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屯 黔 1 乡 1 慧 声明尸刚 本人郑重声明:此处所提交的硕士学位论文无单元方法在三维电磁场中的 应用研究,是本人在华北电力大学攻读硕士于, - - - - z - , 位期间,在导师指导下进行的研 究工作和取得的研究成果。据本人所知,除了文中特别加以标注和致谢之处外, 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果,也不包含为获得华北电力大 学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究 所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名:窒圭氐日期: 型:仝 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定,即:学校有 权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件;学校可以采用影印、缩 印或其它复制手段复制并保存学位论文;学校可允许学位论文被查阅或借阅; 学校可以学术交流为目的,复制赠送和交换学位论文:同意学校可以用不同 方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的学位论文在解密后遵守此规定) 作者签名:导师签名: 日期:蝼2 早益二。f b 华:i 匕i l 三力火! 学硕j = 学位论文 第一章绪论 无单元法是近几年发展起来的与有限元法相似的一种数值计算方法,形式上相 对简单、明确。在方法分类上,无单元法属于基于概率模型的计算方法,也是一 种偏微分方程弱形式的近似解法。它采用滑动最小二乘法构造形函数,从能量泛函 的弱变分形式中得到控制方程,并用拉格朗日乘子法或罚函数法等方法满足本征条 件,从而得到偏微分方程的数值解。 1 1 无单元法的研究概况 无单元法最早起源于力学领域。国际上对无单元法的研究兴起于上世纪9 0 年 代初,最早专门论述无单元法的文献【2 3 发表于1 9 9 4 年,从那时至今,研究热潮持 续不断。两份权威国际学术期刊c o m p u t e rm e t h o d s i na p p l i e dm e c h a n i c sa n d e n g i n e e r i n g 4 】和c o m p u t a t i o n a lm e c h a n i c s f 1 还为此出了专刊,可见国际学术界对包 括无单元法在内的无网格方法的重视程度。美国谣北大学( n o r t h w e s t e r nu n i v e r s i t y ) 的t b e l y t s c h k o ,w k l i u ,y k r o n g a u z ,d o r g a n ,p k r y s l 等几位学者在理论和 应用上对无单元法的发展做出了许多创新性的贡献。 无单元法的理论发展历经滑动最小二乘法【6 】( m l s ,m o v i n gl e a s ts q u a r e m e t h o d ) 到发散单元法【7 】( d e m ,d i f f u s ee l e m e n tm e t h o d ) ,再到无单元伽辽金法 ( e f g m ,e l e m e n t f r e eg a l e r k i nm e t h o d ,即无单元法) ,再发展到单位分解法( p u , p a r t i t i o no f u n i t y ) 的主线,而最早的无网格法可追溯至用于研究天文现象的光滑粒 子法【8j ( s p h ,s m o o t h i n gp a r t i c l eh y d r o d y n a m i c s ) 。 无单元法的研究历史可大致概括如下: 它的前身是l u c y 在1 9 7 7 年提出的“s m o o t h e dp a r t i c l eh y d r o d y n a m i c s ”方法( 光 滑质点流体力学方法,简称s p h 法) ,该法用于天体物理领域,并取得成功。 随后,在2 0 世纪8 0 年代,m o n a g h a n 等人发展了s p h 法,将其解释为核函数 法,并用来模拟流场中的激波强间断现象。 2 0 世纪9 0 年代,s w e g l e ,d y k a 等人提出了s p h 法不稳定的起因及稳定化方案: j o n h s o n 和b e i s s e l 等人也提出了一些对s p h 法的应变计算进行改善的方法。我国学 者对s p h 法进行研究的主要成果有国防科技大学贝新源、岳宗五等将s p h 法用于 高速碰撞问题等。 1 9 9 2 年n a y r o l e s 等人将滑动最小二乘法( m o v i n gl e a s t - s q u a r e sm e t h o d ,简称 m l s m ) 原理引入,提出了一种新的方法“d i f f u s ea p p r o x i m a t i o na n dd i f f u s e 华北电力人! 学预? h 学位论文 e l e m e n tm e t h o d ”( 散射元法,简称d e m ) ,山此无单元方法得到了进一步发展。 此后,b e l y t s c h k o 等人在1 9 9 4 年对d e m 进行了改进,基于滑动最小二乘法近似 和伽辽金( g a l e r k i n ) 原理,利用背景网格进行积分计算,提出了一种新的数值方 法“t h ee l e m e n t f r e eg a l e r k i nm e t h o d ”( 无单元g a l e r k i n 法,简称e f g 法) ,这种 方法采用滑动最小二乘法进行场的近似表达,虽然比s p h 计算费用高,但是具有较 好的协调性及稳定性。 1 9 9 5 年,美籍华人计算中心的学者w k l i u 教授根据积分再生函数的思想,提 出了“r e p r o d u c i n gk e r n e lp a r t i c l em e t h o d ”( 再生核质点方法,简称r k p m ) ,同时结 合小波分析中的伸缩尺度平移、多分辨率等特点,构造了“m u l t is c a l er e p r o d u c i n g k e r n e lp a r t i c l em e t h o d ”( 多尺度再生核粒子法,简称m r k p m ) 和“w a v e l e tp a r t i c l e m e t h o d ”( 小波质点法,简称w p m ) ,并实现了该方法的自适应分析。 同年,美国t e x a s 大学的著名学者o d e n , 年l l 他的学生d u a r t e 提出了h p c l o u d s 无网 格方法。后来,o d e n ,d u a r t e ,z i e n k i e w i c z 等又提出了“n e wc l o u d s b a s e dh pf e m ”。 这种方法借助于有限元网格,将其形函数作为单位分解函数,虽然该方法破坏了“无 网格”的特性,但由此带来了一些新的特性,为解决问题提供了方便。与h p c l o u d s 无网格方法相近的“h p m e s h l e s sc l o u d sm e t h o d ”是由波兰学者l i s z k a 等人提出的。它 最主要的特点是采用配点格式,不需要g a l e r k i n 格式中用于积分计算的背景网格, 是一种完全的无单元方法。 随着小波应用范围的扩展,2 0 世纪9 0 年代许多学者将小波用于场量的近似, 从而提出了“w a v e l e t g a l e r k i nm e t h o d ”( 小波伽辽金法,简称w g m ) 。 最近,著名力学学者a t l u r i 等人也对无网格方法进行了大量研究,提出了“l o c a l b o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o nm e t h o d ”( 局部边界积分法,简称l b i e 法) s o “m e s h l e s s l o c a lp e t r o v g a l e r k i nm e t h o d ”( 简称m l p g 法) 【9 1 。这两种方法都是基于滑动最小二 乘法原理对场函数进行近似,并且在积分时不需要背景网格,是完全的无单元计算 方法。 国内对无单元法研究是从1 9 9 8 年清华大学的周维恒、寇晓东用无单元法解决 结构开裂问题【1 0 ,1 1 1 开始的,2 0 0 4 年,胡云进、周维恒、寇晓东借鉴二维无单元法的 理论和实现技术,对基于正交基函数的三维滑动最小二乘法、已知位移边界条件的 处理以及三维无单元法基本方程的推导和实现方法进行了讨论。上述成果都是应用 于力学领域。 无单元法在电磁场领域的发展相对滞后。 1 9 9 3 年,法国学者y m a r e c h a l ,j l c o u l o m b ,g m e u n i e r ,g t o u z o t 应用扩 散单元法( d i f f u s ee l e m e n tm e t h o d ) 求解电磁场问题。这可以看作是无单元思想在 华北l u 力人学顶j 卜:学位论文 电磁场领域的首次尝试。 1 9 9 8 年,日本学者v l a t k oc i n g o s k i 等人将无单元伽辽金法( e f g m ) 首次应 用于电磁场计算领域,用于解决电压互感器中的二维静电场问题。2 0 0 0 年,上述的 日本学者将e f g m 和有限元法( f e m ) 结合,分析了二维电磁场问题。但用e f g m 与 f e m 耦合法处理强加边界条件和介质交界面条件时,虽然保证了系数矩阵的对称正 定性,但在交界区的形函数过于复杂。 1 9 9 9 年,巴西的v i a n a 等人用拉格朗日( l a g r a n g e ) 乘子法对强加边界条件进行 了处理,并给出了二维磁场的算例。但l a g r a n g e 乘子法最大的缺点是它引入了新的 未知量,使得离散方程的系数矩阵不再是正定的,也不是带状的,增加了方程求解 的时间和难度。 1 9 9 9 年,法国的c h e r a u l t 等人对无单元伽辽金法( e f g m ) 的边界条件和介质 交界面条件处理问题进行了初步研究,给出了处理强加边界条件和介质交界面条件 的几种处理方法,如l a g r a n g e 乘子法、跳跃函数法等,但文中并没有给出具体算例, 而且给出的仅仅是一维跳跃函数。 1 9 9 9 年,浙江大学杨仕友、倪光正在分析国内外研究现状,综合前人工作的基 础上,将一般紧支集正交小波应用于电磁场的数值分析和计算中,提出了小波一伽 辽金法中任意点关联系数值精确的时域计算方法。 1 9 9 7 年,河北工业大学刘索贞,杨庆新等人借鉴无单元g a l e r k i n 法在力学场应 用的成功经验,开始对其在电磁:场领域的应用进行了研究,刘素贞在其硕士论文中 研究了二维静态电场磁场的无单元方法,进行了简单的工程实例计算,如平行板电 容器中的电场、长直接地金属槽中的电场、电机气隙和槽部磁场、变压器中二维磁 场、长直矩形载流导线的磁场。研究工作取得了初步的进展,但是距离工程实际应 用还有很大差距。 此外,最近还有学者用无单元g a l e r k i n 法解决冲击涡电流问题。国内外学者在 应用核函数的无单元法解决电磁场问题上也取得了一些成果。 迄今为止,无单元方法在电磁场领域取得一些研究成果,但该方法在电磁场领 域的研究仍处于起步阶段,还存在着许多亟待解决的问题。 1 2 本课题的研究意义和目的 有限元法等传统方法是求解电磁场边值问题强有力的数值计算方法。这类方法 多数以单元作为基本概念,将场域空间离散成单元的形式,采用剖分插值的方法近 似表征场域函数。对于单元的形状,有一定的要求,不能出现过大的钝角和过小的 锐角。在场函数变化剧烈或者介质参数变化剧烈的位黄,必须进行相对比较密集的 毕:i 匕电力人学硕j :学位论文 剖分,费时费力。尤其在处理三维问题时,网格剖分成为前处理阶段最为繁琐的工 作。当这类方法用于自适应计算或动态模型分析时,一般要不断更新网格。虽然目 前已出现一些网格生成器,但在准备数据阶段还是占用机时多,不方便。 与传统的有限元法相比,无单元法具有以下一些显著的优点: ( 1 ) 只需节点信息,不需将节点连成单元。要求数据简单,完全不需要事先 对计算区域进行网格剖分,在计算过程中可方便地增删节点,极大地简化了前处理 工作。 ( 2 ) 由于采用滑动最小二乘法构造形函数,故所得的场函数光滑性好,计算 精度高,可以满足连续可导甚至高阶连续可导。对于要求离散精度较高的位置可以 方便地加密节点,而不用顾虑单元形状的问题。 ( 3 ) 在理论和应用的各个环节上均具有较高的开放性,便于进行控制和扩展。 无单元法中基函数、权函数、影响半径等的选取具有较大的随意性,对边界条件的 处理方法也有多种。基于这种开放性,无单元法的前景是非常广阔的,特别是一些 前沿科学的引入( 如小波分析) ,必将使无单元法在理论和应用上取得质的飞跃。 正是由于具有这些显著优点及巨大的发展潜能,无单元法得到了日益众多的关 注,并取得了一定的发展。在电磁场领域的研究成果很多,但主要集中在解决二维 电磁场问题,在三维电磁场中的应用很少。 1 3 本文的主要研究内容 本文的主要研究内容有以下几个方面: ( 1 ) 借鉴无单元法在二维电磁场中的基本公式和实现技术,从伽辽金弱变分 原理出发,推导无单元法在三维静态电磁场中的计算格式,分别给出拉氏乘子法和 罚函数法处理边界条件的一般公式; ( 2 ) 探讨无单元法边界条件及介质交界面的处理方法; ( 3 ) 通过分析算例,研究影响无单元法计算精度的主要因素,包括基函数、 权函数、影响半径和节点分布密度: ( 4 ) 在m a t l a b 软件环境下,实现三维静态电磁场的无单元法的计算程序, 并将结果与有限元的计算结果进行比较。 华:i 匕电力人:学硕十学位论文 第二章无单元法及其在电磁场计算中的应用 本章借助无单元法在二维静电场中的基本公式和实现技术,将之推广到三维静 电场数值计算中。首先介绍理论基础一滑动最小二乘法的基本原理,再从伽辽金 弱变分原理出发,推导出无单元法在三维电场和磁场下的计算格式,另外也涉及了 权函数、影响半径的选取方法和边界条件的处理方法等内容。 2 1 理论基础 2 1 1 滑动最小二乘法 滑动最小二乘法( m o v i n g l e a s ts q u a r e ,简记:m l s ) 是无单元法的数学基础, 其基本原理是通过若干个节点上的值,拟合出一个函数。不同于一般最小二乘法采 用全局最小二乘逼近,滑动最小二乘法借助一个影n 向域有限、单调递减的权函数, 采取了局部最小二乘法逼近的策略,在各个局部均强调了数值解与真实解之间的拟 合关系,它的待定系数是空间坐标的函数,因此可以构造出更加精确的函数形式。 在空间场域q 中,设场函数为u ( x ) ,对于二维空间,x = ( x ,) ,) t ;对于三维空间, x = ( x ,y ,z ) t 。若给定u ( x ) 在f 个节点上的值为 “+ ( x i ) = 1 1 7 , i = 1 ,1 ,咒 ( 2 一l 一1 ) 则以这n 个节点上的值,应用滑动最小二乘法可拟合出场函数的个近似函数( 也 称试函数) u 6 ( x ) : ( 2 1 2 ) 式中p t ( x ) 是m 维基函数,一般选择多项式,当然,也可以使用其他函数作为基函 数。例如在分析奇异性问题时,可以将奇异函数作为一个基函数。a ( x ) 是m 维线性 系数矩阵,它是关于场点( 工,) ,) 或( r ,j ,z ) 的函数 a ( x ) t = k 。( x ) a 2 ( x ) a 3 ( x ) 】 对于一维情况: 线性基p t ( x ) = 1 ,工 ,7 2 = 2 ( 2 一l 一3 ) ( 2 一l 一4 a ) x ,i i 、 a 、, x ,_、 t p l i 、l , x i 以 、, x ,i p 川削 一一 、, x ,l “ 华北电力人! 学顸7 1 7 ”j - 位论文 二次基p t ( x ) = 1 ,x ,x 2 ,m = 3 三次基p t ( x ) = 1 ,x ,x 2 ,x3 ,m = 4 对于二维情况: 线性基 p t ( x ) = 1 ,x ,y ,2 = 3 二次基 p t ( x ) = 1 ,x ,y ,x 2x y ,y 2 】,m = 6 ( 2 1 4 b ) ( 2 1 4 6 ) ( 2 1 4 e ) 三次基 p t ( x ) = 1 ,x ,y ,x 2x y ,y 2 , x 3 ,x 2 y ,砂2 ,y 3 ,7 2 _ 1 0 ( 2 1 4 f ) 对于三维情况: 线性基 p t ( x ) = 1 ,x ,y ,z ,m = 4 ( 2 一l 一4 9 ) 二次基 p t ( x ) = 1 ,x ,y ,z ,x 2 , y 2 , z 2x y ,x z ,y z ,m = 1 0 ( 2 1 4 h ) 三次基 p t ( x ) = 1 ,x ,y ,z ,x 2y 2 , z 2 , x y ,x z ,y z ,x 3 ,y 3 , z 3 , x 2 y ,x 2 z ,y 2 x ,y 2 z ,z 2 x ,z 2 y ,x y z , m = 2 0( 2 1 4 i ) 式( 2 。1 2 ) 是全局近似,而在近似计算中一般不采用全局近似,一方面收敛性不 容易控制,另一方面,也不利减小计算量,所以要进行分片拟合,即要进行局部近 似。其对应的局部近似表达式为: “6 ( x ,x ,) = p 小加小) = p t ( x ,) a ( x ) ( 2 1 5 ) 为了确定a ( x ) ,在局部范围内构造带权重的上2 范数j ( x ) ,并使j ( x ) 取最小值: j ( x ) = w ( x - x ,) “( x ,x ,) - u + ( x ,) 2 , = w ( x x ) p t ( x ,) a ( x ) - u + ( x ,) 2 ( 2 1 6 ) 式中x ,是x 影响域( s u p p o r to f i n f l u e n c ed o m a i n ) p 勺的点,共有咒个。这门个节点不必 连成单元,这是无单元法有别于有限元法之处;w ( x b x l ) 是权函数,其作用是控制 距离场点不同的节点对场点影响的大小,对影响域外的x ,w ( x x ,) = 0 ,对影响 域内的点x ,w ( x - x t ) 0 ;t l * ( x ,) 是“+ 在节点x ,处的值。 将式( 2 1 6 ) 写成矩阵形式 j ( x ) = ( p a u 。) 一w ( x ) ( p a u4 ) ( 2 一l 一7 ) 华:i 匕【匕力人学顺十:学位论文 式中 p = w ( x ) = p l ( x 1 ) p a ( x 1 ) p 川( x 1 ) p 1 ( x 2 ) p 2 ( x 2 ) p 川( x 2 ) p l ( x ,:) p 2 ( x ,) p 川( x ,) w ( x x 1 ) 0 0 0 w ( x x 2 ) 0 00 w ( x x ,1 ) d * ( x 1 ) z f + ( x 2 ) 当j ) 取最小值时,由梨:o ,得到 0 a i x ) a ( x ) a ( x ) 一b ( x ) u + = 0 式中,中间变量a ( x ) 和b ( x ) 分别为 a ( x ) = p x w ( x ) p b ( x ) = p t w ( x ) 当a 。1 ( x ) 存在时,解出 a ( x ) = a 。1 ( x ) b ( x ) u + ( 2 一l 一7 a ) ( 2 1 7 c ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 8 a ) ( 2 1 8 b ) ( 2 1 9 ) 每个局部近似式( 2 1 5 ) 的a ( x ) 都对全局近似式( 2 1 2 ) 有贡献,将式( 2 1 8 a ) 矛n ( 2 1 :8 b ) 代入( 2 1 2 ) 中,有 “( x ) = p t ( x ) a 一( x ) b ( x ) u + ( 2 1 1 0 ) 注意一点,m l s 不满足克罗内克6 条t :- 1 :( k r o n e c k e rd e l t ac r i t e r i o n ) ,即不满足 插值条件。由于采用滑动最小二乘法拟合,所以在x ,处,由式( 2 一l 一1 0 ) 得到的 “( x ,) u ( x ,) 。因此,在求解电磁场边值i 口- j 题时,无单元法对第一类边界条件的处 理将有别于有限元法,而是采用拉格朗r 乘子法或罚函数法等的特殊方法。 l p :i ll u 力人学硕:卜学位论文 2 1 2 形函数及其物理意义 可将式( 2 1 1 0 ) 写成下面形式 “6 ( x ) = n ( x ) u + 式中n ( x ) 称为形函数,其定义为 ( 2 1 1 1 ) n ( x ) = p t ( x ) a 一( x ) b ( x ) = 。:,】 ( 2 1 1 2 ) 尽管式( 2 1 1 1 ) 是定义在所有节点上的和,但由于b ( x ) 是一个稀疏矩阵,大多数的m 的值都是零;只有在影n 向域内节点的形函数不为零。 形函数n ( x ) 的微分形式为 n ( x ) ,= ip t ( x ) a 。1 ( x ) b ( x ) ii = p t ( x ) ,a _ ( x ) b ( x ) + p t ( x ) a - 1 ( x ) ,b ( x 、fp t ( x ) a 一( x ) 【b ( x ) 】, l 广1 一 r1 ( 2 一l 一13 ) 为了计算式中a 一( x ) f ,由单位矩阵可以导出a 叫( x ) ,的表达式 i = a a j i ,f = ( a a 。) , j 0 = a f a 一+ a a i : ( 2 1 1 4 ) j a 叫( x 1 f = 一a 一( x ) a ( x ) f a 。1 ( x ) 式中f 代表空间坐标变量x 中的元素x 、y 或z 。 形函数的物理意义:形函数n ( x ) 可分为三个独立的部分,即p t ( x ) ,a - 1 ( x ) 和 b ( x ) 。其中p t ( x ) 表示插值点的位置信息;a 。1 ( x ) 是以插值点为圆心的区域内( 即影 响域) ,所有插值基点的坐标各自进行包括加权在内的运算后叠加而成的;b ( x ) 中 的每一列可看成是表示对应的插值基点与插值点x 之间的分配关系。因此,无单元 法的形函数可以理解为,即对于插值点x ,先由其影响域内的所有插值基点所形成 代表整个影响域的a ( x ) ,并求逆,再利用b ( x ) 将这一整体信息分配到域内的各插值 基点,就可得到插值点与这些基点问的插值函数值。 2 1 3 权函数 权函数是无单元法的精华所在,它对场函数的光滑性,计算量的大小,计算结 果收敛的快慢都有较大影响。若选取得当,可使近似解和精确解在某一划分的区间 内更好的拟合,所以权函数的选取非常重要。目前,权函数的选取还没有一种通用 的方法,主要依靠使用者实践经验的积累,但其选取仍需满足以下基本原则1 : 华:i 匕l 也力人学硕十学位论文 ( 1 ) 权函数应非负; ( 2 ) 权函数应连续可导,以保证近似场函数连续可导。 ( 3 ) 权函数应单调递减,某节点的; 叉函数在该节点取得最大值,由近及远逐 渐衰减,且在影响半径之外值为0 。 权函数的非负性,保证了待求场点周围节点对该点的贡献为正;连续可导性能 够影响场函数的特性,如权函数有k 阶连续偏导,则形函数也将存在k 阶偏导,也 就是说,只要权函数选择的适当,场函数可以获得任意阶连续偏导;单调递减性是 指在影响半径之外权函数为0 ,这样保证了在求解a ( x ) 时a 一( x ) 的存在性。 2 1 3 1 常用权函数形式及比较 满足以上基本规则的前提下,无单元法常用的权函数类型有以下几种【2 j 1 1 2 、1 3 】: 指数型( e x p o n e n t i a l i ) ,、f e 一( 口) j 1 以d31 o刚 负指数型( e x p 。n e n t i a l i i ) “s ) = 百玎 f e 一( 嬲) 。一e 一口” 0 , 三次样条( c u b i cs p l i n e ) 四次样条( q u a r t i cs p l i n e ) 五次样条( q u i n t i cs p l i n e ) ,埙s,=43兰345-+4s2芝s43j3,s 以班1 - 6 s + p s 4 吣, 1 - 1 0 s + p 6 5 5 有理式形式( r a t i 。n a lf 。r m u l a ) “s ) = ( 1 k g s 2 + 乒) 圆锥型权函数( c o n i c a l ) s 1 s 1 j 1 s 1 s 1 2 1 2 1 s 1 s 1 s 1 s 1 s l s 1 式中s = 0 r 1 ,其中0 = i lx x 川,l 。,为影响半径。式( 2 1 15 a ) 中口为控制系数; 式( 2 1 1 5 b ) q b 口为控制相对权重的参数;式( 2 1 1 5 f ) 中k 为正整数,孝为一很小的正 数;式( 2 一l 一1 5 9 ) 中k 为控制系数。 华北电力人! ! 浮硕十学位论文 常用权函数 图2 1 权函数图形 图2 1 给出了权函数的图形。通过分析可以看到,各种权函数的特性大体相同, 但是所具有的连续可导性不尽相同。三次、四次、五次样条函数型权函数和有理式 型权函数为严格意义的连续可导。而另外三种形式的函数,即指数型、负指数型权 函数和圆锥型权函数,在数学上都不是严格连续可导的,但是只要参数选取得合适, 可以保证近似连续可导,这对于数值计算结果的影响很小,可以忽略。对于一般精 度而言,参数选取范围可确定为:指数型,口不大于o 4 ,最佳为o 3 左右;负指数 型,2 5 t 6 ;有理式型k 可取一正整数,如2 ,4 ,6 等,f 可取小于或等于1 的 整数;圆锥型,固 1 式中;:坚型。其函数图形如图3 3 所示。 该跳跃函数能较好地模拟导数的 i 连续,但在二维区域罩面不具有紧支集特 华,i li l = ! 力人学硕? 卜学位论文 性,必须对其进行修正。在二维区域中,近似修- _ f 为 “( x ) = ,( x ) “,+ 6 ( s ) 甲( r ) = ,( 工) “,+ 钆m ( s ) 甲( r ) ( 3 1 3 ) llj 式中m ( j ) 是用弧长为自变量的一维形函数;轧疋,- 歇工l - t 一:。t l 跳跃强度的参数。 q 4 0 2 一夕 。i 一0 ;。一 6 j 0 1 5 j 。“i 。 0 2 : - 0 4 : 图3 3 一维跳跃函数 3 2 复杂边界的处理方法 图3 4 曲线边界近似 当求解区域出现比较复杂的边界时,会给网格剖分带来极大不便。为了不使方 程发生奇异,必须进行比较密集的剖分,从而大大增加了信息量,这是所有以单元 为基础的算法的弊端。无单元方法不需要节点构成单元,所以节点分布可以非常灵 活。在复杂的边界附近可以根据需要加密节点,只要保证不使相邻节点间距差别过 大即可保证计算精度。 另外,边界上没有必要布置过多的节点。原因是无单元法采用的是拟合方法而 不是有限元方法采用的插值方法,所以节点:倍置自由得多,只要保证边界的附近和 内部有足够多的节点分布即可,对节点的位置不做苛刻的要求。 关于第一类边界条件的处理,无单元方法是通过边界积分的方法加入的,对于 二维情况,做线积分,对于三维情况,做面积分。当遇到曲线边界时候,本文采用 折线代替曲线的方法( 三维为平面代替曲面) 。然后分别作各条线段( 平面) 的积 分,如图3 4 所示。 华一匕电力人学硕士学胁0 论文 3 3 算例 考虑一个简单的二维静磁场模型,其平面示意图如图3 5 所示。图中存在两利, 材料,一种是相对磁导率为1 5 的线性材料,“= 1 5 a t 。,另一种是相对磁导率为1 的空气,u ,= 肌,流过的面电流密度j = 1 5 0 0 a i l l 2 。以矢量磁位a 为求解量进行计 算,零磁势参考点本应该选无限远处,但为了简化计算,假定外沿的磁势为零,此 为第一类边界条件,该模型结构沿x 轴有齐次的第二类边界条件成立。对于这两种 介质交界面的问题,采用可视性准则的方法进行处理。 利用无单元法计算出各节点的a ,再由b = v a 求出b ,并绘制出该问题的磁 场分布,如图3 - 6 所示。 图3 5 二维磁场模型的计算区域 3 4 小结 图3 - 6 磁场分布图 本章主要介绍了处理介质交界面的三种方法,包括可视性准则、l a g r a n g e 乘子法 和跳跃函数法,阐述了各法的基本原理,分析了它们的优缺点。通过对二维静磁场模 型的计算,实现了用可视性准则的方法处理介质交界面问题,得到了比较满意的结果。 另外,对复杂边界的处理方法也做了简单的讨论。 华:l 匕电力人! ! 弘硕士学位论文 第四章对影晌计算精度的四个主要因素的研究 第二章中已对无单元法的基本原理作了系统的阐述。通过对计算原理的研究, 可以发现,影响无单元法计算精度的因素主要有以下几个方面: ( 1 ) 权函数 ( 2 ) 基函数 ( 3 ) 影响半径 ( 4 ) 节点分布密度 在这一章,将结合算例对以上四个影响无单元法计算精度的主要因素进行详细 讨论。 4 1 计算模型 如图4 1 所示,单位为米。根据分离变量法,槽内的电位的解析解为【1 8 】: “c x ,y ,= :妻。s i n ;焉y 三竺兰耋擎 。4 一。, :争s i n2 n s i n h2 n :c ( 0 5 - :r ) x 图4 1 长直导电槽截面 4 2 权函数对计算精度的影响 权函数在无单元法中起者至关重要| ,j 作用,是无蚺元法的核心,它的选取将直 27 白一 白 华:j 匕l 包力人:j o 硕一忙学位论文 接关系到无单元法的计算精度和计算的复杂性。在第二章中已对权函数的选取原则 及权函数的类型作了详细的阐述。这里分别选用第二章中式( 2 一l 一15 a ) 式( 2 一l l5 9 ) 作为权函数来计算图4 一l 中的算例,并将结果进行对比。 将场域用1 1 5 6 ( 3 4 x3 4 ) 个均匀节点离散,积分采用1 0 8 9 个矩形积分子域, 户四阶高斯积分,选择二次基作为基函数。采用上述七种权函数分别进行计算,权函 数参数选取 2 0 】分别为:有理式型( k = 4 ,f = 1 ) :指数型( 口= o 3 5 ) ;负指数型 ( 口= 2 7 5 8 ) ;圆锥型( k = 1 ) 。将计算结果与解析解进行比较,表4 1 中列出计算 点的最大相对误差、均方差和相对c p u 时间。 表4 1 不同权函数下计算结果的比较 从表4 1 中的误差比较和c p u 时间比较可以看到,权函数的特性不同,计算的 精度差别较大。具有较好连续性和可导性的权函数,计算精度较高;反之,如圆锥 型权函数,就会造成较大误差;不同权函数形式下的计算时间略有差别,形式简单 的权函数的计算时间较短,如指数型权函数、圆锥型权函数,反之,形式复杂的函 数,计算速度比较慢,如三次样条函数。当计算的规模变大以后,这牙, f - i , - i - 算效率的 不同将会很明显。 总之,对于权函数的选取要进行比较全面的考虑,根据不同的场域特性确定不 同的权函数及其参数。本文通过大量的计算,总结出在电磁场分析中,有理式函数、 样条函数和指数型权函数均可以得到比较理想的结果。 4 3 基函数对计算精度的影响 在无单元法中,基函数的选用主要有线性基、二次基、三次基三种,基函数选 取的好坏对计算精度有显著的影n 阳。在同样的影响域、同样的节点密度和同样的权 函数情况下,选用不同的基函数分别进行计算。汁算结果如表4 - 2 所示。 2 s 华,i l l 也力人! 学硕? 卜! 学位沦文 表4 - 2 不同基函数卜汁算结果的比较 从表4 2 中可以看出j 选用三次基函数,计算精度比较高且计算效率偏低;选 用二次基函数,计算精度有所下降,但可提高计算效率;取线形基函数,计算结果 的误差要比前两个基函数大。一般情况下,取二次基函数就可以得到比较理想的结 果。 4 4 影响半径对计算精度的影响 无单元法是函数遐近,从这一角度看,影响半径的作用在于在影响域内包含足 够多又尽可能少的节点。“足够多”在于要有足够的采样点来满足场函数的连续性 要求并确定近似解中的待定系数;“尽可能少”在于要保证和突出邻近节点问的函 数关系免受其它节点的过多影响,从而使近似解更好地逼近真实解。因此需对影响 半径进行合理地选取。 选取具有一定代表意义的影n 向半径进行研究,对其计算结果进行对比,见表4 3 所示。 表4 3 不同影响半径的计算结果的比较 由表4 3 可以看出,在权函数和基函数选定及节点密度不变的情况下,当影响 半径较小时,计算结果与精确解相比误差较大,出现失真的情况。但这并不意味着 影n 向半径越大,计算结果越好。d :l 表中可见,当影i 响域0 0 6 时,计算结果也会产 华北l l l 力人:学硕:卜:学位论文 生较大的误差,出现失真的情况。+ 从计算结果来看,当影n 向半径选为o 0 3 0 0 4 之 间时,计算结果较好。表中最后一行的影响半径是采用第二章提到的经验公式 ( 2 1 1 6 a ) 算出的,由此得出的汁算精度较高,计算效率也较高。 4 5 节点分布密度对计算精度的影响 节点分布密度对无单元法的计算精度有着比较明显的影响,为了研究节点分布 密度对计算精度的影响,基函数选用线性基,权函数选用指数型,影响半径选用经 验公式算出的值( 注:式( 2 1 16 a ) 中影向半径,j 7 ,与节点密度c 有关) 。节点数分 别选用1 2 1 ( 1 1 1 1 ) 、4 4 1 ( 2 1 2 1 ) 、9 6 1 ( 3l 3 1 ) 、16 8 1 ( 4 1 4 1 ) 四种情况进 行计算。如表4 4 所示,是四科,不同节点密度的计算结果的对比。 表4 4 不同:俸点密度的计算结果的比较 由表4 4 可以看出,在权函数及基函数选定的情况下,节点的分布密度对无单 元法的计算精度有着较大的影响,总体规律为随着节点密度的增大,计算精度有所 提高,但是当节点数过多,要以增加计算时间为代价,计算效率随之降低。如果在 影响半径不变的情况下,当节点数过少或过多,都有可能造成计算结果失真。 4 6 小结 本章对影响无单元法计算精度的四个主要因素权函数、基函数、影响半径和节 点分布密度进行了探讨,通过分析算例,得出了一些规律: ( 1 ) 在基函数选定,节点密度和影向半径不变的情况下,七种权函数都可以 满足计算精度的要求,各有优缺点; ( 2 ) 在权函数选定,节点密度和节点影响域不变的情况下,高次基函数比低 次基函数计算精度要高,但对计算结果影响不大; ( 3 ) 在权函数和基函数选定,节点密度不变的情况下:影响半径的作用在于 在影响域内包含足够多又尽可能少的:肖点,其值通常由经验公式求出; ( 4 ) 在权函数和基函数选定影响:仁径不变的情况下,节点分布密度对训:算 : n 华北l 岜力人! 学颂i :学位论文 结果影响较大,总体规律为随着节点密度的增大,汁算精度有所提高。 以上只是一些比较简单的规律,并不能单一的拿出来说明某个问题,这四个主 要影响因素是相互相关的、相互影响的。针对具体问题需要具体研究,不能为了追 求精度,而盲目的增加节点影n 向域和节点分布密度或者提高基函数的次数等等,这 有可能使计算结果失真。 华:f i = l 也力人! 学硕? = 学位论文 第五章计算实例 基于无单元法的基本原理,本章自行设计了三维电磁场无单元法计算程序,并应用 于分析三维静电场算例,所得结果与有限元法的计算结果进行比较,分析了计算结果的 误差,验证本算法的正确性和有效性。 5 1 计算模型 下面对一简单的三维静电场模型进行分析。图5 1 表示一方形电极和外屏蔽的 模型。根据对称性,只计算第一卦限内的部分,如图5 2 所示。图中单位为米。内 导体电极的电位取10 伏,外层屏蔽电位取0 伏,之间的区域认为是真空,无体电 荷分布。 图5 1 屏蔽电极模型 边界条件如下: 图5 2 计算区域及几何尺寸 平醯= 1 0 ,0 y 1 0 ,0 z 1 0 := o v 平面j ,= 1 0 ,0 x 1 0 , 0 z 1 0 :矽= o v 平面z = 1 0 , 0 y 1 0 ,0 x 1 0 := o v 平面x = 5 , 0 y 5 , 0 z 5 := l o v 平面y = 5 , 0 x 5 , 0 z 5 := l o v 平面z = 5 , 0 y 5 , 0 x 5 :矽= i o v 面x = 0 ,y 5 & z 5 : 面y = 0 ,x 5 z 5 : 却,、 2u a n a 矽,、 2u 功2 面z :b ,再曩再石:掣:o o n :3 2 华:i 匕电力人学硕十学位论文 将二维电磁场无单元方法进行推广,不难得到三维场的计算方法。基函数的选 取可以参照式( 2 1 4 9 ) ( 2 一l 一4 i ) ,其他公式进行相应的扩充即可。刺于三维静 电场问题,选取标量电位, 作为待求量。权函数的影响域变成了球形,对应的影响 节点个数明显增加。计算方程系数阵s 中的元素的积分变成了体积分,边界积分变 成了面积分。这样,积分点的个数也变得非常庞大,计算代价随之增大。 5 2 参数选取 ( 1 ) 基函数选取线性基,如式( 2 1 4 9 ) ;四阶高斯积分;3 0 3 2 个节点均匀分布。 ( 2 ) 权函数选取有理式形式( 2 1 1 5 f ) ,有理式函数为严格意义的连续可导函 数,计算精度较好。k 及s 的选择具有一定程度的任意性,但选取得好可提高计算 精度。有理式权函数具有k 一1 阶导函数连续,但是当k 取得较大时,影响域明显缩 小,容易造成计算失真,一般k 取值不超过4 js 为一个 圈、的正数,其值越小,权 函数的非零影响域越小。一般地,保证权函数在节点的取值应为1 ,s 可取为1 。对 于本文的模型,取k = 4 ,s = 1 0 时,计算结果误差最小,如表5 1 所示。 表5 1k 、s 在不同取值下的计算结果的误差 尼s 最大相对误差绝对值( )均方差( ) o 28 3 3 e 一0 43 8 7 e 0 4 o 57 9 5 e 一0 43 0 8 e 一0 4 2 o 87 6 8 e 一0 42 5 4 e 一0 4 1 07 4 0 e 一0 42 0 6 e 一0 4 o 28 1 1 e 一0 43 0 5 e 一0 4 4 o 57 8 4 e 一0 42 4 9 e 0 4 o 87 3 2 e 0 41 9 6 e 一0 4 1 o7 0 7 e 一0 41 8 2 e 一0 4 0 28 2 6 e 一0 43 1 7 e 一0 4 o 57 8 7 e 一0 42 8 4 e 一1 9 4 , 6 o 87 4 2 e 0 42 0 1e 0 4 1 07 2 6 e 一0 41 8 3 e 一0 4 ( 3 ) 影响半径也需要适当选取,借鉴力学场的经验公式1 9 1 ,在节点均匀分 布时可取为 3 口,z 2 可丽 ( 5 1 ) 式中:n = 4 ( 线性基) ,10 ( 二次基) ,2 0 ( 三次基) ;c 为节点分稀密度;a 为大 于1 的系数,_ 般取4 6 ,本文取a = - 4 。- 1 i - + 点不均匀分布时,各点的,j ,需分别确 定,但原则同上式,只不过此时c 为变量。 华北l u 力火! 学硕+ 学位论文 ( 4 ) 在此例中采用罚函数法处理第一类边界条件。它的优点在于它保证了系 数矩阵的正定性和带状分布。理论上,罚因子越大,所得的结果越精确,但实际上 c 值取得越大计算起来越复杂,取得较小又不能满足精度要求,所以目前罚因子c 的选取尚无统一标准。这里取c = 1 0 0 0 。 5 3 程序结构 选取m a t l a b 作为无单元算法的开发环境,依据第二章的基本原理,可以将 无单元法的实现步骤总结如下: 生成节点并计算节点的影响半径。 确定高斯点位置及积分权。 对高斯点循环,扫描高斯点的影响节点,通过高斯积分,计算高斯点对整体平衡 方程的贡献,并将其集入整体平衡方程中。 如高斯点循环完毕,则执行,否则继续。 解整体平衡方程,得出节点电位值。 后处理,描绘等位线。 对应以上步骤,在m a t l a b 环境下,计算程序包括一个主程序( 脚本文件) m a i n m 和四个子程序( 函数分件) 包括:d a t ap r o m 准备数据一一布置节点,积分 点,计算积分权;g a u s s m 计算高斯积分; w e i g
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