（机械制造及其自动化专业论文）形位误差评定算法及评定系统的研究.pdf

中文摘要 中文摘要 摘要：形位误差是评定机械零件的重要指标，其评定方法的准确程度影响着机械 零件质量的评定。本文对形位误差的国内外研究现状进行了综述，指出了存在的 问题，然后依据2 0 0 4 年新颁布的相关国家标准，归纳给出了形状误差评定的数学 模型，设计了形位误差评定的优化算法，并且在此基础上构建了形位误差评定系 统，实现了评定软件，主要内容有： 1 主要根据g b t1 9 5 8 2 0 0 4 中形状误差的相关规定详细建立了各种项目评定 方法的数学模型，以此设计了用遗传算法和黄金分割算法寻优的误差评定算法： 分别完成了平面内直线度误差和空间直线度误差的各三种评定方法的算法；平面 度的两种评定方法的算法；圆度的四种评定方法的算法和圆柱度的四种评定算法。 2 提出了一种新的基于坐标旋转的凸包算法，并将其运用在对圆度误差的最 小外接圆评定算法中，减小计算量。 3 构建了形位误差评定系统结构，将其分为测量、误差分离和数据评定三个 部分，并详细构建了数据评定部分的功能模块。 4 运用v c + + 工具实现了形状误差的评定系统。算法编码以功能模块为单元 实现，操作界面采用m f c 编码实现，图形显示采用o p e n g l 。利用文献数据对所 设计的形位误差系统和算法进行了实例验证，验证了本系统和算法的正确性。 关键词：形位误差评定；遗传算法；黄金分割法；凸包算法 分类号：t h l 6 4 a b s t r a ( x a b s t r a c t a b s t r a c t ：f o r m p o s i t i o ne r r o ri sa l li m p o r t a n te v a l u a t i n gi n d i c a t o rf o rp i e c ep a r t t h ep r e c i s i o no f t h ee v a l u a t i n gm e t h o dd e c i d e st h ea s s e s s i n gq u a l i t yo f p a r t s t h i sp a p e r m a k e sas u m m a r yo fr e s e a r c ho nf o r m - p o s i t i o ne r r o ra th o m ea n da b r o a d ，a n df i n d st h e p r o b l e mo na l g o r i t h mr e s e a r c h t h e na c c o r d i n gt ot h en e wg b ，m a t h e m a t i c a lm o d e l so f t h ef o r me r r o re v a l u a t i n gm e t h o di se s t a b l i s h e d ，a n da r i t h m e t i cw i t ho p t i m i z a t i o n a l g o r i t h mi sd e s i g n e d ，b a s e do nw h i c h ，p a p e re s t a b l i s h e st h es y s t e mf o re v a l u a t i n g f o r m p o s i t i o ne r r o r , a n dd e v e l o p se v a l u a t i o ns o f t w a r e t h ed e t a i l sa sf o l l o w ： 1 b a s e do nr u l e sa b o u tf o r ma n dp o s i t i o ne r r o ri ng b t19 5 8 2 0 0 4 ，m a t h e m a t i c a l m o d e l so ff o r me r r o ra r ee s t a b l i s h e d ，a n da r i t h m e t i cf o ra l lk i n d so fe l e m e n t sw i t h o p t i m i z a t i o na l g o r i t h mi n c l u d i n gg e n e t i ca l g o r i t h ma n dg o l d e ns e c t i o nm e t h o di s d e s i g n e d 2 t h ea u t h o rp r o p o s e dan e w r o t a t i n gc o o r d i n a t e sc o n v e xh u l la l g o r i t h m ，a n du s i n gi t i na s s e s s i n gr o u n d n e s st or e d u c et h ec o m p u t a t i o n 3 as y s t e mf o re v a l u a t i n gf o r ma n dp o s i t i o ne r r o ri se s t a b l i s h e d ，w h i c hi n c l u d i n g p a r tm e a s u r e m e n t ，e r r o rs e p a r a t i o na n dd a t ae v a l u a t i o n a n dt h e n ，t h em o d u l eo fd a t a a s s e s s i n gi sb u i l t 4 as y s t e mo fe v a l u a t i n gf o r m p o s i t i o ne r r o ri se s t a b l i s h e db yu s i n gt h et o o lo f v c 抖t h ea u t h o rp r o p o s e st h ef u n c t i o nm o d u l e m e t h o dt or e a l i z ea l g o r i t h me n c o d i n g ； a n do p e r a t i o ni n t e r f a c er e a l i z e dw i t hm f c ；m e a n w h i l eg r a p h i c sd i s p l a ym o d u l ea d o p t s o p e ng lt e c h n o l o g y t h ec o r r e c t n e s so fa r i t h m e t i ca n du s e f u lo fs o t t w a r ew a sp r o v e d t r o u g hal o to fe x a m p l e si nt h i sp a p e r k e y w o r d s ：f o r ma n dp o s i t i o ne r r o re v a l u a t i o n ；g e n e t i ca l g o r i t h m ；g o l d e ns e c t i o n m e t h o d ；c o n v e xh u l la l g o r i t h m c l a s s n o ：t h l 6 4 独创性声明 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者躲蕊签字日期岬年多月彳日 7 1 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 提供阅览服务，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。 同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：夏镪邑矸秀 导师签名： 签字日期妒俨f 月形日 动绍 签字日期：细口甲年厂月6 日 ， 致谢 本论文的工作是在我的导师刘伟副教授的悉心指导下完成的，刘老师严谨的 治学态度和科学的工作方法给了我极大的帮助和影响。在此衷心感谢两年来刘老 师对我的关心和指导。 姚燕安教授、徐文胜副教授、孔繁征、黄铁球老师悉心指导我完成了实验室 的科研工作，在学习上和生活上都给予了我很大的关心和帮助，在此向姚老师、 徐老师、孔老师、黄老师示衷心的谢意。 在实验室工作及撰写论文期间，郭玉兵、田耀斌、王曦鸣、陆国等同学对我 论文中的算法研究和实验室工作给予了热情帮助，在此向他们表达我的感激之情。 另外也感谢我的父母和亲人，他们的理解和支持使我能够在学校专心完成我 的学业。 再次向所有关心、支持和帮助过我的人们表示衷心的感谢，并致以深深的敬 意。 作者：孔德隆 2 0 0 9 6 绪论 1 绪论 1 1 概述 零件在加工过程中，由于机床一夹具一刀具系统存在一定的几何误差，以及加 工中出现的受力变形、热变形、振动和磨损等的影响，使被加工零件的几何要素 不可避免地产生误差。这些误差包括尺寸偏差、形状误差和位置误型。形状误差 包括宏观几何形状误差、波度和表面粗糙度，本文涉及几何形状误差。 形状和位置误差( 简称形位误差) 对零件的使用功能有很大的影响【1 】。例如， 光滑圆柱形工件，由于存在形状和位置误差，在间隙配合中，会使间隙分布不均， 加快局部磨损，从而降低零件的工作寿命；而在过盈配合中，则会使过盈量各处 不一，进而影响联结强度。总之，零件的形位误差对机器或仪器的工作精度、寿 命等性能均有很大的影响。对精密、高速、重载、高温、高压下工作的机器或仪 器的影响更为突出。因此，为了满足零件装配后的功能要求，以及保证零件的互 换性和经济性，必须对零件的形位误差予以限制，即对零件的几何要素规定必要 的形状和位置公差。 因此，形位误差的测量评定尤为必要。精确的形位误差评定，不但能准确判 定出合格产品，而且能指导加工过程，生产出高质量的产品。 1 1 1形位误差的定义【2 】 新国标g b t1 9 5 8 2 0 0 4 产品几何量技术规范( g p s ) 形状和位置公差检测 规定中定义：形位误差是指被测提取要素对其拟合要素的变动量。 其按特征分为形状误差和包括定向、定位、跳动的位置误差。 形状误差：测提取要素对其拟合要素的变动量，拟合要素的位置应符合 g b t 1 1 8 2 规定的最小条件，即被测提取要素对其拟合要素的最大变动量为最小。 最小条件是评定形状误差的基本原则，在满足零件功能要求的前提下，允许采用 近似方法来评定形状误差。 定向误差：被测提取要素对一具有确定方向的拟合要素的变动量，拟合要素 的方向由基准确定。 定位误差：被测提取要素对一具有确定位置的拟合要素的变动量，拟合要素 的位置由基准和理论正确尺寸确定，对于同轴度和对称度，理论正确尺寸为零。 北京交通大学硕士论文 圆跳动：被测提取要素绕基准轴线做无轴向移动回转一周时，由位置固定的 指示计在给定方向上测得的最大与最小示值之差。 全跳动：被测提取要素绕基准轴线做无轴向移动回转，同时指示计沿给定方 向的理想直线连续移动( 或被测提取要素每回转一周，指示计沿给定方向的理想 直线做间断移动) ，由指示计在给定方向上测得的最大与最小示值之差。 形位误差共1 4 项，具体分类如下表1 - 1 。 表卜1 形位误差分类 被测要素 误差分类 误差项目 直线度 平面度 单一要素形状误差 圆度 圆柱度 线轮廓度 单一要素或关联要素形状或位置误差轮廓度误差 面轮廓度 平行度 定向误差垂直度 倾斜度 关联要素位置误差 同轴度 定位误差对称度 位置度 圆跳动 跳动 全跳动 1 1 2形位误差的检测 对于形位误差的检测新国标产品几何量技术规范( g p s ) 形状和位置公差检 测规定g b t1 9 5 8 2 0 0 4 中也有相关规定，它规定了形状误差和位置误差的检测 原则、检测条件以及检测方案。 目前用的最多的形位误差检测工具是三坐标测量计和圆度圆柱度测量仪。三 坐标测量仪是一个通用的测量工具，它几乎可以测量所有的几何特征数据，圆度 圆柱度测量仪属于专业的、针对圆度、圆柱度和同轴度等误差项目的测量工具， 它测量的效率更好、精度更高，测量精度相比于三坐标测量仪高一个数量级。 a 三坐标测量机【3 j 坐标测量的基本原理就是将被测物体放入允许的测量空间，精确的测出被测 2 绪论 零件表面的点在空间的三个坐标的数值，再将这些点的坐标数值经过计算机数据 处理，拟合形成测量元素，并得到其形状和位置误差及其它所需的几何量数据。 世界上第台现代意义上的三坐标测量机由英国f e r r a n t i 公司于1 9 5 6 年开 发成功；1 9 6 2 年f i a t ( 菲亚特) 公司的质量控制工程师f r a t o r i o 先生在意大利 都灵市创建了d e a ( d i g i t a le l e c t r o n i ca u t o m a t i o n ) 公司，成为世界上第一家专 业制造坐标测量设备的公司。随后测量机测量系统的机械性能、控制技术和软件 技术迅猛发展，现在测量机已从早期的手动型、机动型发展为数控型，测量软件 也具备了数据处理、测量控制等功能，并且坐标测量技术与软件技术的紧密结合， 使其不但具有测量功能，也成为设计、工艺、制造和检测环节中的不可缺少的重 要设备。 我国的坐标测量技术的研究开始于上个世纪七十年代，迄今已有中国航空精 密机械研究所、青岛前哨英柯发测量设备有限公司、上海机床厂、北京机床研究 所等近1 0 个生产厂家进行生产。但由于三坐标测量机技术含量高，特别是控制的 复杂与难度，国内迄今还没有完全形成自己的品牌产品，比较优秀的基本上都是 与国外合资，核心技术来源于国外。 目前，三坐标测量仪主要用在逆向工程上，很少涉及到形位误差的测量评定 上面来。随着三坐标测量技术的发展，用途越来越光，利用其广泛的适应敝必 将在形位误差测评中有所运用。 b 圆度圆柱度仪 它是专业测量圆度、圆柱度、测量仪是计量仪器，是上世纪5 0 - - 6 0 年代发展 起来的应用性精密测量技术，近年来又具有了进一步的发展，仪器本身是机、光、 电、气、软件一体化的技术密集型高科技产品，圆度圆柱度的测量及其相关问题 国内外也进行了较为深入的研究，上世纪6 0 年代中国计量科学研究院首先在国内 开展了圆度形状方面的研究和圆度形状量值的计量检测和量值传递工作，并在 1 9 9 6 年参加了“形状测量国际比对、2 0 0 2 年提出了“圆柱度课题，并选择哈 工大作为课题的合作伙伴，进行此项课题。现今国内已有多家公司生产( 商品型) 的圆度圆柱度测量仪在市场上销售，一些公司已形成了部分系列产品，但主要市 场为国外产品( 商品型) 占据。 国内生产圆度圆柱度测量仪的主要公司有：北京机床研究所、中原量仪厂、 广州威尔信、上海研润光机科技有限公司等。国外生产圆度圆柱度测量仪的主要 公司有：英国的泰勒公司、德国马尔公司和霍梅尔公司、r 本三丰公司，国内外 生产的圆度圆柱度测量仪分为转台式和转轴式两类，转轴式圆度圆柱度测量仪 主要适用于大型零件的测量，市场上主要以转台式圆度圆柱度测量仪为主，调心 调平方式主要有手动( 含数显) 和自动两类，目前调心调平正在向自动方式发展。 北京交通大学硕士论文 回转主轴主要采用气静压主轴，立柱和横臂大多采用滑动导轨，德国m a r f o r mm f u 8 0 0 采用气静压导轨。一般用途的圆度圆柱度主轴回转精度为0 0 5 - 0 0 7ui l l 。 m i t u t o y oa h 5 0 0 0 系列圆柱度仪的主轴回转精度为( 0 0 2 + 6 h 1 0 0 0 0 ) um ，立柱 和径向导轨的直线度分别为0 0 5um l o o m m 和0 5 | im 2 0 0 m m ；英国泰勒公司的 t a l y r o n d3 9 5 采用超精密回转主轴，其回转精度达到0 0 1um 。北京机床研究所 研制的3 c s 0 2 6 0 4 2 圆度仪圆柱度仪，主轴跳动优于0 0 2 5 u m ，导轨直线性 0 4 u m l o o m m 。 由上面介绍可以看出，国内生产的相关测量仪器和国外相比，硬件上精度相 当，但是落后的误差评定软件是国内仪器与国外的主要差距，其核心问题就在评 定算法之中。像英国的泰勒公司圆度仪评定软件，其评定系统的高效率，高精度， 使其在行业遥遥领先。因此，开发建立一套拥有自主产权的行为误差评定系统， 很有必要。 1 2 形位误差评定算法的研究现状 形位误差测量仪器的测量得到的数据只是直接的数据，通过误差评定算法的 计算才能得到其误差值。作为形位误差测评的另一重要方面，形位误差评定方法 与其测量一样是现代测量学的一个重点和热点。 ( 1 ) 国外研究现状 在形位误差评定理论及其数据处理方面的研究，国外起步较早，发展到现在 水平较高。其中英、德、只等先进的工业发达国家在这个领域的研究已经处于领 先地位，先进性可直接从英、德、日产品所配套的软件功能看出，但是受商业机 密的保护，其算法几乎没有详细的介绍；另一方面从学术文献中可以国外先进研 究状况的端倪。 a 直线度、平面度算法研究 关于直线度与平面度误差的评定，在国外发表了不少论文。英国学者 a j s c a r r 4 】提出用最小二乘直线和最小二乘平面为参考要素，分别评定直线度误 差和平面度误差。印度学者t s r m u r t h y 5 j 等建立了直线度误差和平面度误差最 小二乘和垂直最小二乘评定法的数学模型，并应用蒙特卡罗法、单纯形替换法 ( n e l d e r - m e a d 法) 和螺旋线搜索法等几种最优化算法求解最小区域直线度和平面 度无误差值。美国学者s h o s s i e nc h e r a g h i 6 】等提出了一种求解最小区域直线度 和平面度误差的最优化方法。该方法首先将直线度和平面度误差评定表示为具有 线性目标函数和非线性约束条件的非线性规划问题，然后通过变量代换和去除多 余约束的方法，将原始问题转化为只有两个不等式约束的线性规划问题。它是利 4 绪论 用直线搜索技术，通过对7 组直线度数据和5 组平面度数据的计算并与现有算法 比较，表明该算法的计算精度较高，但提供的运算时间来看，该算法的收敛速度 并不快。 b 圆度、圆柱度算法研究 关于圆度和圆柱度误差评定的数学模型与算法，在国外也有不少相关的论文 发表。英国学者d g c h e t w y h d 7 】等建立了圆度误差最小区域、最小外接圆和最大 内接圆的线性规划模型，研究了参考蜗线与圆之间的关系，说明用参考蜗线代替 参考圆不但在计算机上便于处理，而且在实际测量条件下精度也足够高。 t s r m u r t h y 8 】等对最小二乘法、垂直最小二乘法、正交多项式法、表面展开法等 几种圆柱度误差评定的数学模型进行了总结和讨论，通过对多组实际数据的运算 结果进行对比，表明用垂直最小二乘法得到的圆柱度误差值最小。日本学者【8 】用最 小二乘法和最小区域法对圆度和圆柱度误差进行了评定，从3 个试件的圆柱度误 差评定结果看，用最小二乘法和最小区域法评定时相差较大。其中一例两种评定 的结果分别为5 8 6 u m 和3 5 2 u m 。美国学者u r o y 9 】等基于计算几何学的理论提出 了一种求最小区域圆柱度误差的方法，利用平面点集凸包的v o r o h o i 图的性质， 可求得最小区域圆圆心的准确位置，从而得到圆柱度误差的准确值。美国学者 k i s t e n c a r r 1 1 】等建立了用最小区域法、最小外接圆法和最大内切圆法评定圆柱度 误差的非线性规划模型，通过一系列线性规划区逼近非线性规划的解，实例表明 评定结果的精度很高。 ( 2 ) 国内研究现状 国内有关形位误差的测量与评定理论的论文这些年发表了很多。研究范围由 最初的直线度、平面度和圆度误差逐步扩大到对圆柱度、圆锥度、对称度、平面 孔组位置及跳动等位置误差项目的评定。在算法研究方面，由单纯地套用最优化 理论中现有的算法，逐步发展到结合形位误差的特点对现有算法加以改进，以提 高它们的运算精度和运算速度，同时还提出了不少实用的新算法。并且在理论研 究的基础上，根据实际生产地需要已经研究出了一些微机控制的形位误差测量装 置和在线测量系统。 a 直线度、平面度的研究 国内对于直线度和平面度误差评定的研究，已取得了一定得成果。例如，张 玉等【l3 】研究了直线度和平面度误差的最小二乘评定法，通过“正交化 处理，简 化了计算公式。他们还提出了求解最小区域直线度误差的凸多边形法，并通过实 例计算说明了这种方法计算精度和速度优于黄金分割法等直线搜索技术。韩祖行【h 】 提出了基于最小区域法，采用p o w e ll 优化方法进行评定直线度和平面度，该方法 数学模型简单，但在测量点坐标的任意性方面需进行检测或变换，因而影响运算 5 北京交通大学硕士论文 的速度。施杰等【1 7 】用网格法、0 6 1 8 法、惩罚函数及单纯形替换法求解最小区域的 平面度误差，给出了7 组数据的计算结果，从这些结果来看，用不同算法求得的 误差值有时相差较大。何真、粱晋文等【l8 】利用计算机对平面度误差测量数据进行 分析，绘出了目标函数的等值线，从而验证平面度误差目标函数为单谷函数。张 善钟等【1 9 】提出了求平面度误差的“有序判别法，方法以最小区域准则为基础，直 接以排序的高点和低点构成的初始平面进行最小包容区域的评定和搜索，最终求 得平面度的误差值。 b 圆度、圆柱度的研究 关于圆度误差、圆柱度误差评定的数学模型和算法国内也有了不少的报道。 张玉等【2 0 】研究了圆度误差的最小二乘评定法，提出了用半径偏差表示的最小二乘 圆圆心公式，使用十分方便。田朝平等【2 l 】提出利用置换算法评定圆度误差，该方 法利用置换原则来不断改变评定中心的位置，从而计算出符合最小条件的圆度误 差，具有一定的通用性。梁荣茗【2 2 】介绍了四种圆柱度误差的计算法：最小区域法、 最小二乘法( 包括两种最小二乘法1 、最d * - 乘法2 ) 、最小外接圆柱法、最大内 接圆柱法，采用了方向加速和步长加速法计算。但文中并没有给出最小二乘圆柱 参数的计算公式，而是采用优化的方法去逼近。从计算实例看，用后三种方法得 到的结果与最小区域法得到的结果相比，平均相对误差小于5 ，但优化算法的收 敛速度较慢。范裕健【2 3 建立了以直角坐标数据表示的圆度、圆柱度误差评定的无 约束最优化模型，将各种评定方法统一表示成极大值极小化形式，并使用求解非 光滑极值的o v e r s h o o ts e a r c h 方法和b f g s 变尺度法求解，并利用删点技术提高 收敛速度。赵泽祥、赵卓列2 4 】利用均方逼近原理分别对圆度、圆柱度误差的评定 进行研究，推出了适用于单螺旋线测量法和双截面加单螺旋线测量法确定理想轴 线的参数公式，虽然该方法比最小区域法评定值偏大，但对于一般精度的工件能 够满足要求。 1 3 课题研究的意义 关于形位误差评定的研究，前人已经做了很多工作。纵观其研究能发现，其 中大都集中在针对算法的研究上，关于实用软件的开发出现的不多，更缺乏系统 化的形位误差评定系统的研究。就目前已经工程化的形位误差评定软件来说，国 外的评定精度高，效率高，但是其算法和系统结构属于商业机密、技术难点，国 人无法从中借鉴重要技术，所以不能从中得到更多启示。国内的现有形位误差评 定软件和国外的软件相比较评定效率不高，精度方面也存差距；其次缺乏算法的 集成，缺乏系统化的误差评定系统。因此，开发一个具有自主知识产权的形位误 6 绪论 差评定系统在国内显得尤为重要，本文将致力于探讨形位误差的评定方法，希望 对形位误差的评定的计算效率和计算精度上有所突破，并构建出完整的形位误差 评定系统。 1 4 论文的主要工作 1 4 1论文主要内容 从前一节的论述可以看出，在形位误差评定算法和系统方面，国内还需要花 大量的人力物力去追赶世界先进水平。对形位误差评定算法和评定系统进行研究 探讨，希望在这方面有所贡献。论文旨在建立一个形位误差评定系统，开发形位 误差评定软件，其主要工作就是根据国家标准中的相关规定，在数学模型的建立 和相关算法的进行一些研究，并构建形位误差评定系统，开发了相应的软件，主 要内容如下： ( 1 ) 系统归纳形状误差的评定方法和数学模型 根据国家标准中形状误差的定义和相关规定，探讨形状误差的相关概念和评 定方法，建立了各种评定方法的数学模型。 ( 2 ) 深入研究形状误差评定的算法实现 依据数学模型和相关的参考资料，设计各种评定方法的优化方法实现算法， 以求高效的完成形位误差的评定。 ( 3 ) 详细构建形位误差评定系统 论文将建立一个完整的形位误差评定系统，包括所有形状误差和位置误差评 定项目，使形位误差的评定系统化。 ( 4 ) 编码实现误差评定系统并进行实例测试 依据所设计的算法，运用v c + + 编码工具实现形状误差的评定软件，并使用 o p e n g l 对评定结果进行了可视化处理，使评定结果更为直观。并且利用已有的论 文数据对本文的算法进行了验证，证明了算法的科学性、准确性和软件的正确性 和实用性。 1 4 2章节安排 本文共分六个部分： 第一章，主要介绍研究背景、意义、国内外技术现状、研究目的和内容。 第二章，介绍形位误差的评定模型。 7 北京交通大学硕士论文 第三章，形位误差计算机评定算法的设计，即运用优化算法( 黄金分割法、 遗传算法) 进行形位误差的评定。 第四章，形位误差评定系统的设计和编码实现。 第五章，实例验证。 第六章，研究工作贡献与展望。 1 5 本章小结 主要对形位误差的概念做了阐述；简述了2 0 0 4 年所颁布的形位误差系列相关 国家标准及进行检测的常规仪器：三坐标测量仪和圆度圆柱度测量仪；引入了与 测量仪器相对独立的形位误差评定方法，详细分析了国内外形位误差评定方法和 评定系统的研究现状和存在的问题，提出了本文的研究方向和和具体工作内容。 8 形位误差数学模型 2 形位误差数学模型 国家标准c b t1 9 5 8 2 0 0 4 中规定：形状误差是指被测实际要素相对其理想要 素的变动量，理想要素的位置应符合最小条件；最小条件是指被测实际要素对其 理想要素的最大变动量为最小。形状误差值用最小包容区域( 简称最小区域) 的 宽度表示，最小区域是指包容实际被测要素时具有最小宽度f 或直径妒的包容区 域，( 即按最小条件构成包容区域) ，各误差项目的最小区域的形状分别与各自的 公差带的形状一样；最小区域是评定形状误差的基本原则，但是在满足零件要求 的前提下，允许采用近似的方法来评定形状误差，而最小条件作为发生争议时的 最后仲裁依据【2 1 。 形位误差按其特征分为形状误差和位置误差，以下又分多种评定项目，如下 表即为形位误差分类。 悼线度 f 形状误差 翟 l 【圆柱度 i形状和位置误差 誉萋霪霪囊茎 耽谶1穗鬟 【 位置误差艨耋鬈 在本文中，只对其中的形状误差直线度、 2 1 直线度误差 位置度误差 圆跳动 全跳动 平面度、圆度、圆柱度进行探讨。 直线度误差是指实际直线对理想直线的变动量，直线度误差分为给定平面内、 给定方向和任意方向的直线度误差三种形式。下面本文就从平面直线度、给定方 向直线度、空间直线度进行阐述。 2 1 1平面直线的直线度误差 9 北京交通大学硕士论文 a 概念 给定平面内的直线度误差区域是在给定平面上两平行直线之间的区域，测量 点和该平行直线必须至少三点接触，形成“高、低、高或者“低、高、低接 触的情况，直线度误差是这两条平行直线之间的距离，如图2 一l 所示，厂为误差。 v 图2 - 1 平面直线度误差 b 数学模型 给定平面内的直线度误差的评定方法有最小区域法、最小二乘法和两端点连 线法，其中最小区域法评定出的误差值最小，作为最后仲裁依据。 ( 1 ) 最小区域法 如图2 - 2 ) 标，直线三腕为评定基准直线，评定直线度的两平行直线与直线k 平行且满足在直线方向上测量点与直线形成高、低、高( 或低、高、低) 相接触。 图2 - 2 平面直线度最小区域误差 直线度误差为【2 5 】： k = d 肥饼一d 膨w ( 2 1 ) 其中：d 脚和d 删分别为测量点相对于直线三船的偏离量的最大值和最小值， 且在直线上方取正值，直线下方取负值。 直线三肘z 的方程可以按以下方法确定： 设直线三腕的方程为： y = a x + b ( 2 - 2 ) 构造以下函数： f ( a ，b ) = m i n d m 埘一d 删r ) ( 2 3 ) 求出的函数的最小值即为直线度误差。 其中点到直线的距离可以由下式求得： l o 形位误差数学模型 西：掣 ( 2 圳 4 ( a 2 + 1 ) ( 2 ) 最小二乘法 如图2 - 3 所示，直线l u 为评定基准直线，评定直线度的两平行直线与直线厶口 平行。直线岱满足条件各测量点到厶岱的距离的平方和为最小。 图2 3 平面直线度最d , - 乘误差 直线度误差为【2 5 】 0 = d 此何一d 肥| 7 i r ( 2 5 ) d 脚和d 删分别为测量点相对于直线的偏离量的最大值和最小值。 直线三，。的方程按下面的方法确定： 设直线，。的方程为( 2 2 ) 式。求( a ，b ) 使得： f ( a ，b ) = m i n d i 2 ) ( 2 6 ) 其中d e 为各测量点到直线k 的距离，且在直线上方取正值，直线下方取负值。 d ；的求法如式( 2 4 ) 所示。 把从( 2 6 ) 中求出的a ，b 的值代入( 2 2 ) ，即可得出最小二乘拟合直线三，。，然 后由( 2 - 5 ) 求出直线度误差。 ( 3 ) 两端点连线法 如图2 4 所示，直线三雎为评定基准直线，该基准线为实际直线的两端点连线， 评定直线度的两平行直线与直线三8 e 平行。 图2 - 4 平面直线度两端点误差 l b e 北京交通大学硕士论文 直线度误差为【2 5 】： 如= d 脚一 ( 2 7 ) 其中d 脚和d 删分别为测量点相对于直线l 船的偏离量的最大值和最小值， 且在直线上方取正值，直线下方取负值。 直线三艇的方程按下面的方法确定： 由于直线过b 、e 两点，因此直线方程为： 羔玉：上边 ( 2 8 ) 一 y 。一y l 将直线方程统一到式y = 血+ b 则有： 彳：必 ( 2 9 ) 一而 曰= 亟二业鱼出 ( 2 一l o ) x n x t 把( 2 9 ) 、( 2 1 0 ) 代入( 2 2 ) 中得到直线三脏的方程，再由( 2 7 ) 式得到直线 度误差，点到直线距离的求法根据( 2 4 ) 式得到。 2 1 2给定方向直线度误差 a 概念 给定方向的直线度误差区域是在给定方向上两平行平面之间的区域，所有的 测量点必须包容在这两个平行平面之间，如图2 5 所示，为误差。直线度误差 是这两个平行平面之间的距离。 图2 5 给定方向直线度误差 i b 数学模型 根据g b l 9 5 8 2 0 0 4 附录二的要求，评定给定方向的直线度误差的方法为：首 先确定一个与直线方向和给定方向( 误差的评定方向) 都平行的平面s ，然后把实际 1 2 形位误差数学模型 直线上各点向平面s 上投影，最后在平面s 内对投影点进行评定，评定方法与平 面内直线度的评定方法一样。如图2 6 所示，直线l 为实际直线，平面s 平行于 给定方向t 和直线方向，l 为l 在平面s 上的投影。所求直线度误差就是平面直 线l7 的直线度误差。 图2 - 6 给定方向直线度误差示意图 设平面s 的方程为： a ( x x o ) + b ( y y o ) + z ( z z o ) = 0 ( 2 1 1 ) 其中：a 、b 、c 为与给定方向和直线方向正交的向量，可以由这两个方向向量 差乘得到。原贝l j _ l ：x o 、y 。、z 。可以取任意一点，对误差的评定结果不会有影响， 因此我们可取测量点中的一点。 实际直线l 上各点p ，( 五，y ，z ，) 在平面s 上的投影点p i ( ，少，z ，) ， p ，( t ，y ；，z ，) 可由下式求得： a ( x , - x o ) + b ( y i l y o ) + z ( z f l z o ) = 0 x iv 一x i ：丝r 二苎：z iv - - z l ( 2 1 2 ) abc 按照( 2 - 1 2 ) 式求出各投影点后，再按照平面直线度的评定方法进行评定，具 体求法见平面直线评定的相关章节。 如果需要评定两个相互垂直的方向的直线度误差，我们只要在两个方向上按 照上述方法分别进行评定即可。 2 1 3空间直线的直线度误差 a 概念 空间直线的直线度误差区域是一个圆柱面，该圆柱面必须包容所有的测量点， 满足所有的测量点必须在这个圆柱面所包容的区域之内。直线度误差是这个圆柱 的直径，如图2 7 所示，l 为实测直线，厂为误差值。 北京交通大学硕士论文 l 图2 7 给空间直线度误差 b 数学模型 空间直线度误差的评定方法同样有最小区域法、最小二乘法和两端点连线法， 其中最小区域法评定出的误差值最小，作为最后仲裁依据。 ( 1 ) 最小区域法 如图2 7 所示，直线三 | z ( l ) 为评定基准直线，评定直线度的圆柱以直线三舵 为轴线，且满足最小条件。 直线度误差为【3 】： 批= 2 尺肱 ( 2 1 3 ) 其中尺朋z 为误差区域圆柱的半径。 设直线l 腕的方程如式( 2 1 4 ) 所示： 生叠；必：王鱼 ( 2 1 4 ) ，竹 以p 各测量点到直线三彪的距离为d i ，最大值为d 脚= m a x ( d i ) = r u z 。 直线腕的方程按下面的方法确定： 设直线l 腕的方程为( 2 1 4 ) 式。求( 册，n ，p ，x o ，y o ，z o ) 使得： f ( m ，甩，p ，x o ，y ，) = m i n m )(一一15px oy oz 0m l n a 21 5 ) ，甩，j 2 m ， ( 一) 其中d ：可由以下空间点到空间直线公式得出： d f = ( 2 1 6 ) 对方程( 2 1 5 ) 进行优化求解使其满足最小条件，得到拟合直线k 的方程， 即可得直线度误差。 ( 2 ) 最小二乘法 如图2 - 7 所示，直线三岱( ) 为评定基准直线，直线昭与最小二乘直线三丛 平行。最小二乘直线丛满足条件各测量点到岱的距离的平方和为最小。 直线度误差为f 3 】： 1 4 形位误差数学模型 玩= 2 r t s ( 2 1 7 ) 其中r ，窜为误差区域圆柱的半径。 设直线l 岱( l ) 的方程如( 2 1 4 ) ，各测量点到直线三岱的距离为d ，n d ，是 胁，n ，p ，x o ，y o ，z o 的函数，由公式( 2 1 6 ) 得出，最小二乘函数为，则： f = f ( m ，甩，p ，x o ，y o ，) = m i n 艺d i 2 ( 2 1 8 ) 对( 2 1 8 ) 进行优化求解，得到最优参数m ，刀，p ，x o ，y o ，z o ，代入( 2 1 4 ) 得到 最小二乘直线三丛的方程，再以一定的方法求出评定基准直线k 的方程，然后根 据( 2 - 1 7 ) 求出直线度误差。 ( 3 ) 两端点连线法如图2 7 所示，直线舾( l ) 为评定基准直线，评定直线 度的圆柱以直线三船为轴线，平行于直线三施。直线三舾是测量的实际直线的两端 点的连线。直线k 的方程为： 旦：盟：盟 ( 2 1 9 ) 毛一x iy 一y lz 一z l 其中x l 、y 。、z 。、y 。、z 。分别是直线两端点的坐标。 根据l 盯以一定的优化方法求出直线雎的方程，各点到直线三肛的距离为d ，。 直线度误差为【3 】： # b e = 2 x m a x ( d ) ( 2 - 2 0 ) 2 2 平面度误差 a 概念 平面度误差是指实际平面对理想平面的变动量，其误差区域是两个平行平面 之间的区域，该平行平面必须包容实际平面，即满足所有测量点都在这两个平行 平面之间的区域内，平面度误差值是这两个平行平面之间的距离，如图2 - 8 所示， 厂即为误差值。 b 数学模型 图2 - 8 平面度误差 x 北京交通大学硕士论文 平面度误差的评定方法有最小区域法、最小二乘法、对角线法和三远点法， 其中最小区域法评定出的误差值最小，作为最后仲裁依据。 对于各种评定方法平面度误差值厂均设为【2 5 】： f = d 脚一d m f ( 2 2 1 ) 式中d 脚、d 删为测点相对于评定基面的最大、最小偏差值，测量点在评定 基面的上方为正，反之为负。 ( 1 ) 最小区域法： 用最小包容区域法评定平面度误差，是以最小包容区域的包容平面s 舵作为评 定面，如图2 9 所示，由两平行平面包容实际轮廓时，实际轮廓与两平行平面至 少应有点接触。该四点应满足三角形准则或者交叉准则。 图2 - 9 平面度最小区域误差 a ) 三角形准则：一个极低点( 极高点) 在包容平面山的投影位于三个极高点 ( 极点) 所形成的三角形内( 包括三角形的边) 。 b ) 交叉准则：两个极高点的连线与两个极低点的连线在包容平面上的投影相 交。 设s 胞的方程为： z = a x + b y + c ( 2 2 2 ) 实际测量点到平面s 腕的距离为d ，( 点在平面上方取正值，下方取负值) ，d ， 是a ，b ，c 的函数，最小区域法平面度误差的评定基面参数应满足( 2 2 3 ) 。 f ( a ，b ，c ) = m i n d m a x d 删) ( 2 2 3 ) 其中d m 、d 删为点到评定基准平面距离的最大值和最小值，点在平面的上 方取j 下值，在下方取负值。点到平面的距离求法如下式： d ；：互4 坠些! ( 2 - 2 4 ) 4 - d , 2 ) ( 2 2 6 ) 再由( 2 2 1 ) 求得平面度误差，点到平面的距离由( 2 2 4 ) 求得。 ( 3 ) 对角线法与三远点法： 对角线法是以通过实际表面的一条对角线的两个对角点，且平行于另一条对 角线的理想平面s d ：作为评定基准平面，平面s 脱可由四个对角点得到。 三远点法是以通过实际平面上相距较远的三个点的理想平面s 即作为评定基 面，平面s 即的方程可以由三点的坐标直接求得。 误差评定基面s d ，、s 护求得以后，再根据( 2 2 1 ) 可以得到平面度误差。 2 3 圆度误差 a 概念 圆度误差是指实际圆相对于理想圆的变动量，其误差区域是两个同心圆所构 成的圆环带，实际圆必须包容在这两个同心圆之问，圆度误差值是这个圆环带的 宽度，即这两个同心圆的半径之差。如图2 一1 1 所示。 北京交通大学硕士论文 图2 1 0 圆度误差 b 数学模型 圆度误差的评定方法有最小区域法、最d - 乘法、最大内切圆法和最小外接 圆法，其中最小区域法评定出的误差值最小，作为最后仲裁依据。 对于各种评定方法均设评定基准圆的方程为： ( 石一) 2 + ( y - y 。) 2 = ，2 ( 2 - 2 6 ) 测量点到基准圆圆心的距离为： d f = 、( x i - x o ) 2 + ( 儿- y 。) 2 ( 2 - 2 7 ) 圆度误差值厂均为【2 5 】： f = d 尬一d m ( 2 2 8 ) 其中d 删、d 删为实际测量点到评定基准圆圆心的最大、最小距离。 ( 1 ) 最小区域法 以最小包容区域法评定圆度误差是以最小包容区域的包容圆( m z c ) 为评定基 准，包容实际被测轮廓的两个同心圆至少应有内外交替四点接触，如图2 - 11 所示。 f m z 图2 1 l 圆度最小区域圆误差 形位误差数学模型 根据( 2 - 2 7 ) 、( 2 2 8 ) 构造函数 f ( x 。，y 。) = 如= m m 脚一d 删) ( 2 2 9 ) 对( 2 2 9 ) 进行优化求解，得到最优参数( x 。，y 。) 再根据( 2 2 8 ) 得到圆度误 差。 ( 2 ) 最小二乘法 以最小二乘法评定度误差时，是以被测实际轮廓的最小二乘圆( l s c ) 作为评定 的基准圆，误差区域为包容实际轮廓且与最小二乘圆同心的两个圆之间的区域， 圆度误差值为两同心圆的半径差。如图2 1 2 示。 cl s 沪辩 蚣 、 图2 1 2 圆度最小二乘圆误差 f l s 所谓最小二乘圆，就是被测实际轮廓到该圆的距离的平方和为最小的圆，设 该圆的方程式( 2 2 6 ) ，则构造以下函数【3 】： f ( 吒，y 。，) = 儿= m i n ( 吐- r ) 2 ) ( 2 3 0 ) i = 1 对( 2 3 0 ) 进行优化求解，得到最小二乘圆的参( x o ，y 。，厂) ，将其带入( 式 2 - 2 8 ) 得到圆度误差。 ( 3 ) 最小外接圆法 以最小外接圆法评定圆度误差是以半径为最小的外接于实际轮廓的圆( m c c ) 为评定基准，至少由三点或两点通过该圆，且若两点通过该圆时，两点连线为该 圆直径，三点通过该圆时，三点连成的三角形为锐角三角形，所有的测量点都位 于该圆的内侧。如图2 1 3 示。 1 9 北京交通大学硕士论文 c 咿辩 犍 f m c c l 图2 - 1 3 圆度最小外接圆误差 根据( 2 - 2 7 ) 、( 2 - 2 8 )