（系统工程专业论文）一类非线性波动方程行波解的研究.pdf

摘要 摘要 非线性现象是自然界中普遍存在的一种重要现象非线性科学是随着研 究非线性现象问题而形成的一门科学，它的研究主体是孤立子、混沌和分 形许多实际的非线性问题最终都可归结为非线性系统来描述 在非线性系统中，非线性波动方程的孤立子理论研究是其中一个重要和 热点内容孤立子理论研究的一个主要内容，就是寻求非线性系统的解， 特别是孤立波解非线性波动方程的精确求解及其解法研究作为非线性科 学中的前沿研究课题和热点问题，极具挑战性目前虽然已经提出和发展 了许多求非线性偏微分方程精确解的方法，但由于求解非线性波动方程没 有也不可能有统一而普遍适用的方法，因此继续寻找一些有效可行的方法 依然是一项十分重要和极有价值的工作 本文在对非线性波动方程的现有解法进行了较为系统和深入的研究的基 础上，对一类有物理背景的非线性波动方程的行波解，分别从定性和定量 的角度，做了较为细致的研究，丰富和发展了非线性波动方程解法研究的 内容本文的工作具有一定的理论意义和应用价值 全文共分八章第一、二章首先介绍了非线性波动方程提出的历史背 景、研究进展和现状，以及几个重要的非线性波动方程，简要阐述了 现有的求解非线性波动方程的方法以及与本文相关的基本概念和基本原 理、本文的研究意义和主要内容第三章研究了非线一n i b b m 型方程的行 波解引入非线性强度概念，把一些经典的方法推广到非线性项更复杂的 非线性波动方程一充分非线性b b m 方程，获得了丰富的孤立波解，如具有 双曲正弦、双曲余弦、双曲正切形式的孤立波模型解，以及光滑孤立波 解，k i n k 解，a n t i - k i n k 解，移动孤立波解和尖峰孤立波解。利用辅助方程 法，对于o s b b m 方程，我们构造了一种可以确定孤立波解形式与p ( u ) 之间 一 一 汀苏大学博1 j 学位论文：一类非线件波动方程行波解的研究 关系的方法，并且获得了尖峰孤立波解( p e a k o n ) 以及奇异孤立波解最后分 析了p ( u ) 以及方程系数对解的形式的影响从动力系统分岔理论的角度， 研究了z k b b m 方程和一个一般b b m 方程的行波解对于z k b b m 方程， 通过行波变换将其等价于一个平面系统，由相平面分析得到了系统的所 有可能存在的有界行波解及相应的参数条件，分析参数的变化对系统解 的结构的影响，写出了这些解的具体表达式对于一般b b m 方程，由对 应行波系统的平衡点性质，讨论了当h a m i l t o n i a n 值变化时，系统解的变 化情况，给出了不同情形下有界解的积分表达式第四章构造了非线性色 散波方程的新型m i u r a 变换给出了构造连结复杂非线性方程与简单方程 的变换的新的代数方法。本方法的特点是可直接从较简单方程的解得到 目标方程的行波解另一方面可给出方程有不同解的条件，以非线性色散 k d v 方程，k ( m + l ，2 ) 方程，m k d v 方程为例得到k ( m + l ，2 ) 方程丰富的 行波解，包括周期解，衰减的孤立波解，孤立波解，扭结解第五章研究了 一类b 族水波方程的显式孤立波解通过引进一个参数b ，得到一个新的b 族 方程，它以修正的c h 方程和d p 方程为其特殊情况利用扩展的t a n h 方 法、有理双曲函数法和有理指数函数法，将现有的一类水波方程的解做 了推广，不但能获得已有的结果，且结论更具一般性第六章探讨了f 一展 开法的应用应用f 一展开法及其扩展形式得到了m i z h n i k - n o v i k o v - v e s e l o v 方 程，k l e i n - g o r d o n 方程，m o d i f i e db e n j a m i n - b o n a - m a h o n y 方程的孤立波 解第七章是几种形式的孤立波解在实际中的应用最后一章是对研究内容 的总结和展望 关键词：非线性波动方程；行波解：非线性强度；分岔；尖峰孤立波； 孤立波 英文摘要 a b s t r a c t n o n l i n e a r i t yi su n i v e r s a la n di m p o r t a n tp h e n o m e n o ni nn a t u r e n o n - l i n e a rs c i e n c e ，w h i c hh a ss o l i t o n ，f r a c t a la n dc h a o st h e o r i e sa si t sm a i n p a r t s ，i st h es u b j e c to fs t u d y i n gt h en o n l i n e a r i t y m o s tn o n l i n e a rp r o b l e m s 11- c a nb ed e s c r i b e db yn o n l i n e a re q u a t i o n s i nt h en o n l i n e a rs y s t e m s ，t h es o l i t o nt h e o r yo ft h en o n l i n e a rw a v ee q u a - t i o n si st h ei m p o r t a n tt o p i c t h ek e yp r o b l e mi ns o l i t o nt h e o r yi st og e t s o l u t i o n so ft h en o n l i n e a re q u a t i o n s a sal e a d i n gs u b je c ta n dh o ti n t e r e s t i nn o n l i n e a rs c i e n c e ，s t u d yo nt h es o l u t i o nm e t h o do ft h en o n l i n e a rw a v e e q u a t i o n sh a sb e c o m em o r ea n dm o r ec h a l l e n g i n g a tp r e s e n t ，a l t h o u g h an u m b e ro fm e t h o d sa r ep r o p o s e da n dd e v e l o p e dt ol o o kf o rt h ee x a c t s o l u t i o n so ft h en o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n s ，u n f o r t u n a t e l y , n o ta l lt h e s ea p - p r o a c h e sa r eu n i v e r s a l l ya p p l i c a b l ef o rs o l v i n ga l lk i n d so fn o n l i n e a rw a v e e q u a t i o n sd i r e c t l y a sac o n s e q u e n c e ，i ti ss t i l lav e r ys i g n i f i c a n tt a s kt og o o n s e a r c h i n gf o rv a r i o u sp o w e r f u la n de f f i c i e n ta p p r o a c h e st os o l v en o n l i n e a r w a v ee q u a t i o n s t h i sd i s s e r t a t i o ni sb a s e do ns y s t e m a t i cr e s e a r c ha n do nt h ee x i s t i n g t e c h n i q u eo fs o l v i n gn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n s w ed om o r em e t i c u l o u sr e - s e a r c ho nt r a v e l i n gw a v es o l u t i o n so fac l a s so fn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n w i t ht h ep h y s i c a lc o n t e x t ，f r o mt h eq u a l i t a t i v ea n dq u a n t i t a t i v ep o i n to f v i e w t h es t u d i e se n r i c ha n dd e v e l o pt h ec o n t e n t so ft h en o n l i n e a rw a v e e q u a t i o n s ，a r eo fs o m et h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n da p p l i c a t i o nv a l u e t h i sd i s s e r t a t i o nc o n s i s t so fe i g h tc h a p t e r s i nc h a p t e r1a n dc h a p t e r 2 ，w ei n t r o d u c et h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n d ，s t u d yd e v e l o p m e n to fn o n l i n e a r i ；一 汀苏大学博上学位论文：。类非线什波动方程行波解的研究 w a v e e q u a t i o na n ds e v e r a li m p o r t a n tn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n s t h em e t h - o d sk n o w nu pt ot o d a yf o rs o l v i n gt h en o n l i n e a rw a v ee q u a t i o na r es u m m a - r i z e da n da n a l y z e d t h e nt h ec o n c e r n e dc o n c e p t sa n dt h e o r i e sw h i c hu s e d i nt h i sp a p e ra r ei n t r o d u c e da n dt h ep r i m a r yc o n t e n t so ft h i sd i s s e r t a t i o n a r er e p o r t e da sw e l l i nc h a p t e r3 ，t h et r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n sf o rb b m l i k ee q u a t i o n sw i t h f u l l yd i s p e r s i o na r es t u d i e d b yi n t r o d u c i n gt h ec o n c e p to fn o n l i n e a ri n t e n - s i t y , s o m ec l a s s i c a lm e t h o d sa r ee m p l o y e dt os t u d ys o l u t i o n so fn o n l i n e a r w a v ee q u a t i o nw i t hm o r ec o m p l e xn o n l i n e a rt e r m s ( b b m l i k ee q u a t i o n s w i t hf u l l yd i s p e r s i o n ) a n df i n da b u n d a n ts o l i t a r yw a v es o l u t i o n s ：s o l i t a r y p a t t e r ns o l u t i o n se x p r e s s e di nt e r m so ft h eh y p e r b o l i cs i n e ，c o s i n ea n d t a n g e n tf u n c t i o n s ，s m o o t hs o l i t a r yw a v es o l u t i o n ，k i n ks o l u t i o n ，a n t i k i n k s o l u t i o n ，f l o a t i n gs o l i t a r yw a v es o l u t i o n ，p e a k o ns o l u t i o n b yt h ea u x i l i a r ye q u a t i o nm e t h o d ，w ee s t a b l i s ht h er e l a t i o n s h i pb e t w e e n af o r mo fs o l i t a r yw a v es o l u t i o n sa n dp ( 钆) ，o b t a i nt h ep e a k o ns o l u t i o na n d t h es i n g u l a rs o l i t a r yw a v es o l u t i o n f i n a l l y , w eg i v ea na n a l y s i so fp ( u ) a s w e l la st h ec o e f i c i e n to nf o r m so ft h es o l u t i o n s t h et r a v e l i n gw a v es o l u t i o n so fz k b b me q u a t i o na n dg e n e r a lb b m e q u a t i o na r ei n v e s t i g a t e db yq u a l i t a t i v ea n a l y s i sm e t h o d b ys t u d y i n g t h eb i f u r c a t i o no ft h i se q u a t i o na n dd y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c s ，w eg i v et h e e x p r e s s i o n so ft h es o l i t a r yw a v es o l u t i o na n dp e r i o d i cs o l i t a r yw a v es o l u t i o n a c c o r d i n gw i t ht h eb i f u r c a t i o nt h e o r y t h el i m i to fp e r i o d i cs o l i t a r yc u s p w a v es o l u t i o na n ds o l i t a r yw a v es o l u t i o nb o t he q u a lt ot h ep e a k o ns o l u t i o n t h e nt h ee x p r e s s i o n so ft h es o l i t a r yw a v es o l u t i o na n dp e r i o d i cs o l i t a r y w a v es o l u t i o na r eg i v e na tv a r i o u sp a r a m e t e r sc o n d i t i o n s s o m ef i g u r e sa r e p r e s e n t e db yn u m e r i c a ls i m u l a t i o n i nc h a p t e r4 ，n e wm i u r at y p et r a n s f o r m a t i o nb e t w e e nn o n l i n e a rd i s 一 一 v 英文摘要 p e r s i v ew a v ee q u a t i o n si se s t a b l i s h e d an e wa l g e b r a i cm e t h o di sd e v i s e dt o c o n s t r u c tat r a n s f o r m a t i o nr e l a t i n gt h ec o m p l i c a t e dn o n l i n e a rw a v ee q u a - t i o n sw i t ht h es i m p l e ro n e s ac h a r a c t e r i s t i cf e a t u r eo fo u rm e t h o dl i e si n t h a tt h et r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n so fa na i m e de q u a t i o nc a nb eo b t a i n e d b yt h es o l u t i o n so fas i m p l e re q u a t i o nd i r e c t l y a n o t h e rc h a r a c t e r i s t i cl e a - t u r ei st h a tc o n d i t i o n su n d e rw h i c hd i f f e r e n ts o l u t i o n sa p p e a rc a nb eg i v e n w ec h o o s et h en o n l i n e a rd i s p e r s i v eg e n e r a l i z e dk d v e q u a t i o n ( k ( m + l ，2 ) ) a n dt h em k d ve q u a t i o n st oi l l u s t r a t eo u rm e t h o d a sar e s u l t ，a b u n d a n t t r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n so ft h ek ( m + l ，2 ) e q u a t i o na r eo b t a i n e d ，i n c l u d i n g p e r i o d i cs o l u t i o n s ，s m o o t hs o l u t i o n sw i t hd e c a y , s o l i t a r ys o l u t i o n sa n dk i n k s o l u t i o n s i nc h a p t e r5 ，t h eb f a m i l yo ft h em o d i f i e dd p c he q u a t i o na r ed i s c u s s e d b yi n t r o d u c i n gap a r a m e t e rba n du s i n gt h ee x t e n d e dt a n hm e t h o d ，t h er a t i o n a lh y p e r b o l i cf u n c t i o n sm e t h o da n dt h er a t i o n a le x p o n e n t i a l f u n c t i o n sm e t h o d ，w ee x t e n dt h es o l u t i o n so fac l a s so fw a v ee q u a t i o n n o t o n l ys o m ea r ei nv e r yg o o da g r e e m e n tw i t ht h o s eo b t a i n e di ns o m el i t e r a - t u r e s ，b u ta l s ot h ec o n c l u s i o ni sm o r eg e n e r a l i nc h a p t e r 6 ，a p p l i c a t i o no ft h ef e x p a n s i o nm e t h e da r es t u d i e d u s - i n gt h eg e n e r a l i z e df e x p a n s i o nm e t h e d ，s o l i t a r yw a v es o l u t i o n so fm i z h n i k - n o v i k o v - v e s e l o ve q u a t i o n ，k l e i n g o r d o ne q u a t i o n ，m o d i f i e db e n ja m i n - b o n a - m a h o n ye q u a t i o na r eo b t a i n e d i nc h a p t e r7 ，s o m ef o r mo fs o l i t a r yw a v es o l u t i o n si nt h ea c t u a la p p l i c a t i o ni si n v e s t i g a t e d t h el a s tc h a p t e r ，c h a p t e r8 ，i sd e v o t e dt oc o n c l u d i n gw i t has h o r t s u m m a r ya n df u r t h e rc o m m e n t a r y k e yw o r d s ：s o l i t a r yw a v es o l u t i o n ；t r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n s ； 一v 一 江苏大学博二j j 学位论文：类非线件波动方程行波解的研究 n o n l i n e a ri n t e n s i t y ；b i f u r c a t i o n ；p e a k o n ；s o l i t a r yw a v e 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和 汇编本学位论文。 保密口 本学位论文属于 ，在年我解密后适用本授权书。 不保密豳 学雠文作者躲万两常指剥赫纱卯 加驴年7 7 月多p 日力鲴矿年肛月矽日 独创性申明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容以外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全 意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 醐：啡7 月 z 面枝 第章绍沦 第一章绪论 在自然科学和社会科学领域中，个体( 研究对象) 之间的关系是错综复杂、 千变万化的，存在着各种各样的关系和联络，如控制、反控制同步、正反比、平 方、同构、并联、串联、等价、买卖、投入产出、贸易进出口等等，这其中很多 复杂的关系可以归结为非线性关系非线性科学是近三十年来在综合各门以非线 性为特征的科学研究基础上逐步形成的、旨在揭示非线性系统的共同特征和运动 规律的一门跨学科的综合性科学非线性科学是继量子力学、相对论之后2 0 世纪 自然科学的重大发展非线性科学的发展从根本上影响和改变着整个科学体系 在非线性科学中，非线性波的研究非常活跃，尤其是孤立子理论，孤立子反映 的是一类非常稳定的自然现象，例如江河中的某一类水波，光纤中的光信号传播 等等，体现了一大类非线性相互作用的若干特征并为许多应用问题提供了启示；另 一方面，这一理论又为非线性偏微分方程提供了求显式解的方法此外，描述这些 数学模型的非线性波方程本身还蕴涵着许多丰富的未被发现的复杂而奇妙的现 象，因而受到数学界和物理学界的充分重视而行波解在非线性科学中起着非常 重要的作用，它可以很好地描述各种自然现象，例如振动、传播波以及孤立子 等 本文从应用数学角度出发，利用定量和定性理论研究一类具有广泛应用背景 的非线性波动方程行波解及其性质下面将概述非线性波动方程及孤立波的研究 背景和现状，以及本文的研究内容和意义 1 1波动问题研究概述 波动问题是一个重要的研究领域，其理论、方法和应用遍及物理学、光学、 力学、化学、数学和通讯等许多学科分支著名的光的波粒二重性、湍流、超 导、电磁波等都与其密切相关 广义上讲，如果一个方程存在能描述波动现象的解，那么这个方程就可以称为 波动方程一般情况下，波方程同时含有时间和空间变量，是一类重要的时空系统 汀苏大学博上学位论文：，类非线件波动方程行波解的研究 早期，由于人们认识上的局限性，往往将一个实际的波问题进行简单化和理想 化的假设，从而得出较容易研究的线性化模型，如弦振动方程、热传导方程等等 随着科学技术的发展和人类认识水平的提高，特别是非线性科学的崛起，人们发 现线性化模型已不能完全描述一个客观的波动问题，取而代之的应该是非线性模 型，即非线性波动方程，也称为非线性演化方程( n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ) 通常，非线性波动方程包含非线性常微分方程、非线性偏微分方程、非线性 差分方程( 又称为非线性映射或非线性迭代，它通常是非线性常微分方程或非线 性偏微分方程的离散形式，它对未知函数的n 次迭代值都不全是线性的或一次式 的) 和函数方程( 一个函数自身或多个函数之间满足的一个代数关系式) 著名的k d v 方程、b u r g e r s 方程、k d v - b u r g e r s 方程、s i n e - g o r d o n 方程 乘 s c h r o d i n g e r ( n l s ) 方程等都是典型的非线性波动方程，这类方程常常具有孤 立波解孤立波是一种特殊的，同时又是一种不难见到的波动现象，它被称为自然 界里的相干结构，或称拟序结构，即是一种有序结构孤立波理论是非线性科学的 重要理论，它被广泛应用与光纤通信、等离子体、基本粒子、流体物理、固体物 理、超导、激光物理、生物物理、凝聚态物理、场论、天上涡旋星系的密度波、 海上冲击波、结构相变、液晶、气象学、化学、生命科学、微分几何等领域尤 其是因为光孤子不改变其波形、速度，光纤孤子通信具有失真小、保密性好等优 点，对它们的研究吸引了人们越来越多的注意，正成为现代通信技术的热门课题 和重要发展方向 1 2 非线性波动方程提出的历史回顾 历史上对孤立波的最早报道可以追溯至1 j 1 8 3 4 年那年一次偶然的机会，英国科 学家、造船工程师约翰斯科特罗素( j o h ns c o t tr u s s e l l ) 观察到了从爱丁堡到格 拉斯哥的运河中浅水面上形成的保持原有形状和速度不变，圆而光滑、轮廓分 明、孤立的水波1 8 4 4 年他给第1 4 届英国科学促进协会的报告 1 中写到： “1w a so b s e r v i n gt h em o t i o no fab o a tw h i c hw a sr a p i d l yd r a w na l o n gan a r r o w c h a n n e lb ya p a i ro fh o r s e s ，w h e nt h eb o a ts u d d e n l ys t o p p e d n o ts ot h em a s so ft h e w a t e ri nt h ec h a n n e lw h i c hi th a dp u ti nm o t i o n ：i ta c c u m u l a t e dr o u n dt h ep r o wo f t h ev e s s e li nas t a t eo fv i o l e ta g i t a t i o n ，t h e ns u d d e n l yl e a v i n gi tb e h i n dr o l l e df o r w a r d w i t hg r e a tv e l o c i t y , a s s u m i n gt h ef o r mo fal a r g es o l i t a r ye l e v a t i o n ，ar o u n d e d ，s m o o t h 第一章绪论 a n dw e l l - d e f n e dh e a po fw a t e r ，w h i c hc o n t i n u e di t sc o u r s e 甜o n gt h ec h a n n e la p p a r e n t l y w i t h o u tc h a n g eo ff o r mo rd i m i n u t i o no fs p e e d 。if o l l o w e di to nh o r s e b a c k ，a n do v e r t o o k i ts t i l lr o l l i n go na tar a t eo fs o m ee i g h to rn i n em i l e sa nh o u r ，p r e s e r v i n gi t so r i g i n a l f i g u r es o m et h i r t yf e e tl o n ga n da f o o tt oaf o o ta n dah a l fi nh e i g h t i t sh e i g h tg r a d u a h y d i m i n i s h e d ，a n da f t e rac h a s eo fo n eo rt w om i l e sil o s ti ti nt h ew i n d i n g so ft h ec h a n n e l s u c h ，i nt h em o n t ho fa u g u s t1 8 3 4 ，w a sm yf i r s tc h a n c ei n t e r v i e ww i t ht h a ts i n g u l a ra n d b e a u t i f u lp h e n o m e n o nw h i c hih a v ec a l l e dt h ew a v eo ft r a n s l a t i o n 他凭着敏锐的观察力意识到这种现象绝非一般的水波运动之后r u s s e l l 为了更 加仔细的研究这种现象，在实验室里进行了很多试验，也观察到了这种波孤立 波，认为这种波是流体运动的一个稳定解，并试图给出孤立波的解析形式，不过未 能如愿但就这一现象的物理本质，却引起广泛争论对它表示怀疑的主要有：对 波动的研究都颇有造诣的英国天文学家g b a i r y 爵士和英国流体力学家g e o r g e s t o k e s 爵士争论的主要问题有三个：一是一个完整的波动为什么会全部在水面 上，而不是一部分在水面上，一部分在水面下；二是为什么传播时波幅不会衰 减；三是为什么波速只与波在水面上的高度和水深有关，这些结论与传统的研究 结果不符 随后，a i r y ( 1 8 4 5 ) ，s t o k e s ( 1 8 4 7 ) ，b o u s s i n e s q ( 1 8 7 2 ) 和r e y l e i g h ( 1 8 7 6 ) 对这种波做了 进一步的研究，提出了一个一维非线性演化方程一b o 璐s i n e s q 方程 但是r u s s e l l 等人观察到的孤立波到底存在于什么样的水波方程中呢? 直 至1 j 1 8 9 5 年，荷兰阿姆斯特丹大学k o r t e w e g ( 科特韦格) 和他的学生d ev r i e s ( 德 弗里斯) ，在长波近似和小振幅假定下建立了单向运动的浅水波运动方程，即著名 的k d v 方程2 】， 毗+ 6 u u z + u z 茁z = 0 k d v 方程有如下特殊形式的解 钆( z ，t ) = 等s e c 允2 ( 等 一甜) ) 其图形与r u s s e l l 观察到的孤立波形状相同通常线性的波动方程具有行波解，时间 和空间坐标不是各自独立的变量，而是以它们的线性组合作为变量，随着时间推 移，波形向前传播由于存在色散效应，波的各组成部分具有不同的频率，它们以 不同的速度传播，行进一定距离之后，波形逐渐扩散而消失对于非线性波动方程， 其中出现非线性项，非线性效应会使较高频率不断累积，波在前进过程中变得越 来越陡削而最终达到破碎的地步当非线性项和色散项同时存在，两种效应恰能 3 一 汀苏大学博- 上学位论文：类非线件波动方程行波解的研究 相互抵消，则出现孤立波解k d v 方程的提出，从理论上证明了孤立波的存在 然而，许多人以为，这种行波不过是偏微分方程的特殊解，是在特殊初值条件 下得到的，在初值问题的讨论中微不足道另外，k d v 方程是非线性的，由于非 线性的相互作用，两个孤立波碰撞后，波形可能遭到破坏，因而认为这种波不稳 定，没什么研究价值再有，这种孤立波是否在流体力学以外的其他物理领域中出 现? 于是，从1 9 世纪末到2 0 世纪中期，在长达6 0 年的时间里，关于k d v 方程和孤立 波的研究几乎没有什么进展 到了1 9 5 5 年，物理学家费米( e n r i c of e r m i ) ，j o h np a s t a 和s t a nu l a m ( 以下简 称f p u ) 发表了“s t u d i e so fn o n l i n e a rp r o b l e m s 一文，再次引起人们的兴趣他们 将6 4 个质点用非线性弹簧连成一条非线性振动弦，初始时能量都集中在一个质点 上由经典统计物理的能量均分定理可预言，只要非线性效应存在，就会有能量 均分现象出现，即只要有任何微弱的非线性相互作用，就可导致系统由非平衡态 向平衡态过渡但实际计算结果却使得他们大吃一惊，即上述达到能量平衡的观 点对于非线性系统是错误的，因为经过很长时间后，几乎全部能量又回到了原先 的初始分布，这就是著名的f p u 问题由于当时只在频率空间来考察，未能发现孤 立波解后来t o d a 用晶体的非线性振动近似模拟这种情况，得到了孤立波解，赋 予f p u 问题圆满的解释，从而激发起人们对孤立子研究的兴趣 1 9 6 5 年，美国著名物理学家、美国科学院院士k r u s k a l ( 克鲁斯卡尔) 和物理学 家z a b u s k y ( 扎布斯基) 【3 】，把f p u 的非线性振子系统的能量不均分问题与k d v 方 程联系了起来后来人们发现，在很多物理体系中都存在k d v 方程，说明孤立 波是一种普遍存在的物理现象此后，人们进一步发现，除k d v 方程外，其它一 些偏微分方程也有孤立波解，比如m k d v 方程，s i n e - g o r d o n 方程，s c h r o d i n g e r 方程， b o u s s i n e s q 方程等关于这些方程的孤立波及其它性质可参见文献卜14 k r u s k a l 和z a b u s k y 还采用数值模拟方法，用计算机模拟了两个具有不同速度孤 立波前后追逐中发生的现象设有同向行进两个孤立波，波幅较高在后的孤立波， 逐渐赶上前面波幅较低的孤立波令人惊奇的是两个孤立波相遇后，又能很好地 分离开继续前进，而且原来的波包形状没有发生大的变化这个模拟结果表明两 个孤立波的相遇具有类似于物质粒子之间的碰撞特性，称为孤立波碰撞，它证实 了孤立波在相互作用后形状和传播速度保持不变的论断为了强调孤立波的这种 碰撞特性，k r u s k a l 和z a b u s k y 将具有碰撞特性的孤立波命名为“孤立子”或“孤 子 ( s o l i t o n ) 第章绪论 目前，孤立子一词虽被广泛引用，但尚无一般性定义数学中，将孤立子理 解为非线性发展方程的局部行波解，所谓局部是指微分方程的解在空间的无穷远 处趋于零或确定常数的情况换言之，孤立子指的是稳定的孤立波，即通过相互 碰撞后不见消失、而且波形和波速也不会改变或者只有微弱改变在物理中，孤 立子被理解为经典场方程的一个稳定的有限能量的不弥散的解，即能量集中在一 个狭小的区域内且相互作用后不改变波形和波速 在1 9 9 3 年以前，人们发现的孤立波解都是光滑的到了1 9 9 3 年，美国阿尔莫斯国 家实验室的c a m a s s a 和h o l m 在研究浅水波运动规律时，利用哈密尔顿量的方法推 导出了一个浅水波动方程 1 5 】 饥+ 2 k u $ 一钆z 毗+ 3 u u z = 2 u 茁u 茁z + u u z z z ( 1 - 1 ) 它被称为c a m a s s a h o l m 方程( 简称c h 方程) 其中钍称为对流项， u x l m z z 和u 饥z z z 称为非线性色散项，= u ( x ，t ) 表示z 方向的水波流速( 或者浅水 波的自由表面的高度) ，k 是一个与临界浅水波速度有关的常数当k - - 0 时，即为无 色散项的c h 方程： 毗一u z 疵+ 3 u u z = 2 u z u z z - t - u u z c a m a s s a 和h o l m 只证明了当k = o 时，该方程具有形如 让：c e i z d i 的孤立波解，由于它在波峰处一阶导数不存在，即在波峰处不光滑，出现了尖 点，这种行波解通常被称为尖峰孤立波解( p e a k o n ) 更进一步的研究表明，方 程( 1 1 ) 具有简单的多- 蘑：p e a k o n ，这蕴含着它有许多美妙的性质 2 0 0 2 年和2 0 0 4 年，l i u 1 6 - 1 9 证实了对任意的参数k ，c h 方程都具有孤立尖波 解： u = c - t - k ) e i z d i k 同样在1 9 9 3 年，r o s e n a u 和h y m a n 2 0 】为了研究水波斑图形成过程中非线性色散 项的作用，研究了一类充分非线性k d v 方程 - t - ( u m ) 。+ ( u n ) 黜茹= 0 其中m ，n 为正整数，称为非线性强度，( u m ) z 为非线性对流项，( u n ) z z 。为非线性色散 项他们通过实验和理论验证，发现该方程存在一种另一种奇特的孤立波，这种孤 立波只在有限的小区域上有非零的高度，而在有限的小区域之外高度为零，他们 称这种孤立波为紧孤立子( c o m p a c t o n ) 汀苏大学博i j 学位沦文： 一类非线性波动方程行波解的研究 这种紧孤立子，不仅存在于上述广义k d v 方程，也存在于其它方程中 1 6 ，2 1 - 2 8 ， 也包括c h 方程可见c h 方程包含的内容l p , k d v 方程要多，其性质也丰富，因此吸 引了许多学者在这方程上作不断的研究 2 9 - 5 6 】 2 0 0 1 年，d u l l i n $ f l g o t t w a l d 等 5 7 】从e u l e r 方程出发，利用渐进扩张思想研究了无 旋不可压缩的无粘浅层受地球重力和流体自身表面扩张影响的运动规律，推导出 了另一个带线性和非线性色散项的波动方程，它被称为广义c a m a s s a h o l m 方程 或者c h 一7 方程( 简称d g h 方程) u t + c o u z + 3 u u z a 2 ( 2 地让z z + u u z 。茁+ u x x t ) + y u 茁z 茁= 0 其中u z z z 称为线性色散项d g h 方程联系了两类重要的浅水波方程：当，y = 0 时， d g h 方程转化为c h 方程；当o t = 0 时，d g h 方程转化为k d v 方程 今天，k d v 方程可被视为非线性数学物理的基本模型方程之一 刍k d v 方程提 出来后，人们又陆续在不同的物理和工程实际背景中提出了许多非线性偏微分方 程，女 b u r g e r s 方程、m k d v 方程、b o u s s i n e s q 方程、k d v - b u r g e r s 方程、k u r a m o t o - s i v a s h i n s k y 方程、k d v - b u r g e r s - k u r a m o t o 方程、非线性k l e