（系统工程专业论文）若干非线性波方程的构造性求解研究.pdf

摘要 摘要 众所周知非线性科学成为当代科学研究重要的前沿领域。近几十年来，随着 科学技术的1 、= 断发展，各种非线性问题日益引起科学家和工程技术人员的兴趣和 重视。特别是在近代物理和科学工程计算中的一些关键问题，归根结底都依赖于 某些特定的非线性方程的求解。所以无论在理论研究方面，还是在实际应用中， 非线性方程的求解都占有非常重要的地位。非线性方程的求解己成为广大科学工 作者经常面临的问题。但构造非线性微分方程的解是既重要又困难的课题，需要 灵活高效的数学工具。近年来，国内外的研究者在求解非线性微分方程方面做了 大量的工作，获得了很多成果。本文在前人研究的基础上，构造性求解一些在科 学和工程上具有重要意义的非线性波问题。本文研究内容主要包括 第一章介绍了非线性波动方程构造性理论求解的研究背景、研究进展、发展 现状和意义，总结并分析了现有的求解非线性波动方程的方法。 第二章我们首先对d b m 方程和l o g - - d b m 方程作了简介，对w a z w a z 所提出的 扩展的t a l l l l 方法作了改进，扩大了其使用范围，并用改进后的t a n h 方法研究了 i _ d g - - d s m 方程，得到了l o g - - d b m 的丰富的行波解，包括周期波解，奇异孤立波 解、双尖峰孤立波解，奇异周期孤立波解。用辅助函数得到了l o g - - d b m 方程的 j a c o b i 椭圆函数解；用拟设法研究了l o g d b m 方程的类紧( l i k e c o m p a c t ) 孤立 波解。 第三章利用扩展的j a c o b i 椭圆函数展开法研究了( z k - m e w ) 方程，并给出 z k - m e w 方程的j a c o b i 椭圆函数解，特别的，当模数m 0 和m 专1 时，其中一部 分解退化为三角函数解和孤立波解；其次使用s n c n 拟设法，研究了k ( k ，s ，1 ) j y 程， 得到了k = s = 3 时的新的精确解，并在模数m 寸0 和m 一1 时得到了丰富的三角函数 和孤立波解。 第四章将p a i n l e v e 奇性分析方法应用到带阻尼( d a m p i n g ) 项的变系数b u r g e r s 方程中，并得到了该类b u r g e r s 方程具有p a i n l e v e 性质的条件，给出了该类b u r g e r s 方程的b a c k l u n d 变换，用所得b a c k l u n d 变换得到了若干精确孤立波解，包括奇异 孤立波解，这些解不等同于行波型孤立波解；用齐次平衡法得到了对数型d b m 方 程的b a c k l u n d 变换，并获得了d b m 方程的各种孤立波解，包括尖峰孤立波解和 江苏大学博士学位论文：若干非线性波方程的构造性求解研究 奇异尖峰孤立波解。 第五章利用l i e 群分析法研究了带线性阻尼项的变系数广义b u r g e r s 方程。众 所周知对称性约化是寻找和分析非线性数学物理方程精确解的有效手段之一。基 于l i e 群思想的群论法是对称性约化的主要方法。在这一章里，我们用l i e 群分析 法研究了带线性阻尼项的变系数广义b u r g e r s 方程。首先介绍了l i e 群分析法的基 本思想，其次用l i e 群分析法得到了带线性阻尼项的变系数广义b u r g e r s 方程的无 穷小变换、无穷小算子的李代数结构，并具体求出了带线性阻尼项的变系数广义 b u r g e r 方程的群不变解和约化方程。 在第入章，我们将指数函数法( e x p f u n c t i o nm e t h o d ) 应用到一类变系数非 线性波方程中，借助计算软件m a p l e 得到了组合变系数k d v - m k d v 方程的广义孤立 波解。通过研究，我们可以看出指数函数法在研究变系数非线性方程时有其明显 的优点，算法简单，并在适当的变换下可得到周期波、奇异波、奇异周期波解和 类紧解。 第七章是对研究内容的总结和展望。 关键词：非线性波动方程；构造性解法；奇异孤立波；j a c o b i 椭圆函数；p a i n l e v e 奇性分析；b a c k l u n d 变换；l i e 群分析；指数函数法 a bs t r a c t i t i sw e l lk n o w nt h a tn o n l i n r a rs c i e n c eh a sb e c o m ei m p o r t a n tf r o n t i e ro fs c i e n c e r e s e a r c h e s i nt h er e c e n td e c a d e s ，w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h es c i e n c ea n dt e c h n o l o g y , a l lk i n d so fn o n l i n e a rp r o b l e m sl e a dt oi n t e r e s t i n gf o rm a n ys c i e n c i s t sa n de n g i n e e r s s o m ek e yp r o b l e m s ，w h i c ha p p e a ri nm o d e mp h y r s i c sa n dc o m p u t a t i o no fs c i e n c e e n g i n e e r i n g ，i st of i n ds o l u t i o n so fs o m es p e c i a l l yn o n l i n e a re q u a t i o n si n d e e d l y s o s o l v i n gn o n l i n e a re q u a t i o n so c c u p i e sa ni m p o r t a n tp l a c e i nb o t ht h e o r ya n da p p l i c a t i o n s o l v i n gn o n l i n e a re q u a t i o n sh a v e b e e nf a c e dw i t hf r e q u e n tp r o b l e m s f o rm a n ys c i e n c e r e s e a r c h e r s h o w e v e r , c o n s t r u c t i v es o l v i n gn o n l i n e a re q u a t i o n si s b o t hd i f f i c u l ta n d i m p o r t a n t n e e de f f e c t i v em a t h e m a t i c a lt o o l s i nr e c e n t l yy e a r s ，m a n yr e s e a r c h e r sd oa l o to fw o r kt os o l v en o n l i n e a re q u a t i o n sa n do b t a i n e da b u n d a n dr e s u l t s i nt h i sp a p e r , u s i n gc o n s t r u c t i v es o l v i n gp r i n c i p l ea n dg i v e n r e s u l t s w es o l v es o m ei m p o r t a n tn o n l i n e a r w a v e se q u a t i o n s ，w h i c hf r e q u e n t l ya p p e a r ss c i e n c ea n de n g i n e e r i n g s t h ep a p e rm a i n c o n t e n t si n c l u c ea sf e l l o w ： i n c h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c e t h e s t u d yb a c k g r o u n d ，s t u d yd e v e l o p m e n t a n d s i g n i f i c a n c eo fc o n s t r u c t i v em e t h o do f n o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n t h em e t h o d sk n o w nu p t ot o d a yf o rs o l v i n gt h en o n l i n e a rw a v ee q u a t i o na r es u m m a r i z e da n da n a l y z e d i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h ed b ma n dl o g d b me q u a t i o n s u s i n ga l g e b r a i c m e t h o d sw h i c hi n c l u d ee x t e n d e dt a n h m e t h o d ，s o m en e ws o l i t a r ys o l u t i o n st ot h ed b m a n dl o g d b me q u a t i o n ，s u c ha ss i n g u l a rs o l i t a r ys o l u t i o n s ，d o u b l es i n g u l a rp e a k o n s o l i t a r yw a v es o l u t i o n s ，d o u b l es o l i t a r yw a v e s o l u t i o nw i t hp e a k o na n ds i n g u l a rp e r i o d i c s o l i t a r yw a v es o l u t i o n sa r eo b t a i n e d w i t ht h ea i do fa na u x i l i t a r yf u n c t i o nc o m b i n e d w i t ht h ee l l i p t i ci n t e g r a lo ft h ef i r s tk i n d ，p e r i o d i cs o l i t a r ys o l u t i o n ，s i n g u l a ra n d p e r i o d i cs i n g u l a rs o l i t a r ys o l u t i o n sc a n b eo b t a i n e d i n c h a p t e r 3 ，w es t u d yt h ez a k h a r o v k u z n e t s o v m o d i f i e de q u a l - w i d t h ( z k - m e w ) e q u a t i o nb ye m p l o y i n gt h ee x t e n d e dj a c o b ie l l i p t i c f u n c t i o ne x p a n s i o n i n e t h o da n do b t a i ns o m en e ws o l u t i o n so fj a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o nt y p eo ft h ez k - m e w e q u a t i o n ；s e c o n d l y ，u s i n gs n - c nm e t h o d ，w es t u d ym ( m ，n ，i ) e q u a t i o na n do b t a i n e d s o m en e we x a c ts o l u t i o n sw h e nk = s = 3 ，e s p e c i a l l yo b t a i n e da b u n d a n ds o l i t a r ys o l u t i o n s a n dt r i g o n o m e t r i cf u n c t i o ns o l u t i o n sw h e nm 专0 a n dmj 1 ； i nc h a p t e r4 ，p a i n l e v es i n g u l a ra n a l y s i sw a sa p p l i e dt on o n l i n e a rp d e w i t hv a r i a b l e c o e f f i c i e n t s a sa ne x a m p l e ，p a i n l e v es i n g u l a ra n a l y s i si sd i s c u s s e df o rb u r g e re q u a t i o n 江苏大学博士学位论文：若干非线性波方程的构造性求解研究 w i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t sa n dd a m p i n g ，o b t a i n e dt h eb a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o na n ds o m e n e ws o l t a r ys o l u t i o n s t h eh o m o g e n o u sb a l a n c ef f l b ) m e t h o di su s e dt oo b t a i nt h eb a c k l u n d t r a n s f o r m a t i o n a n ds o m ef l e ws o l i t a r ys o l u t i o n so fl o g - d b m ，i n c l u d ep e a k o ns o l u t i o n s ，a r eg i v e n b yt h et r a n s f o r m a t i o n u s i n gan e wt r a n s f o r m a t i o n ，t h ec o m p a c t o n l i k ea n ds o l i t a r yp a t t e r n s - l i k e s o l u t i o n so fl o g d b me q u a t i o na r eo b t a i n e d i nc h a p t e r5 ，l i eg r o u pa n a l y s i sm e t h o dw a sa p p l i e dt on o n l i n e a rp d ew i t h v a r i a b l ec o e f f i c i e n t s u s i n gt h i sm e t h o d ，w ed i s c u s s e df o rg e n e r a l i z e db u r g e re q u a t i o n w i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t sa n dl i n e a rd a n p i n g ，o b t a i n e di t ss y m m e t r yg r o u p ，s i m l i a r r e d u c e de q u a t i o n s ，i n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o ra n dl i ea l g e b r a s ； i nc h a p t e r6 ，u s i n gt h ee x p f u n c t i o nm e t h o d ，t h eg e n e r a l i z e ds o l u t i o n so fc o m b i n e d k d v - m k d v e q u a t i o nw i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t sa r ed i s c u s s e d t h em a n ye x a c ts o l u t i o n s a n dc o m p a c t - l i k es o l u t i o n su c ha s ，t r i g o n o m e t r i cf u n c t i o n ，s o l i t a r yp a t t e r ns o l u t i o n s ， s o l i t a r yw a v es o l u t i o n sa r eg i v e nb yt h ea u x i l i a r ye q u a t i o nm e t h o d b yc o m p a r e dw i t h o t h e rm e t h o d ，t h i sm e t h o dh a st h em e r i t so fs h o r tc o m p u t a t i o na n da b u n d a n tr e s u l t s ， w h i c hc a l lb ea p p l i e dt os o l v e o t h e re q u a t i o n s 研mv a r i a b l ec o e f f i c i e n t s i nc h a p t e r7 ，t h es u m m a r ya n de x p e c t a t i o na r e g i v e n k e yw o r d s ：n o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n ；s o l v i n gm e t h o do fc o n s t r u c t i o n ；s i n g u l a r s o l i t a r ys o l u t i o n s ；j a c o b ie l l i p t i c f u n c t i o n e x p a n s i o nm e t h o d ； p a i n l e v es i n g u l a ra n a l y s i s ；b a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ；l i eg r o u pa n a l y s i s m e t h o d ；e x p f u n c t i o nm e t h o d i v 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密口。 学位论文作者签名： 川年r 月；o 日 强砩屯指导教师签名： 妇之专 刎年于j 哪c , e t 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 了长砩阮 日期：压即年，月；c ) 日 i 第一章绪论 第一章绪论 当今现代科学技术的迅猛发展正冲击着人们对世界的认识。人们深刻地认识 到我们在科学研究和工程技术中所遇到的众多问题不是简单的“线性组合”，用传 统的线性理论和方法难以得到真实结果。这些问题的一个重要特征是“非线性” 性。非线性科学是近三十年来在综合各门以非线性为特征的科学研究基础上逐步 形成的、其目的为揭示非线性系统的共同特征和运动规律的一门跨学科的综合性 科学。非线性科学是继量子力学、相对论之后2 0 世纪自然科学的重大发现，是数 学、物理、力学、计算机科学等多学科相互交叉、渗透而产生的边缘学科。如今， 非线性科学覆盖了自然科学与社会科学的几乎所有研究领域，已成为当代科学研 究中重要的前沿领域和焦点1 1 。 在非线性科学中，非线性波方程的研究非常活跃，特别是孤立子理论，它被认 为是推动非线性科学发展的重要理论之一，在自然科学的各个领域起着非常重要 的作用。如今，孤立子理论不仅在流体力学、固体物理、等离子体物理、生物物 理、核物理、基本粒子物理、凝聚态物理、激光、低温超导和超物理流等物理学 的各个分支及数学、生物学、化学、通信等自然科学领域得到了广泛应用，而且 极大地促进了一些传统数学理论的发展，并为北线性偏微分方程提供了求显式解 的方法。此外描述这些数学模型的非线性波方程本身还蕴涵着许多丰富的未被发 现的复杂而奇妙的现象，因而非线性波方程的研究受到了物理学家和数学家的充 分重视2 1 。 本文从应用数学角度出发，利用构造性理论并结合定量、定性分析，研究了 具有广泛应用背景的非线性波动方程及其孤立波的一些重要性质。下面将概述非 线性波方程及孤立波的研究背景、研究现状和发展前景及本文的研究内容和意义。 1 1 研究背景 历史上对孤立波的最早报道可以追述n 1 8 3 4 年。那年一次偶然的机会，英国 科学家、造船工程师罗素( j o l l i ls c o t tr u 豁e 1 1 ) 在从爱丁堡到格拉斯哥的运河河道上 看到两匹马拉着一只船迅速前进。当船突然停止时，被船所推动的一大团水却不 江苏大学博士学位论文：若干非线性波方程的构造性求解研究 停止，它以很快的速度向前滚动着，高度约为0 3 0 5 米，长约1 0 米。罗素骑马沿 运河跟踪这个水包时发现，它的大小、形状和速度变化很慢，直到1 2 英里后，才 在河道上渐渐地消失。罗素马上意识到，他所发现的这个水包决不是普通的水波。 普通水波由水面的振动形成，振动沿水平面上下进行，水波的一半高于水面，另 半低于水面，并且由于能量的衰减会很快消失。他所看到的这个水包却完全在 水面上，能量的哀减也非常缓慢( 若水无阻力，则不会衰减并消失) 。1 8 4 4 年，罗素 在他论波动的报告中，讲述了他1 8 3 4 年观察到的一种奇特的水波现象，认为 这种孤立的波动是流体力学方程的一个稳定解，并称之为孤立波，也叫孤波。但 没有从理论上给孤立波以圆满的解释。罗素的学说当时未能使物理学家们信服他 的论断，在此以后有关孤立波的问题引起了广泛的争论3 1 。 1 8 9 5 年，k o r t e w e g 幂l d ev r i e s 根据流体力学知识研究了浅水波的运动，在长波 近似和小振幅的假定下，求得了单向运动的浅水波运动方程，即著名的k d v 方程。 同时，还得到这一方程的行波解，它属于周期性椭圆函数，所以称为椭圆余弦波 ( c n o i d a lw a v e ) ，在波长趋于无限的情况下，它描述罗素所发现的孤波的运动，而且 燃s e c h 2 f 4 1 。 1 9 5 5 年，物理学家f e r m i ，p a s t a 和u l a m 提出了著名的f p u 问题，即用计算机计 算一维非线性晶格在各个震动模之间的转换，发现在足够长的时间后能量不是均 衡分布而是又回到了初始的分布，得出了与能量均分定理相悖的f p u 回归定理。由 于f p u 问题是在频域里考察的，因此未能发现孤立波。后来t o d a 研究了这种模式的 非线性振动，得到了孤立波，使f p u 问题得到圆满解答，从而激发了对孤立波研究 的兴趣。【5 】 1 9 6 5 年，美国普林斯顿( p r i n c e t o n ) 大学的应用数学教授k r u s k a l 干i z a b u s k y 把 k d v 方程用于等离子体波的研究时，借助于计算机通过对k d v 方程的数值研究，详 细考察了等离子体中孤立的相互碰撞的过程，证实了“这类孤立波在相互作用后 波形不变，仍能保持各自的波形和波速”的论断，这一特性使人们联想质点粒子 和波粒象性等熟悉的现象，由于只有粒子的碰撞才会有类似的情形出现，于是 将这种波定名为孤立子( s o l i t o n ) 。它的性质具体为：( 1 ) 能量比较集中；( 2 ) 相互碰 撞时具有弹性散射现象。在这之后，科学家们对孤立子的研究兴趣和热情日益高 涨，在很多学科领域都发现了孤立子运动形态。相应地，在数学上发现了一大批 2 第一章绪论 具有孤立子解的非线性波动方程，而且己逐渐建立起较系统的研究孤立子的数学 物理方法。随着孤立子理论的不断发展，在流体、固体物理、激光、电气工程、 等离子体、生物学、社会经济方程等领域相继发现了孤立子的存在【6 】。 目前对“孤立子”一词并没有准确的定义，多数作者称波形分布在有限的空 间范围内，胃具有弹性碰撞性质，即碰撞后保持原有的速度和波形的孤立波为孤 立子。而对呈非弹性碰撞的一类波，仍称为孤立波。还有的作者称k d v 方程和其 它类似方程的单孤立波解为孤立波，多孤立波解为孤立子。也有作者认为，孤立 波和孤立子两词沿用至今，已无严格的区别。 1 2 研究进展 非线性现象普遍存在于数学、物理、工程技术等领域中。这些现象的定量描 述往往需要借助非线性方程( 组) ，尤其是非线性偏微分方程。 众所周知对方程的研究可分为三个方面的内容，一是在难以求解的情况下，依 据问题的物理背景结合基础数学知识对解的适定性分析研究( 定性研究) ；二是 借助于计算数学的理论和计算机对解进行数值模拟和分析，以助于人们对客观规 律的直观理解和研究( 数值模拟) ；三是应用某些数学技巧，构造适当的变换求出 方程的精确解( 定量研究) 。在这些研究中，若能给出方程的精确表达式，这对 方程的研究无疑是一件重要而有意义的工作。在非线性方程的研究中更是如此。 由于非线性系统的复杂性，人们更希望得到非线性方程解的精确表达式，因而在 非线性方程的研究中，求解的精确表达式( 即显式解) 一直是一项非常有意义的 热点工作。 从1 9 6 5 年至今，孤立子理论研究蓬勃发展，吸引了各国学术界的重视，国内 外学者从不同角度对孤立子理论进行了系统的研究，获得了丰富的成果。1 9 6 7 年， c s g a r d n e r ，j m g r e e n e ，m d 1 ；汛s k a l 和r m m i u r a ( 简称g g k m ) 提出了逆散射 方法【7 】，也称为非线性f o u r i e r 分析，它解决了一大类孤子方程的求解问题。逆散射 方法的提出是应用数学的一次重人突破，它不仅为应用数学开拓了一个新领域， 而且也为孤子物理学的研究提供了数学工具。逆散射方法解决了k d v 方程的求解 问题。随后pd l a x 8 t - 1 9 6 8 年通过引入l a x 对，将孤子方程的求解问题和求l a x 3 江苏大学博士学位论文：若干非线性波方程的构造性求解研究 对的问题联系起来，从而使逆散射方法的数学形式表述得更为简洁。此后几年， 逆散射方法被推广应用于其它孤子方程的求解。1 9 7 1 年，广出( h i r o t a ) 引入了一种 获得孤子解的直接方法_ h i r o t a 双线性函数方法，用于构造许多方程的多孤子解 和b a c k l u n d 变换f 9 1 。该法通过引入位势的适当变换，将孤子方程化为双线性形式， 然后利用扰动法来获得孤子方程的多孤子解。1 9 7 2 年，前苏联的z a k h a r o v 幂i s h a b a t 1 0 找到了非线性薛定谔方程的l a x 对，首次求出了立方非线性s c h r o d i n g e r 方程的孤立子解，首次用实例证明了反散射方法的一般性。同年，m w a d a t i 1 1 1 求得m k d v 方程的精确解。1 9 7 3 年，m j a b l o w i t z ，d j k a u p ，a c n e w e l l 和 h s e g u r ( a l ( n s ) 将逆散射方法用于s i n e g o r d o n 方程，求得其精确解。逆散射方法的 提出和推广，解决了一些重要的非线性方程的求解问题，极大地推动了孤立子理 论的研究。随后a k n s 于1 9 7 4 年将逆散射方法普遍化，使之能用于其它演化方程， 学术界称之为a k n s 法1 1 2 1 。1 9 7 8 年，a b l o w i t z ，s e g u r 和r a m a n f s 发现：对于可以 用反散射方法求解的非线性演化方程来说，其相似约化的所有常微分方程都有 p a i l l l e v e 性质，因此他们给出一个猜测_ p a i l l l e v e 猜测：一个完全可积的偏微分方 程的每一个相似约化的常微分方程具有p a i n l e v e 型，或者约化的o d e 经过变量变换 之后具有p a i n l e v e 型【2 1 。这个猜测提供了证明一个p d e 是否完全可积的必要条件。 1 9 8 3 年，j w e i s s ，m t a b o r 和g c a m e v a l e 引入t p d e 的p a i n l e v e 性质( 或称p a i n l e v e p d e 检验1 的概念，并且提出了一个与a b l o w i t z 用于判定o d e 的p a i n l e v e 性质类似的 算法，利用p d e 的p a i n l e v ep d e 检验可导出l a x 对着l b a c k l u n d 变换。1 9 8 4 年w e i s s 又 推广了p a i n l e v ep d e 检验的使用范围，引入条件p a i n l e v e 性质的概念。 我国的李翊神教授 1 3 1 、屠规彰教授1 4 1 等，都为反散射方法的发展作出了一 系列的重要工作。另外，人们也把可用反散射方法变换求解的非线性演化方程称 做是i s t 可积。在我国，孤立子理论的研究开始于2 0 世纪7 0 年代。当时杨振宁、李 政道、陈省身教授等回国讲学时，向国内同行介绍孤子理论的研究进展，并指出 它的重要性。随后在中国科学院和国内部分高等学校相继开展了这方面的研究工 作。在这领域，我国的谷超豪院士、李翊神教授、楼森岳教授、胡星标教授、刘 青平教授、周子翔教授、范恩贵教授、周汝光教授、程艺教授、田畴教授等在这 方面都有研究。1 9 9 6 年，王明亮教授、李志斌教授提出了所谓的齐次平衡法1 5 1 ， 也称直接代数法，成功地求解了大批非线性演化方程。1 9 9 8 年范恩贵、张鸿庆 1 6 1 4 第一章绪论 对这一方法进行了推广，不仅得到了更多类型的精确解，也找到了给出b a c k l u n d 变换的另外一种途径。y a n 等 1 7 1 8 ：乖l j 用该方法推广了s i n e c o s i n e 法、t a n h 函数法 和椭圆函数法等，获得了的更丰富的精确解的形式。 能够精确求解的非线性偏微分方程毕竟是少数，为了研究方程本身所蕴含的 丰富特征，人们不得不采取近似求解的方法。1 9 8 9 年，a d o m i a nf 1 9 1 利用逆算符方 法( 即a d o m i a n 分解法) 解决了线性和非线性函数方程。同年，c h e r r u a u l t 2 0 研 究了逆算符方法的收敛性。1 9 9 2 年，廖世俊等 2 1 1 把同伦分析法应用于波方程的近 似求解中，提出同伦分析法。1 9 9 5 年，g u e l l a l 和c h e r m a u l t 2 2 1 币1 用逆算符方法解 决了带辅助条件的椭圆边界问题。1 9 9 7 年，g u e l l a l 2 3 利用逆算符方法研究物理学 中的微分方程，并且把此种方法和r u n g e k u t t a 方法作了比较。1 9 9 7 年，何吉欢 2 4 1 提出了一种比逆算符方法更简单，收敛速度更快的方法求解微分方程，即变分迭 代方法。近年来，变分迭代方法已经被成功的应用到很多方程 2 5 2 9 1 。 1 3 研究方法介绍 寻找非线性波方程的显式解( 特别是孤立波解) 是一项重要而且复杂的工作， 经数学家和物理学家的努力，已构造了许多求解方法，如反散射方法、h i r o t a 双线 性方法、d a r b o u x 变换法、b a c k l u n d 变换法、相似约化法、p a i n l e v e 截尾展开法、 t a n h 函数法等；并且新方法不断出现。一般而言，由于非线性的复杂性和不确定 性，直接寻找非线性波方程的显式解是比较困难的，往往先要把非线性波方程变 换或约化为简单的方程。下面简单介绍与本文相关的儿个研究方法。 1 3 1 直接代数法 近年来，随着计算机的发展和代数运算软件女h m a p l e 、m a t h e m a t i c a 的出现，直 接构造非线性方程的解越来越受到人们的重视，使复杂、冗长的代数运算直接在 计算机上完成，不但过去一些难以求解的方程得到了解决，而且不断发现许多有 重要物理意义的非线性波动方程的新解。 1 9 9 6 年，王明亮教授、李志斌教授提出了齐次平衡法，成功地求解了大批非 线性方程 3 0 1 。1 9 9 8 年范恩贵、张鸿庆对这一方法进行了推广，不仅得到了更多类 型的精确解，也找到了给出b a c l 【l u i l d 变换的另外一种途径3 1 1 。受此方法的启发， 5 江苏大学博士学位论文：若干非线性波方程的构造性求解研究 不少学者给出了许多求解非线性偏微分方程的精确解的方法，j t n s i n e c o s i n e 3 2 法、 拟设法【3 3 】、t a n h 函数法【3 4 】、改进的t a n h 函数法【3 5 】、双曲函数法【3 6 】、椭圆函数 法1 3 7 1 、r i c c a t i 方程法 3 8 1 等等。这些方法都是把要研究的非线性偏微分方程通过 行波变换，转化为常微分方程，然后应用齐次平衡法，平衡方程中的最高阶导数 项和最高阶非线性项，得到平衡常数，从而得到方程解的表达形式。代入到常微 分方程中，令每一项的系数为零，通过数学软件的计算，最终得到各参数的值， 应用此方法可以获得非线性偏微分方程的丰富的精确解的形式。这种方法把求解 的非线性偏微分方程转化为常微分方程，把繁琐的计算用数学软件来完成，发现 了很多新型的孤立波。随着计算机技术的进步，这种研究方法得到了飞跃的发展， 成为当前求解非线性偏微分方程精确解的热门研究方法f 3 9 1 。 1 3 2p ainle v e 可积性 给定一个非线性波动方程，是否可用反散射方法求解是孤立子理论中的一个 基本而尚未解决的问题。我们知道，用反散射法求解方程的初值问题的前提是寻 找该方法的l a x 对，但拥有l a x 对的方程不一定可用反散射法求解。r | 九世纪末 p a i n l e v e 等在研究常微分方程时引入了p a i n l e v e 性质的概念，二十世纪七十年代末 a b l o w i t z * i s e g u r 等发现了完全可积方程与p a i n l e v e 性质之间有密切的联系，他们给 出了一个猜想( a r s 猜测1 ：一个非线性偏微分方程是反散射可解的，仅当用精确约 化方法得到的每一个常微分方程都具有p a i n l e v e 性质，那么称这个非线性偏微分方 程是p a i n l e v e 可积的。这种猜测提供了一个证明偏微分方程是否完全可积的必要条 件【4 0 】。 1 9 8 3 年，w e i s s ，t a b r o r 和c a m e v a l e 4 1 1 引入了偏微分方程p a i n l e v e 性质的概念， 并且提出了一个类似于常微分方程的p a i n l e v e 性质的算法。利用偏微分方程的 p a i n l e v e 性质可以导出l a x 对矛l l b a c k l u n d 变换。1 9 8 4 年，w e i s s 4 2 为了扩大p a i n l e v e 性质的适用范围，引进了条件p a i n l e v e 性质的概念。1 9 9 2 年，曾云波 4 3 1 改进了 p a i n l e v e 截断展开方法，推导出t o d a 方程的b a c k l u n d 变换，给出了从已知的具有 p a i n l e v e 性质的方程出发去构造具有p a i n l e v e 性质的方程族的一般方法。 判定非线性方程的可积性是许多科学家感兴趣的课题之一。可积方程尚无确 切的定义，但现在普遍的看法是，一个完全可积方程通常具有如下性质：反散射 6 第一章绪论 方法可解；拥有无穷多对称与守恒律；具有l a x 对表示；可以约化为完全可积的 h a m i l t o n 方程。可积方程具有许多好的性质：无穷多守恒律和无穷多对称、双哈密 顿结构、b a c k l u n d 变换、d a r b o u x 变换、非线性叠加原理以及双线性形式等。因此 证明非线性波动方程的可积性，对于研究方程的性质，求解方程的孤立波具有重 要的意义4 4 1 。 1 3 3lie 群与对称约化 对称性研究在物理学各个领域都起着越来越重要的作用。1 9 世纪后期，s o p h u s l i e 为了统一和拓展引进了李群，使比较难以处理的微分方程( 尤其是常微分方程) 的求解方法得到了统一和扩充。l i e 对常微分方程做了系统而全面论述，包括积分 因子、积分方程、齐次方程、线性方程的阶次约化、待定系数和参数变易法、e u l e r 方程的解及l a p l a c e 变换的应用等。对于偏微分方程，他指出线性偏微分方程在李 群作用下的不变性，及通过变换直接导出解的叠加，同时建立了热传导方程的局 部变换群，开创了李群理论在偏微分方程中的应用。1 9 0 5 年，法国数学家p i n c a r e 首次证明l o r e n t z 变换构成m a x w e l l 方程的对称群，也就是说m a x w e l l 方程在这个变 换下保持不变，开创了李群研究的新局面。1 9 6 9 年，b l u m a n 和c o l e 推广了l i e 群方 法，提出非经典李群方法( 即条件对称，或第一型的对称) 。1 9 7 7 年，o l v e r 证明 了如何利用递推算子来产生偏微分方程的无穷多个对称。1 9 8 0 年，o l v e r 又发现k d v 方程存在以方程的解，及自变量( 毛f ) 组合成的两个对称。1 9 8 1 1 9 8 2 年，f o k e s ， f u c h s s t e i n e r 和c h e n 等人分别利用不动点方程得到了k d v 方程更多新的对称和李代 数结构，李群的研究进入了新的发展时期，特别是运用到了非线性偏微分方程， 用来给m 非线性偏微分方程的对称和严格解。建立在群论基础上的李群法已经构 成了一个比较完整的理论，且早已有了非常优秀的相关方面的专著 4 5 4 7 1 ，系统 介绍如何用经典和非经典李群法求解非线性偏微分系统的对称、条件对称、势对 称、l i e b a c k l u n d 对称以及对称构成的点李群和非点李群、严格解、无穷多守恒律 等等。此外，国内的李翊神教授、田畴教授等人系统地研究了很多非线性波动方 程的对称、强对称、遗传对称及其李代数结构 4 8 4 9 1 ，获得了一系列重要研究成 果。楼森岳教授在九十年代初首次提出了求强对称算子逆算子的因式化方法和形 式级数对称理论 5 0 5 2 】，可以比较方便地获得强对称算子的逆算子的表达式和包 7 江苏大学博士学位论文：若干非线性波方程的构造性求解研究 含任意函数的广义对称及其构成的k a c - m o o d y v i r a s o r o 型代数和广义m 代数结构 5 3 5 5 1 。在李群法被成功地用来寻找非线性系统的对称和严格解的时候，1 9 8 9 年 c l a r k s o n $ l l k r u s k a l 提出了约化偏微分方程的直接法，称之为c k 直接法 5 6 。这个方 法完全是代数的，没有用到任何群论的知识，但是同样可以得到非线性系统的对 称，特别是高维非线性系统的低维约化。一般情况下，c k 直接法得到的结果要比 经典李群法得到的结果多，这多出来的结果需要用非经典李群法才能得到。这两 大类方法之间存在着密切的联系。因此，用李群法和c k 直接法可以直接完成非线 性耦合系统、高维系统的对称性约化 5 7 。 1 4 本文的研究意义 求解( 包括数值解和精确解) 一直是方程研究中的重要课题。人们为更准确 的揭示物质运动规律和变化性质，就需要寻求其对应方程的精确解。由于非线性 波方程广泛来源于流体力学、等离子物理、经典场论、凝聚态、生物学、非线性 光学等学科，为更准确地刻划这些学科内在的运动规律，非线性波动方程精确解 的研究就显得尤为重要。精确解的获得不仅使问题可定量研究，而且为近似计算、 定性理论分析等现实问题提供必备的基础。例如，在浅水波系统中，非线性方程 的精确解对人们认识海啸、潮汐、涌浪等自然现象有直接指导作用 5 8 5 9 1 。 众多科学领域中都存在着孤立