（概率论与数理统计专业论文）次几何遍历马尔可夫链的收敛速率.pdf

摘要 在近些年，马尔可夫链的次几何收敛速率问题被广泛讨论n e l i n 和 t u o m i n e n ( 1 9 8 3 ) 首次给出了马尔可夫链关于次几何序列的收敛结果，而此结果 被t u o m i n e n 和t w e e i d ( 1 9 9 4 ) 推广到，一范数的情形d o u c 和f o r t ( 2 0 0 4 ) 等 人般化了f o s t e rl y a p u n o v 和j a r n e rr o b e r t s 漂移条件，得到了实用的漂移条 件特别，m e y n 和t w e e d i e ( 1 9 9 4 ) ，r o s e n t h a l ( 1 9 9 5 ) ，d o u c 和m o u l i n e ( 2 0 0 4 ) 等人 给出了收敛的数量有界的不同形式 本文将给出次几何遍历马尔可夫链转移概率核收敛到平稳分布的数量有 界我们先得到强非周期m 一骨架链的数量有界，然后用m 一骨架链和原马 链的关系。得到原马链的数量有界我们将用耦合证明主要定理 关键词：次几何速率；马尔可夫链；漂移条件；耦合；数量有界 a b s t r a c t s u b g e o m e t r i cc o n v e r g e n c er a t e so fm a r k e rc h a i n sh a v eb e e nw i d e ss t u d i e d i nr e c e n ty e a r s t h ef i r s tr e s u l t sf o rs u b g e o m e t r i cs e q u e n c eh a sb e e no b t a i n s e db y n u m m e l i n ea n dt u o m i n e n ( 1 9 8 3 ) ，t h e s er e s u l t sm e l a t e re x t e n d e db yt u o m i n e na n d t w e e d i e ( 1 9 9 4 ) t of - n o r mf o rg e n e r a lc o n t r o lf u n c t i o n s d o u ca n df o r t ( 2 0 0 4 ) o b t a i n e d p r a c t i c a ld r i f tc o n d i t i o n sw h i c hg e n e r a l i z e st h ef o s t e rl y a p u n o va n dj a m e rr o b e r t s d r i f tc o n d i t i o n s i np a r t i c u l a r ，q u a n t i t a t i v eb o u n d so nc o n v e t g e n c er a t e sh a v eb e e n s t u d i e di nv a t i o t i bf o r m sb ym e y na n dt w e e d i e ( 1 9 9 4 ) ，r o s e n t h a l ( 1 9 9 5 ) ，d o u ca n d f o a ( 2 0 0 4 ) i n t h i s p a p e r ，w e g i v e d q u a n t i t a t i v e b o u n d s o n t h er a t e s o f c o n v e r g e n c e o f t r a n s i - t i o np r o b a b i l i t i e st ot h es t a t i o n a r yd i s t r i b u t i o nf o rs u b g e o m e t r i c a l l ye r g o d i cm a r k o v c h a i n s w ef i r s to b t a i n e dq u a n t i t a t i v eb o u n d so ft h em - s k e l e t o nw h i c hw a ss t r o n g l y a p e r i o d i c w ec a nu s e dt h er a l i t i o n so ft h em - s k e l e t o na n do r i g i n a lc h a i n s ，o b t a i n e d q u a n t i t a t i v eb o u n d so fo r i g i n a lc h a i n s t h em e t h o do fp r o o fu s e d c o u p l i n g k e yw h d 8 ：s u b g e o m e t r i cr a t e s ；m a r k o vc h a i n s ；d r i f tc o n d i t i o n s ；c o u p l i n g ；q u a r t - t i t a t i r eb o u n d s n 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权 说明 原创性声明 本人郑重声明。所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的作品或成果对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明本声明的法律后果由本人承担 论文作者签名。弓反7 i ( 季 签名日期t 劾卉年r 月2 9 日 学位论文使用授权说明 本人完全了解湖北大学关于收集保存，使用学位论文的规定，即t 按照 学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的印刷 本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印缩印、数字化 或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部 分或全部内容( 保密论文在解密后遵守此规定) 论文作者签名，舷水利 签名日期为叼年岁庙g 日 导师签名；径汜义 签名日期；呼j 嬲日 f 第一章序言 第一章序言 令x 是一个一般状态空间，b ( x ) 是x 上的个可数生成a 一代数 令p ：x b ( x ) 一【o ，1 1 是一个转移概率核，用蛋= 圣。：n o ，代表以p 为转移核的马尔可夫链对一个可测函数，：x 一【1 ，m ) ，定义，一范数为 i iv = s u pir ( 9 ) i ，其中一为符号测度，一0 ) = 厶”( 如) g ( 动当，z1 。 g ：l g l ， 时，0v0 ，_ l i ”l = 8v i l ，称为全变差范数对任意的z x 和可测函数 ， p o f ( x ) = ，( z ) ，且对任意的n21 ，p ，l ，( z ) = 厶p ( z ，白) ，( ”) 我们知道，如果p 是个妒一不可约非周期转移核，且有不变概率分布 口，那么p 是遍历的，即对任意z x r i mi i 尸”( ，) 一f ( ) i i t v 2 0 对任意可测函数，2 1 ，若”( ，) o o ，则( 1 1 ) 式关于，一范数也成立， 即对任意z x 熙i ip t l ( ”) 一”( ) i l y 2o ， 此时马尔可夫链称为，一遍历的如果非降序列r = r ( n ) ：n o ) 满足 ( 1 1 ) ( 1 2 ) l i mr ( n ) l l 尸“b ，) 一口( ) i i i2 0 ， ( 1 3 ) 则马尔可夫链称为( ，r ) 一遍历的 在以前的文献中有两类( ，r ) 一遍历马尔可夫链已被讨论，其中一类是几 何遍历，即当r ( ，1 ) = k n ，对某个k21 ，这种情况在m e y n 和t w e e d i e ( 1 9 9 3 ) 中 已经讨论的很清楚，内容已比较完整另一类速率函数是；次几何速率函数， 即序列p ( n ) ：n o ) 满足，存在个正数序列可n ) 具有性质垃l0 ，使得 0 “m i n f 籍f i m s u p 器 0 , r ( n ) 1 0 9 ( n ) ，次指数遍历马尔可夫链，即对 0 k 0 ，垂。a ) 一个 集合a b ( x ) 称为( ，r ) 一正则，若对每个b b ( x ) + 都有 q - - 1 。s u “pe z 。 k = or ( ) 他t ) 】 ( 2 - 1 ) 类似可以定义( ，r ) 一正则测度令s ( f , r ) = 扛：z 是( ，r ) 一正则 在t u o m i o n e n 和t w e e d i e ( 1 9 9 4 ) 中给出了( ，r ) 一遍历的充分必要条件 定理2 1 假设垂是妒一不可约且非周期的马链。且，：x 一【l ，) ，r 叶 则下列条件等价。 ( 1 ) 存在个细集c b ( x ) ，满足 磐e 【r 堇e - - * m 胍) 】 ， ( 2 2 ) ( 2 ) 存在个函数序列k ，k ：x 一【0 ，l ，细集e b ( x ) ，b r + ，满足在c 上有界，( z ) = 0 0 寺k ( z ) = o o ，且 p + l 一r ( n ) f + 6 r ( n ) 昂( n = 1 ，2 ，) ，( 2 3 ) ( 3 ) 存在个( ，r ) 一正则集a b + ( x ) ， ( 4 ) 存在个满的吸收集s ，且s 能被可数个( ， r 卜正则集覆盖， 任意上面的条件都意味着，对任意的z s ( 1 ，r ) 都有 当巴r ( n ) l lp ( ”) 一口( ) 8 ，= 0 ， ( 2 4 ) 集合s ( f ，r ) 是一个满的吸收集且包含集合 ，而且对任意( ，r ) 一正则 初始分布a 幽都有 薹砌) m 圳旧引卅”川， o o 3 湖北大学硕士学位论文 在m e y n 和t w e e d i e ( 1 9 9 3 ) 中，分别用漂移条件v 0 ) ，y ( 2 ) ，v ( 3 ) 很方便地 判断常返性，正则性和，一遍历 其中tv ( 1 ) 存在一个函数y 和一个集合c b c x ) ，满足 p y ( z ) 一y ( z ) 0 z c p v ( 2 ) 对某个集合c b ( x ) ，常数b o o ，和一个广义实值函数y 满足 ( 2 5 ) x 一 o ，o 。】， p v ( x ) 一y 扛) 一1 + b i c ( x )z x ，( 2 6 ) v ( 3 ) 对一个函数，：x 一【l ，o o ) ，集合ce b ( x ) ，常数b o o 和个广义实值 函数v ：x 一【0 ，0 0 1 ，满足 p v ( x ) 一y ( 动s 一，( z ) + b i c ( x ) z x ( 2 7 ) 在定理2 1 中，我们要想用漂移条件序列( 2 3 ) 来判断( ，ir ) 一遍历，关 键是找到漂移函数序列 k ：，i 0 而在t u o m i o n e n 和t w e e d i e ( 1 9 9 4 ) 的命 题3 2 给出了构造函数序列 ：”o ，的方法，令( 动= g 学( ，z ) = 忍【釜，( 。+ ) ，( 饥) 】，则 k ：o ) 满足 k = 0 p k + 1 k r ( t 1 ) ，+ 打( n ) i c 由于( k ：，l o 的构造比较困难，且漂移条件序列( 2 3 ) 验证起来比较 麻烦，因此定理2 1 中的漂移条件( 2 3 ) 在实际中很难应用而在d o u c 和f o r t ( 2 0 0 4 ) 中给出了判断次几何收敛的实用的漂移条件 条件d ( 0 ，v ，c ) ：存在一个函数v ：x 一【l ，o 。】，一个凹的非降可微函数 咖：【l ，0 0 ) 一( 0 ，o o ) ，可测集c 及有限常数b ，满足 p v s v 一咖0 v + w c ( 2 8 ) 定义； 聃) = z ”高， ( 2 。) 其中，是上面条件d ( 妒，v , c ) 中所定义 则z b 是【1 ，0 0 ) 上的一个非降凹的可微函数而且，由于毋是凹的， 是非增的，因此，对所有z 1 有( ) ( 1 ) + ( 1 ) 仕一1 ) ，上式意味凰递 4 第二章引理及相关知识 增列无限大 注2 1 凰( ”) = j ( ”而d x j ( ”丽葡丽d x ：l ，”! ! 生f ! ! 苎丛1 2 = 型! ! 1 2 ( 1 ) j l( 1 ) + ( 1 ) 扛一1 ) 2 石i 玎l n 【( 1 ) + ( 1 k 一( 1 ) 】谨 2 i 才玎【l n ( ( 1 ) + ( 1 p 一( 1 ) ) 一l n ( 1 ) l = 菥可k 【l + 等等p 一1 ) 】，当”一m 时，有凰p - , o o 定义z 的逆函数 i 1 ：【0 ，o o ) 一【1 ，o o ) ，也是一个递增可微函数，且 ( 巧1 ) ，- 庐。巧1 对n ，z 之0 ，2 1 定义 q ( 2 ) = ( 月i 1 ) 心) = 。丑i 1 ( z ) ， ( 2 1 0 ) 峨( z ) = o 以”q 如+ i = 粝1 ( 鳓( r ) + i ) 一巧1 ( e ) ， ( 2 1 1 ) k = 矾o v ，( 2 1 2 ) 命题2 1 ( d o u c 和m o u l i n e s ，2 0 0 4 ，命题2 1 ) 假设条件d ( 毋，k 研成立，则 是个l o g 一凹的，且对所有k 20 , h k 是凹函数，并且满足 p k + - s k q ( 砷十堡秀苦产如 ( 2 t 3 ) 引理2 1 ( m e y n 和t w e e d i e ，1 9 9 3 ，命题1 4 2 2 比较定理) 假设非负函数k ，5 满足关系 p v ( z ) v ( x ) 一，( z ) + 8 扛)# x ，( 2 1 4 ) 则对任意的初始分布z 和任意的停时r ，都有 b l 肿k ) is y ( z ) + e l s ( 饥) 1 ( 2 1 5 ) k = 0k = 0 由漂移条件d ( 以k c ) ，命题2 , 1 和引理2 1 ，则有下面结论： 5 湖北大学硕士学位论文 命题2 2 假设d ( 4 ，k c ) 成立，则对所有z x b 芝k = o 删洲卅a 器掷) ， ( 2 1 6 ) f c 一1 忍【妒。y ( 叫y ( z ) + ( z ) ( 2 1 7 ) 证明：我 f i g , 证( 2 1 6 ) 成立，( 2 1 7 ) 可以类似的证明 令玩= v k ( c k ) ，则 b 磊+ - l 露】= 忍【k “垂- ) i 露 = b p + t ( 垂- ) l 露 = b 岛。i r k + 1 】= p “吼) 磙( 啾) 一( ) + 6 1 2 2 铲圮( z ) ， 上式不等式由命题2 1 得到由引理2 1 可知，( 2 1 6 ) 式成立 下面给出判断 ( ) ：k2o 是次几何序列的一个引理 引理2 2 若恕( t ) = o ，则( ) ：k o 是次几何序列 2 2 双变量漂移条件 由于我们在第四部分将用耦合方法来证明，一范数的数量有界，需要用 到双变量的漂移条件而在r o b e r t s 和r o s e n t h a l ( 2 0 0 4 ) 中也给出了由单变量 漂移条件得到双变量漂移条件的方法，在这里我们首先回顾一下r o b e r t s 和 r o s e n t h a l ( 2 0 0 4 ) 中的方法和结论以便我们在后面可以用类似的方法得到需 要的结论 马尔可夫链称为满足漂移条件，若存在常数0 1 , b 1 ， - p h ( x , y ) 掣( 钏即c ， ( 2 1 9 ) n 其中， ( z ，) = 上上h ( 址u ) p ( z ，d v ) p ( 玑幽) 第二章引理及相关知识 命题2 3 ( r o b e r t s 和r m e n t h a l ，2 0 0 4 ，命题1 1 ) 假设对某个函数y ：工一 【l ，o 。) ，ec x ，0 a 0 ，以及概率测度p 满足对所 有z c 都有 尸“( ，) 2e v ( ) ( 3 1 ) 我们知道，在条件( a 1 ) 中，当m = 1 时，处理问题要简单的多，因此，令 p ”( 毛) = f ( z ，) ，以芦为转移核的马链记为墨= 面。：n 0 ) = 垂：n o ) 这样就可以得到， 1 7 ) 存在个集合c b ( x ) ，常数e 0 ，以及概率测度满足对所有zee 都有 p ( z ，) ( ) ( 3 2 ) 3 9 - 马尔可夫链面的数量有界 下面我们在x x 上定义马尔可夫转移核_ ，满足对所有a b ( x ) ， 扛，一；ax x ) = f ( z ，a ) x c ) c 0 ，z 7 ) + 西( 以a ) i c x c 扛，一) ，( 3 ，3 ) ( e z ，；x ) = 声( 一，a ) x c ) c 扛，z ) + 西( z ，a ) i c c 协，一) ， ( 3 4 ) 8 第三章主要结果 其中ta c 代表a 的余集，西称为残核，其定义为，对z c ，a b ( x ) ， 弧： l - ) - 1 ( 最毛锄一) ) ， 当o “， ( 3 5 ) ip ( a ) ， e = 1 ， 可以定义 ( z ，一；a ) = 声p ，a ) f ( 一，) c 。c ) c ( z ，一) + 西扣，a ) 石( 一， ) 如c ( 一) ( 3 6 ) 对任意( 霸一) x x ，分别用瓦一和瓦一代表以f 为转移核且初始分布为 瓦。颤的马链的概率和期望令tc = 如：【1 ，0 0 ) 一( 0 ，o o ) 是个凹的非降可 微函数，且( 1 ) o ，j 骢妒( r ) 2o o ，熙( v ) = o ) 下面给出两个漂移条件，后面的定理给出了它们之间的关系 a ( 2 ) 存在一个函数u o ：x 一【1 ，) ，函数如c ，和一个常数6 0 o o 满足 声t 1 0 蔓u 0 一如。蛳+ b o i c ( 3 7 ) a ( 3 ) 存在一个函数w ：x x 一【1 ，) ，个函数e c 和常数b o o 满足 p w ( x ，z ) s i 矿忙，一) 一咖。w 伽，一)0 ，一) 百p c ， s u pp 0 ，一) 6 0 ，在 ( 3 6 ) 中定义的转移核满足漂移条件( a s ) 其中， 矿扛，一) = u o ( x ) + t 1 0 ( 一) 一1 ( 3 9 ) 毋= a 如对任意a ，o 1 一丽b o ( 3 a 0 ) s u p p w ( x ，一) 2 ( 1 一) 一1 s u p 5 u o e y ( t 幻) ) 一1 ( 3 1 1 ) ( z $ 7 ) e c x c u 证明s 由d o2 盛t 1 0 ( z ) 的定义可知，若( z ，z 7 ) 首g c ，则y ( 毛一) = 蜘( z ) + t l o ( 一) 一1 d o 且尼( z ) + 圮( 一) 1 ，由转移核芦的定义可知t 9 湖北大学硕士学位论文 聊( z ，一) = 上上f ( z ，跏声( 一州) ( ，) + “o ) 一1 ) = p ( z ，d y ) 咖( ”) + p ( 一，) t o ( 矿) 一1 st 1 0 ( 功+ 加( 一) 一1 一如o t 0 ( z ) 一如o t 0 ( 。) + b o i c ( x ) + c ( x 7 ) ) sw ( x ，一) 一如o ( z ，一) 4 - 6 0 ， ( 3 1 2 ) 其中对上式中的最后一个不等式。对任意的u 1 和”2 1 ， 如m + 口一1 ) 一如( ) 如( 口) 一如( 1 ) 因为对任意的扛，一) 百g c ，有6 0 曼( 1 一a ) 如) ( 1 一 ) 如o ( ，一) 所以( 3 1 2 ) 式即为 p w ( x ，z 7 ) sw ( x ，z 7 ) 一曲ow ( x ， 因此定理成立 令 r ( n ) ) a 是个次几何序列，且蠢( ，1 ) ；葚 ( i ) ，其中 ( 。) ：，( r a n ) ， 用而。c = i n f n o ，( 甄，戳) c 砚代表双变量马尔可夫链首次到达集合 c c 的时问，且令， u ( 为一) = 己一i 敢女) i ( 3 1 3 ) a c x c r， 令”：x x 一【o ，o o ) 是个可测函数，且 y ( z ，一) = e 一 ”( 戤，剐 ( 3 1 4 ) k = o 下面给出两个假设 ( 山) 对任意的( z ，一) x x ，u ( z ，) o o ，且， 扣扣裟动(叫7)-扛裟瓦一k=o酬(315)ecxc ) e c x c ) 扣# 扛 l j ( a 5 ) 对任意的( z ，一) x x ，y ( z ，一) 0 满足i 1 + i 1 = 1 ，有， 哪等+ 警 ( 3 。) 因此当c x ( z ) ；p ；z ；，也( ) = 口 ” 时，有( 妒l ，妒2 ) y 我们还可以通过 y o u n g 函数得到许多有用的插值函数，首先回顾一下y o u n g 函数的定义，令p t ： 【0 ，o o ) 一( o ，0 0 ) 是个递增左连续函数且满足以( o ) = 0 ，l i r ap l ( ) = + 令 p 2 是, o l 的个左连续逆函数，则它是个递增的且满足以( o ) = 0 ，l i r ap 2 ( ”) = + o 。定义戗( z ) = 譬p i ( t ) d ti = l ，2 ，则由y o u n g 不等式可知，对所有毛口0 ， 有， z g 1 ( z ) + g 2 ( ) ( 3 2 2 ) 1 2 第三章主要结果 令砒o = 1 ，2 ) 是g “= l ，2 ) 的逆函数，则咖和也是凹函数，且由( 3 ，2 2 ) 可 知，( 妒1 ，仍) y 我们需要个准则来判断饥o r 是次几何的，其中r a 注意到，如果 ( 妒l ，如) ) ，则对足够大的z ，有班缸( i = 1 ，2 ) 引理3 2 ( d o u e 和f o r t ，2 0 0 4 ) 假设r a ，对任意非降函数矾对某个常数口， 满足妒( z ) 兰o z ，则妒o r a 下面的定理就是用插值函数得到不同的收敛速率和控制函数 定理3 3 假设( q ) 和( a 3 ) 成立，定义； m u = s u p ( b u z ( n f i n ) 字一夤( 女+ 1 ) ) + ) ，ej m v = b v 字， 其中( z ) + = m a x x ，o ) ， 则对任意( z ，一) x x ，n 1 ， 伊k ) _ 附，训w 糌，( 3 2 3 ) 、 j ”忙，) 一j ”( 一，- ) ，s y 扛，一) + m v ，( 3 2 4 ) 对任意非负函数，满足，对任意( z ，一) x x l ( t ) + ，( 一) s y 忙，一) + 缸 令( 妒l ，仍) y ，且满足对某个常数a ，有妒l ( z ) s 剐对任意( ，一) x x ， n 2 1 ，有， 妒i ( r ( n ) + m u ) i i 尸“扛，+ ) 一p “( 一，) i i 如( v c 。一) + ) s 【，缸，一) + 蛳+ y ( z ，一) + 肘矿 ( 3 2 5 ) 定理的证明放在第四部分 注3 1 ：因为序列i f ( k ) ：女2o 是次几何的，所以恕器= o ，因此，序 列 ( 6 u 双) 等一h ( k + 1 ) ) + ) 仅有有限个非负项，故有m u 0 ，p f s ，) ，则有， i ip ，i ( 即) 一p ，l ( 一，) i i ， ( 3 2 9 ) 关于n 是非增的 证明：因为对任意的l g i ， 有一，9 ，由p 的单调性有 - p f 曼p 9 p f ， ( 3 3 0 ) 所以有i 而i p ，s ，故有0 ：1 9 i s ，) 臼：i p g i ，) ， 由，一范数的定义及d ：l9 l ，) 伯：i 内i ，) 可知， 0 p “+ 1 ( ，) 一p “+ 1 ( 一，) i i f = s u pi p ”+ 1 ( z ，g ) 一p n + 1 ( z ，9 ) 。 g ：l g l f = s u pp n ( x ，p g ) 一p “( z ，p g ) i s u pp ”( z ，g ) 一p ”( 一，g ) 9 ：l g l 0 ，且p f s ，1 ，定义t m u = s u p ( b u 并( k ) k e n 字一袁( + 1 ) ) + ) ，e， 胁：b v 生， 其中t( z ) + = m x ( z ，o ) ， 则对任意( ，一) x x ，任意n 2 m ，都有， 垆k - ) _ 州，) i i t v 0 ，求，使得对任意的n n ，都有，0 p ”( 毛) 一p ( 一，) l l ，g ( x ，一，n ) ， 定理3 4 能很方便的求出 为了使定理3 4 在理论上也比较完整，在下面我们给出另一个结论 令c =s u pr ( n ) ， ( 而一) = s u pf j ”，扛) + p ，( 一) ) ， l s n m 一11 n m 一1 则当n m 时， r ( n ) l lp ，l ( z ，) 一p ( z ，) i i ，r ( r i ) ip ，i ( z ，) + ( 一，川c h ( x ，一) 由定理3 4 可知- 当n m 时， r ( - ) l lp ”0 ，) 一p ( x ，。) f i r r ( n ) l tp m ( z ，。) 一p m ( 一，) i i ，r ( n ) ( y ( 写，z 7 ) + 胁) 取m ( z ，一，n ) = ( 即m ，) 锨& xx g 一) ，r ( n ) ( 一) + 肌) ) 所以对所有的( 毛一) x x ，n 1 ，都有t r ( n ) l lp 札( 弓) p “( 一，) 忆s0 1 ( x ，一，n ) 1 6 第四章主要定理的证明 第四章主要定理的证明 4 1 基本耦合不等式 首先我们给出个重要的耦合不等式假设有两个随机变量l ，和y ，分 别用( y ) 和( y ，) 表示它们的概率分布，则我们有t i i ( y ) 一( y ) 0 = s u p i p ( y a ) 一p ( y a ) i = s u p l p ( y a ，y = y i ) 4 - p ( y a ，y y ) a p ( y 7 a ，y i = y ) 一p ( y a ，y y ) i = s u p i p ( y a ，y y ) 一p ( r a ，y y ) i p ( y y ) ， a 因此有， 0 _ c ( y ) 一( y ) 0 s p ( y y ) ( 4 1 ) 4 2 耦合的构造 我们将用耦合方法来证明定理，所以要首先构造耦合核对任意( z ，一) x x ，a b ( x ) b ( x ) ，定义耦合核为， p ( x ，一，o ；ax o ) ) = ( 1 一e 幻c ( x ，一) ) 芦扛，z ；a ) ， ( 4 2 ) 户扛，一，o ；a 1 ) ) = e 七。c ( x ，一p ( a n 和，一) x x 互= 一 ， ( 4 3 ) 户p ，$ ，1 ；a o ) ) = 0 ， ( 4 - 4 ) 户0 ，一，1 ；a 1 ) ) = 卢( z ，d _ ) x a ( y ，”) ， ( 4 5 ) 定义乘积测度空间z = x x o ，1 ) ，相应生成的，一代数为b ( z ) 我们将在 z 上定义一个马尔可夫链毒： 壬。：瓯= ( 鼓，酩，厶) ，n o ，且用户和廖表 示马尔可夫链毒以如。妇为初始分布的概率和期望事实上，给定毒n ，构造 致+ ，的方法如下： ( 1 ) 若d ，l = l ，则毒l 声( 毒。，) ，且毒。+ 1 = 戤+ l ，厶+ 1 = 1 ， ( 2 ) 若如= 0 且( 毒。，配) c c ， 1 7 湖北大学硕士学位论文 ( i ) 以概率，得到；l p ( _ ) 且丕。+ i = 面：+ l 如+ l = 1 ， 由上面的构造可知，对任意的n 0 ，( z ，一) x x 和( a ，a ) b ( x ) b ( x ) ， 岛一。( 毒nea x ) ) = 息枷( 玩ca ) = 哥( 羁a ) ，( 4 6 ) 或一。( 峨e x a ， o ，1 ) = 岛一。( 酩a ) = 伽( 一，) ， ( 4 7 ) 定义耦合时问为t = i n f ( k 1 , d k = l ( = 勾了方便：i n f o = 由d o u c ，e t ， a 1 ( 2 0 0 4 ) 引理1 ，我们可以得到任意的非负适应过程 x k ：女o ) 关于概率测 度乓一，o 和瓦，之间的关系，即对任意( z ，一) x x 有 岛一。陬， r ，。 】- 瓦一 ( 1 一e ) 一t 】， 其中，是在时问n 之前( 黾，戤) 到达c c 的次数 o on = 地9 = 昆。g ( 毛，霉) j = oi = 0 4 3 定理3 3 的证明 令，：x 一【i ，o o ) 且9 ：x r 是任意b o r e l 函数，满足 魁s u p 制 n ( 4 1 8 ) 坼1 5 i n f n ：n 磊，且( ，嘭) e e 由于畔蠢- i - 1 ) - i - m , , 且l + 岵面赢南，对心一1 o ，我们有； 枷叫n n 娶_ i - 1 ( 罴) ( 1 叫) 虬( 4 1 9 )嗽卜。娶( 撬) ( 1 叫) l ，( 4 1 9 ) 类似，因为以1 2 m y 且1 + 船s 南，我们有， 球( 1 一e ) 一1 1 ( 4 珈) 由( 4 1 9 ) 和( 4 2 0 ) 可知t 鹾眇( 1 一s ) 】s e ，一咿硝 _ l 】， ( 4 2 1 ) 一， 呱1 ( 1 一e ) “一1 】e 一 呱1 1 ) 一， ( 4 2 2 ) 现在只需计算露，一 矸伊 矗1 一l 】o = o ，1 ) 的数量有界由构造，对 n 1 ，有 瓦，一 孵f 砰 1i 磊一1 ；瓦一咿悻4 硒而箸赢丽池p ，( 4 2 3 ) 其中，矗；一 ( 毒。，魏) ，( 配，戤) ) 由( 4 1 4 ) 可知t 瓦一咿川也一陋藏) + 薹酬+ m u l l 一- 】 ：己，一b ( 毒。，毒：) l 矗一1 j + f ( k ) + 蛳 o 。 k = o ；瓦一阵属 警劭+ t ，1 i 磊一，】+ 蓑+ 脚 ：瓦一阵一p 警砌+ 砷1 叫l ，n 一- 】+ n 薹- i 烈”+ 蛳 。 。 k = o k 2 堰一p n 警眦啦- 蚝 瓦。阮。【篆砸+ * ) 】+ 萎k = o + 蛳= ( 面州急。：k = o 双妨+ 蛳 ( 稚1 露。) 一双n - 1 ) + 如跏_ 1 ) 妇( 站“稚- ) + 薹m ) + 坳 ：i l ，婴+ 6 口讯n 一1 ) 幻。c ( 蕃。一l ，张一1 ) ( 4 2 4 ) 由( 4 2 s ) 和( 4 2 4 ) 可知， 胖口妒 一1 ：t i o ) 是一个，一上鞅因此 e f n ，5 0 ( - 一e ) 一- 】e 一畔， 礤，) 一1 】e 一【州。】 ：扛，一) + m u ；，忙，一) + m y ， 类似有t e 一【孵( 1 一) 心一1 】y ( z ，一) + 胁 因此定理3 3 得证 2 1 湖北大学硕士学位论文 参考文献 【i 】a n d r l e uc ，f o r tg e x p l i c i tc o n t r o lo fs u b g c o m e t r i ce r g o d i c i t y 【j 】r a p p o r td e r e c h e r c h e ，2 0 0 5 ，0 5 ：1 7 【2 1 b a x e n d a l eph r e n c w a lt h e o r ya n dc o m p u t a b l ec o n v e r g e n c er a t e sf o rg e o - m e t r i c a l l ye r g o d i cm a r k o vc h a i n o a n n a l so fa p p l i e dp r o b a b i l i t y , 2 0 0 5 ，1 5 ： 7 0 0 7 3 8 【3 1 d o u er ，f o r tg ，m o u t i n e se ，s o u l i n e rp p r a c t i e ld r i f tc o n d i t i o n sf o rs u b g e - o m e t r i cr a t e so fc o n v e r g e n c e 田a n na r n , tp r o b a b ，2 0 0 4 ，1 4 ：1 3 5 3 1 3 7 7 【4 i d o u or ，m o u l i n e se ，r o s e n t h a lj q u a n t i t a t i o n cb o u n d sf o rg e o m e t r i cc o n - v e r g e n c er a t e so fm a r k o vc h a l n s p i a n n a l so fa p p l i e dp r o b a b i l i t y , 2 0 0 4 ，1 4 ： 1 6 4 3 - 1 6 6 5 【5 1 d o u er ，m o u l i n e se 。q u a n t i t a t i v eb o u n d s o nc o n v e r g e n c eo f t i n c - i m h o m o g c n o u s m a r k o vc h a i n s j 】a n n a l so fa p p l i e dp r o b a b i l i t y , 2 0 0 4 ，1 4 ：1 6 4 3 1 6 6 5 【6 】f o r tg ，m o u l i n e re v - s u b g e o m e t r i ce r g o d i c i t yf o rah a s t i n g s m e t r o p o l i s m g o r i t h m j s t a t i s tp r o b a bl r t t2 0 0 0 4 9 ：4 0 1 4 1 0 【7 】f o r tg ，m o u l i n e se p o l y n o m i a le r g o d i d t 可o fm a r k o vt r a n s i t i o nl 。e r n e k 俩 s t o c h a s t i cp r o c e s s e sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n s , 2 0 0 3 1 0 3 ：5 7 9 9 【8 】f o r tg ，r o b e r t sgo s u b g e o m e t r i ee r g o d i c i t yo fs t r o n gm a r k o vp r o c e s s e s f j a