（机械电子工程专业论文）空间可展开天线由两空间梁组成动力分析.pdf

摘要 空间可展开天线是现代空间天线的一个主要发展趋势，具有广泛的发展前景， 各国竞相发展这项技术。由于这种天线结构上具有尺寸大、重量轻、柔性大的特 点，在动力分析、结构设计和控制上存在许多难点，引起了广泛的关注。 本文总结了大部分研究空间可展开天线方面的文章，并经过探索性的思考。 从转轴的物理意义出发，引入转轴坐标系及转轴坐标系坐标变换矩阵，给出了一 种绕动轴转动的旋转变换矩阵。并结合多柔体动力学的分析方法，给出了绕动轴 转动的柔性体上任一点的描述方法，并将有限元和拉格朗同方程结合，给出了真 正的空间意义上的多柔体系统的动力学控制方程( 包括质量矩阵、质量阵的导数 及速度二次项、广义力等的具体表达式) ，并利用符号数学工具推导了一般空间杆、 梁、板单元动力方程系数矩阵的解析表达式，在此基础上采用一种新方法对天线 的展开过程进行了动力学响应分析，从而验证我提出的绕动轴转动的多柔体动力 学理论的正确性。 关键字：空间可展开天线多柔体系统动力学坐标变换矩阵动力学仿真 质量矩阵 a b s t r a c t d 印l o y a b l es p a c ea 1 1 t e r u l ai so n eo ft h em a j o rd e v e l o p i n gt r 饥d so fm o d e ms p a c e t e c h i q u e b e c a u s et h e r ei saf 址r a n 西n g 印p l i e df o r e g r o u n da b o u ti t ，m a n y c o u n t r i e s h a v ed e v e l o p e di t d u et ot h ec h a r a c t e r so fl a 唱es i z e 、l i 曲俩e i 曲ta i l d 铲e a tn e x i b l e a b o u ti t ，t h e r ea r em a n yd i 伍c u l t i e si nd y n 锄i c a la n a l y s i s 、s h l l c t u r ed e s i 印a n dc o n 缸d 1 t h e r e f o r e ，w i d ea t t e n t i o ni sb r o u g h t i i lm i sp 印c r ，m o s to fa n i c l e sa b o u tr e s e a r c h e so ns p a c ed 印l o y a b l ea n t e 皿a sa r e s u m m 撕z e d ，b a s e do nt h ep h y s i c a lm e a n i n go ft h es h a r ，a x i sc o o r d i n a t es y s t e m 锄d a x i sc o o r d i n a t et r a n s f o m a t i o nm a t r i xa r ei n t r d d u c o d ar d t a t i o nt r a n s f o n n a t i o nm a t r i x a b o u tr o t a t i n ga r o u n dt h e 嘶v i n gs h a ri s 百v e n ，n e x i b l em u l t i - b o d yd y n 锄i c sa n a l y s i s m e t h o di su s e d ，d e s c r i p t i o nm e m o da b o u ta n yp o i n to nn e x i b l eb o d ym t a t i n g 鲫0 l m d t h e “n gs h a ri s 舀v e n t 0c o m b i n et h e6 n i t ee l e m e n t 锄dl a 孕a n g e se q u a t i o n ， d y l l 锄i c se q u a t i o n so ft h er e a ls p a c en e x i b l em u l t i - b o d ys y s t e i i la r e 西v e i l ( i n c l u d i n g t h es p e c i f i ce x p r e s s i o n so ft h em a s sm 枷x 、t h ed e r i v a t i v eo fm a s sm a t r i x 、 s p e e d q u a d r a t i c 、g e n e r a l i z e df o r c ea n ds oo n ) ，a n ds y m b o l i cm a t h 锄a t i c a lt o o l sa r eu s e dt o d e r i v ea n a l y t i c a l e x p r e s s i o n so fc o e 伍c i e n tm a t r i x e s o fd y l l a m i ce q u a t i o n sa b o u t g e n e r a ls p a c eb a r ，b e 锄，p l a t ee l e m e l l t ，u s i n gan e w m e t h o di su s e dt oa n a l y z em e d ) ，i l 锄i cr e s p o n s eo ft h eu n f o l d i n gp r o c e s so fa n t e n n a s ，a n dm yd y i l 锄i c st h e o r ya b o u t m en e x i b l em u l t i b o d yr o t a t i n ga 1 o u n dt h ed r i v i n gs h a ri sv e r i f i e d k e y w o r d s ：d e p l o y a b l es p a c e a n t e n n a d y n a i i i i c s o ff l e x i b l e s y s t e m s c o o r d i n a t et r a n s f o r m a t i o nm a t r i 】| 【 s i m u l a t i o nm a s sm a t r i 】| 【 m u l t i - b o d y d y n a m i c a l 西安电子科技大学 学位论文独创性( 或创新性) 声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标 注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说 明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的法律责任。 本人签名：逊日期叁! 丝：互! 复 西安电子科技大 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。学校有权保 留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证，毕业后 结合学位论文研究课题再撰写的文章一律署名单位为西安电子科技大学。 ( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本人签名： 导师签名： 日期亟! ! ：主! 日期兰丝：窆! 丛 第一章绪论 第一章绪论 1 1 空间可展开天线的发展现状 由于可展开天线具有广阔的应用前景，各发达国家竞相发展这项技术。经过 1 9 7 4 年以前的初期发展阶段，7 4 8 0 年的试验及初步应用阶段，八十年代以来可 展开天线得到了快速的发展，其中美国1 9 7 4 年发射的a t s 6 卫星，1 9 7 8 年发射 的s e a s a f a 卫星，1 9 8 1 年发射的哥伦比亚号航天飞机及1 9 8 4 年发射的4 1 g 宇 宙飞船等都成功地使用了可展开天线。在这个阶段，空间可展开天线技术日渐成 熟，天线的建造规模也日益扩大。进入九十年代后，欧洲国家和日本相继在遥感 卫星e r s 1 和地球资源卫星上使用了可展开天线l 。 大型空间可展开天线在结构上都具有尺寸大、重量轻、柔性大的特点。无疑 大型结构可以增加空间结构的功能；轻型结构可以增加有效载荷与结构重量之比， 提高运载工具的效率；但是随着尺寸的增大、结构重量的减轻，以及刚度的减弱、 运行速度的提高，使得部件的弹性变形已成为不可忽略的因素。 由于可展开天线是发射时折叠收藏于整流罩内，一旦到达预定位置，便自动 展开形成工作状态形状的天线【2 1 。这种天线有各种各样的结构形式以满足各种不 同的工程需要。由于其种类繁多，所以其分类方法也是五花八门。我们以反射面 的结构形式为准，分空问可展开天线为板状反射面天线、网状反射面天线、膨胀 ( 充气) 式反射面天线、回转构造型反射面天线等四类。 其中，板状反射面可展开天线的反射面为板状结构，根据反射面及展开机构 的不同，可具体分为： ( 1 ) 整体单轴型：这种天线像太阳电池帆板那样整个反射器绕某轴转至特定 位置即达到工作位置。 ( 2 ) 多体多轴型：这种天线反射面分为几块，它们各自绕各自的轴旋转，最 后各块拼装为工作位置的整体反射面。 ( 3 ) 花瓣型天线：其反射面由许多块刚性板组成，板间用铰相联，铰接处有 弹簧。天线折叠时，弹簧储存了能量，解锁后在弹簧力的作用下天线自动展开。 因折叠时像含苞待放的花朵而得名。 ( 4 ) 而复合型：其折叠态是一个小圆柱，展开后是一个六角板状天线，其结 构复杂。 网状反射面可展开天线的反射面为网状结构，根据反射面及展开机构的不同， 可具体分为【3 j ： 2 空间可展开天线( 由两空间梁组成) 动力分析 ( 1 ) 径向肋式网状可展丌天线：其反射器由径向折叠的刚性肋、反射网及展 开机构组成，其形式较多： a 伞形天线：肋制成抛物线形状，反射网张紧并固定于肋上。 b 中问有刚性盘的伞形天线。 c 有辅助牵引面的伞形天线：辅助牵引面是用多根绳索组成的网状面，与 反射面之间以调整绳索相连接，通过调整其长度来调整天线反射面的精度。 d 具有中问刚性盘及辅助牵引面技术的复合天线。 e 折叠肋式伞形天线：径向肋有可以折叠的几段组成，收缩比更大。 ( 2 ) 缠绕式网状可展开天线：反射器由柔性肋及反射网组成，柔性肋制成抛 物线形状，反射器中心有一轮毂，柔性肋的根部沿周向均匀连在轮毂上，折叠时 柔性肋沿轮毂缠绕起来成收拢状。 ( 3 ) 环一柱式网状可展开天线：由圆环、张索、中心柱、反射网和展开机构 组成，圆环由若干刚性段组成。收拢时可将圆环折叠起来。中心柱也可以收缩。 ( 4 ) 构架式网状可展开天线：由反射网、主动和被动型面控制系统及可展开 机构等组成。其展开机构有同步或异步展开的四面体可展开机构、盒状可展开机 构、螺旋状可展开机构及剪刀式可展开机构等。这种结构形式由于可达到较大口 径，已经获得了广泛应用。 膨胀( 充气) 式天线的主要部件用薄膜粘接而成。根据设计把它加工成抛物 面、锥形等形状。发射时其尺寸很小，入轨后，充气膨胀成天线反射器形状。这 时，有些支持结构自动硬化成刚性体，而预浸了一层特殊材料的天线材料( 如聚脂 薄膜，它在地面是柔软的) 在充气后于空间自动硬化成刚体。这种天线亦分简单型 与复合型等结构形式。 回转构造型天线，其设计好的质量群或柔软薄膜于发射阶段收缩在一起，入 轨后，质量系统绕某定轴回转，在离心力作用下达到预定位置。柔软的反射面材 料紧紧贴合其上，固化成形。形成天线的质量群有连续型、离散型两种。 而网状可展开天线由于其在尺寸和重量上的巨大优势，成为大型空问展开结 构研究中的一个热门课题，也成为大型空间展开结构研究中最深入、最活跃的领 域。虽然该项技术并没有完全成熟，但是由于其在尺寸和重量上的巨大优势和人 类对大型空间天线的迫切需求，国外的各宇航公司和科研单位页竞相在各种宇航 飞行器上使用网状可展开天线技术。其中，美国航空航天局于上个世纪7 0 年代后 期提出了多种形式的网状可展开天线，并且对于网状可展开天线的概念设计、分 析理论方法、具体应用设计技术开发进行了系统的深入的研究。俄罗斯宇航局也 在网状可展开天线结构设计应用发展上做出了卓越贡献，尤其在“和平”号空间 站上。另外，欧空局、日本宇宙科学研究所以及加拿大、印度等国家的研究机构 对网状可展开天线技术也做了大量的研究。国外展开天线发展趋势是：天线尺寸 釜二翌堕堡 越束越人，精度要求越柬越高，单位面积重量越束越轻。 下面介绍几个国外的典型网状可展开天线； 1 图拉雅通信卫星上的大型网状町展开天线n 美国阿斯特罗宇航公司为图拉雅通信卫星制造的大型展开式网状反射天线反 射器可产生多达2 0 0 2 5 0 个发射波束，每个在地面上的直径将为4 0 5 0 0 公里， 以用于提供区域通信业务。天线是石墨复合材料管桁架结构，可折叠为圆筒形状 ( 图l1 ) 。结构每一面上的热塑性硬纤维网由内部系拉装置拉紧，在天线完全展开 后形成一个刚性鼓形结构。在前部网状结构的凸起面铺有不易看到的镀金钼网。 2 t d r s s 径向肋式网状可展开天线嘲 美国的h a r r i s 政府系统集团公司所研制的径向肋式网状可展开天线结构紧 凑，表面精度高。这种天线现己用在工作频段为s 和k n 颁段的跟踪数据中继卫 星系统中和工作频段为s 和x 波段的伽利略一木星探测器上。由肋支撑的表面成 型技术使得径向肋式网状可展开天线袤面精度高，并可咀最大限度地减少网状天 线所固有的“反向翘曲”现象。为使，m r s s 系统有较高的表面精度，可采用了 高尖端的分析模型。 圆 腥开壮态b 收拽杜态 图1 l 图拉雅通信卫星上的人型网状可展开天线 3 军事侦察卫星上的网状可展开天线【6 1 美国到家侦察办公室在1 9 9 7 年l o 月至1 1 月扔发射了两颗新型军事情报卫星， 其中一颗为洛克希德马丁公司制造的改进型长曲棍球成像雷达卫星，另一颗是 休斯公司制造的喇叭信号情报卫星。它们成为美国最大的两颗军事卫星，其中前 者使用了一个直径约9 1 米的可展开抛物面天线，后者使用了一部足有一块足球 场大小的可展开窃听天线。美国以前供信号电子情报卫星使用的大型空间天线都 采用与h a r i 己i s 公司为跟踪与数据中继卫星( 1 r d s s ) 制造的天线相像的“罩骨式” 伞形构造。喇叭信号情报卫星上所用的天线则与之形式不同，其形式更倾向于一 种网状设计，上面有滑轮和很小的发动机用于天线展开。 4 盯s 一8 卫星上的网状可展开天线p 】 日本的e t s 一8 卫星是一种3 轴稳定的3 吨级静止轨道卫星，装载两个口径 4空间可展开天线( 由两空间梁组成) 动力分析 为1 3 米的可展开反射器，其表面精度为2 4 毫米，指向精度o 8 3 0 ，工作在s 波 段。 5 m u s e s b 卫星上的网状可展开天线【8 】 同本发射的“遥远号”射电天文卫星，即m u s e s b 卫星，卫星高6 5 m ，重 8 3 0 k g ，装有直径为8 m 的抛物面天线。“遥远号”卫星上的天线结构是轴对称卡 塞格伦式的，最大直径为1 0 m ，开口面积为5 0 2 m 2 。为了满足工作要求，考虑展 开型反射器：伞形天线的骨架难以实现大的收缩比；缠绕肋式和环柱式天线结构 形式难以实现与2 0 g h z 高频对应的镜面精度；采用刚性桁架会使反射器外围半径 及厚度增加：采用绳索张力桁架结构形式可以实现收缩比大、且镜面精度高的可 展开反射器。所以该天线采用了绳索张力桁架结构形式。 我国于上个世纪八十年代中期开始积极开展网状可展开天线的预研究，并于 九十年代初期，对网状可展开天线进行了动力学建模、动力学响应分析、网面精 度调整以及控制等方面的研究，取得了一些可喜的成果【9 】【15 1 ，并且已经开始进行 地面模型实验和测试工作。在1 9 9 9 年的总装备部航空航天局“数据中继卫星系统 发展研讨会 与“小卫星及星座系统发展研讨会 上，我国提出了发射装备大型 空间网状展开天线卫星的日程。在近几年，我国在展开机构方面也开展了研究， 其中浙江大学在可展开机构的设计和研究方面取得了较好的成果，主要包括剪刀 式展开机构、正三棱柱式展开机构、j 下六棱柱式展开机构( 图1 3 和图1 4 ) 、正四 面体展开机构以及主动臂展开机构【l 昏1 1 7 】等。另外我国在可展开天线的结构工程方 面也做了许多相关的研究。 对角扦 索单元 图1 2 正六棱柱式展开机构 第一章绪论 瓣 图l3 天线完全展开时的透视图 但是我国在该领域的研究起步较晚，总体技术水平不高，与发达国家相比， 还有很大的差距。为了适应航天事业和国防的发展需要，我国在这方面的研究还 有待深入。 12 多柔体动力学的重要性 上个世纪5 0 年代末，美国发射了第一颗人造卫星“探险者一号”( e x p l o r e r i ) ，当时由于其挠性鞭状天线发生弹性振动使其失稳，导致卫星入轨后翻滚、失 控；1 9 8 2 年美国“陆地卫星- 4 ”( l a n d s a l ：) 的观测仪的旋转部分受到柔性太 阳帆扳驱动系统的干扰而产生微小扰动，从而降低了图像质量；“国际通讯卫星v 号”( n 盯e r s a t _ v ) 柔性太阳帆板扭振频率与驱动系统发生谐振时，导致帆扳停 转和打滑i ”】。一系列的挫折使的人们明白，多目u 体假设下的稳定理论不在成立， 引发了科学工作者对这个领域进行了不断的研究”。由于近3 0 年来卫星及航天 器飞行稳定性、太阳帆板展开、姿态控制、交会对接的需求以及巨星空间站的构 建【2 0 圳 ；高速、轻型地面车辆、机器人、精密机床等复杂机械( 机构) 系统的高 性能、高精度的设计要求等，使得研究柔性多体系统动力学成为一个及其热门的 学科。 柔性多体系统不同于多刚体系统，它是在多刚体系统动力学的基础上进一步 考虑部件的弹性变形。即部件在自身变形运动的同时，在空甸经历这大的剐性移 动和旋转，刚性运动与变形运动相互影响、强烈耦合：与一般的系统不同，它是 一个多输入、多输出的无穷维、时变、高度耦合、高度非线性的复杂系统口j 。柔 性多体系统动力学主要研究柔性体的变形与其大范围的空间运动，以及与刚体之 间的相互作用或相互耦合，并研究耦合导致的动力学效应。它是与经典动力学、 结构动力学、控制理论及计算机技术紧密相连的门新兴交叉学科。 随着通信技术、空间科学和地球观测事业的迅猛发展，人类对大型空间天线 的需求越来越迫切【2 3 2 “。如设想建立个纵向长1 10 i i l 、横向长1 7 5 m 韵巨型空间 站；在无线电天文探测卫星上装4 根长为2 3 0 m 的天线以探撷4 外层空间的低频电 6空间可展开天线( 由两空间梁组成) 动力分析 讯号；设想用5 0 0 0 m 长的缆绳把两个卫星练成一体建造一个轨道干涉仪；用6 0 0 0 m 的叶片组装成太阳能螺旋桨等【9 j 。但是由于航天运载工具的运载空间的限制，采 用常规的天线结构形式难以实现较大口径的天线，由此诞生了一种新型的结构形 式一空问可展开天线结构。当天线尺寸超过航天运载工具的整流罩所能容纳的范 围时，要求天线在发射阶段必须折叠起来收藏于整流罩内，待航天器进入轨道后， 在靠自带的动力源将天线展开至工作状态，这就是所谓的可展开天线结构形式。 由于航天运载工具的运载重量的限制，对空间天线的重量也提出了要求，由此产 生了网状可展开天线的结构形式。大型空间可展开天线在结构上都具有尺寸大、 重量轻、柔性大的特点，因此属于柔性体或者刚柔混合结构，一方面要保证其在 太空中能顺利展开，另一方面又要保证天线展开过程中以及终止时，不会因冲击 而破坏天线结构，导致其无法正常工作，根据柔性多体系统动力学的理论对大型 空间可展开天线的展开过程进行动力学分析和仿真，是对展开天线实施展开控制 的重要前提。 尽管柔性多体系统动力学的研究已取得了一定的进展，但是它的动力学控制 方程的建立仍是一个很重要的课题，是制约其快速发展的一个瓶颈。因为我们研 究空间可展开天线，建立一个合理的、符合实际情况的动力学方程是关键，没有 一个较为理想的动力学控制方程，接下来的研究都是在做无用功，所以我们要寻 找建立一种合理的建立动力学控制方程的方法。 1 3 当前现状及本文学术重要性 空间可展开天线一般含有杆、梁、板、壳等结构，在天线展开过程中，各类 结构对天线系统的动力学特性都会有影响，并且，天线的每一个梁之间是通过铰 链来连接的，这样天线在展开运动过程中存在运动阻尼。所以研究天线展开动力 学必须解决一些基本问题：一是扭簧存储的能量必须克服摩擦引起的能耗，使天 线能顺利展开；二是由于天线的刚度较小，在展开过程中不可避免的产生变形， 这样就不能达到我们理想的展开状态。因此，必须准确预测天线的动态特性，为 天线的动力设计提供可靠的理论依据，从而保证天线展开的可靠性、合理性，为 天线的进一步分析研究做好基础。要完成这些工作的关键则是建立一个准确反映 可展开天线系统的动力学模型【2 7 3 0 1 。 可展开天线的展开动力学在学术理论上是属于多柔体系统动力学的范畴。而 多柔体系统可以分为平面多柔体系统( 各点均在特定的平面内运动) 和空间多柔 体系统，空间多柔体系统又分旋转轴方向余弦不变的空间多柔体系统和旋转轴方 向余弦变换的空间多柔体系统。虽然近几十年来，多柔体系统有了飞速的发展， 也取得了许多成果【2 o j ，但是从中也发现了很多问题，比如说空间多柔体系统动 第一章绪论 7 力学建模、微分一代数方程的求解、多柔体系统控制及铰链处的问隙、摩擦、碰 撞问题等诸多问题1 2 引。 多柔体系统动力模型建立的方法很多( 2 6 弓0 1 ，有的用运动弹性动力学方法，先求 多刚体系统的动力学响应，在求惯性力作用下的弹性变形( 这是一种近似方法) ： 有的引入伪坐标多柔体系统动力学方程式；有的用凯恩方法，通过广义速率求出 广义主动力和广义惯性力，由两者的平衡建立其动力学方程式；有的从速度变分 入手，通过受力分析，利用拓扑关系建立起其动力学方程式【2 7 2 9 】；有的用把有限 元法与多体动力学相结合的综合法建立起其动力学方程式 2 6 】f 2 9 】。综合法是建立大 型多柔体结构系统动力学方程式的有效方法【3 1 】【3 2 】。报导的多柔体结构系统的研究 对象多为由杆、梁组成的转轴方向保持不变的多柔体系统【3 3 】，其各体的转轴的方 向全部相同且是不变的，这实质是平面问题。伪坐标法中伪速度与广义速度的变 换矩阵，凯恩法中的广义速率与广义速度的变换矩阵均只为转动角度的函数，与 转轴的方向余弦无关，只适用于定轴转动问题；综合法中的坐标变换矩阵只有绕 定轴转动的坐标变换矩阵。迄今为止，现有的多柔体系统动力学方程的基础之一 是绕定轴转动理论，见到的关于多柔体动力学的专业书籍中根本没有出现点绕动 轴转动的概念，多柔体系统动力学的基本公式是绕定轴旋转的坐标变换矩阵【2 6 珈】。 这里转动轴的方向余弦是固定不变的，它仅是转动角度的函数。由于转轴的方向 余弦是固定不变的，所以与之相应的多柔体动力学广义坐标只含弹性变形、刚体 平移量及绕定轴转动的角度，而不含转动轴的方向余弦变化。所以说，现有的多 柔体系统动力学理论只适于平面多柔体系统和旋转轴方向余弦不变的空间多柔体 系统，这是至今旋转轴方向余弦变换的空间多柔体系统动力学方程没有真正建立 的原因。 客观现实中有大量的转动轴的方向余弦不断变换的绕转动轴转动的问题，而 真正的空间多体动力学问题一定离不了点绕转动轴转动的问题，多柔体系统中的 柔性体上每一点均有弹性变形，那么固连于其上的转轴的方向余弦必然任意变化， 这就是绕方向余弦变换的转轴转动的空间多柔体系统。而空间可展开天线展开动 力学1 3 2 3 3 j 就属于这种情况，可展开天线在展开过程中，由于其柔性大的特点，必 然会发生变形，而以往我们研究的可展开天线大部分是平面的，在建立其动力学 模型的过程中，也考虑了其中的变形情况，但是在其建模时，只考虑的平面情况 ( 如图1 4 ) ，那它的变形也就局限于平面下的变形，而其在实际展开过程中，由 于弹性变形，它绕之转动的转动轴的方向余弦是不断变换的一种空间运动，也就 是说，实际上是属于绕动轴转动的问题( 如图1 5 ) ，其中可展开天线的展开动力 学是典型的空间多柔体系统动力学。而它们的空间多柔体动力学方程还没有真正 建立。 空间可展开天线( 由两空间梁组成) 动力分析 z 图1 4 以往的天线展开模型 图1 5 实际展开过程模型 我们在可展开天线展开分析的实际工作中发现，由于组成可展开天线的梁、 板等的弹性变形使得后续结构单元的转轴的方向余弦不断发生变换，成为了最有 代表的空间多柔体系统问题。我们对可展开天线进行动力分析是，由于其转轴的 方向余弦一直在变换，不知到底如何计算点绕它转动时的坐标变换。所以现有的 绕定轴转动的理论及公式无法解决旋转轴方向余弦变化的空间可展开天线的动力 学问题。要用多柔体系统理论解决大量的空间多柔体系统问题，必须计及转动轴 方向余弦这个变换因素，突破原有的绕定轴转动的限制，建立绕动轴转动的基本 理论和方法，以便为正真解决空间多柔体系统动力学问题提供精确的理论与方法。 这就是本文的主要工作。 1 4 1 本文的主要工作 1 4 本文的主要工作 本文模型为空间可展开天线，针对空间可展开天线的发展现状以及多柔体动 力学的发展现状，研究现下大部分关于空间可展开天线方面的文章，发现实际上 全部是平面情况或者是绕定轴转动的情况，也就是旋转过程中转动轴不变的情况。 而在实际应用过程中，我们遇到的往往是绕动轴转动的情况。本文中我们从转动 轴的物理意义出发，首次引入转轴坐标系及转轴坐标系坐标变换矩阵，给出了一 第章绪论9 种绕动轴转动的旋转变换矩阵，结合多柔体动力学和有限元基本知识，给 h 了空 间任一点绕动轴转动的描述，给出真币的空问多柔体系统动力学控制方程( 包括 质量矩阵、质量阵的导数及速度二次项广义力等的具体表达式) ，然后以空间可展 开天线为例，建立空间可展开天线系统的模型，然后对模型进行详细分析，最后 得到动力学控制方程，并进行仿真来验证本文提出的理论的正确性。 1 4 2 本文的内容组织结构 本文具体内容的组织安排如下： 第一章绪论。主要介绍空问可展开天线的发展概况以及多柔体动力学对实 际中的影响，并且建立空间可展开天线的基本模型，对模型的建模 方法进行分析，得出当前建模方法存在的问题，从而得出我们研究 本论文的必要性。 第二章柔性多体系统动力学基础。作为后续章节推导的基础，本章主要介 绍了柔性体上人一点状态量的描述，有限元法的坐标变换以及柔性 多体系统动力学控制方程的一般形式。 第三章绕动轴转动的柔性多体动力学理论。引入转轴坐标系及转轴坐标系 坐标变换矩阵，给出了一种绕动轴转动的旋转变换矩阵。并在此基 础上结合多柔体动力学基础知识，给出了空间任意一点绕动轴转动 的描述。推导出了空间动轴转动的多柔体动力学控制方程质量矩阵。 第四章空间可展开天线系统动力学控制方程。根据空间可展开天线展开运 动规律，建立了其简化模型。推导了空间可展开天线的质量矩阵， 刚度矩阵，以及质量矩阵对时间的导数，质量矩阵对广义坐标的偏 导数，动能对广义坐标的偏导数，以及主动力引起的广义力，约束 条件等，从而建立了可展开天线动力学控制方程。 第五章空间可展开天线系统动力学响应的计算和分析。介绍了系统响应计 算的方法，从而选出适合解空间可展开天线动力学控制方程的解法， 并做简单介绍，然后对空间可展开天线控制方程进行动力学仿真， 给出了系统的动力响应曲线并进行了分析。 第六章 总结与展望。总结全文，指出了需要进一步研究的课题。 第二章柔性多体系统动力学基础 近几十年来，柔性多体系统动力学的研究受到了极大的关注，它已经成为目 前理论和应用力学的最活跃的领域之一【3 4 1 。由于它和航天、航空、机械、车辆、 机器人等工程领域，甚至于体育等方面都有着及其密切的关系，因而具有重要的 使用价值。所以，这门学科吸引了众多的研究工作者，可望今后在许多有待进一 步深入探讨的问题上有所突破。本章将简要介绍柔性体上任一点的状态描述以及 坐标变换，柔性多体系统动力学控制方程的一般形式等相关知识。 2 1 柔性体上任一点的状态描述 3 5 】 柔性多体系统动力学研究由可变形物体以及刚体所组成的系统在经历大范围 空间运动时的动力学行为，与人们所熟悉的多刚体系统动力学合称为多体系统动 力学。多刚体动力学是以系统中各部件均抽象为刚体，但可以计及各部件联结点 处的弹性、阻尼等影响为其分析模型的，而柔性多体动力学则在此基础还进一步 考虑部件的变形。粗略的说，多刚体动力学侧重“多体”，多柔体动力学侧重“柔 性”，研究物体变形与其整体刚性运动的相互作用或耦合，以及这种耦合所导致的 独特的动力学效应。变形运动与刚体运动的同时出现及其耦合正是柔性多体系统 动力学的核心特征。 在分析刚体运动时，采用运动分解方法，把复杂的刚体运动分解为几种简单 运动。例如，若过刚体的任一点建立一个坐标轴始终与惯性参考系对应坐标轴平 行的移动坐标系，则刚体运动可分解为随动坐标系的移动和相对于动坐标系的转 动。在多刚体系统运动学分析时，通常又在各刚体上建立一个固连于该刚体的参 考系，称为连体坐标系，以此坐标系相对于移动参考系的转动表示刚体的相对运 动。对于柔性体的运动，特别是小变形情况，也可以采用类似的办法，将柔性体 的运动分解为整体( 即刚体) 运动和变形运动两部分，例如，在柔性体的某微元 上建立一个移动参考系，于是柔性体的运动视为随动参考系的牵连运动和相对于 该动参考系的相对运动的合成运动，这也相当于将柔性体运动分解为其未变形情 况下的刚性运动和相对于未变形物体的变形运动的合成。 根据以上的分析，我们只要对所考察的柔性体建立一个动参考系，把柔性体 空间任意运动分解为随动参考系牵连刚性运动和相对于动参考系的变形运动，则 当柔性体在空间任意运动时，其上任一点的位置、速度和加速度就不难求到。 如图2 1 所示，柔性体上任一点的位置向量为 1 2空间可展开天线( 由两空问梁组成) 动力分析 名= 艺+ 爿“7 = 艺+ 么( 甜。，+ “，) 式( 2 1 ) 式中，兄，为动坐标系( 或称为物体坐标系) d k ：) ，z 的原点o7 位置向量，么为动 坐标系d 勺7 y ，z 7 向整体惯性坐标系伽的旋转变换矩阵，“为尸点相对于动坐标 系的位置向量，“为未变形时的位置向量“。7 与变形引起的位移向量“，的迭加。 相对变形位移向量“，可以用不同方法离散化，例如，经典的瑞利一里兹 ( r e y l i e 舭i t z ) 法、有限单元法和模态分析及综合法。本文将采用有限单元法 进行离散化。在用有限单元法近似模拟真实物体时，弹性体上无限多质点的位移， 是由有限多个单元节点位移，通过各单元的形函数来描述的，从而实现无限多自 由度的离散。于是，柔性体某单元上任一点p 的位移向量“，可表示为 ，= 峋， 式( 2 - 2 ) 式中，为该单元的变形模式( 或假设位移场) ，称为单元形函数，g ，为该单元 的节点位移向量。在将所有单元组集后，物体上所有节点的位移向量，就构成了 该物体的弹性广义坐标。 柔性体上任一点尸的速度向量，可以将位置向量式( 2 1 ) 对时间求一阶导数， 即可得到速度向量 吃= 兄，+ 彳“+ 彳如7 = r ，+ 彳“+ 删r 式( 2 - 3 ) 将速度向量式( 2 3 ) 对时间求导，可得到加速度向量。 z 图2 1 柔性体上任一点的位置 2 2 有限元法坐标变换删 由上一节知道，对柔性体的离散化一般采用三种方法，而本文将采用有限元 法【3 】。因为有限元法可以将具有复杂形状、边界条件和载荷的物体，化整为零， 分割为有限数量、有限大小且具有一定规则形状的单元，使得对每个单元的变形 模式的选取变得非常容易。柔性多体系统动力学控制方程用有限元列式表示时， 首先需要建立单元、物体和整体坐标系间的变换关系，因此，本节将讨论各坐标 系间的变换关系。 z 图2 2 柔性体有限元划分图 图2 2 所示为某确勿体的有限元划分图，d 工y z 为f 物体坐标系，y ，z 驴为 确勿体上第，个单元的单元坐标系，与结构力学中有限元单元坐标系相同，它不是 浮动的，而是与单元上某点邻域的微元固连得。伽为整体坐标系。 设，单元上一点的位移向量，可以用该单元的节点位移向量砂，通过在单 元坐标系下单元形函数玎表示为 夜自= n 自毛蟹 式中( ) 表示遭单元坐标系下描述的向量， 的位移向量，则矿与“扩间的变换关系为 “”= 掣矿 式( 2 4 ) 设为该点在f 物体坐标系| j ，z 下 式中彳为向量泸从单元坐标系到物体坐标系的变换矩阵， 矩阵。于是式( 2 5 ) 表为 “扩= 掣驴 而单元节点位移向量变换到物体坐标系下，有 式( 2 - 5 ) 在三维情况下为3 3 式( 2 6 ) 1 4空间可展开天线( 由两空间梁组成) 动力分析 砂= 蟛式( 2 7 ) 式中为在物体坐标系下的j 单元节点位移向量，掣为节点位移向量在单元坐标 系和物体坐标系下的变换矩阵，其维数等于单元节点自由度总数，例如对于空间 梁单元为一个1 2 1 2 的矩阵。 于是 ”= 互”巧式( 2 8 ) 此处掣是在物体坐标系下，对应单元节点位移向量的形函数。 将单元组装到f 物体中去时，单元节点位移向量要按f 柔性体上所有单元节 点重新排列，即有 = 以式( 2 9 ) 式中为布尔( b o o l e ) 指示矩阵，其元素不是。就是1 ，g f ，为柔性体的节点位 移向量，于是 式中 订= t ；n j t q f = & qf 式( 2 1 0 ) = 彳 ，蟛 式( 2 1 1 ) 为在物体坐标系下的有限单元形函数，它对应f 物体节点位移向量g ；。为了统一 起见，把节点位移向量g ；改称为节点坐标向量，它也就是描述物体变形的广义坐 标。 2 3 柔性多体系统动力学控制方程的特点 2 3 1 柔性多体系统动力学控制方程的特点 柔性多体系统动力学问题的主要特点是，系统中的柔性体部件在运动方程中 经历着大的刚体整体移动和转动，同时又有变形运动，而且这两种运动又是高度 耦合的【3 。它不像多刚体系统动力学分析的那样，只要动参考系选定，诸如惯性 张量等都是不随时间改变的量。而在柔性体情况下，除了那些只与选定的变形模 式有关的量不随时间而变外，包括惯性张量等在内都是随物体变形而变的，他们 都是时间的函数，这就大大增加了问题的复杂性。在建立系统动力学控制方程时， 可以采用不同的原理和方法【3 8 】，例如，牛顿一欧拉法，该方法是在向量力学的基 础上，用动量定理描述柔性体的移动，用动量矩定理描述柔性体的转动，且这两 方面都包含柔性体的变形运动。还有就是基于高斯原理即极小原理的方法，它开 辟了一条不必建立运动方程而直接用优化方法进行动力学分析的新途径。再有是， 在虚位移和达朗伯原理基础上演变出的拉格朗同方程，它是以标量力学为其主要 特征，通过引入动力学函数建立起系统的动力学控制方程【39 | 。 另外，在多体系统中对运动的描述，可以用绝对描述，即将系统中各物体的 运动变量，直接在惯性坐标系描述，也可以用相对描述，即分别建立各物体的动 参考系，将物体的运动分解为刚性整体牵连运动和相对动参考系的变形运动两部 分，然后直接应用相对运动变量来建立运动方程。 本文所采用的方法是用拉格朗同方程导出自由柔性体动力学方程，然后通过 约束和边界条件的处理得到系统的动力学控制方程。系统中各柔性体在每时刻的 位移，用两组广义坐标表示，即描述动参考系及弹性变形的两组广义坐标。动参 考系的广义坐标描述该柔性体跟随动坐标系的位移和转动，而弹性广义坐标是藐 视该柔性体对于该动参考系的相对变形运动m 】。 由于弹性体都是具有无限多自由度，动力学问题的精确解是无法得到的，因 此通称都是将其离散成有限自由度作为近似分析模型。对常见的弹性变形广义坐 标，有以下几种离散化方法：经典的瑞利一里兹( r e y l i e 曲一r i t z ) 法，模态分析 及综合法和有限单元法。因为有限单元法可以将具有复杂形状，边界条件和载荷 的物体，划整为零，分割为有限数、有限大小且有一定规则形状的单元，使得对 每个单元的变形模式的选择变的非常容易的特点，多以本文采用的方法就是有限 单元法的基础上列写柔性多体系统动力学控制方程。 2 3 2 自由柔性体的动力学控制方程 拉格朗日方程4 1 】的表达式为 丢( 薏奶娜一，n 糊2 ) 其中丁为系统的动能，q 为对应全部主动力的广义力，吼为系统的广义坐标，n 为广义坐标的个数。 首先，将拉格朗日方程写成矩阵形式为 丢一鼍= q 抑3 ， 式中 q = 一幻+ q f 式( 2 一1 4 ) 其中绋为作用于柔性体上，除变形引起的弹性力以外的全部主动力的广义力， 物为弹性力对应的广义力。 1 6 空间可展开天线( 由两空间梁组成) 动力分析 又柔性体的动能可以表示为 丁= 圭工p ( 名) r ( 名) d 矿= 扣m 牙) 其中吃为柔性体上任一点在惯性坐标系下的速度向量，m 为质量矩阵。 将动能表达式代入拉格朗同方程得 删+ 哟一言( 三口7 蚴) + 物= 绋 令 9 = 一哆+ 鲁( 三口 ， 称9 为与速度二次项有关的广义力，从相对运动学的角度看， 性力和陀螺力( 包含科氏惯性力) 。于是可得： m 每+ k q = q f + 娥 上式就是自由柔性体的动力学控制方程。其一般表达形式为： m 每+ k q + c ：九= q y + q f l -c ( g ，f ) = o 式( 2 1 5 ) 式( 2 1 6 ) 式( 2 1 7 ) 9 相当于离心惯 式( 2 1 8 ) 式( 2 1 9 ) 式中e 是约束方程的雅可比矩阵，五是待定拉格朗日乘子向量，维数为聊1 ，其 中聊为所有的约束方程数，而系统的质量矩阵m 、刚度矩阵k 以及与速度有关的 力向量9 和外主动力向量鲱、分别由各子结构的对应矩阵组装起来，这也是本 文的重点内容之一。 但是，为了以后计算柔性体的动力响应的方便，一般将式( 2 一1 6 ) 聊+ 砌一昙( 丢口r 坳) + 砀= 绋 式( 2 2 0 ) o qz 变形为： 删+ 哟专r 警香+ 翰= 绋 式( 2 - 2 1 ) 只要将方程式( 2 2 0 ) 中的系数矩阵m 、肪和k 求的，即可得物体的动力学控制方 程，柔性多体系统的动力学控制方程式强耦合、强非线性方程，这种方程的求解 目前只能通过计算机用数值方法进行。本文中空间可展开天线( 由两空间梁组成) 系统的动力学控制方程，就是利用上述各式进行求解的。 2 4 小结 本章重点推导了柔性体上任一点的位置向量、速度向量和加速度向量的表达 式。因为本文采用有限元方法进行离散化，所以接着又讨论了整体惯性坐标系、 物体坐标系和单元坐标系之间的变换关系。最后，给出了柔性多体系统动力学控 制方程的一般形式。柔性多体系统的动力学控制方程是强耦合、强非线性方程， 这种方程的求解目前只能通过计算机用数值方法进行。 第三章绕动轴转动的柔性多体动力学理论 由上一章的基础知识知道，研究柔性多体系统的动力学分析，我们采用的是 运动分解的办法，即在柔性体任选的基点上建立动参考系( 即物体坐标系) ，将柔 性体的运动分解为随动参考系的刚性运动和相对于动参考系的变形运动两部分来 研究，最后将相对变形运动的各变量，通过空间旋转变换矩阵，转换到惯性坐标 系下，建立柔性体系统的动力学控制方程。而本文分析的空f h j 可展开天线属于绕 动轴转动的柔性多体动力学系统，其特点是点在绕轴e 转动的同时，轴g 也在空间 范围内安某一规律按时间运动，这就给我们的研究工作带来了较大的难度，在解 决动轴问题时，我们引入了一种新的坐标变换矩阵日，通过日矩阵来完成动轴的 旋转，从而给出了柔性体上任一点的位置向量，为本文研究的完成奠定了基础。 3 1 空间旋转变换矩阵日 下面我们来介绍一种空间旋转变换矩阵日，如图3 1 所示，空间任一点风绕 动轴转动口角，该动轴的初始方向向量为，末瞬时方向向量为y ，点既的初始 坐标为厂，经过上述运动后到达p 点，p 的坐标为r ，则它们之间的关系可以用公式 ( 3 1 ) 表示为 尺= 胁 式( 3 - 1 ) 其中日为坐标旋转矩阵，它的具体表达式为 日= e 4 ，7 式( 3 2 ) 图3 1 空间旋转变换矩阵疗图示 2 0空间可展开天线( 由两空问梁组成) 动力分析 0 c o s 乡 s i n 口 式( 3 3 ) 由上述表达式，我们可以看出，h 矩阵为空间坐标旋转变换矩阵，将式( 3 2 ) 代入式( 3 1 ) 中，可以得到 r = e 4 f r ， 式( 3 4 ) 其中e 、f 这两个矩阵都是正交单位阵，那么由正交矩阵的性质，我们可以 推出 由于 e 7 e = e e r = ， 式( 3 5 ) f tf ：ff t = i 厂2 7 2 一y 式( 3 6 ) 式( 3 7 ) 前面我们说过根据我们的定义，矩阵f 和昱都是正交矩阵，下面我们来证明： 眈= 为南仆岛南 厂r ( 为) 7 ( 尚厂 厂r 7 ( 岛 r 7 ( 为) r 7l i 刑7 褊南 厂r 筠 一， ( 为了为u y i jl 厂i ( 南 r 岛 ，r 为 ( 岛丁尚 ( 赢) r 尚 1，j 乡， 坩臼 。痂 咖 为厂11 一不 么 表以 丌： 4 阵 矩 其中 所强e te = e