（计算数学专业论文）（向量）有理插值存在性的研究.pdf

( 向量) 有理插值存在性的研究 摘要 有理函数插值理论及其应用是有理逼近研究的重要组成部分，其在唯一 性、算法及误差估计等方面均取得了很多研究成果，尤其在算法的研究上更是 如此。然而对于任意事先给定的插值条件，有理插值函数并不总是存在的。而 其他结果诸如唯一性、算法、误差估计等，在叙述其结论时也总是假定所讨论 的有理插值函数是存在的。如果存在性问题得不到很好的解决，则势必影响这 些结果在使用上的确定性。已有的对有理插值存在性的研究，多是采用l a g r a n g e 基函数或相近的方法来进行的，计算量颇大，不利于实际的运用。 本文首先讨论了型值点的几何分布对有理插值存在性的影响，接着运用一 元及二元n e w t o n 汇集差商给出了几种判断有理插值及切触有理插值函数是否 存在的快速、实用的算法。本文共分四章。第一章回顾了有理插值的研究背景 及其与有理插值存在性的研究现状。 第二章介绍了一元有理插值存在性的两个重要结论，接着从型值点的几何 分布研究了有理插值的存在性，给出了判断有理插值存在的直观的方法。 第三章研究了一元切触有理插值的存在性。本章利用一元n e w t o n 插值多 项式给出了一种判别切触有理插值存在性的代数方法，并在判断出相应的有理 插值函数存在时，直接地给出了它的具体表达式。 第四章主要讨论了二元有理插值的存在性。首先，利用二元n e w t o n 多项 式插值公式，给出了判断二元向量值有理插值存在性的代数方法。接着给出 二元切触有理插值的存在性的判别方法，并将这种方法推广到了二元向量值切 触有理插值的情形，得出了相应的结果。本章中我们给出的方法更加简便、实 用：在有理插值函数存在时，可直接给出它们的显式表达式。并且这种方法还 一定的承袭性。 关键词：型值点；几何分布；存在性；切触有理插值；向量值有理插值；充要 条件 i v r e s e a r c ho nt h ee x i s t e n c eo f ( v e c t o r - v a l u e d ) r a t i o n a li n t e r p o l a n t s a b s t r a c t r a t i o n a lf u n c t i o ni n t e r p o l a t i o nt h e o r ya n di t sa p p l i c a t i o na r ea l li m p o r t a n tp a r t i nr e s e a r c ho nr a t i o n a la p p r o x i m a t i o n t h e r eh a v eb e e nal o to fa c h i e v e m e n t si n u n i q u e n e s s ，a l g o r i t h m s ，e r r o re s t i m a t ea n de t c ，e s p e c i a l l yi na l g o r i t h m s b u tt h e r e d o e s n ta l w a y se x i s tr a t i o n a li n t e r p o l a t i o nf u n c t i o nf o ra r b i t r a r yi n t e r p o l a t i o n c o n d i t i o n s g i v e n i na d v a n c e m o r e o v e r , o t h e rr e s u l t ss u c ha s u n i q u e n e s s ， a l g o r i t h m sa n de r r o re s t i m a t ea r eg i v e nw h i c hb a s e so nt h a tr a t i o n a li n t e r p o l a t i o n f u n c t i o ne x i s t s i ft h ee x i s t e n c ec a n tb es e t t l e dw e l l ，t h ed e t e r m i n a c yo ft h e s e r e s u l t sw i l lb ei n f l u e n c e d t h ee x i s t i n gr e s e a r c ho nt h ee x i s t e n c eo fr a t i o n a l i n t e r p o l a t i o nw a sc a r r i e do u tb ym e a n so fl a g r a n g eb a s i sf u n c t i o n o rs i m i l a r m e t h o d si nw h i c hg r e a tc a l c u l a t i o nr e s t r i c t st h e m s e l v e sa p p l i c a t i o n i nt h i st h e s i s ，w ed i s c u s sh o wt oj u d g et h ee x i s t e n c eo ft h er a t i o n a l i n t e r p o l a t i o nb yu s eo fg e o m e t r i cd i s t r i b u t i o no ft h et y p ev a l u ep o i n t s ，a n dt h e n g i v es e v e r a lm e t h o d sf o rt h ej u d g m e n to ft h ee x i s t e n c eo ft h er a t i o n a li n t e r p o l a n t s a n do s c u l a t o r yr a t i o n a li n t e r p o l a n t sb yu n i v a r i a t ea n db i v a r i a t en e w t o na s s e m b l y d i f f e r e n c ec o e f f i c i e n t ，w h i c ha r eq u i c ka n dp r a c t i c a l t h i st h e s i sc o n s i s t so f f o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w er e t r o s p e c tt h e b a c k g r o u n do ft h er e s e a r c ho nr a t i o n a li n t e r p o l a n t sa n dt h es t u d ya c t u a l i t yo ft h e e x i s t e n c eo fr a t i o n a li n t e r p o l a n t s 。 i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c et w oi m p o r t a n tr e s u l t so fr a t i o n a li n t e r p o l a n t s ，b a s e d o nw h i c hw es t u d yt h ee x i s t e n c eo fr a t i o n a li n t e r p o l a n t sb yg e o m e t r i cd i s t r i b u t i o n o fp o i n t sa n dg i v eai n t u i t i o n i s t i cm e t h o df o rt h ej u d g m e n to ft h ee x i s t e n c eo f r a t i o n a li n t e r p o l a n t s t h ec h a p t e r3 ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fu n i v a r i a t eo s c u l a t o r yr a t i o n a l i n t e r p o l a n t s w eg i v e ak i n do fa l g e b r a i cm e t h o dt oj u d g et h ee x i s t e n c eo f u n i v a r i a t e o s c u l a t o r y r a t i o n a l i n t e r p o l a n t sb y u s eo fu n i v a r i a t en e w t o n i n t e r p o l a t i o np o l y n o m i a la n dp r e s e n ta c o n c r e t ee x p r e s s i o no ft h ec o r r e s p o n d i n g r a t i o n a li n t e r p o l a n t sw h e nt h el a t t e re x i s t s t h ec h a p t e r4 ，w e m a i n l yd i s c u s s t h ee x i s t e n c eo fb i v a r i a t er a t i o n a l i n t e r p o l a n t s a tf i r s t ，w ep r e s e n tt h em e t h o dt oj u d g et h ee x i s t e n c eo fb i v a r i a t e v e c t o rv a l u e dr a t i o n a li n t e r p o t a n t s ，t h e ng i v et h ec o r r e s p o n d i n gm e t h o df o r b i v a r i a t eo s c u l a t o r yr a t i o n a li n t e r p o l a n t s ，a f t e rw h i c hw ee x t e n dt h ea b o v em e t h o d v t ot h ej u d g m e n to ft h ee x i s t e n c eo fb i v a r i a t ev e c t o rv a l u e do s c u l a t o r yr a t i o n a l i n t e r p o l a n t sa n do b t a i nc o r r e s p o n d i n gr e s u l t i nt h i sp a r t ，t h em e t h o di sc o m p a c t a n dp r a c t i c a l i no t h e rw o r d s ，i fr a t i o n a li n t r p o l a n t se x i s t s ，t h ec o n c r e t ee x p r e s s i o n c a nb ep r e s e n t e da n dt h i sm e t h o dh a ss o m ei n h e r i t a n c e k e yw o r d s ：t h et y p ev a l u ep o i n t s ；g e o m e t r i cd i s t r i b u t i o n ；e x i s t e n c e ，o s c u l a t o r y r a t i o n a li n t e r p o l a n t s ；v e c t o rv a l u e dr a t i o n a li n t e r p o l a n t s ；n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n s v i 表格清单 表l - l 误差靠和岛的大小情况l 表4 1 插值数据2 9 表4 2 插值数据3 0 表4 3 插值数据误差3 1 表4 4 插值数据3 1 i x 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得金胆王些太堂 或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者躲彳i 3 和 签字日期：唧年占月尹日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盒起王些太堂 有关保留、使用学位论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅本人 授权 金鼹王些盍堂 可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印，缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名：形訇 签字嗍加0 7 年月7 日 学位论文作者毕业后去向； 工作单位： 通讯地址： 名：李垤夕 ； 签字日期：堋年月| 7 日 电话： 邮编： 致谢 在这三年的研究生学习阶段中，我的导师朱晓临教授不仅在学业上对我进 行耐心的指导，而且还在生活上给予我无微不至的关怀。朱老师严谨的治学态 度、宽广的胸怀和豁达的处世之道给我留下了深刻的印象，并将成为我以后学 习和工作中的楷模。值此论文完成之际，作者向朱老师致以最诚挚的敬意和衷 心的感谢! 在本人学习期间，还得到了朱功勤老师、朱士信老师、檀结庆老师、林京 老师、邬弘毅以及黄有度老师等很多老师热心的关怀和无私的帮助，在此，向 各位老师表示深深的谢意。 同时，真诚感谢周金明、陈欢欢、李昌文、柏丽娟等同学的关心和帮助， 在此一一表示感谢。 最后，感谢我的父母和妻子王冬银在我研究生学习阶段对我提供的物质帮 助和精神鼓励。正是有了家人无私的帮助和奉献，我才能在研究生阶段全身心 地投入到学习之中。 、，i i 作者：陶有田 2 0 0 7 年1 月 第一章绪言 1 1 有理插值的研究背景 在自然科学与技术科学领域中存在着大量需要解决的非线性问题，它们已 成为科学技术研究的热点和主攻方向之一。 正如英国著名哲学家与数学家罗素( b e r t r a n dr u s s e l l ) 所说：“所有精确的科 学都受到逼近的思想所支配。”确实，所有的非线性科学也已受到并将继续受到 非线性逼近思想的渗透和影响。作为非线性逼近的典型之一的有理函数逼近， 越来越引起人们的关注，被广泛应用于机械振动数据分析、数字滤波、电路分 析、系统控制理论的模型简化、图象重建、解微积分方程及计算机辅助几何设 计等领域 1 2 , 1 3 2 2 “2 5 s l , 6 3 , 6 4 , 6 9 。因为有理函数仍属于简单函数类，它虽然比多项式 要复杂，但用它来近似表示函数时，却比用多项式更灵活、有效，且能反映函 数的一些固有特性，如奇性等。我们知道，对于具有极点的函数，即，( 力在某 点附近无界，或者当x _ o o 时，厂( x ) 趋于某一定值时，采用多项式，甚至多 项式样条作为逼近工具显然都是不大合适的，而采用多项式的推广一有理分式 函数作为逼近工具是恰当的。有理分式函数由于其自身的特点，使得它不但可 以在极点附近取得很好的逼近效果，而且又能保证当x o o 时，有理逼近函数 趋于某一定值的性能。对于不是上述情况的函数，有理函数逼近的研究也是有 意义的。例如 5 0 1 h a ( 1 + x ) 有如下连分式展开式 l n ( 1 + x ，= 詈+ 字+ 孚+ 字+ 字+ 取它的第胛阶渐近分式，即可得l n ( 1 + x ) 的有理逼近式民 ) 。一般地，砖( x ) 是k l + 力的 n n - p a d 6 逼近，它与l n ( 1 + x ) 的t a y l o r 展开式前2 聆项重合，并且 凡( 工) 的参数个数与i n ( 1 + x ) 的t a y l o r 展开式的前2 栉项疋。( x ) 的参数个数相同a 现在来比较一下，r ( 1 ) 和t 2 。( 1 ) 作为i n 2 的逼近。结果如下表： 表l 1 误差靠和矗的大小情况 ，2 民( 1 )正。( 1 )白 l0 6 6 70 0 2 60 5 8o 1 9 2 0 6 9 2 3 l 0 0 0 0 8 4o 5 8o 1 l 30 6 9 31 2 20 0 0 0 0 2 5o 6 1 70 0 7 6 40 6 9 31 4 6 4 20 0 0 0 0 0 0 7 60 6 3 4o 0 5 8 ( 1 n 2 = o 6 9 3 1 4 7 1 8 ) 从表中可以看出，蜀( 1 ) 和瓦( 1 ) 的精确度竟相差1 0 万倍。 另外，1 9 6 4 年d j n e w m a n 指出，可以找到一个分子、分母皆为刀次的有 理分式序列r n ( x ) ，使得 i l x i 一( x ) i s 3 e 一珈，一1 x l 它显然比通常的疗次多项式的最佳逼近阶o ( 1 n ) 优越得多。 这些事实说明，开展函数的有理分式逼近问题的研究是十分有意义的。作 为有理逼近研究的重要组成部分，有理函数插值的理论及其应用一直是计算数 学领域中引入注目的课题。 记巩表示次数k 的一元多项式集合，其中k 为非负整数， r ( m 疗) = 詈l ，q o 。 l y lj 设已给定m + n + 1 个不同的点x o ，x t ，。和相应的函数值 f ( x o ) ，厂( 而) ，( + 。) 。所谓有理函数插值问题，就是寻求有理函数 。( x ) r ( m i n ) ，即 2 鬻2 嚣+ b 舞l x + ， ， 1 4 吼o )6 0+ “，。 、 使之满足插值条件 ，肼。( t ) = ( 薯) f = o ，l ，所+ 栉。 ( 1 1 。2 ) 显然，有理插值问题( 1 1 1 ) 、( 1 1 2 ) 是一个非线性问题。但若有理分式函数 乇。( x ) = ( x ) 吼( 工) 是插值问题( 1 i 2 ) 的解时，则可将非线性问题转化为线性问 题。 有理插值问题的研究多起源于对连分式的研究。至今，连分式的理论的发 展已经历了四百多年之久。1 5 7 2 年，r 蓬贝利首次引用连分式来逼近无理数3 。 早期许多数学家如e u l e r , l a g r a n g e ，g a u s s 等都为连分式的发展作出了重大贡 献。特别是e u l e r 所著的连分式一书。例如，g a u s s 于1 8 7 2 年给出了t a n x 的 连分式表示，兰伯特于1 7 7 0 年给出了a l c t a l l x 的连分式表示，这些都是连分式 在数值近似方面的例子。事实上，连分式在数论、解方程、加速收敛等方面乃 至计算机科学中都有着广泛的应用。 1 9 8 0 年，w b j o n e s 和w j t h r o n 所著的c o n t i n u e df r a c t i o n sa n a l y t i c t h e o r ya n d a p p l i c a t i o n 【9 l 一书对连分式的解析理论作了深刻而系统的探讨，先 前许多零散的有关连分式的理论和结果得以总结、归纳、扩充和深化。 w s i e m a s z k o 1 6 1 8 】提出了不同类型的二元分叉连分式插值。a c u y t l 3 , 4 】通过定义 多元逆差商和多元偏倒差商构造了一种对称型的二元分叉连分式展开和逼近。 p w y n n 2 1 1 率先提出向量的有理插值问题。他注意到：如果把占一算法应用到向 量上并实施s a m e l s o n 逆变换，就能得到与数量一样的准确结果。w y n n 的想法 2 之一已被m c c l e o d “1 所证明。 h e s a l z e r 在文献【2 4 】中给出了用连分式来计算切触有理插值的一种算法， 它是t h i e l e 所考虑的连分式插值在切触插情况下的推广。g r a v e s m o d e s 6 , 7 1 和 g r a v e s m o d e s j e n k i n s t s 】从机械振动中有关“振动模”这一实际问题出发，借助于 一元t h i e l e 型连分式和s a m e l s o n 逆变换，提供了一种向量有理插值的t h i e l e 型分解方法，从而建立了一元向量连分式插值的理论，证明了这种向量有理插 值函数的特征定理和唯一性定理。在此基础上他们也对有关的算法问题、有向 向量的有理插值、向量有理逼近等问题作了开拓性的研究。 在国内，向量连分式的研究还很少。从1 9 9 0 年开始，朱功勤领导的研究集 体系统地研究了有理逼近中的多个有关题材，在国家自然科学基金的资助下， 取得了一系列有价值的研究成果。 朱功勤、顾传青在【5 4 】中把数量连分式的思想引入到向量连分式中，给出 了向量的s a l z e r 定理及t h i e l e 型向量连分式的收敛性定理，并将著名的 p r i n g s h e i m 定理推广到向量的情形。朱功勤、顾传青在【2 6 ，2 7 ，5 3 】中利用s a m e l s o n 逆，引进了向量的偏倒差商与偏反差商，首次将一元t h i e l e 型向量有理插值推 广到二元的情形，建立了二元t h i e l e 型向量有理插值的概念，并证明了相关的 性质；给出了二元t h i e l e 型向量连分式的误差公式；并对二元t h i e l e 型向量连 分式展开式及其逼近性质作了一些研究，初步探讨了向量切触连分式插值；顾 传青还在 2 8 】中给出了一种求二元t h i e l e 型向量连分式的系数算法。 朱功勤、檀结庆【4 l 】利用向量分叉连分式对二元向量有理插值及其系数的算 法作了进一步的研究，随后又在 4 2 】中给出了二元向量分叉连分式插值的矩阵 算法。植结庆还在 4 7 】中建立了逆差商的一种紧凑的行列式表达式。朱功勤、 檀结庆在5 6 中对矩形网格及三角网格上的二元向量有理插值进行了专门的研 究，得到了矩形网格上二元向量值分叉连分式插值的特征定理、单向唯一性定 理、对偶定理及边界插值定理等。首次提出矩形网格上二元对偶向量有理插的 概念，并对它们的性质进行了比较深入的研究，得出了一系列非常有用的结果。 檀结庆，唐烁在 4 3 ，4 4 】中又构造了向量值三重分叉连分式插值的算法，并对三 重分叉连分式插值进行了进一步的研究。 朱功勤、顾传青等还分别在 2 9 ，5 5 】中建立了二元对称型向量有理插值及二 元有向向量的有理插值的概念，并对这些类型的向量有理插值进行了研究。陈 之兵在 2 3 】中构造了矩形网格上二元n e v i l l e 型向量有理插值，这是一种对型 值点的倒数进行插值的二元向量有理插值。朱功勤等在 5 7 】中给出了离散点集 上的向量有理插值算法与特征性质，朱功勤、檀结庆、王洪燕在【6 0 】中给出了 预给极点的一元( 二元) 向量有理值和算法，并得到相应的向量有理插值的特 征定理。朱晓临在【6 6 】中，将基于广义逆的一元向量有理插值函数定义中的条 件进行了减弱，给出较一般的基于广义逆的一元向量有理插值的定义，并证明 3 了相应的结果仍然成立。给出了向量有理插值函数具有承袭性的逐步递推算法， 首次提出向量有理插值函数的不可达点的概念，并给出了一种处理这种不可达 点的方法。檀结庆在 4 5 】中建立了一种二元b l e n d i n g 有理插值，将矩形网格上 的节点分成若干个三角网格，根据需要将它们进行适当的拼接，得到了较好的 插值效果。 檀结庆、唐烁还在 4 6 】中建立了一种二元混合有理插值，将向量有理插值 与向量多项式插值进行有机地组合，从而达到了更好的逼近。赵前进在 5 2 仲 将二元向量值有理插值推广到了三元的情形，构造了一种三元向量值混合有理 插值及其算法。 朱功勤、顾传青在 3 0 】中建立了一种二元l a g r a n g e 型向量有理插值，它不 同于以前的由二元向量连分式定义的t h i e l e 型二元向量有理插值，而是利用某 种行列式直接定义二元向量有理插值的分子和分母；此外，插值节点也由以前 的实平面上的实数对，改为复平面上的复数对，迸一步扩展了研究的范围。 目前，矩阵有理插值的研究在国际上正受到越来越多的关注，它是向量有 理插值的推广。在【3 1 ，3 2 】中朱功勤、顾传青等定义了矩阵的s a m e l s o n 逆，将一 元t b i e l e 型向量有理插值的思想和方法运用到矩阵有理插值的研究中，建立了 基于矩阵s a m e l s o n 逆的一元矩阵有理插值，得到了一系列类似于向量值有理插 值的结果。顾传青在【3 3 】中又将一元矩阵有理插值推广到二元的情形，建立了 二元矩阵有理插值；朱功勤在 5 8 】中进一步研究了二元矩阵有理插值算法与特 征性质。随后朱功勤、檀结庆在 5 9 f 0 建立了向量有理插值与矩阵有理插值之 间的转换关系，从而将向量有理插值的研究与矩阵有理插值的研究统一起来， 开辟了研究矩阵有理插值的一个新的途径。朱晓临在【6 8 】中去掉了基于广义逆 的二元向量有理插值函数定义中对二元向量有理函数的整除性条件，给出了矩 阵值有理插值函数的具有一定承袭性的逐步递推算法。顾传青、王金波中【3 4 1 中给出了w e r n e r 型矩阵值有理插值的逐步向前循环算法。 1 2 有理插值的存在性 和多项式插值研究一样，有理函数插值在唯一性、算法、误差估计以及有 理函数样条等方面均取得了很多的研究成果，尤其在算法的研究上更是如此 【2 ，5 o ，5 0 1 。 对于事先任意给定的插值条件，有理插值函数并不总是存在的。而其他结 果，诸如唯一性、算法、误差估计等，在叙述其结论时也总是假定所讨论的有 理插值函数是存在的。如果存在性问题得不到很好的解决，势必影响这些结果 在使用上的确定性。因此无论从理论上还是从实际应用上，有理插函数存在性 的研究都显得至关重要。 而对于有理插值存在性的研究，目前成果还不多。为了给出便于应用的存 4 在性定理，已有学者作了相关的研究，并得出了一些有益的结果。n m a c o n 和 d e d u p r e e 在文献 1 0 】中给出了有理插值函数存在性的一种判别方法，其主要 内容如下： 记 = i ； k磕磙y ox t y o 毛 彳 彳m 五咒 ；i!ij x 。x ：。n 。y m 。，x m 。n y 。n xx 2 x ” yx y 端 赋y l 。y p y ( 1 2 1 ) 若口不恒为零，则有 定理1 2 1 有理插值问题( 1 1 1 ) 、( 1 1 2 ) 有解的充分必要条件是各个矩阵 4 ，i = 0 ，1 ，脚+ 即是非奇异的，其中4 是矩阵 a = 1 右 硝。1 端。1 1 而彳彳- 1 咒五乃 爿- 1 咒 ；ii ； i 1 x m 。x 2n x = y 。x 。y m 。y m 去掉第i 行后余下的元素按原来的结构次序构成的矩阵。 若口恒等于零，则有 定理1 2 2 若对i = o ，l ，m + n ，4 的秩是一常数，则定存在有理函数 ，= q o r ( m n ) 满足插值条件( 1 1 2 ) 。 上述方法在实际应用中的计算量是很大的，因为妥判断满足插值条件( 1 1 2 ) 的有理函数。= p m q r ( m n ) 是否存在，需要计算m + n + 1 个伽+ 胛) 伽+ 抑) 矩 阵的秩。 另外，c s c h n e i d e r 和w e r n e r 在【1 5 】中定义了一种带权的有理函数 m ，= 器= 曙去z 善轰， 并且还给出了求峨，f - o ，1 ，m + 7 的方法。 j p b e r r u t 和h d m i t t e l m a n n 1 】利用矩阵给出了另外一种确定权因子 码，i = o ，1 ，r e + r 的代数方法，比较前一种确定q 的方法，这种代数方法要简便 一些。 王家正【4 8 , 4 9 1 ，盛中平、崔凯1 3 9 分别利用v a n d e m o n d e 矩阵及l a g r a n g e 多项 式插值公式建立了两类二元有理插值问题的存在性判别准则及有理插值函数的 表现公式，这些方法的不足之处是，当改变插值节点时，相应的数据必须重新 计算，相对来说计算量比较大。 朱晓临等在【6 l ，6 2 ，6 7 】中利用n e w t o n 多项式插值公式，给出了一元有理插 值存在性的一个判别方法，并在判断出相应的有理插值函数存在时，给出其显 5 式表达式。对有理插值函数的不可达点作了进一步的研究，对出现不可达点的 原因进行了探讨，并利用混合连分式给出了一种解决不可达点的方法，并且将 这种方法推广到了切触有理插值的情形；在 6 5 】中，将一元有理插值存在性的 判别方法推广到二元的情形，得到了判别二元有理插值存在性的一个充分条件。 1 3 本文所做的工作 本文主要研究了有理插值的存在性问题。 1 根据平面上型值点的几何分布情况来研究有理插值函数的存在性。本方 法比较直观。由于目前从几何上来研究有理插值函数的存在性的文章还不多， 且这一课题仍属起步阶段，所以本文只对三点、四点、五点及六点的情形进行 了讨论。 2 根据一元n e w t o n 汇集差商给出了判断一元向量值切触有理插值存在性 的方法并给出了数值例子。 3 根据二元n e w t o n 差商给出了二元向量值有理插值的判别方法。 4 由二元n e w t o n 汇集差商，给出了判断= 元切触有理插值存在性的判断 方法，并将其推广到了二元向量值切触有理插值的情形，并给出了数值例子。 6 第二章一元有理插值的存在性 作为有理逼近研究的重要组成部分，有理函数插值的理论及其应用一起是 计算数学领域中引人注目的课题。和多项式插值的研究一样，有理函数插值在 唯一性、算法、误差估计及有理函数样条等方面均取得了很多研究成果，尤其 在算法的研究上更是如此。然而对于事先任意给定的插值条件，有理插值函数 并不总是存在的。而其他结果，诸如唯一性、算法、误差估计等，在叙述其结 论时也总是假定所讨论的有理插值函数总是存在的，如果存在性问题得不到很 好的解决，势必影响这些结果在使用上的性。因此无论从理论上还是从实际应 用上，有理插值函数存在性的研究都显得至关重要。 2 1 一元有理插值的一般提法 记毛表示次数s 七的一元多项式集合，其中k 为非负整数， 只c ，雄， ，= 詈i pe 万。，g t 。， 。 设已给定r n + l l + 1 个不同的点 x o 而，x m + 和相应的函数值 f ( x o ) ，f ( x o ，( x m + 。) 所谓有理函数插值问题，就是寻求有理函数r e 置( ，形行) ，即 m ，= 器= 筹搿， 使其满足插值条件 r ( ) = 厂( ) ，i = o ，1 ，聊+ 月a 定义2 1 1 1 5 0 】下列两个有理函数 删2 鬻删2 器 称为恒等，如果存在一个非零常数a ，使得 p a x ) = a p t ( x ) ，q 2 ( x ) = q l ( x ) ， 并记为( x ) ；吒( z ) 。 由( 2 1 5 ) 所示的两个有理函数( x ) 与吒o ) 称为等价的，如果 b ( 工) 9 2 ( x ) ；p 2 ( x ) q l ( x ) ， 记为r , t x ) 一，2 ( x ) 。 显然，按定义2 1 1 所确定的“等价”概念是一个等价关系，即 1 。，( x ) r ( 工) ； ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 2 。若r t ( x ) 吃( d ，则吒( 力一，i ( x ) ； 3 。若( x ) 一r a x ) ，r 2 ( x ) r 3 ( x ) ，贝0 ( 力吩( x ) ， 其中r ( j ) ，c ( x ) ，f = 1 ，2 ，3 均为有理函数。 定义2 1 2 【9 】把p ( x ) 与g ( 力的最大公因子约去后所得的有理函数称为一个 有理函数r ( 工) = p ( x ) g ( x ) 的最简分式函数。 不难看出，两个有理分式函数( x ) 与吒o ) 等价，必须且只须( x ) 与吒( x ) 的 最简分式函数百( x 与巧( x ) 是恒等的。 今后，只要两个有理分式( x ) 与吒( x ) 是等价的，则把它们看作是一个有理 分式函数而不加以区别，或者说把互相等价的有理分式函数看成是一个函数。 在这个意义上，我们有 定理2 1 1 若有理插值问题( 2 1 3 ) 、( 2 1 4 ) 有解，则其解必唯一。 2 2 有理插值问题的存在性 一般来说，插值问题( 2 1 3 ) 、( 2 1 4 ) 所形成的问题是一个非线性问题。但是 当有理分式函数r ( 力= p ( x ) q ( 功是插值问题( 2 1 3 ) 、( 2 1 4 ) 的解时，当然也有 p ( 葺) 一( ) g ( ) = ( a o + c b x j + + 彳) 一i t ) ( 6 0 + 6 l 而4 - + 吒r )( 2 2 1 ) = 0 ，i = 0 ，l ，m + 它是关于未知数a o ，q ，。；b o ，4 ，毛。吒的一个线性方程组。 下面的定理对方程组( 2 2 1 ) 与有理插值问题( 2 1 3 ) 、( 2 1 4 ) 的关系作了回 答。 定理2 2 1 有理插值问题( 2 1 3 ) 、( 2 1 4 ) 有解的充分必要条件是线性方程 组( 2 2 1 ) 的任意非平凡解p o ) ，q ( x ) 在约去一切公因子( 即约化为两互质多项 式) 后所得的多项式爿( 工) ，占( x ) 仍然是线性方程组( 2 2 1 ) 的解，即 a ( x 3 一八五) b ( 薯) = 0 , i = o ，l ，m + 疗( 2 2 2 ) 定义2 2 1若存在某个式o s ，s 埘+ 苊，使得 4 ( 葺) 一八墨) b ( 薯) 0 ，( 2 2 3 ) 则称型值点( ，z ) 为有理插值问题( 2 1 3 ) 、( 2 1 4 ) 的不可达点。 推论2 2 1 若p ( 石) ，g ( x ) 是线性方程组( 2 2 1 ) 的某个非平凡解，则有理插值 问题( 2 1 3 ) 、( 2 1 4 ) 有解的充分必要条件是有理插值函数，( x ) = p o ) g ( 力没有不 可达点。 下面介绍有理插值问题( 2 1 3 ) 、( 2 1 4 ) 存在性的一些结果。 n m a c o n 和d e d u p r e e 在【5 4 】中研究了有理插值问题( 2 1 3 ) 、( 2 1 4 ) 解的存 在唯一性。定义行列式口和矩阵彳如下： 8 = i ； a = 磊蠕y ox o y ox o n y a 而彳 彳舅而乃 彳乃 ； ； i x 。x ：。x 翟，y 。x 。y 。x 麓。y 。n x矿 yx yx y 1 而霹硝1而 。1 肋 1 而砰矸- 1咒五m 冒- 1 m ；ii；i 1 x m q x m 。- 1 。y 。x 。y mh x n w - i n y m h 。 ( 2 2 4 ) 在口不恒为零时，有 定理2 2 2 设( t ，z ) ，i = o ，1 9 oo9 m + n 中各薯互异，则有理插值问题( 2 1 3 ) 、 ( 2 1 4 ) 有解的充分必要条件是各个矩阵4 ，f = 0 ，1 ，m + n 是非奇异的，其中4 是 矩阵4 去掉第i 行后余下的元素按原来的结构次序构成的矩阵。 若口恒为零时，有 定理2 2 3 若对于i = 0 ，l ，m + n ，4 的秩是一常数，则一定存在有理函数 ，( x ) = p ( x ) q ( x ) r f m n ) 满足插值条件( 2 1 4 ) 。 上述方法在实际应用中的计算量是很大的，因为要判断满足插值条件( 2 1 4 ) 的有理函数r ( x ) = p ( x ) q ( x ) r ( m n ) 是否存在，需要计算m + ”+ 1 个 伽+ 行) + 玎) 阶矩阵的秩。 c s c h n e i d e r 和w w e r n e r 在【1 5 】中定义了一种带权的有理函数 m ，；舞= 陲去z ) 善点， 亿2 固 其中工t 。显然对f = o ，l ，m + r t ，若哆0 ，则l i m r ( x ) = ，：，此时i 就是型值点 ( t ，z ) ，f = o ，1 ，m + 疗的有理函数。 j p b e r r u t 和h d m i t t e l m a n n 在【l 】中利用矩阵给出了另外一种确定权因子 毋，i = o ，1 ，m + n 的代数方法，比较前一种确定饬的方法，这种代数方法要简便 一些。 朱晓临在 6 1 ，6 2 1 中利用n e w t o n 插值公式，给出了一种快速、简便又实用 的判别方法。 设 f c o o ( x ) = l ， 【q ( x ) = ( z x o ) ( x 一五) ( x x j 1 ) ，= l ，2 ，n = m + 疗， 9 矿的逆为 其中 v = l 1 q ( 五) 1 ( x 2 ) 吃亿) ；j。 1 q ( h ) 哆( h ) n k ( h ) 矿= 碰o 研o ： 秽 群 ； 硼 d k ) 1 雨础俐= 枣( _ 刊， 町 ( 2 2 7 ) 碰7 = 碰，) l ，k = ，+ 1 ，n ，_ ，= o ，l ， x i 一黾 引理2 2 1 如果g ( x ) 万满足q ( x k ) = q k ，k = 0 , i ，则 n ，k、 q ( x ) = q o + i 碰o g ii q ( 并) 。 k - il - o ( 2 2 8 ) 定理2 2 4 满足插值条件( 2 1 4 ) 的有理函数r ( x ) = p q r ( m 聍) 存在的充分 必要条件是方程组 n i 磁n 2 ： 卅 彳础。 彳础： ： 石硼 讲等” 磷掣 卯“ 厶+ 。礤：” 兀+ 。d 2 ：” 厶+ l 卵“ z 翌2 力“ 厶+ 2 职2 厶+ 2 卵“ 彬 q 砒。 存在一组解【吼，q l ，q 。r 满足靠o ，k = o ，1 ，n ，且 以喘= 嚣， 1 0 9 0 吼 ： q n ( 2 2 9 ) ( 2 2 1 0 ) 础鸱；秽解假；脯 其中吼= 口瓴) ，k = o ，l ，n 。 用a 和s 分别表示方程组( 2 2 1 0 ) 的系数矩阵和解向量空间。设，是系数矩 阵a 的第_ ，列元素，并记 4 = ，屯。6 j 。，“ ，j = o ，l ，。 则有 推论2 2 2 若d i m s = 1 ，则满足插值条件( 2 1 4 ) 的有理插函数r ( 力存在的充 分必要条件是方程组( 2 1 1 5 ) 的任一组非零解【q o ，g l ，“】t 均满足 吼= g ( ) ，k = 0 ，1 ，n 推论2 1 3 设 q o ，q l ，q 。】1 是方程组( 2 2 1 0 ) 的一组非零解，若对某个f ， o i n ，有q l = o ，则d e t a j = 0 。 2 3 通过型值点的几何分布研究有理插值的存在性 关于有理插值问题( 2 1 3 ) 、( 2 1 4 ) 的存在性，在上文中我们给出了几个不同 的判别方法。本节中我们针对三个、四个及五个型值点的情形，给出了由型值 点的几何分布情况来直接判断有理插值函数是否存在的直观的方法。当然，由 于有理插值问题本身的复杂性，作者仅仅从型点的简单几何分布来进行初步的 探讨。本文的结论是定理2 2 2 的推论。 2 _ 3 1 三个型值点的情形 定理2 3 1有理插值函数r ：( x ) 存在的充要条件是任一型值点都不在z 轴 i -