（理论物理专业论文）在53280mev下的αα弹性散射光学势的研究.pdf

! 竺苎查竺壁! 些竺竺竺查竺竺! 墨 在5 3 2 8 0 m e v 下的口一口弹性散射光学势的研究 研究生：张峰 导师：杨永栩教授 广西师范大学物理与信息工程学院理论物理专业原子核方向 内容提要 为了探讨粒子与核相互作用的一般规律或者计算某些实验上难以测定的截面，我们需要 找寻所谓普适的光学势，即在一定能区内都适用的光学势。 本文基于最小二乘法程序，利用通过拟合各能量下的实验数据得到的a 一口的光学势的 参数，在此我们光学势实部分别取为w o o d s s a x o n 势一k e x p ( ( r r l a3 ) a i ) 】，单高斯 势一v e x p 一口 r 2 ，以及双高斯势一ke x p 一r 2 卜心e x p - c t 2 r 2 】，虚部为 一w e x p ( ( r 一，o 爿3 ) a 。) ，首先我们使用了六参w o o d s s a x o n 势做为实部我们发现 ，1 ，4 在各能量下变化不大，随后我们定rr l ，a l 两参数，只调v wr o a 。而让其能够满 足各能量下的所有实验，并且发现实部深度因子参数的大小与粒子的入射能量有关，利用该 势作为所需的光学势，采用分波理论，运用f o r t r a n 语言编制程序计算了相移的大小，带入微 分截面计算出各能量下的a a 的弹性散射的微分截面。计算了口一a 的弹性散射在入射粒 子的能量分别为l = 5 3 4 0 ，5 8 4 9 ，6 3 9 1 ，6 9 9 1 ，7 7 5 5 ，1 0 0 ，1 2 0 ，1 5 8 ，2 0 0 ，2 8 0 m e v 时的微分 截面。通过计算出来的口一口的弹性散射的微分截面与实验数据进行比较，可以发现：对于 微分截面，可以看出d a 的散射微分截面与入射粒子的能量有关，同时，微分截面的变化 趋势也很好地反映了出来，其计算结果与实验数据符合的很好，微分截面的大小以及峰和谷 的位置也可以很好地进行预测。 由此可以反应出本文所找寻的光学势的实部能够很好的满足在各能量下的实验数据。 同时本文还简单的分析了单商斯势和双高斯势的拟台参数，试图从利用单高斯势中找到 深度因子与能量的普适势，但是没有成功。 关键词：a 粒子弹性散射光学势 广曩n 研范大掌硕士习门电生掌位饨文 a b s t r a e t o p t i c a lm o d e la n a l y s i so ft h e e l a s t i cs c a t t e r i n go fa l p h ap a r t i c l e sb y h e l i u mb e t w e e n5 3a n dl2 0 m e v g r a d u a t es t u d e n t ：z h a n gf e n g a d v i s e r ：p r o f y a n gy o n g - x u ( c o l l e g eo fp h y s i c sa n di n f o r m a t i o nt e c h n o l o g y , g u a n g x in o r m a lu n i v e r s i t y ) a b s t r a c t f o rd i s c u s s i n gr e c i p r o c a lc o m m o nr u l e o fp a r t i c l ea n dn u c l e u so rc a l c u l a t i n g s o m en oe a s yd e t e r m i n i n gd i f f e r e n t i a lc r o s ss e c t i o n s ，w em u s tl o o kf o rw h a ti sc a l l e d a tl a r g eo p t i c a lm o d e lp o t e n t i a l ，n a m e l y ，i na1 i m i t e de n e r g yr a n g ea n d t a r g e t r a n g e ，i ti sr e s u l ti nc o n c o r d a n c ew i t he x p e r i m e n t i a ld a t a i nt e r m so ft h ev i e wp o i n to f t h e l e a s t s q u a r ef i t t i n g ，u t i l i z i n ge l a s t i c s c a t t e r i n gd i f f e r e n t i a lc r o s ss e c t i o no f 口一口u t i l i z i n go b t a i nt h eo p t i c a lp o t e n t i a l p a r a m e t e r so f t h eo p t i c a lp o t e n t i a lf o rt h e “一as y s t e mb yf i t t i n gt oe a c he n e r g ye x p e r i m e n t a l d a t a ，a tt h ef i r s t ，t h ef o r m ，w em a d eu s eo f , w a sw o o d s s a x o np o t e n t i a l ，n a m e l y ： i k e x p ( ( r r l a3 ) a 。) s e c o n d l y ，w ea l t e r e dt h i sf o r mt oa n o t h e rf o r mo f g a u s s i a np o t e n t i a la st h e 口一口i n t e r a c t i o n ： 一v e x p 一a4 ，2 a tl a s tw eu s e dd o u b l eg a u s s i a np o t e n t i a l ，n a m e l y ： 一一e x p 一口l4 r 2 一e x p 一口2 + r 2 f o r t h ei m a g i n a r yp a r to ft h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nt h ei n c i d e n t 口p a r t i c l ea n d t h et a r g e tn u c l e u s ，w et a k e t h es t a n d a r dw o o d s s a x o nf o r m l w e x p ( ( r 一爿3 ) a o ) w et o o ks i xp a r a m e t e r sw o o d - s a x o np o t e n t i a la sr e a lp a r to ft h eo p t i c a lp o t e n t i a lw ef o u n d t h a t t l l e p a r a m e t e r so f r l , a lc h a n g ea r en o tv e r yb i gw i d e ，t h u sw el i m i t e dr t , a ，o n l y a l t e rvw r oa ot oo p t i m i z et h e f i tt ot h ee x p e r i m e n t a l d a t a w el o o k e do u t i i r 。西师嗣o k 攀砸士习f ，巴生掌位论文 a b s t r a c t t h er e a lp a r a m e t e rkn u m e r i c a lv a l u eh a sr e l a t i o n t ot h ee n e r g yo fi n c i d e n c e p a r t i c l e u s i n gt h i sp o t e n t i a la st h er e a lp a r to fw en e e d ，w ea d o p tt h ep a r t i a l w a v em e t h o dt od e d u c et h ef o r m u l ao fs c a t t e r i n ga m p lit u d e ，u s ef o r t r a nc o m p i1i n g t oc a l c u l a t ep h a s es h i f t s ，a n dt h e nc a l c u l a t ee l a s t i cd i f f e r e n t i a lc r o s ss e c t i o n s o f0 一口a tt h e e n e r g i e so f l = 5 3 4 0 ，5 8 4 9 ，6 3 9 1 ，6 9 9 1 ，7 7 5 5 ，1 0 0 ， 1 2 0 ，1 5 8 ，2 0 0 ，2 8 0 m e v c o m p a r e dw i t ht h ee x p e r i m e n t a ld a t a ，a l lt h ec a i c u l a t i o n s p r o v et h a tt h ev a r i a t i o nt e n d e n c yo ft h ec r o s ss e c t i o n si sa l ls h o w n t h ec a l c u l a t i o n s a r ei na g r e e m e n tw i t ht h ee x p e r i m e n t a ld a t a ，t h ev a l u eo ft h ec r o s ss e c t i o n sa n d t h ep o s i t i o n so ft h em i n i m u ma n dm a x i m u ma r ew e l ld r e d i c t e d c o n s e q u e n t l y ，i tc a nr e f l e c tt h a tt h er e a lp a r to ft h eo p t i c a lm o d e lp o t e n t i a lt h a t t h ist h e s isl o o kf o ris i na g r e e m e n tw i t ht h ee x p e r i m e n t a ld a t a a tt h es a m et i m e ，t h i sw o r ki n c l u d et h a t w eb r i e f e dd i s c u s st h eg a u s s i a n p o t e n t i a la n d t h ed o u b l eg a u s s i a np o t e n t i a l s f i t t i n gn u m e r i c a lv a l u e w e a t t e m p t e dt ol o o ko u tt h er e l a t i v eo ft h e d e p t hg e n ea n de n e r g yf r o mt h eg a u s s i a n p o t e n t i a lf o ra l l t h ee n e r g y 。b u tt h i sa t t e m p tf a i l e d k e yw o r d s ： 口p a r t i c l e e l a s t i cs c a t t e r i n g o p t i c a lp o t e n t i a i l i l ! 塑兰查兰竺圭兰查圭兰竺竺查兰皇 引言 为了探讨原子核的内部结构问题，我”j 通常以散射为手段进行研究。在核物理中两个口 粒子的相互作用有着特殊的地位，它们相互作用的三个特点使它们在实验和理论分析中有着 特殊的意义： ( 1 )两个为完全相同的粒子 ( 2 )两粒子自旋都为0 ，没有自旋轨道耦合和极化现象 ( 3 )a 粒子有较高的相互结合能 ( 4 ) 核结团结构模型中口粒子结团结构有着非常重要的地位 因为以上几个原因，用于揭述实验弹性散射数据的大量相移很容易减到最小。a a 的 相互作用之所以在核结团结构理论中非常重要，是因为d 粒子被认为是一些复杂粒子的构 成单位，例如对丁一些特殊的轻原子核，如”c ，“d 等所表现的a 粒子的结团结构现象，已 经被许多实验所揭示。因此这个碰撞的准确知识可能在核力到核结构的许多细节中提供了一 个试路石。所以，人们在该领域中投入大量的人力和物力来进行研究。近几十年来，人们进 行了相当数量的实验和理论的研究，在实验方面近年来有着不少的进展，随着实验技术的进 步，已经提供了大量的实验数据，这些实验数据结果的出现为检验各种理论势提供并开辟了 一个崭新的领域。 多年来人们提出各种各样的光学势来描述口一a 弹性散射，其中主要有单高斯势，双高 斯势，以及w o o d s s a x o n 势等。在求光学势的参量时通常做法是从实验数据推算各分波相应 与不同入射能量下的相移，一旦具有详细而且精确的散射和各种极化的实验数据，就能获的 基本上是单值的合理的相移，然后有相穆分析所给出的相移来确定所含参量，这样就可以获 的一种符合两体相互作用的位势，或者我们可以直接通过拟合散射实验数据来确定所含参 量，这样求的位势称为唯象核力。显然，由于假设的核势形式不同，可以得到很多不同的唯 象核势。文献( 4 ) 就是运用了相移分析，他们使用到了w o o d s s a x o n 势描述了5 3 m e v 到1 2 0 m e v 能量下的a 一坟弹性散射，他们的计算结果与实验数据都能够比较好的符合，但他们所取 的库仑势在各能量下始终为一常数，并且在算同一能量下的微分截面时，各l 相移下的势参 数的取值不同。而也有大量的文献用到商斯势来计算，但是他们所计算的口一a 弹性散射 的能量覆盖范围都比较小。文献( 2 8 ) 中用到的光学势计算出来的微分截面虽然与实验值符 合的较好，但其光学势中参数较多且形式过丁二复杂。 广西师范大掌硕士研究生掌位论文 | 言 在本文采中用了分波法先后用了单高斯势，双高斯势以及w o o d s s a x o n 势作为光学势的 实部，虚部始终为标准的w o o o d s s a x o n 势，库仑势为均匀带电球的库仑势，用此构成的光 学势直接拟合实验数据得到参数值，并用此参数值计算了5 3 4 0 m e v 到2 8 0 m e v 下的散射截面。 本文的第一部分简要介绍了所要用到的分波近似理论，为全文的工作打f 理论基础。 本文第_ 二部分介绍了所用的几种光学势。 文章的第三部分首先介绍了口粒子和口粒子之间的相互作用势，以及利用分波法求解 而得到的a a 弹性散射振幅的公式，微分截面的公式，利用这些公式以及通过拟合实验数 据所得到的光学势的具体参数分别计算了入射粒子能量为l = 5 3 4 0 ，5 8 4 9 ，6 3 9 1 ，6 9 9 1 ， 7 7 5 5 ，1 0 0 ，1 2 0 ，1 5 8 ，2 0 0 ，2 8 0m e v 的a a 的弹性微分截面的大小。 第四部分，介绍了最小二乘法拟合以及在本文拟合中的特殊处理。 在第五部分，对以上所得的结果进行了分析和讨论，也进行了概括和总结。 文章最综观全文做了总结并列出了相关的参考文献；然后是致谢。 2 广西师范大学硕士句愧生掌位论文第一章分波理论 第一章分波理论 1 1 分波法 对于中心力场，v 仅使r 得函数，轨道角动量守恒，波函数i f ，可按角动最分波展开 = 吉军竹) 毋( c o s 扫) ( 1i l ) 这时z 满足径向波方程式 万d 2 t “一丁1 ( 1 + 1 ) c ，( r ) 工( r ) = 。 ( 1 1 2 ) 在式( 1 1 1 ) 中只选用了磁量子数为0 的态。这是因为入射波沿z 方向，各分波的磁量子 数均为0 ，根据角动量守恒原理，y 中亦不含磁量子数不为0 的分波。当u ( r ) = 0 时，式 ( i 1 2 ) 的解为球贝塞尔函数 ( 知) ，h ，( 扫) r q 哼( 打) 。( 2 ，+ 1 ) ! ! - ，_ ( 2 l + 1 ) ! ! ( 知) 一 ( 2 ，+ 1 ) ! ! - - - 1 + 3 + 3 a ( 2 1 + 1 ) 因此当r 较大，u ( r ) 呻0 时 ；( r ) 叶彳f ( c 。s 叮，+ s i n 玎，) 4s i n ( h 一昙石+ 叩) ( 1 1 3 ) 上式中玎，由径向波方程式( 1 _ 1 2 ) 决定，而0 f 则为待定常数。显然，当u p ) = 0 时叩，= 0 ， 因为月f 在，= o 处是发散的u ( ，) 为零的解不能包含n ，项。t n 此r ，是在位场作用下引起的 位相变化，称为波的相移，式( 1 1 3 ) 还可写成： 舢i n ( 打一丢石帆) _ - 鲁e 咖 e x p _ f ( b 一劬- s ，e x p f ( 扫一詈，) 】 ， 式中右方量项分别表示球面入射波和出射波。s f = e x p 2 i r ， 为散射矩阵s 的，分波矩阵 元。上式还可写为： 4 s 的一詈l + r z m s i 竹一抄譬e x p 浙一却 将上面的f ( ，) 的渐进式代入( 1 1 1 ) 得 广茸师范大掌硕士研究生掌位沧文 第一r 分波理论 y 斗；扣s i n ( 打一考鸺( c o s 叭芈朋) ) 朋) = 上2 i k i 且e x p 一f 詈， ( s l - 1 ) 和s 口) 平面波的展开式为 e = 吉军( 2 ) e x p f 詈州1 打) 聃。s 口) 一云1 莩( 2 ，+ 1 ) e x p 【f 争i 呐一詈鸺( c o s 目) 与( 1 1 5 ) 右方第一项比较，得 或 b i = ( 2 l + 1 ) e x p f 要f 代入( 1 1 6 ) 得 f ( o ) = 去；( 2 ) ( s t - 1 ) 聃。s 口) f ( o ) = 妻；( 2 ) e x p 【慨 s i n q t 驰。s 曰) ( 1 1 6 ) ( 1 1 8 ) 由此可见，处理散射问题得步骤是。解方程式( 1 1 ，2 ) 求得仇，再由式( 1 1 7 ) 或( 1 1 8 ) 算得f ( o ) ，微分截面为 或 删) = l y ( o ) l 2 = 古陟川) c x p s 咖烈c o s 目) 1 2 ， 呻) = 嘉陟川”，- 1 ) 聃。s 口) f 2 对角度积分，可得总截面盯+ 或 q 2 j 盯( 蚴= 警车( 2 ，+ 1 ) 耐臻 4 广西师范大掌硕士研究生学位论文第一幸分渡理论 o t = 吾军口+ 1 ) 1 s ，一1 1 2 1 2 库仑场中的散射 两个带电荷z 1 e 和z 2 e 的原子核之间的相互作用位势可以写成 ( 1 1 - 1 2 ) 矿：兰垡+ 吒 ( 1 2 1 ) r 是核相互作用由丁库仑力是长程力，分波法要做一些相应的变化。我们先讨论纯库仑场 的作用，然后再加上核相互作用。 在纯库仑场的作用f ，相对运动波方程式可写为： ( v2 + 七2 一u 。) 甲= 0 ( 1 2 2 ) 或者写成分波的径向方程式： 矿d2 + k 2 1 ( i ，+ 。1 ) 一u c m ( ，) = 。 ( 1 2 3 ) 式中u 。= 2 k 鱼，e ；，p ：卢z i i z f 2 e 2 ，为折合质量。尽管当r - - o o 时u 。斗o ，它在r 很 rn 庀 人时甲和z 均不趋近于自由粒子的波函数。这是这种长程相互作用的一个主要特点。为 了说明这点，可求出在r 很大时的渐进式。设 ，尸v ( r ) e ”( 1 2 4 ) 代入式( 1 23 ) ，得 t 嘉m 昙叩。+ 竽玳= 。z s ， 设在r 很大时，v ( r ) 随r 缓慢变化，忽略关于v ( r ) 的二次微分项，得 d l n v = - 2 t q k ( 掣) - n v = 去p 。办一瓦i + 1 ) 房卉 z s ， 广西师范大掌司e 士研究生学位论史 第一| 分波理论 当u ，黼l i m r “矿p ) = 0 时，上式中的两个积分在r 一。是收敛的，故v 趋近一常 数，；趋近自由粒子波函数。对于库仑场，式( 1 2 4 ) 右方两个积分很容易算出，当r 时， i n v _ 一二2 p k l n r + l i l c 2 k v _ c e 一口l o 7 由此可见，当r _ o o 时，；的渐进式一般可以写为 ( 】2 ，7 ) 一 一f e 洳一扣“2 打+ b ，p 一静+ 枷“2 打 ( 1 2 8 ) 上式表明当rj 0 0 时，库仑场对波函数有扭曲作用。 实际上，式( 1 2 3 ) 的解，经过简单的变换，可以表示为超比几何级数。可记为鼻及g ，。 当r 时 e _ s i n ( 打一；，丌+ 瓯一p l n ( 2 打) ) g 1 - c o s ( 打一三，+ 矗叫n ( 2 删 ( 1 2 g ) 式中，吮= 去l n 糊】为库仑相移，r 为r 函数。鼻及g f 称为库仑波函数 r - - o ，鼻- 0 是规则解，g ，为非规则解。因此，对于纯库仑场 鬈= 车量吉巧毋( c o s 口 可取日：( 2 ，+ 1 ) p 如+ 争，这样 6 广西师范大掌硕士研究生掌位论文，声一章分波理论 t = l ( 2 f m “咄+ 硎c o s d 斗军( 2 f + 1 ) ( 一1 ) 7 石i is i n ( 打一p l n ( 2 打) 一三，) # ( c 。s 曰) + 熹e i g r - i p l n ( 2 k r ) ( 2 1 + 1 ) ( p 2 “一1 ) p 1 ( e o so ) 2 f 打， 一 上式箭头右方第一项为经过扭曲的平面波，而第_ _ 二项为球面出射波。( 1 2 1 0 ) 虽然在 原则上给出了库仑散射的波函数，但不便于实际计算。通过直接解( 1 2 2 ) ，可以证明，当 r o o 时 甲c - - - ( 1 + j i 号与) e x p 池+ 护l n 七p z ) ) + ；e x p 洳一驴l n ( 2 扫) 正( 臼) 正( 目) = 瓦p _ 1 j 百。x p 一徊1 n ( s i n 2 i 0 ) + f 石+ 2 f 8 i t s l n 。 一 2 ( 1 2 1 2 ) ( 1 2 1 i ) 比较，并令r o o ，不难看出两式相互对应，因此 互磊1 军( 2 ，+ 1 ) ( e 2 i a l - 1 ) 露= 瓦p j 1 百e x p 一驴l n ( s i n 2 0 ) + i x + 2 i 吮 s i n 。 2 由此得：库仑散射的微分截面 当有核作用时，满足方程式 盯( 目) = l 丘( p ) 2 石d2 l ( 1 ，+ 1 ) + k 2 - u 。- u f t ：。 7 广西师范大掌硕士研究生掌位论二第一 分波理 式中u 。为与核作用相对应的u 函数一工的渐进式可写为 z 斗曰fs i n ( 打一_ u 2 l p l n ( 2 9 r ) + 矗+ 占i 。) 式中点。为由核作用引起的附加的相移。取 我们得到 总的散射振幅为 微分截面为 曰，= ( 2 ，+ 1 ) e x p i ( 8 n 一氏+ 甲= 毛鼻( c o s 臼) 争打、 7 畸掣c + 1e x p i ( k r p t n ( 2 a r ) ) l ( o ) r ( 口) = 磊1 ( 2 ，+ l 妒( e 2 一1 ) 卑( c 。s 口) f ( o ) = ( 目) + 正( 臼) 塞= i 朋) i 2 广西师范大掌砸士研究生学位呛支 第= t 光掌尊的形式 2 1 光学模型 第二章口粒子弹性散射光学势的形式 首先，我们先对核反应机制的研究作简单的历史同顾。人们在进行低能中子和反应研 究时，最容易想到的是用一个位阱来描述这种相互作用，很快人们发现无论怎样的位阱也不 能解释宽度不到l e v 的共振峰核很大的吸收截面。随后又提出了复合核模型，当时对核反应 机制的看法是入射粒子在核表面会受到散射，一日进入核内即为核所吸收而形成复合核。复 合核的衰变导致了散射或吸收等各种反应。实现这种反应机制的前提是核子间的相互作用， 因此这种机制也称为强作用或强吸收模型。如入射粒子的能量恰当，形成的复合核正好处于 某种准稳态，即出现共振现象，截面在很窄的能区内出现峰值。复合核很长的寿命解释了很 大的辐射吸收的儿率。但是该模型在处理低能中子的s 波时发现根据强吸收模型，散射截面 为核的几何截面的4 倍，基本上不能随能量变化，吸收截面与入射中子的速度成反比，基本 上不随核变化。同时核强吸收模型也预测了截面将隧中子能量的增加而单调下降，也与实验 不符，所有这些与实验事实的矛盾引导人们去考察强吸收模型的理论基础。在四十年代末， 壳模型的成功使人们看到核子在核内可以作独立粒子运动，并不迅速的和其他核子交换能量 和动最，由于泡利原理的限制。两核子在核内交换能景动量的，l 率要比自由核子小的多，因 此一核子在核内可以在其他核子的平均场种作独立粒子运动。显然这种粒子在核的平均场中 运动的图象也应适用与入射粒子，为了把吸收效应也包括在内，可以假设一种复位势，用虚 部来模拟吸收。如用光波来比较，前面介绍的强吸收模型，核好象是能吸收全部入射光的完 全黑体，因此也称为黑核模型，而复位势则好象把核比成半透明的吸收介质，因此复位阱也 称为光学势，和最初引入的位阱相比，光学模型不仅通过复位阱从形式上船决了吸收问题， 而且与复合核模型相结合，说明了吸收的机制，光学模型也要采用截面对适当能区平均的方 法以避免由挟振引起的截面的急剧变化。简单的说，光学模型势通过引入在核内独立粒子运 动对强吸收模型的改进。 2 2 光学势的构造 研究光学势一般有两个方向，其目的各不相同。一种目的是为了研究靶核结构对光学 势的影响或某类核的核反应机制等问题。这时研究对象往往局限于少数几种核与粒子的光 学势，光学势在这里不过是一种研究工具，兴趣在其他问题。另一种目的是为了探讨粒子与 9 广西师范大掌硕士研究生学位论文第= 章光掌势的形式 核相互作用的一般规律，是为了与微观理论比较，或者计算某些实验上难以测定的截面，为 了这些目的，要寻找所谓普适的光学势，即住一定的能区一定的靶核范围内都适用的光学势。 两者所采用的光学势形式往往相同，但后者要求势参量随靶核质量数a ，中子数n 和入射粒 子能量e 的变化具有简单的规律而不一定对某一组具体数据要求密切符合。 光学势一般可以分为中心势实部和虚部，本文的光学势为三部分即： v ( r ) = v o ( r ) + i w ( r ) 4 - 本文光学势的虚部取为唯象形式，在计算中具体取为标准的w o o o d s - s a x o n 型，即表达 式为： 阶) 2 鬲丽若丽 其中a 是靶核质量数，w ，r o ，a 。是三个可调参数。 是库仑势，其具体形式参考第三章。 在具体的计算中本文用到的光学势的实部分别为以下三种形式： ( 1 ) 单高斯 其中k ，口为两个可调参数。 ( 2 ) 双高斯 一k e x p 一口+ ，2 】 一_ e x p 一口1 + i 2 卜k + e x p 一o t 2 $ r 2 其中_ ，匕，口l ，口2 为四个可调参数。 ( 3 )w o o d s s a x o n 其中k ，巧，a ，为三个可调参数。以上参数通过拟合实验数据来确定。 0 广西师范大掌硕士研究生掌位论文 第三章弹性散射 第三章口一口的弹性散射 3 1作用势和弹性散射振幅 中能条件下的粒子与原子核的弹性散射，通常认为粒子在穿越原子核时，不仅要受到库 仑力。( ，) 的作用，而且还要受到入射粒子与靶核之间的核力。( r ) 的作用。由于库仑 力g o 。( ，) 的作用力程长且衰减得慢，而核力，( ，) 的作用力程短且衰减快。因此，我们 认为入射粒子在穿越原子核时，受到的作用力廊分为两部分，即： 矿( r ) = g o ( ，) + ，( r )r r o v ( r ) = ( r ) r r o ( 3 1 1 ) 其中。( r ) 是库仑势，( r ) 为我们取的光学势，r o 是核力的作用范围。 在处理库仑相互作用时，由于入射粒子和靶核都是相同的粒子，我们简单地把入射粒子 和靶核看作均匀带电球。所以库仑势取均匀带电球的库仑位： 。o ) = 簪(s一可r22rclr ；j z l z 2 e 2 r r c 尺。= r o ( a 芦+ 爿乒 ， 其中z i , z 2 , 爿。，4 ：分别为弹核和靶核的电荷数和质量数。 在此是原子核的半径，e 为电子的电量。 根据分波法理论可知，a a 弹性散射的散射振幅可写为 f ( o ) = 丘( 0 ) + ：i ( 0 ) 其中f a o ) 为库仑散射振幅，0 为散射角，正( 0 ) ， ( 0 ) 的表达式分别为 丘扣) = 2 七s i n 21 目 2 1 e x p - i r l n ( s i n 2 弘瓯) = 去；( 2 p 一k ( c 。s 口) 广西师范犬掌硪士研究生掌位论文第三章弹性散射 咀上几式中：t 为入射粒子的相对动量，r = 型攀 ，为折合质量，国是库仑势的分 波相移。 一值的计算式为： e x p ( 2 f 4 ) = 而f ( 1 + l + i y ) 或4 = a r g f ( 1 + l + i 7 ) 式中的仃，为核势，分波的相移，其值的计算式是： 嘞咖糕嚣黼 上式中5 ，( ) ： x l - i ( 幽夕磊) 】，日：r 。，其中z ，( 七，) 是入射粒子的，分波的径向波函数 该径向波函数满足径向方程： 嘉一竽+ 筝( e 咧哟加。 e 和g f 分别为由数值解而得到的正则和非止则库仑解的，分波。 对丁全同粒子由散射理论可知，微分截面的公式为： 面d o - p ) = i s ( o ) + m 一臼】2 其中： ，p ) = 正p ) + l p ) 删刮纛乞f 叫叫n ( s i n2 和哦 z r、 胁卅2 旧2 k o o i l o 肛训忙o 峨) = 上2 i k ( 2 “。1 k 2 蚺g 2 “一1 k ( c 。s 目) 因为忍 c o s 白一口) 】= ( - 0 。# ( c o s p ) ，所以只有l 为偶数时才有作用，并目作用为2 倍。 广西师范大掌司【士研舅：生掌位能! 文 第三章弹性散射 巾啡去，磐l + 1 ) e x p ( 2 i s , ) ( e x p ( 2 i c r , ) - 1 ) p ，( c o s o ) + 圣卜b l n 6 i 啦z 氓) e x p - i rl n l c o s 卦z t 斟 代入：丽d o p ) = i f ( o ) + ，0 一臼l 2 即的结果 3 一日一2 1 | 兰一 ， 一坦 广西师范大学硕士研究生学位论文 第四章最小；乘法拟合 第四章最小二乘法拟合 4 1 最小二乘拟合 实际中往往通过观测得到的数据，一般的，所给的数据都是有误差的。此时如果要求 近似函数过全部以知点，相当与保留全部数据误差，这是不合理的。所谓拟合，就是对于给 定的n 个点 x ，y ，) ，选用一个解析函数y ( x ) ，使得对应于不同点x 。用不同值y f 的这种关 系，近似地用这个解析函数来表示。 从数学上说对于任意的n 个点，总可以选取一个( n 1 ) 次多项式。使的这个多项式 函数通过每一点，但是如果我们选用一个少量可调参数的解析函数去拟合这n 个点，则无 论怎样调整参数，也不能使函数通过每一个点。拟合的问题，就在于在给定的拟合标准和拟 合函数的形式下，怎样选取参数使得拟合结果最好。现在通用的衡量拟合好坏的标准就是最 小二乘，用y f 表示x f 点的实验数据，y ( x ，c t ，c 2 ，人c 。) 表示拟含函数，则总的拟合方差表 示为： 存莩 型掣 其中仃f 为实验点的标准误差。拟合最佳，就是参数的选取使得z2 最小。用这种最小二乘来 衡量拟合的好坏，具有数学处理的简单性，其中以实验点标准误差作为权重因子，具有明显 的物理意义，它表明，实验测量精确的那些点要优先考虑。 1 4 1j 广西师范大掌硕士研究生掌位论文 第五章计算结果与分析 第五章计算结果与分析 在光学模型的讨论中，光学势参数不是唯一的，散射截面主要由光学势的体积分决定， 有相同体积分的不同的光学势可以同样好的描述散射实验。由此在决定参数值时我们利用了 系统学的方法进行了处理。由第三章所给的弹性散射振幅公式，我们首先取用了 w o o d s s a x o n 势作为实部的光学势进行了各能量下的弹性散射实验数据的拟合，在此拟合中 光学势的实部为六个参数，拟合的微分截面图为图( 1 ) 到图( 1 0 ) 的实线，拟台得光学势 参数为表( 一) ，从微分截面图可以看出我们拟合所得到的弹性散射微分截面的结果除了 弹性散射角分布有些低于实验值的深谷，例如5 8 4 9 m e v ，6 3 9 1 m e v 能量，在其他能量下都能 够于各实验值中极小值与极大值符合的很好，所得到得曲线显示了弹性散射衍射的特点，并 且对它的角分布都可以得到较好的预测，5 8 4 9 i e v 和6 3 9 1 m e v 之所以在第一极小值处拟合 的不好，本文认为主要是因为实验点在小角度的值与在大角度的值在同一数量级上，根据虽 小二乘法原理，拟合要满足使全部的拟台值与实验值相差最小，所以出现了以上的情况。 从表( ) 中我们发现六参数的w o o d s - s a x o n 势在5 3 4 0 m e 7 到2 8 0 m e v 的情况下，r t ，a ， 分别都在l1 3 和0 7 6 9 附近摆动，为了求出在各能量下的实部普适势我们接下来还是用了 w o o d s s a x o n 势作实部，不过只用四参数，实部形状冈子中的参数我们取为定值，即： = 1 1 1 3 ，a i = 0 7 6 9 ，拟合了能量为5 3 4 0 n e v ，5 84 9 m e v ，6 3 9 i m e 7 ，6 9 9 1 m e v ， i o o m e v ，1 2 0 m e v ，1 5 8 m e v ，2 0 0 m e v ，2 8 0 v l e v 下的弹性微分散射截面，其中1 5 8 m e v ，2 0 0 m e v 的参数我们直接引用了文献( 2 9 ) 中的参数值。拟合结果为图( 1 2 2 1 ) ，参数值在表( 二) 中。从散射微分截面我们看到与六参数的微分截面相比并没有很大的变化，拟合的结果大体 上也能够比较好的符合各能量下的极小与极大值，以及角分布都能够给予较好的预测。在参 数表( 二) 中k 各值是随着能量的增加呈现出逐渐减小的趋势，并且近似的满足一次线形 方程： k = - 0 2 2 0 7 7 6 + e + 1 2 9 9 4 如图( 1 l a ) 所示，为了检验上式的正确性，我们用上式计算了所有能量下的k ，然后 设_ = 1 1 1 3 ，仃l = o 7 6 9 这样确定了实部我们只调虚部得到的结果为图( i ) 到图( 1 0 ) 的 虚线，虚部参数值为表( 三) ，从图中我们可以看到虽然实部确定只调虚部，但得到的结果 却于六参的结果相差不大，这就说明了我们找到的上述关系式还是比较正确的。 广西师范大掌硕士研究生掌位论文 第五幸计算结果与分析 同时，本文还计算了单高斯势( 五参) 双高斯势( 七参) ，计算结果分别为图( 2 2 3 1 ) 实线和图( 3 2 4 1 ) ，和参数值为表( 四) 表( 五) 。和四参六参的w o o d s s a x o n 势相比，发 现随着可调参数的增加，所计算山来的弹性微分截面也是越来越好。同求四参的 w o o d s s a x o n 势一样，在求五参单高斯势中实部的形状因子也在某一范围内，本文也把它设 为定值。即a = 0 1 7 0 8 f m 锁定来求k 随能最的变化规律，拟合结果为图( 4 2 5 1 ) ，参数 值为表( 六) ，k 随能量变化的曲线为图( 1 l b ) ，满足的关系式为： 矿= 一0 1 8 8 8 0 4 + e + 1 1 3 4 6 6 为了检验上式的正确性，我们用上式计算了所有能量下的，然后设口= 0 1 7 0 8 f m 为定 值这样确定了实部我们只调虚部得到的结果为图( 2 2 ) 到图( 3 1 ) 的虚线，虚部参数值为表 ( 七) ，看到虽然都是实部确定只调虚部，三参与五参的高斯势的差值要比三参与六参 w o o o d s s a x o n 势的差值大，这说明了我们找到的高斯势普适式要比w o o d s - s a x o n 普适式差。 但是从图中可以看到四参高斯势得到的结果与四参w o o d s - s a x o n 势相比，没有w o o d s s a x o n 势效果好，可能是单高斯势中实部就有两个参数，锁定形状因子，整个变化的范围就比较小， 不像w o o d s s a x o n 势，实部形状因子虽然也被锁定但是它的形状因子有两个，实部范围相对 来说会比较宽松一些。而敏高斯势中的实部形状因子取值范围比较大，没有特别明显的规律 可寻。 我们还比较了四参高斯势和四参w o o d s s a x o n 势光学势的实部，图( a ) 图( b ) 给出了这 两种势实部绝对值随半径，的变化关系，可以看出两种形式的势实部值整体上比较接近，每 种形式的势随能量的增加实部值都逐渐减小，并且同种形式的势实部值逐渐分开，但四参高 斯势随能量的增加分开速度略微快于w o o d s s a x o n 势。 ( 1 ) 高斯势 ( 2 ) w o o d s s a x o n 势 图( a ) 图中实线从上到下依次为5 3 4 - - - 7 7 5 5 m e v 6 一盖=一io ! ! 堕查竺竺主兰墨皇兰竺竺查 ! 苎! 苎苎苎苎! 竺塑一 l 。 2 m 024b51 01 2 删 ( 1 ) 高斯势( 2 ) w o o d s s a x o n 势 图( b ) 图中实线从上到下依次为1 0 0 2 8 0 m e v w e ( m e v ) _d l a o 5 34 01 2 3 5 7 91 1 0 0 8 07 6 3 6 7 3 9 9 2 4 7 0 3 4 4 1 1 1 1 3 0 0 4 7 5 8 4 91 1 5 5 0 81 1 5 7 1 6o 7 8 7 8 98 8 9 8 31 0 9 2 0 40 8 7 9 9 7 5 6 3 9 11 1 4 8 0 31 1 6 5 6 20 7 5 2 3 1 39 2 2 6 41 2 4 9 1 90 9 0 4 1 5 3 6 9 9 1 1 1 3 4 9 1 1 2 5 8 5 7 0 9 0 0 4 5 98 7 9 6 0 41 8 5 4 2 l0 7 3 7 4 9 3 7 7 5 51 1 0 4 8 91 1 2 4 6 30 7 5 5 4 4 91 0 2 0 31 6 2 1 0 20 8 1 3 5 5 2 1 0 01 0 5 4 7 71 1 0 90 7 6 4 2 8 51 0 8 5 1 51 5 5 7 2 20 7 5 7 5 1 2 0 9 8 4 8 2 1 0 9 5 0 7 9 3 9 9 79 8 5 1 51 8 2 7 2 2 0 9 5 7 5 1 5 89 5 4 9 9 71 1 5 1 7 20 7 5 5 0 5 19 3 9 6 2 72 2 1 4 0 20 4 0 9 7 2 0 08 4 6 0 0 71 1 1 8 8 40 7 8 4 0 6 69 3 3 2 9 92 2 1 0 2 9 0 5 4 9 7 0 2 2 8 07 1 3 0 7 41 1 9 3 9 60 6 7 3 1 9 45 1 4 8 3 21 9 2 2 0 9 9 7 5 0 2 表( 一) 六参数w o o d s s a x o n 势 从参数表中我们也可以看出这样一个规律：四参和六参的w o o d s s a x o n 势中各对应能量 下的三个虚部参数中的变化不是很火，单高斯势和双高斯势中的三个对应参数的变化也不 是很大，这有可能是光学势实部的取用