（课程与教学论专业论文）义务教育初中数学课程新旧教科书中代数习题的比较研究.pdf

义务教育初中数学课程新旧教科书中 代数习题的比较研究 中文摘要 人教版九年义务教育三年制初级中学教科书( 2 0 0 1 年版) 与北师大版的义 务教育课程标准实验教科书，由于所依据的纲领性文件分别是数学教学大纲 ( 2 0 0 0 年版) 和全日制义务教育数学课程标准( 实验稿) ，因而产生了一些 变化，本研究对两个版本的教科书中代数部分的习题进行了比较分析。 在习题的分析过程中，本研究采用了一个习题分析的框架，对研究范围内的 习题从数学特征、文字特征、具体要求三个维度上进行分解，从而将每道习题的 类型给予划分，以此对每个维度上的习题量化。通过定量的比较之后，我们发现 习题在数量减少的基础上，还存在着这样几个变化： ( 1 ) 在数学特征的维度上，习题从过去较为单一的类型，走向了多元化， 与其他的学科及数学的其他方面建立了联系，开始重视估计、猜测等数学中重要 的能力，开放性题目的比例也有所上升；( 2 ) 在题目的背景问题上，相比过去， 注重了知识与现实生活的联系，因而在习题中增加了一些背景知识，题目所具有 的现实意义也有所体现；( 3 ) 在题目的认知要求方面，步骤练习型习题从旧书中 所占的将近7 0 的比例下降到了5 0 左右，而其他类型的题目相应地有所增长， 问题解决型的题目数量增加明显。在给出答案的同时，题目进一步要求对答案进 行解释的数量也有明显的增加。 本研究还就习题中一些比较重要的具体维度以及定量比较中两版教科书差 别较大的一些方面给予了一定的理论分析，从而一方面较为清晰地反映出习题编 制的倾向性，另一方面对于教师对教科书的掌握也有一定的参考价值。 最后在比较的基础上，为习题的编制和配备提出了一些建议。 关键词：数学教科书；数学习题；习题分析；数学特征：文字特征；具体要求 i l a c o m p a r i s o nr e s e a r c ho fan e wa n da no l dt e x t b o o k s a l g e b r ae x e r c i s ef o rt h ec o m p u l s o r ye d u c a t i o n m a t h e m a t i c sc u r r i c u l u mo fj u n i o rm i d d l es c h o o l a b s t r a c t j u n i o rm i d d i es c h o o l st e x t b o o k so fp e o p l e se d u c a t i o n a lp r e s si sd i f f e r e n tf r o m t h ec o m p u l s o r ye d u c a t i o ne x p e r i m e n tt e x t b o o k so fb e i j i n gn o r m a lu n i v e r s i t yp r e s s b e c ：a t u s eo ft h ef i l eo fg u i d i n gp r i n c i p l ea l et h en i n e y e a rc o m p u l s o r ye d u c a t i o n f u l l t i m ee l e m e n t a r ym a t h e m a t i c s t e a c h i n go u t l i n e o fm i d d l es c h o o l ( 2 0 0 0 ) a n dt h e m a t h e m a t i c sc u r r i c u l u mo ft h ec o m p u l s o r ye d u c a t i o n t h et h e s i sm a i n l ym a k e sa c o m p a r i s o nb e t w e e n t h et w oe d i t i o nt e x t b o o k sa l g e b r ae x e r c i s e d u r i n gt h ea n a l y s i so ft h ee x e r c i s e w et a k eaf r a m e w o r ko fe x e r c i s ea n a l y s i s ， t od e c o m p o t m d e dt h ee x e r c i s eo nt h r e ed i m e n s i o nd e g r e e ，t h e ya l em a t h e m a t i c a l f e a t u r e 。c o n t e x t u a lf e a t u r e sa n ds p e c i f i cr e q u i r e m e n t s oe v e r ye x e r c i s eh a si t st y p e ， a n do ne a c hd i m e n s i o nd e g r e e w eg e taq u a n t i t yo ft h ee x e r c i s e a f t e rt h eq u a n t i t a t i v e c o m p a r i s o n w ef o u n dt h a tt h eq u a n t i t yo ft h ee x e r c i s ei sr e d u c e d 。a n da l s oh a v es o m e o t h e rc h a n g e s ： ( 1 ) o n t h em a t h e m a t i c a lf e a t u r e ，e x e r c i s e st y p ef r o mu n i t a r yt od i v e r s i f i c a t i o n a n d t a k ec o n n e c t i o nw i t ho t h e rs u b j e c t so ro t h e rc o n t e n to fm a t h e m a t i c s a b i l i t i e so f e s t i m a t e s u s p e c th a sb e e nt a k e nam u c hm o r ei m p o r t a n tp l a c e t h er a t eo ft h e “o p e n - a p p r o a c h ”a l s oh a v ei n c r e a s e d ( 2 ) o nt h ep r o b l e m s b a c k g r o u n d ，w ek n o w t h ek n o w l e d g ec o n n e c t e dw i t ht h el i f ei sm o r ea n dm o r ei m p o r t a n t ，s ot a k em o r e b a c k g r o u n da n dr e a l i t yc o n t e n tt ot h ee x e r c i s e s ( 3 ) o nt h ea s p e c to fp r o b l e m s c o g n i t i o n p r o c e d u r ep r a c t i c et a k ea b o u th a l f o fa l lt h ee x e r c i s e sf r o m7 0 i nt h e o l d o l l e a n do t h e rt y p e so fe x e r c i s e sa r ei n c r e a s e d t h en u m b e ro fe x e r c i s e so fp r o b l e m l l i s o l v i n gi n c r e a s e do b v i o u s l y t h eq u a n t i t yo ft h ee x e r c i s e so fr e q u i r e dt oe x p l a i nt h e a n s w e r sa l s oh a si n c r e a s e d f o rt h es t u d y ，w ea l s og i v es o m et h e o r e t i ca n a l y s i st ot h ec h a r a c t e r i s t i c d i m e n s i o nd e g r e ea n dt h eo b v i o u sc h a n g e sb e t w e e nt h et w ot e x t b o o k s o n es i d e ，i t c a nr e f l e c tt h et e n d e n c yo f p r o b l e m sc o m p i l a t i o n ，t h eo t h e rs i d e ，i tw i l lg i v es o m e r e f e r e n c et ot h et e a c h e r sf o rg r a s p i n go ft h et e x t b o o k s a n do nt h ec o m p a r i s o n sc o n c l u s i o n ，w ea l s og i v es o m ea d v i c e sf o re x e r c i s e s c o m p i l a t i o na n dc o l l o c a t i o n k e yw o r d s ：m a t h e m a t i c st e x t b o o k s ；m a t h e m a t i c se x e r c i s e s ：e x e r c i s e sa n a l y s i s ； m a t h e m a t i c a lf e a t u r e ：c o n t e x t u a lf e a t u r e s ；s p e c i f i cr e q u i r e m e n t 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我在导师指导下进行的研究及取得的研究成果。尽 我所知，除了文中特别加以标注与致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包括为西北师范大学或者其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我共同工作的同志对本研究所作的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 签名： 匆- 寿步 日期： 2 0 0 6 卑6 月二日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，e p ；学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其他复印手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵循此规定) 签名： 训勘 导师签名： 劢派 日期： 加6 4 月工日 刘勃 义务教育初中数学课程新旧教科书中代数习题的比较研究 义务教育初中数学课程新i e t 教科书中 代数习题的比较研究 一引论 ( 一) 研究的背景 在世纪之交，我国开始推行第八次基础教育课程改革，这次课程改革的步伐 之大，是前七次改革所不可比拟的。数学课程作为基础教育课程的重要组成部分， 也进入了一个新的时代。新颁布的全日制义务教育数学课程标准( 实验稿) ( 以 下简称标准) 与过去相比提出了很多新的理念，有许多新的变化，它不仅考 虑了数学作为一门学科其自身的特点，而且要求学习内容应当是现实的、有意义 的，富有挑战性的，同时更加尊重学生学习数学的心理规律，强调学生的已有经 验，重视对学生多方面能力的培养。与此同时，以标准为指导的新的教科书 也应运而生，并已投入使用。教科书是根据学科课程的构成加以系统编制，供教 学用的学生用书。1 1 它为教师的教和学生的学搭建起一个知识体系的平台，在教 学活动中起着非常重要的作用。对于教师，在教学的准备过程中以教科书为参考， 授课的知识体系编排也遵循着它的结构，而对于学生，课堂时间毕竟是有限的， 在课后的预习和复习中，教科书就更多的替代了教师来为学生展现着知识的深度 和广度，因而，它就必然成为师生共同关注的一部分，也成为教育工作者研究课 程的一个着眼点。鉴于其重要性，我们有必要对它的特点进行深入研究，这样既 可以为教师和学生对教科书较好的掌握提供帮助，又可以对教科书进一步的完善 和新一轮的编制提供参考。 习题部分作为教科书的一个重要组成部分，一直以来都受到了人们的重视。 习题，就其自身而言，是掌握、运用知识的一个重要辅助工具，同时还兼有评价 学生认知水平的功能。学生的数学经验和对数学知识的掌握与习题训练有着密不 可分的关系。戴再平指出：“数学习题有着知识的功能、教育的功能和评价的功 能，学生一旦进入解题这一过程中，就接受着一种思想的体操的训练”。1 2 在课堂上，学生通过做题对一节课的知识进行熟悉和巩固，在课后，学生还是需 要通过做题来培养运用知识、解决问题的能力，因而，习题的表述、对学生的要 求以及综合性、趣味性等方面的特征就直接关系到学生对于数学的体验以及数学 观的形成。当然，学生所接触的习题不仅仅局限于教科书，但是，从习题的基础 1 1 1 钟启泉学科教学论基础 m 】上海：华东师范大学出版社，2 0 0 1 ：3 3 1 1 2 1 戴再平数学习题理论【m 】北京：高等教育出版社，1 9 9 6 1 0 ：2 9 1 刘勃 义务教育初中数学课程新旧教科书中代数习题的比较研究 性、科学性和权威性来说，教科书中的习题相比学生进行的其他练习更加重要， 因而，对教科书中的习题进行研究就具有比较重要的意义。 ( 二) 问题的提出 在确定研究的问题之前，我们首先需要明确问题中所涉及到的研究对象。 1 研究材料的选取 ( 1 ) 材料来源： 人民教育出版社中学数学室编著九年义务教育三年制初级中学教科书 代数第二册2 0 0 1 年3 月第一版人民教育出版社( 以下简称旧版) 人民教育出版社中学数学室编著九年义务教育三年制初级中学教科书 代数第三册。2 0 0 1 年1 2 月第一版人民教育出版社( 以下简称旧版) 义务教育数学课程标准研制组，北京师范大学国家基础教育课程标准实 验教材总编委会编著义务教育课程标准实验教科书数学八年级上册2 0 0 2 年6 月第一版北京师范大学出版社( 以下简称新版) 义务教育数学课程标准研制组，北京师范大学国家基础教育课程标准实 验教材总编委会编著义务教育课程标准实验教科书数学九年级上册2 0 0 5 年5 月第三版北京师范大学出版社( 以下简称新版) 由于本研究选取了代数内容中的部分章节进行比较，因而在两套教科书中选 取了以上四本书。 ( 2 ) 习题来源： 旧版代数：每- - d , 节内容后的练习、习题( a 、b 组) ，以及整章内容 后的复习题( a 、b 组) 新版数学：每一小节内容后的随堂练习、习题，以及整章内容后的复 习题( a 、b 、c 组) 2 问题的提出 在明确了研究的对象和范围之后，我们进一步来讨论本研究的着眼点为什么 要放在新、旧教科书中代数部分的习题比较上。 ( 1 ) 为什么要进行新、旧版本的比较 任何事物都始终处于一个不断变化发展的过程，如果我们想要清晰地认识 它，不能只看当前的状况，要充分了解它的现状和历史，这是唯物主义告诉我们 的。在教科书的发展过程中，这一次的变化是比较大的，我们进行这两个版本的 比较，既可以更好的认识新课程、新教材，也能对新旧教科书的过渡起到一定的 2 刘勃 义务教育初中数学课程新旧教科书中代数习题的比较研究 指引作用。而通过教科书中习题的比较研究，会使两个版本中的习题形成参照， 相互对应、相互补充地表现出习题的各方面特征，帮我们更全面、细致地进行习 题的分析研究。 ( 2 ) 为什么对习题进行比较 著名数学教育家波利亚曾说过：“掌握数学就是意味着善于解题。”将习 题的重要性提到了很高的位置。而戴再平教授在其论著数学习题理论中系统 的分析并提出了习题的三个功能：a 知识功能：通过数学习题引入新知识、巩固 新知识、运用新知识：b 教育功能：包括发展学生的智力因素和非智力因素以及 给学生以美的陶冶；c 评价功能：包括知识水平的评价和能力的评价。而毛鸿翔 在他所写的习题的功能问题一文中增加了一条：d 发展功能：通过习题发展 学生的思维( 其中包括培养他们的科学理论思维能力) 和使其掌握脑部活动的规 律。可见习题在数学教学中的重要作用。 从实际中看，教师的教和学生的学，都与习题有着密切的关系。基本上可以 理解为只有通过习题练习，才能很好地掌握知识与运用知识，否则习题也不会有 如此高的地位，“题海战术”这一名词也就不会出现了。 在我国众多关于中学数学教育的刊物中，绝大部分的文章研究的是关于 习题、试题的解法，思维过程的探求，解题策略探讨，而关于习题理论方面的文 章还很少，缺乏对于数学习题的科学性、数学习题的编制、数学习题的错误分析、 数学习题的评价、客观性习题的研究等。这一方面使得我们在解题方面具有了很 大的优势，但另一方面又缺乏了理论上的指导，仅将眼光局限于解题。其实即使 是解法，掌握高层次的解题策略也比掌握低层次的具体解法意义更大。因而，探 究习题理论，对习题进行反思、归纳和分析是重要的。 教科书中的习题与过去相比究竟发生了怎样的变化呢? 这些变化究竟是 有利( 当然这是课程改革的目的) 还是有弊( 然而任何事情的发展也许并不像我 们所预期的那样) ? 这是我们想要了解的。另外，由于习题是构成教科书的一个 重要部分，是教科书的一个细微层面，而教科书所发生的变化会渗透在构成它的 方方面面，因此，对习题的比较研究也是从一个特定的角度来看教科书的变化。 众多资料表明，我国的学生在解决常规的数学题目时，往往很熟练准确， 但当遇到开放题、有现实背景的题目，以及需要交流、合作、创造和想象的题目 时，我国的学生就会显得力不从心。这种差别的产生，有着多方面的原因，而平 时所练习的习题其种种特征应当算是问题产生的一个重要方面。那么，过去教科 刘勃 义务教育初中数学课程新旧教科书中代数习题的比较研究 书中的习题其特征是怎样的呢? 为什么会使得学生具有较好的解决常规题目的 能力，而在解决其他类型的题目时存在困难? 而新版教科书中习题的配置是否会 在这一方面与过去相比有明显的改观呢? 又会产生怎样的改观呢? ( 3 ) 为什么对代数部分进行比较 由于教科书的特点具有整体性，所以要研究教科书的特点，就可以从其 中的一个领域入手，它可以从一个方面反映出教科书整体上的特点。 如若要比较新、旧教科书的整体，就将涉及到代数、几何、统计与概率 等方面，这样的话对于本研究就过于繁重，对每一个领域便只能很肤浅地分析， 可能每个领域只能选取一到两章来进行比较，这样就无法肯定所选取的章节是否 能够充分代表本领域。因而只对一个领域研究，对这一领域可以进行较为深入的 分析和挖掘，从而来体现新旧教科书中习题整体上的特点变化。 代数部分容易忽视与实际生活的联系，不像几何那样直观，概率统计那 样贴近生活，相比之下学生不容易体会代数部分的价值，这样就更不会用学到的 知识去解决问题，解决代数题目常常感到“枯燥无味”，从而失去学习数学的兴 趣和信心。因而，代数部分的学习与学生的数学体验，情感的形成有着密切的联 系。 3 问题的具体阐述 基于以上的分析，本研究将对义务教育初中阶段新版与旧版教科书中的代数 习题进行比较，并从以下两个方面展开研究： ( 1 ) 首先构建一个习题分析的框架，其中包括数学特征、文字特征和具体 要求三个维度。然后利用这一工具将比较范围内的习题进行分解，即先将每一道 习题所具有的特征对应这三个维度中的细微层面进行划分，然后对各个维度中每 一层面上的习题进行统计，从而将新、旧版教科书中的习题在不同维度上分别进 行了量化，通过比较后得出结论，即两个版本的教科书中代数习题在数学特征， 文字特征，题目的具体要求这三个方面发生了怎样的变化： ( 2 ) 对我国新、旧版教科书中的代数习题从整体上进行比较之后，就习题 在比较过程中的些比较重要的具体维度以及新旧教科书中差别较大的一些方 面给予一定的理论分析及建议。 ( 三) 研究的方法 本研究所采用的方法主要有比较法和内容分析法。 “所谓比较法，是根据一定的标准，对某类教育现象在不同情况下的不同表 4 刘勃 义务教育初中数学课程新旧教科书中代数习题的比较研究 现，进行比较研究，找出教育的普遍规律及其特殊本质，力求得出符合客观实际 结论的方法。”【1 】比较法要求满足这样几个条件：( 1 ) 必须存在两种或两种以上事 物( 2 ) 这些事物必须有共同的基础( 3 ) 这些事物必须有共同的特性。而我们的研究 对象：新旧两个版本的教科书是具有这些条件的。同时，在我们对新旧教科书中 的习题进行比较，探寻各自特点及习题配置的普遍规律时，还需要依据一定的标 准，于是我们通过一个“习题分析的维度”，用它来分别衡量两版教科书中的习 题，从而对两者进行比较。 而“内容分析法”，是对于明显的传播内容，作客观而有系统的量化，并加 以描述的一种研究方法。【2 】这里的传播内容就是教科书，是我们进行内容分析的 对象，并且通过习题分析的三维框架将每一道习题进行分解，从几个具体的维度 上对习题进行量化，从而能够比较客观的反映每一道习题的特征，并以此体现一 个版本的习题特征。 因此，本研究进行的基础就是构建这样一个“习题分析的维度”。 本研究中的这一分析维度是在前人的研究基础上建立的。s t i g l e r 等人在比较 美国和前苏联小学课本中关于加减法的文字题时，发现题目的数学特征 ( m a t h e m a t i c a lf e a t u r e ) 和文字特征( c o n t e x t u a lf e a t u r e ) 对学生加减法文字题的 熟练程度有着潜在的影响。y e p i n gl i 在此基础上，构建了分析问题的三个层面： 数学特征，文字特征和达到的要求( p e r f o r m a n c er e q u i r e m e n t ) ，并通过这一方法 比较了中美教材中整数加减法部分的课后习题。邓小俐在其硕士学位论文中对中 美初中数学课本中的习题比较时，构建了一个新的三维框架，这三个维度分别是 文字特征、达到要求和解题策略。而本研究认为数学特征应当是在分析数学习题 时必不可少的一项指标，同时，习题的解题策略也可以包括在习题的具体要求中。 由此，本研究对前人的维度划分加以综合和改进，便构建了下面的习题分析的维 度。 l l i 李秉德教育科学研究方法【m 】北京：人民教育出版社，2 0 0 1 5 ：1 0 0 1 2 1 李秉德教育科学研究方法【m 】北京：人民教育出版社，2 0 0 1 5 ：2 1 7 5 刘勃 义务教育初中数学课程新旧教科书中代数习题的比较研究 习题分析的维度 与其他数学知识、学科以及生活经验相关( o c ) 1 数学特征 答案不固定或者条件不完备( m n ) 需运用估计、猜测或合情推理( e g ) 只有数字和文字的形式( p m ) 2 文字特征 模式型的无意义的背景( p n ) 有图表解释或背景( i c ) 步骤练习( p p ) 概念理解( c u ) ( 1 ) 认知要求 问题解决( p s ) 特殊要求( s r ) 个人学习( s s ) 3 具体要求 ( 2 ) 参与方式 合作学习( c s ) 推理运算、判断( c r ) ( 3 ) 解题方法 规律探索、调查、实验( ) 只要求给出答案( a o ) ( 4 ) 答案类型 要求对结论给予解释( e s ) 对此表需要做以下解释： 1 作者认为，数学特征是分析数学习题时必不可少的一项指标，但对于以 上数学特征中所包含的三个指标是否科学、合理，还有待于进一步的讨论和验证； 2 对于“文字特征”，作者认为，在我国的教科书中，介于“只有数字和文 字的形式”和“有图表解释和故事背景”的题目之间，还大量存在着一种具有“无 意义的背景”的题目，无论将其归结于前两者哪一类，都不够准确，因而给予添 加： 3 我们所提倡的“问题解决”，是经历从现实背景中“抽取”数学的数学化 过程，以及把数学放到现实中加以使用的过程，解决这样的问题是没有现成方法 刘勃义务教育初中数学课程新旧教科书中代数习题的比较研究 的。i t 】但是，在我们的教科书中，像这样的题目基本上是没有的，因而我们这里 的“问题解决”主要是区别于“步骤练习”、“概念理解”等认知要求的一类题目， 它们只是要求将一个有一定实际意义或情景化了的题目能够给予分析、提出方案 并解答。 下面举例来说明习题分析维度的具体运用： 例1 已知一次函数y = h + 2 当x = 5 时的值为4 ，求k ； 分析：只有数字和文字的形式( p m ) ；步骤练习( p p ) ；个人学习( s s ) ；推 理运算、判断( c r ) ；只给出答案( a o ) 。 例2 交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用 的经验公式是v = 1 6 彤，其中v 表示车速( 单位：千米时) ，d 表示刹车后车 轮滑过的距离( 单位：米) ，表示摩擦因数。在某次交通事故调查中测得d 一2 0 米，一1 2 ，肇事汽车的车速大约是多少? 分析：与其他数学知识、学科以及生活经验相关( o c ) ；有图表解释或背景 ( i c ) ；问题解决( p s ) ；个人学习( s s ) ；推理运算、判断( c r ) ；只要求给出 答案( a o ) 。 这一研究方法的优点与局限性： 优点：建立这样一个三维度的习题分析框架，能够对每一道习题从几个维度 上进行多层次的划分，从而对习题的分析给予量化，从整体上比较直观地看出两 套教材中习题的区别，较准确地反映两套教材的习题在某个维度上的倾向性。 局限性：由于主观上的认识原因，本人不可能完全客观地对每个习题进行几 个维度上的划分，其误差是不可避免的。同时，对“习题的分析维度”中各个维 度及其中元素的合理性还有待于进一步商榷。 二文献综述 本研究的基础是建立在对习题的研究理论之上的，同时还涉及到了对教科书 的研究和不同版本的比较上，因此，本研究将关注以下几个方面： ( 一) 数学习题理论研究 1 1 刘兼，黄翔，张丹数学课程设计【m 】北京：高等教育出版社，2 0 0 3 ：1 2 6 7 刘勃义务教育初中数学课程新旧教科书中代数习题的比较研究 对于习题的解法研究，波利亚早在其著作怎样解题中己阐明了数学习题 的解决过程。他通过一个“怎样解题表”的四个步骤来阐明解题的方法，即第一， 必须弄清楚问题；第二，找出已知数与未知数之间的联系，得出一个求解的计划： 第三，实行你的计划；第四，验算所得到的解。他的这一著作介绍了求解数学问 题的一般方法，为学生掌握独立解决新问题的本领提供了可能。 而通过分析课本中的习题来考察习题对于学生数学经验获得和数学素养提 高的影响，也并不算一个崭新的课题。在我国众多的关于中学数学教学的刊物中， 很多中学教师结合自己的教学实践，将如何挖掘教科书中的习题的功能进行了实 例上的探讨。 管宏斌在文章“课本习题数学探究教学的源泉”中指出：“课本中许多 习题看上去很容易，但却隐藏着相关数学理论的本质属性，蕴含着重要的数学思 想方法，如果我们能引导学生对这类问题进行探究，通过类比衍生，迁移拓广， 提出新的问题并加以解决，就能有效巩固基础知识，发展数学思维能力，发挥教 材的扩张作用。”【1 铴英杰也在其文章“谈谈初中教材习题的挖掘与利用”中，对 教科书中的习题进行了组合、一题多解等尝试，这样就能充分发挥教科书中习题 的潜力。i z j 对数学习题理论的探讨还涉及到习题的配置问题，早在1 9 8 0 年，余元庆就 在其文章“谈谈习题的配备与处理介绍几本外国中学数学课本中的习题配 备”【3 l 中对国外的几本数学教科书中的习题进行了总体特点上的分析和比较，并 且据此，提出了针对我国中学数学的习题配备与处理方面的些建议，涉及到习 题的数量、习题的灵活性、习题的形式、习题后面是否附答案等问题。对现在我 们所遇到的习题配置方面的问题，仍然有一定的启示。而在此之后，也有很多研 究者对习题的配置提出了自己新的看法，这里就不详细叙述了。 年仁德、刘国英针对教学中，一些教师在选题时采用题海战术，过分地注重 “量”而忽视“质”，不研究各类习题的功能和作用的现状，在“数学教师对习 题的选择和使用”【4 】一文中，为教师对数学习题的选取提出了一些切实可行的建 议：理解新知识选用模仿性习题；揭示新知识的本质选用规律性习题；解决教材 重点、难点选择针对性习题：扩展学生多向思维选择多解性习题；强化学生的解 题灵活性选择技巧性习题：培养学生用综合知识分析问题和解决问题的能力要选 i l l 管宏斌课本习题一一数学探究教学的源泉【j 】中学数学教学，2 0 0 5 1 ：2 1 2 2 障i 杨英杰谈谈初中教材习题的挖掘与利用唧中学数学教学，2 0 0 0 1 ：2 7 2 8 1 3 l 余元庆谈谈习题的配各与处理四数学通报，1 9 8 0 3 ：6 - - 1 0 1 4 1 年仁德，刘国英数学教师对习题的选择和使用【j 】数学通报，2 0 0 1 1 2 ：2 7 - - 2 9 8 刘勃 义务教育初中数学课程新旧教科书中代数习题的比较研究 用综合性习题。并对所涉及到的各类习题一一进行了解释。 戴再平在其著作数学习题理论中，对数学习题的分类、功能、编制、解 题策略等关于数学习题的多方面问题进行了系统化的阐述，对数学封闭性习题的 科学性提出了六条标准：( 1 ) 有关的概念必须是被定义的；( 2 ) 有关的记号必须是 被阐明的：( 3 ) 条件必须是充分的、不矛盾的；( 4 ) 条件必须是独立的、最少的： ( 5 ) 叙述必须是清楚的；( 6 ) 要求必须是可行的。同时，对于开放题，即题目条件 不充分，没有确定结论的题目其特点、设计和编制进行了介绍。这本书在很多方 面开创了习题理论的先河，是研究数学习题理论的权威著作。 从以上我们也可以看出，数学习题理论是一个涵盖了习题本身特点、习题编 制、习题解法、习题的选择编排等众多方面的理论体系，需要我们全面、深入地 去认识它。 ( - - ) 对我国两个版本数学教科书的比较研究 新课程实施以来，广大的一线教师在接触新的课程和教科书时，产生了很多 的体验和感受，也多少会有些不适应，于是纷纷发表了对新版教科书的一些看法， 其中当然也不乏质疑。这里借用老一辈数学教育家马明先生的一句话：“如果说 现行课程2 0 有问题的话，我们干嘛不能以宽容的态度允许新课程也有2 0 的 问题呢? ”这句话是值得我们思考的。 在对新课程和教科书发表看法的同时，人们也会将新旧教科书进行比较，以 明了新版教科书在哪些方面有所改进，对现实有怎样的影响，与旧版教科书相比 是否在向更为完善的方向发展，并倾向于判断出优劣。 阮夏强对新旧教科书进行了一些比较客观的分析，他在“初中数学新旧教材 及教学实践比较”一文中，指出了新、旧版教科书各自的优缺点，如“传统教材 知识结构较严密，多强调运算能力与逻辑推理能力的训练，但对实际问题的解决 常常是一筹莫展。新教材提供了众多的、在现实生活中可以看得见的、富有数学 含义的问题，以及大量的可操作、思考与交流的机会，但新教材有时过于强调知 识的多面性与实用性，对知识的连贯性处理不够好，结构比较松散，概念性知识 的顺序还应考虑更合适的安排。”【l j 李泽衣对华东师大版七年级与原人教版初中一年级的教科书进行了对比，首 先对外在的编排形式上所具有的不同之处进行了总结，继而又从教学内容的众多 细节进行对比，例如将旧版教科书中“平行线的判定”在新版中变成了“平行线 【1 l 阮夏强初中数学新旧教材及教学宴践比较【j 1 成都教育学院学报。2 0 0 4 5 9 刘劫 义务教育初中数学课程新旧敦科书中代数习题的比较研究 的识别”等既体现着标准的理念，又很细节化的特点。在对新教材的实用性 给与肯定的同时，也提出了一些对新教材的看法。【1 】 虽然众多研究都将目光投向了教科书的比较，然而由于大家基本上都是从教 科书的整体入手，分析视角相似，使得这些文章所发现的问题也都是类似的。鉴 于此，本研究从习题的角度进行，一方面可以通过习题，起到管中窥豹的作用， 来了解新旧教科书的不同特点，另一方面通过习题比较，以及对习题自身特点的 分析，也能够为习题的进一步完善提供一定的参考。 ( 三) 对我国与其他国家数学教科书的比较研究 李开慧在文章“关于中马初中数学教材的比较研究”【2 】中，比较发现中国与 马来西亚初中数学教材在编排体系、教材内容、教材编写特点等方面均有许多不 同之处：中方教材追求数学定义的精确化、严格化，马方教材更适合初中学生的 认知水平，更注重教学内容与实际生活的联系，使学生容易理解并提高运用所学 知识的能力；在教材编写方面，中方偏重数学学科特点，偏重推理证明，偏重知 识效率，而马方偏重学生的学习特点，偏重实际计算，偏重知识的广泛性。 还有一些文章仅对于习题进行了中外比较。 陈汉红在其硕士学位论文“中美平面几何习题的比较研究”中，采用比较法， 以教育心理学、几何教育理论、建构主义的数学学习观等为理论依据，对中美平 面几何的习题分别进行了特征分析，并通过一些具体实例，反映了美国的课题型 作业与我国传统的一般性习题的巨大差别。【3 】 邓小俐在对中美初中数学教科书中的习题进行比较时，由于构建了一个习题 分析的三维框架，使得对习题的比较较为全面和明晰，本研究所使用的工具“习 题分析的维度”，就是借鉴这一方法，并力求将这一三维框架构建的更加全面。 邓小俐在比较中美初中数学教科书中的习题时，所建构的三维分析框架，是 在s t i g l e r 、y e p i n g l i 等前人的研究基础上产生的。邓小俐认为，习题所体现学生 不同的学习方式( 如合作学习、调查实验) 也是影响学生数学经验获得的一个很 重要的因素，所以他所构建的新的三维框架中的维度分别是文字特征、达到要求 和解题策略，以此为基础，通过比较发现中美数学教科书中的习题在故事背景、 对结论进行解释、调查实验、学习方式、问题解决、模型使用等方面都存在着很 大差异，并从教学目的、数学的价值取向以及两种社会不同的历史文化背景三方 i l l 李泽衣新老教材的比较与研究浅谈初一数学新教材【j 】广西梧州师范高等专科学校学报- 2 0 0 3 2 1 2 1 李开慧关于中马初中数学教材的比较研究【j 】数学教育学报，2 0 0 5 1 1 3 l 陈汉红中美平面几何习题的比较研究【d j 上海师范大学硕士学位论文，2 0 0 4 1 0 刘勃义务教育初中数学课程新旧教科书中代数习题的比较研究 面对差异的形成做了简要的分析。作者还通过对比的结论，提出了编制习题应该 注意的五个方面，即：( 1 ) 题目的语言表述要符合学生的认知规律( 2 ) 题目要 有探索性，包含丰富的思想( 3 ) 题目要丰富多彩，能够符合学生各种不同的学 习方式( 4 ) 问题解答的表述方式不要求整齐划一( 5 ) 题目之间要有较好的连通 度。 1 1 综上所述，从本研究的角度来看以往的研究，可以说是对习题的解法研究多， 对习题的本质和理论研究少：对教科书整体上的比较研究多，对教科书中某一层 面的比较研究少；较为看重中外的对比，对本国数学教育自身发展中的对比研究 少。因而，本研究将会从教科书中习题的具体分析和研究着手，来对比新旧版教 科书的习题这一层面，从而透过习题来挖掘教科书乃至数学课程的变化。 三习题的对比与分析 由于代数部分的内容比较多，因而本研究只选择较有代表性的三个章节来进 行比较，分别是新版数学八年级上册的第一章“实数”、九年级上册的第二 章“一元二次方程”、八年级上册的第五章“一次函数”，分别对应旧版代数 第二册的第十章“数的开方”、第三册的第十二章“一元二次方程”、第三册的第 十三章“函数及其图象”中关于函数与一次函数的部分。 之所以选择这三章内容，有以下原因：“数的开方”部分是继负数在初中教 科书中引入后关于数系扩充的又一个难点；“一元二次方程”部分是极易与现实 生活相联系的一部分内容：而函数部分可谓是初中内容中的重点和难点，但限于 材料上的不足，只就现有资料进行比较，故而选择了“函数与一次函数”部分。 下面我们将就研究范围内的习题，通过习题分析的维度，给予划分和统计， 用图表来较为明晰地表示，并进行分析。 ( 一) 分章节的对比 1 实数章节的对比 本章节在北师大版教科书中共有7 2 道题目，在人教版教科书中共有6 5 道题 目，数量上呈现略微的减少。 i t 邓小俐中美初中数学教材中习题的对比研究【d 南京师范大学硕士学位论文，2 0 0 2 1 1 刘勃义务教育初中数学课程新旧教科书中代数习题的比较研究 图1“数的开方”部分的比较 注：上表中o c 、m n 、e g 代表的是“数学特征”这一维度中的三个层面；p m 、p n 、 i c 代表的是“文字特征”中的三个层面；p p 、c u 、p s 、s r 、c s 、e s 代表的是习题“具 体要求”这一维度中的四个层面。具体的字母表示参见第6 页“习题分析维度”中的介绍。 观察以上的对比数据，我们可以看到，其中的变化是有的，但总体上并不明 显。表现在几个维度上是数学特征方面的变化比较明显，而规律探索型的题目则 是旧书多于新书。从课本中最能直观感受到的变化就是新的教科书试图从方方面 面来展现根式在实际中的运用，于是相比旧版中减少了只有数字和文字的题目， 而增加了有故事背景和实际意义的题目。 下面是一道新版教科书中的题目： 例1 一个人每天要饮用大约0 0 0 1 5 米3 的各种液体，按7 0 岁计算，他所饮 刘勃义务教育初中数学课程新旧教科书中代数习题的比较研究 用的液体总量大约为4 0 米3 。如果用一个圆柱形的容器( 底面直径等于高) 来装 这些液体，这个容器大约有多高? ( 误差小于1 米) 这样的题目将立方根的计算融进了一个具有趣味性的题目中，它与我们的生 活息息相关，会使看到题目的人首先产生好奇，进而通过计算来确认，这就要比 单纯地计算一个数的三次方根更能吸引学生。 由于本章主要是关于平方根、立方根和实数的概念问题，因而新书和旧书中 都将步骤练习和概念理解作为重点，题目中较多的是计算、判断、比较两数的大 小等，从这些方面看，两本书是类似的。不过标准中对学生提出了这样的要 求：“能用有理数估计一个无理数的大致范围。”【1 l 从而表现在习题中就出现了类 后， 似的题目：“估算下列数的大小：轭丽( 误差小于1 ) ”；“通过估算，比较掣 z 一 与= 的大小”。这样的题目在旧版教科书中是没有的。而估算确实是我们在日常 5 生活中常常用到的技能，它有利于人们事先把握运算结果的范围，是发展学生数 感的重要方面，可是过去我们却将它忽视了。原本简单的只要估算就能解决的问 题，在经过学校的教育后学生却只会用纸和笔来计算，这不能不说是我们的失误。 由于新书的编排将“整数的勾股定理”放在了“实数”的前面，因而在引入 平方根的时候考虑到了学生自身的体验。新书中本章习题的第一道题目是：“正 三角形a b c 的边长为2 ，高为h ，h 可能是整数吗? 可能是分数吗? ”由于学生 的经验水平处于解决勾、股、弦均为整数的问题，这道题目就使得学生产生了认 知上的冲突，用原来的知识似乎无法解答了，这个h 究竟是一个怎样的数呢? 这 种“问题型的教学模式”使得学生所面临的问题与以往的经验是不相吻合的，这 种情况就会促使学生对新知识产生兴趣和学习的渴望，比较容易让学生进入学习 情景。而旧书由于直接是从平方根的定义引入，因而之后配备的习题也就直接进 入了对概念的理解，例如对一个数的平方根进行判断或求解。由于引入实数的概 念是数系的又一次扩充，也是难点所在，因而像新书这样让学生首先有个较为直 观的印象再进行概念学习是可取的。 不过旧书在规律探索方面的习题相比新书要多，如： 例2 计算：1 0 2 ，1 0 4 ，1 0 6 ，v 1 0 6 ，副1 0 9 ，刘1 0 ”。你能从中找出 i l j 中华人民共和国教育部制定全日制义务教育数学课程标准( 实验稿) 【s 1 北京：北京示范大学出版社 2 0 0 1 7 1 3 刘劬义务教育初中数学课程新旧教科书中代数习题的比较研究 计算的规律吗? 如果将根号内的1 0 换成5 ，这种计算的规律是否仍然保持? 对规律的探索也是我们应当培养学生的，这一方面是由于现实世界和数学内 容中蕴涵着丰富的规律；另一方面，运用符号刻画数量关系和变化规律是代数学 习的主要内容，而一些研究表明，学生对它的学习还存在着困难。【1 】让学生能发 现问题，总结规律，知识从他们自己的归纳中获得，是比任何现成的知识传授更 为有效的。旧版教科书中关于“举例”这一类型的题目也有体现，诸如：实数都 是有理数吗? 举例说明。实数都是无理数吗? 举例说明。虽然题目很简单，但它 却蕴含着数学中“反例”的思想，是很重要的，但是新书在这两方面几乎没有体 现。由于本章本来就是一个以概念理解为目的的章节，因而多设计以上的题目， 是对学生的理解有帮助的。从这一方面我们也看出不能单纯地说哪个版本的书 好，哪个不好，它们都是有可取之处的。 2 一元二次方程章节的对比 图2“一元二次方程”部分的对比 1 l 刘兼，黄翔张丹数学课程设计【m 卜北京：高等教育出版社，2 0 0 3 8 ；1 6 3 1 4 刘劫 义务教育初中数学课程新旧教科书中代数习题的比较研究 在这一部分，我们看到每个维度上都有比较大的变化。首先，习题在数量上 的差异就是巨大的，旧书中共有1 0 5 道，而新书中只有4 6 道。之所以有这样大 的差距，主要是因为大纲和标准的不同要求。大纲对“一元二次方 程”的很多方面都做了要求，如根与系数的关系、可化为一