（电力电子与电力传动专业论文）基于小波变换的数字图像去噪研究.pdf

西华大学硕士学位论文浚算法是根据不同尺度问系数的相关性和不同尺度子带所含图像能量的不同，分别为不同尺度的子带设置收缩阈值。实验表明，该算法比传统算法获得了更好的去噪效果。根据小波域中图像和噪声对应系数极大值点随着尺度变化具有不同的传递性，标识出系数极大值的信噪属性，重构图像保持了边缘细节，获得了较好的去噪效果。关键词：小波变换，多分辨，阈值去噪，相关性，模极大值西华大学硕士学位论文r e s e a r c ho ni m a g ed e n o i s i n gb a s e do nw a v e l e tt r a n s f o r mp o w e re l e c t r o n i c sa n dt e c h n o l o g yg r a d u a t ey a hj i ar u i n ga d v i s o ry a n gy a hx i a n gt h e r ei sal o to fn o i s ei ni m a g e s i no r d e rt oa n a l y s ei m a g e s ，t h en o i s en e e d st ob er e d u c e di ni m a g e sp r e p r o c e s s i n g w a v e l e ta n a l y s i si sav a l i da n a l y z i n gm e a n s r e c e n t l y w i t ht h ed e v e l o p m e n ta n di m p r o v e m e n to fw a v e l e tt h e o r y ，w a v e l e ta n a l y s i sh a sb e e na p p l i e dt om a n yf i e l d s a tt h es a m et i m e ，w a v e l e tt h e o r yh a sb e e na p p l i e dt oi m a g ed e n o i s i n gs u c c e s s f u l l y ，t o o ，a n dm a n yn e wi m a g ed e n o i s i n ga l g o r i t h m si sf o r m e d t h ed i s s e r t a t i o ni n t r o d u c e st h eb a s i ct h e o r yo fw a v e l e ta tf i r s t ，t h e nd i s c u s s e st h ei m a g ed e n o s i n gb yw a v e l e t t h er e s e a r c hc o n t e n t so ft h i sd i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ft h r e ea s p e c t s ：t h ef i r s ta s p e c ti st h er e s e a r c h i n go nw a v e l e ts h r i n k a g et h r e s h o l da n dp r o p o s i n gan e ws h d n k a g et h r e s h o l d t h es e c o n da s p e c ti st h er e s e a r c h i n go nr e l a t i o n s h i pb e t w e e nw a v e l e tc o e f f i c i e n t sa n da tt h es a m et i m ean e wd e n o i s i n ga l g o r i t h m sb a s e do ni n t e r - l e v e ld e p e n d e n c i e si si n t r o d u c e d t h i r da s p e c ta n a l y z e sm o d u l u sm a x i m at h e o r y 3西华大学硕士学位论文d o n o h oh a sp r o p o s e dt h ew a v e l e ts h r i n k a g et h r e s h o l d ，w h i c hi sn o to p t i m a lt h r e s h o l d ，b u tt h em a x i m u mo ft h eo p t i m a ls h r i n k a g et h r e s h o l d a n di ti si r r e l e v a n tw i t ht h ei m a g ei t s e l f , i so n l yr e l e v a n tw i t ht h ei m a g en o i s e w ep r o p o s e dan e ww a v e l e ts h r i n k a g et h r e s h o l dw h i c hi sr e l e v a n tw i t ht h es i n g u l a r i t yo ft h ei m a g e t h ed e n o i s i n gr e s u l t ss h o w si ti sm o r eo p t i m a l t h e r ee x i t sg l e a tr e l a t i o n s h i pb e t w e e nw a v e l e tc o e f f i c i e n t s t h e r ea r ei n t e r l e v e la n di n t r a - l e v e ld e p e n d e n c i e s ，w ec o n s i d e rt h ei n t e r - l e v e ld e p e n d e n c i e so ft h ew a v e l e tc o e f f i c i e n t s ，an e wi n t e r l e v e ld e p e n d e n c i e sm o d e lb a s e do nw a v e l e ts h r i n k a g ed e n o i s i n ga l g o r i t h m si sp r e s e n t e d s h r i n k a g et h r e s h o l do fe a c hs u b b a n do fe a c hl e v e li ss e l e c t e da c c o r d i n gt ot h ee n e r g yo fe a c hs u b b a n di ne a c hl e v e la n dr e l a t i o n s h i po fc o e f f i c i e n t sb e t w e e nl e v e l s ，t h ee x p e r i m e n tr e s u l t ss h o wt h en e wa l g o r i t h m si sm o r ee f f e c t i v et h a nc l a s s i c a lo n e w h e nw a v e l e tt r a n s f o r m i m g ，c o e f f i c i e n t so fs i g n a la n dn o i s ei sd i f f e r e n to nd i f f u s i n gp r o p e r t y w ec a nr e c o g n i z ec o e f f i c i e n t so fs i g n a la n dr e c o n s t r u c tt h ei m a g e sb yt h ec o e f f i c i e n t s t h ee x p e r i m e n ts h o w st h en e wa l g o r i t h m sa l s og a i n se f f e c t i v er e s u l t s k e yw o r d s ：w a v e l e tt r a n s f o r m ，m u l t i - r e s o l u t i o n a n a l y s i s ，t h r e s h o l dd e n o i s i n g ，d e p e n d e n c i e s ，m o d u l u sm a x i m a4西华大学硕士学位论文1 1引言第一章绪论长期以来，傅立叶变换是信号处理的主要手段，但它只能获得信号的整个频谱，而难以得到信号的局部特性，不能充分刻画时变、非平稳信号的特征。在傅立叶变换基础上发展起来的小波变换，通过引入可变的尺度因子和平移因子，在信号分析时具有可调的时频窗口，巧妙地解决了时频局部化矛盾，弥补了傅立叶变换的不足，为信号处理提供了一种多分辨率下的动态分析和综合手段。信号处理是小波变换理论最成功的应用领域，其它领域的应用大都来源于此。基于小波变换的信号分解与重构，等效于设计一个完全重构滤波器组，若滤波器组满足正则性条件，则通过设计完全重构滤波器组，既可计算离散小波变换，又能导出连续小波基。1 2 小波发展简介1 2 0 】【3 2 j 【3 7 】传统的信号分析理论，是建立在f o u r i e r 分析基础上的，而f o u r i e r 变换作为一种全局性的变换，具有一定的局限性。在实际应用中人们开始对f o u r i e r 分析进行改进，小波分析由此产生了。小波分析是由y m e y e r 、s m a l l a t 及d a u b e c h i e s 等奠定基础并迅速发展起来的。1 9 1 0 年，h a a r 提出了最早的小波规范正交基，但当时并没有使用小波这一名称。1 9 8 1 年，m o r l e t 仔细研究了g a b o r 变换方法，对f o u r i e r 变换和加窗f o u r i e r变换的异同、特点及函数构造作了创造性的研究，首次提出了“小波分析”的概念，并建立了以他的名字命名的m o r l e t 小波。1 9 8 6 年，m e y e r 第一次构造出具有衰减性的小波，该小波的二进伸缩、平移可够成三2 俾) 空间的规范正交基，打破了人们认为这是不可实现的设想，从而掀起了小波研究的热潮。1 9 8 8 年，西华大学硕士学位论文女数学家d a u b e c h i e s 给出了具有紧支集和任意有限正则度的小波函数的一般构造方法。1 9 8 9 年，m a l l a t 创造性的把计算机视觉领域中的多尺度分析方法引入到小波基的构造中，统一了s t r o m b e r g 、m e y e r 、l e r m a r i e 、b a t t l e 等人提出的各种小波的构造方法，并研究了小波变换的离散形式，提出了m a l l a t 塔式分解和重构算法，为小波应用铺平了道路。同年，m e y e r ，c o i f i n a n 等人提出了小波包的概念，并于1 9 9 0 年在日本东京召开的世界数学家大会上提出了一种半正交小波一m a l v a r 小波。1 9 9 0 年，崔锦泰和王建中构造出了基于样条函数的正交小波函数，并讨论了具有最好局部化性质的多尺度分析生成函数及相应的小波函数。同年，b e y l k i n ，c o i f m a n 等人把小波变换应用到算子理论中取得了满意的效果。1 9 9 1 年，j a f f a r d 及l a u r e n c o t 将小波变换应用于求解微分方程领域中，而w i c k e r h a u s e 等人将m a l l a t 算法进一步深化得到了小波包算法，使得小波变换的分析性质有了很大的改善。1 9 9 4 年，g o o d m a n 等人在r 元多分辨分析基础上建立了多重小波的基本理论框架，进一步丰富了小波理论。1 3 小波分析与f o u r i e r 分析f 2 9 i 【3 3 i 【”传统的信号分析是建立在傅立叶( f o u r i e r ) 变换基础之上的，由于傅立叶分析使用的是一种全局变换，对信号的讨论要么完全在时域，要么完全在频率域，因此无法同时表述信号的时频局部性质，而时频同时局部特征正好是非平稳信号最关键的性质。为了克服f o u r i e r 分析的缺陷，1 9 4 6 年，d e n n i sg a b o r 引入短时傅立叶变换( s h o r t t i m ef o u r i e r t r a n s f o r m ) 。短时傅立叶变换的思想是：假定非平稳信号在分析窗函数耳( f ) 一个短时时间间隔内是平稳( 伪平稳) 的，并移动分析窗函数，使f ( t ) g q r 、在不同的有限时间宽度内是平稳的信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。短时傅立叶变换将信号划分成许多小的时间问隔，用傅立叶变换分析每个时问问隔，以便确定该时间间隔存在的频率。其表达式为：g i 池f ) ；e ，( f 培o 一咖1 “出( 1 3 1 )其中g ( t 1 为窗口函数，f q ) 是等待分析的函数。西华人学硕士学位论文在上述变换中，e 一柚起着频限的作用，g o ) 起着时限的作用。随着时间r 的变化，占( f ) 所确定的“时间窗”在t 轴上移动，使f ( t ) 逐渐进行分析a 因此，g ( f )往往被称为窗口函数，g ，扣，r ) 大致反映了f ( t ) 在时刻r ，频率为的“信号成分”的相对含量。这样信号在窗口函数上的展开就可以表示为在k 一6 ，f + 6 m 一，山+ s i 这一区域的状态，并把这一区域称之为窗口。d 与分别称之为窗e l 的时宽和频宽，表达了时频分析中的分辨率，窗宽度越4 , n 分辨率越高。很显然，最理想的选择是6 与g 都非常小。从而得到更好的时频效果。但是海森堡( h e i s e n b e r g ) 测不准原理( u n c e r t a i n t yp r i n c i p l e ) 告诉我们，6 与是1相互制约的，二者不可能同时达到任意小，实际上，有6x 苫妄。这表明，短z时傅立叶变换虽然在一定程度上克服了标准傅立叶变换不具有局部分析能力的缺陷，但它存在着自身不可克服的缺陷，如当窗函数g o ) 决定后，矩形窗口的形状也随之确定，6 与只能改变窗口在相平面上的位置，而不能改变窗口的形状( 如图1 3 1 所示) 。因此人们认为，短时傅立叶变换本质上仅具有单一分辨率，若要改变分辨率，则需重新选择窗函数g ( f ) 。因此，短时傅立叶变换比较适合分析平稳信号，对于非平稳信号，尤其是当波形变换剧烈时，主频为高频，要求较高的时间分辨率( 即6 占要小) ，而波形变换比较平稳时，主频为低频，则要求较高的频率分辨率( 即s 要小) ，这是短时傅立叶变换无能为力的。小波分析来源于对f o u r i e r 分析的改进，从理论上讲，适用f o u r i e r 分析的领域都可以通过小波分析来实现，但有些用小波分析能解决的问题用f o u r i e r 分析却无法达到满意的效果( 例如，对非平稳信号的处理f o u r i e r 分析很难得到理想的效果) 。小波分析是一种全新的时、频分析方法，是信号的时间一尺度( 时间，频率) 分析方法，具有多分辨分析的特点，在时、频两域都具有表征信号局部特征的能力。它能够在低频部分得到较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分则正好相反，得到的是较高的时间率和较低的频率分辨率。也就是西华大学硕士学位论文说，小波分析方法，是一种窗口大小( 即窗口面积) 固定，但其形状可以改变( 即时间、频率窗都可以改变) 的时、频局部分析方法( 如图1 3 1 所示) ，这使得小波变换具有对信号的自适应性，小波分析的这些特征都是f o u r i e r 分析所不具备的，从某种意义讲小波分析弥补了f o u r i e r 分析的不足。小波分析与f o u r i e r 分析的另一不同点是：在小波变换中可利用的小波函数具有不唯一性，对不同的问题需要具体分析，慎重选择小波函数。s i i f i时问f i g u 元1 3 1图1 3 1时间小波变换与f o u r i e r 变换、短时f o u r i e r 变换( g a b o r 变换) 相比，是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析( m u l t i l e v e la n a l y s i s ) ，解决了f o u r i e r变换不能解决的许多困难问题，从而小波交化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。1 4 小波分析的应用 3 5 1 【2 9小波变换的应用是与小波变换的理论研究紧密地结合在一起的，在小波变换的许多应用中，都可以归结为信号处理问题。在工程实践中，对于信号其性西华大学硕士学位论文质随时间是稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶变换：但是实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非稳定信号的工具就是小波变换。小波分析的优越性在于它是一个有效的分析工具，并且已经在许多学科、领域中取得了卓越的成效。例如，在数学领域中有：求解微分方程，与分形数学相结合做函数数值逼近，在非线性系统及随机过程中做多分辨分析：在信号检测与模式识别领域中有：利用小波分析的时频特性和多分辨率功能进行非平稳信号分析与检测，信号的滤波去噪，地质勘探，机械故障分析，地震检测等：在二维信号处理中有：图像边缘信息提取与检测，图像去噪，图像编码，数据压缩传输，信息保密等。在实际应用中，信号的重要的部分往往表现出奇异性或不规则性，在图像处理中，亮度的不连续性往往提供了图像中某一部分的边缘特征，这正是认识图像的最有意义的部分。图像处理是基于图像的数字化描述来实现的，图像数字化的结果就是得到一个巨大的数字矩阵，图像处理就是在这个数字矩阵上完成的。用小波进行图像处理的任务就是利用小波变换构造一系列算法，利用这些算法去完成对图像的分析诊断、量化编码、数据压缩、去噪、信息传输与存储、合成重构等。小波理论在信号处理领域中显示出非凡的力量，引起了许多学者的关注和浓厚兴趣。众多的小波函数为人们自由选择小波函数提供了广阔的空间，但是对某些具体问题如何选择合适的小波函数，选择哪种小波变换方式( 如，连续小波变换，离散小波变换，正交小波变换，双正交小波变换等) ，选择多少阶消失矩，正则度如何，紧支长度怎样等等，必须综合考虑。1 5 本文主要工作本文以小波变换为基础，以小波图像去噪为研究方向，比较深入地研究了小波收缩阈值图像去噪、基于小波系数层间相关性图像去噪和基于小波系数模极大值图像去噪。全文安排具体如下：第一章为绪论，首先简单介绍了小波发展的历程、小波分析与付氏分析比话华大学硕士学位论文较和小波的应用，然后，介绍全文的结构安排和本文所取得的研究成果。第二章主要介绍了连续小波变换、离散小波变换、小波框架、多分辨分析和m a l l a t 算法，同时介绍了二维图像小波变换的分解重构，为以后几个章节中图像小波去噪奠定了理论基础。第三章主要介绍了小波去噪的研究现状、噪声模型、图像质量的评价标准和小波变换下的图像去噪原理，为后续章节的噪声研究提供了背景。第四章主要对小波收缩的最佳闽值进行了分析，提出了基于图像奇异特性的小波收缩阂值的选择方法，这一收缩阈值与图像本身的特性有关，从而进提高了收缩闽值估计的准确性。第五章定量地分析了图像小波系数层内和层问的相关性，然后结合图像小波系数的相关性和小波系数模型，提出了基于层间相关性的小波收缩去噪算法。第六章利用小波变换良好的局部化特性，研究分析了小波域中图像和噪声对应系数极大值点尺度间的分布情况和传递特性，依据二者不同的传递性，建立图像极大值跟踪矩阵，从而进行加权消噪处理分析，达到了抑制噪声的目的。第七章是对全文的总结与展望，概括了全文的研究内容：针对论文的不尽完美之处，提出了一些意见和建议，以供后续工作参考借鉴。西华大学硕士学位论文2 1引言第二章小波变换基础小波( w a v e l e t ) 变换是一种最近十多年才出现的数学工具，它的核心是多分辨分析。小波变换的特有性质使它在信号处理，特别是在图像处理中表现出以下优点：( 1 ) 小波变换的完善重建能力，保证了信号在分解过程中没有任何信息损失、没有任何冗余信息，u p , j , 波变换作为一组表示信号分解的基函数是唯一的：( 2 ) 小波变换把图像分解成平滑图像和细节图像之和，它们分别代表了图像的不同结构，因此原始图像的结构信息和细节信息很容易提取：( 3 ) 小波变换具有快速算法一m a l l a t 算法，它在小波变换中的作用相当于f f r r 在f o u r i e r 变换中的作用，这为小波变换的应用提供了必要的手段：( 4 ) 二维小波分解，为图像的分析提供了方向性选择，这种方向性选择非常适合于人眼的视觉系统特性，换句话说，小波变换的方向选择性恰好与人眼视觉系统的方向性相吻合。本章中介绍一下有关小波理论的基本知识。主要阐述连续小波变换理论、离散小波变换理论、小波框架理论、多分辨分析与m a u a t 算法以及二重图像的小波分解等。2 2 连续小波变换i l ”定义设妒( f ) 2 似) ，其傅立叶变换为妒 ) ) 满足容许条件( 完全重构条件或恒等分辨条件) ：铲j ：学( 2 2 1 )时，称班妒( f ) 为一个基本小波或母小波( m o t h e rw a v e l e t ) 。将母小波妒o ) 经伸缩和平移后得西华大学硕士学位论文删2 赤妒学，啪郇勘加亿2 2 ，称其为一个小波序列。其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。对于任意的函数f ( t e l 2 俾) 的连续小波变换为：帅。南仁，( f ( 学舻肌 2 - 3 式( 2 2 3 ) 中不仅t 是连续变量，且a 和b 也是连续变量，因此称为连续小波变换( c w t ) 。其重构公式( 逆变换) 为：川= q l f 警肛( t ) d b( 2 - 2 4 )对( 2 2 3 ) 式有下面几点说明：1 ) 尺度因子的作用是将母小波妒o ) 作伸缩，4 愈大妒( 三) 愈宽。如图( 2 2 1 )所示，对于一个持续时间有限的小波，不同尺度下小波的持续时间随a 加大而增宽，幅度则与i 成反比，但波形不变。图( 2 2 2 ) 表示了小波分析的时间区间随a 的变化而变化的情况。f i g u r e2 2 1e x p a n d e d n e s sa n ds h r i n k a g eo fw a v e l e t图2 2 1 小波的伸缩与平移5西华大学硕士学位论文tf i g u r e2 2 2w a v e l e tt i m ev a r i e t yo fd i f f e r e n ta图2 2 2 不同a 值下小波分析的时间区间变化2 ) 母小波梦妒( f ) 可能是复数信号，特别是解析信号。3 ) ( 2 2 3 ) 式的内积往往被不严格地解释成卷积，由于内积cf ( t ) 矾删，2 去e ，坐) a t( 2 川2 a)、，n 一卷积，o ) + 饥。) = 詈e ，p ( 等y r( 2 2 5 )( 2 2 4 ) 式和( 2 2 5 ) 式相比，计算方法无本质区别。( 2 2 3 ) 式的频域表示是：啪：尝产厕( 2 z e )由此可知小波变换在频域上的特点：1 ) 若v t ( c o ) 是幅频特性比较集中的带通函数，则小波变换便具有表征待分析信号宕) 频域上局部性质的能力( 图2 2 3 ) 。2 ) 采用不同的尺度因子时，v t ( a ( 0 1 的中心频率和带宽都不一样，但品质因西华大学硕士学位论文数q 不变，图2 2 4 表示了小波分析的频率区间随a 的变化而变化的情况。f i g u r e2 2 3f r e q u e n c yo f w a v e l e t图2 2 3 小波的频域表示f i g u r e2 2 4w a v e l e tf r e q u e n c yv a r i e t yo fd i f f e r e n ta图2 2 4 不同a 值下小波分析的频率区间变化1 0t西华大学硕士学位论文总之，从频域上看，对函数f ( t ) e l 2 ) 用不同的尺度因a 作小波变换相当于用一组带通滤波器对信号进行处理。将图2 2 2 和图2 2 4 结合，小波变换在时一频平面上的基本分析单元具有图2 2 5 所示的特点。当a 较小时，时间轴上的观察范围小，在频域上相当于用较高频率作分辨率较高的分析，即用高频小波作细节观察：当a 较大时，频率轴上的观察范围小，在频域上相当于用低频小波作概貌观察。分析频率有高有低，但在各分析频段内的品质因数q 却保持不变。t lt 2tf i g u r e2 2 5 a n a l y z i n g u n i to f w a v e l e t t r a n s f o r m图2 2 5 小波变换的基本分析单元连续小波变换有以下重要性质：1 ) 线性叠加性：一个多分量的小波变换等于各分量的小波变换之和。2 ) 平移不变性：若厂o ) 的小波变换为h 0 ( 口，b ) ，则，o t 。) 的小波变换为，( a , b - t o ) 。3 ) 伸缩共变性：若，o ) 的小波变换为以( n ，b ) ，则f ( x t ) 的小波变换为f 1 町( 儿，肪)2 0v 4 ) 自相似性：对应不同尺度参数a 和不同平移参数b 的连续小波变换之间是自相似的。西华大学硕士学位论文5 ) 冗余性：连续小波变换中存在信息变数的冗余性( r e d u n d a n c y ) 。为了完全满足小波容许条件，矿) 必须在原点等于0 ，即：矿( o ) = r 妒( f ) a t = 0( 2 2 7 )j 一这就说明能用作母小波妒( f ) 必是正负交替的振荡波形，使得其平均值为零，这便是称为“小波( w a v e l e t ) ”的原因。实际上对妒( f ) 还要施加所谓的“正规性条件，使矿 ) 在频域上表现出较好的局部性能。要求妒o ) 具有n 阶消失矩，且n 值愈大愈好，即：rt p t p ( t ) d t 一0p = 1 n( 2 2 8 )j 一相应的频域表示是妒( 甜) 一”1 矿。( )妒。( o ) ；0( 2 2 9 )2 3 离散小波变换忡】【2 4 】t 2 s l 【3 7在实际的应用中，尤其是计算机实现，连续小波必须加以离散化。这一离散化都是针对连续的尺度参数a 和连续平移参数b 的，而不是针对时间变量t的，故离散小波变换其实是离散a 、b 栅格下的小波变换。在连续小波中，考虑函数：妒a m o ) 2 丽1 妒( t - 。b )这里，a , b e r 且a 0 ，砂是容许的这样相容条件就变为：口b e r 且a 0( 2 3 1 )在离散化中，总限制a 只取正值a ，0 ，c ，：r ”掣( 2 s z )通常，把连续小波变换中的尺度参数a 和平移参数b 的离散化公式：口= n ：，b = k b o a j ，a o 1 ，j e z( 2 3 3 )因此，对应的离散小波函数妒m ( f ) 为：西华大学硕士学位论文妒， o ) = a 0 2 l p ( a o f 一七)a o 1 ，z对于任意的函数f ( t r 啤) 的离散小波变换为：c j t2 l - ，o j ，t ( t ) d t2 式( 2 3 5 ) 称为离散小波变换( d w t ) 其重构公式( 逆变换) 为：，( f ) = c c j , k 妒i , k o )jc 是一个与信号无关的常数。( 2 3 4 )( 2 3 5 )( 2 3 6 )在实际中采用的是动态的采样网格，最常用的是二进制的动态采样网格，即a 。；2 , b 。；1 ，每个网格点对应的尺度2 ，为，而平移为k 2 ，。a b 平面的采样点如图2 3 1 所示。由此得到的小波为：1 ；f ，j ( f ) 一22 妒( 2 1 t - k )j , k e z( 2 3 7 )称为二进小波，该小波广泛的应用在语音与图像处理领域，二进小波对信号的分解，恰似人类的视觉和听觉特性，同时使得快速算法得以实现。b0i23lss 一- 1- 23i l n zf i g u r e2 3 1b i n a r ys c a l ed i s c r e tg r i d so fp l a n e图2 3 1 平面的二进离散栅格西华大学硕士学位论文2 4 小波框架【2 9 i1 3 3 【4 0在2 3 节中，我们直接给出了离散小波的重构公式( 逆变换) 为：，( f ) = c c ，- 妒，o )那么对于任意的函数厂( f ) 是否都可以表示成上式以妒，。( f ) 为基本单元的加权和重构形式? 如果可以，权重c 。如何求解? 答案便是建立在数学上所谓的t 框架理论”的基础上。定义：当母小波妒( f ) 经伸缩和平移得到的函数族卜冲 咿m2 肛z q _ 4 d满足a l l f ( o i l 2s l c x ( f ) ，妒，。( f ) ，j 2s b i l l ( o i l 2 ，oc 爿s b t m ，此时称扣， ( f ) l ，。o , 1 ，2 ，3 ，k z 构成个框架。其中i i f o i l 2 为信号，( f ) 的能量- a 、b 称为框架界( f r a m e b o u n d s ) 。若a = b 时，称为“紧框架”( 面g h tf r a m e ) 。对于紧框架，有i c ，o ) ，妒卅o ) ，1 2 = 爿i 厂( f ) | | 2( 2 4 2 )则：邝) 2 去莩摹c ，( f 帆( f ) = 三；以川( 2 4 3 )此式即为式( 2 3 6 ) 的形式。当 与b 比较接近时，作为一阶逼近，有，( f ) 2 击莩；t ，( f 帆加m “扣志军犯乩2 4 4 )a 与b 愈接近逼近误差愈小，这时小波综合形式上同正交基。框架是对规范正交基的推广，一般说来，框架甚至紧框架都不是正交基的，特别地当紧框】4西华大学硕士学位论文架界a = b = 1 时构成一组正交基，若那么眇川= 1 ，那么构成规范正交基。因为信号的重构误差和a 、b 的值关系很大，为了保证梦妒 能构成一个重构误差较小的框架，就希望框架接近紧框架，这一方面和所选择的小波函数有关：另一方面也和4 。、b o 的大小有关。d a u b e c h i e s 详细研究了上述关系，本文不再赘述。2 5 多分辨分析与m a l i a t 算法【1 】1 4 1 【1 0 9因为不论是连续的小波变换还是离散的小波框架，其信息量都是冗余的，因此从数值计算以及数据压缩等的角度，我们都希望减小它们的冗余度，这就是本节要讨论的正交小波基。首先给出正交的概念：若，妒，女( 铲。1 1 。, ，j 。f - 。j 。 , 。22 5 1 即正交且归一，称为规范正交，则任意信号f ( t ) e l 2 ) 可表示为，( f ) = 妒业( f )( 2 5 2 )2 5 1 多分辨分析的定义多分辨率分析( m u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s ，简称m r a ) ，又称多尺度分析，它是m a l l a t 在研究图像处理时建立的理论。m r a 不仅为正交小波的构造提供了一种简单的方法，而且为正交小波变换的快速算法提供了理论依据。同时，它的思想又和多采样率滤波器组不谋而合，使得我们又可将小波变换和数字滤波器的理论结合起来。因此，多分辨率分析是小波理论中的精髓，具有非常重要的地位。多分辨分析的思想是先在能量有限函数空间l 2 ( r 1 的某个子空间中建立基底，然后利用简单的伸缩与平移变换，把子空间的基底扩充到2 俾) 中。我们下面就来建立多分辨分析的一般概念。定义忆 。是空问l 2 ( r ) 中的一予空间称序列，如果以 。和函数西华大学硕士学位论文妒( f ) r 俾) 满足如下条件：( i )单调性：v i + 1 v i v i 一】w z ：( i i )逼近性：ny i = o lu = 2 ( r ) ：( i i i ) 伸缩性：f ( x ) jf ( 2 7 x ) e ，e z ：( i v )平移不变性：，0 ) 一f ( x 一，1 ) ，v n z ：( v )r i e s z 基存在性：存在g ，使得括 一n ) i , , e z t 勾成v o 的r i s e z 基。则称忆j ；，是由函数q ) ( t ) e l 2 ( r ) 生成的一个正交多分辨率分析( m r a ) ，其中e ( t ) e l 2 俾) 称为尺度函数。从多分辨率分析的定义可以看出，它与人类的视觉有着惊人的相似。当人在观察某一目标时，可设他与目标之间的距离为尺度j ，当他在远处观察目标时，对应大尺度空间，只能看到目标的概貌：当他走近目标时，对应于小尺度空间，可以对目标进行细致观察。由远及近，尺度相应的由大变小，可以对目标进行多尺度的由粗到精的观察，这就是多尺度( 多分辨率)的思想。从上面的分析可知，多分辨率分析的所有尺度空间杪 一都是由同一尺度函数妒( f ) 工2 僻) 在不同尺度下张成的，但由于e j 。相耳包含，不具有正交性，因此尺度函数在不同尺度下的伸缩和平移妒m o ) = 22 妒( 2 t - k ) 不能构成r ( r ) 的正交基。为此，我们定义暇为k 在y 。中的正交补空间，即v i l = v j o ，1 1 1 v j 上，因此慨j 目构成了l 2 ( r ) 的一系列正交子空间，即三2 ( r ) = 璺，设似。 = 妒( f - k ) i 七z j 是空间的一组正交基且满足小波容许性条件，则它的伸缩和平移的集合 妒m ：2 了- j 妒( 2 _ f 一) i ，t z 必然构成2 ( r )的一组正交基。其中少。妒。称为小波函数，彤i 称为尺度为j j 勺小波空间。2 5 2 双尺度方程和正交小波基的构造双尺度方程是多分辨率分析赋予尺度函数和小波函数的最基本特征，它反映的是两个相邻尺度空间或相邻尺度空间和小波空间基函数之间的内在联系，也是由尺度函数构造小波函数的桥梁。尺度函数和小波函数的双尺度方程如下( 利用空间伸缩性) ：妒( f ) = 罗 。妒“。( f ) = 2 罗 。妒亿一n )( 2 5 3 )1 6西华大学硕士学位论文妒( f ) = g 。垆一- ，( f ) = 2 g 。o ( 2 t 一月)( 2 5 4 )双尺度方程存在于任意相邻尺度j ，j + l 之间。尺度函数和小波函数的系数h 。和g 称为滤波器系数，它们的频域表示h ) 和g ) 分别对应了一个低通滤波器和高通滤波器。由于尺度函数试妒( f ) 和小波函数平妒( f ) 满足双尺度方程，因此，可以通过尺度函数构造小波函数，它们的系数h 。和g 。满足如下关系：g 。= ( 一1 ) 一h i( 2 5 5 )因此，由尺度函数构造的小波函数为：妒o ) = g 。妒吐( ) = 2 乳妒( 丑一竹) = 2 ( 一1 ) “i l t 伊( 丑一九) ( 2 5 6 )从而由妒( f ) 的二进伸缩和平移便可形成整个工2 僻) 的标准正交基。2 5 3 正交小波变换的快速算法一m a l l a t 算法由于明显的原因，正交基是h i l b e r t 空间最理想的基底。小波正交基的存在是小波分析最重要的特点之一。它不仅能为信号提供唯一的表示形式，而且为小波变换的快速算法提供可能。正交小波变换分解与重构的快速算法，也称为m a l l a t 算法，是m a l l a t 在多分辨分析的基础上提出的。它在小波分析中的地位就相当于f f t 在经典傅立叶变换中的作用。正是由于快速算法的提出，才使得小波变换的优良特性得以充分发挥，从而在众多领域有着广泛地应用。其算法基本思想是：信号式厂( f ) 的某层小波分解是将，( f ) 以某个尺度j 变换到空间l 2 ) 的两个正交子空间和上，由y i 得到离散逼近值4r ，由w ，得到离散逼近值d i ，：下一层分解中是以尺度j 十1 再将4 ，分解到子空间+ 。和m + 。中，这样按照式( 2 5 3 2 ) 不断分解下去，从而对信号进行了多分辨率的分解。其分解过程如图( 2 5 1 ) 所示，其中h 和g 是双通道滤波器组，a i ，称为逼近信号或概貌信号，它对应着信号的低频成分：d f 称为细节信号，它对应着信号的高频成分。设妒与妒分别为尺度与小波函数，则信号，( f ) 在分辨率2 y 近幢a a ，厂和细节d ，分别假设为a i ，“) = c i , k 妒似，d ，o ) = d ， 妒“( 2 5 3 1 )西华大学硕士学位论文式( 2 5 3 1 ) 中。 与d ，j 分别为分辨率2 。下粗糙系数与细节系数。而分辨率2 i 下信号，( f ) 的近似4 ，厂可以直接表示为( 利用空间伸缩性和正交性) ：a ，f = a ，+ l ，+ d ，“，( 2 5 3 2 )其中一+ 1 ，蜘黔。哪蛳= 蕾。肌- 。则信号，( f ) 相应的多尺度分解的过程为( 分解示意如图2 5 1 所示) ：f q 、l = a 。f + 驮f = a j + d 2 f + d l l = = 久f + d ，f + d n l 七d 。 f + + d 2 七d 1 f( 2 5 3 3 )h厂( f )h ga i d 。厂彤 一音f i g u r e2 5 1d e c o m p o s e df r a m eo fw a v e l e t图2 5 1 正交小波分解结构示意图从式( 2 5 3 1 ) 、式( 2 5 3 2 ) 与式( 2 5 3 3 ) 不难看出，研究信息爿，与a j + l f 以及d j + l ，的关系可以转化为找出系数。 与。“。以及d 的关系。为此，我们从双尺度方程开始，此时有：卯) ；y 。面皿一n )( 2 5 3 4 )7将此式对时间进行伸缩和平移：妒( 2 一i t 一 ) = y 。q t 2 q ，( 2 1 f _ 2 k 一 )( 2 5 - 3 - 5 )7令：2 + n ，则：妒( 2 j t t ) = 。面( 2 1 f m )( 2 5 3 6 )百由多分辨分析，我们定义：西华大学硕士学位论文_ - l _ s p a ，l t 2 1 彤妒( 2 - j + l t - k ) ( 2 5 3 7 )那么任意，( r ) 一，在一。空间的展开式为：厂( f ) = 2 卜”妒( 2 - i + j t - k )( 2 - 5 _ 3 8 )将，( f ) 分解一次( 即分别投影到和空间) ，则有：，( f ) = 一c j , 2 一妒( 2 - q - k ) + 一d j 2 一2 妒( 2 - i t - k )( 2 5 3 9 )c ， 与d ， 分别为尺度上的展开系数，y l ：c 似= ，p ) ，妒， ( f ) ，( 2 5 3 1 0 )d 肚= c ，o ) ，妒卅( f ) ，( 2 5 3 i i )一般称c 肚为剩余系数或尺度系数，d ， 为小波系数将式( 2 5 3 6 ) 代入式( 2 5 3 1 0 ) 得：。“= h 。一2 c ，一l 。( 2 5 3 1 2 )同理可得：“d = g 。一2 d 一1 月( 2 5 3 1 3 )将的剩余系数c ，j 进一步分解下去，可分别得到+ ，和+ ，为剩余系数c 川和1 , 波系数d f + l ：戮二鼗巍减詈同样将尺度空间+ 。继续分解下去，可以到任意尺度空问，这就是著名的m a l l a t 塔式分解算法，其分解过程如图2 5 2 所示，图中c ”表示的是m 空间一 c m4 1 c 4 啦一卜c 州w扩卅怛f i g u r e2 5 2d e c o m p o s i n go fw a v e l e t图2 5 2 小波分解示意图d ”- - h 西华大学硕士学位论文重构过程是分解的逆过程，相应的重构方法为( 如图2 5 3 ) ：c ， = | l l 。一：。c ，+ 。，；+ 占。一：。d + 。j( 2 5 3 1 6 )d ”州d ”件1 c m + ，_ l 卜c 射州叫卜卜c 村粕_ 卜c 村f i g u r e2 5 3s y n t h e s i z i n go fw a v e l e t图2 5 3 小波合成示意图则信号f ( o 相应的多尺度重构的过程为：a f + d ，f + d 。f + d 。f + + d 2 f + d 1 f = t 2 5 3 1 7 、由多分辨率分析引出多采样率滤波器组上给出了对信号厂( f ) 作分析时的尺度系数和小波系数之间的关系，这些离散系数间的关系可用多采样率滤波器组通过“二插值”、“二抽取”的形式实现，便于从数字信号处理的角度进行分析。以下先从理想滤波器的角度引入多分辨率分析。当信号的采样率满足n y q u i s t 要求时，归一的频带必将限制在一玎+ 玎之间。此时可分别用理想低通与理想高通滤波器k 和g 。将它分解成( 对于正频率部分而言) 频带在0 兰的低频部分和兰+ 口的高频部分，分别反映信号的概貌22与细节。处理后两路输出必定正交( 因为频带不交叠) ，而且由于两种输出的带宽均减半，因此采样率可以减半而不致引起信息的丢失( 带通信号的采样率决定于其带宽) 。这也是m a l l a t 算法中滤波后“二抽取”环节的理由。所谓二抽取就是对输入序列每隔一个输出一次，组成长度缩减一半的新序列。类似的过程对每次分解后的低频部分在重复进行下去，即：每一级分解把该级输入信号分解成一个低频粗略逼近( 概貌) 和一个高频的细节部分。而且每级输出采样率都可以减半。这样就将原始信号进行了多分辨率分析。信号重建是分解的逆过程，分西华大学硕士学位论文解所得的每一支路首先做“二插值”，然后为平滑补零后的波形做相应的低通或带通滤波，并逐级重建。2 5 4 二维图像小波变换的分解与重构本文的主要研究对像是图像，