（流体机械及工程专业论文）基于液体阻尼器和运动规划的柔性机械手振动抑制研究.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 传统刚性机器人由于能耗高、载荷比小、操作速度低等缺点，已经很难适应工 业发展。柔性机器人克服了上述缺点，具有能耗低、载荷比大、运动灵活等优点， 在航空航天领域、高速高精度制造等领域有着广阔的应用前景。由于柔性机械手存 在弹性变形，使其成为一个高度非线性的、分布参数的、强耦合的无限维多输入输 出系统，其运动控制比刚性机械手更复杂和困难。为此，本文以柔性机械手为研究 对象，采用增大阻尼和运动规划方法来研究其振动抑制问题，主要内容如下： 将液体阻尼器应用到柔性机械手臂以减小振动响应，主要思路是结合液体阻尼 器的优点以及机械手臂的自身特性，从挤压油膜效应出发，设计液体阻尼器。采用 有限元法建立液体阻尼器的模型，并利用响应曲面法得出液体阻尼器参数与其阻尼 特性的关系。利用模念规划法得出各模态下的阻尼特性，并采用等效弹簧阻尼单 元方法计算独立于结构固有频率的等效阻尼。将阻尼器进行分段处理，并与全处理 阻尼器作对比，结果表明分段处理阻尼器在振动抑制上有更大潜力。 由于机械手振动的复杂性，采用雷诺方程具有一定局限性，所以结合n s 方程 建立含有惯性项和剪切力的阻尼器全耦合模型来进一步完善上述分析。在湍流和层 流两种情况下，对全耦合模型与挤压油膜模型得出的结果进行对比，得出在雷诺数 较低时，两种模型的计算结果重合度很好；当雷诺数较大时，随着惯性力影响增大， 两者的计算结果误差逐渐增大。 针对柔性机械手参数不确定性和外界激励复杂性，将磁流变液应用于该阻尼器 并对磁流变液阻尼器的阻尼特性进行分析，同时设计了b a n g - b a n g 控制器，并与被 动控制作对比，结果显示半主动阻尼器在振动抑制上具有更加优越的性能。为分析 阻尼器对柔性机械手零动力学的影响，以单杆机械手臂为对象建立系统模型，通过 分析阻尼对系统稳定性和动态性能指标的影响，得出阻尼可明显提高系统零动学的 相对稳定性，并改善系统动态性能。 从运动规划角度出发，借助虚拟样机分析了柔性机械手运动学参量与动力学性 能的关系，以角加速度为优化变量，以应变能最小建立目标函数，阐述数值求解实 现过程。算例结果验证了该方法在柔性机械手振动抑制上的有效性。 关键词：液体阻尼器；挤压效应；n s 方程；半主动控制；运动优化 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t b e c a u s et h et r a d i t i o n a lr i g i dr o b o th a v et h es h o r t c o m i n g sw h i c hc o n t a i n se n e r g y c o n s u m p t i o n ，l o wl o a dr a t i o ，l o wo p e r a t i o n a le f f i c i e n c y a n ds oo n ，i th a db e e nd i f f i c u l tt o a d a p tt ot h ed e v e l o p m e n to ft h ei n d u s t r y o nt h ec o n t r a r y , t h ea d a v a g e so ft h ef l e x i b l e m a n i p u l a t o r s w h i c hc o n t a i n sl o we n e r g yc o n s u m p t i o n , h i g hl o a dr a t i oa n dh i g h o p e r a t i o ns p e e dw e r ep r e c i s e l yt om a k eu pt h es h o r t a g eo fr i g i dr o b o t i th a sb r o a d a p p l i c a t i o np r o s p e c t si nt h ef i e l do fa e r o s p a c e , h i g l l s p e e dh i g h - p r e c i s i o nm a n u f a c t u r i n g a n ds oo n a st h ev i b r a t i o nc h a c t e r i s t i c so ft h ef l e x i b l em a n i p u l a t o r i tb e c o m e st h e h i 曲l yn o n - l i n e a r , d i s t r i b u t e dp a r a m e t e r , s t r o n g l yc o u p l i n g ，i n f i n i t e d i m e n s i o n a l i n p u t o u t p o u ts y s t e m f o rt h i sr e a s o n ，i ti sm o r ed i f f i c u l tf o rm o t i o nc o n t r o lo ff l e x i b l e m a n i p u l a t o rt h a nt h a to ft h er i g i dm a n i p u l a t o r t h ep r o b l e ma b o u tt h ev i b r a t i o n s u p p r e s s i o no ft h ef l e x i b l em a n i p u l a t o rw a ss t u d i e db yu s i n gt h em e t h o do fi n c r e a s e d d a m p i n ga n dm o t i o np l a n n i n gi nt h et h e s i s t h em a i nc o n t e n ta sf o l l o w s ： t h e n e wi d e at h a tt h ef l u i dd a m p e rw a sa p p l i e do nf l e x i b l em a n i p u l a t o rt os u p p r e s s t h ev i b r a t i o nr e s p o n s ew a sp r o p s e d t h ed a m p e rw a sd e s i g n e df r o mt h ep o i n tw h i c h c o m b i n e dw i t ht h ea d v a n t a g eo fl i q u i dd a m p e ra n dt h ei n h e r e n tc h a r a c t e r i s t i c so f f l e x i b l em a n i p u l a t o r s t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o dw a si n t r o d u c e dt oe s t a b l i s ht h e f l u i d s t r u c t u r ei n t e r a c t i o nm o d e lo ft h ef l u i dd a m p e r , a n dt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h e d a m p e rp a r a m e t e r sa n dd a m p i n gw h i c ht h ed a m p e rc a u s e dw a so b t a i n e du s i n gt h e r e s p o n s e s u r f a c em e t h o d t h ed a m p i n gu n d e re a c hs t u c t u r em o d a l w a sw o r k e do u tu s i n g m o d a lp r o j e c t i o nt e c h n i q u e ，i nt h em e a n t i m e ，t h ee q u i v a l e n td a m p i n gi n d e p e n d e n to f t h es t r u c t u r en a t u a l f r e q u e n c yw a sc a l c u l a t e du s i n g t h ee q u i v a l e n ts p r i n g - d a m p e r e l e m e n tm e t h o d t h ed a m p e rw a sa d o p t e dt h es e g m e n t e dt r e a t m e n t t h eg r e a tp o t e n t i a l o ft h es e g m e n t e dt r e a t e dd a m p e ri no b t a i n i n g9 0 0 dd a m p i n gp e r f o r m a n c ew a sv e r i f i e d b yc o m p a r i s o nw i t ht h ef u l l yt r e a t e dd a m p e ri nt h ev i b r a t i o ns u p p r e s s i o np e r f o r m a n c e d u et ot h ec o m p l e x i t yo ft h ev i b r a t i o no ff l e x i b l em a n i p u l a t o r , t h e r ew e r es o m e l i m i t a t i o ni nu s i n gr e y n o l d se q u a t i o n f o rt h i sr e a s o n ，t h eg e n e r a ln se q u a t i o nw a s a d o p t e dt oe s t a b l i s ht h ef u l l - c o u p l i n gm o d e lw i t hi n e r t i at e r ma n ds h e a rf o r c e f r o mt h e t w op e r s p e c t i v e so ft h et u r b u l e n c em o d e la n dt h el a m i n a rm o d e l ，t h er e s u l tc u r v e sw h i c h w a sd e r i v ef r o mt h en - se q u a t i o na n dr e y n o l d se q u a t i o nw e r ec o m p a r e d t h e c o n c l u s i o na sf o l l o w s ：t h ec a l c u l a t i o nr e s u l t so ft w om o d e lc o i n c i d ew e l lw h e n r e y n o l d sn u m b e ri sl o w , o nt h ec o n t r a r y , w h e nr e y n o l d sn u m b e ri sh i g h ，t h er e s u l t s e r r o ro ft h et w om o d e li n c r e a s ew i t hi n c r e a s i n gt h ei m p a c to fi n e r t i a lf o r c e h 1 基于液体阻尼器和运动规划的柔性机械手振动抑制研究 a st h ep a r a m e t e r so ft h ef l e x i b l em a n i p u l a t o ra n dt h ec o m p l e x i t yo ft h ee x t e r n a l e x c i t a t i o n ，m r fd a m p e rw a sp r o p o s e d t h ed a m p i n gc h a c t e r i s t i c so fm r fd a m p e rw a s c a r r i e do u t a tt h es a m et i m e ，b a n g - b a n gc o n t r o l l e rw a sd e s i g n e dt os h o wt h e p e r f o r m a n c eo fs e m i a c t i v ed a m p e r t h ec o n c l u s i o nt h a tt h ep e r f o r m a n c eo fs e m i - a c t i v e d a m p e r i sb e t t e rt h a np a s s i v ec o n t r o li nt h ev i b r a t i o ns u p p r e s s i o nw a sg o t t oa n a l y z et h e e f f e c to ft h ed a m p e rt ot h ez e r od y n a m i co ft h ef l e x i b l em a n i p u l a t o r , t h es y s t e mm o d e l o fas i n g l em a n i p u l a t o rw a se s t a b l i s h e d t h ec o n c l u s i o nt h a td a m p i n gc a ni n c r e a s et h e r e l a t i v es t a b i l i t yo fz e r od y n a m i c ，a n di m p r o v et h ed y n a m i cp e r f o r m a n c eb ya n a l y z i n g t h ei n f l u e n c eo ft h ed a m p i n go nt h es t a b i l i t ym a r g i na n dd y n a m i cp e r f o r m a n c ei n d e x f r o mt h em o t i o np l a n n i n gp e r s p e c t i v e ，t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h em o t i o no f f l e x i b l em a n i p u l a t o r sa n di t sd y n a m i cp e r f o r m a n c ew a ss t u d i e db yu s i n gt h ev i r t u a l p r o t o t y p i n g ，a n dt h e n ，t h ep r o b l e mt h a th o wt oe s t a b l i s ht h ef l e x i b l em a n i p u l a t o m m o t i o no p t i m a z a t i o no b j e c t i v ef u n c t i o na n dt os o l v et h eo p t i m i z a t i o nw a ss t u d i e d f i n a l l y , t h e e f f e c t i v e n e s so ft h em e t h o di nt h ev i b r a t i o n s u p p r e s s i o no ff l e x i b l e m a n i p u l a t o r sw a sv e r i f i e db yu s i n gt h ee x a m p l e k e y w o r d ：f l u i dd a m p e r ；s q u e e z ee f f e c t ；n - se q u a t i o n ；s e m i a c t i v ec o n t r o l ；m o t i o n o p t i m a z a t i o n 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 课题研究背景和意义 随着科技水平的提高，机器人的应用越来越广泛。在机械制造、航空航天、军 事等领域，机器人能够代替人类完成大量重复、繁重、危险的工作。近年来，节约 能源和提高效能已成为当前科技发展的重要课题，而传统刚性机器人由于能耗高、 载荷比小、操作速度低等缺点，已经很难适应当前机器人的发展。柔性机器人克服 了上述缺点，具有能耗低、载荷比大、运动灵活等优点，在航天航空领域、高速高 精度制造等领域有着广阔的应用前景。由于柔性机械手存在弹性变形，使其成为一 个高度非线性的、分布参数的、强耦合的无限维多输入输出系统，其运动控制比传 统刚性机械手更复杂和困难。上述原因造成柔性机械手在实际应用中受到限制。针 对柔性机械手的振动变形问题，可以结合下列方法加以解决： ( 1 ) 对材料与形状进行优化设计使其具有较高的刚度与重量比； ( 2 ) 采用被动阻尼结构减小机械手臂的振动； ( 3 ) 改进动力学模型并进行可靠设计与控制； ( 4 ) 柔性振动的主动反馈控制； ( 5 ) 采用轨迹规划算法限制柔性模态的激起； ( 6 ) 将传感器和作动器布置在机械手臂杆件结构中； ( 7 ) 从传感器直接检测手臂末端的位置和状态； 研究以上方法，是柔性机械手在实际操作中获得期望性能的重要途径。本文主 要研究的是从增大阻尼和运动优化两个角度来抑制柔性机械手振动。本文主要涉及 液体阻尼器来增加机械手的阻尼特性以及结合运动优化来减少柔性模态的激励。 1 2 国内外研究现状 振动控制最好的解决方法是去除振动源。但是系统内在属性产生了不可避免的 振动。另一个有效的解决方法是应用振动抑制，该方法基于两种控制策略的技术： 被动振动抑制和主动振动抑制。 1 2 1 柔性机械手振动被动控制技术 在被动控制方面，增大阻尼是改善系统的有效的途径，该技术已经得到了广泛 应用。分流阻尼是一种用质量、阻尼器、弹簧和压电换能器来消耗机械能被动振动 的控制方法。m o h e i m a n i 【l l 提供了一份关于压电分流阻尼机制和应用的全面调查， 基于液体阻尼器和运动规划的柔性机械手振动抑制研究 调查结果显示压电分流阻尼在振动抑制上有效性。b a h r c n t se ta l t 2 】和n a oa b e t 3 1 描述 了电磁分流阻尼的在m e m s 领域的应用。被动振动控制系统是相对简单，具有较 好的稳定性，在汽车、机床、直升机和其他工业领域应用广泛。但是被动控制技术 对低频振动无效，同时被动控制设备体积大，针对被控结构参数的变化不能快速做 出相应的变化。这些因素限制了被动控制方法在轻型柔性结构中的应用。 随着复合材料的发展，将复合材料应用到柔性机械手来减小振动是一种有效途 径，t h o m p s o n 4 】研究了含复合材料柔性机械手臂的动力学响应，利用复合材料自身 的高刚度比和阻尼大等优点有效降低了机械手臂的振动，同时c h o m 【5 l 采用石墨环 氧树脂复合材料制作柔性机械手臂，并对该机械手臂的振动做了试验研究，试验结 果表明该方案的有效性。虽然采用复合材料抑制柔性机械手的振动是一种有效途 径，但由于复合材料的成本高，并且复合材料所能提供的抑制效果有限，这些因素 限制了复合材料在柔性机械手的应用。 1 2 2 柔性机械手振动主动控制技术 近年来，为克服被动控制的缺点，对柔性机械手主动控制进行了广泛的研究。 主动控制系统提供给作动器能量来抵抗不期望振动所引起的能量，从而导致这两种 能量彼此抵消。主动系统的优点之一是能够即时应用，并且通过改变控制算法来满 足一些指定的要求。主动控制系统通常是轻质的，_ 般用压电材料构成传感器和作 动器。这些传感器和作动器有结构简单、体积小、轻质和在电能和能量转化高效性 的优点。 研究柔性机械手振动控制的一个难点是具有无限振动模态、较大柔度和较小材 料阻尼的特性，即使在很小的激励下也会产生大幅度的振动和较长的振动延时；另 一个难点是刚体运动和柔性运动的耦合，一个操作变量的变化将影响多个控制变 量。在控制器设计中，要关注干扰、噪音和系统不确定性对稳定性和鲁棒性的影响 在主动控制系统，作动器是动力源，主要有两种符合的材料在主动控制中作为 作动器，他们分别是：形状记忆合金和压电作动器。形状记忆合会作为驱动器将热 能转化为机械能，而压电作动器将电能转化为机械能。b a ze ta l l 6 】将形状记忆合金 作动器的动力学应用到机械手的动力学模型中，进行了相关试验，结果表明了利用 镍钛作动器来抑制柔性机械手振动的可行性；使用两个镍钛作动器可以在每个自由 度上控制有效振动阻尼。 尽管形状记忆合会作动器产生一英寸的变形需要较低电压( 大约5 v ) ，但因为 2 江苏大学硕士学位论文 它通过自然对流冷却来控制，所以该作动器伸缩缓慢。近年来，聚偏氟乙烯和锆钛 酸铅分别用作压电传感器和作动器。研究将压电材料整合到结构建模的人有 c r a w l e l i ，【7 1 ，l 甜8 】和v 娩【9 1 ，其中v a z 9 结合c r a w l e y l r l l ：jl e e 【8 】的方法建立了一组相互 作用的方程，这些方程通常来表征压电薄膜的操作效应，同时对粘贴p v d f 和叮 薄膜单杆机械手臂的响应进行了仿真，并进行了对比验证。 主动控制的另一个关注点是传感器和作动器的位置和数量。传感器和作动器的 布置方式有两种：并列式和非并列式。通过定义控制产生的耗散能与初始总能量的 比率来研究非并列的情况下耗散效率，并通过速度反馈和l q r 控制算法来决定传 感器和作动器的最佳位置。结论是：为获得一个稳定系统，传感器和作动器的位置 与反馈增益同步优化；采用并列的传感器和作动器时，阻尼效率稍微增加；作动器 的优化算法与其位置密切相关，对于l q r 控制，通常优化解是将作动器放置在根 部，而对于速度反馈控制，该优化解是无效的。 s u ne ta l t l l 】研究表明了通过增加作动器的数量和提高应用在作动器的控制电压 导致阻尼效果增强。基于第i 阶模态的形函数谚，作动器应放置在谚华 o 的区域， 。dx 并应该远离罂等于零的区域。试验结果表明作动器在根部所表现的阻尼性能优于 d r 在机械手的顶端表现出的机械性能。 b a l a s t 眨1 研究结果表明直接速度反馈控制对溢出不敏感，要在一定条件下使用， 才能保证所有的振动模态是稳定的，应满足的条件为：1 ) 相同数量的作动器和速 度传感器并列布置；2 ) 反馈增益矩阵是j 下定的：3 ) 作动器的刚体模态不被激励。 该方法在实际应用中的不足是要求传感器的数量要与柔性系统建模的所截取模态 的数量相同。 f a s o ne ta l 1 3 i 采用位置正反馈( p p f ) 控制器，同时并联一个速度直接反馈控制 器。因为p p f 仅采用广义位移测量，易用于基于应变的传感系统。p p f 的通用方法 是建立一个补偿器，该补偿器有一个与结构模型相同形式，但有更高阻尼率的二阶 滤波器。在文献【1 3 】中，f a s o n 提高了滤波器的极点频率来改变闭环系统的特性。试 验表明了p p f 对于柔性结构振动控制的可行性。不受控制模态的溢出通过改变闭环 系统极点位罱对参数不确定性的敏感程度来实现系统稳定。s h a ne ta l 】也比较了 p p f 控制和线性速度反馈控制，p p f 的抗溢出特性再次被证实。 邵长健、张宪尉1 5 】以含有p z t 的弹性机构为研究对象，结合复模态理论，设 3 基于液体阻尼器和运动规划的柔性机械手振动抑制研究 计了3 种控制器并对其做了相应对比，对比显示减缩模态控制对提高系统的主动阻 尼方面有优势，而鲁棒控制器则可以有效解决由于模态截断所引起的控制溢出问 题。李东伟【1 6 】以柔性板为研究对象，对其进行了鲁棒控制器设计，并进行了试验， 实验表明：相对l q r 法，鲁棒控制器能使系统保证稳定性前提下获得更好的性能， 对初始干扰的衰减更快。 随着磁流变液迅速发展，一种半主动控制方法应用在柔性机械手振动控制上， 该方法结合被动控制和主动控制的优点，同时相互弥补了各自的不足。戴金桥【1 7 】 将磁流变阻尼器应用到柔性机器人上，实物如图1 1 所示，以机械手臂的关节为对 象分析了磁流变阻尼器对柔性关节振动的抑制效果，从仿真和试验两个方面验证该 方法有效性。但戴金桥的研究主要针对关节柔性所产生的振动，具有一定的局限性。 图1 1 基于磁流变液的柔 生机器人 f i g1 1f l e x i b l er o b o tb a s e do nm r fd a m p e r 除此之外，以振动抑制为目的的运动规划也属于主动控制范畴。在保证大范围 刚体运动的同时，通过优化关节运动控制律，尽可能地抑制弹性振动，该方法是基 于完全动力学分析的运动控制方法。在运动控制中，需要考虑刚性运动对弹性运动 的影响同时也要兼顾弹性运动对刚性运动的影响。 对柔性机构运动控制的研究取得一定成果，其中b 0 0 k 【1 8 l 设计了一种大柔度机 械臂末端附加刚性小臂的复合结构，大范围快速运动山大臂实现，而精确定位则由 小臂完成。在规划关节运动规律时，使大臂运动时的弹性变形尽可能小，以减轻小 臂的补偿动作。l a m m e r t s i 】提出了自适应计算力矩的方程，对其稳定性做了分析。 罗磊【2 0 】采川奇异摄动理论对柔性并联机构分成刚体和柔性体两部分，将其构成快慢 4 江苏大学硕士学位论文 两子系统，基于z v d 技术对大范围刚体运动和柔性振动分别进行控制，仿真显示 该方法的有效性。 1 3 论文的主要内容 本文在总结国内外研究成果的基础上，针对存在的问题，以增大机械手阻尼和 运动规划为切入点，提出利用液体阻尼器来增大机械手阻尼和采用运动优化来减小 机械手振动的思路，首先以雷诺方程为基础，对阻尼器的特性进行分析，然后进一 步引入半主动阻尼器，最后采用运动优化来预防振动，结合液体阻尼器的优点，可 实现更加理想的振动抑制效果。全文主要内容如下： 第2 章阐述了柔性机械手的运动学建模，采用假设模态法与拉格朗日方程建立 柔性机械手的动力学方程，并进一步分析柔性机械手的非最小相位特性。 第3 章提出将液体阻尼器应用于柔性机械手臂的思路。首先采用有限元法和响 应曲面法研究了液体阻尼器的参数对阻尼特性的影响，并通过算例验证了结论的正 确性。其次，采用模态规划法研究了阻尼器的等效阻尼。再次，分析了液体密度对 阻尼的影响。最后，提出了分段处理阻尼器的改进措施。 第4 章采用n s 方程建立阻尼器的全耦合模型，从湍流和层流两种情况，研究 各种液体力对结构振动抑制的影响，并与雷诺方程得出的结果作对比。 第5 章将磁流变液应用到液体阻尼器上，对施加磁场后的磁流变液阻尼器与普 通液体阻尼器作对比分析，同时设计b a n g - b a n g 控制器来实现半主动控制，同时与 被动控制作对比，展现了半主动阻尼器的优越性，最后介绍了阻尼对柔性机械手臂 零动力学的影晌。 第6 章主要讨论了机械手的运动对振动的影响，提出了采用运动优化可减小振 动的思路，并对优化目标函数建立和数值求解过程进行了分析。 基于液体阻尼器和运动规划的柔性机械手振动抑制研究 第二章柔性机械手的模型分析 近2 0 年来，柔性机械手成为国内外研究的热点，综合考虑弹性变形及其对总 体运动的影响己成为令人关注的问题。柔性机械手的运动学是大范围刚体运动与小 范围弹性振动的合成运动，属于运动弹性动力学的研究范畴。依据不同的动力学原 理( 方法) ，机械动力学建模主要基于两类基本方法：矢量力学方法和分析力学方法。 应用较广泛同时也比较成熟的是n e w t o n e u l e r 公式、l a g r a n g e 方程、变分原理、 k a n e 方程和虚位移原理。柔性机器人的动力学建模方法大致分为三种：集中参数 法、假设模态法和有限元法。其中假设模态法和有限元法应用得比较多。它们两者 各有优缺点，假设模态法适用于简单模型，有限元法适用于复杂模型。o a k l e y 和 s a k a w a 2 1 l 利用g a l e r k i n 方法建立单杆柔性机械手的动力学模型。b o o k 2 2 1 引入假设 振型分析法，得到较为简单的动力学模型。本章利用拉格朗日方程及哈密顿原理， 结合假想模态法建立柔性机械手动力学模型。 2 1 柔性机械手的运动学建模 y l 3 2 图2 1 多杆柔性机械手臂示意图 f i g2 1m u l t i - l i n kf l e x i b l em a n i p u l a t o rs c h e m a t i c 多杆柔性机械手的运动示意图如图2 1 所示，仅考虑平面运动的弯曲变形，忽 略扭转变形和纵向变形。其中，x o 一圪为惯性坐标系；z - v , 为刚体运动坐标系； 置一霉为柔性坐标系；第i 杆的刚体运动用关节角包表示；第i 杆的横向变形用 w ( 玉) 表示。 第i 1 杆至第i 杆坐标系的旋转矩阵为： 6 江苏大学硕士学位论文 r 山( f ) = c l i j s t _ 、j 年i q i f 00 o0 ( 2 1 ) 式中，一，是第i 一1 杆的长度；m 一。( 2 ：f 巾t ) 表示第i - 1 杆的顶端变形； 单。j = s i n ( ，( f ) + 包( f ) ) ，q 枷= c o s ( a ，一。( f ) + 包( f ) ) ，其中，q 一。表示第i l 杆由于 弯曲变形而产生的旋转角。 第i 杆在惯性坐标系的位置向量可表示为： 片= 尽。囊 i = l ( 2 2 ) 霉2 阜- i 舶。h + 尽。曩2 i n ( 2 3 ) 式中，足。表示第i 杆从局部坐标系转换到参考坐标系的旋转矩阵： 其中： h i i ( f ) = 玉，w ( 薯，f ) ，0 ，1 了 ( 2 4 ) 以平面双柔性机械手为例，对其进行运动学建模。 杆l 、杆2 在局部坐标系的位置向量分别为： 啊= 五 w ( 五，t ) o 1 ；吃= 杆1 、杆2 在绝对坐标系的位置向量分别为： a = 砰 = p 2 = b h + 足。吃= 杆l 、杆2 的绝对速度分别为： 而 ( 而，t ) 0 1 c l 再一s i m 岛 + c l o l c l ，i 一墨w ( f i ，f ) + q ：x 2 一：w 2 ( 乇，f ) s i ，i + c 1w i ( ，l ，r ) + c 1 2 w 2 + c 1 2 w 2 ( x 2 ，t ) 0 1 ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 7 、- ， f o i d l0 “0 嵫 o o 1 o 基于液体阻尼器和运动规划的柔性机械手振动抑制研究 昱= a = 群扛+ r 0 4 = 一毛q 一q q 嵋一而嘲 c f l , x , 一& q 心+ q 心 0 o 息= 4 1 ，可。+ 霹红+ 霹幺一 石q ，t ) 五k ，t ) o 0 一s 。o , 4 一c i q w ( ，f ) 一蜀啦( ，f ) 一8 1 ：( q + 色) b c i ：( ( q + 岛) w 2 一s 1 2 啦 c l b ，l 一儡m ( ，l ，f ) + c l 也( ，i ，1 ) + c i ：( q + 岛) 而- - $ i ：( ( q + 见) 心+ c i ：啦 o 0 ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 2 2 柔性机械手的动力学建模 机械手总动能和总势能的表达通式【2 3 1 分别表示如下： k = 窆k ( 薯，f ) = 窆f ，t ( t ，帔 ( 2 1 1 ) y = 窆k ( 毛，f ) = 羔f 砖( 玉，嘁 ( 2 1 2 ) 式中，k ( 薯，t ) 是第i 杆的动能；k ( 气，f ) 是第i 杆的势能；n 是柔性杆的总数；k ( t ，f ) 是第i 杆的动能密度；k ( 薯，f ) 是第i 杆的势能密度。 拉格朗日函数l 定义为系统动能t 和势能v 之差，即l = t v ，由此可以得 到n 杆柔性机械手的拉格朗日能量密度函数【2 3 l ： 2 ：窆定心，f ) 一窆反( 玉，f ) = 2 2 ，谚，w ( 玉，f ) ，叫( 薯，f ) ，w f r ( x t , t ) ，嘭( ，f ) ，形( 薯，f ) 式中，只是第i 关节的转角；w ( 五，f ) 是第i 杆的弹性变形；符号包、w ( 五，f ) 上面 的点是对时间t 求导；符号上的撇是对第i 杆的长度变量薯求导； 利用h a m i l i t o n 原理可以得到描述第i 杆的振动偏微分方程【2 3 1 如下所示： 昙 蔷 - 誉普弗h 计南阱“， 其中， o 五， 以及i = 1 ，2 ，咒 江苏大学硕士学位论文 同理还可得到关于广义坐标系2 ( f ) 的常微分方程2 3 1 ： 旦t 一两+ 等= _ 一i l 一一十2 r ，i 厶jj , a 4j 。a o k e 。a 谚1、1d,t,ao, 7 式中，t 为作用在第i 关节上力矩， 江1 , 2 ，刀； 第i 杆的动能【2 3 】可表示为： k = 吾谚2 + 吾f ，辟4 尊r 盹 ( 2 1 6 ) 式中，以表示第i 关节的转动惯量：谚表示第i 杆的角速度；砖表示第i 杆某点在 惯性坐标系下的绝对线速度；肛表示第i 杆的质量密度；4 表示第i 杆的横截面积。 第i 杆的应变势能口3 】给出的形式可写为： 圪= 她斛+ 豇斛+ 出嘲+ 啡2 | ( 2 7 ， 式中，、t 分别表示关于咒、毛轴的截面惯性矩；，表示关于纵轴玉的i 杆的扭 转角；，p 表示柔性杆的惯性极距；e 、g 分别代表柔性杆的弹性模量和剪切模量。 由于柔性机械手臂的模型更符合e u l e r - b e r n o u l l i 梁，为此忽略剪切力和扭转变 形的影响，柔性机械手动力学建模时主要考虑平面内柔性机械手的动力学模型，所 以式( 2 1 7 ) 则简化成： 圪= 弘如= 三h 挈卜7 亿埘 由式( 2 1 4 ) 可以获得柔性杆的变形方程，并将其简化，得到众所周知的振动 偏微分方程【2 3 l ： b 4 挈+ 日学= 码 ( 2 1 9 ) 由振动分析理论可知，弹性变形可以表示成： w ( x ，f ) = 痧i ( x ) q i m ( t ) ( 2 2 0 ) 式中，屯( x ) 表示第i 杆的模念型函数；( f ) 表示第i 杆的广义坐标系。 将式( 2 2 0 ) 代入式( 2 1 9 ) 则得到： 房4 薹丸( x ) 氟( r ) + 田薹堡笔k ( r ) = 。 ( 2 埘) 9 基于液体阻尼器和运动规划的柔性机械手振动抑制研究 同时由式( 2 2 0 ) 还可得到： 丽e 学= 一去掣d t 皈 ( 2 2 2 ) 辟4 丸( x ) 出4( f ) 2聊 、7 胁= 警 将其代入式( 2 2 2 ) ，则有： 掣卅拥屯( x ) = 。 ( 2 2 3 ) 式( 2 2 3 ) 的通解为： 屯( x ) = c ：l 。s i n ( 丸砷+ c 2 ，c o s ( z 功+ c 3 。s i n h ( 4 曲+ g 佃c o s h ( x , x ) ( 2 2 4 ) 将式( 2 2 0 ) 分别代入式( 2 1 4 ) 、式( 2 1 5 ) 中，进行整理，最后可以写成运 动方程为： m x + n ( x ，x ) + 麟+ k x = q( 2 2 5 ) 式中，m 为惯性矩阵；n 表示哥氏加速度、离心加速y 度的系数项；b 为系统阻尼 矩阵；k 为刚度矩阵：x 为广义坐标列阵；q 为广义力列阵。 2 3 非最小相位特性 最小相位系统是在给定强度的伯德图中，相关相位角将产生最小的净变化。如 果存在系统零点或极点靠近复平面的右平面，这样的系统叫非最小相位系统。 非最小相位的概念可扩展到非线性系统上。通过采用逆动力学方法( 输入输 出的线性化) ，非线性系统能够分解成外部部分和内部部分，如图2 2 所示。当控 制输入来维持系统输出为零时，系统的零动力学通过系统的内部动力学来定义。如 果它的零动力学是渐进稳定的则系统为最小相位系统，否则为非最小相位系统。 图2 2 非线性系统的分解示意图 f i g2 2t h ed e c o m p o s i t i o nd i a g r a mo ft h en o n l i n e a rs y s t e m 内部系统的不稳定性则暗示了整个闭环系统为不稳定。逆动力学方法不能直接 应用在非最小相位系统上，因为它的逆不可用( 逆动力学是不稳定的) 。归纳的结 l o 江苏大学硕士学位论文 论是非最小相位线性系统的逆是不稳定的。因此，对于这样的系统，通常情况不追 求控制律能够获得满意的追踪误差( 渐进稳定性) 。取而代之的是设计一种控制器 来使得追踪误差达到可以接受的范围，从而达到所期望的性能。 下面用根轨迹法来研究系统的非最小相位特性。根轨迹给出闭环极点轨迹作为 反馈增益k 的函数，假设为负反馈( 有些是变参数的) 。 对于一个m 输入f 输出的n 阶系统的状态方程为： x = a x + b u ( 2 2 6 ) y = c x + d u 定义s 为系统矩阵秩的减少值，则系统矩阵的秩为： ，口九尼r b ni 以+ n f m ( m ) ( 2 2 7 ) l cd f 7、7 当k i 形式的负反馈应用在系统时，闭环系统的特征根是a 矩阵的特征值： 4 = a k b c ( 2 2 8 ) 从式( 2 2 8 ) 看出随着反馈增益k 的增加，闭环系统极点向开环系统零点靠近， 若开环系统是非最小相位传递零点，那么闭环系统在静态输出反馈下将失稳。 由于增益裕的限制，因此对于非最小相位系统控制器的设计比最小相位系统控 制器的设计要困难。不恰当的控制器将导致零动力学的不稳定性，从而对闭环系统 的全局稳定性造成影响。系统的非最小相位特性限制了带宽，获得反馈系统的性能 有所减小。例如，当采用逆动力学算法时，在逆动力学系统中，右边零点将成为不 稳定的极点。此时的控制器含有不稳定的极点将引起整个系统失稳。 以单杆柔性机械手为研究对象来说明柔性机械手的非最小相位特性。柔性机械 手的动力学线性模型为： m i l 研+ m 1 2 4 l ( t ) + b a l 幺= ( 2 2 9 ) m 。：巨+ 肘：嚣。( f ) + 墨4 。( f ) + 包，葳。= o ( 2 3 0 ) 其中： m ，i = ( 以l + 也。) ；m ，：= m 2 l = l l ；m 2 2 = ，l l ；毛= q 1 2 啊 ( 2 3 1 ) 式中：以，表示关节1 的转动惯性矩；以。表示杆l 关于关节l 的转动惯性矩；厶，。 表示刚柔耦合惯性项；m 。为单杆机械手臂的质量；q 。表示单杆机械手臂的第一阶 模态的固有频率；茸、碗分别表示关节l 的角加速度和角速度；b e 。表示关节l 的旋转副的摩擦系数；6 i 。表示结构的第一阶模态的阻尼比；4 、点。分别表示单 基于液体阻尼器和运动规划的柔性机械手振动抑制研究 杆机械手臂的第一阶模态的模态坐标和模态加速度。 整个系统的输入变量为关节力矩，系统的输出为关节转角q 和杆的变形， 鬻m 2 2 s 2 + 岛1 $ + 亿3 2 ，、一， 一吐( 肘m 恐一m 。：2 ) s 3 + ( m 。6 l 。+ m ：) s 2 + ( m 。k 。+ b s ，6 l 。) s + 。毛 y 一蛳s 3 ， ：丝! ! 垒! 盟兰 r 7 ( m 。m ：- m , 2 2 ) s 3 + ( 肘。岛。+ 肘舱。) s 2 + ( m 。，墨+ 。6 i 。) s + 。毛 在这种情况下，从式( 2 3 2 ) 和式( 2 3 3 ) 看出，系统右半面没有零点存在， 整个系统是最小相位系统。但是在式( 2 3 3 ) 中的s 平面的原点存在一个零点。若 整个系统的输出为顶端变形，在靠近复平面右边存在一个零点，那么系统为非最小 相位系统。 令整个系统的输出为顶端位置，则有： 邓半砷掣掣 亿3 4 ， 整个系统的传递函数则变为： = 鬻+ s m 型 l i t l ( s ) 卜 m 2 , z ) s 3 + ( 一半卜p 毛 ( 2 3 5 ) m 。6 l 。+ m 砼。) s 2 + ( m 墨+ 。6 l 。) s + 。k 1 该系统零勤学依赖于北) 蚂* 一半卜熊如果 该项是负的，那么系统的零动力学是不稳定的，同时系统也是非最小相位系统。 固定自由柔性杆的型函数为： 以，()=cosh(a五)一c。s(a)一专嚣害詈渊sinll(以五)一sin(a五)(236) 根据式( 2 3 6 ) ，则有： 江苏大学硕士学位论文 = 胁( 砒如= 萧 将式( 2 3 0 ) 和式( 2 3 6 ) 代x c 。，则得出： 印一掣2 ，z 一 1 - 哿 亿3 8 ， 由频率方程则得出： a t , = 1 8