（机械设计及理论专业论文）基于stewart平台机构的智能弯管机的优化设计与运动控制.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要宰 现代加工业中，需要能根据现场的不同要求快速加工出弯曲程度各异的 管材的弯管机。s t e w a r t 平台并联机构具有能输出多个自由度、结构刚度大、 承载能力高、运动精度好、位置反解简单和方便力反馈控制等优点，将其作 为智能弯管机的执行机构是s t e w a r t 平台并联机构的新应用。本论文对智能 弯管机的结构选型设计、结构参数优化设计和轨迹跟踪控制进行了研究，主 要工作如下： 1 采用6 - s p s 型的s t e w a r t 平台机构作为智能弯管机的执行机构；采用 伺服液压缸作为其连杆驱动部分；提出采用水平夹持管材，以水平面为主要 弯管加工平面的新构思，以达到增大智能弯管机工作空间的目的。 2 提出了在满足智能弯管机弯管的特殊轨迹的工作空间尽可能大和操作 精度尽可能高的前提下，基于遗传算法对s t e w a r t 平台机构的结构参数进行 多目标优化设计的思路和实现方法。对运用该优化方法得到的机构进行了运 动学动力学仿真计算，计算结果表明：智能弯管机的结构参数优化结果可以 改善其运动学动力学性能。 3 提出了基于反馈线性化结合神经网络进行智能弯管机加工点轨迹跟踪 控制的方法。应用该方法分别对加工点输出圆轨迹和螺旋轨迹的连杆速度输 出进行了控制仿真，仿真结果说明基于反馈线性化结合神经网络的轨迹跟踪 控制方法可以有效地减小轨迹输出误差，保证加工精度。 本论文的运动学动力学建模、优化设计、控制及仿真工作是借助于 b t a t l a b 软件完成的。 关键词：智能弯管机；s t e w a r t 平台机构：优化设计；轨迹跟踪控制 本论文受到四川省应用基础研究项目( 批准号0 2 g y 0 2 9 0 3 5 ) 的资助 西南交通大学硕士研究生学位论文第页 a b s t r a c t i np r a c t i c e ，m e t a lp i p e sw i t hd i v e r s er a d i u so fc u r v a t u r ea r ec o m m o n l y u s e d ，a n dh o wt ob e n dap i p er a p i d l ya n de a s i l yb ya ni n t e l l i g e n t m a c h i n et o o lh a sd r a w na t t e n t i o no fm a n yr e s e a r c h e r si nm a c h i n e r y m a n u f a c t u r i n g t h es t e w a r tp l a t f o r mh a sm u c hg o o dp e r f o r m a n c e ，s u c h a sm u l t i p l ed e g r e e so ff r e e d o m ，h a r ds t r u c t u r a ls t if f n e s s ，h i g h c a r r y i n gc a p a c i t y ，g o o dk i n e m a t i cp r e c i s i o n ，s i m p l ei n v e r s ep o s i t i o n ， e a s yf o r c ef e e d b a c kc o n t r o la n ds oo n i tisn o v e lt ou s et h es t e w a r t p l a t f o r ma st h em a n i p u l a t o ro ft h ep a r a l l e lm a c h i n et o o lf o rb e n d i n g m e t a lp i p e s i nt h i st h e sis ，t h ec o n c e p t u a ld e s i g n ，o p ti m a ld e s i g nf o r t h es t r u c t u r a lp a r a m e t e r sa n dt r a c kf o l l o w i n gc o n t r o lo ft h ep a r a l l e l m a c h i n et o o lf o rb e n d i n gm e t a lp i p e sb a s e do ns t e w a r tp l a t f o r mh a v e b e e ni n v e s tig a t e da sf o ll o w s ： f i r s t l y ，t h ec o n c e p t u a l d e s i g no ft h em a c h i n et o o li sa c c o m p l i s h e d ， a c c o r d i n gt ot h er e q u i r e m e n t sf o rb e n d i n gm e t a lp i p e s a6 - s p sp a r a ll e l s t e w a r tp l a t f o r mm a d eu po faf i x e dp l a t f o r m ，am o v i n gp l a t f o r m ，a n d s i xl e g sd r i v e nb ys e r v oh y d r a u l i c c y l i n d e r si sc h o s e na st h e m a n i p u l a t o ro ft h ep a r a l l e lm a c h i n et o o lf o rb e n d i n gm e t a lp i p e s a n d t h ep i p ei sd e s i g n e dt ob ec l a m p e dh o r i z o n t a l l yt oa u g m e n tt h e w o r k s p a c eo ft h em a c h i n et 0 0 1 s e c o n d l y ，am u l t i o b j e c to p t i m a ld e s i g nm e t h o d b a s e do ng e n e t i c a l g o r i t h mi sp r e s e n t e dt od e t e r m i n et h es t r u c t u r a lp a r a m e t e r so ft h e m a c h i n et o o lt om e e tt h en e e d so fw o r k s p a c ea n dp r e c i s i o n t h e k i n e m a t i ca n dd y n a m i cs i m u l a t i o nr e s u l t so f t h em a c h i n et o o lw i t h o p t i m a ls t r u c t u r a lp a r a m e t e r ss h o wt h a ti t sp e r f o r m a n c ei si m p r o v e d t h i r d l y ，at r a c kf o l l o w i n gc o n t r o lm e t h o db a s e do nu n i t e df e e d b a c k l i n e a r i z a t i o na n dn e r v en e t w o r ki sp r o p o s e dt oc o n t r o lt h el e g s v e l o c i t yo u t p u t i ti si n d i c a t e df r o mt h el e g sv e l o c i t yc o n t r o l 西南交通大学硕士研究生学位论文第h i 页 s i m u l a ti o nw h e nt h ep a t h so ft h em a n u f a c t u r i n gp o i n to nt h em o v i n g p l a t f o r ma r ec i r c l ea n ds c r e wr e s p e c t i v e l yt h a t ，b yt h ep r o p o s e d c o n t r o lm e t h o d ，t h ep a t he r r o risd e c r e a s e do b s e r v a b l yt oe n s u r e m a c h i n i n gp r e c i s i o n t h ek i n e m a t i ca n d d y n a m i cm o d e l i n g ，o p t i m i z a t i o n ，c o n t r o la n d s i m u l a t i o ni nt h i st h e s i sa r ec o n d u c t e du t i l i z i n gm a t l a bs o f t w a r e k e yw o r d s ：p a r a l l e lm a c h i n et o o lf o rb e n d i n gm e t a lp i p e s ：s t e w a r t p l a t f o r m ；o p t i m a ld e s i g n ：t r a c kf o l l o w i n gc o n t r o l s p o n s o r e db ys i c h u a na p p il e da n db a s i cr e s e a r c hp r o j e c t ( 0 2 g y 0 2 9 - 0 3 5 ) 西南交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权西南交通大学可以将本论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复印手段保存和汇编本学位 论文。 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书； 2 不保密瓯使用本授权书。 ( 请在以上方框内打“ ) ；位论文作者签名：员凌枉 日? ：础众2 7 指导老师签名： 日期： 加妒6 巧 | 7 、 乙 西南交通大学学位论文创新陛声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立进行研究工作 所得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体， 均已在文中作了明确的说明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 本学位论文的主要创新点如下： ( 1 ) 采用6 - s p s 型的s t e w a r t 平台机构作为智能弯管机的执行机构：采 用液压伺服缸作为其连杆驱动部分；首次提出了采用水平夹持管材，以水平 面为主要弯管加工平面的新构思。 ( 2 ) 提出了在满足智能弯管机弯管的特殊轨迹的工作空间尽可能大和操 作精度尽可能高的前提下，基于遗传算法对s t e w a r t 平台机构的结构参数进 行多目标优化设计的思路和实现方法。 ( 3 ) 提出了基于反馈线性化结合神经网络进行智能弯管机加工点轨迹跟 踪控制的方法。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 第1 章绪论 1 1 引言 在现代工业生产中，用管材制造的弯曲零件除大量用于气体和液体管道 工程外，在船舶制造业、锅炉及压力容器制造业、中央空调制造业、汽车工 业，航空航天制造业、石油化工、轻工等工业部门也得到广泛使用n 】。而制 造出多种多样弯曲程度各异的管材并非易事，这就要求弯管机械具有较高的 智能，能根据现场的不同要求快速成形。现在市场上，弯管机有手动或电动 液压弯管机等，而管材成型技术也很多，如推弯、压弯等，但都只是局限于 大批量，简单曲线形状的管材加工，对于小批量复杂曲线形状管材的加工， 上述弯管设备显得无能为力。因此，有必要深入研究这类管材a n t 的智能弯 管机。 近年来全球机床制造业都在积极探索和研制新型多功能的制造装备与系 统，其中在机床结构技术上的突破性进展当属9 0 年代中期问世的并联机床 ( p a r a l l e lm a c h i n et 0 0 1 ) ，又称虚( 拟) 轴机床 i r t u a la x ism a c h i n et 0 0 1 ) 或并联运动学机器( p a r a l l e lk i n e m a t i c sm a c h i n e ) 乜3 1 。并联机床实质上是 机器人技术与机床结构技术结合的产物，其原型是并联机器人操作机 s t e w a r t 平台机构h 1 。与实现等同功能的传统五坐标数控机床相比，s t e w a r t 平台机构并联机床具有如下优点1 ：刚度重量比大：因采用并联闭环静定 或非静定杆系结构，且在准静态情况下，传动构件理论上为仅受拉压载荷的 二力杆，故传动机构的单位重量具有很高的承载能力。响应速度快：运动部 件惯性的大幅度降低有效地改善了伺服控制器的动态品质，允许动平台获得 很高的进给速度和加速度，因而特别适于各种高速数控作业。环境适应性 强：便于可重组和模块化设计，且可构成形式多样的布局和自由度组合。在 动平台上安装刀具可进行多坐标铣、钻、磨、抛光，以及异型刀具刃磨等加 工。装备机械手腕、高能束源或c c d 摄像机等末端执行器，还可完成精密装 配、特种加工与测量等作业。技术附加值高：s t e w a r t 平台机构并联机床 具有“硬件 简单。口软件 复杂的特点，是一种技术附加值很高的机电一体 化产品，因此可望获得高额的经济回报。 以上基于s t e w a r t 平台机构的并联机床的优点为其新应用提供了可能 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 性，本论文拟研究基于s t e w a r t 平台机构的智能弯管机这类新型并联机床的 优化设计，使之能快速弯曲任意形状的管材，具有良好的工作性能。 1 2s t e w a r t 平台机构的研究现状综述 1 2 1s t e w a r t 平台机构的应用 s t e w a r t 平台机构是1 9 6 5 年d s t e w a r t 提出的著名的平台机构。它是一 种并联机器人机构，具有多个自由度，包括一个基础平台、一个动平台以及 二者之间与之铰接若干可变长的连杆。起初s t e w a r t 平台机构是为飞行模拟 装置而设计的，多年以来人们对该装置只是停留在理论分析上。9 0 年代，美 国、俄罗斯等国家将这种机构应用于虚轴机床上，开创了s t e w a r t 平台机构 研究的新局面 。s t e w a r t 平台机构现已主要运用于以下诸多方面： 模拟运动：飞行员三维空间训练模拟器，驾驶模拟器嘲；工程模拟器， 如海浪模拟器阳3 等；检测产品在模拟的反复冲击振动下的运动可靠性；娱乐 运动模拟台。 对接动作：宇宙飞船的空间对接；装配线上的零件安装等。 承载运动：大扭矩螺栓紧固：短距离重物搬运n 叼。 金属切削加工：应用于各类铣床、磨床、钻床、点焊机和切割机等。 可用于测量机：用来作为其它机构的误差补偿器、三坐标测量机等。 用于传感装置：例如六维力传感器、六维力鼠标、智能传感器等。 用于各种操作：例如手术机械手、康复机器人等。 用于微操作：微动机构或微型机构。例如纳米机器人m 1 等。 1 2 2s t e w a r t 平台机构的研究现状 s t e w a r t 平台机构的机构学理论主要有：机构结构学、机构运动学和动 力学及控制策略等的研究n 2 h 射。 ( 1 ) 机构结构学研究的主要任务是揭示机构的结构组成规律、拓扑结构及 与机构运动学、动力学之间的内在联系，并进行结构优选，发明新结构。这 部分是研究中比较成熟的部分，各国学者提出了s t e w a r t 平台的各种变形机 构( 如6 - s p s 单三角、双三角机构等) ，6 - s p s 、6 - r s s 、6 - p s s 、6 - t p s 等多 种结构n 钔，其中6 - s p s 和6 - t p s 被广泛采用。 ( 2 ) s t e w a r t 平台机构的运动学主要研究内容有机构的位置、速度和加速 度分析，此外还包括机构的运动空间、奇异位形问题、误差分析、结构校验 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 及尺度综合等方面。机构的位置分析是最基本的，当给定s t e w a r t 平台机构 上平台的位姿参数，求解各输入关节的位置参数是s t e w a r t 平台机构运动学 位置反解问题；当给定s t e w a r t 平台机构各输入关节的位置参数求解上平台 的位姿参数是s t e w a r t 平台机构的运动学正解问题。求解s t e w a r t 平台机构 的常规思路是通过各种方法建立起机构的位置方程，然后通过变量或矩阵直 接对时间求导而得到速度和加速度。这种方法推导过程复杂，得到的速度和 加速度方程也不能直接写出较为规范的形式，而且s t e w a r t 平台机构位置正 解的求取是非常困难的，对其求一阶、二阶导数就更不容易了。运用机构的 影响系数法n 5 埔1 刀求解s t e w a r t 平台机构速度和加速度，不需要复杂的求导 过程，影响系数本身计算十分方便，可有效地弥补上述直接对时间求导法的 不足，能极大地提高s t e w a r t 平台机构的在线求解速度。机构的影响系数本 身与真实的运动速度无关，它只与机构的运动学尺寸、机构类型及机构输入 位置参数有关，即与机构的位形有关n 羽。若已知影响系数，就可以很方便地 以显函数的形式表示出s t e w a r t 平台机构的速度和加速度。 ( 3 ) 奇异位形是s t e w a r t 平台机构机构学研究的又一项重要内容，同串联 机构一样，s t e w a r t 平台机构也存在奇异位形，当机构处于奇异位形时其 j a c o b i a n 矩阵为奇异阵，行列式值为零，此时机构速度反解不存在，存在某 些不可控的自由度。另外当机构处于奇异位形附近时，关节驱动力将趋于无 穷大从而造成机构的损坏，因此在设计和应用s t e w a r t 平台机构时应避开奇 异位形。 f i c h t e r n 钔和曲义远啪3 等人发现了s t e w a r t 平台机构的奇异位形是上平 台相对于下平台转过9 0 。位置。一般情况下s t e w a r t 平台机构的奇异位形分 为边界奇异、局部奇异和结构奇异三种形式。关于奇异位形的研究主要是寻 找s t e w a r t 平台机构在工作空间中何时处于奇异位形，如何避开奇异位形； 关于s t e w a r t 平台机构奇异位形研究的一个相关问题是如何避开工作空间中 的奇异位形。 虽然平面形并联机构的工作空间和奇异位形可以同时确定，但如何确定 工作空间中的奇异位形仍是一个有待进一步研究的问题。 ( 4 ) s t e w a r t 平台机构性能对其尺度参数依赖很大，例如，改变其动平台 半径的1 0 ，对机构刚度的改变可能达n 7 0 0 。所以尺度综合是实现s t e w a r t 平台机构运动学设计的最终目标，原则上需要在兼顾动平台实现位姿的能力、 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 运动灵活度、支链干涉等多种因素的基础上综合出主动关节变量变化范围和 尺度参数的最优解话3 。现在针对6 自由度s t e w a r t 平台机构的尺度综合方法旧 有：基于各向同性条件的尺度综合法，因仅需满足各向同性条件时的尺度参 数关系，故存在无穷多解；兼顾各向同性条件和动平台姿态能力的尺度综合， 此法针对动平台在给定工作空间中实现预定姿态能力的需要，通过旄加适当 约束，可有效解决多解问题；基于总体灵活度指标的加权综合，通常以雅可 比矩阵条件数关于工作空间的一次矩最小为目标，将尺度综合问题归结为一 类泛函极值问题，是一种较为通用的方法，但不能兼顾动平台实现姿态的能 力。可见这些方法不能完全解决s t e w a r t 平台机构设计目标和参数过多的问 题。 ( 5 ) s t e w a r t 平台机构的动力学是其研究的一个重要分支，其中动力学模 型是s t e w a r t 平台机构实现控制的基础，因而在研究中占有重要的地位。动 力学是研究物体的运动和作用力之间的关系。s t e w a r t 平台机构是一个复杂 的动力学系统，存在着严重的非线性，有多个关节和多个连杆组成，具有多 个输入和输出，它们之间存在着错综复杂的耦合关系。因此，要分析s t e w a r t 平台机构的动力学特性，必须采用非常系统的方法。现有的分析方法很多， 有拉格朗日( l a g r a n g e ) 口u 方法，牛顿欧拉( n e w t o n e u l e r ) 蚴方法，高斯 ( g a u s s ) 方法，凯恩( k a n e ) 瞄3 方法等。有关动力学建模的研究，在串联机 器人领域已经取得了很大的进展。然而由于s t e w a r t 平台机构的复杂性，目 前关于s t e w a r t 平台机构的研究内容大都涉及机构及运动学的各方面，对于 动力学研究相对较少。g e n g 嘲1 等对s t e w a r t 平台机构的几何形状和惯性扰动 作了简化假设，然后利用拉格朗日方法建立了s t e w a r t 平台机构的动力学方 程，j i 在文献 2 5 3 中考虑了腿部惯量对s t e w a r t 平台的影响，建立了s t e w a r t 平台的动力学方程。黄真和王洪波n 踟利用影响系数法对s t e w a r t 平台机构进 行了受力分析并建立了s t e w a r t 平台机构的动力学模型。 因为s t e w a r t 平台具有完整的一般性结构和惯性扰动，可以利用牛顿 欧拉法计算完整的逆动力学方程，所得结果显示出其适合于并联计算。 g o s s e l i n 啪1 也利用牛顿欧拉法建立了逆动力学方程，并指出由于s t e w a r t 平台机构内在的并联结构非常适合于应用并联计算。利用拉格朗日方程也可 以建立完整的s t e w a r t 平台机构动力学方程汹1 。 ( 6 ) 相对于s t e w a r t 平台机构的机构学理论研究，其轨迹跟踪控制策略的 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 研究相对较少，有些方面还没有开展起来。除了常规的p i d 控制之外，还有 自适应控制啪1 以及变结构滑模控制啪1 。常规的p i d 控制对于大多数点位控制 应用是相当有效的，而对于轨迹跟踪控制问题则不适用。自适应控制以及滑 模控制都属于基于模型的控制方法，主要应用于高精度控制。这类基于模型 的控制方法都要求在线计算逆动力学模型，而s t e w a r t 平台机构包含多个运 动链，逆动力学模型比较复杂，计算量很大。为了解决这个问题，一些学者 针对s t e w a r t 平台提出了一种非补偿的模型参考自适应控制啪1 方法，该方法 不需要进行惯性补偿，因此不必计算逆动力学模型。但是该方法的前提假设 平台的运动变化很慢，动力学方程中的惯性阵、哥氏力和向心力项以及重力 项近似为常量，然而当平台的运动变化较快时这个假设便不成立了。因此， 这种方法不适用于高的工作带宽情况。 对于六自由度的s t e w a r t 平台机构关节驱动系统采用液压伺服驱动方 式，其频带响应较宽，通常可达l o h z 左右，相应的机械系统的动力学系统的 带宽要窄得多，所以合理的控制方案应以动力学模型为主体来设计常用方法。 一个易于工程实现的处理方法是将s t e w a r t 平台机构由机械系统的动力学方 程反解，所确定的各关节力或力矩视为作用于液压伺服系统液压缸柱塞上的 可变负载力( 相当于外扰) ，以柱塞位移量作为液压伺服系统输出的检测量， 以此构成位置闭环实现轨迹跟踪控制。这相当于把液压伺服系统的数学模型 看成是s t e w a r t 平台机构的被控对象的一个自由度的数学模型啪】。 可以看出，近十余年来，国内外有许多学者关于s t e w a r t 平台机构各方 面的关键技术的研究取得了很多成果。但是，s t e w a r t 平台机构的优化设计 及其机构性能评价等问题的研究尚处于起步阶段，还没有一个成熟的方法， 值得进一步研究。 1 3 论文选题意义和研究内容 如上所述，智能弯管机是s t e w a r t 平台机构在并联机床中的新应用，在 结构学、运动学、动力学及控制等方面有许多重要问题值得研究。本论文拟 从改善工作空间、运动传递性和操作精度等性能的角度出发，对智能弯管机 的结构方案设计、结构参数优化设计和轨迹跟踪控制等问题进行研究，内容 如下： 第2 章：基于s t e w a r t 平台机构的基本理论，建立智能弯管机的运动学 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 动力学模型。 第3 章：完成智能弯管机的结构方案设计，采用6 - s p s 的s t e w a r t 平台 机构作为智能弯管机的执行机构：采用液压伺服缸作为其连杆驱动部分；根 据s t e w a r t 平台机构绕竖直轴线做旋转运动可旋转的角度比绕水平轴时的要 大的特点，采用水平夹持管材，以水平面为主要弯管加工平面，以达到增大 智能弯管机工作空间的目的。 第4 章：在满足智能弯管机弯管的特殊轨迹的工作空间尽可能大和操作 精度尽可能高的前提下，基于遗传算法对s t e w a r t 平台机构的结构参数进行 多目标优化设计。对运用该优化方法得到的机构进行运动学动力学仿真计算， 通过仿真结果来验证该优化结果是否可以改善智能弯管机的工作性能。 第5 章：基于反馈线性化结合神经网络的控制方法对智能弯管机进行加 工点轨迹跟踪控制。应用该方法分别对加工点输出圆轨迹和螺旋轨迹的连杆 速度输出进行控制仿真，通过仿真结果来验证该控制方法是否可以有效地减 小轨迹输出误差，保证加工精度。 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 第2 章s t e w a r t 平台机构的基本理论 s t e w a r t 平台机构包含上下两个平台，和6 个并联的运动支链与之铰接， 如图2 1 所示为其一般形式的立体简图。由于其运动支链是并联的，其运动 学动力学方程的建立相对串联机构要复杂得多，所以有必要在对s t e w a r t 平 台机构优化设计研究前，对其的运动学动力学基本理论进行一定的介绍。 b 4 图2 - 1s t e w a r t 平台机构简图 2 1s t e w a r t 平台机构的运动学分析 如前所述，采用机构影响系数法能较方便地以显函数的形式表示出 s t e w a r t 平台机构的速度和加速度。 并联机器人机构影响系数的求解方法主要有以下几种m 1 ： ( 1 ) 求导法。这种方法的求解线路清晰，适用于位置方程可以写成解析表 达式的情况，但是要经过比较复杂的数学推导，计算相当繁琐。 ( 2 ) 环路方程法。利用开链机构的一、二阶影响系数矩阵的结果，通过各 支链的公共末端执行器的速度和加速度建立环路方程，从而得到机构的影响 系数。 ( 3 ) 虚设机构法。本方法一般主要用于建立非对称空间多回路机构的一、 二阶影响系数矩阵。 2 1 1 运动影响系数理论简介 对于一个具有n 个自由度的空间机构，若其n 个输入参数哦( f = l ，2 ，3 ，n ) 给定后，那么这个空间机构中的每一个构件的位置都是确定了 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 的。任何构件可以用其上的一个参考点坐标( ，u ) 和一条参考线的角 位置( 玑，乩，u 6 ) 来确定其在空间的位置，如果构件的位置用 u ( u ，砜) r 表示，则： u = 厂( 究，九，九) ( 2 1 ) 式( 2 - 1 ) 两边同时对时间求导可得： i j r 一喜鬻磊 ( 2 - 2 ) 由机构的结构特点可知式( 2 1 ) 为非线性方程，而式( 2 - 2 ) 是线性方程。 再由机构学可知式( 2 2 ) 中的偏导数只与机构的运动学尺寸( 铰链位置决定的 杆长和移动副方向线表示的位置) 及原动件的角位置有关，而与原动件的运动 无关n 7 1 。把这些与运动分离的一阶偏导数定义为一阶运动影响系数，简称一 阶影响系数。把式( 2 - 2 ) 表示称矩阵形式得： u | 【g p ( 2 3 ) 式中： 吲。【酱豢等l 2 o u , a 赡 o u 6 a 宠 尺6 “( 2 - 4 ) = ( 办噍屯) ( 2 5 ) 把 g 称为一阶影响系数矩阵，也就是通常的雅可比( j a c o b i a n ) 矩阵。为了求 解机构构件的角加速度和线加速度，可对式( 2 2 ) 进行二次求导得： 驴2 薹薹袅栅砉鬻五 ，6 ， 式( 2 - 6 ) 也可以表示成矩阵形式：。 衫- t 【日夥+ 【g 眵( 2 - 7 ) 上式中： 姒一坛；毗一魄 一 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 旧】一 a 2 u a 萌a 众 a 2 u d 唬d 众 a 2 u a 办a 宠 a 2 矽 a 丸d 晚 a u a 办a 氟 a 。u a 兜a 晚 a 2 ua 2 u a 2 u a 吮a aa 九a 兜a 九a 兜 r 6 ”“( 2 - 8 ) 矩阵嘲中的每个元素都是一个六维向量，可以表示为： 峨一老矗，器，矗丁 9 ， 妒；( a 晚吮) ( 2 1 0 ) 式( 2 - 6 ) 中的二阶偏导数定义为二阶运动影响系数，或简称为二阶影响系数， 网被称为二阶影响系数矩阵。 在对机构运动影响系数了解之后，可以知道以上两种运动影响系数和运 动都是分离的，只有改变机构位形时，两种运动影响系数才随之而变化，这 就很容易建立s t e w a r t 平台机构的速度和加速度模型了。 z o 。 刃一 图2 2s t e w a r t 平台机构矢量关系图 2 1 2s t e w a r t 平台机构的运动学模型 ( 1 ) 速度模型的建立 由刚体运动学可知，绕定轴转动的刚体上任一点的速度矢等于刚体的角速 度矢与该点矢径的矢积1 ，故根据s t e w a r t 平台机构的矢量关系图2 2 可得： = 匕+ p r 4 ( 2 1 1 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 瓤表示动平台上的铰链点的速度，匕表示动平台质，5 , 0 点的速度矢量， 即匕一畋巧k r ，表示动平台的角速度矢量，有- 【吱q q r ， 九是动坐标系原点d 到动平台铰链点4 的位置矢量。根据矢量叉积运算法 则，式( 2 - 1 1 ) 右端用坐标表示得： 。屹+ 啤0 。屹“- v , j + k 七+ ( + q j + 哆忌) 么( 2 - 1 2 ) - v , i + v y j + v ：k + 吐u ) + q u x ) + 吐 ) 其中i 、j 、k 是单位矢量，f 一【1 0 o l r ，j - 【o 1 o l r ，k - o0 叮。 由式( 2 11 ) ，( 2 - 1 2 ) 可得其矩阵的表达形式： 眠卜【g 孑】【p 】 ( 2 1 3 ) 在式( 2 - 1 3 ) 中，【g = i 】是输入速度对运动平台位姿速度的一阶影响系数矩阵， 【朗为上平台的位姿速度。 【嘭卜p j k i 么歹么露】r 蛐 ( 2 1 4 ) p 卜i v , 巧kqq 哆】r ( 2 1 5 ) 这样就得到了上铰链点速度圪。和上平台质心速度之间的转换关系。为了进 一步建立s t e w a r t 平台机构的速度模型，再对驱动杆速度厶和之间的关系 进行分析。 q - 厶- ( ，以，k ) r ( 2 1 6 ) 式( 2 1 6 ) 中：j f - l j i ，j 。一岛f j ，k ；k t , 。 根据向量代数中数量积的运算法则呻3 可以得到如下关系： 厶厶- 2 ( 2 1 7 ) 对式( 2 - 1 7 ) 两边同时对时间求导： 厶= t f i ( 2 1 8 ) 因此，由式( 2 - 1 7 ) 、( 2 - 1 8 ) 就可得到驱动杆的速度： = q f 虼 ( 2 1 9 ) 写成矩阵形式，得： = 【q f 】r 【吃】 ( 2 2 0 ) 上面己经求出了动平台上的铰链点的速度，故只要把式( 2 1 3 ) 代入式( 2 2 0 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 1 页 中，就可以得到s t e w a r t 平台机构驱动杆速度与末端执行器速度之间的关系， 即有如下关系： e = 【q i 】丁【嘭】【声】i = l ，2 ，6 ( 2 2 1 ) 可以将6 个驱动杆的方程写成统一的矩阵形式，令 口】= 晴之f 6 r ( 2 - 2 2 ) 【畔】暑 q 1 ，【嘭】 q ：，【够】 ( q 。r 【够】 ( 2 - 2 3 ) 其中【啡】是驱动杆速度对动平台质心速度的一阶影响系数矩阵。 根据式( 2 2 1 ) 可以得到速度反解方程的矩阵形式： 【f 】= 【畔】【用 ( 2 2 4 ) 速度正解方程的矩阵形式可以写为： 【户】；【磷】以口】= 【钟】【f 】( 2 - 2 5 ) ( 2 ) 加速度模型 根据理论力学中的刚体运动学知识可知，转动刚体内任一点的切相加速 度等于刚体角加速度矢与该点矢径的矢积，法向加速度等于刚体的角速度矢 与该点的速度矢的矢积。 根据上平台的位姿速度：【户】；畋kkqq 哆r 则上平台的位姿加速度可表示为： 胪卜敞44q 占，乞1 f ( 2 2 6 ) 也可以分别用：4 = 略一 444 ，表示动坐标系原点0 的加速度，利 用e p 一婢= s ，8 ，6 ：r 表示上平台的角加速度。 上平台铰链点加速度 与质- t 二, ao 的加速度4 之间有如下矢量关系： = 4 + e x 么+ 脚x x ) ( 2 2 7 ) 式中： 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 2 页 国( 缈气) 一【o 0 0 i x ( c a x r ) j ( x ， ) 七x ( x 么) 儿p 】 一【户】r o o oo00 0 0 0000 o0 0 000 o o o f x g x ) 歹u ) kx ( i 么) 、 ， 一、 ，。a ， o o 0 f u ) ，( ，) k c ， ) o oo f ) j 么) k 么) 【用 一【p 】1 【h 】【p 】 ( 2 - 2 8 ) 上式中，0 一( 0 0 o ) r ，单位向量f 、j 、k 定义同上节。由( 2 2 7 ) ，( 2 2 8 ) 两式可得动平台上的铰链点加速度的矩阵形式： 彳k 一【6 】【户】+ 【户】r 【磊嗲】【户】 ( 2 2 9 ) 上式中，【日詈】尺孤嘶是输入速度对运动平台位姿速度的二阶影响系数矩阵。 对式( 2 1 8 ) 两边同时对时间求导得： 匕岷+ 厶吐- p + 城 ( 2 3 0 ) 。 则由式( 2 - 2 9 ) 、( 2 - 3 0 ) ，第i 根驱动杆的加速度可以表示为： j ：- q , + 眠屹一1 2 ) f i ( 2 3 1 ) 写成矩阵形式为： j ：；【q 九 】+ ( 眠】r 眠卜皆) ( 2 3 2 ) 把动平台上的铰链点的速度和加速度，以及驱动连杆的速度代入上式，即把 式( 2 8 ) 、( 2 - 1 4 ) 、( 2 - 1 8 ) 代入式( 2 - 2 1 ) ，就可得到s t e w a r t 平台机构驱动连 杆的加速度与末端执行器的加速度两者之间的关系，即有： j ：。【q f 九础】【角+ 【胛l 【q l 】r 宰【日爹】+ 詈( 【罐九础】一【酣n q i 】【q j 九罐】) l 【声】 i = l ，2 ，6 ( 2 3 3 ) 式( 2 3 3 ) 中“木 表示矩阵的广义标量积，即把三维列矢【q r 看作是一个常 数，运算时把其乘以后面矩阵中的每一个元素。为把上面六个方程写成统一 的形式，令：【j 】一暖艺艺r ，则得到加速度反解表达式： 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 3 页 【j 】；【j 】【户】+ 【p r 【日】 p 】 ( 2 3 4 ) 式( 2 - 3 4 ) 中，【日】即为6 - s p s 并联机器人机构的加速度反解二阶影响系数矩 令限】t 【眩】f 幸【毋】+ 丢( 【础n 础】一【础九q ：儿q 九础】) 】， 则【日】中的每一个元素为：【日】m - ( 暇】p 灯，【以】p ，叮) 丁 e l j l 。1 f 】+ 【f 】r 僻f 】【f 】( 2 - 3 5 ) 其中，【日i 】一- 【，】r ( v 】水【日】) v 】，也即加速度正解的二阶影响系数矩阵。 覃- i x p ，) ，p ，g ，a ，卢， ，r ( 2 3 6 ) 圣- 畋，k ，d ，彦，汀- 畋 卯 ( 2 3 7 ) 面a 【4 ，彳，4 ，d ，声，】r ；【4 ， 否】r ( 2 3 8 ) 其中：匕一彤，t 】r ，4t 【4 ，4 ，4 r ，旁= 陋，声，尹_ 】，蚕- 陋，声，汀。 显然这里有动平台的角速度【q ，q ，哆r 和角加速度【气，：】r 与姿态角 对时间的一、- - 阶导数 a ，矽，) ；r 和【应，声，】r 是不同的，它们有如下关系n 力： 阱g ，吲 3 圣 ；c q ，【季】+ c 舀彦矿，t 日8 ， 季】 c 2 4 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 页 c o s y c o s z - s i n y0 1 峨卜一嚣卢露y 呈j 阻。】= 曰 罾) 等) 尺3 x 3 x 3 2 2s t e w a r t 平台机构的动力学分析 如前所述，s t e w a r t 平台机构是一个复杂的动力学系统，存在着严重的 非线性，有多个关节和多个杆件组成，具有多个输入和多个输出，它们之间 存在着错综复杂的耦合关系。因此，要分析研究其动力学特性，必须采用非 常系统的方法，现有的分析方法很多，有拉格朗日方法，牛顿一欧拉方法， 高斯方法，凯恩方法等。在这些方法中比较简单的当属拉格朗日法防】，它采 用功能平衡法，仅需计算系统的动能和势能，不易出错，而且还能确定系统 的动力学特性，有利于对s t e w a r t 平台机构进行控制策略研究。 2 2 1 雅可比矩阵 在引用拉格朗日方程建立动力学模型之前，根据前文的推导，先来引入 两个雅可比矩阵，和，和系统的雅克比矩阵i ，。 ( 1 ) 定义。，圪 由式( 2 - 2 0 ) 可以得到： _il，i_ili-，、_1)_ii-_，、_ii，_ilj r 。o o o 0 o d 0 ，-ili【iiil_，_i_i_11i_l，_ii_-_-iii、一rj y y s 1 弧磊。 一 一 rij1l 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 5 页 = 0 ( 2 ) 定义匕a ，：圣 由式( 2 - 1 3 ) 和式( 2 - 3 9 ) 可以得到： 小嘞l 式中： 】= l ， l - ， l - ， l j l - ， 1 ， o r 6 哪( 2 - 4 1 ) k x r a , k x r a 2 七 k 么 七 k x r 1 缸6 ( 2 4 2 ) 根据这两个矩阵的定义，显然有下式成立： 三- j j ：圣- 埘 ( 2 4 3 ) 式中厂即s t e w a r t 平台机构的雅克比矩阵。 2 2 2s t e w a r t 平台机构的动能和势能 ( 1 ) 拉袼朗日方程 对于任何的机械系统，拉格朗日函数可以定义为系统的动能k 和势能p 之差r ；k p ，系统的动能和势能可以用任意选取的坐标系来表示。 对于广义坐标为q e r “，其运动方程为： 旦f 里攀1 一o r ( q , q ) ，吒闩，2 ，n ( 2 - 4 4 ) d t a 或 j a 吼 式( 2 4 4 ) 称为拉格朗日方程，其中t 表示作用在第z 个广义坐标上的外力。 写成矢量形式则有： “饥“ x l l l l l l七七七囊七七 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 6 页 旦f 翌攀卜1 0 r ( q 一, q ) 。7 ( 2 - 4 s ) d t 两 j 阳 应用拉格朗日方程的一般步骤如下： ( 1 ) 计算系统的动能k 和势能p ，设广义坐标为q k r ( q ，雪) - 去圣2 m ( q ) i l ，鼋尺6 ，m r “” p p ( q ) ，e ( q ) e r “ ( 2 4 6 ) ( 2 ) 建立拉格朗日方程 旦f 旦望堂1 a k 一( q , q ) + 一o p ( q ) f ( 2 _ 4 7 ) d ti 的 ja g加 当动能和势能用以上形式表达时，建立的动力学方程将具有如下标准形式 m q 埯+ 圪( g ，q ) q + g 国) 一7( 2 4 8 ) 其中m 国) 是惯性矩阵，可以由动能k 国，雷) 表达式直接获得，重力项o ( q ) 是 势能的偏导数，即g q ) 。i o e ( q ) ，哥氏力和离心力y ( q ，；) 较难