（模式识别与智能系统专业论文）基于gabor变换的特征分析及其应用.pdf

中国科学院牌士学位论文 基于g a b o r 变换的特征分析及其应用 摘要 时频分析是信号处理中的重要手段之一。g a b o r 变换，又称短时或加窗 f o u r i e r 变换，克服了传统f o u r i e r 变换在频域内无任何时域分辨力的缺陷，体 现了信号的联合时频分析特性。在h e i s e n b e r g 测不准原理下，它被证明具有最 优的联合时频分辨率。同时，通过对人的感知系统的生理学特性研究表明，二 维g a b o r 基函数能够很好的描述哺乳动物初级视觉系统中大多数简单视觉神经 元的感受野特性。本文的目的是通过对图像信号进行基于g a b o r 变换的时频分 析，开展模式检测方面的相关技术研究。本文工作的贡献体现在： 1 ) 从时频分析角度出发，对g a b o r 变换的时频特性进行了分析。对其在纹理分 割、图像检索、目标检测、目标识剐等方面的典型应用展开了论述。 2 ) 在边缘检测方面，对基于奇g a b o r 滤波器的边缘响应输出进行了分析，提出 了个基于r a y l e i g h 分布的非线性自适应闽值选择方法。在此基础上，通 过对奇g a b o r 变换进行多尺度特性分析，提出了一个奇g a b o r 变换域内基于 尺度积的边缘检测算法。实验表明。该算法同常用的边缘检测算子相比，具 有更强的抗噪性能及更好的视觉检测效果。 3 ) 利用圆形g a b o r 变换的旋转不变性，提出了一个基于加权的部分h a u s d o r f f 距离的鲁棒目标匹配方法。在加有位置信息的圆形g a b o r 特征空间，利用加 权的部分h a u s d o r f f 距离实现了目标的粗匹配。此后，通过结合圆形g a b o r 特 征与目标的形状信息，实现了目标的精匹配。实验表明所提出的算法对于噪 声、遮挡、旋转及一定的尺度变化具有鲁捧性。 4 ) 为解决上述匹配算法的效率问题，提出了一个基于假设、验证的两步目标匹 配方法。首先把目标匹配过程分解为多个局部优化过程，借以减小目标匹配 中的搜索路径：然后利用基于k l 散度的均值漂移技术实现局部优化，从而 实现假设集( 局部优化的收敛点) 的快速产生。在局部寻优过程中，提出了 一个系数修正方法，从而在理论上确保迭代寻优过程的收敛。 5 ) 以室外复杂背景下的静态侧视车辆为研究目标，提出了一个有效的基于多层 序惯框架结构的车辆检测算法。在这个框架下，我们采用了多线索融合的目 标表示方法。利用计算复杂度较低的两个底层线索。实现对大量的非目标窗 口的快速排除。在顶层线索中为实现目标的有效表达我们引入了反映目标全 局结构属性的奇g a b o r 矩及基于偶g a b o r 滤波器的局部纹理属性。为提高分 类器的效率，提出了一个基于逼近解的分层s v m 算法。实验表明，同a g r a r w a l 的算法相比，本文算法具有更高的检测效率及检测性能。 关键词：g a b o r 变换，边缘检测，目标匹配，k l 散度，目标检测，支持向量机 一 ! 里型堂堕堕主堂些丝奎 g a b o r1 y a n s f o r mb a s e df e a t u r e a n a l y s i sa n d i t sa p p l i c a t i o n s a u t h o r ：z h e n f e n gz h u s u p e r v i s o r ：h a n q i n gl u a b s t r a c t 乃妒o ，耐- ，切“孽h 钞爿h d 枷妇i so n eo fm o s ti m p o r t a n tt o o l sf o rs i g n a lp r o c e s s i n g g 口6 计z 勉n 置加，m ，w h i c hi sa l s on 锄e db ys a 一嚣拼g ，o “r 耙r 乃研拈如瑚o rw f ，i d o w e 矗 ，t 0 “，f p r 胁n b 硎， s h d w st h ej o n tt e m p o r a l 一疗e q u e n c yp r o p e r t yo fs i g n a l 柚a l y s i sa n d o v e r c o m e st 1 1 e s h o n c o m i n g so ft r a d i t i o n a i 凡“一e r 丹n ”s 加啪w h i c hf a i l st op r e s e ma n y t e m p o r a ld i s c r i m i n a t i o na b i l i t yi nf k q u e n c yd o m a i n u n d e rh e i s e n b e r g su n c e r t a i n t y p r i n c i p l e ，“h a sb e e np r o v e dt h a tnh a so p t i m a lj o i n tt e m p o r a 卜f r e q u e n c yr e s o l u t i o n b a s e do n n 碍s t u d i e so nt l ep h y s i o 】o g yo fm a m m a lp e f c e p t i o ns y s t e m 。i th 鄙b e e ns h o w nt h a t2 - d ( 珀6 0 r e 皓小p h 幻r y 凡m c 打d c a n f i t w e l l t h er c c e p t i v e f i e i d so f t h e m a i o r i t yo fs i m p l ec e l l s i n m a m m a lv i s u a lc o n e x a nw o r k sp r e s e n t e di nt h ed i s s e r t a t i o na r et 0c o n d u c tp a n e md e t e c t i o n r e l a t e dr e s e a r c h e sb ym e a n so fg 口6 0 ，7 k ，可b ，册b 鹊e di o i m 弛脚p o ，口乒f 憎g p 疗c y 一一口，”括 t h em 8 i nc o m r i b u t i o no f t h ed i s s e r t a t i o na r ea sf 0 1 1 0 w s ： 1 ) f r o mt h ev i e wo f 殆，妒。阳卜，砣g p 掣爿n 口如缸，t h ef p 7 强p o r 口，：触g “p ”叫p r o p e r t yo f g 口6 0 ，开矾抽r 脯 sa n a l y z e ds o m eg 口6 0 rn ，咖b 鹊e dt y p i c a la p p l i c a t i o n sa r e d i s c u s s e d ，w h i c hi n c l u d et e x t u r es e g m e n t a t i o n ，i m a g er e t r i e v a l ，o b j e c td e t e c t i o n ，a n d o b j e c tr e c o g n i t i o n 2 ) i ne d g ed e t e c t i o n ，t h ee d g eo u t p u tr e s p o n s eb a s e do nd 砌g 口6 d r7 h n 加，卅i sa n a l y z e d a n dan on i i n e a fa d a p t j v e 出f e s h o j ds e j e c “o ns c h e m eb a s e do n 皿纠翻舻d i s t r i b u t i o nj s p r o p o s e d f o l l o w i n g t h ea b o v ew o r k s ， t h em u h j - s c 引ea n a l y s i si n ( 砣埘g d 6 d r m m a 瑚d o m a i ni sc o n d u c t e da n ds c a l em u l t | p l i c a t i o ni no d dg 口6 d r 开口一 加，脚 d o m a i nf o re d g ed e t e c t i o ni sp u tf o n v a r d t h en n a le x p e r i m e n t a 【r e s u i t ss h o wt h e p r o p o s e da l g o r i t h mh a ss t r o n g e rn o i s er e s i s t e dc a p a b i l i 可a n d b e _ 亡七e rv i s u a le f r e c t c o m p a r e dw i t ho t h e rc o m m o nu t i l i z e de d g ed e t e c t i o no p e r a i o r s 3 ) b a s e do nt h em t a t i o ni n v a r i a n tp r o p e f 哆o fc f 阳栅g “6 。r 开d n 置厂o ，坍，ar o b u s to b j e c t m a t c h i n gm e t h o db yu s i n gw e i g h t e dp a r t i a l ，妇“j 如，扩d l s t a n c ei sp r o p o s e d i nc i r c l i i a r g a b o rf 毫a t u r es p a c ew i t hp o s j t i o ni n f o r m a t i o ne m b e d d e d ，ac o a r s eo b j e c tm a t ch l n gi s r e a l i z e db yu s i n gw e i g h t e dp a n a 1 胁“j d o c 矿d i s t a n c e t h e nt h ef i n a in n eo b j e c t m a t c h i n gi so b t a i n e db yc o m b i n i 九gt h ec i r c u i a rg a b o rf e a t u r e sa n dt h eo b j e c t ss h a p e 中国科学院博士学位论文 4 1 m f o m a t i o n t h ee x p e r i m e n 诅lr e s u l t ss h o wt h a tt i l ep r o p o s e da l g o r i t h i ni sm b u s tt ot h e i n f l u e n c e s 丹o mt h ec a s e so f n o i s e ，o c c l u s i o n 。m t a t i o nv a r i a t i o n ，a n ds c a l ev a r i a t i o n f o rt h ec o n s i d e r a t i o no fc o m p u t i n ge m c i e n c yo ft h ea b o v em e n t j o n e do b j e c tm a t c h j n g m e t h o d ，at 、v o - s t e po b j e c tm a t c h i n gs c h e m eb a s e do nh y p o t l l e s i sg e n e r a t i o na n d v e r i f i c a t i o ni sp f o p o s e d f i r s tt h ep r o c e d u r eo fo b j e c tm a t c h i n gi sd e c o m p o s e di n t 0 m u l t i p l e1 0 c a lo p t i m i z a t i o n st os h o f t e nt h es e a f c hp a t h sf o ro b j e c tc a n d i d a t e s t h e nt h e m e a ns h i f tb 酗e di o c a io p t i m i z a t i o nt e c h n i q u ew i t hk ld i v e 唱e n c ea ss i m i l a r i t y m e 鲢u 嘈i su t i l i z e dt og e n e r a t ef 缸tt h eh y p o t h e s bs e t i n h ep r o c e s so fb c a l o p t i m i z i n g ac o e 衔c i e n ta d j u s t m e n tm e t h o di sg i v e nt o e 1 1 s u r e也e t h e o r e t i c c o n v e 唱e n c yo f i t e r a t i v eo p t i m i z i n g 1 bs e tt h es t 矗t i cs i d e v i e wc a r su n d e fa u t d o o rc o m p i e xe n v i r 。n m e n ta so b j e c t st ob e d e t e c t e d ，as e q u e n 廿a l l yh i e r a r c h i c a l a r c h i t e c t u r e i sp r o p o s e d u n d e rt h ep r o p o s e d a r c h i t e c t u r e ，m u l t i - c u ei r l t e g m t i o nf o ro b j e c tr e p r e s e n t a t i o ni sa d o p t e d m o s tn o no b j e c t w i n d o w sc a nb ef a s te 1 1 m i n a t e dj u s tb yt i s i n gt w o1 0 wl e v e l c u e sw h i c h 盯en o t c o m p u t i n ge x p e n s i v e i nh i g hl e v e lc u e s ，t 1 1 eo d dg a b o rm o m e n tw h i c hr e f l e c t st h e o b i e c t ss t r u c t u r ep r o p e r t i e si si n t r o d u c e da n d a tt h es a m et i m et h el o c a lt e x t u r e p r o p e n i e s 甜ea i s oc o n s i d e r e dt oe f ! f i c i e n t l yr e p r c s e n tt 1 1 eo b j e c t t oj m p m v et h e c l a s s i f i e r se f f i c i e n c y ，as o l u t i o na p p r o x i m a t i n gb a s e dt w 0 1 e v e lh i e r a r c h j c a ls v mi s p r o p o s e d c o m p a r e dw n ht h ea l g o r i t h mg i v e nb ya g r a r w a l ，t h ep r o p o s e da l g o r i t h m h h i 卫h e rd e t e c t i o ne 怖c i e n c ya 士1 d b e t t e rd e t e c t i o np e r i d r n l a n c e s - k t y w o r d ：g a b o r1 8 n s f o r m ，e d g ed e t 氍t i o n ，0 b j e c tm a t c h i n g ，k ld i v e t g e n c e ，o b j 。c t d e t e c t i o n ，s u p p o r tv b c t o rm a c h i n 。 目录 图1 1 绪论 插图目录 图2 j信号的f o u r i e r 变换与反变换l 】 图2 - 2g a b o r 变换的相平面窗口分析图一1 4 图2 3 二维感知域模型与g a b o r 滤波器1 5 图2 4 2 dg e f 的实部、虚邹及频域响应1 6 图2 5 基于频域的g a b o r 滤波器的参数选取示意图1 9 图2 6 一簇g a b o r 小波的时域与频域表示2 0 图3 1 常见的边缘模型2 4 图3 2l d 奇g a b o r 的时域响应2 5 图3 3 边缘后处理框图2 9 图3 4 基于奇g a b o r 滤波器的能量输出的实际分布与估计出的r a y l e j g h 分布的比较3 0 图3 5 基于e g r 与c a n n y 算子在不同信噪比s n r 下的边缘检测；第一列 为原图，第二列为e g r 算子，第三列为基于c a n n y 算子( 口。= 3 5 ) 一1 3 2 图3 6 加有高斯自噪声的8 i f d 图的边缘检测结果( a ) 输入图像( b ) g r 算子( c ) c a 肌y 算子( d ) s o b e l 算子( e ) l o g 算子3 3 图3 7 加有高斯自噪声的c a m e r a m a n 图的边缘榆测结果( a ) 输入图像( b ) e g r 算子( c ) c a n n y 算子( d ) s o b e i 算子( e ) l o g 算子3 3 图3 8 加有高斯向噪声的b u i l d i n g 图的边缘检测结果( a ) 输入图像( b ) e g r 算子( c ) c a n n y 算子( d ) s 0 b e i 算子( e ) l o g 算子3 4 图3 9 加有高斯自噪声的h 。u s e 图的边缘检测结果( a ) 输入图像( b ) e g r 算子( c ) c a n n y 算子( d ) s o b e l 算子( e ) l o g 算子3 4 图4 11 d 信号在不同尺度下的响应输出及尺度积输出4 l 基于g a b o r 变换的特征分析及其应用 图4 2 不同信噪比下的合成v c r t i c a i 图的边缘检测结果4 4 图4 _ 3 不周信噪比下的合成c i r c l e 图的边缘检测结果4 4 图4 4 不同信噪比情况下的度量f 曲线4 5 图4 5 不同信噪比下的定位精度一曲线4 5 图4 6 b o a t 图像的边缘检测结果，第二排为c a n n y 算予在图像( a ) 上的边 缘检测结果，第三排为图像( c ) 的检测结果4 7 图4 7b i r d 图像的边缘检测结果，第二排为c a n n y 算子在图像( a ) 上的边 缘检测结果，第三排为图像( c ) 的检测结果4 7 图4 8f l o w e r 图像的边缘检测结果，第二排为c a n n y 算子在图像( a ) 上的 边缘检测结果，第三排为图像( c ) 的检测结果4 8 图4 9b u i i d i n g 图像的边缘检测结果，第二排为c a n n y 算子在图像( a ) 上 的边缘检测结果第三排为图像( c ) 的检测结果4 8 图4 1 0h o u s e 图像的边缘检测结果，第二排为c a n n y 算子在图像( a ) 上的 边缘检测结果第三排为图像( c ) 的检测结果4 9 图4 1 1w o m a n 图像的边缘硷测结果，第二排为c a n n y 算子在图像( a ) 上的 边缘检测结果，第三排为图像( c ) 的检测结果，4 9 图5 一】圆形g a b o r 滤波器的空域响应：( a ) 实部( b ) 虚部 图5 2 圆形g a b o r 滤波器的频域响应 图5 3h a u s d o r f f 距离示意图 图5 4 噪声点对h a u s d o r f r 距离的影响 图5 5 加有位置信息的圆形g a b o r 特征向量 图5 6 高颠噪声下的目标匹配结果 图5 7 旋转变化情况下的目标匹配结果 图5 8 遮挡情况下的目标匹配结果 图5 9 尺度变化情况下的目标匹配结果 图5 1 0 旋转、尺度变化情况下的目标匹配结果 5 3 5 3 5 4 5 6 5 9 一6 3 ，6 4 6 5 6 6 6 7 目录 图6 1 均值漂移过程示意7 2 图6 2 形状上下文7 4 图6 - 3 种子点选取示意图7 6 图6 4 脚，一拿曲线7 8 p 。 图6 5 基于k l 散度与b h a n a c h a r y a 距离的迭代次数比较7 9 图6 6 加权灰度直方图与加权全局上下文对遮挡的敏感性7 9 图7 1多层序惯框架结构中的多线索融合8 1 图7 2 角点区域模板( c a t ) 与边缘区域模板( e a t ) 8 3 图7 3 区域模板匹配结果8 5 图7 4a t r 变换的基函数( 实部) 8 6 图7 5 线性可分情况下最优分类面示意图8 8 图7 6 非线性映射示意图9 1 图7 7 部分正、负训练样本9 4 图7 8 基于多线索与分层s v m 的车辆检测序惯框架9 4 图7 9 两层s v m 的效率曲线9 5 图7 1 0 在含有2 0 0 辆车的测试集上的检测性能曲9 6 图7 1 l 部分正确目标检测结果9 6 目录 表格目录 表3 1 性能测试2 6 表4 1 合成图像说明4 4 表6 一l 假设集产生流程8 0 表6 2 假设集验证8 0 表7 1贪婪式子空间获取方法9 3 表7 2同一测试集下的本文算法与s a g r a 刑a l 的基于部分的方法的比较 9 7 表7 3 同一测试集下的本文算法与其他算法的比较9 7 独创性声明 本人声明所成交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知 除了文中特别加以标往和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确地说明并表示了谢意。 虢垒丝堕口期 关于论文使用授权的说明 埘；r 本人完全了解中国科学院自动化研究所有关保留、使用学位论文的规定即：中国科学院自 动亿研究所有权保留送交论文的复印件允许论文被查阅和惜阅：可以公布论文的全部或部分内 容可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 虢孛垂峰聊虢皇嗵同期 和，e j 。j f 第一章绪论 1 。1 研究背景及意义 第一章绪论 人类认识自然界的目的是为了更好的改造自然界、适应自然界。而人 类认识自然界的源泉来源于人类对自然界的观察。俗语“百闻不如一见”、 “眼见为实”表明了人类视觉在观察自然界中所处的独特地位。科学研究 和统计表明，人类从外界获得的信息约有8 0 是通过人类的视觉来获得的。 随着信号处理理论及计算机技术的发展，如何利用计算机代替人类视觉实 现对客观世界的观察，即如何利用计算机对图像信号进行类似于人类视觉 的信息处理过程，是当前信息领域的一个热门研究课题。 模式检测( p a t t e r nd e t e c t i o n ) 是计算机视觉研究的一个重要任务。 它的目的是在给定的输入场景中实现对待检测模式的定位。这里的模式可 以梭定叉为u a s0 p p o s i t e 叮qc h s ：i ti sn ne n t 吼v 8 9 u e l yd 蛹n e d t h n t c o “膈6 p z f v p 月口月口埘p ”其应用领域包括诸如视觉导航与定位、目标跟踪 与识别、图像检索、医学图像配准、工件的组装及定位等方面。从对待检 测模式的先验知识的角度来看，模式检测可分为基于学习与非学习两种方 式。前者包括我们通常所魄的目标检测( 如人脸检测、车辆检测等) 以及 变化检测( 如遥感图像的变化检测) 。其，h 实现目标检测任务的关键在 于如何通过对样本模型的学习得到一个对口标类的有效描述以及如何通 过学习设计一个高效的分类器。在基于非学习的模式检测方面，边缘及角 点等基元的提取在m a r r 0 1 的视觉理论巾占有重要的地位，通常被认为是进 行高层模式识别任务的基础。此外，基于非学习的模式柃测还包括基于单 模型的目标匹配，此时待检测的目标由单一模型给出。通常来说，高效与 鲁棒性是目标匹配方法所追求的目标，噪声、旋转、尺度、遮挡、光照等 变化对算法的影响是目标匹配所要解决的主要问题。 我们知道，在图像处理中图像信息是以信号的形式存在的。时频分析 理论一直以来是信号处理领域的重要手段之一。作为最早的时频分析工 具，f 。u r ie r 变换一直被认为是信号处理中最完美、应用最广泛、效果最 基于g a b o r 变换的特征分析及其应用 好的一种分析工具，它建立了信号从时域到频域的桥梁。基于f o u r i e r 变 换的信号频域表示及其能量的频域分布揭示了信号在频域的特征。但是， f o u r i e r 变换是一种整体变换，即对信号的表征要么完全在时域，要么完 全在频域，既它并不能告诉我们其中某种频域分量出现在什么时候及其变 化情况。这也曝露了其在分析非平稳信号时的局限性。 为克服f o u r i e r 变换的上述局限性，d g a b o r ”3 在1 9 4 6 年提出了以他 名字命名的g a b o r 变换( 又称短时f o u r i e r 变换或加窗f o u r ie r 变换) 来 获取局部时间范围的频域特征。它体现了信号的联合时频分析特性，并被 证明在h e i s e n g b e r g 测不准原理下具有最优的联合时频分辨率。j o n e s 和p a l m “”及d a u g m a n 等7 3 的研究表明，二维g a b o r 基函数能够很好的描 述哺乳动物初级视觉系统中一对简单视觉神经元的感受野特性，这也为其 在图像处理中的应用奠定了理论基础。在一定条件下”1 ，g a b o r 变换的多 分辨分析即为g a b o r 小波变换，但由于g a b o r 边换的方向特性，此时的 g a b o r 小波变换为具有方向的小波变换。 本文的研究得到了国家自然科学基金重点项目“复杂条件下目标自动 识别的理论与关键技术研究”的支持。目的是通过对图像信号进行基于 g a b o r 变换的时频分析，开展模式检测方面的相关技术研究。 1 2 研究现状 自1 9 7 8 年，g r u a n d 等“1 首次把二维g a b o r 变换引入到计算机视觉任 务中以来，基于g a b o r 变换的时频分析理论得到了深入而广泛的研究，其 在计算机视觉领域中的应用也得到了不断发展。每年在与计算机视觉有关 的许多国际会议( 如c v p r 、e c c v 、i c c v 、i c i p 、i c p r 等) 及国际杂志( i e e e t r a n o np a m i 、i e e e t r a n o ni m a g ep r o c e s s i n g 、i n t e r n a t i o n a l ，o u r n a l o fc o m p u t e rv is i o n 、 i m a g ea n dv i s i o nc o m p u t i n g 、 p a t t e r n r e c o g n i t i o n 等) 上都有大量的与基于g a b o r 变换的时频分析理论及其应 用有关的文章发表。下面将主要就其在纹理分割( t e x t u r es e g m e n t a t i o n ) 、 图像检索( i m a g er e t r i e v a l ) 、目标检测( o b j e c td e t e c t i o n ) 、目标识别 ( o bj e c tr e c o g n i t i o n ) 等方面的典型应用展开论述。 2 一 篓二童堕笙 1 2 1 纹理分剖 纹理是构成现实世界的一个基本要素，对纹理的感知是入类知觉系统 赖以认识世界的一个重要因素。最早利用基于g a b o r 变换的时频特性对纹 理分析进行研究可见t u r n e 0 1 、c l a r 妒“、b o v i 2 1 及j a i n 等人的工作。 在基于g a b o r 滤波器组的纹理分割方面，j a i n 等“”的具有代表性的纹 理分割框架如图卜i 所示。在这个框架中，输入图像首先经g a b o r 滤波器 组进行多通道( i u l t ic h a n n e l ) 滤波得到滤波图像。然后经对滤波图像 进行非线性映射及局部能量计算后得到特征图像，并结合上下文信息实现 滤波图像 响应图像 输入图像厂 l 丌一 u 善审告曹 非线性映射 局部能量计算 00 0o 位置铲文l 学昭守岳上上0d o豇 s q u a r ee r r o r 聚类分忻 特征图像 分割图像l ( 2 3 ) 因此，基于无穷区间的平稳基函数不可能表现出非平稳信号厂( ，) 的局域 性。这些说明f o u r i e r 变换建立的只是从一个域到另一个域的桥梁，但它 并没有把时域与频域有机的结合起来。实际上，一些常见的非平稳信号如 音乐信号、语音信号及探地信号等，它们的频域特性都随时间而变化，因 此也可以称它们为时变信号。对这一类信号进行分析，通常需要提取某一 时间段( 或瞬间) 的频域信息或某一频域段所对应的时间信息。这样就需 要找到某种同时具有定时间和频率分辨率的基函数来代替式( 2 3 ) 中 的正弦基函数进而对信号进行时一频分析。 2 2g a b o r 变换 针对非平稳信号的研究工作最早是从二十世纪四十年代开始的。1 9 4 6 年。d g a b o r 在他那篇题为“通信理论”的经典论文中强调指出【3 】： “迄今为止通信理论的基础一直都是由信号分析的两种方 法组成的：一种将信号描述成时间的函数，另一种将信号描述成 频率的函数( f o u r i e r 分析) ，这两种方法都是理想化的。然 而，我们每一天的经历特别是我们的听觉一却一直是用时间和 频率两者来描述信号的。” 正是在这一思想下他提出了著名的g a b o r 变换( 也称加窗f o ur i e r 变换或 短时f o u r i e r 变换) o a b o r 变换继承了f o u r i e r 变换所具有的“信号频谱” 这样的物理解释，同时克服f o u r i e r 变换只能反映信号的整体特征而对信 号的局部特性没有任何分析能力的缺陷，为信号处理提供了一个新的分析 和处理工具，即信号的联合时频分析。 2 2 11 dg a b o r 基函数( g a b o re i e m e n t a r yf u n c t i o n ，g e f ) 设一维函数5 ( f ) f ( r ) 且：o ，如果 肛( f ) 陋 叭 则式( 2 - 6 ) 被称作g a b o r 变换。为此定义： g ( a ，6 ，；f ) = p 。删j 。( ，一6 ) ( 2 7 ) 为1 - dg a b o r 基函数，它可以被看作是一个披高斯函数调制的复正弦波。该 基函数与窗口函数s 。o ) 的f o u r i e r 变换分别为： ( ，7 ) = e ) p 一口( 玎一吐，) 2 一f 6 ( 7 7 一) 】 只。( 带) = e x p ( 一口叩2 ) ( 2 8 a ) ( 2 8 b ) j 司时- 式( 2 6 ) 变为： g ，( 6 ，) = l ，( f ) 季( 口，6 ，；f ) 出= ( 2 _ 9 ) 可以看出，式( 2 3 ) 中的基函数p 7 “变成了g ( 口，6 ，；f ) 。 以6 为变量，对式( 2 9 ) 两端进行积分，则有： eg ，( 6 ，出) 劭= e 亡厂( f ) 亭( 口，6 ，；，) 出拍= ，( ) ( 2 - 1 0 ) 式( 2 - l o ) 说明信号，( f ) 的g a b o r 变换g ，( 6 ，国) 在时间f ：6 的附近使信号 ，( f ) 的f o u r i e r 变换局部化了。 由f o u r i e r 变换的p a r s e v a l _ 瞳等式，即对w 曙2 ( r ) 总有公式： 一玄，气 ( 2 川) 进而由式( 2 一i ) 、( 2 - 7 ) 、( 2 _ 8 ) 、( 2 - i i ) 可得： e 如愿咖，删) 成= j 三e “”去e 吖帐( 。，。，6 潮却 ( 2 - 1 2 ) 基于g a b o r 变换的特征分析及其应用 这说明，对于给定的观测时刻f = 6 和固定的频率分量玎= 国，除常数项 e 、f 兰e 。“外，信号，( f ) 在f = 6 具有时间窗函数晶( f ) 的g a b o r 变换与信号 y 口 一( 咖在】7 = 具有频率窗函数j ，( 功的g a b o r 变换是一致的，即两者给出 4 口 的信息是一样的。只不过前者是时域形式，而后者是频域形式。这体现了 g a b o r 变换在时域与频域观测的等效性。这也就是g a b o r 变换能对信号进 行时频分析的理论依据。 g a b o r 把窗函数s ( f ) 取为高斯函数的最直接原因是g a u s s i a n 函数的 f o u r i e r 变换仍为g a u s s i a n 函数，这使得f o u r i e r 变换的逆变换也是用窗函 数局部化了的，同时体现了频率域的局部化。而它的第二个原因是在 h e i s e n b e r g 测不准原理下。g a b o r 变换具有一般“窗【jf o u r i e r 变换”的最 优性。通过式( 2 5 ) 、( 2 9 ) 可知，信号，( r ) 的g a b o r 变换g ，( 6 ，脚) 给出的是 信号厂( ，) 在时间窗 e 0 ) + 6 一0 ) ，e ( j ) + 6 + ( j ) 】( 2 一1 3 ) 中的局部时间信息。而由p a r s e v a l _ 匿等式( 2 1 1 ) 可知，信号，( f ) 的g a b o r 变换g ，( 6 ，出) 同时给出了信号( r ) 在频域窗 【e ( f ) + 甜( f ) ，( c ) + 甜+ ( 只) 】 ( 2 一1 4 ) 中的局部频域信息。g a b o f 变换的枢平面内局部时频窗口分析如图2 2 所 示。 缈 2 ( j )( 5 ) ( 只)4 b ( c ) ( j ) ( 5 ) l ( 只) ( f ) i 扫) 【j ) ( f ) ， b ( f )l ( e ) ，缸6 6 2 6 图2 2g a b o r 变换的相平面窗n 分析图 从图2 2 可以看出，每个局部时一频窗口可以表示成 一1 4 第二章g a b o r 变换 占( 印+ 6 一o ) ，l 和) + 6 + o ) + 目只) + 一( 曩) ，以只) + 出+ ( e ) ( 2 1 5 ) 这样，每个局部时频窗口的面积为：爿= 4 ( e ) ( s ) 。当时- 频窗口的形状 不变时，时频窗口的面积4 越小，说明它的时频局部化描述能力就越强； 当窗口面积越大，说明它的时频局部化描述能力就越差。对于g a b o r 变换 来说，由于g a u s s i a n 函数j 。( f ) 与其对应的f o u “e r 变换只( 功都满足窗口 函数的要求，容易得到g a b o r 变换对应的时一频窗口的面积4 ( 只) ( ) ；2 ， 也即( c 。) ( 毛) = 去。而按照h e i s e n b e r g 测不准原理”1 ，如果s ( ，) 及其 f o u r i e r 变换只( 印) 同时满足窗函数的要求，那么 1 o ) ( c ) ( 2 - 1 6 ) 上 由h e i s e n b e r g 测不准原理我们可以看出一个事实，即g a b o r 变换是具有最 小时频窗口面积的窗口f o u r i e r 变换，这表达了g a b o r 变换的最优性。 2 2 22 一dg a b o r 基函数( 2 dg e f ) 1 9 7 8 年，g r a n l u n d 【9 1 最先给出了2 维g a b o r 基函数的表示形式，并把 它用到了图像处理中。从哺乳动物的视神经感知角度出发，d a u g m a n ”1 、 k n u t s s o n 【8 3 1 等人对2 dg a b o r 基函数表示进行了深入研究，正是基于他们 的研究使得g a b o r 分析在视觉领域中得到了广泛应用。 2 一dr e c 印t i v ef i e l d 2 dg a b o rf u n c t j o n d i 行c r e n c e 图2 3 二维感知域模型与g a b o r 滤波器 d a u g m a n m 】认为，从满足统计z 2 检测法的意义上讲，绝大多数铺乳 动物的视觉皮层简单细胞的二维感知域模型能够被二维g a b o r 基函数很好 的拟台。无论从空间域的起伏特性上，方向选择上，空间- 频率域的选择， 基于g a b o r 变换的特征分析及其应用 还是正交相位的关系上，二维g a b o r 滤波器与皮层简单细胞的= 维感知域 的模型相互吻合。图2 3 说明了这一点，圈中第一行给出的是猫的视觉皮 层简单细胞的典型二维感知域模型图，第二行给出的是最佳的吻合的二维 g a b o r 基函数，第三行为拟合误差。从图中可以看出拟台误差非常小。 2 dg a b o r 基函数的通用表示形式为： g ( 工，y ) = j ( z ，j ，) w ( x ，y )1 w ( x ，y ) = e x p 【( f 2 庸r x ) + p 】( 2 17 ) s ( 工，y ) = k e x p 【一万( 玎2 x 2 + 62 y2 l 其中：w ( x ，y ) 为复正弦载波，户为载波的相位，( ，0 ) 为空间频域中心。 s ( z ，y ) 为g a u s s i 8 n 包络函数，k 为一常数。2 dg a b o r 基函数g ( x ，y ) 的 f o u l i e r 变换为： t ( 妒) = 嘉e x p ( f 2 艘) e x p 一石【竺享芷+ 署 ( 2 18 ) ( a ) 实部 ( b ) 虚部 c ) 频域 图2 4 2 dg e f 的实部、虚部及频域响应 在实际图像处理中，通常有载波相位尸= 0 。用g 。( 艽，y ) = r e ( g ( x ，y ) ) 和 1 6 第二章