（应用数学专业论文）有限维模李超代数ΩΓ.pdf

l 一 f i l l l flf f l li i i ii l t l fli l l l l y 18 0 6 0 5 2 独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究 工作所取得的成果。据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。对本人的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中作了明确的说明。本声明的法律结果由本人 承担。 学位论文作者签名： 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的 复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或其它复制手段保存、汇编本学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：潋 日 期：型匕! 苗 学位论文作者毕业后去向： 指导教师签名：盘查垩 日 期：丝曲，7 15 9 0 2 4 0 6 2 9 0 东北师范大学博士学位论文 摘要 本文主要研究模李超代数李超代数的研究主要包括结构，分类和表示从基域的 角度，可将李超代数分为非模李超代数( 即特征数零的域上的李超代数) 与模李超代数( 即 素特征域上的李超代数) 经过许多数学家与物理学家的努力，非模李超代数的研究已经 取得了显著的进展最重要的研究结果当属v g k a c 的分类工作但是模李超代数的研 究近年来刚刚起步，结果尚少，特别是有限维单模李超代数的分类在现阶段还没有解决 因此构造新的有限维单模李超代数是很重要的 第一章，我们介绍了模李超代数的研究背景及发展概况简要叙述了本文中将要用 到的模李超代数的相关概念与结论 张永正教授2 0 0 9 年构造了一类有限维单模李超代数q ，确定了其导子超代数，并证 明了模李超代数q 与我们所知的c a r t a n 型模李超代数都不同构在第二章我们继续研究 模李超代数q 的滤过结构我们以确定极小像空间维数的方法，证明了模李超代数q 的滤 过在其自同构群下是不变的，进而证明了定义模李超代数q 的所有参数都是内蕴的，从 而给出了q 型模李超代数的同构分类借助于c a r t a n 型模李超代数的相关方法，我们讨 论了模李超代数q 的结合型与限制性，证明了q 没有非退化的k i l l i n g 型 利用q 的底部超代数，第三章和第p 1 9 章分别构造了两类有限维模李超代数r 与勿讨 论了它们的单性及生成元利用生成元集确定了模李超代数r 与9 的齐次超导子，进而完 全确定了r 与勿的导子超代数证明了模李超代数r 与9 不同构于我们所熟知的c a f t a n 型 模李超代数我们还确定了具有非退化结合型的模李超代数r ，9 没有非退化结合型，并 且r 与勿都没有非退化的k i l l i n g 型得到了f 与9 是限制李超代数的充分必要条件 关键词：截头多项式代数；g r a s s m a n n 超代数；模李超代数；限制李超代数；导子超 代数；同构；滤过；结合型 东北师范大学博士学位论文 i i t h ep r e s e n tt h e s i si sd e v o t e dt os t u d y i n gm o d u l a rl i es u p e r a l g e b r a s t h es t u d yo f l i es u p e r a l g e b r a sm a i n l yc o n t a i n ss t r u c t u r e s ，c l a s s i f i c a t i o n sa n dr e p r e s e n t a t i o n s f o rt h e d i f f e r e n tc h a r a c t e r i s t i cn u m b e r ，l i es u p e r a l g e b r a sc a nb ed i v i d e di n t on o n m o d u l a rl i e s u p e r a l g e b r a s ( i e ，l i es u p e r a l g e b r a so v e rf i e l d so fc h a r a c t e r i s t i cz e r o ) a n dm o d u l a rl i e s u p e r a l g e b r a s ( i e ，l i es u p e r a l g e b r a so v e rf i e l d so fp r i m ec h a r a c t e r i s t i c ) t h et h e o r yo f n o n - m o d u l a rl i es u p e r a l g e b r a sh a se x p e r i e n c e dar a t h e rv i g o r o u sd e v e l o p m e n tt h r o u g h - o u tt h ec o m b i n e de f f o r t so fn u m e r o u sm a t h e m a t i c i a n sa n dp h y s i c i s t s t h ef i r s tm a j o r a c h i e v e m e n t sw e r et h ec l a s s i f i c a t i o n sc o m p l e t e db yv g k a c b u tt h ei n v e s t i g a t i o no f m o d u l a rl i es u p e r a l g e b r a sj u s tb e g i ni nr e c e n ty e a r s t h er e s u l t sp e r t a i n i n gt om o d u l a r l i es u p e r a l g e b r a sa r en o ts op l e n t i f u l i np a r t i c u l a r ，t h ec l a s s i f i c a t i o no fs i m p l em o d u l a r l i es u p e r a l g e b r a sh a sn o to b t a i n e ds i g n i f i c a n ta d v a n c e sa tp r e s e n ts t a g e s oc o n s t r u c t i n g n e wf i n i t e - d i m e n s i o n a ls i m p l em o d u l a rl i es u p e r a l g e b r a si so fg r e a ti m p o r t a n c e i nc h a p t e r1 ，w er e v i e wb r i e f l yt h eb a c k g r o u n di n f o r m a t i o na n dp r o g r e s so nm o d u l a r l i es u p e r a l g e b r a s t h e nt h eb a s i cc o n c e p t sa n dc e r t a i nk n o w nr e s u l t so nm o d u l a rl i e s u p e r a l g e b r a sw h i c hw i l lb eu s e di nt h i sp a p e ra x er e v i e w e d p r o f z h a n gy o n g z h e n gc o n s t r u c t e dac l a s so ff i n i t e - d i m e n s i o n a ls i m p l em o d u l a rl i e s u p e r a l g e b r a sqa n dd e t e r m i n e di t sd e r i v a t i o ns u p e r a l g e b r ai n2 0 0 9 m o r e o v e r i tw a s p r o v e dt h a tqw a sn o ti s o m o r p h i ct ot h ek n o w nm o d u l a rl i es u p e r a l g e b r a so fc a f t a n t y p e t h ep u r p o s eo fc h a p t e r2i st oc o n t i n u et h ei n v e s t i g a t i o no ff i l t r a t i o ns t r u c t u r eo f m o d u l a rl i es u p e r a l g e b r aq w ep r o v e dt h a tt h ef i l t r a t i o no fqi si n v a r i a n tu n d e rt h e a u t o m o r p h i s mg r o u pb yt h em e t h o do fm i n i m a ld i m e n s i o no fi m a g es p a c e s f u r t h e r m o r e ， w eo b t a i nt h a tt h ei n t e g e r si nt h ed e f i n i t i o no fm o d u l a rl i es u p e r a l g e b r aqa r ei n t r i n s i c a n dt h e r e f o r e c l a s s i f yt h em o d u l a rl i es u p e r a l g e b r ao fqt y p ei nt h es e n s eo fi s o m o r p h i s m w ed i s c u s st h ea s s o c i a t i v ef o r ma n dr e s t r i c t i v e n e s so fm o d u l a rl i es u p e r a l g e b r a sqw h i c h i sm o t i v a t e db yt h em e t h o d si nt h em o d u l a rl i es u p e r a l g e b r ao fc a r t a nt y p es i t u a t i o n i i i 东北师范大学博士学位论文 i t i sp r o v e dt h a tqh a sn on o n s i n g u l a rk i l l i n gf o r m b a s e do nt h ec o r r e s p o n d i n gu n d e r l y i n gs u p e r a l g e b r ao fq t w of a m i l i e so ff i n i t e - d i m e n s i o n a lm o d u l a rl i es u p e r a l g e b r a sra n d9a r ec o n s t r u c t e di nc h a p t e r3a n d4 ， r e s p e c t i v e l y , a n dt h e i rs i m p l i c i t ya n dg e n e r a t o r sa r es t u d i e d b yg i v i n gt h eg e n e r a t o r s s e tw ed e t e r m i n et h eh o m o g e n e o u ss u p e r d e r i v a t i o n so fm o d u l a rl i es u p e r a l g e b r a sfa n d 9 f u r t h e r m o r e 、w ed e t e r m i n ec o m p l e t e l yt h ed e r i v a t i o ns u p e r a l g e b r ao fya n d 囝i t i sp r o v e dt h a tt h e ya r en o ti s o m o r p h i ct oa n yk n o w nm o d u l a rl i es u p e r a l g e b r a so fc a r - t a nt y p e m o r e o v e r ，w ed e t e r m i n et h el i es u p e r a l g e b r aft h a tp o s s e s s e san o n s i n g u l a r a s s o c i a t i v ef o r m 9h a sn on o n s i n g u l a ra s s o c i a t i v ef o r ma n dn e i t h e rrn o r9h a sn o n s i n - g u l a rk i l l i n gf o r m w eo b t a i nt h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n st h a tfa n d9 a r e r e s t r i c t e dl i es u p e r a l g e b r a s k e y w o r d s ：t r u n c a t e dp o l y n o m i a la l g e b r a ；g r a s s m a n ns u p e r a l g e b r a ；m o d u l a rl i e s u p e r a l g e b r a ；r e s t r i c t e dl i es u p e r a l g e b r a ；d e r i v a t i o ns u p e r a l g e b r a ；i s o m o r p h i c ；f i l t r a t i o n ； a s s o c i a t i v ef o r m i v 东北师范大学博士学位论文 摘要 a b s t r a c t 目录 i i 1 引言1 1 1 模李超代数发展概况1 1 2 本文的结构3 1 3 预备知识。 3 2 关于有限维模李超代数q 9 2 1 q 的滤过9 2 2 q 的结合犁，k i l l i n g 型与限制性。2 1 3 有限维模李超代数r 2 7 3 1 r 的定义和单性。2 7 3 2 r 的导了超代数3 0 3 3 f 的结合型，k i l l i n g 型与限制性4 4 4 有限维模李超代数9 4 7 4 19 的定义和单性4 7 4 2 9 的导子超代数5 4 4 3 9 的结合型，k i l l i n g 型与限制性6 9 结语 参考文献 附录 v 7 2 7 4 8 2 l 东北师范大学博士学位论文 v i 东北师范大学博士学位论文 第1 章引言 1 1 模李超代数发展概况 李代数是代数学的重要组成部分，最初是由挪威数学家m s l i e 在1 9 1 f f 纪后期分析 李群的局部结构时引进的一个数学概念经过e c a r t a n 与h w e y l 等多位数学家的共同 努力，特征零域上的李代数的理论不断得到完善和发展【1 ，2 ，3 一，其理论与方法已渗透到 数学和理论物理的许多领域 e w i t t 于1 9 3 7 年发现了非典型单李代数，从而开始了模李代数( 即素特征域 上的李代数) 的研究【5 】经过几十年的发展，至今模李代数已经有了丰富的理 论【6 ，7 ，8 ，9 ，1 0 ，i i ，1 2 ，1 3 ，1 4 1 1 9 8 8 年模李代数的研究取得了重大进展，r e b l o c k 和r l w i l s o n 1 5 】完成了特征大于7 的域上的有限维限制单模李代数的分类，紧接着，h s t r a d e 的一系列文章最终完成了特征大于7 的域_ e 的有限维单模李代数的分类【1 6 1 7 , 1 8 1 近几年，代数闭域上小特征的有限维单模李代数的分类也已完成1 1 9 ，2 0 ，2 1 | 这使得我们对 单模李代数的结构有了清晰的认识在国内，沈光宇教授对模李代数的表示作出了开创 性的研究成果阮2 3 ，2 4 1 李超代数是在李代数基础上发展起来的一个代数学的分支在2 0 世纪8 0 年代，物理 学为了建立相对论的费米子与波色子统一理论，由w e s s 干u z u m i o n 提供了超对称性，将普 通的时间、空间的p o i n c a r e 李代数扩充为超p o i n c a r e 代数，从此开始了对李超代数的研 究由于李超代数与数学的其它分支诸如群论、结合代数、组合数学、同调理论、微分 几何与微分方程等，都有着广泛而深刻的联系，因此近年来关于李超代数的研究变得越 来越活跃由于摹域的特征数不同，李超代数分为非模李超代数与模李超代数经过多 名数学家与物理学家的共同努力，目前非模李超代数( g p 特征零域上的李超代数) 的研究 已经取得了相当丰富的结果【2 5 ，2 6 ，2 7 ，2 8 ，2 9 ，3 0 。3 0 年前，著名数学家v g k a c 完成了有限 维单的非模李超代数的分类【2 7 1 1 9 8 8 年，k a c 又完成了无限维单的线性紧致李超代数的 分类【2 8 ，3 1 1 对非模李超代数的表示的研究也很活跃 3 2 ，3 3 ，3 4 ，3 5 ，3 0 ，3 r j 在我国，苏育才教 授在非模李超代数的表示等方面得到了深刻的研究成果【3 8 ，3 9 1 1 东北师范大学博士学位论文 非模李超代数已经形成了系统的理论，但是模李超代数( 即素特征域上的李超代 数) 的研究结果尚少最明显也是最重要的问题之一就是有限维的单模李超代数的分类 尚未解决由于基域的不i 司，非模李超代数的许多重要研究方法对模李超代数不再奏效 因为模李代数与模李超代数有着本质上的差异，许多结论在模李代数上成立，但是在模 李超代数上却不成立因此关于模夸超代数的研究难度较大尽管如此，利用素特征域 及z 2 一阶化的特殊性质，模李代数和非模李超代数的理论仍然可为模李超代数的研究提 供有效的途径和方法 模李超代数的早期文献是由d l e i t e s ，y k o c h e t k o v 和v m p e t r o r a d s k i 等人1 9 9 2 年 发表的文章4 1 1 d l e i t e s $ 口y k o c h e t k o v 首次对模李超代数引入了( p ，2 p ) 一结构，即 限制李超代数的概念v m p e t r o g r a d s k i 对限制李超代数的包络代数进行了研究 虽然模李超代数的研究仍处在前期的发展阶段，近年来也得到了有价值的研究成 果【4 2 4 3 , “，4 5 ，4 6 ，4 7 , 镐】王颖教授给出了限制李超代数的等价定义，使得三i 中的元素 也定义y p 一映射的像，得到了限制李超代数的表示理论的一些有益的结果【4 9 ，删模李 超代数与非模李超代数的差别在于c a r t a n 型代数，因此对c a r t a n 型模李超代数的研究 具有深刻的意义1 9 9 7 年，张永正教授构造了四族有限维c a f t a n 型模李超代数彬最日， k ( 相应于特征零的情形) ，并讨论了它们的单性与限制性此后，开始了对c a r t a n 型 模李超代数的深入研究，如导子超代数 5 1 ，5 2 ，5 3 ，5 4 ，5 5 ，5 6 l ，滤过5 7 ，冽，结合型等【5 9 i 利 用滤过不变性，文献研究了c a r t a n 型限制模李超代数ws 日，k 的自同构群，此结 论对进一步研究c a r t a n 型模李超代数的不可约限制表示及c a r t a n 型限制单模李超代数 的分类起着重要作用文献1 5 5 】获得了c a r t a n 型模李超代数日的二阶上同调群谢文娟 证明了c a r t a n 型模李超代数和s 的二阶上同调群是平凡的，计算出了特征大于3 的代 数封闭域上的c a f t a n 型模李超代数k 的二阶上调群的维数 6 1 】6 1 文献【6 2 ，6 3 ，“，6 5 证明了 深度1 的压阶化模李超代数与滤过李超代数的嵌入定理，它们在模李超代数分类中占 有重要地位文献惮，删利用混合积的方法讨论c a r t a n 型模李超代数形s ，日的阶化 模，但此方法对k 型不适用刘文德教授于2 0 0 4 年发现了一族有限维c a r t a n 型模李超代 数h o l 4 7 i ，它即不对偶于有限维单模李代数，也不对偶于有限维单的非模李超代数，因 此h o 是新的c a f t a n 型模李超代数文献f 6 7 】研究了有限维c a r t a n 型模李超代数k o ，可见 有限维c a r t a n 型单模李超代数的分类将不会是平凡的2 0 0 9 年s b o u a r r o u d j 给出了具有 不可分解c a r t a n 矩阵的模李超代数的分类，发现了1 l 类新的例外单模李超代数【鹤】我们 相信此问题的解决将会极大促进有限维单模李超代数分类的完成，张永正教授给出了关 于有限维单模李超代数分类问题的猜想【6 9 1 目前部分无限维c a f t a n 型模李超代数也已 2 东北师范大学博士学位论文 有了结果【7 0 ，7 1 ，7 2 1 除分类问题外，模李超代数还有许多重要问题有待解决，例如模李超代数的表示，非 限制的c a r t a n 型模李超代数的自同构群，ca r t a n 型模李超代数的阶化模等等由于模李 超代数在共形场论，量子场论以及其它数学分支有着重要应用，因此这些问题的解决对 数学，物理学与相关学科的发展有着重要意义。 1 2 本文的结构 本文的主要内容是构造了两类单模李超代数并对其结构及内蕴性质加以研究 我们知道，在有限维单模李代数的分类还没有完成时，文献【7 3 】的发表曾引起了人们 极大兴趣f 7 4 ，7 5 ，7 6 ，7 7 1 因为有限维单模李超代数的分类还没有解决，所以现阶段构造新的 单模李超代数也是很重要的2 0 0 9 年，张永正教授利用截头多项式代数与g r a s s m a n n 超 代数做张量积，得到了一族有限维单模李超代数2 1 7 8 在第二章，我们继续研究模李超代数q 首先对模李超代数q 做以简单描述然后讨 论q 的滤过不变性，结合型，k i l l i n g 型与限制性 在第三章，我们构造了一族有限维单模李超代数r ，证明了其单性并确定了其导子 超代数，进而讨论了r 的结合型，k i l l i n g 型与限制性 在第四章，我们又构造了一族有限维单模李超代数勿，同样就其单性，导了超代数， 结合型，k i l l i n g 型与限制性进行了研究 1 3 预备知识 本节主要介绍有关模李超代数的相关概念与结论本文总设f 是特征p 3 的代数 封闭域并且f 不等于它的素域n 令z ，n 和n o 分别表示整数集，正整数集和非负整数集， z 2 = 6 ，i ) 表示整数模2 的剩余类环 设l 是f 上的代数，并且l 还是z 2 一阶化线性空间，f i p l 可分解为子空间的直和：l = ol i 如果l o l pcl o + p ，v 口，p z 2 ，则称三是f 卜的超代数若超代数l 的乘法还适合 结合律，则称l 为结合超代数若f a o ，其中p z 2 ，则称，是次数日的z 2 一齐次元素，并 记i ，i = p 若i ，i 出现在本文的某个表达式中，则约定，是z 2 一齐次元素我们用 ( l ) 表示 超代数l 的所有z 2 一齐次元素，星p h ( l ) = l 6ul 1 定义1 3 1 设l = 三石ol i 是f 上的超代数，它的乘法运算用【，】表示如果 【z ，y 】= - ( - 1 ) l 正l l y l 【，z 】，v z ，y 九( l ) ； 3 东北师范大学博士学位论文 ( 一1 ) h 陆，【y ，z 】+ ( 一1 ) i z i l u l y ，k ，z 】+ ( 一1 ) l u l l 。i z ，k ，引】= 0 ，v x ，y ，z 允( l ) ， 则称l 是f 上的李超代数我们称第二个式子为阶4 匕j a c o b i 等式 定义1 3 2 设l = l ool i 是李超代数，h 是l 的子空间，令玩= hnl 。，v q z 2 如果h = g o0h i ，则称日是三的z 2 阶化子空间 若日是三的z 2 一阶化子空间，并且h 关于l 的运算 ， 是封闭的，则称日是l 的子代数 设，是l 的z 2 一阶化子空间，如果对任意的z i ，y l ，都有【z ，y 】i ，则称，是l 的理想 设a 是结合超代数，在a 上定义双线性运算： p ，y 】= x y 一( 一1 ) i z i l y l y x ，v x ，y ( a ) 易知a 关于此运算是一个李超代数，称它为与结合代数a 关联的李超代数，记为a 一 设v = 1 4om 是域f 卜的z 2 阶化空间，e n d ( v ) 是y 的所有线性变换构成的线性空 间，易见e n d ( v ) = e n d o ( y ) oe n d i ( v ) 于是关于线性变换的乘法，e n d ( v ) 构成一个结 合超代数，进而e n d ( v ) 一是李超代数，我们简i 己为p l ( v ) ，并称其为y 的一般线性李超代 数于是p l ( y ) = 0 q z 2p l 口( y ) ，这里 p l a ( y ) ：= 妒p l ( v ) i 妒( ) 冬k + p ，v p z 2 ) 设a 与b 是李超代数，：a b 是线性映射设7 z 2 若妒( a 口) c 鼠+ 1 ，v a z 2 ，则称咖是次数为7 的齐次线性映射若7 = 6 ，并且还满足k ，y 】= ( z ) ，( ! ，) 】，v x ，y a ，则称砂是a 到b 的同态映射若同态映射咖是双射，则称是a n b 的同构映射此外， a n a 自身的同构映射称为a 的自同构 定义1 3 3 设l = l o0l i 是f 上的李超代数，v = 0 是f 上的z 2 一阶化空间则 称李超代数同态映射p ：l p i ( y ) 为n 在y 上的一个表示 设w 是y 的z 2 一阶化子空间，若满足对任意的z w 及y l 恒有p ( 可) z w ，则 称w 是y 的不变子空间类似地，可定义不变子代数如果y 除了零空间与自身外不再有 其余的不变子空间，那么y 就称为p ( l ) 的不可约子空间，p 称为不可约表示 设l 是李超代数，z l ，令a d z ( z ) = k 名】，z l 显然a d z p 1 ( 己) 定义映 射a d ：l p l ( l ) ，o a d x 易见a d 是三在三上的表示，称为l 的伴随表示 定义1 3 4 设三是域f 上的李超代数，y 是f 上的z 2 阶化线性空间设有一个f - 双线 性映射l v 叫v 使得( z ， ) b - - - - - 4z 口，v x l ，钉v ，且满足 【z ，耖】v = z ( 可v ) 一( 一1 ) i 叫i ”l y ( z u ) ，v x ，y ( l ) ，u k 4 东北师范大学博士学位论文 则称y 是一个l 模 设p 是l 在y 上的一个表示令z v ：= j d ( z ) ( u ) ，v x l ，v v ，则v 是一个厶模反 之，给出一个l 模y ，可定义映射p ：l p l ( v ) ，使得j d ( z ) ( ) ：= z v ，v z l ，v v ， 则p 是l 在y 上的一个表示南此可见，模和表示是一一对应的其中y 的不变子空间称为 了模 定义1 3 5 设l = l o l 1 是f 上的超代数，妒p l q ( l ) ，其中q z 2 如果 妒p ，y 】= 【妒( z ) ，y 1 + ( 一1 ) a hp ，妒 ) 】， v z ( 三) ，v y l ，则称妒是l 的次数为q 的齐次导子 令d e r a ( l ) 表示l 的所有z 2 一次数为q 的导子的集合，即 d e r 口( 三) = 妒d e r ( l ) l 妒( l 口) l a + 卢，v p z 2 ) ， 则称李超代数d e r ( l ) ：= 0 口z 2d e r 。( 己) 为三的导子超代数称d e r ( 三) 中的元素为l 的超 导子，简称l 的导子 设t z ，令 d e r t ( l ) = 妒d e r ( l ) l 妒( l i ) l i + t ，v i z ) ) 炳d e r ( l ) = o 。zd e r t ( l ) 是压阶化李超代数因此，要确定l 的导子超代数，只需求每 个z 2 一阶化空f 司h ( d e r t ( l ) ) 定义1 3 6 若李超代数l 只有平凡理想 o ) 和厶并且 厶l 】0 ，则称l 是单李超代 数 定义1 3 7 设l = 岛o t 是f 上的李超代数若= 0 厶，其中厶是l 的z 2 - 阶化子 空间，并& l t l ic 厶钾，v i ，j z ，则称l 是压阶化李超代数 若f l t ，i z ，则称，为压齐次元素，i 叫做，的压次数，我们用z d ( f ) 来表示 定义1 3 8 设l 是域f 上的超代数， l ( 知) ik z a l 的z ：一阶化子空间的集合若有 ( a ) 当七z ，l ) 2l ( f ) ( b ) 三( 七) 三( z ) 冬l ( 七+ f ) ，v k ，z z ， ( c ) u 挺zl ( k ) = l 则称 l ( 七) fk z ) 是l 的一个下降的滤过 如果l = l ( 一，) 2 三( - - r + 1 ) 2 l ( t ) = 0 是l 的一个滤过时，其中r ，t n o ，那么我们 约定：若七一r ，则三( 知) = 厶若七t ，则l ( k ) = 0 5 东北师范大学博士学位论文 定义1 3 9 设三是f 上李超代数，入：lxl f 是双线性型如果 ( 1 ) a 是超对称的，即 入( z ，y ) = ( 一1 ) 1 z l l l a ( ，z ) ，v 2 ，y ( l ) ； ( 2 ) a 是不变的，即 入( z ，可】，2 ) = 入( z ，囟，z 】) ，v z ，y ，z ( l ) ， 则称a 是三上的一个结合型 令 r a d ( a ) ：= y li 入( z ，y ) = 0 ，v z 三) 若r a d ( a ) = 0 ，则称结合型a 是非退化的；若r a d ( a ) = l ，则a = 0 命题1 3 1 0 【叫设l = 0 ：一，厶是有限维单压阶化李超代数，若入o 是l 上的一个 结合型，则下列结论成立 ( 1 ) 入( l i ，岛) = 0 ，若i + j s r ； ( 2 ) 入i “l 一，。非退化并且d i m f 厶= d i m fl s r 一七，这里一r k s 置l 一：= o 三，三t ，l + ：= o ：1l ，则三= l ol oo l + 命题1 3 1 1 设l = 0 釜一，厶是有限维单压阶化李超代数假设入：lx l f 是 一个超对称双线性型，并且满足下列条件： ( a ) a 是l 一一不变的，即 a ( z ，】，z ) = a ( z ，【可，z 】) ，v z ，z l ，y l 一； ( 6 ) 入i l 厶= 0 ，对t 一r ； ( c ) 入i l 一，l 是l o 一不变的，即 入( 【z ，可】，z ) = a ( z ， y ，名】) ，v z l 一，y l o ，z l 。 那么入是l 上的结合型 李超代数l 上一个结合型a 称为偶的，如果a ( 如，l o + i ) = 0 ，对任意0 z u ；入称为奇 的，如果a ( l o ，l o ) = 0 ，对任意p z 2 命题1 3 1 2 【4 4 j 设l 是单李超代数，下面的结论成立 1 ) l 上的结合型或者是非退化的，或者是0 2 ) l 上的结合型或者全是偶的，或者全是奇的 6 东北师范大学博士学位论文 设矿= 0k 是有限维z 2 一阶化空间，令7 ：y y 是线性变换，满足7 ) = ( 一1 ) 陋i x ，z 九( y ) 在p l ( y ) 卜定义线性函数8 t r ：p 1 ( v ) ，f ，使得s t r ( a ) = t r ( ，y a ) ， v a p l ( v ) ，称s t r 为a 的超迹 定义1 3 1 3 设l | d ：l p 1 ( y ) 是李超代数l 的一个有限维表示定义 k p ：lxl _ f ，k p ( 。，y ) = s t r ( p ( x ) p ( y ) ) ，v z ，y l 称为l 的一个关于表示p 的迹型其中关于伴随表示a d 的迹型称为k i l l i n g 型 命题1 3 1 4 【删设l = o ：一，厶是域f 上有限维单的压阶化李超代数，并且l on l o 0 若l 有一个非退化的迹型，则r = 8 定义1 3 1 5 设己= l oo 己i 是域f 上的李超代数，如果映射纠：l l ，z _ z 捌，满 足： ( 1 )a d ( a o + n 1 ) 嘲= ( a d n 0 ) p + ( a d a l ) 印，v 咖l 6 ，n 1 l i ； ( 2 )( 1 a o + t a l ) m = 俨o o 嘲+ 亡2 p 0 1 捌，v l ，t 只口o l 6 ，a 1 l i ； ( 3 )( 口口+ 6 。) 捌：口a 纠+ 6 。纠+ 知董1 & ( 0 q ，6 q ) ，q 易，6 q 厶，k ：瓦6 + 2 如i ， = 1 & ( o 口，6 q ) 满足李超代数l0f i x 】中以下等式： a d ( a 口ox + b 口o1 ) k p 一1 ( n ao1 ) = i s t ( a q ，6 口) ox 一1 ，p l i = 1 则称映射纠为p 一映射，( l ，纠) 为限制李超代数，也简称l 是限制李超代数 命题1 3 1 6m 设l = 岛o l i 是龆上的李超代数， 勺jj 以是三的一组z 2 一齐 次基底如果存在 协ij j ) 使得对任意的歹j ，有( a d 勺) p ( e j ) = a d y j ，其中p ( 勺) = p ， 若勺l o ；p ( 勺) = 2 p ，若勺己i ，则三是一个限制李超代数 下面我们简述一下c a r t 址型模李超代数彬s ，h ，k ，h o ，k o 的相关结论 命题1 3 1 7 阻】设m ，n n 1 ) ，t n m ，则 ( 1 ) c l i m w ( m ，n ；t ) = ( m + n ) 2 n p e m = 1 如； ( 2 ) d i m s ( m ，礼；t ) = ( m + 礼一1 ) 2 印銎，如一m + 1 ； ( 3 ) d i m h ( m ，n ；t ) = 2 - p e t = 1 “一2 ； ( 4 ) d i m k ( m , n ；t ) - - 2 蒜二1 ，霎：二：二薹篇 ( 5 ) d i m h o ( m ；t ) = 2 m p 翟- “一1 ； ( 6 ) d i m k o ( n ，礼+ l ；t ) = 2 n + 1 p e l ； 7 东北师范大学博士学位论文 命题1 3 1 8 ( 1 ) d e r = a d o ( ( a d d ) p 叱ii y o ，v i = 1 ，t i 1 ) ； ( 2 ) d e r s = a d ( s + t ) o ( ( a d d i ) p ii y o ，v i = 1 ，t i 一1 ) ，其中t = ：1f x i d i ； ( 3 ) d e r h = a d ( r + f h ) o ( ( a d d i ) p qli y o ，v i = 1 ，t i 一1 ) ，其中九= ：1x i d i ； ( 4 ) d e r k = a d ko ( 讲叶ii y o ，v i = 1 ，t i 一1 ) ，若礼一m 一3 0 ( m o d p ) ； d e r k = a d k e ( a d z ( ”) z e ) o ( d ? 叶li y o ，饥= 1 ，t i - 1 ) ，若佗一m 一3 三0 ( m o d p ) ( 5 ) d e r h o = a d ( 一h o + f h ) o ( ( a d d ) p li y o ，v i = 1 ，t i 一1 ) ， ( 6 ) d e r k o = a c l k oo ( 讲1i = 1 ，几，v i = 1 ，t i 一1 ) ， 8 东北师范大学博士学位论文 第2 章关于有限维模李超代数q 2 1q 的滤过 滤过结构在模李代数【1 3 ，1 5 ，1 7 ，7 9 ，8 0 ，8 1 】与非模李超代数【2 7 2 9 】的分类中起着重要作用， 因此有必要研究模李超代数的滤过结构在文献【6 ，7 9 ，8 2 】与1 1 4 】中分别研究了c a r t a n 型模 李代数与非模李超代数的滤过结构通过a d - 幂零元的方法证明了c a r t a n 型模李超代 数彬与s 的自然滤过是不变的【翮，利用极小像空间维数的方法证明了c a f t a n 型模李超代 数日的自然滤过嘲与k 的不可缩滤过是不变削删文献【8 3 】讨论了模李超代数h o 的非平 凡可迁滤过的不变性 本节我们研究模李超代数q 的滤过结构，采用极小像空间维数的方法确定模李超代 数q 的滤过在其自同构群下是不变的，得到y f 2 ( r ，m ，q ，墨，h ) 竺q ( r 7 ，m 7 ，q l , g ，h 7 ) 的充分 必要条件，即对q 型模李超代数进行了分类 我们首先对文献【7 8 1 中定义的有限维模李超代数q 做以简要概述 设m n ，e = z 1 ， 是f 中的有限子集，且e 在上是线性无关的设由e 生 成的f 的加法子群日不包含1 固定礼n ，7 = 2 n + 2 令肛1 ，胁一1 ，且满足：p 1 = 0 ， 心+ 钾= l ，j = 2 ，r , + 1 置m = 1 ，r 1 ) 令墨= ( 8 1 ，8 r _ 1 ) n ；， 7 r = ( 7 r 1 ，7 r r 一1 ) ，这罩死= p 5 + 1 1 ，i m 我们定义截头多项式代数 a = f z l o ，x l l ，z 1 8 i ，x r - - l o ，x r - - l l ，x r - - 1 8 ，一1 ，y a ，】 使得 吃= 0 ，v i m ，j = 0 ，l ，s t ；贸= l ，i = 1 ，m 设0 丌i ，则可唯一地表示为p - a d i c 数形式： s t 觑= 岛( 觑) 矿，其中0 岛( )