m a g ec o m p r e s s i o na l g o r i t h mi sp r o p o s e df o rg r a y s c a l ei m a g ea n dc o l o r i m a g er e s p e c t i v e l yi nd w t d o m a i n t h ec o d i n ga l g o r i t h mt og r a y s c a l ei m a g ei si m p l e m e n t e d b yw e i g h t i n gt h ew a v e l e tc o e f f i c i e n t sa c c o r d i n gt ot h ec o n t r a s ts e n s i t i v i t ym a s k i n g ；t h e c o d i n ga l g o r i t h mt oc o l o ri m a g ec o n s i d e r sh u m a n ss e n s i t i v i t yt od i f f e r e n tc o m p o n e n t so f c o l o ri m a g ea n ds t r o n gc o r r e l a t i o no fd i f f e r e n tc o m p o n e n t si ni m a g es p a c e i tg e n e r a t e s c o r r e s p o n d i n gm o d e lt oi m p r o v es p i h tr e s p e c t i v e l y t h ea d v a n t a g eo ft h ei m p r o v e d a l g o r i t h mr e f l e c t si nt w ot e r m s ：i tg i v e sd i f f e r e n tv i s u a lw e i g h t st ow a v e l e tc o e f f i c i e n t si n d i f f e r e n ts u b b a n d so ft h ed i f f e r e n tc o m p o n e n t sa f t e r d w t 。m a k i n gs u r eo fp r i o r i t y t r a n s m i s s i o nt ot h ec o e f f i c i e n t sh u m a nv i s u a la r es e n s i t i v et oa d v a n c et h eq u a l i t yo ft h e r e c o n s t r u c t e d ；i ts u f f i c i e n t l ym a k e su s eo ft h ed i s t r i b u t i o nc h a r a c t e ro fw a v e l e t c o e f f i c i e n t sa n dd e c r e a s e sr e d u n d a n c yo fb i t s t r e a mt ob o o s t e f f i c i e n c yo ft h ec o d i n g a l g o r i t h m e x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h a tt h ep r o p o s e dt e c h n i q u ei m p r o v e st h eq u a l i t yo f 辽宁师范大学硕十学位论文 t h er e c o n s t r u c t e di m a g ei nb o t hp s n ra n dp e r c e p t u a lr e s u l t ，c o m p a r e dt os p i h ta tt h e s a m eb i tr a t e k e yw o r d s ：w a v e l e tt r a n s f o r m ；h u m a nv i s u a l ；i m a g ec o d i n g ；s p i h t ；w e i g h t i n g i i i i i i 1 l 1 2 4 5 5 2 2f o u r i e r 变换和短时f o u r i e r 变换5 2 3 小波变换7 2 3 1 连续小波变换8 2 3 2 离散小波变换9 2 4 多分辨率分析和m a l l a t 算法9 2 4 1 多分辨率分析9 2 4 2m a l l a t 算法1 1 2 4 - 3 图像的小波分解1 2 3 小波变换应用于图像压缩的特性研究1 4 3 1 小波变换系数的特点1 4 3 2 重建图像的质量评价1 8 3 2 1 图像的主观评价1 8 3 2 2 图像的客观评价1 8 4 基于人类视觉的灰度图像编码算法。2 0 4 1 引言2 0 4 2 小波图像编码的框架2 0 4 3s p i h t 编码算法2 0 4 4 基于s p i h t 和人类视觉的灰度图像编码算法2 2 4 5 算法的实现和结果分析2 4 4 5 1 算法的框架2 4 4 5 2 实验结果与分析2 5 5 基于h v s 模型和交叉掩蔽的彩色图像编码算法2 8 辽宁师范大学硕十学位论文 5 1 引言2 8 5 2 基于s p i h t 和交叉掩蔽的彩色图像编码算法2 9 5 2 1h v s 模型的非对称编码2 9 5 2 2 交叉掩蔽3 0 5 3 算法实现和实验结果分析3l 5 3 1 算法框架3l 5 3 2 实验结果和分析3 2 结论3 4 参考文献3 5 攻读硕士学位期间发表学术论文情况3 7 致 射3 8 在人类的传递信息 信息是人们生活中 信息交流的重要载体。数字化后的图像数据量非常巨大，图像信息的海量存储、处理和 传输便成为其硬件和软件技术最大的难题之一。人们通过对图像数据相关性的不断研 究，根据人眼视觉特性，对图像数据本身进行一定的处理、割舍，达到压缩图像数据的 目的。以数据的压缩形式存储和传输是解决这一问题的行之有效的办法。 从信息论的角度讲，图像作为一个信源，其数据是信息量和信息冗余量之和。图像 压缩设法去除原始图像存在的冗余信息，从而使得表示图像需要较少的数据。另外许多 领域图像数据压缩允许有一定程度的失真，这就给降低比特率提供了有利条件。比如在 一些应用领域，人眼是图像的接收者，如果能在图像压缩过程中充分利用了人眼的视觉 特性，保留了对人眼敏感的信息，而丢弃那些人眼不敏感的信息，就可以相对降低比特 率。这样在相同的码率下，解码图像就可以获得较好的重建效果。 在已给定条件下，图像压缩就是使用尽量少的比特数来代表图像，以便更高效地存 储和传输图像。在图像压缩过程中，利用图像信息中存在的各种冗余，特别是图像数据 中的空间冗余和视觉冗余，用特定的方法尽量减少在存储和传输过程中的这些冗余，就 可以达到更好的压缩性能。 1 2 静止图像编码技术 1 9 6 9 年在美国召开的第一届“图像编码会议”标志着图像编码作为一门独立的学科 的诞生。到了七八十年代，变换编码技术的发展促进了图像编码技术的繁荣。之后，小 波变换理论，分形理论，人工神经网络理论等的发展，更是让图像编码达到了一个崭新 的发展时期。同时，图像编码技术已经形成越来越多的国际标准。国际上有两个负责视 音频编码的标准化组织：国际电信联合会( i t u ) 下的视频编码专家组v c e g ( v i d e oc o d e e x p e r t g r o u p ) ；1 9 8 8 年由国际标准化组织i s o 和国际电工委员会i e c 下的联合技术委 员会j t c l 联合成立的专家组m p e g ( m o t i o np i c t u r ee x p e r tg r o u p ) ，负责开发运动图 像及其伴音的编码标准。v c e g 制定的标准有：h 2 6 1 、h 2 6 2 、h 2 6 3 和h 2 6 4 ；m p e g 制定的标准有：m p e g 1 、m p e g 一2 、m p e g 4 、m p e g 一7 和m p e g 21 。网络的普及与多 媒体的深入人心，让人们对图像质量、文档尺寸和图像读取速度的要求越来越高，因此 在图像压缩的标准方面，又出现了j p e g 、j p e g 2 0 0 0 等各种图像压缩标准。 静止图像编码的分类方法很多，本文将图像编码方法分为传统的图像编码方法和现 代的图像编码方法两大类【l j 。 基丁人类视觉的小波图像编码算法研究 对于传统图像编码方法，经典方法主要有熵编码、预测编码、矢量量化和变换编码 等。其中矢量量化( v qv e c t o rq u a n t i z a t i o n ) 编码将若干个标量数据组构成一个矢量， 然后在矢量空间给以整体量化，从而压缩了数据而不损失多少信息。矢量量化是 一种限失真编码，其原理仍可用信息论中的率失真函数理论来分析。而率失真理 论指出，即使对无记忆信源，矢量量化编码也总是优于标量量化。它具有高压缩比 的潜在能力，在图像编码技术中有很大的发展潜力。 变换编码是在图像信号的某个变换域中进行处理的技术。图像经过变换以求去掉像 素之间的相关性，集中能量，进行压缩处理。而且经过逆变换生成的图像效果比直接在 空间域处理的效果好。变换编码最早是1 9 6 8 年的傅立叶变换。典型的传统变换编码中 块变换编码，有k l 变换编码、离散余弦变换( d c td i s c r e t ec o s i n et r a n s f o r m )编 码、傅立叶变换编码和w a l s h 变换编码。块变换编码性能很多方面优于空间域编码方法。 其中最常用的块变换编码是d c t 变换，但有较高压缩比时，会有明显的块效应和蚊式 噪声产生。 小波变换编码技术属于多分辨编码技术，它一般对图像进行全局分解，不存在块效 应，量化失真存在于全局。为便于在编码时考虑人眼的视觉特性，将信号分解为不同频 带。变换后易于实现嵌入式图像编码，且压缩效率及解码后的主观效果比其它的块变换 方法好。小波变换编码技术在图像压缩领域的应用非常广泛。 现代图像编码方法跟传统编码方法比，无论是重建图像在主观质量方面还是在压缩 比方面都有显著的改进。其中有三种比较典型的现代编码方法：分形图像编码方法、模 型基图像编码和神经网络图像编码。分形图像编码算法最显著的特点是自相似性，即无 论几何尺度怎样变化，景物任何一小部分的形状都与整体的形状极其相似：模型基图像 编码是编码时用图像分析算法提取景物的参数，并将参数编码后通过信道传输到解码 端，由于解码端与编码端具有相同的景物三维模型，由解码器根据接收到的参数用图像 合成技术重建图像。这种技术充分利用了图像中景物的内容和知识，可以实现非常高的 压缩比：神经网络编码试图初步模仿人的视觉系统中某些局部初级功能，并将其研究成 果应用于图像编码领域，可以直接用于数据压缩，也可以将这些成果与传统的图像编码 方法结合，构成许多直接运用神经网络的图像编码算法。 1 3 小波变换和小波编码技术 小波理论是近年来在数学分析和方法上的重大突破，它经过了一个漫长的发展过 程。 最早在1 9 1 0 年，h a a r 提出了标准正交基( 这是一组非正则基) 。1 9 8 1 年，s t r o m b e r g 对h a a r 系进行了改进，证明了小波系数的存在性。1 9 8 4 年，法国地球物理学家m o r l e t 在分析地震数据时提出将地震波按一个确定的函数的伸缩、平移系 2 辽j 叫币范人学硕士学位论文 i 口r 专沙( 譬) 口，b r ，a 0 展开，将此函数称为小波，真正出现了小波的概念。1 9 8 6 年，m e y e r 发现了具有一定衰减性的光滑系数沙，并证明了确实存在正交小波基。 1 9 8 7 年，m a l l a t 对小波的发展做出了极大的贡献，他统一了在此之前的所有具体的 正交小波基的构造，将计算机视觉中的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了著名 的小波分解与重构快速算法，即m a l l a t 算法。1 9 8 8 年d a u b e c h i e s 构造了第一个具有紧 支集的标准正交小波基，且以数表的形式给出了所需的滤波系数以实现快速小波变换。 这成为小波应用史上的里程碑，也是小波发展史上最伟大的研究成果。这样，上世纪八 十年代末，小波分析真正成为了当前应用数学和工程学科中的一个迅速发展的新领域。 到现在，小波变换的数学体系已经建立，理论基础也更加扎实。与傅立叶变换和g a b o r 变换相比，小波变换具有多分辨率表示、时频局部分析、易于引入人眼视觉特性等特点， 解决了傅立叶变换的困难问题，成为继傅立叶变换以来在科学方法上的重大突破，现在 已广泛应用于包括图像处理在内的诸多领域1 2 1 。 下面简要介绍几种主要的基于小波变换的嵌入式编码算法。 1 9 9 3 年，s h a p i r o 提出了嵌入式零树小波( e z we m b e d d e dz e r o t r e ew a v e l e t ) l j j 编 一 码算法，它利用了零树数据结构的新方法来表征小波系数分布的空间自相似性，是小波 变换压缩编码中最著名的经典编码方法之一。它利用了小波系数特性，有效地去除了频 一 域和空间域中的相关性，利用了可以有效表示非重要小波系数的位置的零树结构，用逐! 次逼近量化来有效实现码流的嵌入特性，将零树结构和逐次逼近量化两者相结合，形成 ” 了高效的嵌入位平面编码方法。 1 9 9 6 年，a s a i d 和w a p e a r l m a n 以e z w 编码思想为基础，提出了著名的层树分集7 1 ( s p i h ts e tp a r t i t i o n i n gh i e r a r c h i c a lt r e e ) 1 4 】编码方案。s p i h t 是零树编码方法中最有代 表性的一种方法，它所采用的空间方向树更加有效地表示了小波系数零树结构，从而使 编码复杂度得到进一步降低且压缩效率更高，还保留了e z w 实现简单、嵌入式码流等优 点。 s p i h t 算法虽然编码性能不错，但在搜索排序过程中算法需要保存三个列表，需要 内存较多。为了减少所需内存，w k l i n 和n b u r g r e s s 提出了无表零树编码( l z cl i s t l i s s z e r oc o d e s ) 1 5 】算法，它不需要列表，用了两个标志位图( f l a gm a p ) 来存储树信息，对s p i h t 算法进行了简化，减少了所需内存，但是该算法的编码性能却在一定程度上有所降低。 e z w 和s p i h t 算法采用了层次树结构组成系数集和实现分裂以利用子带间系数分 布的自相似性，而有一些编码方法采用基于块的集合组成和分裂方法以充分利用小波变 换子带内非显著性小波系数的聚集特性，进行块分裂编码获得了高效的性能。1 9 9 8 年 i s l a m $ 1 1 p e a r l m a n 提出了集合分裂嵌入块小波编码( s p e c ks e tp a r t i t i o n i n g e m b e d d e d b l o c k ) t 6 1 【7 1 ，它继承了s p i h t 集合分裂和显著性排序的两个重要思想，不同的是，s p e c k 基于人类视觉的小波图像编码算法研究 在子带的块中进行集合分裂，即四叉树分裂，且使用了倍频带分裂，充分利用了小波系 数的能量衰减特性，来提高编码效率。 以上的编码方法均利用了跨子带的处理方法，但放弃跨子带处理却带来编码性能的 损失，且并不支持分辨率可分级和区域随机访问功能。1 9 9 8 年t a u b m a n 提出了优化截断 嵌入块小波编码( e b c o te m b e d d e db l o c kc o d i n gw i t ho p t i m i z e dt r u n c a t i o n ) 1 8 1 ，它将子带 划分成编码块，对每个码块进行独立编码产生嵌入码流，能够在单一的码流时实现质量 分可级、分辨率可分级和区域随机访问等丰富的功能，编码性能较s p i h t 更高。e b c o t 被采纳为j p e g 2 0 0 0 的基本编码方法。此外还有小波数据形态表示图像编码( m r w d m o r p h o l o g i c a lr e p r e s e n t a t i o no f w a v e l e td a t a ) 9 1 算法，利用了形态学膨胀算子进行区域 生长以识别出重要系数的不规则聚集区域的方法：等等。 1 4 研究内容 静止图像的压缩是图像压缩的基础，本文主要是对静止图像进行压缩。 本文系统的介绍了静止图像压缩编码的理论和原理，着重阐述了基于小波变换的图 像编码技术。本文以小波变换和s p i h t 编码算法为基础，相继提出了小波域灰度图像和 彩色图像的基于人类视觉特性的加权模型。 本论文的章节组织如下： 第一章：绪论，首先介绍本文研究课题的背景和意义，简要叙述了图像编码技术以 及小波域图像编码技术的历程及研究现状，最后叙述了论文的研究内容。 第二章：详细介绍离散小波变换的数学理论基础，首先分析了短时f o u r i e r 变换的 缺点来介绍连续小波变换和离散小波变换，并从多分辨率的分析入手推导了m a l l a t 算 法。 第三章：研究了小波变换应用于图像压缩的特性，包括小波变换系数的特点，如何 对小波编码技术后的重建图像进行质量评价。 第四章：提出了基于离散小波变换的灰度静止图像编码算法。算法利用了人类视觉 系统对图像不同频率的视觉敏感特性来对小波变换系数进行加权，形成了相应的模型来 对s p i h t 算法进行改进。最后给出了实验结果并进行了算法性能的分析。 第五章：提出了基于d w t 的彩色静止图像编码算法。算法充分考虑了人眼对彩色 图像不同分量的不同敏感性，以及在图像空间中不同分量之间的强烈相关性，运用了人 类视觉系统的非对称编码和彩色图像不同分量的交叉掩蔽来形成模型来对s p i h t 算法 进行改进。最后给出了实验结果并进行了算法性能的分析。 第六章：总结和展望，对所做工作进行了全面总结，并对基于基于人类视觉的小波 域图像编码发展方向进行了展望。 辽宁师范大学硕士学位论文 2 小波变换的数学理论基础 从2 0 世纪8 0 年代开始，经过不同领域的科学家们的共同努力和探索，小波变换理 论如今已具有坚实的数学理论基础和广泛的应用背景，正在同新月异的发展。小波变换 已被应用于信号处理、图像处理、语音识别、量子物理、流体力学等众多科学领域。在 许多使用傅里叶分析的地方，都可以用小波分析来取代。相较傅里叶变换( f tf o u r i e r t r a n s f o r m ) 而言，小波分析被称为“数学显微镜”，在时域和频域同时具有良好的局部 化特性，它可以通过改变取样步长聚集到对象的任何细节，可以使人们既看到“树木”， 也看到“森林”。 本章通过分析傅旱叶变换、短时傅里叶变换的缺点来研究连续小波变换、离散小波 变换：再从多分辨率分析入手，分别介绍了一维m a l l a t 算法和用于图像编码的二维m a l l a t 算法。 2 1 符号约定 本文为了章节叙述上统一，采用了如下的记号： 三2 ( 尺) 表示定义在实数集尺上的所有能量有限信号，即 妇们) i d t 0 这里尺度参数a 和平移参数6 都是实数。 下面给出小波变换的定义： 睨，( 口，6 ) = 击e 厂( f ) 页和 对于“基小波”，可以如下定义： 平方可积函数y ( f ) l 2 ( 尺) 满足容许性条件 c 缈= e 酱 o ，b r ( 2 1 3 ) 称杪础( ，) 为以a 和b 为参数的小波基函数。 2 3 1 连续小波变换 若平方可积函数f ( t ) l 2 ( r ) ，沙为“基小波”，a r + ，b r ，则定义f ( t ) 的连续 小波变换定义为 ，_ r ( 口，6 ) = 古少( f ) ( 譬) 衍= ( 厂( f ) ，吵口 6 ( ，) ) r ( 2 1 4 ) 这样，连续小波变换将一维信号f ( t ) 映射到二维连续尺度一时间( 口，b ) 平面，具备 了f o u r i e r 变换所不具备的“弹性”，但同时，连续小波变换具有了冗余性。 作为一种线性变换，任何一个信号f ( t ) l 2 ( 尺) 应该能够完全重构，利用p a r s e v a l 恒等式可以推导出连续小波反变换为 ( f ) = 专e i h 。睨，( 口，6 ) 础( f ) 警 ( 2 1 5 ) 显然，欲实现完全重构，基小波沙必须满足容许性条件，即必须有c 妒 。 为使妒( w ) 在频域上表现出较好的局部性，基小波y ( f ) 不只要求满足容许性条件， 还要求具有一定的正则条件。为此要求沙( ，) 具有一定的消失矩性质，即 f t p ( t ) d t = 0 ，p = 1 , 2 ， r ，( 2 1 6 ) 相当于掣l 。2o ，p 。1 ，2 ， ( 2 - 1 7 ) 力越大越好。 下面是连续小波变换的性质： 1 ) 若厂( f ) = f l ( t ) + f 2 ( t ) ，则有夥( f ) = w f l ( t ) + w f 2 ( t ) ； ( 2 1 8 ) 2 ) 若g ( f ) = 厂( 卜c ) ，则有豫( 口，6 ) = w f ( a ，b c ) ； ( 2 1 9 ) 3 ) 若g ( ，) = ( c f ) ，则有唿( 口，6 ) = 佗w f ( 口c ，b c ( 2 2 0 ) 8 ( w f ( a ，6 ) ，w g ( a ，6 ) ) = q ( 厂p ) ，g ( ，) ) 厂( ，) ，g ( r ) l z ( 尺2 ) 则有 ( 2 2 1 ) 2 3 2 离散小波变换 为了消除连续小波变换的高度冗余性，对口，b 的取值离散化，就可以利用离散化后 保留下来的部分小波变换系数来分析信号。而在利用小波变换分析信号的应用中，研究 人员主要对二进抽样感兴趣。通常尺度参数a 和平移参数b 的离散化公式分别取作 口= 口；和6 = 勋；6 。，则对应的离散小波函数y 3 , k ( r ) 可写为 i l t j k ( t ) = 口0 一；吵( 芋) = 口知( 口0 ，一扬。) ，七“ ( 2 2 2 ) 则有信号( f ) 的离散小波变换定义为 w t ：( j ，后) = ( 厂o ) ，y ，t ( ，) ) 2 o ) 少，to ) 斫= 口0 r s f ( f ) | f ，( 口i j t - - k b 0 ) 出 ( 2 2 3 ) 2 4 多分辨率分析和m a | ia t 算法 多分辨分析又称为多尺度分析，它是建立在函数空间概念上的理论。它的基本思想 是将图像在不同尺度下分解，得到不同尺度下图像分解的结果，再进行比较，来得到一 t 些有用的信息。创始者s m a l l a t 推导出了快速的离散小波算法一m a l l a t 算法。本节将详 细介绍多分辨率分析概念和m a l l a t 的一维、二维算法。 强 2 4 1 多分辨率分析 若2 ( r ) 内一个嵌套的闭子空间序列v j 由函数缈( ，) 生成，令一表示缈肚在平方可 积空间l 2 ( r ) 内线性张成的闭子空间，即 v j2 c l o s l ：( r ) 帆：七z ) 卜z ( 2 2 4 ) 其中伤，t 22 j 2 缈( 2 卜舫。 ( 2 2 5 ) 称满足上述条件的由函数妒( f ) r ( 尺) 在公式( 2 2 8 ) 下生成的一列闭子空间序列 杪，j z j 及为多分辨率分析，它具有如下性质： 单调性：一c + 一，w z ( 2 2 6 ) c l o s 九r ) ( u ) = 2 ( r )n 兰 0 逼近性： 一，一，一 ( 2 2 7 ) 9 基丁人类视觉的小波图像编码算法研究 伸缩性：厂( ，) _ 铮( 2 f ) _ + - ( 2 2 8 ) 平移不变性：厂( f ) f ( t 一2 吖七) l ( 2 2 9 ) r i e s z 基存在性：存在t p ( t ) v o ，使得缈( 卜七) ，k z 构成的r i e s z 基，是的标准 正交基，称t p ( t ) 是此多尺度分析的尺度函数或父函数。 由性质3 和5 知道，对于任意( ，) v o ，可有( 寺) 巧，就可以得到函数系 2 - 2 妒( 2 一g t 一七) k 。z 来构成_ 的一组标准正交摹。 引进多分辨率分析来建立小波分析，令小波函数y 生成三2 ( r ) 空间中的小波子空间 序列为杪，j 有 = c i o s l 2 ( r ) ( y 卅：kez ) z ( 2 3 0 ) r ( r ) = = + 矿l + + + 这样， 酡 ( 2 3 1 ) 令g ，表示厂( f ) 在上的投影，则每个( f ) r ( r ) 可唯一的分解为： 厂( ，) = + g lu ) + g oo ) + g l ( ，) + ( 2 3 2 ) 这样e 要满足性质+ = _ + 来建立多分辨率分析与小波分析的联系，也就是 说，是_ 在_ + ，中的补子空间，也表明厂( f ) 在两相邻分辨率上的近似厂和乃+ 。之问相差 的细节信息，即g ，是包含在空间罩的，则有 _ + l2 + 一2 + 一l + ( 2 3 3 ) 同样，还有2 ( r ) = + + 眠+ l + ( 2 3 4 ) 联合式( 2 2 9 ) 和( 2 3 9 ) 有：，+ l2 乃+ g j _ ，z ( 2 3 5 ) f = i n + g ，+ g + l + 一 + g 州 n z i = o 【2 3 6 ) 若乃_ 代表了函数在分辨率2 。上的近似，那么g 就代表了逼近的误差。 由上式可知，对于任意函数( ，) 2 ( r ) ，都可以根据它在分辨率2 上的近似，和 它在分辨率2 肌。( f 0 ) 上的逼近误差g ，来“完全重构”，m a l l a t 算法的基本思想也在于 l 比。 1 0 发下，结合多分辨率 分析提出的信号塔式多分辨分解与综合算法。 若有厂( ，) l 2 ( r ) 己得到在2 一分辨率下的粗糙象彳，f _ ，el 。z 构成r ( 尺) 的多 分辨分析，从而有一= + 。+ 卅，即 彳f = a j + l 厂+ 吖，式中4 2 弘肌，q 厂。p 肌t ( 2 3 7 ) 综匕有，k = - - 。钳j j ( f ) 2 荟o ) + p 扎蛳，t o ) ( 2 3 8 ) 综上有， t = 一 陪m ( ) 由尺度函数的双尺度方程可得到式吼+ l m ，2 至七一2 坍砌m n ， 再利用尺度函数的正交性有( 仍+ i ，缈小) = 办( 七一2 m ) 同理对小波函数可得( y ，+ l 矽肚) = g ( k - 2 m ) _ c 川。= c 肚h ( 七一2 聊) 又由以上三式得到： 函 d 川，。= c 肚g + ( 尼一2 m ) 七= c = c 川，h ( k - 2 m ) + d 川，m h ( k 一2 m ) k = - o a= 一。 将以上三式简化得到c m = h c j = 。，l ， 年 ic j2 c j + l + g d j + l = ，j 一1 ，1o ( 2 3 9 ) ( 2 4 0 ) ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) 其中 ，定义无穷矩阵 月= 防础】：扣。 ， g = 【g 咄】：扣。 ， h 础2 厅( 七一2 m ) ，g 础2g ( 后一2 m ) ，j & n + ，g + 分别是h 和g 的共轭转置矩阵。 图2 1 所示为一维m a l l a t 小波分解算法。利用m a l l a t 算法来进行分解和重构信号处 理时，不需要知道具体的小波函数。f j l 在处理数字信号时，更多的是将小波变换当作滤 基予人类视觉的小波图像编码算法研究 波器组来看待，因为通常假定相应的连续函数属于，但该函数在空间投影的系数 与由采样得到的离散序列一般不一样，都是直接将由采样得到的信号作为最高分辨率的 信号来处理。 c ， 耽 c 2 - d f 图2 1一维小波分解算法 f i g 2 1 l - dw a v e l e td e c o m p o s i t i o na l g o r i t h m 在实际应用中，实际信号是有限长的，这就存在如何处理边界的问题，比较常用的 方法有周期扩展和反射扩展，目的是降低边界上变换系数由于边界不连续而产生的衰减 慢的问题。 2 4 3 图像的小波分解 在进行图像压缩时要用到二维小波变换，目前研究中主要以可分离小波为主。 构造二维可分离正交小波基，令砰( z ) 是2 ( 尺2 ) 的可分离多分辨分析，相应的 二维尺度函数，y ( x ) 是与相应的二维尺度函数缈( x ，y ) = 妒( x ) 缈( 少) 对应的一维标准正交小 ly 1 ( x ，y ) = p ( x ) y ( y ) 沙2 ( x ，y ) = y ( x ) 缈( 少) 波。定义三个一二维小波 【y 3 ( x ，y ) 2y ( x ) 沙( 川， ( 2 4 7 ) l2 一y 1 ( 2 一。x m ，2 一y 一门) 2 - j 妙2 ( 2 7 x m ，2 一。y 一胛) ( m ，聆) z 2 则有上2 ( 尺2 ) 内的标准正交基：【2 吖少3 ( 2 - j x - m , 2 - j y 一刀) ( 2 4 8 ) 若有待分析的图像信号f = f ( x ，y ) y ? 的二维逼近图像为 a j ，= aj “_ f + dj l “j 七d j “，+ d 3 j “f 0 2 。蚂) 。彳+ l 厂= c j + l ( ，? ，n ) o j + l ( 垅，门) 其中， m m 一= 一 ( 2 5 0 ) 彰+ 。= d j + 。( 朋，甩) 妒川( 聊，疗) ， i = 1 , 2 ，3 和 巧+ ，= h ( k - 2 m ) g ( 1 2 n ) c ( 七，) k = - - ，= 1 球。= g ( k - 2 m ) j ( 1 2 n ) c j ( 蚋 k = - - t = 壤。= g ( k - 2 m ) g ( 1 2 n ) c ( 简化上式，可得二维m a l l a t 分解算法为： ( 2 5 2 ) ( 2 5 3 ) c p l = h ，h 。c 醵d ：+ i ：= g h ，r 日g 。c c c ，= 。，1 ， 叫3 + 1 2g r g c ，( 2 5 4 ) _ 其中日，h c 分别代表用尺度滤波器系数对阵列奴，l 儿z ：的行和列作用的算子， g ，和g 。分别表示用小波滤波器系数对行和列作用的算子。 二维m a l l a t 的重构算法：c j 2h ；h ：c 川+ 日：g ：叫+ ，+ g ：厅：d 2 + - + g ：g ：9 ；( 2 5 5 ) 下图给出了二维小波分解和重构算法示意图。 图2 2二维小波分解结构图 f i g 2 2 s t r u c t u r eo f2 一dw a v e l e td e c o m p o s i t i o n 二维小波分解与重构算法，利用了小波基的可分离特性，先对行进行一维小波变换， 再按行变换后的数据按列进行一维小波变换。二维小波的分解与重构，与一