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在海底延伸的滨海承压含水层中水头波动的数学模型及其解析解 在海底延伸的滨海承压含水层中 水头波动的数学模型及其解析解 研究生：李冠一 指导教师：李海龙 学科专业：应用数学 研究方向：偏微分方程 摘要：本文考察了一个临海承压含水层系统。该承压含水层向内陆方向无限延伸， 在海底延伸一定长度，并在海底露头处被一层淤泥层所覆盖。本文建立了该含水层 水头动态在海潮作用下的数学模型，得到了该模型的解析解。该解中包含了四个独 立参数：淤泥层的透水性，离岸区在海水中的延伸长度，含水层的潮汐传导参数以 及海潮载荷效应。当透水性和离岸区延伸长度取某些特殊值时，本文的解与前人考 虑的几种情形下的解一致。在此基础上，我们详细讨论了离岸区顶板长度和淤泥层 的透水性对承压含水层中水头波动的影响。特别地，当边界淤泥层为隔水层时，本 文的解也可用来描述有潮河流下的承压含水层中的水头波动情况。最后，用一个假 设的例子说明以往在用波幅衰减法和时滞法进行参数估计时，忽略淤泥层的存在可 能会导致估计偏差。 关键词：滨海承压含水层，含水层离岸区项板，淤泥层边界，偏微分方程，解析解 1 引言 滨海地区社会和经济的不断发展引发了包括地质、工程、生态、环境等诸方面 的问题，例如海水入侵、沿海工程建筑稳定性、海滩建筑工程基底排水、沿海环境 恶化等。对海潮引起的滨海地下水动态的研究在解决上述问题方面起到重要而积极 的作用。自上世纪中叶以来，诸多学者就进行了解析或数值模拟研究，例如，c a r t 1 9 6 9 研究了爱德华王子岛上咸水入侵现象；c a i r 1 9 7 1 1 用调和分析法估计了滨海 承压含水层中的扩散率、渗透系数和贮水系数等参数；l a n y o ne ta 1 1 9 8 2 对海潮波 在海成延伸的滨海承压含水层中水头波动曲教学模型及兵解析解 动和海岸表面结构变化引起的水头变化给出了详尽的描述；c h a r ta n dm o h s e n 1 9 9 2 用一维数值模型模拟了在受潮汐影响的古水层中污染晕的扩散过程；m a r q u i sa n d s m i t h 【1 9 9 4 估计了由潮汐引起的含水层中的地下水流动和化学元素运移。 在文献中，已有很多关于潮汐引起的地下水流动的解析研究结果。其中的含水 层结构可以归为两类：单一含水层 例如j a c o b ，1 9 5 0 ；d r o g u ee ta 1 ，1 9 8 4 ；s a n ，1 9 9 7 ； t o w n l e y , 1 9 9 5 ；t r e f r y , 1 9 9 9 和三层结构的含水层系统 例如v a nd e rr a m p ，1 9 7 3 ； j i a oa n dt a n g ，1 9 9 9 ；l ie ta 1 ，2 0 0 1 ；j e n ge ta 1 ，2 0 0 2 ；l ia n dj i a o ，2 0 0 1 a ；b ；2 0 0 2 a ；b ； 2 0 0 3 b 。含水层与海潮边界也有各种不同的假设。如海滩形状倾斜 例如n i e l s e n , 1 9 9 0 ；l ie ta t ，2 0 0 0 c ；t e oe ta 1 ，2 0 0 3 ；含水层延伸到海水中 例如v a nd e rk a m p ， 1 9 7 2 ；l ia n dc h e n ，1 9 9 t aa n db ；l i u ，1 9 9 6 ；m a a sa n dd el a n g e ，1 9 8 7 ；l ia n dj i a o ， 2 0 0 1 a ；海岸线呈l 形 例如l ie ta 1 ，2 0 0 0 b ；l ie ta 1 ，2 0 0 2a n dl ia n dj i a o ，2 0 0 2 b 。建 立的模型有多种，如多维的【例如n i e l s e ne ta 1 ，19 9 7 ；l ie ta 1 ，2 0 0 0 a ；l ia n dj i a o ， 2 0 0 2 b ：或非线性的【例如p a r l a n g ee ta 1 ，1 9 8 4 ；b a r r ye ta 1 ，1 9 9 6 ；l ia n dj i a o ，2 0 0 3 a ； t o ee ta 1 ，2 0 0 3 1 。所得诸解已在许多现场个案研究中用以分析观测数据。例如，f e r r i s 【1 9 5 1 】估计了在具有潮汐波动的普拉特河旁的含水层的扩散率；c a r ra n dv a nd e r k a m p 【1 9 6 9 确定了加拿大的爱德华王子岛上的滨海含水层中的海潮效应、贮水系 数和渗透率，并且所得结果与抽水试验数据一致：d r o g u ee ta 1 1 9 8 4 】分析了滨海喀 斯特( 喀斯特地貌是指可溶性岩石受水的溶蚀作用和伴随的机械作用形成的各种地 貌，如石芽、石沟、石林、落水洞、溶洞、地下河等，亦称为岩溶地貌】含水层中 地下水波动现象：s e r f e s 1 9 9 1 】估计了地表浅层( 9 米深) 、分层结构的含水层系统中 的水力坡度；e r s k i n e 1 9 9 1 】分析了在英国的一个核电站周围，海潮波动对一个地下 深层( 5 0 米深) 、渗透性高的潜水含水层的影响，并利用时滞和海潮效应参数估计了 扩散率：m i l l h a ma n dh o w e s 【1 9 9 5 】确定了一个中等深度( 1 5 米深) 、渗透性高的潜水 含水层中的水力传导系数； i r e 丘ya n dj o h n s t o n 1 9 9 8 】归纳了联合使用抽水试验和河 水波动的数据，确定了位于阿德莱德西北，澳大利亚南部的勒弗尔半岛东部的地表 2 在海底延伸的滨海承压含水层中水头波动的数学模型及其解析解 浅层( 7 2 米深) 砂质含水层中的地下水的水文学特征。这些研究显示了在含水层参数 估计上，潮汐法比其他方法更具优势，如空间尺度大和经济实用等。潮汐法通常是 在数十或数百米的范围内获取含水层特征的数据，较之普通抽水法中采用的小尺度 范围，用潮汐法得到的数据更准确。此外得到的监测头处的潮汐波动则是含水层水 文特征的副产品。根据海潮效应的解析解，l ie ta 1 2 0 0 2 估计了香港特别行政区国 际机场中开垦形成的一个l 形的深层潜水含水层的扩散率。m e m t t 【2 0 0 4 则用类似 于v a i l d e r k a m p 1 9 7 2 和l ia n dj i a o 【2 0 0 1 a 的解析方法估计了佛罗里达含水层系 统的水质。所有的这些研究为解决滨海地区的环境、经济、生态和工程问题提供了 有力的理论指导和技术支持。 实际上，在潮间带以下的深海中，由于波浪微弱，细砂、粘土以及有机质碎屑 等在这样的缺氧环境中逐渐形成海底淤泥，从而大部分天然含水层在海底的露头处 都不与海水直接接触而是被海底淤泥所覆盖 l ia n dc h e n ，1 9 9 1 b 。虽然在模拟滨海地 区受潮汐影响的地下水波动时，含水层的海底露头处边界条件至关重要，但迄今为 止滨海含水层的海底淤泥边界对地下水的波动的影响还没有得到系统的、定量的研 究和阐述。 本文将重点研究滨海含水层的海底露头处边界淤泥层对含水层中由海潮引起的 地下水的水头波动的影响，建立数学模型并求得其解析解。再将其解与前人在几种 特殊情况下所考虑的诸解作一比较，系统地分析讨论淤泥层的透水性和含水层延伸 入海的顶板长度对含水层中地下水的水头波动的影响。此外还将用一个假设的例子 来说明前人在使用波幅衰减法或时滞法进行参数估计时，忽略淤泥层的存在会导致 较大偏差。 2 建立模型并求其解析解 2 1 建立数学模型 考察一个项板隔水的滨海承压含水层，其在海水中延伸长度为l ，含水层的海 在海底延伸的滨海承压含水层中水头波动的数学模型及其解析解 底露头处被相对较薄的淤泥层覆盖，该承压含水层在垂直于海岸线方向上的剖面图 如图1 所示。假设含水层水平、均质、等厚度、向内陆方向无限延伸；忽略淤泥层 的弹性贮水效鹿；含水层中的水流为一维水平流且服从达西定律。 图l 嚣头处具有淤泥层的滨海承压含水层在垂直于海岸线方向上的剖面示意图 设x 轴垂直于海岸线、水平指向陆地，与海岸线交于零点。基于上面的假设，得 到承压含水层中水头波动的控制方程： 在离岸区： s 警= 丁窘+ s l 。百d h , ， - l x o , - - o o 1 0 一 f ( + 0 0 4 在海底延伸的滨海承压含水层中水头波动的数学模型及其解析解 其中h ( x ，t ) ，s 和t 分别是承压含水层的水头【l 】、贮水系数【- 】和导水系数【l 2 t 。】 厶是海水的海潮载荷效应h ：h a t ) 是平均海平面 l 。根据模型的线性性质，只考 虑单一海潮波，从而假设海平面高度随时问变化的规律是： 九( f ) = a c o s ( c a t ) ( 3 a ) 其中爿是海潮波动的波幅 l 】，卯是频率 t 。】，并且 = 2 z t o ( 3 b ) 式中的t o 是海潮周期【t 。 海潮载荷效应是由v a nd c rk a m pa n dg a l e 1 9 8 3 】定义的，描述由地表的局部压 力变化引起的岩层组织的压力变化。如果忽略含水层固体骨架的压缩性，海潮载荷 效应可表示为： d 也2 而 其中口是含水层固体骨架的垂向压缩系数 m 。l t 2 】，是含水层中孔隙水的压缩 系数 m 。l t 2 】，0 是孔隙度 - 。由( 4 ) 式定义的海潮载荷效应也被j a c o b 1 9 5 0 1 和 f e r r i s 【1 9 5 1 称为“波幅系数”。此外，在c a n 【1 9 7 1 ，l ia n d c h e n 【1 9 9 1 a a n d b 】，和l i a n dj i a o 2 0 0 l a 】等文中都延用了j a c o b 1 9 5 0 1 用( 4 ) 式定义的“海潮效应”。 这里还假设含水层内陆区无补给，所以距海岸线无穷远处满足边界条件： 剿 ：o ( 5 ) 缸i 一。 ”7 在海岸线z = 0 处，分别根据水头和流量连续性条件，有： 船6 ，玲2 船h ( x ，f ) ( 6 ) ，孤，劫 船面。骢瓦 ( 7 ) 在海底延伸的滨海承压含水层中水头波动的数学模型及其解析解 在左边界x = 一l 处，淤泥层的存在将海底承压含水层中的地下水和海水隔离 开，淤泥层两侧的水头差为( 允一h ) ，忽略淤泥层本身的弹性贮水效应，从承压含 水层流入淤泥层的流量与从淤泥层流入海中的流量相等。根据达函定律，有： 置剿：k ，一h - h ， ( 8 a ) 咖一 m 其中k 和r n 分别是淤泥层的渗透系数 l t _ 1 和厚度【l 】：k 是承压含水层的渗透 系数【l t 。1 ；n 是含水层和淤泥层交界面的法向量，方向与x 轴方向相反。淤泥层 边界条件( 8 a ) 可以进一步化简为： 一剥+ 脚：础 缸l 。 。2 ( 8 b ) 此处引入了一个新的参数“， k 5 m k ( 8 。) 被称为淤泥层的相对透水性【l _ 1 】，描述淤泥层相对于承压含水层的透水性。 2 2 解析解 定解问题( 1 ) ，( 2 ) ，( 5 ) ，( 6 ) ，( 7 ) 和( 8 b ) 的解是( 求解过程见附录) ( 石，f ) = 爿上。 c 。s ( 国f ) 一三e a xc o s ( f + 酊) + ( 工，f ) ，- l x o ，( 9 b ) 其中 6 在海底延伸的滨海承压含水层中水头波动的数学模型及其解析解 h o ( x ，t ) =1 盯4 + 4 2 仃2 + 2 c r + 2 e 一“+ 2 扣c o s o ) t 一( z + 2 l ) a 一仍】 + 了亍坠三e - ( x + l ) a c o s o ) t - ( x + 工如一仍】， 仃2 + 2 盯+ 2 三c 、。 其中盯是承压含水层的潮汐传导参数【l _ 1 ( 9 c ) 。= 厮= 厩， ( 9 d ) 盯是淤泥层的透水性 - 】， 盯2 a2 a m g ， ( 9 。) 伊。和仍是相位移： 仍：a r c t a i l 关，( 9 0 仍2 撒m ；i 仍2 粼而， ( 9 曲 ( 9 b ) 式中的系数c 和相位移妒依赖于模型参数a l ，l e 和盯： c ( a z ，t ，玎) = 厄i 河i i 露，( 9 h ) 舭刖= 一箍， ( 9 i ) 其中 v = 万l e e 而- a l e - a l ( o - 2 - 2 ) c o s l ) - 2 0 s i n + 警舻+ c o c o s ( a l ) - a s i n ( a l ) ，( 9 j ) f = ；手l e 五e - a 鬲l 1 丁e - a l 撕c 。s 口+ 矿一2 ) s i n 】+ 警舻+ s i n + s 缸d 】 ，( ，t ) 3 分析讨论 3 1 与已有的解析解的比较 ( 9 a ) 和( 9 b ) 式分别是滨海承压含水层在离岸区和内陆区中水头波动的解析解。( 9 a ) 在海底延伸的滨海承压含水层中水头波动的数学模型及其解析解 和( 9 b ) 式中包括四个独立参数，即透水性盯，离岸区在海中延伸长度l ，承压含水层 的潮汐传导参数d 和海潮载荷效应上。对于透水性和离岸区在海中延伸长度为零或 无限大的情况，早期的研究者已经求得其解析解。 3 1 1 含水层在海底无限延伸 如果含水层在海中无限延伸，即三一十，根据解( 9 a ) 和( 9 b ) 式，则有 1 h ( x ，t ) = 4 t 【一妄g “c o s ( ( o f + w ) + c o s ( o ) f ) ，x o ，( 1 1 )盯2 + 2 盯+ 2 + 盯 。 式中的透水性盯由( 9 e ) 式给出。并且外部载荷效应t 自动消失了。这与实际情况是 完全吻合的海潮载荷效应正是通过离岸区的含水层项板引起含水层骨架和孔隙 水的弹性压缩或膨胀而起作用的。当上= 0 ，即含水层在海中的延伸顶板长度为零 时，载荷效应l e 自然无法影响含水层中的水头波动。 与j a c o b 【1 9 5 0 j 中的解比较来看，边界淤泥层的存在使地下水水头波动的波幅 缩小了m 倍，称为波幅缩小率，它只与透水性盯有关： 在海底延伸的滨海承压含水层中术头波动趵数学模型及其解析解 并且产生了个相位移 扩去舡1 击= 去锄 等 三 日 q 8 1 0 8 o 6 0 4 0 2 0 - i u m k g m k + k 7 i g e l e o 图2 当海潮载荷效应。= 0 5 时，对于不同的顶板延伸长度a l 波幅缩小率m ( 图a ) 和相位移a t 曲1 堆( 图b ) 随透水性叮的变化图 ( 1 2 b ) 9 在海底延伸的滨海承压含水层中水头波动的数学模型及其解析解 当透水性盯从0 变化到无限大时，矗i 。将从0 增加到l ( 见图2 a ) ，而时滞a t 。 则从丌( 4 0 j ) 减小到o ( 见图2 b ) 。当透水性仃趋于无限大，相当于淤泥层厚度棚趋 于0 ，则。趋于1 ，时滞出。g 趋于0 。这时的解与j a c o b 【1 9 5 0 的解相同。当透 水性盯趋于0 ，则i n 趋于0 ，这时含水层与海水无直接水力联系，水头波动不受边 界海水的影响。 3 1 3 含水层的露头边界不透水 如果淤泥层不透水，即盯哼0 ，根据o a ) ，( 9 b ) ，( 9 c ) ，( 9 j ) 和( 9 k ) 式，则有 h ( x ，) ：a 1霎ax)h(x t z , c o s ( c o t ) - c o s ( a o t + a x ) + p n ( ，+ ：g o s t 一4 ( x + 2 l ) ) ，) = 三- + p 呻“啦 一4 ( x + 2 l ) ) 一三 x 0 ，( 1 3 b ) 此时含水层中的地下水波动依赖于海潮载荷效应t 和延伸长度口。如果2 a l 万， ( 1 3 b ) 式中的相位移为负，从而有“时间超前”： 虬一。：土。咖善竺生( 1 3 0虬一e 2 i 咖i 赢 ( 1 3 a ) ，( 1 3 b ) 和( 1 3 c ) 式不仅适用于露头处有淤泥层覆盖的滨海承压含水层中的水头波 动，也适用于有潮河下面的承压含水层中的水头波动。假设该有潮河是垂直的，关 于河中线对称，宽度为2 l ，下面的含水层水平，且与河水之间有一不透层；含水层 中的水流是一维的且与河岸垂直( 见图3 所示为该有潮河下承压含水层单侧剖面图) 。 在河中线x = - l 处的对称边界就相当于隔水淤泥层边界，此时就可以用( 1 3 a ) ，( 1 3 b ) 和( 1 3 c ) 描述其中的地下水的水头波动。 在海底延伸的滨海承压含水层中水头波动的数学模型及其解析解 图3 关于河中线对称的有潮河下承压含水层单侧垂直剖面示意图 当a l + 0 ，“时间超前”血。趋于其最大值# ( 4 c o ) 。这就意味着无论离岸 区含水层顶板长度怎么小，含水层中的水头波动都有一个“时间超前”，对于全日潮 来说大约是3 小时，而对于半日潮是1 小时半。这一点已有野外观测数据证实，例 如，荷兰东部的艾瑟尔河岸附近的压强计中的水头波动就比河水涨伏提前一个小时 多( 见 m a a sa n dd el a n g e ，1 9 8 7 1 ) 。尤其在河岸处的一个压强计的数据显示其波幅减 弱了o 1 1 5 ，提前了6 5 - 8 5 分钟。 m a a sa n dd el a n g e ，1 9 8 7 中将这种观测到的潮汐 地下水的负相位移称为“g o u d e r a k 异常”，并以这种有潮河下面的含水层系统中潮 汐波动模型为基础进行了解析研究。所涉及的含水层的特征数据如下： = 1 2 3d ，s = 5 x 1 0 一，t = 8 5 0m 2 d 一，l = 4 5 弛丘= 1 ，c = 2 0 0 0 夹在河水 和含水层之间的弱透水层的厚度与垂向渗透率的比值) ，m a a sa n dd el a n g e 1 9 8 7 】 估计得到的“超前”时间为7 9 2 分钟，波幅淤滞系数为0 1 l ，这些都很符合实际观 测数据。 如果弱透水层的透水性可以忽略( 即厚度- 渗透率比值c 斗o o ) ，并假设海潮载荷 在海底延伸的滨海承压含水层中水头波动的数学模型及其解析解 效应t = 1 ，则m a a s a n d d e l a n g e 【1 9 8 7 的模型就与我们这里考虑的情况一致。从 而，其文章中m ( 9 a ) 式给出的河岸( x = 0 ) 处的波幅和位移与这里的( 1 3 b ) 式本质上是 一样的。此时，由( 1 3 b ) 式得到x = 0 处的“时间超前”为8 2 2 分钟，波幅淤滞系数 为0 1 1 1 ，其值同样与实际观测值一致。这就表明可以忽略弱透水层的透水性。 m a a sa n dd el a n g e 【1 9 8 7 】中还有一些关于有潮河下面含水层中“时间超前” 的观测例子。对于滨海承压含水层，虽然这些有关“时间超前”的直接观测数据还 未在文献中有所报道，但是从距离中国山东夹河河岸数百米处安装在承压含水层中 的压强计中观测到，地下水水头波动几乎与河水波动同步 c h e n ge ta 1 ，2 0 0 4 1 。因为 时滞通常会随着河岸向内陆方向距离的增加而线性递增，从而这些观测数据就表明 在河岸附近的地下水波动有“时间超前”现象，也表明该承压含水层露头处很可能 有一层渗透率小的淤泥层。 31 4 含水层边界的淤泥层不存在 如果淤泥层不存在，即淤泥层的厚度m = 0 ，也就相当于透水性盯= o o 。令 叮呻o o ，则( 9 j ) 和( 9 k ) 式中的玎和f 就简化为： 擎矿f 枷s 廿啪 ， a ， 嬲知“f 蜘n + ( 1 - l ) s i n ( a l ) ， e ， 此时的解析解( 9 b ) ，( 9 h ) ，( 9 i ) 和( 1 4 ) 式与l ia n dj i a o 2 0 0 1 a 中忽略半透层越流情况下 的解( 1 6 a ) ，( 1 6 b ) 和( 1 6 c ) 式本质上是一致的，只是符号不完全一致罢了。 3 2 不同的顶板长度对应的近似解 3 2 1 离岸区项板长度较小时的近似解 如果延伸长度吐足够小，使得泰勒展开式e e - 阶项及以后高阶项均可忽略，则： 1 2 在海底延伸的滨海承压含水层中水头波动的数学模型及其解析解 一 一 。x p 卜“l + i ) 】1 一a l ( 1 + i ) ，e x p - 2 a l ( 1 + i ) “1 - 2 a l ( 1 + i ) ( 1 5 a ) 则附录中的复系数c 4 = 每+ r - i 掌可被简化为 c ：= 鲁+ 叩一i 害 2 厶【：1 + a - 小l - i 五e 坤。+ 涧卜熹e 卅叫+ 哪+ = 杀唧嘲峋目 = 厶；等鲁+ ；惫“p h ( i + j 瑚+ 。缸z ) 2 焘唧哪+ 汹+ ，1 f l 矿2 + l e 2 c r a l 圳) ( 1 5 b ) 用上式( 1 5 b ) 取代( 9 b ) 式中的叩和亭得到 啦m ”n “焘4 02 a2 啪s 咖“肿d a r c 伽南c r ，删( 1 6 +l + 川。 r 。7 将离岸区延伸长度为零时的解( 1 1 ) 式与( 1 6 ) 式比较可以发现，当吐足够小时，内陆 区含水层中的地下水波动就与海岸线向海延伸到了含水层露头处( 工：一三) 的情形一 样口近似解( 1 6 ) 式中有一误差项o ( k 一2 + l e a l + 2 0 2j ，令占是容许误差，则根据k 盯2 + + 蚍 一”1 k 琚 了手i 专；荔s 可得延伸长度她的下临界值： ( a l ) o = 乎 ( 1 7 ) 所以当三。时，可将露头处视为海岸线：从( 1 6 ) 式还可以看出此时的水头波动与 海潮载荷效应厶无关，从而解中的独立参数减为三个：口、三和盯。以上讨论表明： 如果含水层离岸区延伸长度足够小，就可以忽略其上的海潮载荷效应丘对含水层中 水头的影响。 1 3 在海底延伸的滨海承压含水层中水头波动的数学模型度其解析解 3 2 2 禺g - 区碗板长度较大时的迎似胖 先考察含水层内陆区：若三= + o o ，内陆区含水层中水头波动由( 1 0 b ) 式给出， 从而，当延伸长度北足够大时，内陆区中地下水的波动就近似为( 1 0 b ) 式。因为( 9 b ) 式中的系数c 和相位移妒由附录中的系数c 4 变形得到。( 9 b ) 和( 1 0 b ) 式相对于海潮波 幅a e 一的相对误差是： i c c 。s 缸一甜一咖一等c 。s 一删卜i 畸g e 冲h c 础+ 研，卜鲁e 冲h c 甜+ 耐， 1 s 卜州c 甜删卜鲁e 卅i c 一刮= 卜纠 = t , - i 掌l = i 詈羔- 每e x p _ 2 础删+ 等等卅鲫均上 | 鲰p _ 刮詈篙纠卿c 均f 罟荆， ( 1 8 ) 因此，对于满足e x p ( - a l ) 0 ) ，离岸区内水头波动为( 9 a ) 式，则( 1 0 a ) 式与 ( 9 a ) 式之间相对于潮汐载荷波幅丘t e 一的相对误差为： l h o ( 刈) i = l r e 扩c 2 e 一”矿i c 2 e “i = 吲= r - i f l ( 2 1 ) 此式- 与0 8 ) 式相同，故延伸长瘴的上临界值( 矗，) 。仍为( 2 式。那么如果延伸长度口三 满足以( 口) 。，离岸区的水头波动就可以用( 1 0 a ) 近似代替。 1s 0 5 o 5 0 5 o 5 0 5 5 4 4 3 3 2 2 l l o 在海赢延钟的滨海承压台水层争术头波赞的数学模型及其解新解 3 3 内陆区承压含水层中的水头波动 人类的主要生活生产活动都是在陆地上进行的，尤其沿海地区更是人类活动的 密集区，因此在此处重点分析含水层内陆区的水头波动。 ( 9 b ) 式是内陆区承压含水层中水头的波动方程，与j a c o b 1 9 5 0 中的解相比，离 岸区顶部睦度和边界淤泥层的存在使波幅削弱了c 倍，也使相位改变了口r a d ，并 且c 和p 二者都依赖于参数盯，以和t 。若给定c 和妒，含水层中的水头波动在海 岸线x = 0 处可以表示成a ce o s ( o ) t p ) 。如果将海岸线视为内陆区含水层的边 界，利用j a c o b 1 9 5 0 】的解很容易就可以得到内陆区含水层中的水头值为 a c e 一“c o s ( c o t 一一妒) 。这也是从j a c o b s 1 9 5 0 】的观点对( 9 b ) 式的简单解释。 对于不同的延伸长度a l ，当海潮载荷系数t = 0 5 时，图5 a 给出了波幅系数c 随淤泥层透水性的变化情况。当以较小时，波幅系数c 随透水性仃严格递增，见 图5 a 中a l 0 2 5 的曲线；当a l o 6 时，波幅系数c 并不总随着盯递增：随着她 的增加，波幅系数c 随盯的变化越来越细微并逐渐趋于常数l 2 = 0 2 5 。海岸线处 的水头波动波幅等丁a c ，受两个因素影响：一个是通过离岸区在海中的延伸顶板 起作用的海潮载荷，另一个是通过含水层露头处的淤泥层与海潮的水力联系。当含 水层露头离海岸线较近时，由于离岸区项板民宣较短，海潮载荷效应通过顶板的作 用就相对较弱。在这种情况下，海岸线处的水头波动主要受淤泥层透水性盯的控制 并随其递增。 当离岸区顶板长度大于或等于临界值k 时，就可以忽略淤泥层对海岸线处水头 波动的影响。此时海岸线处的水头波动主要受海潮载荷效应的控制，波幅系数c 接 近上。2 ，就像( 1 0 b ) 式描述的l = c 。的情形，见图5 a 中也= 5 0 的曲线。 当离岸区顶板挺度较大但又不超过临界值三。时，海岸线处的水头波动不是单一 1 6 在海底延伸的滨海承压含水层中水头波动的数学模型及其解析解 受海潮载荷效应或淤泥层透水性的控制；在海潮载荷效应和淤泥层透水性联合作用 下波幅随l g c r 的关系变得复杂、非单调。 u 籁 懈 粤 螂 文 簿 趔 罂 l g o i g o 图5 对于不同的顶板延伸长度吐，内陆区含水层中地下水波动随l g c r 的变化关系 对于不同的以值当海潮载荷效应丘= o 5 时，图5 b 所示的是相位移伊随透 水性仃的变化关系a 对一个l 临海而止的含水层，即比= 0 ，相位移始终都是正的( 对 应时间滞后) ，并且随盯从州4 单调递减至o 。而对于离岸区延伸长度较小( a z o 1 ) 1 7 在海底延伸的滨海承压含水层中水头波动的数学模型及其解析解 的含水层而言，如果淤泥层透水性较小或为零，则出现一个约为一万4 的负相位移 ( 对应“时间超前”) 。如果含水层的渗透性与淤泥层相对差不多或淤泥层厚度较薄， 则无论以，取值多少都不会出现负的相位移。而当仃l 且离岸区项板长度较长但不 超过临界值时相位移也总是正的。 当海潮载荷效应取值为0 到1 之间的其它值时，对于不同的a l 值，波幅系数c 和相位移妒随透水性盯的变化与图5 a 和图5 b 相似，这里就不详述了。 3 4 离岸区承压含水层中的水头波动 f 9 a ) g ( 9 b ) 式分别是带有淤泥层边界的滨海承压含水层中地下水的波动方程。对 于不同的相对透水性o - ，图6 、7 所示分别为离岸区在海中的延伸长度吐( 无量纲) 对离岸区含水层中水头波动的波幅和相位移的影响( 这里着重讨论波幅的变化规律) 。 在不影响讨论的前提下，假设潮汐周期t 。= 0 5 d ，海潮载荷效应l 。= o 5 。由于含 水层中的水头波动受两方面因素的影响：一者是通过露头处边界淤泥层与海水的直 接水力联系；一者是通过离岸区在海中的延伸顶板起作用的海潮载荷。当口l ( a z ) 。 时，海潮外部载荷对含水层中的水头几乎不产生影响，故离岸区内的波幅系数为： 州彳2 历景e “) ，- l x ( 吐) 。时，如果l = 0 5 ，盯= 1 0 0 0 ，从图4 中可以看出延 伸长度的上临界值约为0 ) 。= 3 ，8 ，见吐4 0 的图6 ( f 1 ) 和图6 ( g 1 ) ，在露头附 近( 一a l a x 一以+ 2 ) 处，波幅仍随( 从海底边界向内陆方向的延伸距离) a x 递 减，尤其从图6 ( g 1 ) 中a l = 1 00 的波幅图像中可以更为清楚地看到，在波幅随删减 至最低后很快回升至口= 0 的水平线，在上面3 1 1 的讨论中我们已知含水层在海底 无限延伸时边界淤泥层相当于不存在，从这里看含水层淤泥层边界是相当于隔水边 界了。另外从图6 ( g 1 ) 中还可以看出在一a l s a x 茎一a l + 3 范围内，a l = 5 ，0 和 a l = 1 0 0 两组曲线经过平移就可以几乎完全重台。 当延伸长度吐介于上临界值和下临界值之间时，即( 口工) 。 a l ( 碰) 。，波幅 受海潮载荷效应和边界淤泥层的影响都很敏感，在二者的共同影响下波幅已不可能 随其中的哪一个单调变化了，见图6 ( c 1 ) 、( d 1 ) 和( e 1 ) 。尤其在距边界较远的海岸线 附近处，即使对于相同的甜值，波幅随才的变化也是复杂的、非单调的。 在海底延伸的滨海承压舍水层中水头波动的数学模型及其解析解 静 趔 罂 从海底边界向内陆方向的距离a x ( j s l 纲) 从海底边界向内陆方向的距离( 无量纲) 从j 辱底边界向内陆方向的距离d z ( 无量纲) 簿掣霹 蹲罩罂 在海底延伸的滨海承压舍水层中水趺波动的敷擘模型厦其解析解 潍 g 霉 豁 d 晕 蹬 翻 墨 二；享忒 a 印 ( d 2 ) 吐_ 2 0 n 从海底边界向内陆方向的距离a x ( 无量纲) 从海底边界向内陆方向的距离盯( 无量纲) ( f 2 ) 吐= 40 一 蜒0 一 从海底边界向内陆方向的距离a x 怃量纲) o 0 m o 加 加 加 从海底边器向内陆方向的距离甜( 无量鲥) 图7 对于不同的撩混层透水性盯，离岸区含水层中 承头波动的掘位移随距离a ) c c 无量纲) 的变化曲线 图，竺霎竺黧嚣耋器篇篓黧篡 燃趟警篇黧：三篡芝嚣淼磊茹二删响 删减：。竺三黑竺篁翟篓霎篡蔷磊波幅 删位竺篓纛基篡点慧：= 淼淼、变 蝴不黧长三鼍黧黧篡黧并蒜= 茹。 化趋势几乎党全一致。这里对相位移不作详述，_ l 买霜口j 从目。“ a 含烹詈参竺竺篇舢黼觥槲删黼榭含 如竺竺。墨篓鬈：鬻鬻：慕荔。 水层参数竺攀竺三三耄基凳幂i 筹焉磊茹慕某波动 黼竺莩篓：慧黧恭翥篡淼和 与海潮载荷效应t 无关，从而0 鼠据( 1 1 ) 式) 再群析肼中足8 ”3 麓：篡竺怒三誊嚣鬈篙 式，在2 4 小时内，某一固定点工。处j 用。种仃刚毋。8 2 4 在海底延伸的滨海承压含水层中水头波动的数学模型厦其解析解 起的地下水水头波动的2 5 个精确数据( 每隔- - 4 , 时生成一个数据) 。然后再对这2 5 个数据分别用一0 0 2 米到o 0 2 米之间的随机数进行扰动，这些随机数由f o r t r a n 随 机函数生成，表示观测误差，从而得到了2 5 个“观测”数据。然后假设参数a 和矿 是未知的，从而已知的数据有海潮数据和“观测”的水头数据。根据( 1 1 ) 式和j a c o b s 1 9 5 0 j 的解分别求参数口和盯的值，即为“估计值”。通过比较参数a 的“估计值” 和“真实值”即可看出淤泥层对地下水波动的影响。 假设海潮为半日潮，频率= o 5 0 6 1h ，波幅a = 1 0m 。观测井安置在承 压含水层内陆区上= 8 9 4m 处。含水层各参数为：导水系数r = 1 2 0 0m 2 d - 1 ，贮水 系数s = o 0 0 0 5 ，淤泥层厚度m = 2 21 t i 。淤泥层与含水层的渗透率之比为 k k = o 0 1 。用这些数据得到两参数的“真实值”分别为口= 0 0 0 2 2 5m 1 ，盯= 2 0 。 根据( 1 1 ) 式，同时利用最小二乘法解下式以求得到a 和盯的估计值 咖善h s i l t ( 彬一，小6 j 】2 ( 2 3 ) 其中 j ( = l ，2 5 ) 是矗处观测井中每隔一小日扩观测的”地f 水的水头“观测值” h s 。n ( x o ，t j ；n ，口) 是由( 1 1 ) 式解得的水头数据，t ，= 一1 是第j 个观测时间点。然 后用j a c o b s 1 9 5 0 的解代替( 2 3 ) 式中的趣m ( x o ，0 ；d ，盯) ，j a c o b s 1 9 5 0 的解就相 当于l i m 。( 焉，t ，；口，矿) ，解此最小二乘法问题得到参数口的估计。结果见表t 。根 o - 瑚 。 据j a c o b s 1 9 5 0 的解，还可以用海潮波动和地下水波动之间的波幅衰减法或时滞法 来估计参数a 。结果见表i 的后两栏。( 1 1 ) 式中考虑了淤泥层的存在，从表1 中可以 看出，以( 1 1 ) 式为基础的最小二乘法余项( l s r ) 要比基于j a c o b s 【1 9 5 0 】解的最d - - 乘法余项小一个数量级。用( 1 1 ) 式估计得到的参数值与“真实值”十分接近，而“真 实值”和估计值之间的误差是由于水头的大小为一o 0 2i l l 到o 0 2m 的“观测”误 差产生。由于j a c o b s 1 9 5 0 】忽略了淤泥层，所以用j a c o b s 1 9 5 0 的解法估计参数 在海底延伸的滨海承压含水层中水头波动的教学模型及其解析解 口，以及其他等效参数，诸如渗透系数r s 、观测井距离a x 0 ，都会产生很大误差。 基于j a c o b s0 9 5 0 解法的波幅衰减法和时滞法之间产生的估计偏差也很重要，这也 表明。在些早期的研究中，如d r o g u ee ta 1 1 9 8 0 ，e r s k i n e t 9 9 1 ， i r e 旬a n d j o h n s t o n 1 9 9 8 和m e m t t 2 0 0 4 】，所论及的波幅衰减法和时滞法之间在参数估计上 产生偏差的主要原因可能也是忽略了淤泥层的存在。 表1 用各种方法进行参数估计时，淤泥层的存在与否对问题结果影响 5 结论 滨海承压含水层通常会延伸海中定距离，这一事实已被许多研究者所发现， 并对海潮引起的水头波动进行了解析和数值模拟研究。在他们的诸多研究中都假设 含水层在海底终端处与海水水力直接相连，忽略了含水层在海底终端与海水之间通 常存在的淤泥层。本文首次考虑了这种淤泥层边界，得到了带有淤泥层边界的滨海 承压含水层中由海潮引起的地下水水头波动的解析解。 含水层中水头波动受海潮载荷效应和淤泥层透水性共同影响。海潮载荷效应是 通过延伸到海中的顶板对含水层中的水头波动产生影响的。当离岸区项板k 度和淤 泥层透水性分别为某些特殊值时，本文的解析解就与前人考虑的几种情形下的解一 致。并且对于离岸区顶板长度来说存在两个临界值：上临界值和下i 临界值，当离岸 2 6 在海底延伸的滨海承压含水层中水头波动的数学模型厦其解析解 区项板跃度大于上临界值时，内陆含水层中的水头波动受淤泥层影响极为微弱，并 且海岸线处的承压水头在海潮载荷效应控制下，波幅趋于常数l 2 ，相位移趋于零； 当离岸区顶板长度较大但仍在上临界值范围内时，受海潮载荷效应和淤泥层透水性 联合影响的含水层中的水头波动情况较为复杂，不再呈单调变化；当离岸区在海中 延伸距离小于下临界值时，含水层中水头波动受海潮载荷效应影响较弱，而主要受 淤泥层透水性的控制。 在含水层内陆区，承压含水层水头的波动符合j a c o b 1 9 5 0 的解，即沿着内陆方 向波幅指数削弱，而相位移随距离的增加线性递增。离岸区隔水项板和露头处淤泥 层的存在使内陆区中水头波动产生了一个波幅缩小率和相位移，二者均只与淤泥层 透水性和离岸区顶板上的海潮载荷效应有关。 依赖于离岸区顶板长度和淤泥层透水性的相位移的变化也有多种不同情况。如 果不存在离岸区含水层，即承压含水层在海岸线处临海而止，相位移总是正的且随 透水性的增大丽递减：如果含水层在海中延伸距离较小，当淤泥层透水性较小时则 会产生一个最大为一万一的负相位；随着含水层在海中延伸距离的增加，相位移的 变化范围减小，趋势平缓；如果离岸区含水层在海中的延伸距离大于顶板长度的上 临界值，则相位移趋于零。 最后我们用一个假设的例子对含水层作参数估计，发现忽略边界淤泥层会在参 数估计中产生较大偏差。以往使用波幅衰减法和对滞法所估计得到的参数往往存在 较人的不协调，忽略淤泥层的存在可能是导致这种不协调的主要原因。 在前人所作的诸多研究成果基础上，本文对延伸到海中且海底露头处具有淤泥 层的滨海承压含水层中的水头波动进行了模拟研究。本文着重考虑了海底露头处淤 泥边界层对滨海承压含水层中水头波动的影响，局限之处在于所考察的含水层结构 本身为单一承压含水层，没有涉及来自地表潜水含水层的越流情况和其他补给等情 况。这些情况有待日后更进一步的研究解决。 在海底延伸的滨海承压含水层中水头波动的数学模型及其解析解 附录( a p p e n d i x ) ：推导求解 根据( 3 a ) 式，令 趣寸) = ac o s ( o j t ) = r e ae x p ( i c of ) ；g e e r e 【】表示其后【】中表达式的实部，i = j 。 ( a d 据此，若能求得满足实系数线性微分方程( 1 ) ，( 2 ) ，( 5 ) ，( 6 ) ，( 7 ) 和( 8 b ) 的复数解 h ( x ，f ) ，则其实部 h ( x ，f ) = r e h ( x ，f ) 】 就是7 1 n ( 1 ) ，( 2 ) ，( 5 ) ，( 6 ) ，( 7 ) 和( 8 b ) 的解。 ( a 2 ) 设h ( x ，t ) 中两实变量z 和t 独立，利用分离变量法将h ( x ，f ) 分离变量 h ( x ，f ) = a x ( x ) e x p ( i o ) f )( a 3 ) 这里x ( x ) 是关于z 的未知函数，将( a 3 ) 代入上述h ( x ，f ) 满足的六个方程中。并约 去公因子a e x p ( i 0 9t 1 ，从而得到 对于含水层离岸区， 川小半球) - 一丁i o g s 。 - l x 0 ，- - o o t + o o ) 对于内陆区含水层， ”( 工) 一- 了i c o s z ( x ) = 。， x 。，一o 。 ， 棚 新的边界条件和连续性条件是 x ( + ) = 0 l ，i 。m 。x ( 工) _ l ，i 柑r az ( z ) ( a 6 ) ( a 7 ) 在海底延伸的滨海承压含水层中水头波动的数字模型及兵解析辫 l 舢i r a x ( x ) = 1 船x ( 功 8 x ( 一l ) 一口爿( 一工) 十口= 0 ( a 9 ) 其中是由( 9 d ) 式给出。微分方程( a 4 ) 和( a 5 ) 的通解为 石( 石) = c le x p a ( 1 + i ) x 】+ c 2 e x p 一a ( 1 + i ) x + 厶，一l z 0 ( a 1 0 b ) 其中c l 、c 2 、c 3 和q 是四个复系数。再由边界条件和连续性条件( a 6 卜( a 9 ) ，可 以解得 c】=一每(a11) g = 詈羔专c x p 刮l + i ) 小罟妄等e x p 【叫l + i ) 牛d e 州f ( 心) c3=0(a13) c 4 = 鲁十c 州r - 1 - _ _ 堕百i 鲁e 印刚1 + i ) 目+ 罢警e x p m 蝴竺和喈) 其中7 7 和f 分别由( 9 j ) 和( 9 k ) 式给出，是c 2 实部和负的虚部。将( a 1 1 ) 一( a 1 4 ) 式代入方 程( a l o a ) 和( a 1 0 b ) ，再代入方程( a 3 ) 则可得到扩展后的复函数n ( x ，f ) ： 一l - 2 r - a e = + i 【- + a ( 吁一i 州一叫- l x o ， ( a 1 5 a ) ( a 1 5 b ) 再根据方程( a 2 ) ，取其实部睦口得到原方程的解 ( 五t ) ，即正文中( 9 a ) 和( 9 b ) 式a 在海底延伸的滨海承压含水层中水头波动的数学模型厦其解析解 m a t h e m a t i c a lm o d e la n da n a l y t i c a ls o l u t i o no f t h et i d a lf l u c t u a t i o n i nac o a s t a lc o n f i n e da q u i f e re x t e n d i n gu n d e rt h es e a a b s t r a o t ：i nt h i sp a p e r , am a t h e m a t i c a lm o d e lw a sb u