（理论物理专业论文）规范理论在金融市场中的应用和杨米尔斯方程的一些问题.pdf

yjlli11ll117ih9llllll8illl1fi112illll6flll 南开大学学位论支版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：到楚玲多 2 噜踞年。月7 7 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在r 年解密后适用 本授权书。 指导教师签名： 鸯猕 学位论文作者签名： 趟彬哆 解密时间：2 ，年石月 日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： “”_ h _ ”h “ 内部5 年( 最长5 年，可少于5 年) | 秘密1 0 年( i 长z o，可少于z o n e ；机密2 0 年( 最长2 0 年，可少于2 0 年) l 。一， 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名： 鹤哆巾哆 2 。丫年。月 7 日 摘要 摘要 非阿贝尔规范场，即杨一米尔斯场，在数学物理中有广泛的应用。 文章介绍近年理论物理在金融学市场建模中的应用的一个新的方向，与一 般的数学建模不同，它是应用几何结构的模型，建立在规范场的物理思想和纤 维丛的几何结构的基础上的。文中阐明了规范场论和纤维丛理论相结合，成为 与金融市场概念相匹配的市场模型，举出这一模型成功引导出金融市场产品定价 的b l a c k s c h o l e s 方程。 另外自对偶杨一米尔斯在可积系统的研究中有重要的地位。依赖于李代数的 选择和自对偶场的联系，自对偶杨一米尔斯方程的一维简化可以导出很多经典方 程。 本文讨论了一些熟知的简化方程，包括非线性薛定谔方程，k d v 方程和s i n e g o r d e n 方程。 关键词规范场纤维丛金融市场自对偶杨一米尔斯方程 a b s t r a c t a b s t r a c t n o n a b e lg a u g ef i e l dt h e o r y , y a n g - m i l l sf i e l dt h e o r y ，h a sw i d ea p p l i c a t i o n si n m a t h e m a t i c a lp h y s i c s a ni n t r o d u c t i o nt om o d e lo ft h ef i n a n c i a lm a r k e tb ya p p l y i n gt h eg a u g et h e o r yo f m o d e mp h y s i c si sp r e s e n t e d w ed e m o n s t r a t eh o wt h ec o m b i n e ds t r u c t u r eo fg a u g e t h e o r ya n df i b r eb u n d l e sp r o v i d e sa f r a m e w o r kf o rf i n a n c i a lm a r k e tm o d e l s as i m p l e m o d e lo ft h ef o r e i g nc u r r e n c ym a r k e ta n dt h eb l a c k - s c h a l e se q u a t i o n sa r ed e s c r i b e da s i n t e r e s t i n ge x a m p l e so ft h em o d e l a l s o ，t h es e l f - d u a ly a n g m i l l se q u a t i o n sp l a yac e n t r a lr o l ei nt h es t u d yo fi n t e - g r a b l es y s t e m s o n e d i m e n s i o n a lr e d u c t i o no ft h es e l f - d u a ly a n g m i l l se q u a t i o n sy i e l d v a r i o u sc l a s s i c a ls y s t e md e p e n d i n go nt h ec h o i c eo ft h el i ea l g e b r aa s s o c i a t ew i t ht h e s e l f - d u a lf i e l d s t h i sa r t i c l ed i s c u s s e ss o m eo ft h ew e l lk n o w nr e d u c t i o n si n c l u d i n gt h en o n l i n e a r s c h r 6 d i n g e re q u a t i o n ，t h ek o r t e w e g d ev r i e se q u a t i o na n dt h e s i n e g o r d e ne q u a t i o n s k e yw o r d sg a u g ef i e l d f i b r eb u n d l ef i n a n c em a r k e ts e l f - d u a ly a n g - m i l l s e q u a t i o n s 目录 目录 摘要i a b s t r a c t i i 第一章引言1 第二章规范场论和金融市场模型 3 2 1 规范场论的数学描述3 2 2 金融市场的规范场模型4 第三章r e d u c t i o no f y a n g m i l l se q u a t i o n s 9 3 1 y a n g m i l l sg a u g ef i e l dt h e o r i e s ：b a s i cc o n c e p t sa n df o r m u l a s 9 3 2t h es d y me q u a t i o n s 1 2 3 3e x a m p l e so fr e d u c t i o n s 1 5 3 4t h es o l u t i o n so fs d y m e q u a t i o n s 1 9 第四章结论2 9 致谢 3 0 参考文献3 1 个人简历3 3 第一章引言 第一章引言弟一早亏ii 近年来在金融学的理论研究中，运用理论物理的思维方式和方法，建立金融 市场的模型，金融资产值的定价和市场演进的预测等，把传统均衡的模型发展为 动态的模型，以至极端状态的市场出现预测，应用统计物理学的方法如随机行走， 临界动力学的指标分析，混沌机制等，还有应用规范场理论建立市场运作的模型 和规律。 本文只是在物理概念和金融市场的概念和原则作平行展开类比，不涉及概率 论，博弈论，随机过程等数学工具的应用和推演。在金融资本市场，市场交易者通 过市场的运作，卖出买入金融资产，籍以获得利润。在这领域，金融学的主要课 题是：研究金融资产及其衍生资产( 金融期货，期权等) 的定价，投资组合技术， 公司金融政策，风险分析预测以及规避，进而对金融市场中的演进进行预测。 1 9 世纪n 2 0 世纪之初，旧金融学应用的工具是会计学和统计学，对公司的财 政报表和数据进行分析，作出市场短期预测。 从2 0 世纪中期到现在，现代金融经济学应用数学建立市场模型，资产定价 公式，并且引入物理理论，建立模型和定价，这就开始形成了现时称为金融物 理，【l 】金融工程，金融数学等新学科【2 】。 理论物理应用的金融物理中的现状，【3 】已经有一般性和较为专业的介绍文 童。 金融市场的规范场模型，其实同时也是一种数学模型，就是纤维丛模型，这 一模型和现在流行的经济模型有特别之处： 1 ) 他不是数量上的数学，它是几何结构形态的数学模型，这是经济数学模型 所罕见的更复杂的模型。 2 ) 纤维丛所描述的物理是规范场论，它主要的是大范围性质的描述，是物理 系统的整体性视野，这也与一般的局域近邻传播有很大不同。 3 ) 作为模型的具体演绎和推理，都是运用理论物理学的标准方法，是用物理 的方法去解决金融问题。 文中初步介绍了规范建模的理论和思想，虽然只是理论上的介绍，但这些对 作者以后即将从事金融方面的研究有很好的启发作用，我将充分利用所学到的物 第一章引言 理思想和数学理论去从事将来的研究工作，为祖国贡献自己的一份力量。 本文还介绍了自对偶杨一米尔斯方程的简化问题 自对偶杨一米尔斯方程在可积体统和其它数学物理领域中有很多重要的应 用。从可积系统方面考虑，【4 r sw a r d 曾预测：“许多( 或者所有) 的可积常微分 或偏微分方程都可能通过自对偶杨一米尔斯方程简化而来”。 经过适当的简化和对规范群的选取，从自对偶杨米尔斯返程可以推导出许 多1 + 1 维和2 + 1 维非线性可积方程【5 】，文中介绍了一些熟知的方程的推导，其它很 多推导可参考【6 】。 另外在文中还介绍了杨一米尔斯方程的解问题，包括自对偶的i n s t a n t o n 解 和m o n o p o l e 解，以及寻找和构造这些解的方法和历史，作者也曾尝试去用数值解 决有关杨一米尔斯方程解的相关问题，但由于理论和实际经验的缺乏没有得到理 想的结果，但从中也体会到了杨一米尔斯方程在非线性问题中的重要作用，相信 随着计算机方法的日益壮大，很快会有一些求解非线性杨一米尔斯方程的相关软 件和方法的产生。 第二章规范场论和金融市场模型 第二章规范场论和金融市场模型 2 1 规范场论的数学描述 纤维丛数学是s s c h e m ( 陈省身) 于1 9 4 4 年引入的，现代的规范场理论是1 9 5 4 年c n y a n g ( 杨振宁) 和r l m i l l s 引入的，【7 ，数学物理这两个方面的理论原来是互不相通 的，1 9 7 5 年杨振宁和吴大峻阐明了规范场和纤维丛的联 8 】 纤维丛是微分几何中的重要概念，它的构成因素从严格的数学观点来定义可 以包括很多条件【9 ，但我们从一个物理学者的应用观点来看它的结构最主要的是 几个构件： 1 ) 底空间：纤维丛整体几何结构建筑在一个多维连续流形之上，底空间记 为m 2 ) 纤维：在底空间的每一个点上固连一个线性空间，它成为纤维f ( f i b r e ) 最简单的纤维是一维向量空间，底空间和其上的纤维全体构成了丛空f 司b ( b u n d l e s p a c e ) 3 ) 丛空间与底空间的点存在对应的连续映射关系p ：3 _ m 称为投射( p r o j e c t i o n ) ， 这一投射关系规定了丛空间和底空间的关系，构造了一个整体的几何结构。 4 ) 结构群：在纤维丛上操作的群，群的元素作用在纤维上，称为结构群g 物理学的规范场恰当的数学描述是纤维丛，规范场就是矢量丛的联络，物理上 称为规范势( g a u g ep o t e n t i a l ) ；曲率则称为规范场强( g a u g es 仃e n g t l l ) 这方面的理论 可参考文献【8 】。规范场的要素包括两种空间：内空间和外空间。在外空间每一个 点上缔合一内空间，这正好与纤维丛的底空间上粘合纤维相对应，纤维上的结构 群就对应着内空间上的规范群。 纤维丛是其包含的多个要素按照一定的法则构造成的几何结构体，它的重要 性在于它的整体性，这个几何结构的整体用于描述物理现象时候可以表述一些复 杂的现象，现在有人试图把它用于描述金融市场，初看起来有点匪夷所思，但是 3 第二章规范场论和金融市场模型 我们知道金融市场的复杂性和整体性需要一种超出以往常规的数学描述。 2 2 金融市场的规范场模型 应用规范场理论去构建金融市场模型的研究，始于1 9 9 7 年俄罗斯科学院圣彼 得堡s t e k l o v 数学研究所的数学物理博士k i l i n s k i 。他在取得博士学位后，赴英国 伯明翰大学从事研究工作五年，在伯明翰认识了金融市场方面的友人，从中了解 了市场的运作。i l i n s k i 认为规范理论可以应用到金融建模工作上。 1 9 9 7 年，i l i n s k i 和合作者发表了一系列科学论文和研究报告，【1 0 】【1 1 】阐述了 他创立的金融物理，套利的规范理论，准有效金融市场的电动力学模型，以套利 规范理论导出b l a c k - - s c h o l e s 方程等。这一新的金融市场理论模型引起了很多讨 论，自然开辟了应用物理理论研究金融市场的一条新途径。当然，物理理论用于 研究金融不是从规范场开始，早在1 9 0 0 年已有_ 开端，那是应用到随机行走数学 的布朗运动，1 9 8 5 年后有很大的发展。规范理论应用到金融市场，也反映了2 l 世 纪物理学向社会科学渗透的趋势。 金融市场的规范场模型，其实同时也是一种数学模型，就是纤维丛模型，这 一模型和现在流行的经济数学模型有特别不同之处： ( 1 ) 它不是数量上的数学，它是几何结构形态的数学，这是经济数学模型所稀 见的更复杂的模型，这就不易为一向熟悉数量数学的学者们所接受。 ( 2 ) 纤维丛所描述的物理是规范场论，它主要的不是局域的描述，而是统辖 大范围性质，物理系统的整体性视野，这也与一般局域的描述接触作用近邻逐点 传播有很大不同。 ( 3 作为模型的具体演绎推算，运用理论物理学的标准方法规程，会使人有一 种印象：用物理的方法去解决金融问题，这好像运用经济的方法去解决物理问题 同等的荒谬。 市场作为物理系统 把市场作为一个物理系统用物理理论方法处理是否成立，这是一个仍在讨论 和争论的问题。经济学者金融学者会认为这是一个假命题，第一：经济问题和物 理问题是两种对象，性质和方式都不同的问题，不可以用物理方法去解决经济问 题，犹如不可能用解决经济问题的方法去解决物理问题。第二：经济市场是人群 所参与与实践的，人是有个人意志的参与者，其参与过程中有策略，决策等理性 的因素和心理等非理性因素，这些都不是物理方法所能涉及的。第三：经济市场 第二章规范场论和金融市场模型 不但受自然环境的影响还受政治的影响甚至支配，这些影响和支配作用在性质上 不是物理的，也不可以量化。基于以上三点考虑，对于目前所谓的金融物理，有 一部分学者并不认同。 对于金融市场物理模型支持者来说，他们的理由之一是认为市场具有对称性， 如同物理系统一样，因而能够探索市场的对称原则并根据这些原则推演一定的规 律。 金融市场如果可以作一个物理系统来看，它是一个很大自由度的系统，在这 种系统中即使微观看来，单个的参与者有“自由意志”的行动，但就宏观整体来看， 除非受到环境力场的统一指挥，这些行动表现也是随机性的，因而正像物理的统 计力学系统可以类似处理。这种系统在一定时间段会达到一定程度和时间的平衡 和具有某些守恒量和守恒律，这些守恒量就反映了某些对称性。正是在这个意义 上对称起了支配作用，市场作为一个大数目自由度的系统在平衡或动力状态下的 变化趋势和相互作用行动都受到对称规律的支配。本文所介绍的“规范建模”就是 从对称这个观点出发，用规范对称的原则去演绎市场的行为。 金融市场的规范场模型 纤维丛是其包含的多个要素按照一定法则构造成的几何结构体，其整体性可 以用于描述金融市场的复杂性和整体性。例如在外汇市场，它包含了几个外汇货 币区，每一个货币区就有它本身各种货币的兑换率。由于某地区兑换率的改变， 使总体的市场失去均衡，出现了套利的机会，就会引起资金的流动，市场交易者 得以从中获利，这种活动的结果是市场达到新的平衡。 这样的机制看来适合于纤维丛的语言去描述，因为它包含两种金融活动，货 币区的货币流通和货币兑换活动。货币区的全体构成纤维丛的“底空间”，货币兑 换构成“纤维”，兑换率表征“结构群”，由于某个货币区兑换率的改变使资金从一 个货币区到另一个不同兑换率货币区流动。这一活动由丛空间投射到底空间，套 利活动就成为底空间的一条闭合路径。 建立金融外汇市场的纤维丛模型还需要考虑市场的动态演化，这就是需要引 入物理思维。纤维丛是描述规范场的合适工具，因此我们可以建立纤维丛，规范 场和金融市场的对应关系。 作为模型的建立i l i n s k i 作出了下面的假设： 实际资产价值对于货币单位的定域标度改变的对称性是金融市场规范建模的 规范对称。金融环境的一切可观察性质( 特别是动力过程的规律) 不依赖于资产 第二章规范场论和金融市场模型 单位的选择。这就是金融市场规范场模型的立足点，但我们应该注意到： a ) i l i n s k i 所用的规范场模型不是现代物理学中常用的规范场模型 b ) 它的规范群不是通常物理所说的u ( 1 ) ，s u ( 2 ) ，s u ( 3 ) 等规范群，而是标度 变换( 涨缩) 群。这个群是实线性空间的操作，不含复数操作，所以它没有物理上的 量子效应。它的不定值不是量子的不定值，而是人为的概率分布。而且i l i n s k i 的金 融市场规范场模型要加入他所谓“第一原理”的很多假设。 c ) i l i n s k i 采用的a b e l 规范群，不含非线性作用。 i l i n s k i 的规范建模是应用物理理论的一般指导的思想路线： 1 ) 对称性_ 拉格朗日作用量_ 最小作用原理一运动方程。 2 ) 为从对称性构造作用量，先建造一个几何的模型，从几何的量中选择作用 量的构件，用这些几何量构成满足对称性的作用量。 3 ) 用这些几何构件代表了金融市场的基本量，对几何赋予相应的市场诠释， 几何学上这些几何量的运作描述市场的运作。 金融市场的运作 我们已经看到在纤维丛，规范场和金融市场三个方面的对应联系，特别的我 们以纤维从空间中矢量的平行移动来代表金融市场的相应运作。 金融市场规范建模中应用几何概念平行移动的例子如下： 1 ) 计算资产净值( n p v ) 方法： 由于不同时间资产值不同，需要比较不同时间的价值而求得资产的净现时价 值，不同时间价值通过贴现( d i s c o u n t i n g ) 过程出现，这比较就应用矢量平行移动 实现，为此用曲面上的联络时间分量变现贴现率。 2 ) 外汇市场的套利( a r b i t r a g e ) 套利一无风险超额获利大于银行无风险的存款利息，为比较这两者的收益， 以平行移动过程中曲面的曲率张量表达两者的收益差额j 简单金融市场的规范模型例子 1 9 9 7 年，俄罗斯理论物理学i l i n s k i 和k a l i n i n 作出了金融市场的规范场模型，k y o u n g 作出了简单的外汇市场模型。w a i 取美元，日元和马克三种货币外汇市场为例：设以二维平面格点阵为底空间， 这是一个分立的点空间。令i = 空间格点上的格点位置，世界的货币分为若干个 区，每一个区占据_ 个格点( i ；也) 是某种世界通用商品在货币区i 的价格，以该区 货币为单位；是货币i ，j 之间的汇率，货币i 一个单位可以兑换j 货币单位。略 6 第二章规范场论和金融市场模型 区兑换买卖差额：= u j i ，定义阢j 兰e q a 订，q 为常数。在某货币区的货币单 位是一种习惯约定，改变单位对经济金融没有实际影响，不同货币的单位可以各 自独立改变习惯约定货币单位的改变，晚的表面值也改变为： + 妒：= e 吼 ( 2 1 ) 注意此处没有、= r 因子。此种变换群为g l + ( 1 ，r ) 一维广义线性群。货币单 位的改变使汇率改变： _ = e ( e j 一 ( 2 2 ) 这些改变都只是名义上的改变，并不引起货物价值的改变： 依赖约定习惯一依赖规范 不依赖习惯改变一规范不变 套利过程表示为： f ( r ) = i i 职。， ( 2 3 ) r 其中r 为一闭合回路；当f = 1 时无套利机会；当f 1 时有套利机会。这是 最简单的外汇市场规范模型。由此可见一个简单的外汇市场存在以下几个因素： 1 ) 存在有一种约定习惯一各种货币可以改变的单位一规范变换 2 ) 这单位可以在不同地点各自独立地改变一定域化变换。 3 ) 真正的价值对这些改变是不会改变的一规范不变性( 规范对称性) 。 i l i n s k i ，k a l i n i n 假设，没有资金流的金融市场规范理论模型是纯规范场，从 连续时间下的作用量给出的方程可导出b l a c k s c h o l e s 方程： 鲨o t + 署s 2 器棚嘉州_ 0 ( 2 4 ) y ( st ) ：某股票期权价格5 & ：股票在时间t 的价格。 这就是著名的关于股票期权价格的b l a c k s c h o l e s 偏微方程，这公式的导 出被认为是金融理论的重大突破。此方程式在统计物理中是f o k k e r p l a n c k 方 程。 男一s 方程的解需要根据不同类型的股票制定不同的边界条件，由此又可以 导出金融资产价格的公式： 第二章规范场论和金融市场模型 母= s o e x p c t b r + ( 7 一二) 川，( 2 5 ) 二 其中，s = 股票价格，丁= 到期时间，口= 股息波动率( 常数) ，“= 股息漂移 率( 常数) ，1 = 无风险利率( 常数) ，b = 布朗运动的价格变化分布，投资组合o t 股价格为舅之股票，现金b 美元，投资额h = a s o + b b s b s 方程在世界金融理论中通行三十年，年s c h o l e s ，m e r t o n 获得诺贝尔经 济奖，导出这些公式是规范建模理论被视为有吸引力可能成功的原因。 金融市场的规范建模的目的还在于建立非均衡非完全有效的市场模型( 有资 本流情况下的市场) 。为了描述市场的起伏，i n s l 【i 引入了随机量去描述非均衡状 态下的兑换率起伏，又像模仿量子电动力学的虚过程的概念，引入了虚套利场的 概念，建立了有资金流的市场“类电动力学”模型等等【1 2 】。 第三章r e d u c t i o no fy a n g - m i l l se q u a t i o n s 一 第三章r e d u c t i o n o fy a n g - m i l l se q u a t i o n s 3 1 y a n g m i l l sg a u g ef i e l dt h e o r i e s ：b a s i cc o n c e p t sa n d f o r m u l a s l i ea l g e b r a s ：ar e p r e s e n t a t i o no fl i ea l g e b r ai sa s e to fna n t i _ h e r m i t i a nt r a c e l e s s m a t r i c e sp ，a = 1 ，2 ，n ，o b e y i n gt h ee q u a t i o n s ： 口口，t b 】= f a b c t c ， ( 3 1 ) w h e r et h efa r et h es t r u c t u r ec o n s t a n t so fs o m ec o m p a c t l i eg r o u pg g a u g ef i e l d s ：t h eb a s i co b j e c t si ng a u g e t h e o r ya r et h ey a n g 。m i l l sg a u g ep o 把n 。 t i a l s t h eg a u g ep o t e n t i a l sa r eas e to fv e c t o rf i e l d sa ：( z ) ( w h e r eo = 1 ，2 ，na n d p ：1 ，2 ，3 ，4 ) i ti sc o n v e n i e n tt od e f i n ea m a t r i xv a l u e dv e c t o rf i e l da ：( x ) b y a p 三g t 口锋， ( 3 2 ) w h e r egi sac o n s t a n tc a l l e dt h eg a u g ec o u p l i n gc o n s t a n t f r o mt h em a t r i xv a l u e dg a u g e p o t e n t i a l sa p o n e c o n s t r u c t st h em a t r i xv a l u e dg a u g ef i e l ds t r e n g t h ，( 2 ) ，b y 兄= 钆a p 一乱a p + 【a p ，a p 】= ，钆+ a p ，以+ a v ( 3 3 ) b o t ha “a i l d a r ea n t i h e r m i t i a n t r a c e l e s sm a t r i c e s i ne x p l i c i c o m p o n e n tf o n n ，兰 g t 口f 嚣, w h e r e f 品= 钆a ：一巩a ：+ g f 口6 。a p b a c p ( 3 4 ) b o n lm em a t r i xv a l u e da n d t h ee x p l i c i tc o m p o n e n tf o r m sf o rt h eg a u g ep o t e n t i a la n d 右e l ds 骶n g t hw i l lb eu s e f u lf o ru s w ew i l lu s e t h ee x p r e s s i o n s t a t i cg a u g e i e l d s ， t o r e f e rt og a u g ep o t e n t i a l st h a ta r ei n d e p e n d e n t o fx 4 出九( z ) 兰o = 1 ，2 ，3 ，4 ) ( 3 5 ) t h ew o r dc t s t a t i c i su s e db e c a u s eo n e c a l lt h i n ko fz 4a sa “t i m e c o o r d i n a t ea n d z l ，z 2 ，z 3a l st l l e s p a c e c o o r d i n a t e s 。f t h ef u l lf o u rd i m e n s i 。n a ls p a c ex l , z 2 , ：t 3 , x 4 ) 第三章r e d u c t i o no fy a i l g m i l l se q u a t i o n s a c t i o na n de n e r g yf u n c t i o n s ：f o rg a u g ep o t e n t i a l st h a t d e p e n do na l lf o u re u c l i d e a nc o o r d i n a t e sz p = ( x l ，x 2 ，z 3 ，x 4 ) w ed e f i n et h ea c t i o nf u n c t i o nb y ： s = 石1 ( c f 4 z ) = 丢( 0 ( 3 6 ) f o rs t a t i cg a u g ef i e l d st h a ta l ei n d e p e n d e n to fx 4 ，w ed e f i n et h ee n e r g yf u n c t i o nb y ： e 一1 ( 韵 = 三( 如) 0 ( 3 7 ) g a u g et r a n s f o r m a t i o n ：b o t ht h ea c t i o nsa n de n e r g yef u n c t i o n sa r ei n v a r i a n tu n d e rt h e f o l l o w i n gt r a n s f o r m a t i o n ，t ob e r e f e r r e dt oa sg a u g et r a n s f o r m a t i o n s ： a 肛三u - 1 a p u + 一1 钆以兄，三u - 1 f p ， ( 3 8 ) w h e r eu = e a 。( z ) t 。w i t h 入口( x ) b e i n gn a r b i t r a r yr e a lf u n c t i o n s i f 兄，v a n i s h e s ，t h e a p i sag a u g et r a n s f o r mo fz e r o - p u r eg a u g e , t h a ti st os a y ： 兄，= 0 兮a p = u - 1 钆以( 3 9 ) u n d e rt h eg a u g et r a n s f o r m a t i o nt h eo b j e c t 以凡l ，d o e sn o tt r a n s f o r ms i m p l yw h e r e a s t h eo b j e c t 苏咒，+ 陋a ，r ，】_ u - 1 ( a 兄矿+ 陋a ，兄，】) v d o e s o n et h e r e f o r e d e f i n e sa “c o v a r i a n t ”d e r i v a t i v e ： d u = 8 b + a * ( 3 1 0 ) s ot h a tp 弘，足卅b e h a v e ss i m p l yu n d e rg a u g et r a n s f o r m a t i o n s y a n g m i l l se q u a t i o n so fm o t i o n ： t h ep h y s i c so fg a u g ef i e l d si sd i c t a t e db yt h ea c t i o nsa n de n e r g yef u n c t i o n s w h e nt h ep r i n c i p l e so fq u a n t u mm e c h a n i c sa l ei m p l e m e n m di ng a u g et h e o r yt h er e - s u l t i n gs e e m si m p o s s i b l et os o l v ee x a c t l y , a n d o l l et h e r e f o r er e s o r t st ov a r i o u sa p p r o x - i m a t i o ns c h e m e s i nav e r yi m p o r t a n ta p p r o x i m a t i o ns c h e m e ，c a l l e dt h es e m i c l a s s i c a l a p p r o x i m a t i o n ，o n ef i n d st h a tt h ei m p o r t a n tp h y s i c a lc o n f i g u r a t i o n sa r ed e t e r m i n e db y l o c a lm i n i m ao ft h ea c t i o nsa n de n e r g ye t h u s ，i nt h ec o n t e x to ft h es e m i c l a s s i c a l a p p r o x i m a t i o n ，o n ei sl e dt os t u a yg a u g e f i e l dc o n f i g u r a t i o n st h a tl o c a l l ym i n i m i z es a n de + 第三章r e d u c t i o no fy a n g m i l l se q u a t i o n s t h ee x t r e m u m ( n o tn e c e s s a r i l ym i n i m a ! ) o ft h ea c t i o nsa n d e n e r g yea r ef o u n d b ys t a n d a r dc a l c u l u so fv a r i a t i o nt e c h n i q u e sl e a d i n gt ot h ef o l l o w i n ge u l e r - l a g r a n g e e q u a t i o n s ： 钆兄+ 陋弘，r 爿= 【巩，兄一= 0 o ri ne x p l i c i tc o m p o n e n tf o r m ； 钆+ 9 ，咖a ：= 0 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) i ng a u g et h e o r yt h ee q u a t i o n sa b o v ea l er e f e r r e dt oa st h ey a n g m i l l se q u a t i o n so f m o t i o n 1 1 1 e ya r ec o u p l e dn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sf o rt h eg a u g ep o t e n t i a la ：，a n di ts e e mu n l i k e l yt h a to n ec a l ls o l v et h e me x a c t l y e v e ni fo n ec o u l df i n d s o l u t i o n s ，o n ew o u l dh a v et ov 嘶f ) ，t h a tt h e yw e r ei n d e e dl o c a lm i n i m a lo fso rea n d n o tl o c a lm a x i m ai nt h ef u n c t i o n a ls p a c ew h i c hi sq u i t ed i f f i c u l t b i a n c h ii d e n t i t y ：c o n s i d e rt h ej a c o b ii d e n t i t yf o rt h ec o v a r i a n td e r i v a t i v ed p = 钆+ a p ： 【d a ， 巩，d 】+ d 弘，【d p ，d a 】+ 【d p ，【d a ，d p 】兰0 ( 3 1 3 ) n o wt h eg a u g ef i e l ds t r e n g t h 兄l ，c a nb ew r i t t e na s ： 兄p = 钆a v 一乱a 弘+ 【a ，a ，】= 【仇，d ，】 ( 3 1 4 ) m u l t i p l y i n gt h ej a c o b ii d e n t i t yb yt h ec o m p l e t e l ya n t i s y m m e t r i ct e n s o re _ i 如g i v e s ： 吼，+ 】= o ，加h e r e * 三三和却 ( 3 1 5 ) t h e t e n s o r f 阻vi st h ed u a lo ft h eg a u g e f i e l ds t r e n g t ht e n s o rf 叫i ng a u g et h e o r y t h ei d e n t i t ya b o v ei sk n o w na st h eb i a n c h i i d e n t i t y s e l f - d u a l i t y ：c o m p a r i n gt h eb i a n c h ii d e n t i t yt ot h ey a n g m i l l se q u a t i o no fm o t i o n w es e et h a ta n yg a u g ef i e l ds t r e n g t hw h i c hi ss e l fd u a l ： 兄p = 4 兄( 3 1 6 ) a u t o m a t i c a l l ys a t i s f i e st h ey a n g - m i l l se q u a t i o n t h ee q u a t i o na b o v ei sn o waf i r s t o r d e rc o u p l e dn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nf o rt h eg a u g ep o t e n t i a l4 三，a n d 1 1 ， 第三章r e d u c t i o no fy a n g m i l l se q u a t i o n s t h e r e f o r em u c hs i m p l e ri nc o m p a r i s o nt ot h ee q u a t i o n ，w h i c hi ss e c o n do r d e r 3 2t h es d y m e q u a t i o n s i nt h i ss e c t i o nw em o t i v a t et h es d y m e q u a t i o n sf r o mt h ep o i n t so fv i e wo fb o t h i n t e g r a b l es y s t e m sa n dg a u g et h e o r y 3 2 1l i n e a rp r o b l e m sa n di n t e g r a b l es y s t e m s m a n y1 + 1 _ d i m e n s i o n a li n t e g r a b l es y s t e m sa r es o l v e dv i ar e l a t e dl i n e a rp r o b l e m s o f t h ef o r m ： 皿z = x 皿， t = t 皿， ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) w h e r exa n dta r es q u a r em a t r i c e so ft h es a m ed i m e n s i o nw h i c ha r ef u n c t i o n so fx ，t a n dt h es p e c t r a lp a r a m e t e re t h ec o m p a t i b i l i t yo ft h e s ee q u a t i o n s ( i e ，皿耐= 皿缸) i se q u i v a l e n tt o ： 托一死+ ，列= 0 ( 3 1 9 ) i n1 9 7 3 ，a b l o w i t ze ta l 1 3 1 s o l v e dt h ei n v e r s es c a t t e r i n gp r o b l e mi nt h ec a s e 【1 4 ： 拈- i ( l ) g 弘( 昌三) ， 2 。， w h e r ea ，b ，ca l e ( l a u r e n t ) p o l y n o m i a l si ne