（基础数学专业论文）广义华罗庚域上的若干问题.pdf

摘要 在这篇论文中，我们讨论了三个方面的内容：第一部分我们给出了四类广义 坐翌塞垫的堕! g ! ! 竺堕里錾的显表达式；第二部分我们得到了第一类超c a r t a t 域与单位超球间的极值与极值映照；第三部分我们给出了四类超c ”坐垫上全 纯函数足b l o c h 函数的充分条件与必要条件f 下面简要叙述本论文的关于这三个 方面的结果 、 第一部分b e r g m a n 核函数的显式表达 b e r g m a n 核函数在( 单、多) 复变函数理论的发展过程中起着十分重要的作 用b e l - g r o a n 在1 9 2 1 年研究复平面中区域d 上的正交展开，其研究结果导出 了一个核函数k 1 ) ( z ， ) ，( z ，) d d 1 9 3 3 年，b e r g m a n 又把这一理论推广到了 多复变的情形众所周知，c “中的任一有界域都存在唯一的b e r g m a n 核函数 但是哪些域的b e r g m a n 核函数能显式求出来呢? 这是一个很自然也很重要的问 题而且在解决一些重要问题时，也依赖于b e r g l n a n 核函数的显表达式例如 m o s t o w 和s i u 在对具有负截曲率的紧致k ；i h l e r 流形的万有覆盖一定双全纯等价 于超球这一重要猜想所给出的反例中，域z c 2 ：f z l l 2 + f z 2 1 1 4 l 的b e r g m a n 核函数的显表达式起了关键性作用【m o s 在给陆启铿猜想以反例时，也经常要 用到b e r g m a n 核函数的显表达式【b o 因此，如何求b e r g m a n 核函数的显表达式 一直是多复变函数论的一个重要的研究方向，至今仍吸引着许多数学家对此进行 研究 能够求出b e r e m a u 核函数的显表达式的域的种类并不多在殷慰萍构造华罗 庚域以前，只有两种类型的域可以求出b e r g m a n 核函数的显表达式一类是复椭 球域( c o m p l e xe l l i p s o i dd o m a i n ) ，又称作蛋型域( e g gd o m a i n ) 或卵形域( c o m p l e x o v a l ) ；另一类是有界齐性域 华罗庚利用典型域的全纯自同构可递群，以及b e r g m a n 核函数在全纯自同构 下的变换关系，得到了四类典型域( 也称为对称典型域或者c a r t a n 域) 的b e r g m a n 核函数这种求b e r g m a n 核函数的显表达式的方法称为华罗庚方法对于一些非 对称的齐性域，也可以用华罗庚方法得到它们的b e r g m a n 核函数的显表达式 我们知道，有界r e i n h a r d t 域的完备标准正交系由单项式组成，丽复椭球域 是包含原点且以原点为中心的有界r e i n h a r d t 域，于是可以通过无穷级数求和函 数的方法，计算其b e r g n m n 核函数的显表达式，这种求b e r g m a n 核函数的显表 达式的方法称为级数法 摘要 2 通常要构造一些可以求出其b e r g m a n 核函数的显表达式的域是比较困难的 因此，一些数学家认为，凡是其b e r g m a n 核函数能显式表示的域都是很好的域， 是值得研究的域 殷慰萍自1 9 9 8 年起，引入了一些新的类型的可以求出其b e r g m a n 核函数显 表达式的域并将其不断地进行推广，至2 0 0 0 年引进了华罗庚域至2 0 0 1 年初， 又将其推广至广义华罗庚域广义华罗庚域是指如下形式的域； g h e t ( nl ，一，n r ；m ，n ；p 1 ，- ，p r ；k ) r = “j j g m ，z 聍f ( ，n ) ：i 训j 1 2 p j ( 1 e t ( 一z z 。r ) k ，j = l ，一，r j = 1 g h e t l ( n i ，肌；p ；p l ，p ，；k ) r = ，g j ，z 跄，( p ) ：i 7 吩1 2 p ， ( 1 e t ( 一z z ) k ，j = 1 ，r j = l g h e t l l ( n i ，m ；q ；p l ，一，p r ：女) r = t 。o c n j ，z 精，( 口) ： “0 1 2 p j d e t ( 1 + z 乏) ，j = 1 ，r ) f _ l c h e w ( n i ，n r ；n j p l ，一，p ，；k ) = ( 1 o g 屿，z 盼，v ( 竹) ：1 w j l 2 p j 1 时，就前面叙述的两种极值问题的极值与极值映照进行了讨论我们获 得了如下的结果； 当0 m 时，从域y i ( n ：眠t ；) 到域b n + ”，。的极值映照是 ，：m ( ：m ，竹；k ) 斗b n 帆 ，疗( ( t f ，z ) ) = n o f 。0 ，j = l ，2 ，- - ， ，圳，( m ，z ) ) = 酩2 ，“= 1 ，2 ，- ， l ， = 1 ，2 ，- ，札 这里，n o ，b o 分别见( 37 ) ，( 36 ) 式 当0 m 时，。，s ( y ，( _ ；m ，n ；) ，b ，+ 。) = 7 n 一警 当1 k m 时，v ( y d n ；m ，”；) ，b + 。) = f m n l o g m 当t n 时， ，st坼c；m，t，曰+。，=坐三；：乒攀 晰c n ；m , n ；k ，, b n + m n 1 嵫斋崭器 这里，第一类超c a r t a n 域y t ( n ；m ，呲k ) 的定义参见参考文献f y i l l 】或者本文的 第一章第一节 第三部分b l o c h 函数 b l o c h 函数开始考虑于复平面中的单位圆盘上，自它产生以后，很快就引起 了数学家的兴趣其是由于它有许多等价刻画，因而可以与数学中的许多问题 发生联系；其二是因为所有b l o c h 函数所形成的空间为b a n a c h 空间，并且它有 许多令人值得注意的性质，例如：此b a n a c h 空间同构于经典的b a n a c h 空间2 一 因此，至今仍有许多数学家对此进行推广并进一步进行研究 在文献 t i m l 或者【a c p 中，给出了单位圆盘上b l o c h 函数的定义： 假设u ：= z c ： i ) 是单位圆盘对于解析函数f ：u + c ，如果 i i f l l t ；：= s u p 九# ) l ( 1 一h 2 ) ：z 驴) 。， 则称，为b l o c h 函数同时，给出了b l o c h 函数的许多等价刻画 h a h n 和k i m 将这一概念作了推广 h a k ，定义了u 到一个连通的n 维复 流形的b l o c h 映照，并且用它来研究复流形的双曲性同时他们也研究了其与 s c h o t t k y 性质和l a n d a u 性质的关系 摘要 6 t l a l mf f l a h l 首先将b l o c h 函数的概念推广到高维的单位超球上，这一概念也 同样适用于c ”l 中一般的域上的b l o c h 函数的定义t i m o n e y 【t i r o l 】在有界齐性 域上给出了比较易慌并且实用的b l o c h 函数的定义，同时他征明了有界齐性域上 b i o c h 函数的一些等价条件( c 上的推广) 后来，h a h n 和k i m 将b l o c h 函数的概念也推广到了流形上( 参见【c h e ) ，提 出了b l o c h 流形的的概念陈志华据此 c h e l 得到了关于b l o c h 函数的几个充要 条件，并且利用这些充要条件，证明r 关于四类典型域上的全纯函数为b l o c h 函 数的充分性条件f c h e 而史济怀【8 h i l 】也得到了一个关于有界齐性域上的全纯函 数为b l o c b 函数的充要条件，并利用这一结果证明了前三类典型域上的全纯函数 为b l o c h 函数的充分条件与必要条件而其中的充分性条件与陈志华的结果基本 相同 在本文的第四章中，我们将陈志华与史济怀的结果推广到了超c a f t a n 域上， 我们证明了如下的结果： 定理4 2 ：( 1 ) 设f ( z ，t ) 为h ( ；m ，7 ；女) 上的全纯函数，若它满足： 襟l 褊卜。裂l 茹南 ( 1 ( 1 + f 2 2 f 1 2 ( c k t ( ，一z z7 、) ) 2 ) + ( r n i z l 2 ) 警】 + o 。( 4 4 ) 则厂为b h ) c h 函数 ( 2 ) 设( z ，) 为y h ( n ；p ；科上的全纯函数，若它满足： 。s l 埘i p j ， 骊o f 一一驯旷吲甲 1 + f z l 2 l 1 2 ( ( 1 e t ( i z 事) ) 2 ) + 扣l z l 2 ) 等 + o 。 则，为b l o c h 函数 ( 3 ) 设( z 、”) 为y f ，( ；q ；) 上的全纯函数，若它满足： 溉。l 揣| 2 ( 卜m 卟n 2 ( 1 + i z l 2 l t d 2 ( d e t ( + z i ) ) 2 ) + ( g i z l 2 ) 】 + e o 则f 为b l o c h 函数 定理4 3 ：( 1 ) 没，( 引) 为y d n ；弧n ；) 上的b l o c h 函数，则必有； h 咄溉。f 彘 矿南m “ - - z z t ) _ 1 ) 2 ( 1 + f t 川( r l t 、t ( 一z z 7 1 ) ) 。i - ) + ( d 。t ( ，一z 。) ) 1 1 一 + o 。 摘要7 1 2 ) 议，( z ，叫为r ，( n ；p ；k ) 上的b l o c h 函数，则必有： k 。心s 州u p 、i 高n 志 ( f 川一广j ) 2 ( 1 + ( 帆( 卜。i ) ) ) + ( ( 1 e f ( ，一z 5 ) ) 一琊 + o o ( 3 ) 设，( 2 ，) 为y i h ( n ；q ；k ) 上的b i m l l 函数，则必有： 。瑚s ，1 1 1 ) ”f 研r 丌南【( f “m 矿f ) 2 ( 1 + j l ( d 吼( ，+ z j ) ) ) + ( ( 1 e t ( ，+ z i ) ) 一；n 一1 + 0 0 定理4 4 ：设，( ”，z ) 是y i v ( n ；n ；k ) 上的全纯函数，若它满足： 。础洙，f 番i 卜卅 必鬻嵩笋一- z 1 2 ) 1 慨 + f f z z 中1 3 、 则，( ”，z ) 是y h ( ：) 上的b h ，c l - 函数 定理4 6 ：若，( ，z ) 为h ，( ；n ；) 上的b l o c i l 函数，则，必满足： 汩圳s u 引p i 搞j 2 譬端警 慨 这詈，粤誊塑c a n a i 域y t ( n ；弧n ； ) ，h ，( ；p ；) ，b ，( ) ，v ( 川女) 的定 义见本文的第一章第一节或者参考文献t v i n l i 摘要 8 s e v e r a lp r o b l e m so nt i l eg e n e r a l i z e dh u ad o m a i n s s 1 1 1 i a n b i n g f d e p a r t n m n to fm a ! h e m a t i c s ，c a p i t a ln o r m a lu n i v e r s i t y b e i j i n g ，1 0 0 0 3 7 ) d i r e c t e db yp r o f y i nw e i p i n g a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ec o n s i d e it h ef o l l o w i n gt h r e ea s p e c t s ：f i r s t ，w ec o m p n t et i d e b e r g m a nk e r n e lf u n c ! i o n sw i t he x p l i c i t , f o r m u l a so ng e n e r a l i z e dh n ad o n m i n s ；s e c o n d ， w eo b t a i nt h ee x p l i c i tf o r m u l a sf o re x t r e m a lm a p sa n de x t r e m a lv a l u e sb e t w e e nt h e b a l la n t it i d es n p e r - c a r t a nd o m a i no ft h ef i r s tt y p e ；f i n a l l y ，w eg i v es u f f i c i e n tc o n d i t i o n s a n d n e c e s s a ! yc o n d i t i o n st h a th o l o m o r p l f i cf i m c t i o n sb e c o m eb l o c hf l l n e t i o n so n8 u p e r c a r r a nd o m a i n s w el l a v et i mf o l l o w i n gr e s u l t s p a r tit h ec o m p u t a t i o n so ft h eb e r g m a nk e r n e lf u n c t i o n s t h e b e r g m a n k e r n e lf l m e t , i o np l a y sa l li m p o r t a n tr o l ei ns e v e r a l c o m p l e x v a r i a b l e s s b e r g m a ni n t r o d u c e dt h ec o n c e p to fb e r g m a nk e r n e lf i m e t i o ni n1 9 2 1w h e nh es t u d l e dt h eo r t h o g o n a le x p a n s i o no ndi nca n dh eg e n e r a l i z e di tt ot h ec a s ei ns e v e r a l e n m p l e xv a r i a b l e si l l 19 3 3 i ti sw e l lk n o w nt h a tt t m r ee x i s t sa nu n i q u eb e r g m a nk e r n e l f l m c t i o nf o re a c hb o n n d e ( 1d o m a i ni nc ”f 0 rw h i c hd o m a i n sc a nt h eb e r g m a nk e r n e l f i m e t i o nb ec o m p u t e d b ye x p l i c i tf o r m u l a s ? t h i s i sa ni m p o r t a n t p r o b l e m e x p l i c i tf o r m u l ao ft h eb e r g m a nk e r n e lf l m e t i o nc a nl m l l ln st os o l v em a n y i m p o r t a n tc o n i e c t u r e s w ei l l u s t r a t et h i sp o i n tb yt w oc a s em o s t o wa n ds i l lh a v eg i v e nac o u n t e r e x a m p l et o t h ei m p o r t a n tc o n j e c t u r et h a tt h en n i v e r s a ic o v e r i n go fac o m p a c tk i h l e rm a n i f o l do f n e g a t i v es e c t i o n a lc u r v a t u r es h o u l db eb i h o l o m o r p h i ct ot h eb a l l i nt h e i rc o u n t e r e x a m p l et h ee x p l i c i tc a l c u l a t i o no fb e r g m a n k e r n e lf l m c t i o na n dm e t r i co ft h e e g gd o m a i n z c 2 ：i z l1 2 + i 砘1 1 4 1 p l a y s a ne , g s e n t i a lr o l ef m o s a n o t h e re x a m p l ei sa b o u tl u q i k e n gc o n j e c t u r e ：i no r d e rt og i v eac o u n t e r e x a m p l et ot h el uq i k e n gc o n j e c t u r e ，a n e x p l i c i tf o r m u l af o rt h eb e r g m a nk e r n e lf i m e t i o ni s u s e di nr e f 【b 0 1 t h e r e f o r e ，t o n i p u t a t i o no ft i l eb e r g m a nk e r n e lf l l n e t i o nb ye x p l i c i tf o r m u l ai sa ni m p o r t a n tr e s e a r c h d i r e c t i o ni ns e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e s u pt nn o w ，t h e r ea r es t i l lm a n ym a t h e m a t i c i a n s w o r k i n gi nt h i sd i r e c t i o n 摘露 9 一一一 b u th e f i j r ey i nw e i p i n gc o l l s t r l l c t e dh n a ( t o n l a i l l s ，o n l yt h e r ea r et w ot y p e so f ( t o m a i n so nw h i c ht i l e1 3 e r g m a nk e r n e lf m m t i ( m sc a nt ) eo b t a i n e de x p l i c i t l y ：t h eb m m d e d h o n l o g e n e o a sd o m a i n sa n dt i l ec o m p l e xe l l i p s o i dd o m a i n si l l 8 0 n l ec a s e s h u a l o o k e n go b t a i n e db e r g m a nk e r n e lf u n c t i o n sw i t he x p l i c i t f o r m u l a so nf o u r t y p e so fi r r e d u ( ：i l f l es y m m e t r i cc l a s s i c a ld o m a i n sb yt h eh o l o m o r p h i ct r a n s i t i v eg r o u p s ( c a l l e d h u a m e t l l t ) t j ) f h l l l l u 2 】- f o rs o n i cn o o s y m m e t r i ch o m o g e n e o n sd o m a i n s ，w e c a na l s og e tt h ee x p l i c i t , f o r n u d a so ft h e i rb e r g m a nk e r n e lf u n c t i o n sb yh u am e t h o d x n 4 l i g i w ek n o wt h ec o m p l e t en r t h o n o r m a ls y s t e mo ft h eb m m d e dr e i n h a r d td o m a i n m a d e u po f m o n o m i a l s ，a n dc o m p l e xe l l i p s o i dd o m a i n i st h eh o n n d e dr e i n h a r d t d o m a i n ， s ot h ee x p l i c i tf o r m u l a so ft h eb e r g m a nk e r n e lf l m c t i o n sa r eo b t a i n e db ys u m m i n ga n i n f i n i t ea e r i e si ns o m ec a s e s ( c a l l e dm e t h o do fs n m m i n gs e r i e s ) i ng e n e r a l ，i ti sd i f f i c u l tt og e tt h ed o m a i nw h o s eb e r g m a nk e r n e lf i m c t i o nc a n b eg o t t e ne x p l i c i t l y s os o n i cm a t h e m a t i c i a n st h i n kt h ed o m a i nw i t he x p l i c i tb e r g m a n k e r n e lf n n c t i o ni sw o r t hr e s e a l e h i n ga n di sag o o dd o m a i n y i nw e i p i n gc o n s t r u c t , e dan e wt y p eo fd o m a i nw i t h e x p l i c i tb e r g m a nk e r n e l f l m e t i o ni n1 9 9 8a n dg e n e r a l i z e dc o n l , i n u o n s l yt h e mf r o mt h a tt i m eh ec o n s t r u c t e d t h ef o l l o w i n gf o u rt y p e so f ( 1 0 m a i n si n2 0 0 1 ，c a l l e dg e n e r a l i z e dh n ad o m a i n s ： g h e r ( n l ，m ；m ，n ；p l ，m ；k ) = 慨g j ，z 孵，( m ，) ：i j 1 2 p i l e t , ( z z 7 ) ，j = 1 ，r ) j = 1 g h e h ( n i ，- ，n r ；p ；p l ，- ，p r ；k ) = 训j c n j ，z 瓣，( p ) ：i t j 1 2 p j ( 1 e t ( 一z z ) k , j = l ，- ，r j = 1 g h 日( n i ，- ，n r ；q ；p 1 ，p r ；蛐 = 训j g m ，z 昵，( q ) ：h o f 2 珊 d e t ( + z 刁七，= 1 ， ，r j = 1 g h e w ( n t ，一，r ；n ；p l ，p ，；k ) = 蚴e j ，z 聍，v ( ) ：i n , j 1 2 p j ( 1 + i z z 1 2 2 z z r ) ，j = 1 ，一，r j = 1 w h e r e l 0 = ( ，0 1 ，w j u j ) ，j = 1 ， ，r 瓣，( m ，n ) ，盼，( p ) ，蛇，( q ) ，乳n ，( 住) d e n o t e r e s p e c t i v e l yt h ec a r t a nd o n l a i n so f l i ef i r s tt y p e ，s e c o n dt y p e ，t h i r dt y p ea n df o u r t h t y p ei nt i l es e n s eo ft - k l t n a z d e n 0 1 e st i l ec o n j u g a t ea n dt r a n s p o s e do fza n d l e t d e n o t e st h ed e t e r m i n a n tn fas q l l a r e m a t r i x n i ， 。；p i l ，p c - 1 a r ep o s i t i v e i n t e g e r sa n dp r ，a l ep o s i t i v er e a ln l n n i ) e r s w h e nk = 1 t h e ya r et h eh l i p d o m a i n s 摘要lo t h eg e n e r a l i z e dl l u ad o m a i n sa r en e i t h e rh o m o g m l e o n sd o m a i n sn o rr e i n h a r d t d o m a i n ss ow ec a l ln o tl l s et i l eh u am e t h o lo rt h em e t h o do fs u m m i n gas e r i e s o g e tb e r g m a nk e r n e lf u n c t i ( m s i l l e x p l i c i tf o r m s w eg i v ean e wm e t h o dt oc o m p u t e t h eb e r g m a nk e r n e lf u n c t i o n so i l g e n e r a l i z e dh u ad o m a i n s i tc o n s i s t so ft w os t e p s ： f i r s t ，w eg i v et i l eg r o u po fh o l o m o l p h i ca u t o m o r p h i s m o i le v e r yt y p eo ft h e g e n e r a l i z e d h u ad o m a i n s ，s u c ht h a tt h ee l e m e n tf ( w ，z ) o ft h eg r o u pm a p s ( ，2 ) i n t o ( + ，o ) a c c o r d i n gt o t h et r a n s f i ) r m a t i o nf i ) r m u l ao ft h eb e r g m a nk e r n e lf i m c t i o n ，w eh a v e k ( ( t u ，z ) ；( ，2 ) ) = j d e t ( 。肪) 2 ( ( + ，o ) ；( d + ，o ) ) ，w h e r e ( 。肪) i st h e 1 a c o b im a t r i xo f f ，d e t ( i v ) i st h ed e t e r m i n a n to f ( i f ) i tc a nb ec o m p u t e de a s i l y i tf o l l o w st h a t t h ep r o b l e mi st h a tw eo n l yn e e dc o m p u t e ( ( 矿，0 ) ；( + ，o ) ) s e c o n d ，w ei n t r o d u c e t h ec o n c e p to ft h es e m i r e i n h a r d td o m a i n ，a n dc o m p u t et h ec o m p l e t eo r t h o n o r m a l s y s t e mo fs e m i r e i n h a r d td o m a i n b e c a u s eg e n e r a l i z e dh u ad o m a i na r es e m i - r e i n h a r d t d o m a i n ，a n db yt h ec o m p l e t eo r t h o n o r m a ls y s t e m ，w ek n o wk ( ( + ，0 ) ；( + ，0 ) ) i sa m u l t i i n f i n i t es e r i e s a b o u t ( m i j j 孔，；i ) ，t h e nw e ( ；a l lg e tt h eb e r g m a nk e r n e l f u n c t i o nh ys u m m i n gt h ei n f i n i t es e r i e s a f t e rt h es l i mi so b t a i n e d ，w et h i n kw e g e tt h e e x p l i c i tf o r m u l a b yc o n l p u t a t i o n ，w eo h t a i nt i l eb e r g r n a nk e r n e lf i m c t i o n so ft h eg e n e r a l i z e dh u a d o i n s i n s ： 一 1 1p t n i + k + + r - i + ，一， 。”，忍砜劢= = l t o r t + i n t 西d x 茹焉藉 f；”妇r 妇：二i 洳； ，( 7 1 t ，z ；面，z ) = q l 一1 * 1 1 + 1 ”f 0 rf 0v = o j = 1 r ( j + 1 ) ( 1 一t ) j + 兀p f l = 出掣+ ，一( m + t 件型p 生1 ) z z 。1 i 一1 o n i n 2 + + n t 。+ n t 一1 a z ；la t 2 2 8 z 譬1a z i 一 掣。r 寺，訾v r + lr ( j + 1 ) ，毛。至。丕萎粉州= 0 蚪一声o 口= 0f = l 、 ”，。 书曲坜，_ ( p + l + 挣 摘氍 u 一一一 k c ”j ( ，z ；丽，z ) = = o n i + n 2 + + n r 一1 + n r 牮+ 妻! 。z r l o z 2 0 x z + 1 0 。p 1 丌 f 一1 q 1 ”l = o i 蒜z 打旷1 + 舌书 小邶；椰，= 氅n t 群# 豪l 杀in + fu z j ”廿i 。d 茁r 二1 d g 1 q i i ”t = 0 f ( j + 1 ) ( 1 一t p + 毒业l 1 一孵，z 一嚆鲁 r l l p 、一，一，j ( t 一+ 。u ，m 尹) v + t + r l r w l l e r e l ! l j f l 2 = h ，c l l 2 + + l 叫 1 1 2 ，z l = 1 1 叭1 2 旧( z ，z ) 1 _ 者，1 f r 2 厂i q l = 击，= e 百。1 ，1 l r 一1 ，f f l e t e r m i n e db yt i mf o r m u l a ( 2 - 2 ) p ( z ，z ) = 1 + l z z 1 2 2 z z 7 1 ( s p nt h e o r e m2 9 ) p a r t e x t r e m a lp r e b 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y ( ：a l lb ec h a r a c t e r i z e di nm a n yd i f f e r e n tw a y s ，a n ds o ，t h e ya r i s e i nm a n yd i f f e r e n tc o n l , e x t s a n o t h e ri n t e r e s l i n gz 8 t l e c to fb l o c hf u n c t i o n so nt h eu n i t d i s ki st h a tt h e yf o ln lab a n a c hs p a c ew h i c hh a ss e v e r a ln o t e w o r t h yp r o p e r t i e s f o r e x a m p l e ，i ti si s o m o r p h i ct , o t h ec l a s s i c a lb a n a c hs p a c ef o 。b yn o w ，t h e r ea r em a n y m a t h e m a t i c i a n sg e n e r a l i z ea n ds t u d yt i l ec l a s so fb l o c hf u n c t i o n sf u r t h e r t i l ec o n c e p to fb l o c hf l m c t i o nw a si n t r o d u c e di n 【t i m l 】o r 【a c p ： l e t u = 2 r c ：| 2 i 1 d e n o t e t i l eu n i l d i s k a l la n a l y t i cf u n c t i o nf ：u _ c i sc a l l e dab i n c hf l m c t i o nj f i i f l l b = s u p ( i f 7 ( z ) i ( 1 一i z l 2 ) ：u ) o o a tt h es a t n et i m e ，s e v e r a le q u i v a l e n td e f i n i t i o n sf o rb l 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