（理论物理专业论文）规范理论中圈图层次部分幅的关系研究.pdf

il l llf ul ljiiliprljllpillifll l f , a t e l i s a | h i i i ! y 18 9 3 8 2 3 r e l a t i o n so fp a r t i a la m p l i t u d e so fl o o pl e v e li ng a u g e t h e o r y a u t h o r ss i g n a t u r e ： s u p e r v i s o r ss i g n a t u r e ： e x t e r n a lr e v i e w e r s ： e x a m i n i n gc o m m i t t e x a m i n i n gc o m m i t t d a t eo fo r a ld e f e n c e ：j u n e2 011 浙江大学研究生学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得浙江大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签争锄签字日期沙【1 年i f f 月多日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解浙江大学有权保留并向国家有关部门或机构送交 本论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权浙江大学可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索和传播，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名谚锄k 签字日期：仞l1 年毛月岁日 导师签名：少杖 签字日期： b 1 1 年( ，月3 日 致谢 致谢 关于本文的写作，作者欲感谢导师冯波先生的热心指导以及合作者郏寅同学的 讨论。同时感谢中国科学院卡弗里理论物理研究中心提供了怡人的氛围。在本文 l a t e x 模板的使用上作者得到了邵凯南同学热情的帮助，在此一并感谢。 在研究生学习期间，作者欲感谢罗民兴先生，陈一新先生，朱国怀先生，特别是导 师冯波先生的指导和帮助。感谢系研究生办的陈星老师热情有效的工作。感谢诸位 同门在物理问题上的诸多讨论和学业上的激励。 最后，欲感谢家人对作者从事这份看起来没有什么前途的职业的支持，以及诸位 友人在作者犹豫低落时的鼓励。 硕士学位论文 摘要 所周知，在色分解下胶子单圈图振幅可以分解成许多拥有单迹结构和双迹结 分幅。特别的，所有的双迹结构的部分幅都可以表示成单迹结构部分幅的线 。使用幺正切割的方法，我们证明这个结论是树图层次上k l e i s s k u i j f 关系的 论。将幺正切割的方法推广到两圈图的研究，使用三切割的方法，我们发现同 的情况不同，在双圈图的情况下双迹结构和三迹结构的部分幅不能完全表示 迹结构的部分幅的线性叠加。对于两圈图的次单迹结构的部分幅，我们发现 情况下他们满足和树图振幅一样的k l e i s s k u i j f 关系。这是我们这篇文章的 要结论。被这个结果鼓励，我们推论普遍的k l e i s s k u i j f 关系在两圈振幅的次 构部分幅之间成立。 ：色分解圈振幅幺正切割 摘要 a b s t r a c t i ti sw e l lk n o w nt h a tu n d e rt h ec o l o r - d e c o m p o s i t i o n ，o n e - l o o pa m p l i t u d eo fg l u o n s c o n t a i n sp a r t i a la m p l i t u d e so f s i n g l ea n dd o u b l et r a c es t r u c t u r e s ，a n dp a r t i c u l a r l ya l lp a r t i a l a m p l i t u d e so fd o u b l et r a c es t r u c t u r e sc a nb ee x p r e s s e da sl i n e a rc o m b i n a t i o n so fp a r t i a l a m p l i t u d e so fs i n g l et r a c es t r u c t u r e s u s i n gu n i t a r i t yc u tm e t h o d ，w ep r o v et h a tt h i sr e s u l t i st h en a t u r a lc o n s e q u e n c eo f t r e e - l e v e lk l e i s s - k u i j f r e l a t i o n s g e n e r a l i z e dt h ei d e at ot w o - l o o p ，u s i n gt h eu n i t a r i t yc u tm e t h o d ，i e ，t r i p l ec u ti nt h i sc a s e ，w es h o w e dt h a t ，u n l i k et h e o n e l o o pc a s e ，p a r t i a la m p l i t u d e so fd o u b l ea n dt r i p l et r a c es t r u c t u r e sc a nn o tb ee x p r e s s e d a sl i n e a rc o m b i n a t i o n so fp a r t i a la m p l i t u d e so fl e a d i n gs i n g l et r a c es t r u c t u r e f o rp a r t i a l a m p l i t u d e so fs u b l e a d i n gs i n g l et r a c es t r u c t u r e s ，w eh a v es h o w nav e r yn o n t f i v i a lk l e i s s k u o f r e l a t i o nf o rs i x - p o i n tg l u o n s ，w h i c hi so n eo fm o s ti m p o r t a n tn e wr e s u l t si nt h i sp a p e r a n dc a nn o tb eo b t a i n e db y 纱( 1 ) 一d e c o u p l i n gm e t h o d e n c o u r a g e db yt h ee x a m p l e ，w eh a v e c o n j e c t u r e dt h ek l e i s s k u i j fr e l a t i o nt ob et r u ef o rg e n e r a l 扎f o rp a r t i a la m p l i t u d e so fs u b l e a d i n gs i n g l et r a c es t r u c t u r e s k e y w o r d s ：c o l o rd e c o m p o s i t i o n ，l o o pa m p l i t u d e ，u n i t a r i t yc u t i i i 浙江大学硕十学位论文 目次 致谢 i 摘要i i 目次 1 引言 1 2 一些背景知识3 3一圈图的部分幅 6 3 1 u ( 1 ) 方法的回顾 7 3 2 幺正切割方法11 4两圈图的部分幅2 5 4 1 从u ( 1 ) 解耦方法来理解四点振幅2 7 4 2 从幺正切割的方法进一步理解四点振幅3 0 4 3 次单迹结构部分幅之间的k k 关系3 4 5 结论3 8 参考文献4 0 附录4 3 5 1 对于两圈四点振幅关系的一个直接验证4 3 5 2 u ( 1 ) 方法对两圈图振幅给出的方程4 4 5 3 恒等式a a ，1 ，2 ( 1 ；2 ；3 ，4 ) = a 1 , 1 ，2 ( 1 ，2 ；3 ；4 ) 的证明4 5 攻读硕士学位期间主要研究成果4 8 i v 引言 1 引言 为了找出隐藏在振幅后面的简洁性，最近几年有许多尝试被提出。同传统的 基于拉格朗日表述不同的全新的尝试，即b r i t t o c a c h a z o f e n g w i t t e n ( b c f w ) 在壳 递推关系f ，这个基于一些普遍的原理和振幅解析结构的关系出现了，并且在理 解和计算振幅方面提供了许多新思路。将b c f w 递推关系推广到超对称理论的 研究可见于文献【2 0 】，这些研究帮助得到了h f = 4 超杨米尔斯理论的所有树振 幅1 6 1 。除了这些直接的振幅计算，b c f w 递推关系同样可以用来理解描述部分幅 的非平凡关系。著名的色反演，纱( 1 ) 解耦和k l e i s s k u i j f 关系 7 1 ，以及新近发现的 b e m - c a r r a s c o j o h a n s s o n ( b c j ) 关系1 8 1 ，都已经在纯场论的框架下被理解【9 1 ( 其他讨 论和推广见【h 川2 1 ) 。超出树图的研究同样硕果累累。在单圈图的情况下，幺正切割 方法的威力已经得到大大加强，并且人们可以在旋量积分的语言上对单圈图振幅给 出普遍的讨论 7 ( ) - - 2 3 _】。除此之外，对于多圈图振幅的计算和他们之间非平凡的关系的 研究也正在进行中 2 4 , 2 5 1 。 当我们提到振幅的时候，实际上我们指的是部分幅。全的振幅可以根据色结构 分解成为许多部分幅的线性叠加，这就是色分解【! “2 州。色分解的概念在树振幅和圈 振幅的计算中都很重要。部分幅是规范不变的，没有色信息的振幅，他们的计算和分 析要远比完整的振幅简单。但是对于每一个色分解，总是会产生非常多的部分幅，所 以研究这些部分幅之间的关系就显得尤为重要，因为这样的研究可以帮助减少需要 计算的独立振幅的个数。传统上研究这个问题的方法是u ( 1 ) 解耦方法，来源于这样 的观察：规范场中规范玻色子和其他无质量场耦合的振幅将等于零【3 0 】。当我们假设 其中的一个粒子是规范玻色子的时候，在树图的情况下我们将直接从独立的迹结构 得到著名的u ( 1 ) 解耦关系 3 0 , 3 1 】。在单圈图的情况下，我们将得到许多u f l ) 解耦方 程，求解这些方程我们可以将双迹结构的部分幅和单迹结构的部分幅连接起来【z 。 0 ) k k 关系已经在场论的框架下被证明是对的i n k k 和b c j 关系已经用弦论的方法证明 1 4 , 1s 1 推广到物质 场的b c j 关系可见【“”其他相关的工作见1 17 - j 9 1 片文章里 文章的结 在第三节 四节我们 未来工作 一些背景知识 2 一些背景知识 规范理论中树图层次的n 点胶子振幅可以色分解为一些色顺序固定的部分幅， 基于他们的色的迹结构t 口【2 叼( 或者结构常数f a b c 【m ) 如下面所示 a u 。( ( 觑，凡池) ) - g 棚t r ( 墨，咒) 钆( ，) ， ( 2 1 ) a g s n z 其中k i ，九，a i 分别是第i 个外胶子的动量，螺旋度和色因子。& 磊表示所有对n 个 胶子的交换岛除去保持循环交换不变的部分z n 所有的胶子在这些部分幅里面是 没有色依赖的，为了方便起见我们将把七表示成i 。u ( c ) 生成元是一些cx ： 的厄米矩阵，他们的归一化满足t r ( p t 6 ) = 6 ，而结构常数通过如下式子定义 【p ，t 6 _ z ，0 6 。t 。( 2 2 ) 于是规范理论中生成元u ( c ) 满足的f i e r z 恒等式为 t r ( t n x ) t r ( t a y ) = t r ( x y ) ，t r ( t 口x t n y ) = t r ( x ) t r ( y ) ， ( 2 3 ) 其中一个特殊的例子是 t r ( x t ty ) = n 。t r ( x y ) ( 2 4 ) 当对迹进行求和计算时，这些恒等式将起到很重大的作用。 对于树图层次的部分幅a n ，因为迹的循环不变性，它们一共有( n 一1 ) ! 个部分 幅。然而并不是所有这些部分幅都是独立的。比如我们有k k 关系1 7 1 a n ( 1 ，n ，p ) = ( 一) n 卢 a n ( 1 ，盯，礼) ，( 2 5 ) a 6 0 p o z u , 8 t 其中保持顺序的( o p ) 求和表示所有的交换作用在集合q u p t ，而保持每一个集合q 和p 丁( 这表示集合p 的倒序) 里面的循环顺序不变。n 廖是集合卢里面元素的个数。 一个非平凡的k k 关系的例子是如下六点胶子振幅的关系 a ( 1 ，2 ，3 ，6 ，4 ，5 ) = a ( 1 ，2 ，3 ，5 ，4 ，6 ) + a ( 1 ，2 ，5 ，3 ，4 ，6 ) + a ( 1 ，2 ，5 ，4 ，3 ，6 ) + a ( 1 ，5 ，4 ，2 ，3 ，6 ) + a ( 1 ，5 ，2 ，4 ，3 ，6 ) + a ( 1 ，5 ，2 ，3 ，4 ，6 ) ( 2 6 ) 角形，泡泡和蝌蚪形的标量积分，在( 4 2 e ) 维理论中会有五边形出现0 。这些基是 普遍的，只要计算一次，就可以被用到其他的计算中。系数q 可以通过幺正切割的 方法确定。虽然多圈图振幅的基目前为止还没有一个普遍的讨论和结果，我们仍 然可以利用幺正切割的方法对圈动量进行切割，以期得到分析所需要的信息。 4 如果我们不考虑五边形，则在展开中我们必须加入一些有理方程在( 2 7 ) 中 对于两圈平面的振幅有一些关于基的讨论可见【1 4 1 一些背景知识 被幺正切割在单圈图散射振幅计算上所取得的巨大成就所鼓励，在这一篇文章 中，我们尝试将幺正切割的方法用于研究多圈图的色结构，并且发现部分幅之间的一 些非平凡关系。如下文所示，幺正切割确实可以帮助我们更好地理解圈图振幅的色 结构。 浙江大学硕上学位论文 3 一圈图的部分幅 u ( n ) 规范理论中圈图的色分解可以从u ( n ) 开弦理论中理解，因为后者的无 穷张力极限就是规范理论。从基于费曼图的研究我们同样可以分析出各种各样 的色结构。同树图振幅不同的是，在单圈图的情况下将有双迹结构出现，而这些关联 着双迹结构的部分幅可以表示成单迹结构部分幅的线性叠加。佗点胶子的单圈图振 幅的色分解可以形式化地表示成【2 i 】 l n 2 j a ( 觑，a i ，锄) ) = n j g r n m ，m ( 盯) a 坦m ，m ( o r ，0 2 ，一m ；一m + 1 ，) ，( 3 1 ) ，m = oa e s , s n ： 其中ixi 是小于或者等于x 的最大整数，n j 是自旋为j 的粒子的数目。主部分幅的 色结构( 为方便起见我们将t r ( t 口t 。n ) 表示成t r ( a 1 ，口n ) ) 是 g r n ，0 = c t r ( a l ，a n ) ， 对于其他部分幅的色结构，我们有 g h m ，m = t r ( a l ，佗一m ) t r ( n m 十1 ，n ) & 是n 个例子所有交换操作的集合，& ；m 是保持g r n m m 不变的操作的集合。如果 规范群是s u ( n ) ，那么g k 1 1 的项就不会出现在式子里，因为t r ( t o ) = 0 。然而，部 分幅a 竹一1 ，1 是完整定义并且非零的，所以为了将a n 一1 ，。也包含在内，我们考虑u ( n ) 规范理论代替s u ( n ) 规范理论。 人们发现关联双迹结构g r 一仇，m ，m 0 的部分幅4 n 一讹m 同主部分幅，即单迹 结构的部分幅a n o 之间有代数关系。所有的双迹结构部分幅都可以表示成单迹结 构部分幅的线性叠加，所以主部分幅已经足够将完整的振幅表示出来。这个代数关 系可以表示为 2 q a n - - ，n , r n , ( o 1 心柚n 刊阢风) = ( 一1 ) m a n , o ( a ) ，( 3 2 ) 矿e p ( c ( a ) uc ( 矿) ) 其中p t 是集合卢的倒序，而p ( c ( a ) uc ( z t ) ) 是对 口，卢t ) 所有交换操作的集合， 同时保持集合q 和p t 的循环顺序，但是保证两个集合口和卢t2 _ n 所有可能的交又 一圈图的部分幅 操作。显而易见的，集合盯也是循环顺序对称的，所以我们可以固定p 集合中的一 个粒子。这个式子可以从弦论中推测得出 3 1 ，1 ，或者在新的色分解讨论的文章中也有 论述。 3 1 u ( 1 ) 方法的回顾 在这一小节里，我们将仔细地讨论u ( 1 ) 解祸方程。我们将说明单独从u ( 1 ) 解 耦方程出发，诸如( 3 2 ) 的关系将不会出现。所以为了理解( 3 2 ) ，我们需要新的思路。 3 1 1 普遍的v ( 1 ) 解耦方程 v ( t ) 解耦方法的中心思想即是，我们可以选择一个生成元为u ( 1 ) ，那么原来的 迹结构( 3 1 ) 就会重新组合形成新的迹结构。因为光子不和其他粒子发生相互作用， 这些新的迹的结构的系数将为零，于是我们将得到一系列解耦方程。 为了说明这一点，让我们考虑四点胶子振幅的具体例子。在这个例子里迹一共 有三种结构：一种单迹结构a 4 ，o 和两种双迹结构a 3 ，1 和a 2 ，z 。他们相应的色结构可 以简记为( 4 1 0 ) ，( 3 1 1 ) 和( z 1 2 ) 。于是，通过设定一个生成元为壹，所有的色结构将变 成 ( 4 1 0 ) - - 4 ( 3 1 0 ) ，( 3 1 1 ) _ ( 2 1 1 ) & ( 3 1 0 ) ，( 2 1 2 ) _ ( 2 1 1 ) ( 3 3 ) 所以我们将得到两种迹结构。 - 3t 4 被设定为u ( 1 ) 时，新的迹结构( 3 1 0 ) = n c t r ( 1 ，2 ，3 ) 将给出如下解耦方程 a 4 ，o ( 1 ，2 ，3 ，4 ) + a 4 ，o ( 1 ，2 ，4 ，3 ) + a 4 ，o ( 1 ，4 ，2 ，3 ) + a 3 ，l ( 1 ，2 ，3 ；4 ) = 0 ( 3 4 ) 而另外的迹结构( 2 1 1 ) = t r ( 1 ，2 ) t r ( 3 ) 将给出( 同时还有另外的( 2 1 1 ) 的迹结构) a 3 ，1 ( 1 ，2 ，4 ；3 ) + a 3 ，1 ( 1 ，4 ，2 ；3 ) + a 2 ，2 ( 1 ，2 ；3 ，4 ) = 0 ( 3 5 ) 利用方程( 3 4 ) 我们可以将a 3 ，1 表示成a 4 ，o 的线性叠加。利用( 3 5 ) 我们同样可以将 a 2 ，2 表示成a 4 ，o 的线性叠加。 对于普遍的n 点振幅的色结构，我们有( 其中我们将色结构不显然地写在了振 幅a 里面) 4 1 砒叩= c a 邮( 盯1 ，) + a n m ，m ( 仃1 ，一m ；p 1 ，风) ， ( 3 6 ) 浙江大学硕士学位论文 当我们将其中的一个生成元，比如t n ，设定为u ( 1 ) 时，根据t n 在生成元中的位置， ( 扎一m i 仇) 结构会变成( n 一仇l m 一1 ) 或者( n m l m ) 。将这些拥有同样的新迹 结构的振幅取出来，我们就可以得到一个u ( 1 ) 解耦方程。取不同的t o 为u ( 1 ) 生成 元，我们可以得到一系列方程。 我们同样可以进一步将不止一个的生成元t 口设定为u ( 1 ) 。然而，因为取了一 个生成元为u ( 1 ) 生成元后，所有新迹结构的系数已然是零，所以，取更多的生成元为 u ( 1 ) 并不能给出新的方程。所以为了得到所有的独立的u ( 1 ) 解耦方程，我们只需 要取一个生成元t 口设定为u ( 1 ) ，同时a = 1 ，n ，将所有通过这样设定得到的解耦 方程取出来。 ， 通过以上的普遍讨论，让我们将通过设定t 竹为u ( 1 ) 生成元而得到的解耦方程 显然地写出来。我们有新的迹结构t r ( 1 ，m 一1 ) t r ( m ，n 一1 ) 。而这个迹结构 将从迹结构为( 礼一m i m ) 和( 礼一m + l i r a 一1 ) 的原来的迹结构部分得到贡献。所 以相应的u ( 1 ) 解耦方程可以写成 0 = a n - m , m ( o - 1 ，- 1 ，n ；m 棚一1 ) + a n - m + 1 , m - 1 ( k m 一1 ；，g n - 1 ，n ) 口c y c l i c矿c y c l i c 其中1 m 【n 2 j 。当m = 1 ，( 3 7 ) 可以被用来将a n 一1 ，1 解为主部分幅a 几，o 的线 性叠加 a n - 1 4 ( 1 ，n 一1 ；n ) = 一a n , o ( o ”- 1 ，佗) ( 3 8 ) 口c y c l i c - 3m = 2 ，( 3 7 ) 只包含一个a n 一2 2 ，我们同样可以求解出 a n - 2 , 2 ( 1 棚一2 ；n 一1 ，n ) = 一a - 1 1 ( ，_ 2 ) n ；n 一1 ) 盯c y c l i c = a n , o ( o r ，o l 。r n _ 2 佗一1 ) a ec y c l i cq c y d i c = a n , o ( 盯) ( 3 9 ) o e p ( c ( t ，n - 2 ) u c ( n m 一1 ) ) - 3m 3 时事情将变得复杂。因为部分幅a n m ，m 将以集体的形式在( 3 7 ) 出现，并 且没有方程可以用来将这衅集体的部分幅拆分开来。正如我们将在六点的例子中显 的部分幅 然看见的，u ( 1 ) 解耦方程并不足够用来将所有的a n m ，m 表示成a 伽的线性叠加， 但是他们确实给出了一些线索。 3 1 2 六点振幅的分析 正如我们已经提到过的，当m 3 时，如果仅仅只是从u 0 ) 解耦方程出发的 话，我们没有办法将a n m ，m 完全解为a 们的线性叠加。为了更清楚得看出这一点， 我们将从最简单的存在着这种情况的例子出发，即一圈六点胶子振幅。首先我们写 下六点的u ( i ) 解耦方程如下所示 r1 0 = 卜( 删6 ) + a 6 o ( 6 舰，5 ) i ， ( 3 1 0 ) lc y d i cj 0 = 锄( 6 ，盯1 ，口4 ；卢1 ) + 锄( 仃”，a 4 ；6 ，卢1 ) ， ( 3 1 1 ) c 暑，d i c 盯 0= a 4 ，2 ( 6 ，盯1 ，a 3 ；1 ，尾) + a 3 , 3 ( 盯1 ，0 3 ；6 ，历，屁) ， ( 3 1 2 ) c y c i c 口四c 2 i c 卢 其中t 6 已经被设定为u ( 1 ) 。利用( 3 1 0 ) 我们可以将a 5 ，1 写成平面振幅a 6 ，o ： a 5 ，1 ( 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ；6 ) = - a 6 ( 6 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) 一a 6 ( 6 ，5 ，1 ，2 ，3 ，4 ) 一a 6 ( 6 ，4 ，5 ，1 ，2 ，3 ) - a 6 ( 6 ，3 ，4 ，5 ，1 ，2 ) 一a 6 ( 6 ，2 ，3 ，4 ，5 ，1 ) ( 3 1 3 ) 知道了a 5 1 我们可以再利用( 3 1 1 ) 将a 4 ，2 写成平面部分幅的表达式 a 4 ，2 ( 1 ，2 ，3 ，4 ；5 ，6 ) = a 6 ，。( 口) ( 3 1 4 ) q e p ( c o ，2 ，3 ，4 ) u c ( 6 ，5 ) ) 奇怪的部分在a 3 ，3 0 从方程( 3 1 2 ) 中我们可以得到 a 3 , z ( 1 ，2 ，3 ；6 ，4 ，5 ) + a 3 ，3 ( 1 ，2 ，3 ；6 ，5 ，4 ) = x 1 = 一a 4 , 2 ( 6 ，盯1 ，口2 ，a 3 ；4 ，5 ) ， 盯c y c l i c ( 3 1 5 ) a 3 , 3 ( 1 ，3 ，2 ；6 ，4 ，5 ) + a 3 ，3 ( 1 ，3 ，2 ；6 ，5 ，4 ) = 托= 一a 4 , 2 ( 6 ，c r 3 ，0 2 ；4 ，5 ) ， 口c y c l i c ( 3 1 6 ) 其中x 1 ，是包含a 6 ，o 的未知方程。取外脚5 或者4 为u ( 1 ) 生成元，我们可 以得到两组类似的方程，只是将( 3 1 5 ) 和( 3 1 6 ) 的外脚做【4 ，5 ，6 ) _ 4 ，6 ，5 ) 和 9 ) 的交换。但是因为部分幅的循环顺序交换不变性，这些方程其 ( 3 1 6 ) 等价的。上述方程右边的等价性可以直接从将他们展开为 果纯粹只是将丁4 ，丁5 设定为u ( 1 ) ，从这些方程出发我们并不能得 1 ) 生成元的条件我们还可以得到另外两个方程 a 3 , 3 ( 1 ，2 ，3 ；4 ，6 ，5 ) + a 3 , 3 ( 1 ，3 ，2 ；4 ，6 ，5 ) = 豆= 一a 4 , 2 ( 1 ，c r 4 ，c r 6 ，吲2 ，3 ) 矿c y c l i c ( 3 1 8 ) 相似的，可以看出将t 2 ，t 3 设定为u ( 1 ) 生成元也不能得到新的方程。 方程组( 3 1 5 ) ，( 3 1 6 ) ，( 3 1 7 ) 和( 3 1 8 ) 是所有能够从u ( 1 ) 解耦方程中得到的 关于4 3 ，3 ( 其中外脚1 ，2 ，3 在一个迹里面而4 ，5 ，6 在另一个迹里面) 的独立方程。 在这些方程里一共有四个未知数t 1 = a 3 , 3 ( 1 ，2 ，3 ；4 ，5 ，6 ) ，t 2 = a 3 , 3 ( 1 ，3 ，2 ；4 ，5 ，6 ) ， t 3 = a 3 ，3 ( 1 ，2 ，3 ；4 ，6 ，5 ) ，t 4 = a 3 ，3 ( i ，3 ，2 ；4 ，6 ，5 ) ，同时有四个方程。将他们写成矩阵 的形式为 ( x 1 ) ( i oio l ( t 1 ) 切 上述矩阵方程当且仅当行列式的秩为非零时才有唯一解，然而很显然，这个行列式的 秩为零。所以我们将有如下解 t l = t 4 + 蜀一x 2 ，t 2 = - t 4 + 硷，t 3 = - t 4 一x 1 + x l + 托，( 3 2 0 ) 这个解表明如果仅仅只是从以上u ( 1 ) 解耦方程出发的话，我们没有办法将a 3 ，3 表 示为a 6 o 的线性叠加。自洽性要求 又1 + 元一墨一恐= 0 ( 3 2 1 ) 将k ，豆写成a 6 o 的和，这个式子可以简单得到验证。 l o 0 口矿a 记 吲 一 = x = 6 哇3a+6吐q ua 一圈图的部分幅 于是我们看到，单独从v ( 1 ) 解耦方程出发我们并不能将a 3 ，3 解为a 6 ，o 的方程。 但是这些方程确实给出了存在着诸如( 3 2 ) 关系的一些线索。为了看到这一点，关键 是将托，元写成 x 1 = ( 4 5 6 ) u ( 1 2 3 ) + ( 4 6 5 ) u ( 1 2 3 ) ，咒= ( 4 5 6 ) u ( 1 3 2 ) + ( 4 6 5 ) u ( 1 3 2 ) ，( 3 2 2 ) 和 又1 = ( 1 2 3 ) u ( 4 5 6 ) + ( 1 3 2 ) u ( 4 5 6 ) ，豆= ( 1 2 3 ) u ( 4 6 5 ) + ( 1 3 2 ) u ( 4 6 5 ) ( 3 2 3 ) 其中我们将盯p ( c ( 1 ，2 ，3 ) u e ( 4 ，5 ，6 ) ) a ( 口) 简记为( 4 5 6 ) l , j ( 1 2 3 ) 。在这样的重新表示后， 我们很自然就可以做如下的鉴定。从( 3 1 5 ) 和( 3 1 6 ) 出发我们有两种鉴定方法。方 法( a ) 是 a 3 ，3 ( 1 ，2 ，3 ；4 ，5 ，6 ) a 3 ，3 ( 1 ，3 ，2 ；4 ，5 ，6 ) 而方法( b ) 是 a a ，3 ( 1 ，2 ，3 ；4 ，5 ，6 ) a a ，3 ( 1 ，3 ，2 ；4 ，5 ，6 ) ( 1 ，2 ，3 ) u ( 4 ，5 ，6 ) ，a a , 3 ( 1 ，2 ，3 ；6 ，5 ，4 ) = ( 1 ，2 ，3 ) u ( 6 ，5 ，4 ) ， ( 1 ，3 ，2 ) u ( 4 ，5 ，6 ) ，a a , a ( 1 ，3 ，2 ；6 ，5 ，4 ) = ( 1 ，3 ，2 ) u ( 6 ，5 ，4 ) ， ( 3 2 4 ) ( 1 ，2 ，3 ) u ( 6 ，5 ，4 ) ，a a ，3 ( 1 ，2 ，3 ；6 ，5 ，4 ) = ( 1 ，2 ，3 ) u ( 4 ，5 ，6 ) ， ( 1 ，3 ，2 ) u ( 6 ，5 ，4 ) ，a a , a ( 1 ，3 ，2 ；6 ，5 ，4 ) = ( 1 ，3 ，2 ) u ( 4 ，5 ，6 ) ( 3 2 5 ) 如果我们注意到色反演关系意味着( ou 卢) = ( 一) n ( q tup t ) ，即( 1 ，2 ，3 ) u ( 4 ，5 ，6 ) = ( 1 ，3 ，2 ) u ( 6 ，5 ，4 ) ，那么就可以发现两种鉴定方法都是和( 3 1 7 ) ，( 3 1 8 ) 自洽的。然而， 正确的鉴定应该是方法( b ) 。我们的六点例子也许看起来太特殊，在更多点的情况 下，这样的鉴定也许将更明显。 3 2 幺正切割方法 幺正切割方法已经被证明是计算圈图振幅的非常有效的方法。对于单圈图的 振幅p a s s a r i n o - v e l t m a n 约化表明，任意的单圈图振幅都可以展开为一些基的方程，而 起见我们用2 1 代替了r ) t r ( 粤1 ，o l l ，粤2 ，f i l ) t r ( 粤1 ，q r ，已2 ，风) = t r ( o l l ，它2 ，尻，a r ，粤2 ，风) = t r ( f l l ，c k n ) t r ( f i r ，q l ) ( 3 2 7 、 1 2 一圈图的部分幅 在计算中我们已经使用了( 2 3 ) 。方程( 3 2 7 ) 是双迹结构的普遍表达式，当其中的 一个集合o i l ，卢r ) 或者 屁，a r 是空集时，我们得到了单迹结构n 。t r ( f l z ，o r ) 或者 n 。t r ( a z ，p r ) 。相应的，双迹结构t r ( o c l ，f l r ) t r ( f l l ，口r ) 的系数将有来自以下各项的 贡献 a l ( g h l l ，o t l ，班几) a g - h l ，q r ，一驴，风) ( 3 2 8 ) h i ，h 2 其中4 是顺序固定的部分幅。对于同样的迹结构，还有来自另外输入的贡献如下所 示 a l ( 印，尻，爆q l ) a g - h 1 ，风，一重2 h 2q r ) ， ( 3 2 9 ) h i ， 2 这些项来自集合o l 和卢的交换，或者等价地说，来自粤1 ，粤2 的交换。原则上我们需要 将所有的贡献都求和。然而对于单圈图的情况，我们发现输入( 3 2 8 ) 和( 3 2 9 ) 给出 的贡献其实是相同的。利用这个自由度，我们可以将( 3 2 6 ) 形式化地写成 r 竹。唧i 叫= l t r ( 2 ，a l ( 1 ) ，粤2 ，尻) 屯( t ，q l ( 1 ) ，粤2 ，阮) ( 3 3 0 ) l rl p a l ( 1 ) ，z 2 ，既 1 ft r ( g l ，q r ，e 2 ，风) 4 j r ( 一粤1 ，一2 2 ，肠) l 一 一一一。 l p a r ，2 ，风) j + 粤1 z 2 ) 其中o i l ( 1 ) 意味着粒子1 始终属于集合a l 中。方程( 3 3 0 ) 其实不是真正的关于左 边和右边的恒等式，而只是意味着左边的式子可以用幺正切割的方法由右边的式子 确定。求和l r 则意味着我们需要考虑所有的可能的切割。同样的，正如我们已 经说过，对于z 1 ，粤2 交换过的项的计算和没交换前的项的计算操作是相同的，所以我 们可以只考虑( 3 3 0 ) 的第一项。 因为树图部分幅之间有u ( 1 ) 解耦关系，k k 关系和b c j 关系，利用这些关系我 们可以构建出幺正切割后各种不同项之间的关系。更显然地，假设单圈图色分解后 各种部分幅之间有如下关系 ，= q “i ， ( 3 3 1 ) t 浙江大学硕：卜学位论文 如果我们考虑所有的双切割，发现对于每一个切割，总是有输入t c i a l ，i a r ，t 为零， 则我们可以断言对于整个振幅关系，同样也有零的结果。即在这些部分幅之间，至少 精确到我们在( 3 2 6 ) 后面讨论过的三点部分幅的情况下，存在着非平凡的关系，。 在以上普遍讨论之后，我们将把幺正切割的方法具体应用到单圈图部分幅之间 关系的研究中。作为一个例子我们将仔细地研究四点的振幅，然后给出关系( 3 2 ) 的 具体证明。 3 2 1 四点例子 做为幺正切割方法的一个阐释，让我们用之仔细分析一下一圈四点的胶子散射 振幅。在固定外脚1 在左边的树图之后( 我们总是能够这样做) ，我们用树图色分解 公式将完整的树振幅写成部分幅的形式，于是( 3 2 6 ) 就成了 4 - l o o p t = t r ( 9 1 ，粤2 ，1 ，2 ) a l ( 9 1 ，2 2 ，1 ，2 ) t r ( g l ，z 2 ，3 ，4 ) a r ( - 9 1 ，- 9 2 ，3 ，4 ) p t 2 ，1 ，2 ) p - 1 2 ，3 ，4 ) + t r ( 9 1 ，粤2 ，1 ，3 ) a l ( 9 1 ，粤2 ，1 ，3 ) t r ( 9 1 ，粤2 ，2 ，4 ) a r ( 一笆1 ，- - 9 2 ，2 ，4 ) p e 2 ，1 ，3 )p - t 2 ，2 ，4 ) + t r ( 粤l ，笆2 ，1 ，4 ) a l ( 9 1 ，粤2 ，1 ，4 ) t r ( 9 1 ，如，2 ，3 ) a r ( - 9 1 ，- 9 2 ，2 ，3 ) ， p e 2 ，1 ，4 p - e 2 ，2 ，3 ) f 3 3 2 ) 其中考虑到循环对称不变性我们总是可以将粤固定在第一个位置，p q ) 表示对集 合 q ) 的所有的交换操作。在( 3 3 2 ) 式子的右边总共有3 x31 31 = 1 0 8 项，他们将 贡献出所有的不同的迹结构。用( 3 3 0 ) 的形式写出来，这些项全都可以表示成 “一0 0 p i 耐= ( t r ( 9 1 ，1 ，如，2 ) a l ( 粤1 ，1 ，j 9 2 ，2 ) + t r ( e 1 ，1 ，2 ，粤2 ) a l ( 粤1 ，1 ，2 ，它2 ) ( 3 3 3 ) + t r ( e l ，2 1 1 2 ，2 ) a l ( 粤21 ，e 2 ) ) t r ( e 1 ，粤2 ，3 ，4 ) a ( - t 1 ，- 9 2 ，3 ，4 ) p 一t 2 ，3 ，4 + ( t r ( e l ，1 ，粤2 ，3 ) 4 l ( 粤1 ，1 ，粤2 ，3 ) + t r ( e l ，1 ，3 ，e 2 ) a l ( e l ，1 ，3 ，z 2 ) + t r ( 之31 ，e 2 ) a l ( 粤31 ，粤2 ) ) t r ( e 1 ，z 2 ，2 ，4 ) a r ( - e 1 ，- 9 2 ，2 ，4 ) p - t 2 ，2 ，4 ( t r ( t l ，1 ，如，4 ) a l ( 2 1 ，1 ，粤2 ，4 ) + t r ( t l ，1 ，4 ，t ：) a l ( t l ，1 ，4 ，兽2 ) + t r ( 粤41 ，如) a l ( 粤41 ，粤2 ) ) t r ( e 1 ，2 ，2 ，a ) a , ( - e 1 ，- 9 2 ，2 ，3 ) p - t ：，2 ，3 + | 粤1 2 2 ) 一圈图的部分幅 现在让我们从( 3 3 3 ) 出发考察所有对应于部分幅的贡献。 首先让我们考察单迹结构。譬如一共有四项对应于单迹结构n 。t r ( 1 ，2 ，3 ，4 ) t r ( g x ，l ，2 ，6 ) t r ( e x ，9 2 ，3 ，4 ) a l ( g l ，1 ，2 ，9 2 ) a r ( - - g l ，- - 9 2 ，3 ，4 ) ， t r ( e l ，4 ，l ，e 2 ) t r ( e 1 ，孽2 ，2 ，3 ) a l ( g l ，4 ，1 ，9 2 ) a r ( - g l ，- 9 2 ，2 ，3 ) ， 以及另外两项来自于 粤hz 2 ) 交换的项。于是我们可以形式化地将主部分幅 a 4 ，o ( 1 ，2 ，3 ，4 ) 写成 a 4 ，o ( 1 ，2 ，3 ，4 ) 兰( 3 3 4 ) a l ( g l ，1 ，2 ，9 2 ) a r ( 一粤l ，一粤2 ，3 ，4 ) + a l ( g x ，4 ，1 ，9 2 ) a r ( - g l ，一粤2 ，2 ，3 ) + 粤1h 粤2 ) 同样的这不是一个恒等式，而只是表示左边的振幅可以用右边的式子确定。对于动 量顺序( 1 ，2 ，3 ，4 ) ，我们可以通过考察两个切割，即切割k 1 2 和切割甄1 来确定这个 部分幅，他们就是我们在( 3 3 4 ) 式子里写出来的式子。 下面我们考虑双迹结构。首先让我们考察a 3 1 比如考虑如下双迹结构 t r ( 1 ，2 ，3 ) t r ( 4 ) ，他的系数是a 3 ，1 ( 1 ，2 ，3 ；4 ) 。同样的我们可以写出对应于这个振幅的 树振幅项，分别是 t r ( g l ，l ，2 ，粤2 ) t r ( 笆1 ，4 ，它2 ，3 ) a l ( g x ，1 ，2 ，e 2 ) a r ( - e l ，4 ，- 9 2 ，3 ) ， t r ( g l ，3 ，1 ，e 2 ) t r ( e l ，4 ，粤2 ，2 ) a l ( g l ，3 ，1 ，e 2 ) a r ( - g l ，4 ，- 9 2 ，2 ) ， t r ( 宅x ，1 ，宅2 ，4 ) t r ( e l ，粤2 ，2 ，3 ) a l ( z l ，1 ，粤2 ，4 ) a s ( - e 1 ，一笆2 ，2 ，3 ) ， 再加上其他三项来自圈动量 量1h 重2 ) 交换的项。所以我们可以鉴定a 3 ，1 ( 1 ，2 ，3 ；4 ) 为 a 3 ，1 ( 1 ，2 ，3 ；4 ) 三a l ( e 1 ，1 ，2 ，2 ) a r ( 一2 1 ，4 ，一它2 ，3 ) + a l ( e x ，3 ，1 ，z 2 ) 以r ( 一粤l ，4 ，一粤2 ，2 ) + a l ( l ，1 ，z 2 ，4 ) a s ( - e a ，- 9 2 ，2 ，3 ) + 1h 粤2 ) ( 3 3 5 ) ( 3 3 5 ) 式子的意义，不容赘言，同样不是一个恒等式，而只是代表左边的振幅可以完 全由右边的幺正切割所确定。于是下一步就是利用k k 关系( 2 5 ) 将圈动量粤1 ，粤2 放 在两个端点上 a ( e 口，i ，如，j ) = - a ( e q ，i ，j ，如) 一a ( g o ，j ，i ，如) ，( 3 3 6 ) 1 5 浙江大学硕士学位论文 于是( 3 3 5 ) 可以被重新写成 a 3 ，t ( 1 ，2 ，3 ；4 ) 三 - a l ( e l ，1 ，2