（机械设计及理论专业论文）160吨铁路救援起重机伸缩式吊臂模糊可靠性优化设计.pdf

西南交通大学研究生学位论文 摘要 吊臂是起重机的重要部件，其设计的好坏将直接影响起重机整机的 性能和经济成本。吊臂除了应保证起重机具有良好的性能而必须具备足 够的强度、刚度、稳定性外，还必须力求轻巧。吊臂自重过大，材料利 用率低，是伸缩式吊臂起重机向大型化发展的主要障碍之一，因而探索 科学、合理的设计方法是现代起重机设计中必须解决的问题。 本论文在起重机伸缩式吊臂设计中考虑到实际起重量的随机性和传 统强度判据的模糊性，首次将可靠性、模糊性与优化设计相结合，进行 模糊可靠性优化设计，建立了伸缩式吊臂的模糊可靠性优化模型和提出 了相应的求解策略，并在m d o d 的基础上用f o 廷1 r a n 语言编制了一 套实用、准确、通用性较强的伸缩式吊臂的模糊可靠性优化设计程序， 并以q t j s l 6 0 铁路起重机的伸缩臂设计为倒。提出了优化方案以供参 考。 【关t 词】 模糊可靠性优乡起重机伸缩 少 c h e n g d u s o u t h w e s j i a o t o n g u u i v e r s i t y y 9 7 2 0 82 0 0 0 3 西南交通大学研究生学位论文 a b s t r a c t a so n eo f i m p o r t a n tc o m p o n e n to fc r a n e ，w h e t h e ri i b i s d e s i g n e dw e l lo rb a d l yw i l li n f l u n e n c ed i r e c t l yo np e r f o r m a n c e a n dc o s to fw h o l ec r a n e j i bn e e dh a n k e ra f t e rb a n d i n e s sb e s i d e s h a v i n ge n o u g hs t r e n g t h ，r i g i d i t y ，a n ds t a b i l i t yt oe n s u r ew h o l e c r a n e h a v i n gg o o dp e r f o r m a n c e b e c a u s ei i b s s e l f - w e i g h tt o oh i g ha n dm a t e r i a l su s e m lr a t e t o ol o wa r ep r i m a r yo b s t a c l e so f t e l e s c o p i ci i bc r a n ed e v e l o p i n gt o l a r g e s c a l ec r a n e w h a ts e a r c ha f t e rs c i e n t i f i c a n dr e a s o n a b l e d e s i g n i n gm e t h o d si m m i n e n t l yn e e ds o l v i n gf o rm o d e mc r a n e d e s i g n i nt h i sp a d e rt h ef u z z yr e l i a b l eo p t i m i z a t i o ni sa p p l i e df o r t h ef i r s tt i m et oc r a n et e l e s c o p i cj i bd e s i g n i n go w i n gt ot a k i n g r a n d o m n e s so f p r a c t i c a lr a i s i n gw e i g h ta n df u z z y n e s so f s t r e s s s t r e n g t hi n t e r f e r o t h e o r y i n t oc o n s i d e r a t i o n ，a n de s t a b l i s hf u z z y r e l i a b l eo p t i m a lm o d e lo f t e l e s c o p i cj i ba n dp u tf o r t hh o m o l o g u s s o l v i n gs t r a t e g y , a n d w r i t eas e to f u t i l i t yp r o g r a mf o r t h em o d e li n f o r t r a no nb a s i so fm d o d f u r t h e r m o r e ，t h ep 印e re x a m p l e t h ed e s i g no f t e l e s c o p i cj i bo f1 6 0 tr a i l w a yr e s c u ec r a n e ，a n d p r o v i d eo p t i m a ls o l u t i o n s oa st or e f e r e n c e k e yw o r d s ：f u z z y r e l i a b l eo p t i m i z a t i o n ，o r a l # t e l n o o p i c j i b c h e n g d u s o u t h w e s j i a o t o n g u n i v e r s i t y y 9 7 2 0 82 0 0 0 3 西南交通大学研究生学位论文第1 页 第一章概论 1 概述 吊臂是起重机的重要部件，其设计的好坏将直接影响起重机整机的 性能和经济成本。随着液压技术的迅速发展，灵活的箱形伸缩式吊臂得 到了广泛的应用。吊臂除了应保证起重机具有良好的性能而必须具备足 够的强度、刚度和稳定性外，还必须力求轻巧。在中、小型液压箱形伸 缩臂起重机中，吊臂占整机重量的1 5 左右，大吨位起重机中则高达2 0 以上。在以往的大型机中，箱形臂应用甚少，就是因为其自重过大，材 料利用率低，降低了起重机整机的重量利用系数，这也是伸缩式箱形吊 臂起重机向大型化发展的主要障碍之一。降低自重不但可以节省原材 料、减少劳动量，而且还可以减轻机构的负荷和承载结构的造价、提高 起重机的灵活性与起重特性。因而探索科学、合理的设计计算方法是现 代起重机设计中必须解决的问题。 目前，国内外对起重机吊臂性能的提高所采用的主要途径有两条： 一是从材料和结构入手，采用高强度结构钢( 6 0 0 9 0 0 m p a ) ，选择合理 的结构形式和截面形状，采用先进的制造工艺；二是选取科学、切合实 际的设计计算方法，尽量发挥材料的性能，避免浪费。后一种方法，由 于计算机技术的高速发展，广泛为设计人员所采用。目前，国内对起重 机零、部件主要采用常规优化设计方法，少数学者融合了可靠性而采用 可靠性设计或可靠性优化设计b “”。本论文主要是从科学设计方法的 角度指出现行的各种设计方法的优点和不足，集众家之所长，对吊臂提 出了一种更新、更合实际的设计方法模糊可靠性优化设计。 2 模糊可靠性优化设计问题的提出 1 结构优化设计 性能最好，成本最低，这是人们追求的目标。在满足各项设计技术 指标下，设计出经济合理的轻型吊臂具有重要意义。在结构的传统设计 c h e n g d u s o u t h w e s j i a o t o n g u n i v e r s i t y y 9 7 2 0 8 2 0 0 0 3 堕童銮里盔堂堑塞生堂堡堕塞 篁三! l 方法中，一般依据经验，采用类比法确定尺寸，然后进行安全校核，最 后才在为数不多的方案中进行性能的比较，选出较优的。这样的设计过 程主要依赖于设计者的水平和经验，即使是优秀的设计者也难得到很满 意的设计。从被动进行安全校核转变为主动地从各种可能的设计方案中 寻求尽可能完善或是适宜的方案就是结构优化设计所追求的目标。近年 来优化设计已得到迅速发展，因此，目前国内外均采用先进的优化设计 方法来对伸缩式吊臂进行设计。 2 可靠性优化设计 传统的机械设计采用确定的许用应力法和安全系数法研究、设计机 械零件和简单的机械系统。这是广大工程技术人员很熟悉的设计方法。 而机械可靠性设计，又称机械概率设计是非确定性的随机方法。它们的 共同核心内容都是针对所研究对象的失效与防失效问题，建立起一整套 的设计计算理论和方法。传统的机械设计方法由于停留在确定性的概念 上，没有考虑事物的不确定性质，因而不能真正反映客观实际情况，而 且计算中只要安全系数大于某一实际使用经验规定的数值，就认为是安 全的，这个规定的安全系数，与一系列无法定量表示的因素有关，实际 上仍是个“未知数”。因此这种计算有较大的经验性和盲目性。有时， 为了追求安全，设计中盲目取用优质材料或加大零件尺寸，形成不必要 的浪费。可靠性设计以随机方法( 概率论和数理统计) 分析、研究系统 和零件在运行状态下的随机规律和可靠性，不仅更能揭示事物的本来面 貌，而且能较全面地提供设计信息，这是传统设计方法无法做到的。可 靠性设计比传统设计，能有效的处理设计中的一些问题，提高产品质量， 减小零件尺寸，从而节约原材料，降低成本，带来较大的经济效益。 优化设计和可靠性设计，都是在常规设计的基础上发展和延伸的一 种新的设计方法。在工程中应用这两种设计方法已产生了较好的技术经 济效果。目前多数的优化设计是按照常规的设计准则、设计规范和设计 数据，运用数学规划论的方法和计算机工具，来寻求工程润题的最优解。 显然，它比常规设计考虑问题全面，计算进度加快。但是，常规的优化 设计把设计变量处理成确定的变量，建立常规的数学模型。这种不够完 善的数学处理与先进的优化方法，往往十分不协调，而且，设计中未能 考虑可靠性指标，因此，难以反映产品运行的真实工况。而可靠性设计， 把有关的设计变量处理成随机变量，按照可靠性设计准则，建立概率数 学模型，这是符合工程实际情况的。但是，对于某些设计问题，如果不 c h e n g d u s o u t h w e s j i a o t o n g u n i v e r s i t y y 9 7 2 0 82 0 0 0 3 西南交通大学研究生学位论文蔓! 夏 采用优化设计方法，也不能得到满意的设计结果。为了弥补常规优化设 计和可靠性设计的不足，将优化技术与可靠性设计理论相结合，即可靠 性优化设计。按照这种方法设计的产品，既能定量地回答产品在运行中 的可靠性，又能使产品的功能、安全性、重量、体积以及成本等参数获 得优化解，显示出明显的技术经济效益。因此，可靠性优化设计是一种 更具工程实用价值、先进的综合设计方法。 3 模糊可靠性优化设计 可靠性科学发展了三十余年，可以说已取得了巨大的成就和丰硕成 果。但随着科学技术的高速发展以及各种新型复杂系统的建立和工程项 目的实施，常规可靠性理论与工程实践的矛盾已日益突出，特别是进入 八十年代以来，严重的工程事故时有发生，这就迫使人们不得不对可靠 性的理论基础进行反思。 常规可靠性的理论基础是经典集合论和二值逻辑。因此，在常规可 靠性理论中，对系统状态作有二值状态假设，即系统只有两种状态：要 么完全正常，要么完全故障( 失效) 。从而系统性能指标的取值范围被 划分为截然不同的两部分，一部分标志系统“完好”，另一部分标志系 统“故障”，然后根据系统的实际指标值落入哪一部分判断系统故障与 否。显然这种划分在许多情况下严重脱离工程实际。尽管在多值逻辑下， 可将系统指标的取值范围划分成许多部分，从而使得对系统性能的描述 变得较为细致，但在本质上，多值逻辑与二值逻辑是相同的，即采用的 故障判据依然是严格分明的，它不能区别同一部分内不同指标间的差 异，而不同部分交界处的相邻指标点间并无性能上的本质差异，却被分 别划属于不同的状态，这是极不合理的，也不符合人们的思维特点和对 客观事物的认识。 实践表明，在实际工程系统中，由于“耗损”引起性能下降最终导 致故障的现象是极为普遍的。例如，传动轴因微裂纹的扩展丽断裂进入 失效状态。在进入失效状态之前，传动轴经历了一个从“完好”到“失 效”的过渡过程，即随着工作时间的延长，微裂纹不断扩展，逐渐发展 成宏观裂纹，直至最终导致断裂而被判为“失效”状态。在从“完好” 到“失效”的中介过程中，传动轴的状态是模糊的。又如，一个液压缸 因漏油而进入故障状态，在此之前，液压缸就经历了一个从“完好”到 “故障”的过渡过程，即开始渗漏，到渗漏增大，直至渗漏超限而被判 为“故障”状态。从“完好”到“故障”，对立的两极是通过一系列的 c h e n g d u s o u t h w e s j i a o t o n g u n i v e r s i t y y 9 7 2 0 82 0 0 0 3 西南交通大学研究生学位论文 第4 页 中介状态相互联系、相互渗透、相互转化的。一切中介过程都呈现出亦 此亦彼的状态，这就是事件的模糊性。在机械系统中大量发生的疲劳、 磨损、腐蚀、和蠕变，电气设备绝缘的老化，电子设备的参数漂移，液 压系统的油污染等现象都具有上述特点，即从“完好”到“失效”之间 都存在中介状态。此时常规可靠性理论赖以存在的基础离散有限状 态假设( 二值或多值状态假设) 就不成立，而应以模糊状态假设( f u z z y s 矧ea s s u m p t i o n ) 替代。所谓模糊状态假设是指故障判据是模糊的， 即在任一时刻，系统在某种程度上处于模糊正常状态，又在某种程度上 处于模糊故障状态。 以上是由于事物差异之间的中介过渡过程所带来的模糊性。同样， 定量的研究从物理领域进入到事理领域也必然要遇到大量的模糊概念， 由于研究对象的复杂化也必然要涉及种种模糊因素，由于信息技术、人 工智能的研究也必然要考虑对模糊信息的识别和处理等，这些都必然馒 优化设计问题涉及种种模糊因素。过去，因为缺乏处理模糊概念的方法 和手段，把许多因素人为地当成是确定性的或随机性的进行处理，往往 漏掉了真正的优化方案，甚至带来一些矛盾的结果，如在强度设计时构 件的应力超过许用应力就认为失效( 即不安全) 。如3 5 钢的许用应 力取为1 7 6 m p a ，则其约束条件为 o 5 _ 17 6 m p a o s l 7 6 m p a 对安全的隶属度是l ，是绝对安全的，超过1 7 6 m p a ，哪 怕是1 7 6 o i m p a 就绝对不安全。这种貌似非常公正的强度准则，实际上 是很不科学的。 这种不合理，在手工计算时矛盾还不尖锐，有经验的设计工程师可 以根据自己的经验来弥补这一缺陷。如算出某一个不太重要的构件的应 力略大于许用应力，只要其他主要构件应力符合条件，这个方案仍可选 用。但在用电子计算机进行设计时，一旦程序编好，对任何个构件， 只要应力稍有超过就会摒弃不用，决不通融。这种刚性的、一刀切的约 束条件，就可能使一些非常好的方案甚至是最适用的方案被排除在外。 应力条件如此，其他条件如变形、位移、速度、加速度等也都是这样。 为避免结构共振，当载荷频率为n ) 时，设计构件的固有频率必须落在共 振区域之外( 般取为】5 ) ；如载荷频率为5 0 h z ，则周有频率p 必须 在4 2 5 5 7 5 拖之外，对安全的隶属度曲线如图1 1 所示。 c h e n g d u s o u t h w e s j i a o t o n g u n i v e r s i t , y y 9 7 2 0 82 0 0 0 3 西南交通大学研究生学位论文 第5 页 4 2 55 05 7 5 图1 1 p 本来固有频率的计算要经过很多抽象和简化，不可能非常精确，现 在却要精确地设计在一定范围之外，这也是很不科学的。 以上种种，其实质是：本来应该使被限制的物理量落在具有模糊边 界的范围内( 即属于某一个模糊集合) ，现在却人为地硬性规定属于具 有确定边界的范围内( 即属于某一个普通集合) 。如何反映优化设计中 客观存在的模糊性，这正是模糊优化所要解决的问题。 应当指出，从设计方法学的角度看，优化设计、可靠性优化设计及 模糊优化设计都是一种现代设计方法，和其他设计方法一样，它们都不 是万能的，它们都有各自的特点，也有其局限性。由于工程设计问题涉 及面十分广泛，我们应针对不同对象采用相应的设计方法或将有关的设 计方法结合起来，以寻求高质量、高效率的设计。以概率论( 可靠度) 为基础并带模糊处理的优化设计方法无疑是起重运输机械金属结构设计 的发展方向。为此，本文将在1 6 0 吨铁路救援起重机箱形吊臂设计中采 用一种新的、综合的设计方法模糊可靠性优化设计。目前，该设计 方法已应用到了机械设计的其它领域如减速器【2 0 】、螺栓组联接f 2 9 】、圆柱 形弹簧1 2 ”等的设计中，并取得了较好的计算结果。 c h e n g d u s o u t h w e s 3 i a o t o n g u n t v e r s i l y y 9 7 2 0 82 0 0 0 3 西南交通大学研究生学位论文 第6 页 1 1 设计变量 第二章模糊可靠性优化设计原理 1 优化设计基础 1 基本概念 机械设计的方案可以用一组参数来表示，这些参数中有一些是已经 给定的，另一些则需要在设计中优选。在优化设计中，需要优选的独立 参数，即被称为设计变量。由于设计内容不同，选取的设计变量也不同。 它可以是几何参数：如零件外形尺寸，剖面尺寸等，也可以是某些物理 量：如零、部件重量、体积、力与力矩、惯性矩等；还可以是代表工作 性能的导出量：如应力、变形等。总之，设计变量是指在设计过程中， 其数值可以改变的那些能够描述结构特性的独立变量。 一般说来，在机械优化设计中的设计变量，大多数是一些连续变化 的量，称为连续变量。此外，还有些设计变量是跳跃式的量，称为离散 变量，如齿轮的齿数、模数等。离散变量的最优化设计还处于发展阶段， 尽管目前已可处理这类问题，但在许多情况下都是简化计算，把离散变 量当作连续变量来处理，最后对计算结果圆整。但这种处理方法并不总 是成功的，这将在第四章中讨论。 设计变量的数目称为最优化设计的维数，如有胛向一。2 ，j 个设计 变量，则称为”维设计问题。只有两个设计变量的二维设计问题可用图 2 1 ( a ) 所示的平面直角坐标表示；有三个设计变量的三维设计问题可 用图2 - 1 ( b ) 所示的空间直角坐标表示。 c h e n g d u s o u t h w e s j i a o t o n g u n i v e r s i t y y 9 7 2 0 82 0 0 0 3 西南交通大学研究生学位论文第7 页 图2 - 1设计变量所组成的设计坐标 ( a ) 二维设计问题( b ) 三维设计问题 在图2 1 ( a ) 中，当设计变量x i , x ，分别取不同值时，则可得到坐标 平面上不同的相应点，每一个点表示一种设计方案。如用向量表示这个 点，即为二维向量： x ：k ，x ：】7 = 卜i l x 2 j 上式中“丁”为转置符，即把列向量用行向量的转置向量来表示。 同样，在图2 1 ( b ) 中，每一个设计方案表示为三维空间的一个点， 并可用三维向量来表示该点： h 肖= k 。，b 屯 7 = ix ：l h 在一般情况下，若有”个设计变量，把第f 个设计变量记为x j ，则 其全部设计变量可用n 维向量的形式表示成 x = k ，r ； 工l x 2 ： x “ ( 2 - 1 ) 这种以”个独立变量为坐标轴组成的n 维向量空间是一个 维实空 间，用彤表示，如果其中任意两向量又有内积运算，则称为玎维欧氏 空间，用f 表示。当向量x 中的各个分量置( 卢，z 聘) 都是实变量时 则称决定了 维欧氏空间f 中的一个点，并用符号x e e ( x 属于f t ) 表示。在最优化设计中由各设计变量的坐标轴所描述的这种空间就是所 c h e n g d u s o u t h w e s j i a o t o n g u n i v e r s i t y y 9 7 2 0 82 0 0 0 3 k k 一 = 一 可。一 |_。l，。上， 磬 x l p i i 一 力 一 z 一 2 西南交通大学研究生学位论文 第8 页 谓“设计空间”。图2 1 ( b ) 给出了一个三个设计变量的( 因而也是三 维的) 设计空间。决定这个空间的三个坐标轴分别描述三个设计变量 h x 2 , 戈；。通常，设计变量的个数h 要比3 多得多，并且很难用图象表示， 这时的”维空间又称为超越空间。设计空间中的一个点就是一种设计方 案。 设计空间的维数又表征设计的自由度，设计变量愈多，则设计的自 由度愈大、可供选择的方案就愈多，设计愈灵活，但难度亦愈大、求解 亦愈复杂。一般，含有2 1 0 个设计变量的为小型设计问题；1 0 5 0 个为中型设计问题；5 0 个以上的为大型设计问题。 1 2 目标函数 以所选定的设计变量为自变量，以所要求的性能指标为因变量，并 按一定关系( 如几何关系、物理关系、传动关系等) 所建立的函数式， 即为目标函数。它反映设计性能要求与设计参数之间的关系。由于目标 函数值的大小，可以评价设计质量的优劣，所以也称为评价函数。 目标函数是设计变量的标量函数，其表达式为： 嗣影似，b ，圳( 2 - 2 ) 最优化设计的过程就是优选设计变量使目标函数达到最优值，或找 出目标函数的最小值( 或最大值) 的过程。 在最优化设计中，仅将一个目标函数行作为评价设计方案好坏的 问题，叫做单目标函数最优化问题。而在一些复杂的机械设计优化中， 评价一项设计方案仅按单目标函数求解最优是不够的，这时评价指标一 般多于一个，即在同一设计中要提出多个目标函数，这种问题称为多目 标函数最优化问题。 1 3 约柬条件 在机械优化设计中，设计变量通常是不能任意取值的，总要受到某 些约束条件的限制。约束条件可分常量约束与约束方程两类。常量约束 也称边界约束或区间约束，规定了设计变量的取值范围，即取值许可范 围的上、下限，如q 葺b ，“= ，z n ) 。当约束条件为设计变量的函 数时，称为约束函数( 约束方程) 或称性能约束，它是以所选定的设计 变量为自变量，以要求加以限制的设计参数为因变量，按一定关系( 如 性能关系、几何关系、设计规范等) 建立起来的函数式，它主要是用来 c h e n g d u s o u t h w e s j i a o t o n g u n i v e r s i t y y 9 7 2 0 82 0 0 0 = 3 耍童奎塑查塑塞生堂垡堕皇 苎生! ! 一 限制某些设计性能。约束方程又分不等式约束与等式约束两类，即 凰闭0 或毋0 ( “= ，z ，卅) ( 2 3 ) ，矽= o ，( ，= ，2 ，p ) ( 2 - 4 ) 式中： 卜设计变量； m 不等式约束数； 矿一等式约束数。 上述三种约束条件，可以根据需要或上机方便而作形式上的改变， 如氍( 殉0 可改写为矽d ；吩( 矽= 口可用两个不等式约束吩矽0 和 ，0 来代替，也可用下式来表示，即 曩围一e 冬0 ( 2 5 ) 式中e 是根据具体设计的精度要求给定的极小正数，使计算结果可 以满足接近等式的精度要求。 边界约束口，x ，b 也可改写为两个不等式约束形式，即 约束越多，问题的解法也愈加困难。为此，应尽量减少约束条件。 在设计中应设法消去多余的约束。所谓多余约束，是当其它约束满足时， 它能自然地得到满足的约束。另一方法是对设计变量作一些变换，而使 某些约束能自然地得到满足，从而使其得以消除。例如：如约束条件要 求置0 ，可作变换x ，叫? ；如约束条件要求x ， o ，可作变换x ，= ：如 约束条件要求畦工，可作变换x ，= s i n 2 y ，或x , = c o s 2 y i ：如约束条件要求 ，x ，可作变换x ，= s i n y , 或x i = c o s y , ；如约束条件要求a 崔x f i 届，则可 作变换一= q + 偈圳s i n 饥。 如在设计空间中存在着使目标函数达到极值的点，则该点就代表着 一种优化设计方案。如在该空间中仅有一极值点，则它就是全空间中的 最优设计方案。该点常用p 表示。 在设计空间中，被约束条件所限定的区域，如图2 - 2 所示，即为设 计可行域，它是设计空间中的一个局部。优化设计的寻优过程，一般只 应在此区域内进行，最后确定的优化点也只能在此可行域内，或在可行 域的边界上，否则，所得设计参数将因超出约束而失去实用价值。 c h e n g d u s o u t h w e s j i a o t o n g u n i v e r s i t y y 9 7 2 0 82 0 0 0 3 0 o 占1 0 ( 2 7 ) 当应力超过强度时，将产生故障或失效。应力大于强度的全部概率 则为失效概率即不可靠度，并以下式表示： f = p ( s 占) = p ( f i s ) 0 】 ( 2 9 ) f s ) g ( 囝 k s l ) 图2 - 5 应力一强度分布干涉 令嗣为应力分布的概率密度函数，g 仰为强度分布的概率密度函 数，如图2 - 5 所示，两者发生干涉。相应的分布函数分别为目匈及g 何。 可按下述方法求得应力、强度分布发生干涉时得失效概率和可靠度的一 般表达式。 1 1 概率密度函数联合积分法 如图2 5 所示，应力值舅落于宽度为布的小区间内的概率等于该 小区间所决定的单元面积彳，即 p f ( s l 一譬) s ( s l + 譬) 】= f ( s 1 ) a s = a l 强度巧大于s 的概率为 c h e n g d u s o u t h w e s j i a o t o n g u n i v e r s i t y y 9 7 2 0 82 0 0 0 3 西南交通大学研究生学位论文第1 s 页 p ( 5 s 1 ) = ig ( 5 ) d 5 = a 2 考虑到f ( s p d s 与 g ( a ) d 8 是两个独立的随机事件，根据两种独立 事件概率的“乘法定理”可知，它们同时发生的概率等于两个事件单独 发生的概率的乘积，即 f ( s ，) d s lg ( 6 ) d 5 这个概率就是s 在豳小区间内不会引起故障或失效的概率( 因为 莎s ) ，它就是可靠度凇，即 d r = f ( s a ) d s 【g ( 6 ) d 5 如果将s 变为随机变量s ，则可得到对应于零件的所有可能应力值 s ，那么强度黝大于应力s 的概率即可靠度为 r = p ( 5 s ) 2 i 。( s ) f g ( 5 ) d d d s ( 2 _ 1 0 ) 可靠度也可以按应力始终小于强度这一条件进行计算。这时相应地 将图2 5 中的s ，改为4 ；d s 改为d s ：g 佤j 改为g 俺) 邪改为f ( 5 1 ) ，则 强度碓小区间d 巧的概率为 p 陋一譬) 万s ( 玩+ 譬) 】_ g ( f i i ) d 5 而应力s 小于a 的概率则为 p ( s a ) = i f ( s ) d s 同样假定g ( a m a - 与厂( s ) 峦是相互独立的随机事件，则强度位于 小区间内而应力不超过西的概率为 g ( 6 1 ) d 占f f ( s ) d s 因此，对于强度鳓所有可能值，零件的可靠度为 r = ig ( 占) if ( s ) d s d a = p ( s o 、 根据概率论中的卷积公式，可得干涉随机变量y 的概率密度函数为 h ( y ) = 【g ( y + j ) f ( s ) d s 对于上式的积分限，因6 ，s 的上限均为m ，故上式的积分上限亦为 。，而当y = 8 s s ) = f 厂( s ) b ( 艿) 彩 劣 令g 2 g ( a ) a a = 1 一g 一( s h = l 八s 、d s = f s o s ) 则擅= f ( s ) a s 。由累积分布函数的性质可知，g 与h 的极限范围 是由0 至1 。由此得到 r ：f g d h( 2 1 9 ) w 上式说明，在g h 函数曲线下的面积就表示零件的可靠度，即零件 的可靠度是在区间【o ，l ip k 、龃线g = 妒( h ) 下的面积，如图2 - 6 所示。 根据s 和强度蹦数据，便不难确定在不同s 值下的岛( s ) 和b ( s ) 值， 由此得到g 与h 值。画出g h 曲线并量出其曲线下的面积，即为所求 的可靠度。 10 图2 - 6 图解法求可靠度用的g 日曲线 2 4 蒙特卡罗模拟法 蒙特卡罗模拟法不仅可用于确定应力分布和强度分布，而且还可用 c h e n g d u s o u t h w e s j i a o t o n g u n i v e r s i t y y 9 7 2 0 82 0 0 0 3 西南交通大学研究生学位论文 第1 9 页 于综合应力分布和强度分布，并计算可靠度。 蒙特卡罗模拟法在应力一强度分布干涉理论中的应用，实际做法是 从应力分布中随机地抽取一个应力值( 样本) ，再从强度分布中随机地 抽取一个强度值( 样本) ，然后将这两个样本相比较，如果应力大于强 度，则零件失效；反之，零件安全可靠。每一次随机模拟相当于对个 随机抽取的零件进行一次试验，通过大量的随机抽样及比较，就可得到 零件的总失效数，从而可以求得零件的失效概率或可靠度的近似值。抽 样次数愈多，则模拟精度愈高。要获得可靠的模拟计算结果，往往要进 行至少千次以上甚至上万次的模拟。因此，随机模拟由计算机完成。 用蒙特卡罗法求可靠度的模拟步骤为： ( i ) 确定随机模拟次数n 并输入原始资料： 应力表达式：厂、伍，爿。一，爿。，) ； 强度表达式y = 厶 ，砭，l ) 式中五，以，j ，及i ，只，k 的分布规律； ( 2 ) 从每种随机变量中产生符合其分布规律的v 个随机数( 可为 1 0 0 0 ，1 0 0 0 0 等) 组成随机数组，这样就产生了向衄，个符合各自随机 变量分布规律的随机数组； ( 3 ) 从影响零件工作应力的历个随机数组中，各抽出一个随机数， 代入应力表达式，计算出一种应力值m ( 4 ) 从影响零件强度的门个随机数组中，各抽出一个随机数，代 入强度表达式，计算出一种强度值y ( 5 ) 比较应力及强度，当】，一x 0 时，则零件可靠，计入l ，即 k = k + 1 ；当】，一x s 时不一定就安全，反之也不一定失效，这就是安全判据或失效准 则的模糊性。工程设计问题，特别是工程类优化设计问题，大都要涉及 种种模糊因素，如设计变量的取值范围，方案优劣的评判等等。显然， 在常规设计或可靠性优化设计中均无法考虑之。为了解决上述问题，使 设计更加合理、准确，还其模糊性的本来面目，就有必要将模糊数学方 法引入到常规设计或可靠性优化设计中。 c h e n g d u s o u t h w e s j i a o t o n g u n i v e r s i t y y 9 7 2 0 82 0 0 0 3 西南交通大学研究生学位论文 第2 2 页 2 模糊数学基础 2 1 经典集合的定义及表示 任何一个概念总有它的内涵和外延。所谓概念的内涵是指该概念所 反映的事物的本质属性的总和，而外延是指符合该概念的全体对象。在 实际问题中，集合总是作为某个概念的外延而出现的。当研究一个问题 时，所讨论的全体对象叫做论域，常用大写字母u x y 等表示。论域 中的每个对象叫做元素，以小写字母“，v , x , y 等表示。 给定论域u ，u 中具有某种属性的元素构成u 上的一个集合，常以 大写字母4 ，b 等表示。对于论域u 中的元素“，若具有集合爿的属性， 则所元素“属于集合一，用“a 表示；反之，“芒爿。 集合的常用表示方法有两种：一为元素枚举法，一为描述法。 ( 1 ) 元素枚举法 当元素个数为有限时，可以把集合中的所有元素一一列举出来，这 种表示方法称为元素枚举法。如，以数0 ，1 ，2 为元素的集合a 可记为 a = 0 ，l ，2 ( 2 ) 描述法 通过描述集合元素的共同特征来表示集合的方法称为描述法。一般 晓来，用 a = 扛i p ( x ) 1 表示集合a 是具有属性p 俐的全体x 构成的集合。 对于论域u 中的任意一个元素x 与一个集合a 来说，它们之间的关 系只能有x a 或xg 爿这两种情况，二者必居其一且仅居其一。如用函 数表示，则有 f 1 x a z d ( x ) 2 1 i x 萑a ( 2 - 2 2 ) 函数舭( x ) 称为集合一的特征函数，它刻划了集合a 的元素的隶属 情况，它的值叫x 对于彳的隶属度。 c h e n g d u s o u t h w e s j i a o t o n g u n i v e r s i t y y 9 7 2 0 82 0 0 0 3 亘堕銮婆奎兰堑塞生堂焦堡兰 篁望蔓 2 2 模糊集合的定义和表示 正如前面所述，内涵和外延是描述概念的两个方面。但是，不是所 有的概念都有明确的外延，例如，“青年人”、“中年人”和“老年人” 都没有明确的外延。我们把没有明确外延的概念称为模糊概念。 模糊概念不能用经典集合加以描述，这是因为不能绝对地区别“属 于”或“不属于”，也就是说论域上的元素符合概念的程度不是绝对的 0 或1 ，因而要定量地刻划模糊概念或模糊现象，就必须把经典集合加 以拓广。 所谓给定了论域u 上的一个模糊集合爿，是指对于任意“u ，都 指定了一个数儿( “) o ，1 与之对应，这个数儿( “) 叫做“对的隶属度。 映射 以：u 辛 o ，i 】 “卜以( “) ( 2 - 2 3 ) 叫做一的隶属函数。 模糊集合完全由其隶属函数所刻划。以( “) 的大小反映了“对于模 糊集合的从属程度。, u a ( “) 的值接近于1 ，表示“从属于g 的程度很高 儿( “) 的值接近于0 ，表示“从属于a 的程度很低。常见的隶属函数见 文献。 当心( “) 的值域为 0 ，1 ) 时，儿( “) 蜕化成一个经典集合的特征函数， 模糊集合爿便蜕化成一个经典集合。由此不难看出，经典集合是模糊集 合的特殊形态，模糊集合是经典集合的拓广。 模糊集合的表示方法有多种，常用的是z a d e h 表示法。当论域为有 限集 “i ，“：，。 时， c h e n g d u s o u t h w e s j i a o t o n g u n i v e r s i t y y 9 7 2 0 82 0 0 0 3 西南交通大学研究生学位论文 第2 4 页 ：兰型+兰型+丛鲨(,2-24)a = _ = 一+ 。二一+ + 式中，型并不表示分数，而是表示论域中的元素与其隶属度 “ 心( “，) 之间的对应关系，符号“+ ”也不表示求和，而是表示模糊集合 在论域u 上的整体。 当( ，是连续论域时，z a d e h 给出如下记法： ：半 ( 2 _ z s ) 同样，半也表示对应关系，而也既不表示积分，也不表示 求和，而是对应关系的一个总括。 2 3 九截集 设爿是论域u 上的模糊集合，对任意旯【o ，l 】，称 g 。掣z 垒 z ，i , u a ( u ) 旯) ( 2 - 2 6 ) 为模糊集合4 的咒截集，a 称为阈值或水平。 a 。是一个经典集合，它的直观意义为：爿。是由论域u 中对模糊集 合a 的隶属度达到或超过旯的元素组成的集合。换句话说，以就是一定 九水平上的彳。 c h e n g d u s o u t h w e s j i a o t o n g u n i v e r s i t y y 9 7 2 0 82 0 0 0 3 西南交通大学研究生学位论文 第2 5 页 2 4 模糊随机事件的概率 随机性与模糊性是密切相关的，两者相互渗透与交叉就产生了模糊 随机事件。如：已知某种产品的次品率为2 ，现从中任取1 0 0 件，求 几乎没有次品的概率。这里，“几乎没有次品”就是一个模糊随机事件。 设样本空间q = c o 。，0 9 ：，。 为有限集合，则其上的模糊事件a 的 概率为 p ( 掣) 垒拿( ，) p ( c o ，) ( 2 2 7 ) 忙】 当x 是连续变量，p ( x ) 是其概率密度，r 上的模糊集4 表示模糊事 件，则该事件的概率定义为 p ( 4 ) = ia ( x ) p ( x ) d x( 2 - 2 8 ) 上面两式中的a ( c o ，) 、一( x ) 分别表示，和x 对爿的隶属度，p ( c o ，) 表示基本事件珊，发生的概率。 2 5 模糊综合评判 模糊综合评判就是应用模糊变换原理对其考虑的事物所作的综合评 价。它主要分为两步：第一步先按单个因素进行评判，第二步再按所有 因素进行综合评判。其具体步骤如下： ( 1 ) 建立因素集 因素集是以影响评判对象的各种因素为元素组成的集合，通常用u 表示，即 各元素 代表各影响因素。这些因素通常都具有不同程度的模糊 性。例如，在评判机械结构的安全指标如安全系数 或模糊设计中的最 c h e n g d u s o u t h w e s j i a o t o n g u n i v e r s i t y y 9 7 2 0 82 0 0 0 3 要堕奎燮堂婴塞生堂垡鲨奎 苎! ! 戛 优设防水平z 时，其影响因素一般包括 “= 设计水平“：= 制造水平 “，= 材质好坏 “。= 重要程度“。= 使用条件 “。= 维修费用与灾害损失费用 ( 2 ) 建立备择集 备择集是以评判者对评判对象可能作出的各种总的评判结果为元素 组成的集合，通常用y 表示，即 各元素v 代表各种可能的总的评判结果。模糊综合评判的目的，就 是在综合考虑所有影响因素的基础上，从备择集中得出一最佳的评判结 果。 ( 3 ) 单因素模糊评判 首先从因素集u 中的单个因素出发进行评判，确定评判对象对备择 集中各元素的隶属程度。设评判对象按因素集中第f 个因素“，进行评判 时，如果对各择集中第j 个元素v ，的隶属程度为，则按第f 个因素 评判的结果可用模糊集合表示为： r ，：丑+ 鱼+ + 量：( ，2 ，) v 11 7 2r ” 月称为单因素评判集，它是备择集v 上的一个模糊集合。将 个因素的 评判集组成一个总的评判矩阵： r = r 1 r 2 c h e n g d u s o u t h w e s j i a o t 0 n g u n i v e r s i t y y 9 7 2 0 82 0 0 0 3 西南交通大学研究生学位论文 第2 7 页 r 称为单因素评判矩阵。 ( 4 ) 建立权重集 一般而言，各个因素的重要程度是不一样的。为了反映个因素的重 要程度，对各个因素“，应赋予一相应的权数w ，。由各权数所组成的集合 称为因素权重