（应用数学专业论文）几类微分方程模型的定性分析.pdf

摘要 本文主要运用微分方程稳定性理论和定性理论的方法，研究了自 治和非自治情况下的几个微分方程模型，得到了它们的定性行为第 二章中讨论了一类稀疏效应下食饵一捕食系统，分析了此系统在第 象限内轨线的拓扑结构，给出了生态学解释，并在一定条件下证明了： 如果此系统的正平衡点稳定，则该正平衡点是全局渐近稳定的，从而 不存在极限环；第三章中研究了生化反应中一类非线性微分动力系 统，得到了该系统存在惟一极限环的充要条件，并讨论了极限环随参 数变化的情况；第四章中讨论了具有推广了的h 0 1 l i n g 功能反应函数， 且种群之间既有捕食关系又有竞争关系的三种群混合模型，得到了系 统惟一存在全局渐近稳定正周期解及正概周期解的条件。 关键词 极限环；全局渐近稳定；h o p f 分支；周期解 a b s t r a c t i nt h i sp a p e f ， b yu s i n gt h es t a b i l i t y t h e o r i e sa n dt h e q u a l i t a t i v e t h e o r i e so fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，s e v e m ld i f f b r e n t i a l e q u a t i o n n 】o d e l su n d e rt h ea u t o n o m o u sa n dn o n a u t o n o m o u sw e r es m d i e d q u a l i t a t i v e b e h a v i o ro ft r a j e c t o r i e sw a so b t a i n e d ；i n c h a p t e rt w o ， a q u a l i t a t i v eb e h a v i o ro fp r e y - p r e d a t o rs y s t c mw i t hs p a r s s i n ge f ! i b c tw a s s t u dy t h et o p o l o g i c a ls 仃u c t u r eo ft h et r a j e c t o r i e so ft h i ss y s t e mi nf i r s t q u a d r a mw a sa n a l y s e d a tt h es a m e 血n e ，s o m eb i o l o g i c a li l l u s t r a t i o n s w e r ea l s o g i v e n 7 i h eg l o b a u ya s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yo ft h ep o s i t i v e e q u i l i b r i u mp o i n to ft h i ss y s t e mw a sp r o v e di fi tw a ss t a b l eu n d e rs o m e c e r t a i nc o n d i t i o n s ，s o ，t h i ss y s t e mh a dn o t l i m i tc y c l e sa ta l l ；i nc h 叩t e r t h r e e ，t h eq u a l i t a t i v eb e h a v i o ro ft h es o l u t i o no fan o i l l i n e a rd i f f e r e n t i a l d y n a m i c a ls y s t e mo nb i o c h e m i c a lr e a c t i o nw a ss t u d i e d t h en e c e s s a r y a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h el i m i t c y c l e si nt h i ss y s t e mw a sc o m p l e t e l ys o l v e d ，a n dm e nt h ev a r i a n c eo f l i m i tc y c l ea st h ec h a n g i n go fp a r a m e t e rw a sd i s c i l s s e d i nc h a p t e rf o u r ， t h em i x e dm o d e lw i t hp r e d a t o r i n e s sa n dc o m p e t i t i o no ft h r e es p e c i e sw a s d i s c u s s e d ，i nw h i c hp f e d a t o rh a dh o l l i n g 胁c t i o n a lr e s p o n s e i tw a s p f o v e dt h a tt h es y s t e mh a de x a c t l yo n ep o s i t i v eg l o b a u ya s y i l l p t o t i c a l s t a b i l i t yp e f i o d i cs o l u t i o na n da l m o s tp e r i o d i es o l u t i o n k e yw o r d s l i m i tc y c l e ；g l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l e ；h o p f b i f i l r c a t i o n ； p e r i o d i cs 0 1 u t i o n 1 t 西北大学学位论文知识产权声明书 y 8 9 3 9 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读 学位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被查阅和 借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同 时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作 者单位为西北大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：蠡堑i 缝：指导教师签名：耋叠里二 6 6 年易月y 日夕帅年苦月吕日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西 北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的 同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位论文作者签名：希象7 杞 口 年6 只8 日 第一章绪论 1 1 研究对象及模型建立 近年来，人们在生物数学方面的研究工作有了很大的发展，通过生物数学模 型和数学推理方法，解释生物发展规律，发现新的生物学现象，其中微分方程模 型是生态学中一类十分重要的模型，相应地，常微分方程定性和稳定性理论在这 一领域就有着更为广泛的用途。人们往往通过求解描述现象的微分方程或确定它 的解的性状，来解释自然现象或社会现象。 本篇论文主要利用微分方程定性理论和稳定性理论，研究了生态系统中的两 类食饵一捕食模型和生化反应系统中的一类生化模型，得到了一些有价值的结果， 模型的建立及研究背景具体如下面所述。 基于所讨论的数学模型的实际意义，我们总在区域g - ，_ ，舡= o ，y o 内 进行讨论。 1 1 1 一类具稀疏效应的食饵一捕食模型 模型背景及建立 生态系统中食饵和捕食者的生存状况是一个十分重要的问题，它直接影响着 整个生态系统的稳定性。如果两种群的数量很大，这时食饵种群的出生率可以看 成一个常数，但如果考虑密度制约因素，食饵种群的增长率和出生率一般都变成 了该种群密度的函数，受种群密度的影响而改变，以此来反映带有稀疏效应的食 饵种群的增长情况，这样的系统更加符合实际意义。关于稀疏效应下生态系统的 稳定性，早在1 9 8 7 年最先由k u n o 在文献【1 】中提出，随后国内外已有大量文献 进行了讨论( 参见文献【2 】- 【5 】) 。 文献【6 】和文献【7 】分别讨论了稀疏效应下的食饵一捕食模型 p 一缸2 一工) 一奶， t 杪。砂+ ( 肛一桫) _ ) ， 其中z ，y 分别表示食饵与捕食者两种群的密度，6 ，c ，卢，y ，七均为具有一定的生态意 义的正参数。通过变换石= 丢z ，y = 三m ，出= 三出，为方便起见，变换后仍用x ，) ，f 记x l ，) ，1 ，f ，可得 簧 矿”舻 = = k陟 其中铲o ，口：= 争吣t = 吣：鸬相互独立变化 文献【6 】曾给出了当4 ，c 口：c 4 。时，此系统( i ) 在g 内存在惟一正平衡点 s o ，y + ) ，并对有限远平衡点的性态和极限环的存在惟一性进行了分析。 文献【7 】随后又给出了系统( i ) 存在惟一极限环的充要条件，并提出了“如果系 统( i ) 的惟一正平衡点稳定，则此系统一定不存在极限环”的猜想。 主要成果 对文献【6 】判定正平衡点为不稳定的条件进行了改进，获得了更加便于操作 的条件；运用李雅普诺夫第二方法，在一定条件下证明了文献【7 】中关于系统( i ) “如果此系统的惟一f 平衡点稳定，则该系统一定不存在极限环”的猜想，并 进行了相图分析及生态学解释，完整地研究了系统( i ) 的全局性态。 本部分的主要内容已在西北大学学报自然科学网络版2 0 0 5 年第2 期发表。 该部分内容分布在论文的第二章中。 1 1 2 生化反应中的一类微分方程模型 模型背景及建立 和力学、物理学、生态学等一样，在化学反应系统不但可以有平衡状态，也 可以观察到周期性的化学振荡现象著名的贝洛索夫查波丁斯基反应( 参见文献 【9 】) 就是一个例子。生物化学振荡的研究与认识生物系统中丰富的周期性现象 ( 如新陈代谢、生物钟、呼吸和循环系统的活动等) 的本质有密切的关系( 参见 文献【1 0 一18 】) 。 文献【1 9 】考虑了三分予模型j = 月一戤+ 工2 ) ，一缸2 ，岁= m 一工2 y ，解决了极限 环的存在惟一性和全局稳定性问题。文献【2 0 】对文献【1 9 】进行了推广，讨论了形 如量= 矿) ，一h “一删+ c ，岁- r y + k 的生化反应系统，也解决了极限环的存在惟 一性问题。 文献【2 1 】则研究了一类可逆三分子模型 戈= 4 一p + 1 沁+ 茗2 y x 3 ，夕；m z2 y + z 3 的定性行为，解决了该系统极限环的 不存在性和存在惟一性问题。 本文在文献 2 1 】的基础上建立了另一类更为广泛的生化反应模型 一 出 一 m 桫 协 一 y 咖 掣 昌 暑 如一出妙一出 其中参数满足关系n 6 0 ，c o ，尼 o ，肌，以，l n 该系统当胧。”+ 1 时有着十分明显的生化意义，表示一类可逆多分子生化反 应，其反应过程可通过以下方程来描述： 4 _ x ，i 石+ y 0 + 1 ) x ，丑+ x 一y + d 主要成果 运用微分方程定性理论，对系统( i i ) 进行了深入地研究，得到了该系统存在惟 一极限环的充要条件，并分析了极限环随参数七的变化情况及当参数发生扰动时 分支出极限环的情形。 本部分的主要内容拟在西北大学学报自然科学版2 0 0 6 年第4 期发表。该部 分内容分布在本文的第三章中。 1 1 3 具功能反应的非自治三种群混合模型 模型背景及建立 食饵一捕食系统中存在各式各样的食饵对捕食者的功能性反应函数，其中最 为常见的就是h 0 1 l i n g i i 类和h 0 l l i n g i 类：番丢，嚣，许多文献对此已进行了 研究( 参见文献 2 3 2 4 等) ，近来文献 2 5 2 6 又研究了h o l l i n g 类功能反应函 数了竺苦，文献 2 7 则在自治情况下将h o l l i n g 功能反应函数推广到了更一般的 l + 耽“ 一 情形羔o ) ，得到了极限环的存在惟一性条件，由于i i o l l i n g 类功能性反 应函数的存在，所以将羔o ) 很有必要推广成更一般的形式 羔，n ，m 苫珂) ，文献 2 8 考虑了具有h o l l i n g i i 类功能反应函数羔 且周期系数的三种群混合模型。 本文旨在考虑具有一般的功能反应函数羔，l ，肌苫，1 ) 的三种群系 统持续性和周期解。 考虑非自治秦缩 汹q 盼枷一掰1 ， 】) = y 【6 t ( f ) 一e ：o p n ：( f ) y 一： 嚣；学】， ( ，- i ) 2 。z 卜屯o ) + 搿+ 帮一口，p 弦】 其中口，( f ) ，以( f ) ，f = 1 ，2 ，3 ，8 o ) ，t ，( f ) ，。j o ) ，d ，o ) ，= 1 ，2 为非负连续r 周期函数，而且 日。o ) ，眈o ) ，f = 1 ，2 ，3 ，c ，( f ) ，t 1 ，2 为严格正的，系统o i i ) 三种群间既有捕食关系又有 竞争关系，：种群以z 种群和y 种群为食饵，食饵种群间又存在资源竞争。 另一方面，概周期现象是以周期现象作为它的特例，是比周期现象更为广泛 的一类现象，在许多情况下，特别是考虑到季节的变化及种群的繁殖等诸多因素 的影响，一个更切合实际且更一般的食饵捕食模型应当是概周期的，因而概周期 系统具有较高的研究价值，受到了许多学者的普遍关注。 仍然考虑上面的三种群模型 抽m 一- 删y 一纂】， ) ) t y 【6 z ( f ) 一吃o ) z n ：o ) - ，一! ；嚣；孑】， ( i v ) j2 z 卜岛o ) + 警+ 群一a ，o ) z 】 其中4 。( f ) ，6 l o ) ，f - 1 ，2 ，3 ，。，o ) ，七，( f ) ，。，o ) ，d ，( f ) ，jz 1 ，2 为非负连续概周期函数， 而且8 ，( f ) ，p ) ，= 1 ，2 ，3 ，c ，o ) ，j 一1 ，2 为严格正的。 主要成果 运用李雅普诺夫第二方法，研究了具功能反应函数的周期和概周期系统，分 别得到了系统存在惟一正周期解和正概周期解的条件，将已有结论推广到了更一 般的情况。 本部分的主要内容已投寄到纯粹数学与应用数学上，正在审阅中，主要 在本文的第四章中讨论。 4 1 2 主要方法简介 1 2 1 微分方程定性理论 基本任务 大多数微分方程是无法通过“求积”来得到解的表达式，为了研究方程的解 轨线的分布情况，我们常用的方法是把方程的解视为某空间中的曲线( 轨线) ， 通过直接对方程右端函数的性质进行研究，从而获得轨线或解曲线的局部的或全 局的性态等主要问题，这就是微分方程定性理论的基本任务。 发展历程 在微分方程定性理论中，关于极限环的研究是一个既有趣而又困难的问题。 自从法国数学家h p o i n c a r 6l “j 在他的论文微分方程所定义的积分曲线 ( 1 8 8 1 1 8 8 6 ) 中发现极限环以后，它立刻就受到了这位数学家的特别重视。为 了决定一个已给的方程是否存在极限环，以及研究极限环的性质，他首先提出了 地形系法，后继函数法，小参数法和环域定理等重要的理论，与此同时，他也注 意到研究极限环与解决微分方程积分曲线族的全局结构问题之间的密切关系了。 1 9 0 1 年瑞典数学家i b e n d i x s o n 亦与前同样的题目发表了一篇重要的论文l “j ， 在这篇文章里他把环域定理的证明严格化，并且加以推广，成为大家所熟知的、 关于平面有界区域中动力系统轨线的极限集p o i n c a 拒b e n d i x s o n 理论。此外，他 又首先应用g r e c n 公式，在平面向量场的闭轨线与发散量之间建立了联系，得到 个确定闭轨线不存在的定理，这种联系后来被人们不断地发展和加深，得到发 散量沿闭轨线积分一周的数值与其稳定性之间的关系，发散量在鞍点的值与过鞍 点的奇闭轨线的内侧稳定性之间的关系，等等。同年，著名数学家d h i l b c n 在 国际数学会上提出了一系列数学难题l j “，其中一个是关于方程 咖q g ，y ) 一 出 只 ，_ y ) ( 只与q 。是次数不高于n 的实系数多项式，石，y 是实变量) 最多有几个极限环? 它们的相对位置如何? 1 9 2 3 年法国数学家h d u i a c 在文献【3 2 】证明该方程的极限 环的个数是有限的，随后，德国数学家m f r o m m e r 于1 9 3 4 年在文献3 3 1 中得到该 方程的中心点的充要条件 一2 ) ，在其它领域，1 9 2 6 年，va nd e rp o l 文献f 3 4 1 研究了三极管中等幅震荡方程中极限环的情形等等。 我国自1 9 5 7 年开始对该方程右方为二次多项式的方程的极限环问题进行了 深入而系统的研究( 参见文献【3 5 4 2 】) ，取得了一定的成果。近年来随着工业、 技术科学的发展，特别是二十世纪三十年代，这种理论在无线电技术科学中得到 了重要应用，紧接着又在自动控制理论、非线性振动理论等新兴科学中得到广泛 的应用，使微分方程定性理论得到了空前迅速的发展。h p 0 i n c a 话正是环绕三体 问题，研究了相空间( 相平面) 、奇点和极限环等一系列的问题，讨论了常微分 方程定义的积分曲线的几何性状，创立了常微分方程定性理论。 微分方程定性理论主要研究系统轨线的分布状况、平面奇点、极限环和无穷 远奇点等主要问题。 1 2 2 微分方程稳定性理论 基本任务 常微分方程稳定性理论主要研究当系统受到各种持续的或偶然的干扰之后， 能否保持预定的运行状态，而不至于失控，摇摆不定。小到一个具体的控制系统， 大到一个社会系统、金融系统和生态系统，经常会承受各种干扰，这些干扰对系 统会构成多大的威胁，是我们十分关心的问题，因而具有极高的研究价值。 发展历程 常微分方程系统稳定性理论的出现，有着悠久的历史，早在1 7 世纪就出现 过托里斯利原理f r o r r i c e l l i ) ，即物体仅受重力作用，当重心位置最低时其平衡是 稳定的，反之是不稳定的，但在动力学方面，对应于稳定运动的严格的解的选择 原理却未建立。1 8 9 2 年，俄国数学力学家李雅普诺夫的博士论文i j “运动稳定 性的一般问题”才给出了运动稳定性严格、精确的数学定义和一般方法，从而奠 定了稳定性理论的基础，而在推广李雅普诺夫理论中起了重要作用的正、负极限 集的概念，至少追溯到1 8 9 7 年阿达玛( h a d a m a r d ) 的工作，他在文献4 4 1 中， 称极限集为“运动区域”，并且证明了它是不变集，1 9 1 2 年伯克霍夫( b i r l 【l l o f f ) 更详细地研究过极限集，并且从中指出当f o 。时，解趋于它的正极限集，伯克 霍夫在这篇论文中和他在1 9 2 4 年首次出版的书【4 5 】第七章里，为动力系统的一 般理论奠定了基础( 参见文献f 4 6 】，【4 7 】，【4 8 】) 。1 9 5 2 年，苏联著名数学家马 尔金的专著运动稳定性及1 9 5 5 年苏联著名控制论专家列托夫的专著非线 性调节系统的稳定性同时在序言中提到“现代自动调节理论，不论它以何种体 系出现，总是发轫于一个唯一牢固的基础李雅诺普夫运动稳定性学说”。 微分方程的稳定性理论不但是研究微分方程解的属性的一个重要分支，同时 在许多工程技术，特别在控制系统理论方面有着广泛应用。由于它的发展与实际 问题密切相结合，从早期的李雅普诺夫稳定性理论，到后来的大范围运动稳定性 理论和大系统的稳定性理论，发展都非常迅速，近十多年来，稳定性理论在人工 神经网络的理论和应用的研究中，扮演着十分重要的角色，利用动力系统的吸引 子和电子电路的实现来完成某些智能优化计算、联想记忆等等，因而稳定性理论 受到了越来越多的广泛关注。 本篇文章中主要应用了李雅普诺夫稳定性理论，下面对这一理论的主要部分 进行简单的介绍。 李雅普诺夫方法通常包含以下两种方法： 李雅普诺夫第一方法：归结为把一般解表示为某种级数的形式，所有这类方 法，统称为李雅普诺夫第一方法。 优缺点：第一方法在理论上是比较完整的，但把解表示成级数以及检验级数 的收敛性却是一个沉重的负担，因此这一方法在实用上有很大的局限性； 李雅普诺夫第二方法：归结为寻找具有某种特性的辅助函数y “，上1 ，所有这 类方法称为李雅普诺夫第二方法或直接方法。 优缺点：第二方法虽然减轻了求解的负担，但建立函数矿( f ，x ) ( 除某些个别 情形外) 一般却没有一个普遍的方法可循，从而引起了一系列需要解决的理论与 技术的问题，如关于函数y “，工) 的存在性问题以及它的构造方法问题等，但近二 三十年来，这一方法得到了很大的发展，成为研究稳定性问题的基本方法，是整 个稳定性理论的核心方法。 第二方法主要利用矿o ，x ) 与矿( f ，x ) ( 即函数p ( f ，x ) 通过微分方程组对f 的全导 数) 在符号上的某些相关性质来描述稳定性的。 在利用李雅普诺夫第二方法时，关键在于构造适当的矿函数，以满足相应的 定理的要求。除此之外，函数符号性质的判定也是一个很重要的问题，而且对于 非线性系统来说，一般的构造y 函数的方法是不存在的。 第二章一类具稀疏效应的食饵一捕食模型的全局性态 如前所述，本章主要研究微分方程模型 其忆= 争叩z ；争o 口l 一0 口：心相互独立变化。 ( 2 - 1 ) 2 1 基本引理 引理2 1 【7 】系统( 2 - 1 ) 存在唯一极限环的充要条件是此系统存在唯一正平衡点且 此点不稳定。 2 2 正平衡点分析 定理2 1 若堑鼍云蔓t n ，t n ：，则系统( 2 1 ) 在g 内的惟一正平衡点s 。+ ，y ) d 1 ，其中 d l - o ，y ) ix ，竺王一艽) o ，y ，毋c g ，且s o ，y ) 在g 上全局渐近稳定。 口。 证明 首先，验证s + ，y + ) d 1 。 出于工。一( 垒一。) ：h 。一生。篮互巫二! ! 口3口3口3 在定理的条件下口：2 + 知，( 2 口，一n ：) 0 ，即 口2 2 2 口1 4 2 + n 1 2 + 4 口l 3 口1 2 从而可得瓴瓦= i 于丽 口。， 故x 。一( 罢一z ) o s ，y + ) d l 一 其次，证明s o ，y + ) 在d 上全局渐近稳定。 够 矿”? 声o 1 i 几 = 暑 k陟， p 2 工( 吨x 2 + 口z z 一口，_ ) ，) = 尸o ，y ) 【_ ) ) 2 y ( 一1 + z y ) 。( ! ，y ) 记 f ( z ，y ) = ( 一口3 工2 + 口2 z 一口1 y ) g ，y ) = ( 一1 + x y ) 构造l i a p u n o v 函数 啉小f 半峥学叩= 半a 亭一j ；二竺室二掣叩； j = ：孚岍a - 学叩 易见 矿 ，y + ) 一o ，矿 ，y ) 0 0 石+ ，y y ) 而且磐f 等a 亭o 。，磐孚c h 7 * 或￥州；如- - + 。 詈g o ，y + ) f o ，y ) 一，o ，_ ) ，) g o ，) ，) = g 0 ，_ y + ) 旷0 ，y ) 一f 0 + ，y ) 】+ f ，y ) 【g 0 ，) ，+ ) 一g o ，y ) 】 ；o 一工+ ) 2 【口2 一口3 0 + z ) 卜口1 ( _ ) ，一y ) 2 当口2 一n 3 + 工) 0 时，即z 生一工+ 时， 可得孚。o 其中矿一o 集合上除s o + ，y + ) 外不含有整条轨线，由全局稳定性定理可 知，s o ，) ，+ ) 在d 1 上全局渐近稳定，即初值在d 1 上的轨线最终将趋于惟一正平衡 点s o + ，) ，) 。 最后，证明s o 。，y ) 在g 上也全局渐近稳定。 由上面第二步证明可知，系统( 2 1 ) 在d 。上不可能存在极限环；由于o ( o ，o ) 是 鞍点，在区域d ：= 6 ，破= o ，y mo c x t 詈一x ，y ，o ) 内的轨线不可能进入 d ( o ，o ) ，又因为系统( 2 - 1 ) 在d ：内不存在其它的正平衡点，所以在d ：内也不可能存 在极限环，初值在d ：上的轨线都将进入区域d 。，最终趋向于惟一正平衡点 s o ，y ) ；系统( 2 - 1 ) 也不可能存在与直线工鲁一x 相交的极限环，因为 z = 詈一茗+ 是区域d 1 和d ：的分界线，如果存在这样的极限环，假设它的绕行方向 是顺时针方向，那么该极限环进入区域d 。后又会离开该区域，这就与系统( 2 1 ) 的 轨线在d 。上全局渐近稳定相矛盾，故这样的极限环也不存在。 综上所述，s 0 ，) ，。) 在g 上全局渐近稳定。 定理2 2若4 ，c 鱼至咎，则系统( 2 1 ) 在g 内的惟一正平衡点 斗口 s ( x ，y ) d ：，其中d ：；6 d - ； ，y ) | 0 qc 詈一x + ，y ，o ) ，且s + ，y ) 不稳定。 证明当d ，t 兰竺 坐王- 时， 斗口。 则有工一芦一工) ：知一生：地生! 坠。o 。口1口33 故s o ，) ) d 2 。 构造l i a p u n o v 函数 他加j = ：半虮f 学叩，孚峥口，学卵 易见矿 ，y ) 为变号函数，而且 警k ；o x ) 2 【n ：一n ， + x ) 】+ q ( y y ) 2 ，o 其中o ，y ) d ：， 。，y m o c 石c 警一z + ，y ，o c g ， 根据l i a p u n o v 不稳定性定理，5 0 ，y ) 是不稳定的平衡点 附注 当条件n ，t 望号i 蔓成立时，正平衡点s o ，y ) 是不稳定的，这一条件 与文献【6 】中所给出的当正平衡点s 0 ，) ，) 存在时，判定该正平衡点为不稳定 的条件： 口： ( 2 口。一1 ) ( 1 一t 垒昔一) 相比较，前者 口2 一d 1 + 0 2 一口1 ) 2 + 铀l 口3 4 ，t 兰至警虽然包含于后者 珥口 口：t ( 2 口。一1 ) ( 1 一了垒亍一) 当中，但具有便于操作和实用性 口2 一口l + 、，( 口2 一n 1 ) 2 + 她1 口3 强的特点，易于判定正平衡点的不稳定性。 定理2 3 ( i ) 若警 口s o 。 口一口 以一口 由于妒( 0 ) 一0 ， 妒仞；器器 ：垒! 兰：! = 生塑= 翌! 垡l 兰：二竺坚二堕坚垒苎：! ：1 0 6 m 一照苎：2 ：主塑二! ! 也兰：2 ：! 堡= 尘竺! 亟兰：! = 一6 讧： ；三【虹生生竺一丝垡j ! 笠】 + 坐【虹塑! 一垃盟# 】 + 击妒七( m 扛”。1 怕( 1 叫) + 等】唼一n dx x x ， + 石巧【_ i i i ) ( 口一6 净+ 、工2 + 工4 五+ 上+ 7 当一矿c 工： n 一1 时，根据引理3 1 可知，上式右端第一项和第二项均大 于零。 又由条件( - ) “+ 七伽一n ) ( _ ) “+ dz 曲可知上式第三项的系数 口一d口一d 击妒七沏卅扛”4 彻( 1 叫) + 】 己二_ m 扫一口+ 口( 1 一n ) + 捍( 4 6 ) 】= o 从而上式右端第三项也大于或等于零，上式右端第四项显然也大于零，因而 妒0 ) o ，于是妒0 ) o ，即0 ) ，2 ( z ) ，根据文 8 1 的结论知系统( 3 1 ) 在 g = ，y ) k o ，y 0 ) 上无极限环。 定理3 5 当( ) “+ 尼咖一n ) ( ) “+ nt 柏时，系统( 3 1 ) 在奇点m o ，y ) 周 一d口一d 围存在惟一负定向的稳定极限环。 证 明( i ) 极限环的存在性。 当( 二：) “+ 七月) ( 二_ ) “+ 口柚时， 口一d口一d 由定理3 1 可知奇点m 0 4 ，y 4 ) 是不稳定的焦点或结点。 构造b e n d i x s o n 环域瓦i 否历。其中 砑为y 轴x = o 的一段，面为直线y ：h ( 日足够大) 的一段， 口c 为过点丑( ；，日) 且斜率为一1 的直线 8 一d 三一工+ _ ) ，一日一二_ = 0 上的一段，o c 为x 轴y ；o 的一段， 口一口 由于詈；工“y 一舡”一盯+ c ， 现讨论各条线段上轨线的走向 警j 面o 肛o ) ， 粤。一，y + 舡m + 如 出 7 詈面= 一m ”+ h “+ k c o ，( 日足够大) 钵t 軎+ 孙廿咖o ，南) ， 詈i 砣= 奴”+ 圾，。，。，o ) 图3 ，1 p o i l l r e - b e n d i s 衄环域图示 因此，在各条线段上，积分曲线穿过方向如图所示。根据p o i n c a r c b e n d i x s o n 环域 定理可知，在奇点m 仁+ ，_ ) ，+ ) 的周围至少存在个极限环。再由图3 1 中的向量场 可知，该极限环是负定向的。存在性得证。 ( i i ) 极限环的惟一性。 由系统( 3 - 1 ) 的等价l i e n a r d 系统( 3 - 2 ) 有 船”群，吣一圮圳) ，( 0 ) 一1 + 七( 聊一蚪沁+ _ 1 + 4 ( 1 一挥) z 4 一”+ n c x 一1 由该定理中的条件i ) “+ 七一n ) 三) ”1 + n t 拍可得 口一d 一扫 ，( 0 ) t ( 虮n ) ( 南) “+ 4 ( 1 一n ) 岳) 1 ( 志) 一1 ( 圭) 一一。+ 。+ 掣】；o 口一d c 盟。垒兰：) ：墨塑= ! ! 坚兰：! ：! ! 鱼二堕竺堡兰：2 ： g o ) ( 4 一扫沁 上 垡型二竺+ 七西一甩) 塑型鲨 口一dz + ( 肌叫硼卅+ 一等击)z 工耳 由引理3 1 知上式右端的第一项和第二项在卜矿，+ * ) 上严格增加， 又由条件 ( 击) ”+ 七劬一”) ( 去) “+ n t 曲 可得 + 尼一n 妒”1 + 。( 1 一n ) + 嚣t 曲一口+ 口( 1 一咒) + 珂( 口一6 ) l o 因而上式右端的第三项在【一工+ ，o ) 和( o ，+ 。o ) 内也是严格增加， 最后一项显然是严格增加， 故函数上舆在【_ 矿，o ) 和( 0 ，+ * ) 内不减，由引理3 2 ，惟一性得证。 占b ) 3 4 极限环随参数的变化情况 考察当参数口，6 ，c 固定时，系统( 3 1 ) 的极限环随参数| 】 的变化情况。 首先针对系统( 3 2 ) 进行讨论，可得 定理3 6 记t = 兰一【( ) “+ ( n n 6 ) ( ) 】，对系统( 3 3 ) 有： 以一，押口一d 矗一d ( i ) 当t 在 + ，+ m ) 变动时，系统( 3 2 ) 的惟一稳定极限环k 随女的减小而收缩； ( i i ) 当七一后4 时，极限环收缩成奇点d ( o ，o ) ； ( i i i ) 当o t 七c 七+ 时，极限环消失。 证 明将u e n a r d 系统( 3 - 3 ) 改写为 ；。y f x ) = f 。 y 七( 3 4 ) 詈删= 酝_ ) ，朋 当t 在( o ，+ m ) 变动时，系统( 3 - 4 ) 的奇点d ( o ，o ) 与七无关，任取o t t ( 七z ， 经计算可得恒有 匣 ，y ，j ：) 吵，y ，七：) l 。鱼= 垒燮2 二生棼兰：e 苫o l f ，y ，与)百0 ，y ，t ) i o + 工+ ) ” ( x 一z + ) 从而f ，西关于参数构成广义旋转向量场，由定理3 3 知，当七，女+ 时，存在惟一稳 定的极限环，由广义旋转向量场的性质得，随七的减小，极限环e 也跟着减小；当 tt 七时极限环收缩成奇点d ( o ，o ) ，由本文开始的平衡点的性态分析可知，此时，奇 点0 ( o ，0 ) 有可能是一阶稳定的细焦点，也有可能是一阶不稳定的细焦点；当是t 女4 时奇点0 ( 0 ，o ) 的稳定性保持不变，从而不可能再跳出极限环，即极限环消失。 由于系统( 3 - 3 ) 是由系统( 3 - 1 ) 经过一系列相应的拓扑变换得到的，因而对于 系统( 3 1 ) 我们由定理3 6 直接可得 推论3 ，1 系统( 3 - 1 ) 的极限环r + 。随参数七的变化做下列相应的变化： ( 1 ) 当i ，女时，极限环r 。随七的增大而扩大； ( 2 ) 当七；七+ 时，极限环r + 。收缩成奇点m 0 4 ，y + ) ( 此时m o 。，y ) 是一阶稳定或者 不稳定的细焦点k ( 3 ) 当o c 七c 七+ 时，极限环r ，。消失，从而当o c 七s 七4 时系统( 3 - 1 ) 无极限环。 由于