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课 题：3.4.1基本不等式的证明（1）教学目标：探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法；重点难点：理解基本不等式等号成立条件及“当且仅当时取等号”的数学内涵课 型新授课课堂教学模式学生活动教学过程：1、 创设情景1.提问：与哪个大？ 2.基本不等式的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系）2、 学生讨论问题1我们把“风车”造型抽象成上图在正方形中有4个全等的直角三角形设直角三角形的长为，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？生答：.问题2那4个直角三角形的面积和呢？生答问题3好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，.什么时候这两部分面积相等呢？生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即时，正方形EFGH变成一个点，这时有.3、 建构数学1重要不等式：一般地，对于任意实数 ，我们有，当且仅当时，等号成立问题4：你能给出它的证明吗？(学生尝试证明后口答,老师板书)证明：所以 注意强调：当且仅当时, 注意：（1）等号成立的条件，“当且仅当”指充要条件；（2） 公式中的字母和既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的变量式，因此应用范围比较广泛 问题5：将降次为,降次为,则由这个不等式可以得出什么结论？2基本不等式：对任意正数，有当且仅当时等号成立（学生讨论回答证明方法）证法1：当且仅当即时，取“”证法2：要证，只要证，只要证，只要证因为最后一个不等式成立，所以成立，当且仅当即时，取“=”号证法3：对于正数有， 说明： 把和分别叫做正数的算术平均数和几何平均数，上述不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 注意：（1）基本不等式成立的条件是：；（2）不等式证明的三种方法：比较法（证法1）、分析法（证法2）、综合法（证法3）；（图1）（3）的几何解释：（如图1）以为直径作圆，在直径上取一点， 过作弦，则，从而，而半径基本不等式几何意义是：“半径不小于半弦”；（4）当且仅当时，取“”的含义：一方面是当时取等号，即；另一方面是仅当时取等号，即；（5） 如果，那么 （当且仅当时取“”）；（6）如果把看作是正数、的等差
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