（基础数学专业论文）效应代数中的模糊滤子及其与两种模糊代数系统之间的关系.pdf

效应代数中的模糊滤子及其与两种模糊代数系统之间的关系 刘东利 摘要自从1 9 3 6 年j , v o nn e u m a n n 和g b i r k h o f f 在他们的著作t h el o g i co f q u a n t u mm e c h a n i c s 中提出量子力学的量子逻辑问题以来，许多相关方面的研 究接踵而来f 1 - s 1 其中一种重要的研究途径就是通过提出一些代数结构来作为量 子逻辑的模型凹，从这方面来看，f k 5 p k a 提出了差分偏序集( d p o s e t ) n ， 推广了正交代数( 正交模偏序集) ，d f o u l i s 等人从另一不同观点提出了与之等 价的代数结构一效应代数吵另外，r g i u n t i o n 和t t g r e u l i n g 又给出了正交代数 的概念上述三种代数结构都是量子逻辑的推广本文主要研究效应代数中相关 问题 效应代数包含了量子逻辑中常见的正交模格和偏序集，它的应用十分广泛， 所以关于它的代数性质的研究是十分重要的，特别是它在量子逻辑的理论研究中 有不可忽视的作用理想和滤子是效应代数中十分重要的性质1 9 9 2 年，f o u l i s e ta 1 在正交代数中研究了局部滤子，2 0 0 1 年，j e n 6 a 和b u l m a n n o v 5 在格效应 代数中提出了理想的定义并对其作了研究【1 1 】2 0 0 3 年，尚云和李永明教授又在正 交代数中提出了广义理想的定义，得到了一些有趣的性质 3 , 1 2 1 之后不久，w u j i n g 在伪效应代数中提出了理想和滤子的概念除此之外，还有许多这方面的 研究 1 4 - 1 8 但是，效应代数中存不存在模糊滤子? 如果存在，它有什么好的性 质? 以及一连串相关问题到目前为止，尚无人涉及伪效应代数是近年来为研究 一些新出现的现象而提出来的【“，那么在伪效应代数中是不是也存在以上相关问 题呢? 本文就此问题进行了探讨 模糊逻辑与量子逻辑以及它们相应的代数系统是目前非经典逻辑体系中非 常活跃的研究分支m v 一代数是cc h a n g 于1 9 5 8 年提出来的，它是l u k a s i e w i c z 模糊逻辑系统相对应的代数系统它在效应代数中有着十分重要的作用；r o - 代 数是王国俊教授提出来的，它是与命题模糊逻辑系统相应的代数系统 2 0 , 2 1 】 效应代数与这两个代数系统究竟有着什么样的联系，也是值得探讨的问题 本文主要就上述问题进行了回答，共分为三部分： 文章的第一部分也就是第一章第一章通过引入模糊滤子的概念，研究了它 们的性质，并说明在效应代数中模糊滤子是获得经典滤子的重要工具我们给出 了强模糊滤子的定义( 强模糊滤子是模糊滤子的特殊情况) ，并证明了满足一些条 件的强模糊滤子的全体在我们定义的e 运算下形成一个d 偏序集我们还在全 序效应代数中定义了一个模糊 闭佘关系并证明这个模糊同余关系生成的模糊同 余类形成一个金序效应代数 文章的第二部分是第二章，第二章在伪效应代数中给出了模糊滤予和模糊理 想静概念瀵遗主右三角豹强念礤究了模糊滤予秘摸獭理想的性爨，彳寻舞了些 努酶结论 文章的第三部分即第三章，首先研究了效应代数中的相容性问题，给出了相 容的一些能艨，其次又在效应代数中引入了一种蕴涵算子，获得了这种蕴涵算子 的许多性麟；并通过这种蕴涵辫子建立了效应代数与m u 代数及场一代数的联 系，证明了众序效应代数是m u 代数，也是基础硒一代数，反之，凰一代数也可 粒是效磁数 关销调：效应代数伪效应代数滤子模糊滤子模糊理想模糊间余 相容蕴涵算子基础r 0 一代数m v 一代数 i i f u z z yf i l t e r si ne f f e c ta l g e b r a sa n dt h er e l a t i o n s h i p b e t w e e ne f f e c ta l g e b r a sa n dt w of u z z ya l g e b r a i cs y s t e m s l i u d o n g - l i a b s t r a c ti n1 9 3 6 j v o n ，n e u m a n na n dg b i r l d a o f fp r o p o s e dt h ec o n c e p to f q u a n t u ml o g i ci nt h e i rm o n o g r a p h “t h el o g i co fq u a n t u mm e c h a n i c s ”，a n dm a n yr e l a t i v ep a p e r sh a v eb e e np u b l i s h e d l l 一目o n eo fi m p o r t a n tm e t h o d si sp r o p o s i n gs o m e a l g e b r a i cs t r u c t u r ea qm o d e l sf o rq u a n t u ml o g i c 1 , 9 , 1 0 i nt h i sp o i n to fv i e w ，f k 卸k a i n t r o d u c e dt h ec o n c e p to fd p o s e t 9 1 ，w h i c hg e n e r a l i z e do r t h o a l g e b r a s ( o r t h o m o d u l a r p o s e t s ) ；w h i l eo t h e rp e r s o n ss u c h8 sd f o u l i sg a v et h ed e f i n i t i o n so fe f f e c ta l g e b r a si n a n o t h e rp o i n to fv i e w 吵i na d d i t i o n o r t h o a ! g e b r aw a si n t r o d u c e db yr g i u n t i o na n d h g r e a l i n g t h et h r e ea l g e b r a i cs t r u c t u r e sa b o v eg e n e r a l i z e dq u a n t u ml o g i c t h i s t h e s i sm a i n l yf o c u so nt h er e l a t i v eq u e s t i o n si ne f f e c ta l g e b r a sa n dp s e u d o e f f e c t a l g e b r a s e f f e c ta l g e b r a sc o n t a i nt h eu s u a ls t u d y i n gq u a n t u ml o g i c s ，s u c ha so r t h o m o d u l a rl a t t i c ea n dp o s e t s a si t ss p e c i a lc o s e s t h e i ra p p l i c a t i o n sa r ev e r yw i d e l y s o t h es t u d i e si nt h e i ra l g e b r a i cp r o p e r t i e sa x ev e r yi m p o r t a n t ，e s p e c i a l l yp l a yar o l e n o tt ob ei g n o r e di nt h eb a s i cs t u d yo fq u a n t u ml o g i c s i d e a i sa n df i l t e r sa r ev e r y i m p o r t a n tp r o p e r t i e si ne f f e c ta l g e b r a s i n1 9 9 2 ，f o u l i ss t u d i e dt h el o c a lf i l t e r si n o r t h o a l g e b r a s i l o i n2 0 0 1 ，j e n & ua n dp u l m a n n o v di n t r o d u c e d ，t h ed e f i n i t i o n so ff i l t e r s i nl a t t i c eo r d e r e de f f e c ta l g e b r a sa n ds t u d i e dt h e i rp r o p e r t i e s 1 “a n d ，s h a n gy u n a n dp r o f e s s o rl iy o n g m i n gg a v et h ed e f i n i t i o n so fg e n e r a l i z e di d e a l si no r t h o a l g e - b r a sa n dg o ts o m ei n t e r e s t e dp r o p e r t i e si n2 0 0 3 3 , 1 2 1 a f t e rat i m e ，d e f i n i t i o n so fi d e a l s a n df i l t e r si np s e u d o e f f e c ta l g e b r a sw e r ei n t r o d u c e db yw uj i n gi nh i sp a p e r 1 o f c o u r s e ，t h e r ea r em a n yp a p e r sa b o u tf i l t e r sa n di d e a l s 1 4 - 1 s 1 h o w e v e r ，d o e st h e r ee x - i s tf u z z yf i l t e r so rf u z z yi d e a l si ne f f e c ta l g e b r a s ? i ft h e ye x i s t ，w h a tp r o p e r t i e st h e y h a v e ? m a n yr e l a t i v eq u e s t i o n sd on o ta n s w e rt of a r p s e u d o e f f e c ta l g e b r a sa r ei n t r o - d u c e df o rs t u d y i n gs o m en e wc o m i n gt h i n g s 扎t h e n ，i st h e r er e l a t i v ep r o b l e m s a b o v ei np s e u d o e f f e c ta l g e b r a s ? t h i st h e s i st r i e st oa n s w e rt h e s eq u e s t i o n s f u z z yl o g i c sa n dq u a n t u m o g l e sa sw e l la st h e i ra l g e b r a i cs y s t e ma r ev e r ya c t i v e i nn o n - c l a s s i c a ll o g i cn o w m v - a l g e b r aw a si n t r o d u c e db yc c h a n gi n1 9 5 8 i ti st h e c o r r e s p o n d i n ga l g e b r a i cs y s t e mo fl u k a s i e w i c zf u z z yl o g i cs y s t e m s a n dm v - a l g e b r a s p l a yav e r yi m p o r t a n tr o l ei ne f f e c ta l g e b r a s 岛一a l g e b r aw a si n t r o d u c e db yp r o f e s s o r i i i w a n gg u o j u n i ti st h ea l g e b r a i cm o d e lo fp r o p o s i t i o nf u z z yl o g i cs y s t e mc + av e r y i n t e r e s t e ds y s t e mi n t r o d u c e db yw a n gh i m s e l f 2 0 , m j w h a ti st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e n e f f e c ta l g e b r a sa n dt h et w oa l g e b r a i cs y s t e m sa b o v e ? t h i si saq u e s t i o nt ob ew o r t h t os t u d y t h ep r e s e n tt h e s i sm a i n l yf o c u so nt h eq u e s t i o n sa b o v e t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ep a r t s t h ef i r s tp a r ti sc h a p t e r li nc h a p t e r l ，w ei n v e s t i g a t et h e i rp r o p e r t i e sb yi n t r o d u e i n gt h ed e f i n i t i o n so ff u z z yf i l t e r sa n df u z z yi d e a l si ne f f e c ta l g e b r a s ，a n dg e t t h ec o n c l u s i o nt h a tf u z z yf i l t e r sa r eau s e f u lt o o lt oo b t a i nt h er e s u l t so nc l a s s i c a l i d e a l s w eg i v et h ed e f i n i t i o n so fs t r o n gf u z z yf i l t e r s ( w h i c hi st h es p e c i a lc a s e so f f u z z yf i l t e r s ) ，a n dp r o v et h a tt h es e to fa l ls t r o n gf u z z yf i l t e r ss a t i s f y i n gs o m ec e r t a i n c o n d i t i o n sm a k e sad p o s e ru n d e rt h eo p e r a t i o new ed e f i n e d m o r e o v e r ，w ei n t r o - d u c eaf u z z yc o n g r u e n c ei nl i n e a r l yo r d e r e de f f e c ta l g e b r a sa n dp r o v et h a tt h ef u z z y q u o t i e nb yt h i sf u z z yc o n g r u e n c er e l a t i o na r ea l s ol i n e a r l yo r d e r e de f f e c ta l g e b r a s t h es e c o n dp a r ti sc h a p t e r 2 i nt h i sp a r t ，v eg i v et h ed e f i n i t i o n so ff u z z yf i l t e r s a n df u z z yi d e a l s t h o u g ht h ec o n c e p to fr i g h tt r i g l ea n g l ea n dl e f tt r i g l ea n g l e ，w e i n v e s t i g a t et h ep r o p e r t i e so ff u z z yf i l t e r sa n df u z z yi d e a l sa n dg e ts e v e r a lg o o dc o n e l u s i o n s t h et h i r dp a r to f t h i s a r t i c l ei sc h a p t e r 3i n t h i sp a r t ，a tf i r s t ，w ei n v e s t i g a t e t h eq u e s t i o n sa b o u tc o m p a t i b i l i t y , a n do b t a i ns o m ep r o p e r t i e sa b o u tc o m p a t i b i l i t y i ns e c o n d ) w eg i v ea ni m p l i c a t i v eo p e r a t i o na n dg e tm a n yp r o p e r t i e sa b o u tt h e i m p l i c a t i v eo p e r a t i o nt h e nw eg e tt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e ne f f e c ta l g e b r a sa n dm v a l g e b r a sa sw e l la s 凰- a l g e b r a su n d e rt h ei m p l i c a t i v eo p e r a t i o nw eg i v e w ep r o v e t h a tt h o u g ho u ri m p l i c a t i v eo p e r a t i o nj l i n e a r l ye f f e c ta l g e b r a sa r em v - a l g e b r a sa n d t h e ya r ea l s o - r o a l g e b r a s a n do nt h eo t h e rh a n d ，一a l g e b r a sa r ea l s oa b l et ob e e f f e c ta l g e b r a s k e y w o r d s ： e f f e c ta l g e b r a s ；p s e u d o e f f e c ta l g e b r a s ；f i l t e r s ；f u z z yf i l t e r s ； f u z z yd e a l s ；f u z z yc o n g r u e n c e s ；c o m p a t i b i l i t y ；i m p l i c a t i v eo p e r a t i o n ；- a l g e b r a s ； m v - a l g e b r a s 学位论文独创性声明 y9 0 0 7 2 3 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意。 作者签名：麦斗蝉日期：二丛匣篷 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期问论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅：有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索： 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：i = ) 孟至1日期：2 翌： 前言 正像数理逻辑是在数学基础研究中产生的一样，量子逻辑是在量子力学的研 究中提出来的i 2 2 】1 9 世纪末2 0 世纪初，经典物理学理论一方面是被认为发展到 了相当完善的地步，但另一方面，又在生产与科学试验面前遇到了很多严重的困 难| 8 j 这些困难依据所有的经典物理理论都无法给出合理的解释量子力学的概 念与规律就是在解决这些矛盾的过程中逐步揭示出来的，由此，量子逻辑作为量 子力学的逻辑基础应运而生 量子逻辑自产生之日起，就引起了众多物理学家，数学家，逻辑学家和哲学 家的广泛关注经过半个多世纪的研究发展，量子逻辑方面的研究硕果累累这 些成果一方面使得人们对量子力学中基本问题的认识提高到了一个深度另一方 面，也促进了某些纯粹数学学科的出现，如正交模格，b o d e 代数，正交代数等 对量子逻辑本身的研究大致有两种途径：一种是从态出发，研究态的凸结构，其 中闻名世界的g l e a s o n 定理就是这方面的重大成果【2 j ；另一种就是从可观测量出 发，即研究所有可观测量集的代数结构i 9 f 随着量子逻辑研究的发展，从代数的角度，一些新的量子结构被提出来作为 量子逻辑的模型1 9 9 2 年，f | m 徊玩定义了一种新的代数结构一模糊集上的差 分偏序集这种差分偏序集和“s h a r p 量子逻辑”，即正交偏序集和正交代数，有 着相同的性质1 9 9 4 年，f k k a 和f c h o v a n e c 把这种偏序集推广到了任意的 偏序集上，从而形成了差分偏序集( 下简称d 偏序集或d p o s e r ) d 偏序集如正交 代数，m v - 代数等结构，对解决非交换的测度论问题和非交换的概率问题起了重 要作用矧随后，为解决量子测量中“u n s h a r p 测量”的逻辑描述问题，d f o u l i s 等人于1 9 9 4 年给出了效应代数的概念吵它和d p o s e t 可通过转化运算而等价 效应代数包含了量子逻辑中经常研究的情形( 正交模格和偏序集) 因为效 应代数是较为广泛的量子结构，所以它的代数性质在量子逻辑的理论研究中有重 要作用理想和滤子是效应代数中的重要性质因此，在效应代数的研究中理想 和滤子的重要性日渐增强这方面的文章主要有：1 9 9 2 年，f o u l i se ta 1 等人 的文章( f i l t e r sa n ds u p p o r t si no r t h o a l g e b r a s ) ，研究了局部滤子并给出了一些重 要性质；2 0 0 1 年，j e n a a 和p u l m a n n o v d 提出了格序效应代数中理想的定义并对 其作了研究( 见他们的文章i d e n sa n dq u o t i e n t si nl a t t i c eo r d e r e de f f e c tm g e b r a s ) ；2 0 0 3 年，尚云和李永明又在正交代数中提出了广义理想的定义( 见他们的文章 g e n e r a l i z e di d e a l si no r t h o a l g e b r a s ) 2 0 0 4 年，w uj i n g 在其文章i d e a l s ，f i l t e r s ，a n d s u p p o r t si np s e u d o e f f e c ta k e b r a 8 中在伪效应代数中提出了理想和滤子的概念 模糊滤子之所以重要是因为它包含了经典滤子为其特殊情况从这点来说，在效 应代数中研究模糊滤子是有意义的 效应代数虽然推广了正交代数，但它的运算。具有交换性，这一点限制使得 量子力学中出现的一些新问题无法解决，为克服这一困难，2 0 0 1 年，d v u r e e e n 8 k i i 和v e t t e r l 西n 引入了另一种结构一伪效应代数( 参见 19 ) ，伪效应代数中的运算。 没有了交换性，从而推广了效应代数正如在效应代数中理想和滤子是重要的研 究工具一样，在伪效应代数中，理想和滤子也占有非常重要的地位同样伪效应 代数中模糊理想和模糊滤子的研究也是值得探讨的问题 在量子逻辑的研究中，m v 一代数一直是很重要的角色 2 3 - 2 5 1 另外，王国俊 教授在文献1 2 0 】中引入了一种形式系统d ，提出了相应的代数系统一风代数 效应代数与这两个代数系统有着什么样的联系，也是值得探讨的问题 本文的工作主要包括三个部分： 文章的第一部分也就是第一章，第一章通过引入模糊滤子的概念，研究了它 们的性质，并说明在效应代数中模糊滤子是获得经典滤子的重要工具我们给出 了强模糊滤子的定义( 强模糊滤子是模糊滤子的特殊情况) ，并证明了满足一些条 件的强模糊滤子的全体在我们定义的e 运算下形成一个d 偏序集我们还在全 序效应代数中定义了一个模糊同余关系，并证明这个模糊同余关系生成的模糊同 余类形成一个全序效应代数 论文的第二部分即第二章，则在伪效应代数中引入了模糊滤子和模糊理想的 概念，并对它们的性质进行了研究 文章的第三部分即第三章，研究了效应代数中的相容性问题，并在效应代数 中引入了一种蕴涵算子，获得了蕴涵算子的许多性质；通过这种蕴涵算子建立了 效应代数与m v 一代数及场一代数的联系，证明了全序效应代数是m u 代数，也 是基础岛一代数，反之，凰一代数也可以是效应代数 2 第一章效应代数中的模糊滤子 为给量子效应中的u n s h a r p 情形提供个研究工具，f o u l i s 和b e n n e t t 于 1 9 9 4 年引入了一种称为效应代数的代数结构效应代数包含了量子逻辑中经常研 究的情形( 正交模格和偏序集) 因为效应代数是较为广泛的量子结构，所以它的 代数性质在量子逻辑的理论研究中有重要作用理想和滤子是效应代数中的重要 性因此，在效应代数的研究中理想和滤子的重要性日渐增强1 9 9 2 年，f o u l i s e ta 1 研究了局部滤子并给出了一些重要性质( f o u l i se ta 1 1 9 9 2 ) ，九年后， j e n d a 和p u l m a n n o v d 提出了格效应代数中理想的定义并对其作了研究f j e n d a a n dp u l m a n n o v d ，2 0 0 1 ) 近来，尚云和李永明又在正交代数中提出了广义理想的定 义( y u na n dy o n g m i n g ，2 0 0 3 ) ，得到了一些有趣的性质不久，w uj i n g 在伪效应 代数中提出了理想和滤子的概念( w uj i n g ，2 0 0 4 ) 模糊滤子之所以重要是因为它 包含了经典滤子为其特殊情况从这点来说，在效应代数中研究模糊滤子是有意 义的本文通过引入模糊滤子的概念，研究了它们的性质，并说明在效应代数中 模糊滤子是获得经典滤子的重要工具我们给出了强模糊滤子的定义( 强模糊滤 子是模糊滤子的特殊情况) ，并证明了满足一些条件的强模糊滤子的全体在我们 定义的e 运算下形成一个d 偏序集我们还在全序效应代数中定义了一个模糊 同余关系并证明这个模糊同余关系生成的模糊同余类形成一个全序效应代数 5 1 1 预备知识 效应代数是f o u l i s 和b e n n e t t 在他们的文章中提出来的 “，其定义如下： 定义1 - 1 1 ( e ；o ，0 ，1 ) 称为效应代数，如果0 ，1 是其中两个特定元， o 是e 上的部分二元运算，且对任意a ，b ，c e 满足下面条件： ( e 1 ) 如果a ob 有定义，那么b oo 有定义且o ob = b oa ； ( e 2 ) 如果( a ob ) oc 或a o ( b oc ) 有定义，那么( a ob ) oc = a o ( b oc ) ； ( e 3 ) 对任意c te e ，存在唯一的be e 满足a ob = 1 ； ( e 4 ) 若1 0 a 有定义，则a = 0 同年，f k k a 也从另一角度提出了下面的定义； 定义1 1 2 设( p ；) 是有最小元0 和最大元1 的偏序集e 是p 上定 义的部分二元运算，满足b 9 a 有定义当且仅当o b 如果e 还满足下列条件， 则( p ；，e ，0 ，1 ) 称为d 偏序集( d p o s e t ) ： 3 ( d 1 ) 对任意a p ，o e0 = d ； ( d 2 ) 如果o sb c ，那么c eb c e a 并且( c e o ) e ( c eb ) = b e a f o u l i s 证明了如果在效应代数( p 1 0 ，0 ，1 ) ( d 偏序集( p ；，e ，0 ，1 ) ) 上定义部 分二元运算e ( o ) 如下： o ob 有定义且a ob = c 当且仅当o sc 且c ea = b 那么p 是d p o s e t ( 效应代数) 众所周知，在效应代数中，o 6 当且仅当存在c e 使得a oc = b 不难 看出，在这种情况下，a 0b 有定义当且仅当a 茎b i 如果e 关于是一个格，则 我们称e 是格序效应代数本章中，。j _ b 表示的是，效应代数中o ob 有定义 例1 1 3 ( 1 ) 设e = o ，1 】在f 上定义如下二元运算o ：n o b 有定义当且仅 当as1 一b ，且a o b = a + b ，这里的+ 是实数上普通的加法，则( e ；0 ，0 ，1 ) 是效 应代数进而，对任意的a ，b e ，我们知道。vb = r n a x _ ( a ，6 ) ，n b = m i n a ，6 ) ， 所以( e ；0 ，0 ，1 ) 也是格序效应代数 ( 2 ) 设e = o ，l n r 是实数对任意，】9 e ，0 9 有定义当且仅当i + g s l r 且定义，og = ，+ g ，这里l r 是【o ，1 】r 中的最大元也就是说，比r ， ，( z ) + g ( z ) 1 ，则陋；0 ，0 ，1 ) 是效应代数 ( 3 ) 设s = z o ，z 1 ，z 2 ，z 。) 是满足z o 。l x 2 茁。的有限链， 这里n n 设0 = x 0 ，1 = o 。，x keo = x k j ，j ，je o ，1 ，2 ，n ) ，贝0 ( s ；e ，0 ，1 ) 是一个d p o s e r 下面我们看效应代数的一些性质： 引理1 1 4 【1 4 】在效应代数( e ；0 ，0 ，1 ) 中，下列结论成立： ( i ) 如果nj _ b , aj _ c 且o ob = 0 0c ，那么b = c ； ( i i ) 如果o ob = 0 ，那么o = b = 0 引理1 1 5 在效应代数( e ；o ，0 ，1 ) 中，下列结论成立： ( i ) 如果。上b ，那么a ob c 当且仅当o c eb 当且仅当b c eo ； ( i i ) 如果口上b ，那么o o6 = c 当且仅当( b o 一) 7 0b = c ； ( i l i ) 如果。上b 7 ，那么( 口o ) 7 上。且( o ob ，) o n = b 引理1 1 6 【2 q 在格序效应代数( e ；o ，o ，1 ) 中，下列结论成立： ( i ) i 如果“o ，口b 且a j - b ，那么“0 口有定义i ( i i ) 如果6 上c ，那么o b 当且仅当a 0c b oc ； ( i i i ) 如果。上c 且6j _ c ，那么( 口oc ) v ( b oc ) = ( avb ) oc ； ( i v ) a b 当且仅当= 19bs1e o = a 4 在效应代数e 中，下面的性质称为p d e s z 分解条件： 设a l n 2 ，c e ，若n 1 上0 2 且c a 10 0 2 ，则存在6 1 ，6 2 e ，b 1 a 1 ，b 2 眈 使得c = b l ob 2 为方便起见，我们在效应代数e 上用。定义另一个部分二元运算。如下： 任意o ，b e ，如果一j - 矿，那么a ob 有定义且口0b = ( o 0 ) 下面的引理容易证明： 引理1 1 7 1 1 q 设( e ；0 ，0 ，1 ) 是一个效应代数，o 是上面定义的二元运算， 则 ( 1 ) a ob 有定义当且仅当b s 当且仅当a s6 ) ( 2 ) 如果n ob 或b o o 有定义，那么a 0b = b 0o ； ( 3 ) 如果( o ob ) oc 或a o ( b oc ) 有定义，那么( o ob ) oc = a o ( b oc ) ； ( 4 ) 如果b 0c 有定义，那么b o 当且仅当b oc o oc ； ( 5 ) 如果a 7 j _ 6 ，。c , b d 那么d 上d ，o ob c od 且( d on ) o ( d 7 0b ) = ( c 0 d ) o ( 口06 ) ； ( 6 ) 如果0b 有定义且o ab 有定义，那么0 0b so 玩 ( 7 ) 如果0b 有定义，则0 0bso ，o ob b 1 2 效应代数中的模糊滤子及其性质 在这一部分，我们研究效应代数中的模糊滤子，模糊理想及它们的性质如 无特殊说明，下面的e 均表示效应代数 我们先给出几个定义： 定义1 2 1i 是e 的非空子集，如果i 满足下列条件，则称i 为e 的理想 ( 1 ) 若a i , b e ，b a ，贝0b ，； ( 2 ) 若o i , b e ，8 b 且( o o ) j ，贝0b i 定义1 2 2f 是e 的非空子集，如果f 满足下列条件，则称f 为e 的滤子 ( 1 ) 若a f ，b e ，a b ，则b f ； ( 2 ) 若o f ，b e ，b o 且0 70b f ，则b f 映射，：e ， o ，1 称为e 的模糊子集记f 7 = 1 一，对任意z e ，定 义( 1 一，) ( z ) = l 一，( z ) e 的所有模糊子集之集用，( e ) 表示 定义1 2 3e 的模糊子集，如果满足下面条件，则称为e 的模糊滤子： ( f 1 ) 任意z ，y e ，若x y ，则f ( x ) ，( ) ； ( f 2 ) 任意。，秽e ，若z y ，贝0f ( y ) ，( 。o y ) ，( 。) 5 事实上，由( f 1 ) 成立容易验证( f 2 ) 等价于下面的( f 2 ) ： ( f 2 ) 任意。，y e ，若茹，则f ( y ) = f ( x 7 0 ”) 八，伽) 进丽，我们可以及( f 2 ) 臻到( f t ) 所以模糊予黎，只需满足( f 2 ) ，就是e 弱摸凝滤予了+ 定义1 2 。4e 的模糨子集i 姐果满足下面条律，剡称为e 酶搂糨理想 ( 1 1 ) 任意z ，y e ，若y 茹，贝0i ( x ) i ( ) ； ( 1 2 ) t e 意z ，g e ，若茹y ，贝0 t ( 贯) t ( ( z o ) 7 ) a i ( g ) 类似的，( 1 2 ) 等价于下面的( 1 2 ) ： ( 1 2 ) 餐慧的o ，y e ，著。y ，翊i ( 。) = ( 。掣) 0 a i ( 办 霹谨豹，模籀子集i 灵霉漆燕( 1 2 ) ，就是e 静模糊瑾慧了 下面的例子说明效应代数e 中的模糊滤子是存在的： 例1 2 5 ( 1 ) 设e = 0 ，8 ，b ，c ，d ，1 ) ，定义。oo b 06 = d , aob = b 0n = c , b 0d = d 0 b = o oc = c 0o 一1 ，对任意嚣e ，0 0 0 = z ，则易验 难b 是效 应代数如暴，( 1 j = a z ，( 口) 一，( = f c c ) = ，一，( 。) = a 2 ( o a 2 a l 曼i ) ， 虽l 密荔验谖，楚e 懿模羧滤子， ( 2 ) 著跨任意。e ，f ( x ) 一。( 8 睁，l 】，。是常数) ，猁易验证，甄是e 静模糊 滤子又是b 的模糊理想 ( 3 ) 设，是e 的模糊子集对任意常数a 【o ，1 】，定义( a 1 ) ( x ) = a y ( z ) ，则 易验证酊撼e 的模糊滤子当且仅当，是e 的模糊滤予 定理1 2 。6e 懿摸凝予集，怒揆糍滤予当曼仅囊对任意盖【0 ，l k 若a 垂， 冤矗燕嚣懿滤子。 证明假设对所有的 f o ，l 】， 丸且厶是e 的滤子对任意茹，g e 且 z y ，由 是e 的滤子知，若y ，则z ，即游，( 口) a ，则y ( x ) a ， 从而，( z ) ，( f ) ，故( f 1 ) 成立对任意。，y e 且茹y ，如果z 厶，z o ，那么，( z ) ，f o y ) ，令 = ，( 7 0 笋) ，如) 幽于厶是滤子，所以有 y 五，奄鼯歹( 坊矗= f ( x 国y ) a 歹扫) ，霹( f 2 ) 戎立嚣筵歹是e 懿穰鞠滤予 反之，设，是模糊滤予且对任意a 【。，1 】，a 如果。y 量爹焱，郡么 从( r 1 ) ，我们得到，( z ) ，( ) a ，所以石， 另外，若y 且z ， ，o 可 ，也即，( 茹) 芝a ，( z oy ) ，则由( f 2 ) 知，f ( y ) 芝f ( x oy ) ay ( z ) a ，即 y a ，这就鼹说 是e 的滤予口 定理1 2 。7 设f 是e 鲍嚣嶷子集爨f 是e 鹣滤子当且援当) ( f 怒嚣熬摸 6 糊滤子，这里) ( f 表示f 的特征函数，即 一r ：嚣 定理1 2 6 和定理1 2 7 告诉我们，滤子是模糊滤子的分明情况 定理1 2 8 设，是e 的模糊子集，则f 是e 的模糊滤子当且仅当下列三条 之一成立： ( 1 ) 若z j _ y ，则f ( x o y ) = f ( x ) a ，( g ) ； ( 2 ) 若z y z ，则f ( x 7 0z ) = ，( 一o ) a f ( y 7 0z ) ； ( 3 ) 若z y ，则f ( x o y ) = f ( x ) a f ( y ，) 证明必要性设，是e 的模糊滤子 ( 1 ) 若z 7 _ l y 7 ，贝4z 7 0 ( z 7 0 y 7 ) 7 = y ，所以f ( y ) = f ( x e ( x 7 0 7 ) 7 ) = f ( x 7 0 ( z o y ) ) 因为z zo y ，由( f 2 ) ，我们有f ( x ) af ( y ) = ( z ) a ，( z 7o ( zo ) ) = ，( zog ) ( 2 ) 若茁y z ，则由= zo ( y oz ) 知。7oy = x jo ( zo ( y roz ) 7 ) = ( 一o z ) o ( y 7o 。) 因此( x oy ) = 州oz ) o ( 一oz ) ) 再由y oz o z 有f ( y 7o 。) a ，( ( o z ) o ( 嚣oz ) ) = f ( y oz ) a f ( x 7o g ) 从而由( f 2 ) ，我们有 ，( 一oz ) = f ( x 7 0 y ) f ( y 7 0z ) ( 3 ) 如果z ，也即z ( y 1 ) 7 ，故x o y 有定义由z = 可o ( 嚣o ) 7 = y x o y 7 ， 我们有z e y = zo y 所以由( 2 ) 知f ( x 0 y ) = ，( z 0 y ) = f ( x ) a f ( y ) 充分性若( 1 ) 成立，则对所有z ，y e ，z 三y ，由( 。o ( z 7o ) ，) ，= y ，知 ，( g ) = ，( ( z o ( 。7o f ) 7 ) 7 ) = ，( zo ( z 7og ) ) = f ( x ) a ，( z 7og ) 故( f 2 ) 成立， 是e