（应用数学专业论文）乘子算子的多线性交换子的有界性研究.pdf

摘要 本文主要研究乘子算子t 与局部可积函数所生成的多线性交换子p 的有界性问 题。 首先，证明了多线性乘子交换子t 6 的s h a r p 函数估计，并得到了该多线性交换子 的汐( 伽) ( 1 p ) 有界性，其中6 = ( b l ，b m ) ，b i b m o ( r n ) ，w a 1 。 其次，证明了多线性乘子交换子p 是霹( 毋) 到妒( 册) 有界的，h 1 ( 形) 到l 1 ( 衍) 弱 有界的，b = ( b l ，6 m ) ，6 t b m o ( r ”) ，1 i m 。 然后，讨论了乘子算子与l i p s c h i t z 函数生成的多线性交换子t 6 在l i p s c h i t z 空间， h a r d y 空间上的强有界及弱有界性。即当空间各指标满足适当条件时，t 6 是口( 舒) 到 毋卢，( 尼。) 有界的，口( 尼。) 到口( 舻) 有界的，珲( j p ) 到l q ( j p ) 有界的以及日n 肋+ m p ) ( 尼。) 到三1 ( 彤) 弱有界的，其中6 = ( b l ，6 m ) ，l 锄( 船) ，1 歹m 。 最后，讨论了乘子算子与b m o 函数生成的多线性交换子p 的加权端点有界性。即 对于叫a 1 ，t b 是l w ) 至：l j b m o ( w ) 有界的，同时若满足适当的条件，p 是h 1 ( 伽) 到 弱l 1 ( 叫) 有界的和从b ( w ) 至u c m o ( w ) 有界的 关键词：乘子算子；多线性交换子；b m o 空间；h a r d y 空间；h e r z 空间；l i p s c h i t z 空间 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w em a i n l ys t u d yt h eb o u n d e d n e s so fm u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r st 6 g e n e r a t e db ym u l t i p l i e ro p e r a t o rt a n dl o c a l l yi n t e g r a b l ef u n c t i o n s f i r s t ，t h es h a r pf u n c t i o ne s t i m a t e sf o rm u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r st bo fm u l t i p l i e r o p e r a t o ra r ee s t a b l i s h e d b yu s i n gt h es h a r pi n e q u a l i t i e s w eo b t a i nt h el p ( w ) ( 1 p ) b o u n d e d n e s se s t i m a t e so ft d ，w h e r eb = ( b l ，6 m ) ，阮b m o ( r n ) ，w a 1 s e c o n d ，w ep r o v et h em u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r so fm u l t i p l i e ro p e r a t o rt bw a s b o u n d e df o r m 磷( 形) t o 妒( 舻) ，a n dw e a kb o u n d e df r o mh 1 ( 舻) t ol 1 ( 舻) ，w h e r e b = ( b l ，6 仇) ，魄b m o ( r n ) ，1 i m f u r t h e r m o r e ，w ep r o v e dt h em u l t i l i n e a rc o m m u t a t o ro fm u l t i p l i e ro p e r a t o rt d ， w h i c hi sg e n e r a t e db ym u l t i p l i e ro p e r a t o ra n df u n c t i o n si nl i p s c h i t zs p a c e ，i sb o u n d e d o nl i p s c h i t zs p a c e ，h a r d ys p a c ea n di sw e a kb o u n d e di nh a r d ys p a c e t h a ti st b i sb o u n d e df r o m 妒( 舻) t o 闺( 酽) ，护( 朋) t ol r ( 舻) ，珲( 舻) t o 口( 形) a n di s w e a kb o u n d e df r o mh n ( n + m p ) ( 舻) t ol 1 ( j p ) ，w h e ni n d e x e so ft h o s es p a c e ss a t i s f y p r o p e rc o n d i t i o n s ，w h e r eb = ( b l ，6 m ) ，幻l i p 卢( r n ) ，l j m f i n a l l y , t h ew e i g h t e de n d p o i n te s t i m a t e sf o rm u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r so fm u l t i p l i e r o p e r a t o rt 6g e n e r a t e db ym u l t i p l i e ro p e r a t o ra n db m o f u n c t i o n sa r es t u d i e d t h a ti s f o rw a i ，t bi sb o u n d e df r o ml c o ( w ) t ob m o ( w ) ，a n dt bi sb o u n d e df r o mh lw ) t ol 1 ( 叫) a n df r o ms p ( 伽) t oc m o ( w ) o ns u i t a b l ec o n d i t i o n k e yw o r d s ：m u l t i p l i e ro p e r a t o r ；m u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r ；b m os p a c e ； h a r d ys p a c e ；h e r zs p a c e ；l i p s c h i t zs p a c e i t 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后 果由本人承担 作者签名：王面为 日期：加7 7 年岁月多e l 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后试用本授权书 2 、不保密囱 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：王自为 导师签名：雳l 么敌 日期：呷年r 月多日 日期：jd 0 9 年j 月占日 1 i 1本文的研究背景 第一章绪论 自从2 0 世纪5 0 年代，a p c a l d e r 6 n 和a z y g m u n d 等分析数学家们为研究偏微分方 程而建立奇异积分算予理论以来，奇异积分算子在函数空间中的有界性研究就成了调 和分析中十分活跃和热门的课题，由此形成和发展起来的许多实变方法和技巧，已经 被广泛应用于算子有界性研究当中o 奇异积分理论在复分析、偏微分方程、位势论、非 线性分析与概率论中都有许多应用( 见文献【3 1 1 】 3 6 】 4 0 】阻】) 。 与奇异积分算子相关联的交换子是一类重要的算子，其重要性在于交换子可用于 刻划函数空间，同时，由于它与偏微分方程、c a u c h y 型积分等问题有着密切的联系，而 且又是一个非卷积型的c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子，所以对这类算子的研究是现代调和分 析的热点问题之一( 见 2 6 】 1 0 】【3 7 】 3 6 】 2 m 2 9 】) 。由奇异积分算子t 与函数b 所生成的交换 子的定义为： 厂 b ，卵l ( x ) = g ( x ，箩) ( 6 ( z ) 一6 ( 可) ) ，( 可) d y j 肛 二十世纪七十年代以来，对这种交换子的研究十分活跃，并取得了非常丰富的成果。1 9 8 2 年，s c h a n i l l o 研究- j r i e s z 位势与b m o 函数生成的交换子，并由此给出了b m o 空间的 一种刻划( 见【5 】) ；1 9 9 5 年m p a l u s z y n s k i 研究t c a l d e r 6 n - z y g m u n d 奇异积分算子和r i e s z 位势与l i p s c h i t z 函数生成的交换子，并给出了b e s o v 空间的刻划( 见 3 0 】) ，这种对空间的 刻划就成了研究交换子的重要理论意义之一；s j a n s o n 使用j 0 s t r o m b e r g 的思想，利 用f e f f e r m a n - s t e i n 的s h a r p 函数来研究交换子( 见 3 6 】) ，受这种思想的启发，c p d r e z 研究 - j c a l d e r 6 n z y g m u n d 奇异积分算子与b m 0 函数生成的交换子的l l o g l 弱型估计及其 在h a r d y 型空间的有界性( 见 2 4 - 2 9 ) ；1 9 9 7 年，e h a r b o u r e ，c s e g o v i a 和j l t o r r e a t i 开究 了该交换子的端点有界性( 见【1 2 】) 。 1 9 7 8 年，j a n s o n 证明了当且仅当a l i 邪( 舻) 时，陋，】是从口( 形) 到q ( 舻) 有界 的，其中1 p q o o ，p = n ( 1 p 一1 q ) 且q c o o ( s n - 1 ) 。最近，l u ，w - u 和y a n g 研究 了 a ，】在h a r d y 空间中的有界性，当a l i p a ( r n ) ( o p 1 ) 且q 俨( s n - i ) 时，证 明了 a ，】是从日p ( 舻) 到l 2 ( 形) 有界的( 其中n ( n + p ) n s ，m m ( s ，z ) 这种 条件下的结论；h i r s c h m a n 1 1 1 、k r d e 和t r i e b e l 3 5 在加权口空间上延拓了m a r c i n k i e w e a z 和h s r m a n d e r m i k h l i n 的结论；在1 9 8 9 年，d s k u r t z 和r l w h e e d e n 在8 2 的条件下证明了乘子算子在圮( 舻) 空间上的有界性。而后从8 0 年代起人们开始研究 乘子算子构成的交换子的有界性，在1 9 8 8 年，尤众 3 8 】研究了一次乘子交换子与b m o 空 1 间的函数所构成的交换子的汐有界性，所采用的方法是使用复解析算子与他们的加权 模不等式。近期，张璞 3 7 】和陈杰诚 3 9 】研究一次乘子算子和l 咖s c 舷z s 函数构成的交换 子的( 驴，背，) 有界性，以及这种交换子在l e b e s g u e 空f 日- t g h a r d y 空间的有界性。 乘子算子定义为： t ( ，) ( z ) = 七( z ) ，( z ) ，f s ( r n ) ， 其中乘子七( z ) 是定义在尼t o 上的有界可测函数，为，的f 跳疵e r 变换，s ( 尼2 ) 表示s c h w a t z 检验函数类。 接下来，用符号k ( z ) 表示七( z ) 在分布意义下的f o u r i e r 逆变换，o 口k ( x ) = 尼 ) ，其 中尼( z ) 表示七( z ) 的f 0 u r i e r 逆变换。因此乘子算子还可以定义为： t ( ，) ( z ) = k 宰，( z ) 乘子算子构成的交换子定义为： ， mb f ( x ) = ( 6 ( z ) 一6 ( ) ) p y ) f ( y ) d y ，r r i 本文作者受尤众，张璞和陈杰诚论文的启发，将他们的一阶乘子算子交换子延伸到 乘子算子的多线性交换子上。本文主要研究乘子构成的多线性交换子在各空间上的有 界性。对乘子多线性交换子进行s h a r p 估计，加权端点估计，l i p s c t d t i c z 估计，并对其 在l e b e s g u e 空间，日o r 句空间，h e r z 一日a 7 句空间及t n e 沈l l i z o r k i n ! 空间上的有界 性进行证明。 1 2预备知识 在本文中，定义由函数6 和算子t 生成的交换子为 6 ，卅，( z ) = b ( x ) t f ( x ) 一t ( 6 似z ) q 表示舻上各边平行于坐标轴的方体。对于局部可积函数，令，q = i q i _ 1 尼f ( x ) d x r 其s h a r p 函数定义为 戌垆翟高z i m ) 一删耖， 另一等价定义【1 0 】： 九奶翟堪高石i 尥) 卅如 铲定义为 ( z ) = 【( i l l 7 ) 孝( z ) 】l r ， 其中0 r o 。 如果厂孝属于l ( 肝) ，我们称，n 于- b m o ( t p ) ，且定义l i ，且m o = i i f # l l l 一。事实 上，我们有 i i b 一6 2 - q i i m o c k l l b l l b m o 2 设m 为分数次极大算子，即 m ( ，) ( z ) = s q u 弓p z7l弓a7lj 乞i f ( 夕) i d 可 我们记尬( ，) = ( m ( f 7 ) ) 撕，其中0 r 0 ，l i p s c h i t z 空间记为l 咖( 舻) ，称函数f l 锄( 册) ，若，满足： 川l 旷s u 钟p 斜y z ，管凡n i ：c i p 对于i = ( 6 1 ，6 杌) ，三锄( 舻) ，1 歹m 和盯= 口( 1 ) ，盯o ) ) c 尹 i i g l l l 细卢= l i b 叮( 1 ) | | l 咖i i b ，) l l l 印卢 我们记m u c 七e 礼，l 叫阱权为如，1 p o o ，当p = 1 时有1 3 1 1 a 1 = 【伽：m ( 仰) ( z ) c 叫( z ) ，a e ) 当t u a 1 时，对任意的方体b 1 ，岛，b 1c 岛有料描c 。 此外广义h 5 1 d e r 不等式，逆h 5 l d e r 不等式，原子分解定理及原子的性质等将是我 们证明过程中运用的主要工具。 用o t = ( q 1 ，0 1 2 ，q n ) 表示由非负整数0 = 1 ，2 ，n ) 组成的多重指标，并 记川= q 1 + q 2 + + q n 以d a 表示q 阶偏微分算子，即 秘 d r , 。瓦两孝_ 丽 下文中，用符合蚓一亡表示存在0 a 1 b o o ，使a t 蚓 b t ，并 记玳i 一亡) = 舻：a t 川 o 和满足i q i f 的多重指标q ，有 ( i d 口后( ) 1 8 武) ； c r 卜i a i 3 ( 2 ) 当z 不是整数时，对于任意的h 兄2 和满足j q i = f 】的多重指标o l ，有 ( 丘i 。ri d ( ) 一d ( 一列3 必) ；c ( 姿 t ) 7 冗旦- | 口i，一r 其中 f 】表示不超过2 的最大整数，f = f 】+ f ) 引理1 2 1 ( 3 6 】) 设七m ( s ，f ) ，1 s 2 和给定的1 ；o 。如果r 1 满足；= m n z ；，1 一；) ， 那么k m ( ，z ) ，其中f = z 一詈 定义1 2 2 ( 3 6 】) 对于实数f 0 并1 1 季 0 ，有 ( i d a k ( x ) 1 5 如) c r 扛铲i a i ， ( 2 ) 若用让表示小于f 的最大整数，并记2 r = u + ，则对于任意的h o 和满 足l a i = 乱的多重指标a 成立着 c 也，i d a k ( x ) - d a k ( x - z ) d x ；淄怒磊i o 舻v n r ，其中1 r = m n z 1 s ，1 1 否 ， 则存在一个正实数a ，使得 ( i g ( x z ) 一k ( x q z ) 1 5 d z ) 1 ；c 2 一h ( 2 凫 ) 一n 矿 证明我们分两种情况来证明。 情况1 当1 8 2 和o z n s 1 时，适当选取实数1 0 ，因为尼m ( 8 ，z ) ，由引理1 2 1 可知k 砑( ，d 。 当f = z 一詈 1 时，则f 是一个大于詈的正实数。当k 庇( ，d ，u = f 一詈，u = 0 ， 由定义1 2 2 可知 ( i g ( x z ) 一k ( x q z ) 1 5 d z ) i 1 c 2 一南“一詈( 2 七尼) 一参， 设f 一詈= n ，则上式为 ( i g ( x z ) 一k ( x q z ) 1 5 d z ) c 2 一七口( 2 七 ) 一参 当f = f 一詈= 1 时，任取实数o 1 ，当o l 不是整数， 则令d = 【f 一钆s 】，如果f 一8 l 是一个整数，则令d = 【f 一仡s 】o 取1 1 = l d ，那 么0 2 1 一n s 1 ，且0 f 1 1 下，能得出同样的结果。 同样，当0 n s ，则对于函数，d o ( 留) ，算子死( x ) = ( ，幸) ( z ) 能够扩张成从p ( 劈) 到其自身的有界算子，其中1 p o 。 定义1 2 3 设言= ( b 1 ，如，6 仇) ，k 府( ，d ，贝t j t ( f ) ( x ) = ( k 木，) ( z ) ，其中k ( z ) = 而( z ) 。 乘子的多线性交换子定义为： 一( ，) ( z ) = 阿，卵m ) 2 厶卫( 幻( z ) 一6 j ( 枷k ( z 一彬( 可) 咖， 且t ( 似z ) = t ( ，) ( z ) = 厶k ( z y ) f ( y ) d y 引理1 2 4 ( 1 ) 广义日扰如r 不等式：对任意的五( z ) 扩( 舻) ，1 i m ，有 厶驰刮如( 小p d x l l p 1 ( 加p d 。) 珈m 其中1 鼽 。o ，1 加1 + - 1 ：1 ； ( 2 ) 逆日况d e r 不等式：如权函数加a 1 ，则叫满足逆h 况d e r 不等式，即存在1 q 1 ) 上的有界性。 引理2 1 1 极大函数尬( ，) ( z ) = s u p q 弓z ( 由尼i ( y ) 1 7 d y ) ，0 r 0 0 ，则算 子尬在p ( 口) 上是有界的，0 7 - p o o 我们定义a 1 为：a 1 = w ：m ( 加) ) c 叫( z ) ，a e 】 2 2定理与证明 定理2 2 1 设幻b m o ( r “) ，j = 1 ，m ，那么对任意1 7 0 ，使得对任意的c 护( 舻) 和z 邪，有 ( t 言( 带( z ) c i i t i i 尬( ，) ( z ) + 妻i l _ b 。m r ( t b 萨( 川( z ) 证明： 我们只须证明对厂曙( 肝) 和某个常数岛，以下不等式成立： 下1f q i t - 矿 怕m 。m r + 茎善咖呵小孟，) 固定方体q = q ( 黝，d ) ，童q 。我们首先证明当m = 1 b # 的情形，记，= + ，2 ，其 中 = f x 2 q ，厶= f x r ，2 q ， p ( 厂) ( z ) = ( b l ( z ) 一( b 1 ) z q ) 丁( ，) ( z ) 一t ( ( b l 一( b 1 ) 2 q ) f 1 ) ( z ) 一t ( ( 6 ，一( 6 1 ) 2 q ) ，2 ) ( z ) 则 i t b l ( 似z ) 一t ( ( ( 6 1 ) 2 q 一6 1 ) 如) ( z o ) i i ( b l ( x ) 一( b 1 ) 2 q ) t ( f ) ( x ) i + i t ( ( 6 t 一( b 1 ) 2 q ) f 1 ) ( x ) i + f 丁( ( 6 t 一( 6 t ) 。q ) 尼) ( z ) 一t ( ( b l 一( 6 ) 2 q ) 丘) ( z o ) l = a ( z ) + b ( x ) + c ( z ) 对a ( z ) ，取1 r ，r 7 o 。使得1 r + 1 r = 1 ，由日6 f d e r 不等式得， 雨1za ( z ) 妇= 面1z 1 6 1 ( z ) 一( 。洲t ( 烈z ) l d x c ( 南小刊。矿d x ) v 一( 南加烈圳忱) v r c i l 6 1 | i b m d 尬( t ( ，) ) ( 岔) 土i q i 上脚) 扣南加( 6 1 ( 6 1 ) 。洲z ) l d x ( 高加t 刊z 出拗炉如) u p c ( 高小舡m ) 2 q i i ，拗1 ) p d z ) v p c ( 高厶i m 如) v 7 ( 南厶怿c z ，一c 6 m q ( r 呻) 如) p 刊加 对c ( z ) ，注意到当z q = q ( x o ， ) ，记瞰= z 舒：2 k h i z z l 2 k + 1 ) 。 取1 p ，t ，使得1 屈+ 1 = 1 和1 t + 1 e = 1 ，由日6 f d e r 不等式我们得到 c ( z ) = i t ( ( 6 1 一( 6 ) 2 q ) ，2 ) ( z ) 一t ( ( b l 一( b , ) 2 q ) f 2 ) ( x o ) i i ( k ( z z ) 一k ( x o z ) ) ( 6 t ( z ) 一( 6 1 ) 2 q ) ，2 ( z ) i d z c l ( k ( z z ) 一k ( x o z ) ) ( 6 1 ( z ) 一( b 1 ) 2 q ) i ( z ) l d z c e di ( k ( z z ) 一k ( x 。一z ) ) f ( z ) l l b ( z ) 一( 6 - ) 2 q l d z c 喜( 上。i ( k ( z z ) 一k ( z 。一z ) ) ，( z ) i p d z ) 1 屈( 以。1 6 - ( z ) 一( 6 ) 2 q i p 7 d z ) 1 7 一 c 喜( 以。l k c z 一名，一k c z 。一z ，i 钟d z ) 1 肛( z 。i ，c z ，i p ，? z ) 1 加 ( 叭z ) 一( 6 1 ) 2 q l d z ) w ，b k 因为1 印 o o ，这里我们用季= p t ，由引理1 - 2 2 可得上式 c c z ，砉c 2 一k 。c 2 知 ，一n ，c p 幻( z 。i ，c z ，i p f d z ) 1 7 砖7 ( z 。p c z ，一c 6 ，：q i ，d 名) 1 7 ， 三；e 薹。c 2 _ k ：。1 砑) 南( 上。1 ，c z ，l p t d z ) 1 力噼( 上。1 6 c z ，c 6 - ，2 c ，1 9 7 d z ) 1 力， e 薹。c 2 - k 口( 网1 ) 妒寿( k 圳嘲z ) 彬( “矿慨k p d z ) v 一 c i l 6 1 i i 妇( ，) 苔0 0 肛h 7 c l l b l l s m o ，( ，) ( 牙) 令= r ，那么 而1 上) 如c i i 6 1 | h 。尬( ，) ( 乱 因此， 。 ( t 言( 带( 奎) sc l l b 。( m r ( 似圣) + 尬( t ( 剐( 孟) 当m 2 时，对- g = ( b 1 ，b m ) ， 一( ，) ( z ) - 言邢2 上。( m 网小肭 = ( ( b x ( x ) 一( b 1 ) 2 q ) 一( b l ( y ) 一( 6 1 ) 2 q ) ) ( ( 6 m ( z ) 一( b m ) 2 q ) 一( 以n ( ) 一( 以n ) 2 q ) ) k ( z 一) ，( ) d y =(一1)一惭)一(6厶(6(可)一(庐k(x-y)m)由j= o6 e c 7 ”1 。 = ( b l ( x ) 一( b 1 ) 2 q ) ( b m ( ) 一( b m ) z q ) t ( 厂) ( z ) + ( 一1 ) m t ( ( b x 一( b 1 ) 2 q ) ( 6 m 一( b m ) 2 q ) f ) ( x ) +(一1)一眦)一(6)2q)6上。(6(秒)一(趔(zy)f(y)dyj= l6 e c t = ( b l ( x ) 一( b 1 ) 2 q ) ( 6 m ( z ) 一( b m ) 2 q ) t ( ，) ( z ) + ( 一1 ) 仇t ( ( b l 一( b 1 ) 2 q ) ( 6 m 一( b m ) 2 q ) ，) ( z ) + ( 一1 ) 州( 6 ( z ) 一( 6 ) 2 q ) 6 t ( ( 6 一( 6 ) z q ) 6 c 似z ) ， j = l6 叩 因此 i tb 。( ，) ( z ) 一t ( ( ( 一( 幻) 2 q ) ) ( 跏) l j = l l ( 6 - ( z ) 一( b 1 ) 2 q ( 6 m ( z ) 一( ) 2 q ) ) t ( ，) ( z ) i + i ( 6 ( z ) 一( 6 ) 2 q ) 6 t ( ( 6 一( ) 6 c 似z ) i j = l 挺叩 + l t ( ( 6 一( b 1 ) 2 q ) ( 6 m 一( 6 m ) 2 q ) ) ( z ) i + l t ( ( b l 一( b 1 ) 2 q ) ( 6 仇一( b m ) 2 q ) 厶) ( z ) - t ( ( b l 一( b 1 ) 2 q ) ( k 一( b m ) 2 q ) 丘) ( 知) l = 厶( z ) + 如( z ) + 厶( z ) + 厶( z ) 对厶( z ) ，取l p l 耽，r o o ，使得1 p 1 + + 1 + 1 r = 1 由日魂d e 7 不 等式得 。i q ll 乞i i ( 蛐南加矿( 6 1 ) 2 q i i 一( b i n ) z 删i i ，) ( 圳出 r ( 高加矿吼k p 出) 珈l ( 南小地k 怕) ( 南加似圳如) v r 例确b m o 尬( 丁( ，) ) ( 孟) 对屯( z ) ，取1 p l ，耽，乃 0 0 ，和1 r ，r 7 o o ，使得1 r + 1 1 , - = 1 ，l i p l + + l l p j = 1 ，f 1 3m i n k o w s k i y f 等式和日耐d e 7 不等式得 高z j 1 2 ( 州z m - - 1 篆南z i ( 6 ( z ) 一( 6 k 归( ( 6 一( 6 ) 2 咖( 圳如 c m ；- 1 三( 南厶i ( b ( x ) - ( b ) 2 e ) d d x ) v 一鲫萎篆( 南上q ( 南加c 2 咖们) 纠r c 萎篆( 南小圹2 勘洲咖忱) v ( 南小嘞办洲电如) v 一乃 ( 而1 加( 6 - ( 6 ) 2 如们心z ) 纠r c i i - 9 6 1 1 , m o m ( t - g a 。( 朋( 孟) j = 1 占e c p 列1 3 ( x j ，耿l p r ，不u 上 劬 0 0 , j2 上，m ，便得l q 1 + + 1 + p r = 1 。 由引理1 2 3 和h 魂d e r 不等式得 而1 上厶( z ) 如= i q - 1 7 乞i t ( ( 6 t 一( 6 ，) 2 q ) ( 6 m 一( ) 2 q ) ) ( z ) l d x ( 而1 厶i t ( ( 6 - 邮1 ) 2 砂( 6 m 一( 6 m ) 2 彬瑚) ( 圳p d x ) u p ( 而1 厶i ( 6 ( z ) ( 6 1 ) ) 2 q ( 6 m ( z ) 一( k ) 2 q ) ，( z ) x z q ( 刮p 如) 坳 c ( 南小圳如) v 7 ( 南小刊。v 姗 ( 再1a ( 6 m k i ) u 舳 9 对厶( z ) ，当z q = q ( x o ，九) ，记b k = z 冗p ：2 k h i z 一名i 2 k + l h ) 。取1 p ， 0 0 ，1 t ， o o ，使得1 p + 1 1 9 = 1 ，1 + 1 t = 1 ，由引理1 2 3 和日魂d e r 不等式得 t ( ( 6 1 一( b 1 ) 2 q ) ( 6 m 一( 6 m ) 2 q ) 五) ( z ) 一t ( ( b l 一( b 1 ) 2 q ) 厶i 疆( ) - 渤) 2 0 ，( 力 。铆。ij = l ( 幻( 名) 一( ) 2 q ) l | ( k = l 以吁ii i 。( b ，( 沪( 捌l 由引理1 2 2 有 x ( 2 q ) c ( z ) ( k ( z 一2 ) 一k ( x o z ) ) g ( x z ) 一k ( x o z ) ) f ( z ) l d z i ( k ( z z ) 一k ( x o ( 一( 6 仇) 2 q ) 厶) ( z o ) l i d z z ，一k c z 。一z ，j p l ，c z ，j p d z l n ( 上。i 耍c c z ，一c 幻，2 q ，i ，d z ) 1 7 ， 一z ) 一k ( z 。一z ) i p 。d z ) 1 7 p ( z 。i ，( z ) i p t ，d z ) 1 一( h a 2 q ) 1 p d z ) w p ( z 。l k ( z z ) 一k ( z q z ) 1 5 d 名) 1 7 ；c 2 一k 口( 2 k 九) 一t l ，r ， 当1 p t ，取实数= p t ，取1 r 1 ，r m 。o ，使得1 r 1 + + 1 7 m = 1 ，由 引理1 2 2 及h 5 l d e r 不等式得 厶( z ) c c c 6 j ) 2 q ) i p 7 出) ( z ) 一( ) 2 q 争吲烈圣，( 南) w ( 鼬吣沪帆k i p ，z ) v 一1 ( 二+ 。qj 6 m ( 名) 一( k ) 2 q i p ，r ”d z ) 1 7 矿r m c k 仇2 砒i r ；l l 且m 。蛑。盯) ( 孟) c i l 百 l l b m o 屿。，( 似童) ， 令= 7 ，因此 土i q iz 坼) 如c 怕- - 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1 ； ( 3 ) 。i a ( x ) x y d x = 0 ，f o ra n y0 l ，y l 【s 】( s o ) 称缓增分布厂属于日1 ( 舻) ，若在分布意义下，能表示为： 他) = ( z ) ， j = l 其中q 为( 1 ，g ) 原子，c ，凳。i i p o 。，目- t 1 ：t l - 凳1l i 定义3 1 2设b i ( i = 1 ，m ) 是局部可积的函数，0 p 1 。形上的有界可测 函数q 称为( p ，两原子，若满足如下条件： ( 1 ) s 卿acb = b ( x o ，r ) ； ( 2 ) l p i b ( x o ，r ) l 一1 p ； ( 3 ) 厶a ( y ) d y = 厶o ( ) 兀挺仃b , ( y ) d y = 0 对盯c 罗，1 j m ； 称缓增分布，属于蝶p ( 舻) ，若在分布意义下，能表示为： 其中。；s 为 ，两原子，c ，凳。i i p o 。，且i i ，i i 昱；( 凳l l p ) 1 加。 引理3 1 1 设1 0 有 牙：l t ( ，) ( z ) l 划c , k - 1 i f i l l 。 1 2 z 0 b 芦 = z ，j 3 2定理与证明 定理3 2 1 设b i b m o ( r n ) ，l i 仇，石= ( b l ，k ) ，n ( n4 - t ) 0 。则乘子多线性交换子p 是从珲( 舻) 到护( 舒) 有界的。 证明：我们只需证明存在一个常数c 0 ，使得对任意的p ，西原子口都有： l i t ) l l 口- d 设口为仞，石) 原子，即口支于方体b = b ( z o ，r ) 。记 i t 6 ( o ) ( z ) l p 如= i t b ( a ) ( x ) l p d x + l 一( o ) ( z ) i p 如= i + i i j r “ j l z - 知 _ 2 r 对于j ，选取q 1 ， 扫h s l d e r 不等式和算子p 的l 口一有界性，我们得到 ，( ，厂 怖) ( z ) 睢如r 力) _ q ，i z - x o l 2 。r ( 1 二重c 6 寥c z ，一6 ，c 可，k c z 一秒，口c 秒，d y i ) d 司p 上+ 。r i z 一知i 2 。r ( i 垂c 6 ，c z ，一6 ，c y ，c k c z 一可，一k c z 一黝，口c y ，d y i ) d 司p 渺日一“b ( y ) - a s ) l l k ( x - y ) - k ( x - x o ) i d 1 3 呻 r +七 2 舢 zb 脚 c 一 呻 r + 2 o zb 脚 c 一 呻 r + 七 2 o zb 随 c 一 恤o o 即。日瞻驴旷札沌h k 慨卜沪酢咱川掣y 卜 c i b ( z o ，2 1 r ) 1 1 。p 妻i = 0a e c , r 上+ 。b 、2 。b ic 取z ，一a ，口i ( zlc 取y ) - a ) 矿i i k ( x - y ) - k ( x - x