（材料加工工程专业论文）基于薄壳有限元法的带旋转自由度膜元研究.pdf

摘要 橡塑模具制品一般具有厚度方向尺寸较面内尺寸很小且形状复杂等特点，所 以在对制品进行翘曲变形分析时，就可采用薄壳有限元法。目前用于薄壳翘曲变 形分析的单元主要有平板壳元、退化壳元和多变量壳元，其中平板壳元应用最为 广泛，也最为成熟。所谓的平板壳元就是用许多小平板元构成的多面体去逼近真 实的曲面，许多著名软件如a b a q u s 、a d i n a 、a n s y s 、m a r c 、n a s t r a n 、 s a p 的壳体分析都主要应用平板壳单元。但是平板壳元也有自身的问题：膜刚度 近似差，膜板结合为壳单元和一维单元与二维单元连接时困难。 解决上述问题的最好办法无疑是在膜元中引入垂直于该膜单元平面绕单元 平面法线旋转的旋转自由度。关于此类单元的构造，a l l m a n 采用的插值方法得 到广泛的采用，具有里程碑的意义。目前，引入旋转自由度后的膜元都不同程度 的提高了膜单元的计算精度，但是在一些带旋转自由度的膜元中存在一多余的零 能模式，几乎所有此类膜元所引入的旋转自由度都不具有连续介质力学中关于旋 转自由度的定义，同时鲜有对旋转自由度自身的正确性进行考核。因此在解决一 维与二维连接问题时结果很不理想、甚至是没法解决，并且有些单元推导过程过 于繁琐、不实用。 为了给注塑模c a e 中的制件翘曲分析提供一个可靠的单元，基于以上带旋 转自由度膜元存在的问题，本文在生成平板壳元时的工作主要集中在对带旋转自 由度膜元的研究上，总结如下： 1 在6 节点三角形单元的基础上，通过对切向位移一次插值和法向位移二 次插值消除了边中间节点，成功地引入了旋转自由度。同时引入了一个 待定系数a ，并由连续介质力学中关于转动分量的定义确定其取值，同 时给出了一个附加方程，进而得到一个简洁有效的带有旋转自由度的平 面三角形单元，记为o a t 3 。单元推导简单，列式简洁。具体算例表明， 此单元无多余的零能模式，仍保持了原有a l l m a n 单元的精度，引入的 旋转自由度具有连续介质力学关于转动分量的定义，且首次对旋转自由 度自身的正确性进行了校核。 2 在1 0 节点三角形单元的基础上，通过对切向位移一次插值和法向位移 三次插值，成功地消除了边中间节点和单元中心节点，推导得到另一个 带旋转自由度的3 节点三角形单元，记为a t 4 。算例表明，此单元无多 余的零能模式，精度较无旋转自由度的膜元有所提高，不足之处是单元 较刚。 3 生成了基于离散k i r c h h o f f 理论的板弯曲单元和空间一维杆单元。具体 算例证明了以单元o a t 3 为膜元的平板壳元具有良好的计算精度，很好 的解决了膜板结合为壳单元和一维单元与二维单元连接时的问题。 关键词：旋转自由度；零能模式；膜元；三角形单元；有限元； 平板壳元； 薄壳； i i i a b s t r a c t m o s ti n j e c t i o n m o l d e dp a r t sa r ec o m p l i c a t e dt h i n s h e l ll i k es t r u c t u r e ，s ot h et h i n s h e l lf i n i t ee l e m e n tm e t h o di su s u a l l yu s e dt oa n a l y z et h ew a r p a g ea n dd e f o r m a t i o no f t h ep a r t s g e n e r a l l y ，w eh a v es e v e r a lt y p e so ft h i ns h e l le l e m e n t st ob eu s e d ：f l a t - s h e l l e l e m e n t ，d e g e n e r a t e ds h e l le l e m e n ta n dm u l t i v a r i a b l es h e l le l e m e n t ，o fw h i c ht h e f l a t - s h e l le l e m e n ti sa d o p t e dm o s tw i d e l yd u et oi t ss i m p l i c i t ya n di sa l s os e l e c t e db y m o s tf a m o u sf i n i t ee l e m e n ts o f t w a r e s ，s u c ha sa b a q u s ，a d i n a ，a n s y s ，m a r c ， n a s t r a na n ds a p h o w e v e r ，t h ef i a t - s h e l lh a si t so w nd i s a d v a n t a g e s ：t h e p r e c i s i o no fm e m b r a n ee l e m e n ti s n o t p e r f e c ta n d i ti sd i f f i c u l tt oc o n n e c t o n e d i m e n s i o n a le l e m e n ta n dt w o d i m e n s i o n a le l e m e n t t or e s o l v et h ep r o b l e m s ，s o m es c h o l a r st h o u g h tt h a tt h ed r i l l i n gd e g r e eo ff r e e d o m s h o u l db ea d d e dt om e m b r a n ee l e m e n t i na l lo f t h er e l a t e dr e s e a r c h e s ，a l l m a n sw o r k i s d o u b t l e s s l yam i l e s t o n e s i n c eh es u c c e s s f u l l yi n t r o d u c e dt h ed r i l l i n gd e g r e eo f f r e e d o mf o rp l a n a rt r i a n g l ee l e m e n ti n19 8 4 ，s o m er e p r e s e n t a t i v ee l e m e n t sw i t ht h e d r i l l i n gd e g r e eo ff r e e d o mh a v eb e e nd e v e l o p e dq u i c k l y i th a sb e e np r o v e dt h a tt h e m e m b r a n ee l e m e n tw i t ht h ed r i l l i n gd e g r e eo ff r e e d o mc o u l de f f e c t i v e l yi m p r o v e e l e m e n tp r e c i s i o n o nt h eo t h e rh a n d ，t h o s ee l e m e n t sh a v ea l s ob e e nf o u n ds o m e s h o r t c o m i n g s ：s o m eo ft h e mh a v et h es o c a l l e ds p u r i o u sz e r oe n e r g ym o d ea n dt h e d r i l l i n gd e g r e eo ff r e e d o mi nm o s te l e m e n t sh a sn oe x a c tp h y s i c a lm e a n i n g a tt h e s a m et i m et h ec o r r e c t n e s so ft h ed r i l l i n gd e g r e eo ff f e e d o mh a sn e v e rb e e np r o v e d ，s o i ti sd o u b t f u lw h e t h e rt h e d r i l l i n gd e g r e eo ff r e e d o mc o u l dc o r r e c t l yc o n n e c t o n e - d i m e n s i o n a la n dt w o - d i m e n s i o n a le l e m e n t sa n d p a s st h et w i s tm o m e n t t h ea b o v ep r o b l e m ss e e mt oe x i s ti nm o s tm e m b r a n ee l e m e n t sw i t hd r i l l i n gd e g r e e o ff r e e d o m t op r o v i d ear o b u s te l e m e n tf o rw a r p a g ea n ds h r i n k a g ea n a l y s i si nc a e o f t h e p o l y m e rp r o c e s s i n g ，t h ep a p e r i sm a i n l yc o n c e n t r a t e do nt h es t u d yo f m e m b r a n e e l e m e n tw i t hd r i l l i n gd e g r e eo ff r e e d o m ，a n da tt h es a l t l et i m ed e v e l o p saf l a t - s h e l l e l e m e n t t h em a i nw e r ki sa sf o l l o w s ： 1 b a s e do nt h e6 - n o d el i n e a rt r i a n g u l a re l e m e n t ，t h em i d d l en o d e so f e d g e sw e r e r e m o v e d ，a n da ne l e m e n tw i t hd r i l l i n gd e g r e eo ff r e e d o mw a sd e r i v e db ym e a n s o fl i n e a ri n t e r p o l a t i o ni nt a n g e n t i a la n dq u a d r a t i ci n t e r p o l a t i o ni nn o r m a l ，a tt h e s a m et i m eap a r a m e t e rw a si n t r o d u c e d b yl e t t i n gt h e d r i l l i n gd e g r e eo f f r e e d o ma tt 1 ee l e m e n t a ln o d e se q u a lt ot h er o t a t i o nd e f i n e di ne l a s t i c i t y , t h e v a l u eo f t h ep a r a m e t e rw a sd e t e r m i n e d ，w h i c ha l s ol e dt oa l la d d i t i o n a le q u a t i o n t h a te l i m i n a t e dt h es p u r i o u sz e r oe n e r g ym o d e t h e c o n c r e t ee x a m p l e ss h o w t h a tt h en e we l e m e n to a t 3h a ss a m ep r e c i s i o na st h eo r i g i n a la l l m a n s e l e m e n td i d ，b mn os p u r i o u sz e t oe n e r g ym o d e m o s ti m p o r t a n t l y , i ti sp r o v e d t h a tt h ed r i l l i n gd e g r e eo ff r e e d o mi nt h ep r e s e n te l e m e n tc a l lc o r r e c t l yp a s st h e t w i s tm o m e n t 2 b a s e do nt h e1 0 - n o d el i n e a rt r i a n g u l a re l e m e n t ，a ne l e m e n tw i t hd r i l l i n gd e g r e e o f 疔e e d o m ( a t 4 ) w a sd e r i v e d t h en o d e so nt h ee l e m e n ts i d e sw e r er e m o v e d b ym e a n so fl i n e a ri n t e r p o l a t i o ni nt a n g e n t i a la n d c u b i ci n t e r p o l a t i o ni nn o r m a l t h ee x a m p l e ss h o wt h a tt h en e we l e m e n ta t 4h a sb e t t e rp r e c i s i o nt h a nt h e e l e m e n tw i t h o u tt h ed r i l l i n gd e g r e eo ff r e e d o m ，a n dn os p u r i o u sz e r oe n e r g y m o d e i t sd i s a d v a n t a g ei st h a ts t i f f n e s sm a t r i xi st o or i g i dt ou s ei ns o m ee a s e s 3 ，a c c o r d i n gt ot h ed i s c r e t ek i r c h h o f ft h e o r y , ab e n d i n gp l a t e e l e m e n tw a s d e r i v e d ，a n dt h eo n e d i m e n s i o n a lb e a me l e m e n tw a sa l s od e r i v e di n3 - ds p a c e t h ec o n c r e t ee x a m p l e ss h o wt h a t t h ef l a t s h e l le l e m e n tw h o s em e m b r a n e e l e m e n ta d o p t e dt h ee l e m e n to a t 3h a sb e t t e rp r e c i s i o nt h a nt h eo t h e rf l a t - s h e l l e l e m e n t ，t h ep r o b l e m so f m e n t i o n e da b o v ea r ea l s or e s o l v e d k e y w o r d s ：d r i l l i n gd e g r e eo ff r e e d o m ；z e r oe n e r g ym o d e ；m e m b r a n ee l e m e n t ； t r i a n g u l a re l e m e n t ；f i n i t ee l e m e n t ；f l a t s h e l le l e m e n t ；t h i ns h e l l v 郑重申明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写荠完成的，学位论文没有剽 窃、抄袭等违反学术道德、学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由 此产生的切法律责任和法律后果，特此郑重声明。 i i 学位论文作者( 签名) ：加 2 0 0 5 年4 月1 5 日 郑卅l 大学硕士学位论文绪论 第一章绪论 1 1 带旋转自由度膜元提出的背景 所谓带旋转自由度的膜元，就是有限元平面单元的每个角节点具有3 个参 数，其中两个是常规位移参数，即：“和v ；第3 个参数是垂直于该单元平面绕 该单元平面法线旋转的自由度【”，即被称之为旋转自由度。 带旋转自由度膜元提出的背景可以追溯到上个世纪6 0 年代对薄壳问题的有 限元研究中。早期在薄壳有限元分析中具有代表性的一类单元是平板壳元，其具 体方法是使用具有拉伸行为的膜元和具有弯曲行为的板单元在单元级进行简单 的叠加组成平板壳单元，两组分量在单元级并不耦合，但组装后在整体域内会发 生耦合。其基本思想就是用许多三角形小平板元构成的多面体去逼近真实的薄壳 曲面，进而对薄壳进行翘曲分析1 2 i ，构造曲面壳元存在的许多困难促成这一折衷 的办法。最早较成功地被使用的平面膜元是常应变三角形单元( c s t ) ，其与板 单元结合后就组成了每个节点有5 个自由度的平板壳元，其中自由度“，v 由膜 元提供，另外三个自由度w ，巩由板弯曲单元提供。由于每个节点仅有5 个 自由度( 缺少面内转角自由度) ，不可避免的会产生以下问题： 首先，在实际应用中，该单元很难与其他每个节点具有6 个自由度的空间梁 柱单元相连接。例如在一些框剪结构的高层建筑中，剪力墙通常带有柱、梁或支 撑于边框之上，对这类问题分析时开始是采用有节点线位移的等参膜元，这样墙 与梁的连接就很不方便，会造成墙与梁柱的转角不一致。解决这个问题最初使用 的是强制约束法，人为的对结构施加线性约束，来近似实现转角一致，这种办法 很显然操作起来比较困难。因此就有人提出在墙板单元中引入一个一致的转动自 由度，使转角连续性成为自然的事情，不需要人为的约束。 其次，常应变三角形单元( c s t ) 作为膜元计算精度不够高，组成的壳单元 计算精度当然也不很理想。并且当各单元在全局坐标系下集合时，会产生绕壳面 法线旋转自由度的问题，而由常应变三角形单元( c s t ) 充当膜元组成的壳单元 并不提供这一旋转自由度，由此可能会导致由旋转自由产生的病态口j 。 基于以上实际应用中存在的问题，一些新的膜元被采用，如线应变单元 ( l s t ) 。到上世纪6 0 年代有学者提出：在平面单元中引入垂直于该单元平面且 绕单元平面外法线旋转的自由度包，这样使每个节点增加到具有3 个自由度，从 而改善膜元的性能h 。 1 2带旋转自由度膜元的发展 自从上世纪6 0 年代有人提出引入旋转自由度晓来改善膜元的性能以来，关 于此类单元的构造引起了很多学者的兴趣。但是在早期，过于强调旋转自由度的 郑州大学硕士学位论文绪论 几何意义，并且在自由度的引入上考虑的也过于复杂，大都将节点转角引起的单 元内附加位移场设为三次函数，结果得到的单元列式过于复杂，精度也不高，没 有什么实际应用价值。具有里程碑的发展是在1 9 8 4 年，a l l m a n 采用沿边界二次 变化的位移插值模式，成功建立了带旋转自由度的三角形膜元，此后在此基础上 发展了许多带有旋转自由度的膜元。 a l l m a n 单元的插值方法如图1 1 所示，三角形每边的切向位移蜥沿边长呈 线性变化，法向位移“。沿边长二次变化，由此可以建立起三条边上的位移和三 角形三个角节点上的位移啦，v j ，岛( i 1 ，2 ，3 ) 之间的转换关系。根据面积 坐标理论就可以得出三角形位移场与节点位移的关系即形函数为： 式中：l i ，幻，如是三角形面积坐标；p ，凸，以为角节点转动角度；b 。= y ，y ； c 。= c 一c ；u o ，为常应变单元位移函数： u0：=。?2，l，+，u，2工l。2+u3lvol i v 3 l 3 3 c ，z ， 【= v ，+ v 2 工2 + 图1 ia l l m a n 单元的插值 f i g 1 1i n t e r p o l a t i o no f a n m a n e l e m e n t 图1 2 零能模式 f i g 1 2s p u r i o u sz e r oe n e r g ym o d e a l l m a n 单元成功的引入旋转自由度后，文献 5 很快将这种方法推广到四边 形单元，建立了带旋转自由度的四边形单元，需要指出的是：引入旋转自由度后 的四边形单元并没有原来单元的精度高，其形函数为： 0 ( 8 8 y 4 一n 5 4 v i ) n 2 1 ( 眠出，一8 舐。) 0 n 3 0 0 n 3 ( 。方： ( 7 舐3 6 咖2 ) 5 8 x 1 ) 0 ( n ，4 v ，一s 咖。) a ( 8 。一，屯) j 9 1 9 2 吼 q 4 ( 1 3 ) 岛 k 一 口 力 慨 ” 一垮 乒 0 一 k 汕 q 坩 如 哆 如 一垮 正 如 0 咖 巾如 郑州大学硕士学位论文绪论 ( f - 1 ，2 ，3 ，4 ) m = 去( 1 + 鲁顸l 圯吁) ( f = 1 ，2 ，3 ，4 ) ： 52 素( 1 一f 2 ) ( 1 - 叩) ，n 62 壶( 1 + 善) ( 1 一叩2 ) ，7 。素( 1 一f 2 ) ( 1 + 町) ，n s2 素( 1 一孝) ( 卜玎2 ) ；舐。= x ，一x ，咖= y ，一y ，( j 为i 除4 取余加1 ) ；x 。，y f ( i - 1 , 2 ，3 ，4 ) 为单元节点坐标；e ，”为单元等参坐标。 a l l m a n 用旋转自由度建立的单元函数方法是目前被应用最广的构造此类单 元的方法，其优点主要表现在： ( 1 ) 与常应变单元相比，带旋转自由度的三角形单元可以有效的提高单元 的计算精度，尤其是对分析类似于悬臂梁状的具有面内弯曲的结构； ( 2 ) 用来与板弯曲单元构成壳单元和框剪结构中一维单元与二维单元连 接时，自然提供了传统膜单元所不具备的附加自由度，避免了旋转自 由产生的病态。 然而在实际的应用中人们很快发现，采用a l l m a n 单元构造方法所得的此类 单元也有其不足之处，并不能很好的解决实际工程中的问题，主要表现在以下几 个方面： ( 1 ) 如图1 2 所示，当= v 。= 0 ( i - 1 ，2 ，3 ) ，且0 r 取任意相等的非零值 时，将不会产生应变能，即存在一个多余的零能模式。在总体刚度矩 阵中表现为总刚矩阵是奇异的，因此在求解时必须至少约束一个旋转 自由度以消除总刚的奇异性，从而保证方程有解，这在实际工程应用 中很不方便。 ( 2 ) a l l m a n 在引入旋转自由度b 时，并没有考虑旋转自由度的实际物理意 义，即旋转自由度b 并不具有连续介质力学中关于旋转自由度的定 义。然而旋转自由度本身的实际意义却对膜扳结合为壳单元以及框剪 结构中一维单元与二维单元连接极为重要。因此a 1 l m a n 单元引入的 旋转自由度只在实际中并不能完全承受外加的扭矩。 针对以上a l l m a n 单元的不足之处，特别是零能模式的存在给工程应用带来 极大的不便。为了解决上述问题，文献 6 ，7 作了进一步的改进，然而得到的新 单元相当的复杂，并不实用。接下来的研究者把非协调元的技术应用到带旋转自 由度的膜元中，并且取得了较大的成功。一些新型的单元也相继产生，主要归结 为以下几类。 1 2 1 带旋转自由度的精化非协调元 为了抑制零能模式，文献 s l o e 首先提出了“精化”的概念。即以罚函数的形 式引入附加刚度矩阵，关于旋转自由度的插值方法仍然沿用a l l m a n 单元的方法， 得出的单元消除了零能模式，精度也得到一定的提高。文献 9 1 n 文n 1 0 分别将 1lllllllj 坼一只 l = 、-jl w 中式 )3【 ( 郑州大学硕士学位论文绪论 这种方法应用到三角形单元和四边形单元中。其中在文献 9 中精化不协调元的 函数假设有两部分组成： 弦 一 川2 i 。l 岬a 式中p = i ：； ： 乙l ；口= b 。口：吒口。】为待定系数：“、v 为协调单元 函数，由公式( 1 1 ) 给出；利用单元间弱连续条件来最终确定单元的刚度矩阵。 文献【1o 中对c o 类协调元通过增加内部参数来构造不协调元，其函数表达式为： “4 = “c + 材丑 其中”。= w q ，为协调元函数，由式( 1 3 ) 给出；“。= 脚，为不协调函数，m 为插值函数，九为内部参数。 。，手2 ( 1 + 叩2 ) r 2 ( 1 + 善2 ) 0 0 朋 3 l o o 孝z ( 1 + 即2 )7 7 2 ( 1 + f 2 ) l 如 如 厶 需要指出的是文献【9 与文献 1 0 l 所使用的精化方法实质上都是在单元间加上了 一个较弱的协调条件。构造的单元列式简单，无多余的零能模式，且能通过分片 试验，但是自由度的引入仍沿用m l m a n 单元的方法，所以旋转自由度仍然无实 际的物理意义。 1 2 2 带旋转自由度的广义协调膜元 广义协调方法是在不违反变分原理的前提下，对假定的位移场在单元边上的 严格协调要求给予适当的放松，用平均位移的边协调来代替常规位移法中的点协 调i l “。它保留了非协调元自由度少的优点，并能通过分片试验，保证收敛。文献 1 2 】按广义协调的概念提出了四边形等参元，对任意四边形网格都能通过分片试 验。文献 1 3 提出了具有旋转自由度的广义协调矩形膜元。文献 1 4 构造的引入 泡状位移带旋转自由度的广义协调三角形膜元，其方法是直接从完全多项式出 发，通过使用广义协调条件，合理的建立了单元的附加位移，避免了选取附加位 移的任意性所带来的问题。构造时假设单元的位移场由以下三部分组成： ”= “o + “日+ “ ( 1 4 ) 式( 1 4 ) 中：( i = 1 , 2 ，3 ) ；n 0 是节点平面内刚体旋 转自由度表示的位移，设为面积坐标的纯二次式： “一= z ) = 三z 上。 盖) + 岛 麓) + 厶岛 茏 c s ， 它在三角形单元节点( i = 1 ，2 ，3 ) 处的数值为零。在单元边界上( 厶= 0 ，i = 1 ， l 0 _，。l ，h j j 、【，j 0 0 吖 v ，j、il = 0 村 郑州火学硕士学位论文绪论 2 ，3 ) 相邻单元在公共边由旋转自由度引起的位移，可根据该边两端节点转角用 三次插值表示： 石= 享) 。：。= 售 厶c 巳。一如k ， “= ，2 ，s ，斗，斗m ， c m 为了确定( 1 5 ) 式中待定系数，崩，在单元边界上引入如下广义协调条件： i ( 一u 0 ) a s = 0 ( i = 1 , 2 ，3 ) 最后求得仅由0 i 表示的： 铲= 善3 三：( 0 一乃k ) 慨( i 寸，专m ) ( 1 7 ) 姒c m l j 叫，l m ) j 拄毪蒯咎描) + 骗偿：) + 马与 2 ) + 墨白 2 + 置之 塞 十三- 三：岛 乏) ：= i = 喜l j l 。( l i - 争 老：1 ) + 厶如厶 之) c ，一，斗m ，c 。， 郑州大学硬士学位论文绪论 其中： “= ( m + 儿o 却u + n ， v = ( l v 。+ 虬言+ k 塞) f = ，+ 茸( 三，+ 三。) 一l i ( 上；+ 乇) 心= 6 ，( k 茸+ 三厶上，k ) 一b m ( z j z ；+ 丢丘l ，) ( f _ 1 ，2 ，3 ，f 斗，斗m ) n y j = 一c 舢。；+ 弘1 。上。) + c ，( 上，上，2 + 1 - 。) 同时有连续介质力学中关于旋转自由度的定义和剪应变的计算公式 由式( 1 1 1 ) 和式( 1 1 2 ) 有： ( 1 1 2 ) “：( m 虬+ 。( 华一目) + n y i e ，) ( 1 1 3 ) v v = z ( u 。v ，+ 。，s ，+ 川( 二导+ 口) ) 这样所得的单元插值函数每个节点就有6 个自由度：两个线位移、一个旋转 自由度和三个应变，再把三个应变作为内参，就构成了每个节点3 个自由度的三 角形单元。本单元由于引入了连续介质力学中关于旋转自由度的定义，所以是使 用广义协调方法构造的比较成功的一个三角形膜元，但是引入的旋转自由度是否 真正具有连续介质力学中关于旋转自由度的定义还有待验证。 1 2 3 带旋转自由度的高精度单元 文献 1 6 ，1 7 提出以上二次单元中引入旋转自由度虽然提高了计算精度，但 结果并不能令人满意，尤其是应力计算的结果更差。与具有高次位移模式的平面 等参元相比仍有明显差距。因此文献 1 7 】从1 0 节点2 0 自由度三角形单元出发( 如 图1 3 ) ，构造了含旋转自由度的高精度三角形单元。具体方法是： 利用式( 1 1 4 ) 1 0 节点2 0 自由度三角形插值函数，在三角形的三个角节点 a ，。匀t ， 上分别求出( 兰) 。和( 芸) ，( i = 1 , 2 ，3 ) 。 厂 ：烈： p 【v j 式中： ( 1 1 4 ) 抛一砂加一甜 睡至砂 1 2 = = f p ， ，。，、l 郑州大学硕士学位论文绪论 = 暇占：d l o 】7 慨 = k ，v ，】7 ， ( f _ 1 l o ) f = 圭( 3 k 。- 1 ) ( 3 - 2 ) 三 = 弘“3 l , - 1 ) n 2 t + 3 = _ 2 9 l 厶( 3 l f + 1 一1 ) n i o = 2 7 l l l 2 l 3 然后引入连续介质力学中关于旋转自由度的定义 所示的刚性旋转的假设： o 哦= 擘) ，= 一( 罢) ， 靠 o y 并在角节点处采取了式( 1 1 5 ) ( i = 1 , 2 ，3 ) ( 1 1 5 ) 图1 36 节点三角形单元 f i g 1 36n o d e st r i a n g u l a re l e m e n t 图1 41 2 节点四边形单元 f i g 1 41 2n o d e sq u a d r i l a t e r a le l e m e n t 根据式( 1 1 5 ) 的假设就可以在上面求得的( ) ，与( 娑) ，( i = 1 , 2 ，3 ) 之1 4 建立 戚洲 起等式关系。最终得到的三角形单元具有3 个角节点和6 个边中节点：每个角节 点3 个自由度( 2 个线位移、1 个旋转自由度) ，每个边中节点1 个自由度( 切向 自由度) 。此外，单元还有一个内部节点，内部节点自由度在整体刚度矩阵集合 之前消去。这样的结果是每个节点自由度个数不一样，应用起来不方便。同时需 要特别指出的是单元的推导过程相当繁琐，著且单元在角节点处采用了刚性旋转 假设，这就意味着单元在角节点处的剪应变恒等于零，这实际上限制了结构分析 中的单元划分方式。当单元的角节点全部位于已知的剪应变为零处时，如在无切 向分布荷载的边界或对称结构在对称荷载作用下的对称轴，结构分析不受角节点 刚性旋转假设的影响，因而有很高的计算精度，否则将引起一定误差。因此结构 分析中的单元划分准则是尽可能使全部或绝大部分角节点位于已知的剪应变为 零处，以避免或减小因采用角节点刚性旋转假设所带来的误差。 文献 1 8 1 5 l 把上述方法应用到了四边形单元中( 见图1 4 ) ，构造出了带旋转 自由度的高精度四边形单元，单元精度有了很大提高，但同样存在以上问题，应 用范围受到很大限制。 郑州大学硕士学位论文绪论 1 2 4 其它几种带旋转自由度的膜元 除了上述几种比较典型的带旋转自由度的膜元外，还有带旋转自由度的拟协 调平面元和带旋转自由度的杂交混合元。 1 9 7 9 年唐立民教授等创造性地提出了拟协调元1 1 9 。文献【2 0 】中使用的拟协调 方法不需要选择单元函数，避免了在单元内选择位移模式的困难，用边界插值的 方法直接构造单元的应变，在板壳分析中收到了显著的效果。文献 2 1 】对等参元 建立了拟协调模型，灵活的应用了边界插值和域内插值，合理地增加内部自由度， 从而既保证收敛又提高了精度。文献 2 2 用拟协调的方法研究了一类带旋转自由 度的平面膜元，讨论了9 参数三角形膜元和1 2 参数四边形膜元的各类场变量的 选取搭配，得到了几个性能优良的9 参数和1 2 参数带旋转自由度的拟协调平面 元。 文献【2 3 】将拟协调三角形罚函数板单元和a l l m a n 二次膜位移插值模式相结 合，通过在膜内增加一个旋转自由度参数，构造出一种新的m i n d l i n 三角形板壳 单元，该单元不仅克服了用板单元拟合壳体分析的病态，而且使单元在保持弯曲 精度的同时大大提高了膜内变形的精度。文献 2 4 】从弱形式广义协调方程和拟协 调元的弱连续条件等方面分析了拟协调元的理论基础，指出从形式上看弱形式对 函数的连续性降低了，但对实际的物理问题常常较原始的微分方程更逼近真实 解，其做法就是广义协调方程的直接解，自然满足平衡对弱连续条件的要求。 关于杂交混合元的提出，最早源于人们寻找办法来解决平面4 节点等参元缺 陷的过程中。由于4 节点等参元在计算纯弯曲问题时存在“伪剪切”现象，文献 f 2 5 就提出了用杂交应力法来改善单元的性能。a i r m a n 在单元中成功的引入了旋 转自由度建立了新型膜单元后，为了寻找引入旋转自由度技术的理论基础， h u g b e s 和b r e z z i 推导了一个含旋转自由度的新型变分原理【2 6 】。 文献【2 7 】就是在h u g b e s 和b r e z z i 推导的含旋转自由度的新型变分原理的基 础上，将位移插值分成协调位移和内部位移两部分，导出了具有独立转动自由度 的杂交混合有限元列式的修正r e i s s n e r 泛函。它含有5 个独立的变量：协调位 移矢量；机内部位移矢量；c o 是转动矢量：6 和t 分别是由对称应力张量和反对 称应力张量的分量构成的应力矢量。求有限元列式时，对五个变量分别取各自的 插值形式：插值形式同式( 1 3 ) 所示的a l l m a _ n 单元插值方法；插值形式同 式( 1 1 6 ) 所示；( 0 取标准的双线性插值，式( 1 1 7 ) 所示：对称应力a 和反对 称应力t 的插值分别选取线性完备和常数项，式( 1 1 8 ) 所示。在此基础上建立 了一个带旋转自由度的杂交混合膜元h m m 4 。此单元计算精度较好，并在对歪 斜网格的不敏感程度方面也有优异的表现。 l ( 1 - 4 顶1 一叩2 ) 0l i i，。 2 l0 ( 1 - 期一卵2 ) 他f 加 4 国= z n , c o ( 1 1 7 ) 郑州人学硕士学位论文绪论 p o 00 00 e o 只= df7 7 f = q ( 1 1 8 ) 纵观上述各种带旋转自由度的膜元，a l l m a n 单元对于带旋转自由度单元的 发展，可以说是一项开创性的工作。由此推导得到的其他单元几乎都有一个共同 特点：旋转自由度的引入大大提高了计算精度；都能消除多余的零能模式，不同 程度的解决了许多工程实践中的问题。相比较来说，精化非协调元和广义协调元 列式最为简洁，使用价值较大。 但是上述大部分单元关于旋转自由度的插值结果都与a l l m a n 单元插值方法 相同，并未做出改进。这就意味着引入的旋转自由度b 仍然没有实际的物理意义。 高精度膜元引入旋转自由度时考虑了连续介质力学中关于旋转自由度的定义，但 是作了刚性旋转的假设，要求在划分单元网格时要保证角节点处的剪应变恒等于 零，否则计算精度也不高。文献【1 5 】通过引入剪切应变做内参的办法，在引入旋 转自由度时考虑了连续介质力学中关于旋转自由度的定义，但是旋转自由度的正 确性有待证明。 1 3 论文选题思想及主要工作 随着塑料工业日益蓬勃的发展，塑料制品i j 三不断的大量的走进人们的日常生 活。同时人们对塑料制品的外观和使用性能要求也越来越高。而在塑料制品的生 产过程中，当模具开模后，注塑制品的形状有时经常会偏离了模具型腔的形状， 即塑料制品常见的缺陷之一( 翘曲变形) 。翘曲变形程度因此也成为评定产品质 量的重要指标之一，越来越多地受到模具设计者的关注与重视u “”j 。设计者希望 在设计阶段预测出塑料件可能产生翘曲的原因，以便加以优化设计，从而提高注 塑生产的效率和质量，缩短模具设计周期，降低成本。因此在人们完成了流动、 保压、冷却c a e 分析之后，利用c a e 技术全面系统地对制品进行翘曲变形分析 就变得尤为重要了。 考虑到模具制品的特点：厚度方向尺寸较面内尺寸很小，属薄壳制件。在进 行翘曲分析时，由于其几何形状、荷载条件和边界约束情况是多种多样的，用各 种壳体理论建立的解析方法冗长而繁杂，只有依靠数值方法。到目前为止，有限 元方法是最有效的1 3 1 - 3 6 ，薄壳有限元法主要有以下三种有代表性的壳元【3 m o 】。 平板壳元：就是用许多小平板元构成的多面体去逼近真实的曲面，在壳体有 限元分析中最早被采用。构造曲壳元存在的许多困难促成了这一折衷的方法，具 有拉伸行为的膜元和具有弯曲行为的板弯曲单元在单元级简单叠加，在总体坐标 系中组装。两组分量在单元级并不耦合，但组装后在整体域内会发生耦合。其优 郑卅j 大学硕士学位论文绪论 点为：列式简单、几何描述容易，便于与其他类型单元相结合，可准确描述刚体 运动，深壳容易收敛，易于处理复杂荷载及复杂边界条件等。不足之处是单元数 多，膜刚度近似差，在单元共面时整体组装连接处理困难和单元连接边界上弯矩 不连续等。由于其优势明显，目前平板壳单元在工程实际中得到广泛的应用，许 多著名软件如a b a q u s 、a d i n a 、a n s y s 、m a r c 、n a s t r a n 、s a p 的壳体 分析都主要应用平板壳单元。在理论上平板壳单元一直是一类令人感兴趣的单 元，可以说每一种新型板弯曲单元都可以被合成平板壳单元，所以相当多的新壳 单元都是平板壳单元。 退化壳元：是由a h m a d 等人于1 9 7 0 年提出的退化元思想而得到，退化壳 元概念的推出，被公认为壳元历史上一个里程碑式的贡献。其特点是未采用任何 具体的壳体理论，直接在壳体的中面对三维连续体方程进行离散。优点是：与普 通曲壳元相比，计算高效、通用性好、列式简明。缺点主要为：这种壳元较适合 厚壳和中厚壳：当用于薄壳分析时，性能会随厚跨比变小而迅速恶化，此时模型 过刚，出现剪切闭锁和膜闭锁，收敛速度缓慢，结果易出错，甚至不能求解【4 ”。 多变量壳元：多变量壳元所依据的变分原理主要有修正势能原理、修正余能 原理、h e l l i n g c r e i s s u e r 原理及胡海昌w a s h i z u 原理等。优点主要表现为：虽然 列式复杂，但发展空间大；单变量壳元中常会遇到的一些难题，如闭锁、伪零能 模式等，在多变量壳元中却有可能不会出现。不足之处为：没有比较成熟的模式 产生，目前还处于较低的研究阶段，仍存在不少问题，人们还在继续对其完善。 鉴于以上情况，采用平板壳元对塑料制品进行翘曲分析就显得优势明显。而 采用此方法就不可避免的要改善膜元的性能。基于此，本文尝试性的推导了两种 带旋转自由度的三角形单元，以期与基于离散k i r c h h o f f 理论的板单元1 4 2 4 3 】结 合生成壳单元对注塑件的翘曲变形进行c a e 分析。同时考虑到随着有限元应用的 普及，过于复杂的单元只会给有限元知识欠缺的用户带来麻烦，计算效率也不高， 所以在软件中尽量使用简单且精度高的单元已成趋势【4 4 。4 ”。本文具体工作如下： ( 1 ) 考虑到其他三角形膜元引入的旋转自由度多无实际的物理意义，推导方 法过于繁琐，不实用。从原始的a l l m a n 单元出发，引入了一个待定参 数，并由连续介质力学中关于转动分量的定义确定其取值，同时给出了 一个附加方程，进而得到一个简洁有效的带有旋转自由度的平面三角形 单元，记为o a t 3 。单元推导简单，通过具体算例表明，此单元无多余 的零能模式，仍保持了原有a l l m m a 单元的精度。 ( 2 ) 在1 0 节点三角形单元的基础上，推导了另一个带旋转自由度的3 节点 三角形单元，记为a t 4 。算例表明，此单元消除了多余的零能模式，单 元较刚，精度较无旋转自由度的膜元有所提高。 ( 3 ) 生成了基于离散k i r c h h o f f 理论的板单元和空间杆单元。通过具体算例， 首次对旋转自由度的正确性进行了校核，证明了以单元o a t 3 为膜元的 平板壳元具有良好的计算精度，很好的克服传统膜元的上述缺点。 1 0 郑州大学硕士学位论文转动角引入的基