（应用数学专业论文）分数阶微积分及其在无限分形介质反常扩散方程中的应用.pdf

一 曩 一 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：盈茬】碰 e t 期：兰! 生皇：! ! 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：蛰叁遂导师签名：越日 期： 山东大学硕士学位论文 目录 中文摘要i 英文摘要i i i 符号说明v 第一章预备知识1 1 1 分数阶微积分( f r a c t i o n a lc a l c u l u s ，f c ) 简介1 1 2 有关特殊函数简介4 1 3 有关积分变换简介1 1 1 4f c 理论在各种复杂系统中的应用1 2 第二章无限分形介质中含分数阶振予的反常扩散方程的解1 5 2 1 引言1 5 2 2 模型及其解1 6 2 3 结果讨论1 9 第三章无限分形介质中高阶初始条件下的反应扩散方程及其解析解2 0 3 1 初始条件的扩展2 0 3 2 方程及其解2 0 3 3 结果讨论2 2 参考文献2 4 致谢3 1 个人简介3 2 l “东大学硕士学位论文 c o n t e n t s c h i n e s ea b s t r a c t i e n g l i s ha b s t r a c t i i i n o t a t i o n s ，1 0 7 c h a p t c r1p r i o rk n o w l e d g c 1 1 1s y n o p s i so ff r a c t i o n a lc a l c u l u s 1 1 - 2s y n o p s i so fs p e c i a lf u n c t i o n s 4 1 3s y n o p s mo fi n t e g r a lt r a n s f o r m s 1 1 1 4 s o m ea p p l i c a t i o n so ff ct h e o r yi nv a r i o u sc o m p l e xs y s t e m s 1 2 c h a p t e r2t h es o l u t i o no fa n o m a l o n sd i f f u s i o ne q u a t i o nw i t hh f f i n i t e f r a c t a lm e d i a 1 5 2 1i n t r o d u c t i o n 2 2 m o d e la n ds o l u t i o n 2 3 t h ea n a l y s i so f t h er e s u l t c h a p t e r3t h es o l u t i o no fa n o m a l o u sd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i o r d e ri n i t i a lc o n d i t i o n s 3 1 e x t e n s i o no fi n i t i a lc o n d i t i o n s 3 2e q u a t i o na n ds o l u t i o n 3 3 r e s u l ta n dd i s c u s s i o n r e f e r e n c e s t h a n k s p r o f i l e 一i i 一 山东大学硕士学位论文 分数阶微积分及其在无限分形介质反常扩散方程中的应 用 冯克难 ( 山东大学数学学院，济南，2 5 0 1 0 0 ) ( 指导老师：蒋晓芸教授) 中文摘要 本论文由彼此相关而又独立的三章所组成第一章为预备知识，简要介 绍了本文所需要的数学工具在1 1 节中，简要介绍了分数阶微积分的发展 历史、基本概念及在与本文内容相关的几个领域内的研究进展给出了 r i e m a n n - l i o u v i l l e 型分数阶微积分算予和c a p u t o 型微积分算了的定义及主 要性质在1 2 节中，给出了几类特殊函数，包括b e s s e l 函数、m i t t a g - l e f l t e r 函 数、h f o x 函数和广义h f o x 函数的定义及其某些重要公式在1 3 节中，介 绍了分数阶微积分的f o u r i e r 变换，l a p l a c e 变换，以及h a n k c l 变换本章是以 后各章的基础 第二章，将分形介质中时问分数阶f i c k 定律 j ( r ，t ) = o v l 。( v ) 尸( r t ) ，( 1 ) 代入分形介质连续性方程 再1 鲁( 一班一掣， ( 2 ) 并考虑到吸附项( 或源项) 的存在得如下无限分形介质中含有分数阶振子的 分数阶反应扩散方程 10xp(广r,t)=一dl(rdf-l-o掣)一fqordl 1 o rl ( h 垆以脚，) d 以( 3 ) 疣a 一 西 7 r 、。， ，“。， 引入初边条件 p ( r 0 ) = 6 ( r r o ) ，( 4 ) p ( o ，) = p ( + o o ，t ) = 0 ，( 5 ) 一i 一 山东大学硕士学位论文 其中p ( 7 - ，) 为浓度分布，1 d 3 为分形维数，反映了复杂形体占有空间的有 效性，它是复杂形体不规则性的量度，。 0 ( 1 2 ) 利用递推关系 r ( z + 1 ) = z r c z ) ， ( 1 3 ) g a m m a 函数可解析延拓到蹰( z ) 0 ) 定义为n q 一1 o , n - 1 0 ，p 0 ( 1 7 ) 性质4 ： o 研o d ，( t ) = od ；- a y ( t ) ，a 0 ，p 0 ( 1 8 ) 一2 一 i i j 东大学硕士学位论文 特别地， 公式1 ： o d ；o d f a f ( t ) = ，( t ) ，入 0 。t a t t i = 揣t p + 卢，p 。，p 一1 。p 俨= 端t p a ，n 。，p 一1 ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) ( 1 1 1 ) 特别地，如果。隹n 则常数函数f ( t ) 三c 的分数阶导数o d 尹f ( t ) 不等于 零实际上，当p = 0 时( 1 1 3 ) 式变为o d 1 = 亓b 它一般不等于零特别值 一叮 1 1 一“， 得注意的是：分数阶微分方程嘉，( ) = 0 ，0 o ，佗一1 入 n ) k = 0 ( 1 1 3 ) 特别的，当0 a 1 时，上式简化为 c o d t a f ( t ) ，p = p a 硒) 一【0 研一1 ，( ) 】扛o ( 1 1 4 ) 一3 一 山东大学硕十学位论文 如果f ( t ) 在t = 0 附近有界，i f c t ) i m ，则当0 a 1 时l o d - 1 ，( ) i = i 簧爵，( r ) 打l m 业r ( 1 - x ) 打= 丽m t 1 一a _ o ( 一o ) 这时由( 1 1 4 ) 式可得 c o d ；，( t ) ，p = p a m ) ，( o 入 1 ，( t ) 在t = o 附近可积) ( 1 1 5 ) 另外，算子o d f 由于含有t ，因此是有量纲的，并且 o d 7 】= t - 实际上， 册队圳= 南新等打= 鹃未 = 器严水( 0 ，班 ( 1 1 6 ) 函数f ( t ) 的o t 阶的c a p u t o 导数定义为 幽c e l 弛) = 币1 。若普，( n - 1 a n ) ( 1 1 7 ) 关于分数阶微积分的其他性质和特点可以参见文献 3 5 】 1 2 有关特殊函数简介 u 。o 1 2 1b e s s e l 函数 b e s s e l 函数是下列b e s s e l 方程的解： 坐+i1一dyd2zd z ”一知= 。z 、 z 2 ，f u 其中是常数，成为方程的阶或其解的阶，可以是任何实数或复数 第一类b e s s e l 函数以( z ) ： 坼) = 薹譬研( 严 七= 0 、7 第二类b e s s e l 函数k ( z ) ： k ( z ) = c o s u l r c _ o t 五j ( z f ) - 一j _ l , ( z ) ( 1 1 8 ) ( 1 1 9 ) ( 1 2 0 ) 山东大学硕十学位论文 第一类变型b e s s e l 函数l ( z ) ： l ( z ) fe - 州2 j ，( z e ”2 ) ， ( 一7 r a r g z 7 r 2 ) ， l e - 3 v ”i 2 z l ，( z e 3 矾2 ) ，( 一7 r 2 a r gz 7 r ) ， = ( 差) ”薹啬研( 扩 ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) 1 2 2 m i t t a g - l e f f i e r ( m - l ) 函数 指数函数e 。在整数阶的微分方程理论中起着重要的作用，其单参数推广 便是m i t t a g - l e i 丑e r ( m l ) 函数，定义为1 3 5 l ： 眦卜嘉南= 刍上。g 心艇c 2 3 ， 其中，积分路径h a ( h a n k e l 路径) 是一个闭环，从一o o 开始正向环绕圆盘 si z l m 一周( 一7 r5o 叼( 7 r ) ，最后回到一o o 而广义m i t t a g - l e t i l e r 函数 则由下面的级数展开式定义： ( 小2 薹- - 丽z 丽n ，。哪c 艇c ( 1 2 4 ) 长期以来，广义m l 函数几乎总被人们所忽视实际上，目前绝大部分关 于特殊函数和l a p l a c e 变化表的数学手册，甚至在1 9 9 1 年的数学科目分类 ( m a t h e m a t i c ss u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ) 中都没有m l 函数的介绍和相关内容 直到2 0 0 0 年美国数学学会( a m s ) 新的预测分类中才被提及近年来，广义 m _ l 函数在分形动力学、分数阶扩散理论、波在分形随机场的研究及量 子场论中均得到了广泛地应用；这些领域的应用，反过来又促进了该函数 的研究例如，随着广义分数阶微积分算子的理论研究而发展起来的多指标 m i t t a g - l e f f i e r 函数( m u l t i i n d e xm lf u n c t i o n ) 由定义( 1 2 3 ) 和( 1 2 4 ) 可得： e 2 ( + z 2 ) = c o s hz ，易( 一z 2 ) = c o s z ，z c ， ( 1 2 5 ) 见( 士z 1 2 ) = e z 1 + e r y ( - i - z 1 2 ) j _ e 。e r f c ( t z l 2 ) ，z z ， ( 1 2 6 ) 山东大学硕士学位论文 e l , 2 ：- 掣，易荆：s i n h 矿( z 1 2 ) ， z z 1 ， 其中 吖：= 嘉p 吒吣r ，c ：= 1 - e r f ( 巩z ec 另外，本文中应用了广义m l 函数的一个重要的l a p l a c e 变换公式： c t 。七+ p 一1e ：茹( 土。亡口) ，p = e 一讲t 。知+ p 一1 e 茹( 士n 严) d t - ，o = 蒜斋，驼咖川枷 ( 1 2 7 ) ( 1 2 8 ) ( 1 2 9 ) 其中， 础= 羔= 壹d = o 蒜替 3 。， 有关m i t t a g - l e l f l e r 函数的其他性质和特点请参见文献【3 5 和它的相关 参考文献 1 2 3h f o x 函数 在文献中，h f o x 函数又被称为f o x 函数、h - 函数、广义m i l l i n - b a m e s 函数或广义m e i j e r 8g 一函数为了统一和推广对称f o u r i e r 核的现有结 果，f o x ( 1 9 6 1 ) 用一般的m i l l i n - b a r n e s 型积分定义了h _ 函数其广泛应用于 统计学、物理学和工程学的分数阶的线性微分方程的解的问题中其重要 性在于，几乎所有在应用数学和统计学中用到的特殊函数都是它的特例甚 至诸如m i t t a g - l e f f l e r 函数、m e i j e r sg 函数、m a i t l a n d 广义超几何函数和 w r i g h t 广义b e s s e l 函数等复杂函数，都被它包含在内 h - f o x 函数定义为m i l l i n - b a r n e s 型积分： 确“( z ) = 叼毒涮l = h w 嚣滋笛黯) 1， 。 。 ( 1 3 1 ) ：= 亡x ( s ) z 8 d s ，z 0 ， 其中，积分密度 一6 一 坤) = 揣 ( 1 3 2 ) 山东大学硕士学位论文 这里 a ( s ) = i ir ( 幻一岛s ) ，b ( s ) = i ic ( 1 一+ s ) ， j = 1 j = l qp c ( s ) = i ir ( 1 一+ 岛s ) ，d ( s ) = i ir ( 哟一哟s ) ， j = r a + lj = n + l 仇，n ，p 和q 是非负整数，满足0 nsp ，1 msg 几= 0 时取s ( s ) = 1 ；q = m 时取c ( s ) = 1 ；p = 仃时取d ( s ) = 1 参数0 = 1 ，2 ，p ) 和 b j ( j = 1 ，2 ，口) 是复数，而哟d = 1 ，2 ，p ) 和z j ( j = 1 ，2 ，q ) 是正数 这些参数满足条件 p ( a ) np ( b ) = 乃，( 1 3 3 ) 其中 跗) = 0 性质5 ： z a h 翟 zi 捌 = 后臻吖z kl 盘矧 1 ( o p + g o t p ，a p ) i l ( b q + 砥，岛) i ( 1 3 8 ) ( 1 3 9 ) 当o t j = l ( j = 1 ，2 ，p ) ，岛= l ( j = 1 ，2 ，g ) 时，h f o x 函数简化为 m e i j e rg 一函数，即 - 山东大学硕士学位论文 p 皿叮( z ) 被称为m a i t l a n d 广义超几何函数( 1 4 z ) 式的一个特例给出了h - f o x 函 数与广义m i t t a g - l e f f l e r 函数玩，pz ) 之间的一个关系，即 础( 凇制) = 1 2 4 广义h f o x 函数 玩，卢( 一z ) ( 1 4 3 ) 上节提到h f o x 函数是由m e l l i n - b a r n e s 型积分定义的，而广义h f o x 函 数是用双m e l l i n - b a r n e s 型积分定义的，是h - f o x 函数的推广 其中 日嘲= 啦：粼旋剖 = h 引l , n , n l 胪, m 胪, m 捌1 比蓉魏懑蠹： 4 7 1 - 2 x 1 健) = x 2 ( 7 7 ) x 1 ( ) x 2 ( ，7 ) x 3 ( + f 1 ) x y d d 7 7 ， mn 兀r ( b j 一岛) y i ( 1 一吩+ ) 11 1 广1 一， nr ( 1 一+ 岛f ) n1 1 ( 一q ) m - f 1 n + i m 1 nr ( 嘭 1 n l 一而叼) n ( 1 一勺+ 7 7 ) 1 d c nr o 一嘭+ 如叩) nr ( 勺一竹7 7 ) m + i n + i l - ir ( 勺一乃p ) x 3 ( p ) = 1 j 1 广一 1 7r ( 1 一勺+ 如p ) nr ( f j 一奶尸) l + 11 并且参数满足以下条件： ( 1 ) 0 n a ，1 m b ，0 l c ，1 尬d ，0 l e ； ( 2 ) l ，m ，舰，1 ，a ，b ，c ，d ，e 均为非负整数； ( 1 4 4 ) ( 3 ) 参数列( o a ) ，( 6 b ) ，( ) ，( d d ) ，( e e ) ，( 厅) 均为复数，而( q a ) ，( 佑) ，( ) ，( 如) ， 一9 一 88 山东大学硕士学位论文 ( o e ) ，( c f ) 均为正实数； ( 4 ) 参数列( n a ) ，( 6 口) ，( c c ) ，( d d ) ，( e e ) ，( 厅) ，( q 月) ，( 如) ，( 似) ，( 如) ，( o e ) ，( 加) 的 被积函数极点均为单极点； ( 5 ) 积分路径是交错的 由定义可以得到广义h f o x 函数的积分表达式 c 鼢a a , o l a 列) f 叮c m ，i , m b xi 乏高 磁( 吨f - - 如i , c f ， d x = h l , n , n 1 , m , m 叫i 酬 这里，x 代表 其中 x ， ( o e = e e ，o e ) ( a a ，q a ) ；( 幻， y c ) f + f 一1 1 由f 、 ( b ，佑) ，( d d ，而) r e m i n ( 耖胁( 老) 刊佗( 秒 。； j ，k = 1 ，2 ，m ；h = 1 ，2 ，l ；a 1 ，a 2 ，a 3 0 ， i 盯g o i 7 i - a 1 2 ，la r g b i 匈 ( l 4 7 ) 我们称f ) 是f ( t ) 的l a p l a c e 变换，f ( t ) 是f p ) 的逆l a p l a c e 变换这个积分 收敛的条件是f ( t ) 随t 的增长的速度不能超过指数项e - p t 随时间t 减少的速 度，当这个积分收敛时，我们就说f ( t ) 的l a p l a c e 变换存在 下面我们介绍p 阶微分算了的l a p l a c e 变换的公式： c o d f p ，( t ) ；p ，= p - a f ( p ) ，n 一1 p n ，( 1 4 8 ) 对于r - l 微分算予来说 n l c 。d t f ( t ) ；p = 矿f p ) 一p k o d - k - 1 ，( t ) 】t ：o ，n 一1 q n ， ( 1 4 9 ) k = o 特别地，当0 q 1 时，上式可以简化为： c o 四，( t ) ；p ) = p 。f ( p ) 一l o d e - 1 ，( 吼：o ，( 1 5 0 ) 对于c a p u t o 微分算子来说 n - 1 c 孑d ，( ) ；p ) = 矿f ) 一芝二矿一七一1 ，( 七( o ) ，n 一1 q n ， ( 1 5 1 ) k = o 特别地，当0 q 1 时，上式可以简化为： c ( f f 0 7 f ( t ) ；p 】= 矿f ( p ) 一p a 一1 ，( o ) ( 1 5 2 ) 一1 l 一 山东大学硕十学位论文 1 3 2h a n k e l 变换 阶h a n k e l 变换删： f o o ，( 可) ) = y j v ( k y ) f ( y ) d y ， j 0 阶逆h a n k e l 逆变换变换： 何1 ( 五( 七) ) = k j v ( k y ) , , ( k ) d k ( 1 5 3 ) ( 1 5 4 ) 其中，山z ) 是阶第一类b e s s e l 函数 双h - f o x 函数的h a n k e l 变换f 3 7 1 ： 在式( 1 4 5 ) q 1 令l = 1 ，e = 2 ，f = 0 ，0 1 = 0 2 = 1 ，e l = ( - p 一) 2 ，e 2 = ( - p ) 2 ，并注意到l ( z ) = “n 0 1 2 0 l , ol 筹i ( 差，1 ) ，( t - - 1 j ，1 ) l 即可得到双h - f 0 x 函 数的h a n k e l 变换 。 。 x p - 1 五( 。z ) z 唆【k 2 i ( ( b o , 口a 加o t a ) 1 4 g m d l , 1 2 叩( c c d o , t c d j j ) d x r 。hi ( 牛，1 ) ；( 华1 ) = 2 p - l a - p “h z 2 1 , n , ：n q ，o ，, m 旧, m 驯1 i 戛l ：竺；：i ( l 5 5 ) 1 4f c 理论在各种复杂系统中的应用 当前国际非线性领域研究的重点课题之一是复杂系统( c o m p l e xs y s - t e m ) 或称复杂现象( c o m p l e xp h e m o m e n a ) 作为一个新的研究领域，尽管 目前还很难对复杂系统给出精确地定义，但可以用两个简单的思想概括它的 内涵：其一是自组织临界性( s e l f - o r g a n i z e dc r i t i c a l i t y ) 3 9 】；其二是主动游走 原则( p r i n c i p l eo fa c t i v ew a l l ( s ) 4 = 0 1 前者认为j 一个大的动力学系统总是趋向一 个没有特征空间和时问尺度的临界状态；而后者则是描述一个复杂系统的 每个单元是如何与其环境和彼此之问通过相互作用而交换信息的主动游走 原则，已经成功的应用于诸如电介质击穿图案的形成；在玻璃态中离子的输 送；以及蚂蚁在搜集食物中的合作等方面也有的学者对复杂系统给出如下 的简单定义：是这样一个物理系统，它具有长时问的记忆和( 或者) 长范围 的空间相关的系统【4 1 1 以下概述分数阶算予在各类复杂系统中的应用 一1 2 一 山东大学硕士学位论文 1 4 1 f c 理论在线性和非线性固体遗传动力学中的应用 最近r o s s i k h i n 和s h i t i k o v a 系统的总结和综述了这方面的工作1 4 2 l 【4 3 | 从 历史到近期发展，从各类黏弹性振了的阻尼振动到具有r a b o t n o v 核的遗传弹 性振子的受迫振动，以及具有弱奇异核的遗传弹性杆的各类非稳态波问题； 以及在三维遗传弹性介质的简谐波，具有分数阶算了遗传弹性介质的一维非 线性波等 1 4 - 2f c 理论在非n e w t o n 流体力学中的应用 。 由于黏弹性材料可分为粘弹性固体和流体将分数阶算子应用扩展到粘 弹性流体的一维标量形式的本构方程中，用r - l 分数阶算了代替整数阶时间 一阶导数，在一些特殊的几何边条件下，可以得到适定的c a u c h y 问题再应用 某些与分数阶算予有关的特殊函数，如h - f o x 函数【矧，广义m i t t a g - l e f f i e r ( m - l ) 函数以及w r i g h t 函数【4 5 1 等往往可以得到问题的解析解，进而揭示粘 弹性流体的流动特征，而且当分数阶导数a 一1 时，所得解均趋于整数阶 n e w t o n 流体的解我国学者在这方面做了大量的工作，取得了一些有意义的 结果卜值得注意的是，对于上述解析解，稳态过程的建立均满足尺度规 律，保持了分数阶算子所具有的主要特征 1 4 3f c 理论在反常扩散与随机游走理论中的应用 应用分数阶算予将经典的整数阶扩散与波的偏微分方程推广到时问和空 间的分数阶，进而再扩展到各类非线性方程并给出其初边值问题的解，是近几 年来f c 应用的另一个主要领域这些问题有重要的物理背景，如在分形和多 孔介质中的弥散、半导体物理、湍流及凝聚态物理等【删 5 2 1 历史上，扩散方 程就是从两个不同的角度建立和发展的其一是从f i c k 第一、第二定律建立 通量与流的本构关系而来研究扩散方程的，这可以称为确定型观点；其二是 随机游走的观点建立的早期的e i n s t e i n k o l m o g o r o v 扩散方程就是典型的例 子在建立了分数阶本构关系和分数阶随机游走的广义概念之后，从这两个 方向又同时给出分数阶扩散方程的一致形式【5 3 】一般用时问的平均平方位移 o ( p 尺度来刻画一个分数阶扩散特性当a = 1 时，为整数阶g a u s s 扩散；而入 1 分别代表反常次扩散和反常超扩散徐明瑜及其合作 一1 3 山东大学硕：t 学位论文 者最近分别求解了在无序分形介质和欧氏空问中由瞬时点源反常扩散所形成 的浓度概率密度分布并给出散射函数的解析表达式【叫一f 5 7 1 当扩散系数是半 径r 的某种函数，或浓度c 的幂函数叫5 8 1 【删，尽管是分数阶非线性方程，但应用 变换群技术有时仍可以找出有物理意义的解析解此时大多数解均出现了类 行波的特性，这与经典扩散方程截然不同，前者速度有限，后者瞬问传至无穷 远 一1 4 一 l l i 东大学硕- j j 学位论文 第2 章无限分形介质中含分数阶振子的反常扩散方程的解 2 1引言 在1 7 世纪l e i b n i z 和l h o s p i t a l 最早提出了分数阶微积分及最简单的分 数阶微分方程与传统的微分算了不同分数阶算。r 是一种超长时一l j 意义 下的极限，是一种表征非局部的整体算了，这是山于分形物体不是光滑可微 的，它要求的只是处处连续，但可以是处处不可微的从孝颗粒化进程的观点 来看，两者是可以统一的此后逐渐形成了c a p u t o 分数阶算t - 捌，其a 阶微分 算了的定义是 ， 一、n a 一1 c o d ? f ( t ) = 芏百万寻，( ”( 1 - ) d 7 - ，0 n 一1 a 礼， ( 2 1 ) ，01 一7 v 其q jr ( q ) 为g a m m a 函数虽然有漫长的发展过程，但由于当时缺乏实际的 应用背景并且分数阶算予在物理上与经典的整数阶的系统相违背：因此发展 的十分缓慢直到2 0 世纪7 0 年代未，美围耶鲁大学m a n d e l b r o t l 姻】教授首 次提出，在自然界和其他一些科技领域中存在着大量分数维以及整体和部分 之问的自相似的例了，并给出了一系列杰出的开创性的工作从此，分数阶 微积分作为分形几何和分形维数的一个基本概念而得到了很快的发展，并被 广泛地应用于各类复杂系统作为国际非线性研究的一个新的领域，近年来， 分数阶微积分被成功的应用到量予力学【6 0 】，生物物理和生物力学，反常扩散 与随机游走理论，粘弹性动力学，非n e w t o n 流体力学，混沌和湍流等复杂 系纠6 1 j 中反过来，这些应用的研究也加速了分数阶微积分理论的发展最 近，j i a n gx i a o y u n 62 l ，段俊生【6 3 】删，a s c h o t 6 s 等在这方面都做了大量的工作， 并且取得了很好的结果他们分别求解了在无序分形介质和欧氏空问中由瞬 时点源反常扩散所形成的浓度概率密度分布并给出了散射函数的解析表达 式，同登科删则对分形油藏中非n e w t o n 黏弹性液作了分数阶流动分析当扩 散系数是半径r 的某种函数，或浓度c 的幂函数时，尽管是分数阶非线性方 程，但应用变换群技术有时仍可以找到有物理意义的解析解 在自然界、经济及工程技术中绝大多数重要的反应是非均相反应，反应 界面几何结构呈现出多样的复杂性具有分形结构特征，其扩散现象称之为反 常扩散在数学上，反常扩散是由其瞬时平均平方位移尺度 仪t 9 来刻 一1 5 东大学硕_ j ：学位论文 画的盯= 1 为标准扩散，盯 1 分别刈应于反常次扩散和反常超扩散 近年来分数阶反常扩散方程在描述自然界反常扩散现缘t i j 起了非常重要作 月j ，许多重要的动力系统都叮以1 】特殊的分数阶扩散方程来描述，许多作者在 分形理论的基础上，研究了不同类型的反应扩散方程及其解，并讨论了反常扩 散行为本文在前人的基础上建立了无限分形介质f t 带有分数阶振了蚓的分 数阶反应扩散微分方程，利用l a p l a c e 变换及其逆变换i 酬，无限h a n k e l 变换 及其逆变换( 3 8 希1 广义h - f o x 函数【3 7 】的性质给出了上述问题浓度分布的解析 解 2 2 模型及其解 根据文献【6 8 】，在分形介质q j 时问分数阶f i c k 定律可表示为 j ( r ，) = d v i 以( v ) 尸( r ，t ) ， ( 2 2 ) 代入分形介质连续性方程 矛1 茅( 扩1 j ) = 一1 0 p ( r r , t ) ， ( 2 3 ) 并考虑到吸附项( 或源项) 的存在得如下无限分形介质中含有分数阶振予的 分数阶反应扩散方程 o e d ； 脚) ) - 而d 鲁_ _ ( r d - 1 - o 掣) 一f q o ( h 甲以p ( r e t i 膨， ( 2 4 ) 为求解上述方程引入如下初边条件 p ( r ，0 ) = j ( r 一伯) ， ( 2 5 ) p ( 0 ，t ) = p ( + o o ，t ) = 0 ， ( 2 6 ) 其中p ( r ，t ) 为浓度分布，1 彤3 为分形维数，反映了复杂形体占有空间的 有效性，它是复杂形体不规则性的量度，0 a 1 , 0 卢1 ，孑研为c a p u t o 分数阶微分算予对( 2 4 ) 一( 2 6 ) 作l a p l a c e 变换，利用c a p u t o 分数阶算予的 性质( 1 1 4 ) 可以得到 s 砥s ) + 口5 一叩( 7 _ ，s ) = 万d 萨0 r , r o 1 0 丽0 p ) + s h 6 ( r _ 伯) ，( 2 7 ) p ( o ，s ) = 一p ( + o o ，s ) = 0 ，( 2 8 ) 一1 6 一 山东大学硕士学位论文 其中p ( t ，s ) 是p ( r ，t ) 在l a p l a c e 域上的像函数对上述方程作尺度变换 一p ( r ，s ) = r 1 - 何一口) 2 ，( 可) ，y = 6 r 4 ，经过复杂计算得 笔竽触，= 孑d v + 羟一知，+ 掣邝q f ( o ) = ，( + 。o ) = 0 ( 2 1 0 ) 这里n = ( 2 + 0 ) 2 ，6 = 2 ( 2 4 - 0 ) ? = 1 一南，利用阶h a n k e l 变换( 1 5 3 ) 和 6 函数的如下性质 ，( z ) 6 一x o ) d x = f ( x o ) ， 并注意到( 2 1 0 ) ，可以得到 等乎五(啦名五(卅tbl+usa-lyl-ju(kyo) ( 2 1 1 ) 其中，l ( k ) 是，( 秒) 的h a n k e l 变换，g ，( k y o ) 是阶b e s s e l 函数，y o = 6 嘴，通过整 理上式，可得 砸) ：訾害等磐 ( 2 1 2 ) 对l ( k ) 进行逆h a n k e l 变换有 舳，= z ”豢雾端搿觇 皿 由p ( r ，8 ) = r i - ( 哆一口) 2 ，( y ) 知 p ( t ，s ) j 厂o 。坐氅差鼍貉掣曲 s + o s l 一p a + 上) 七2 s 1 一a ， 惫嘁”旷j v ( k y ) j v ( k y o ) - a d k ， ( 2 1 4 ) ，o 其中，_ = s a + a s s - a + d k 2 于是，只要求得页的逆l a p l a c e 变换就可求出模 型的解析解由m i t t a g - l c i f t e r 函数的一个重要公式( 1 2 9 ) 可以得到再的逆 l a p l a c e 变换 a = 壹丁- - 0 ) n + 。a n + 3 n 咖l i ( n ) + 。( _ d k 2 t a ) ， ( 2 - 1 5 ) 一1 7 山东大学硕士学位论文 这里既，p ( ) 是m i t t a g - l e f f i e r 函数于是p ( r ，t ) 可以写成如下形式 ， p ( r ，) = k b y ”站”以( 幻) 山( 七踟) j 0 壹譬梆n 础州( - d k 。t a ( 2 1 6 ) n = 0 ” 由b e 蹈e l 函数，m i t t a g - l e f f l e r 函数和h - 函数之间的关系【3 7 1 【6 9 】 lz ) 嗽+ 1 ( 一d t 凇k ) 础阱孔( t - - v ，1 ) h 1 ，j d t 凇kl ( 0 l ( - - n ) , ，1 ( ) 1 一( 卅肼1 ) 小 以及双h 一函数的h a n k e l 变换( 1 5 5 ) 得 后l 七) 山( 珈七) 够+ l ( 一d t k 2 ) d k ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 圳础 譬2 ，1 ) ( 一坭1 ) 】h 毕1 , 1 。r r b 2 叫1 ( - 州n j ( 1 ) 伽懈1 ) 1 ) 】d 七 = 2 y 一2 h 毛1 , 【0 0 , ：1 1 , 】1 ，叠【2 ：2 】 于是可以得到原方程的解析解为 一1 8 一 p ( t ，t ) = n = o 【t 2 + v ，1 )；( t 2 - - ，1 ) ( 兰，1 ) ，t - - ，1 ) ；( o ，1 ) ，( 一a n 一肌a ) 2 ( 州咿( 2 w ) 学t a n + 肪 1h21，【。,o,州l,l，。，,1陋：“嚣 ，( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) z z 一 垢矿 丝旷 4 一 ”叩 h窖 “一m 卜 学 山东大学硕士学位论文 2 3 结果讨论 。1 当a = l ，口= o ，彤= 1 ，p = o 时，可以得到= 三，= 6 = 1 ，方程( 2 4 ) 化为 “ 百o p ( r , t ) = d 掣， ( 2 2 1 ) 况 一 a r 2 、。1 7 通过化简( 2 1 6 ) 它的解可以表示成 ， 尸( t ) = ( r 伯) 吾七也( r 后) 如( 殉七) e - d t k 2 舭，0 ， ：二f e - e 噼4 - e 一噼1 = = = i 4 d o 4 百。1 2 x , _ r d t 。 o 这是整数阶方程的解析解 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 2 当a = 1 ，d f = 2 ，口= 0 ，q = 0 时，方程( 2 4 ) 化为 下a p ( r , t ) = d ( 吾丽o p + 两0 2 p ) ( 2 2 4 ) 通过化简( 2 1 6 ) 它的解, - f p a 表示成嘲 k r o j o ( k r ) j o ( k r o ) e 1 ，l ( 一d k 2 ) d k j 0 = k r o j o ( k r ) j o ( k r o ) e 。d 脱d k ，0 = 杀e x p 一r 2 4 + 舰r a 1 而蕊r r o ) 2 丽e 一4 舰。蕊) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 这里，j l d ( 獗r r o ) 是。阶第一类变ab e s s e l 函数，这与文献【3 8 】中的结果是一致 的从而整数阶方程的结果可以作为本文的一个特例 一1 9 一 山东大学硕上学位论文 第3 章无限分形介质中高阶初始条件下的反应扩散方程及 其解析解 3 1 初始条件的扩展 在这一章，我们在上一章的基础上，将初始条件扩展为更为广泛的形式 下o i p ( r , t ) i t = o 只( 7 ) ，江0 ，1 ，m 一1 ，扛o ，( 3 1 ) 这样，我们讨论的方程就变为如下形式 o c d t a 啪) ) - d _ 妄_ ( r d f - l - o 掣) - f o 0 ( 川垆。脚，) d ， ( 3 2 ) 我们将求解在新初始条件下的方程的解析解，并和上一章的结果做比较 3 2 方程及其解 我们讨论的方程为 。c 硝a 啪) ) _ 万d 酽0 4 - xo 掣) 一i q o 。( 川7 ) a - l p ( r , t ) ( 3 3 ) 新的初边值条件为 o i p 册( r t , t ) 1 t ：。：只( r ) ，i ：o ，1 ，m 一1 ，t ：o ， ( 3 4 ) p ( o ，t ) = p ( + 。，t ) = 0 ， ( 3 5 ) 同样的，我们对方程( 3 3 ) - ( 3 5 ) 作分数阶c a p u t o 导数的l a p l a c e 变换 f i p ( r ，t ) ，s ) = p ( r ，t ) e d t ， ( 3 6 ) 利用c a p