（科学技术史专业论文）《算术研究》中分圆方程理论研究.pdf

算术研究中分圆方程理论研究 摘要 高斯的算术研究是数学史上一部经典的著作，不仅是因为它的诞生标志 着数论成为一门系统的科学，也是因为它的出现是“代数方程根式可解”问题的 历史转折点。算术研究的第七章主要目标是分圆方程的可解性，但是本文把 高斯关于分圆方可解性的工作放在“伽罗瓦理论”历史发展的背景下来研究，这 样我们就会发现高斯是“伽罗瓦理论 发展历史上不可或缺的重要人物，他起到 了承前启后的作用。是高斯首先采用前人拉格朗日的策略，解决了一大类可根式 求解的高次方程的求解问题，并且他解方程所引入的扩域思想给后人阿贝尔、柯 西以及伽罗瓦等人的工作极大的启发。 综上鉴于高斯对代数方程论的重要贡献，本文重点研究了高斯的分圆方程理 论的起源与思想，以及他的工作在“伽罗瓦理论”发展历史上的地位和影响。本 文主要做了以下几个方面的工作： 第一：简要回顾了代数方程根式求解问题的起源以及发展成为伽罗瓦理论的 历史经过； 第二：鉴于拉格朗日对伽罗瓦理论的重要贡献，文章解释了他的著作关于 代数方程解的思考中根式求解代数方程的思想以及重要的方法，给出了拉格朗 日解方程的具体例子以及他所发现的有关重要定理，也叙述了他所遇到的障碍和 困难。 第三：在介绍了高斯所处的伽罗瓦理论发展历史背景之后，对高斯的著作算 术研究的第七章展开详细的讨论。主要介绍高斯是如何证明分圆方程的不可约 性以及他是如何证明分圆方程的辅助方程是可根式求解的。从现代数学的角度对 他的扩域的思想做了详细的介绍。也将他的方法和拉格朗日的思路做以比较发 现：高斯完全遵循了拉格朗日的思想，并给出了一大类可根式求解的方程，不同 的是为了解辅助方程他引进了域的扩张的想法。也分析了他的工作对之后的阿贝 尔所产生的影响：以域的扩张为基础进行研究。 第四：由于与分圆方程根式求解密切相关的是正多边形的尺规作图问题，文 末还给出了正多边形尺规作图问题的简单介绍。 关键词：高斯伽罗瓦理论分圆方程根式求解拉格朗日 r e s e a r c ho nt h ec y c l o t o m i ct h e o r yi ng a u s s s d i , q u i s i t i o n e sarithmeticdtsquisitwnesa r t t h m e t i c a e a bs t r a c t g a u s s s d i s q u i s i t i o n e s a r i t h m e t i c a ei sac l a s s i c a lw o r ki nt h eh i s t o r yo f m a t h e m a t i c s i t sb i r t hn o to n l ym a r k st h eb e g i n n i n go fm o d e mn u m b e rt h e o r y , b u t a l s oi sa ni m p o r t a n tt u r n i n gp o i n ti nt h eh i s t o r yo fa l g e b r a w es h o u l dr e e x a m i n et h e g a u s s sw o r ku n d e rt h ec i r c u m s t a n c eo ft h eh i s t o r i c a ld e v e l o p m e n to fg a l o i st h e o r y i nt h i sw a yw ew i l l f i n dt h a tt h et h e o r yo fg a u s s sc y c l o t o m i ce q u a t i o ni sa n i n d i s p e n s a b l ep a r tt og a l o i st h e o r y i nf a c t ，c y c l o t o m i ce q u a t i o ni sr e l a t e dt o t h e c o n s t r u c t i o no fr e g u l a rp o l y g o n s m o r e o v e r , i ti sa l s oak i n do fs p e c i a le q u a t i o n w h i c hc o u l db es o l v e db yr a d i c a l s t h u s ，i th a sah i 曲p l a c ei nt h eh i s t o r yo f “g a l o i s t h e o r y t h i st h e s i sm a i n l yf o c u s e so nt h ef o l l o w i n ga s p e c t s ： ( 1 ) i nt h ef i r s tp a r to ft h i st h e s i s ，t h i sw r i t e rs y s t e m a t i c a l l yr e v i e w st h eh i s t o r i c a l d e v e l o p m e n to f “g a l o i st h e o r y s o m ei m p o r t a n tm a t h e m a t i c i a n sw o r k sa r e d i s c u s s e d ( 2 ) b e c a u s eo ft h ei m p o r t a n c eo fl a g r a n g e sc o n t r i b u t i o n ，ad e t a i l e di n t r o d u c t i o nt o t h es t r a t e g yo fl a g r a n g eo nt h ep r o b l e mo fs o l v a b i l i t yb yr a d i c a l si sp r e s e n t e d 。 ( 3 ) a f t e ra ni n t r o d u c t i o nt ot h eg r e a tw o r ko fg a u s sa n dad e t a i l e ds t u a yo fc h a p t e r v i io fd i s q u i s i t i o n e sa r i t h m e t i c a e , t h i sw r i t e rf i n d so u tt h ew a yg a u s ss o l v e s t h ec y c l o t o m ye q u a t i o n ，a sw e l la st h er e l a t i o nb e t w e e ng a u s s si d e aa n d l a g r a n g e ss t r a t e g y i na d d i t i o nt ot h a t ，g a u s s si n f l u e n c eo nt h ed e s c e n d a n t s ， s u c ha sa b e l ，g a l o i si sa l s oe x p l o r e d k e yw o r d s ：g a u s s ；d i s q u i s i t i o n e sa r i t h m e t i c a e ；c y c l o t o m i ce q u a t i o n ；s o l v e db y r a d i c a l s ；g a l o i st h e o r y 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：圣翌蝰指导教师签名：蜮 硼d 年易日 f 日调。年乡冠，f 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：王驾吟 7 , f 口年6 窍| s 日 西北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1引言 中世纪的阿拉伯数学家把代数学看成是解代数方程的学问，并把二次方程的理论系 统化。而在文艺复兴时期，三次以及四次代数方程的求解甚至引起数学家之问的相互挑 战，同时期的米兰学者卡尔达诺( gc a r d a n o ，1 5 0 1 1 5 7 6 ) 给出三次方程的系统解法， 并给出精确的求根公式( 后人称之为卡尔达诺公式) 。在这个时期，方程的可解问题被 完全的公式化。之后由于法国数学家韦达( f v i e t a ，1 5 4 0 1 6 0 3 ) 的数学符号体系使得数 学符号系统化，这直接导致代数性质上产生重大变革。到十八世纪术十九世纪初数学家 们开始考虑一般的五次或者高于五次的方程能否像二次、三次、四次方程一样根式求解。 也就是说对于方程 x “+ 以l x ”一1 + 口2 x ”2 + + 口n = 0 ( n 5 ) ， 它的解能否只对方程的系数做加、减、乘、除和开方( 正整数次方根) 等运算而得到。 四次以及低于四次的代数方程都被解出来了，但是很多数学家在求解五次方程面前 失败了，历史上第一个作出具有革命性结论的数学家是拉格朗同( j o s e p hl o u i sl a g r a n g e ， 1 7 3 1 8 1 3 ) 。他于1 7 7 0 年发表论文关于代数方程解的思考( ( ( r e f l e c t i o n ss a tl a r e s o l u t i o na l g e b r i q u ed e se q u a t i o n s ) ) ) 1 1 ，其长达2 0 0 页的论文系统的总结了前人解二次、 三次、四次方程的方法，并得出创造性规律和结论。他所要解决的不是前人是怎样解方 程的，而是前人的方法为什么能够解方程。拉格朗日研究了根的置换的性质，证明了历 史上第一个有关代数群的性质的定理，并重新给出了一个完整的解方程的程序。这个程 序的主要步骤是：寻找根五，x 2 ，的预解函数( 或称预解方程) u ，使得扩域 k ( u ) = k ( 五，恐，吒) ，而其中的k 表示包含原方程所有系数a ，a ：，a 。的基础域。但 在这个程序当中，有两点是非常重要的：一是原方程的预解方程( 或称预解式) ，如果 预解方程可解则原方程的根就不难得出；二是寻找根的线性表达式u ，以满足 k ( u ) = k ( 五，x z ，x ) 。这个程序对于三次和四次方程都是有效的，但是在一般的五次n 方程根式求解面前他的方法失败了，因为那需要一个六次的预解方程，而六次方程的解 还是未知的。之后，拉格朗日不得不坦言这个问题“好像是在向人类的智慧挑战! ”。我 们将看到在拉格朗日这里，方程的根式可解被重新定义为“一个程序”。 半个多世纪后，挪威的年轻数学家阿贝尔( n h a b e l ，1 8 0 2 1 8 2 9 ) 出版了他的论 文论代数方程，证明一般五次代数方程的不可解性，他在其中严格的证明了五次和 高于五次的代数方程是不可根式求解的【2 】。虽然没有明确的术语，但是阿贝尔清晰的给 出了“域”和“在给定域中不可约的多项式的概念。之后，他在另外一篇论文中又讨 论了一类特殊的可用根式求解的方程。在阿贝尔发表论文的同年( 1 8 2 9 年) 五月，伽罗 瓦( e g a l o i s ，1 8 1 1 1 8 3 2 ) 发表了他的论文，其核心是说：方程可以根式求解当且仅当 方程的伽罗瓦群g 是可解的，也就是说，存在有限步的群g 的正规子群列 g 3 e3 h z3 3 h 。= e ，且所有子群的指数均为素数。与这个收敛的正规子群列 1 西北人学硕士学位论文 对映的会有一个根式扩张塔：设原方程的系数属于某个域f ，若方程可解则扩域k f 有 如下根式扩张塔： f = 互f c + 1 = k 其中每个e + 。= e ( d ，) ，d 7 = a ，丘，也就是说只+ ，是把c x 中某个，z ，次方程x 脚一a = 0 的一个根d ，= 掂添加到e 上而得到单代数扩域。阿贝尔在证明一般的五次方程不可求 解时其实是证明对于五次方程是不存在这个根式扩张塔的，其中的e 是不存在的，证明 的过程是反复使用柯西定理证明的。也就是说到了阿贝尔、伽罗瓦的时代，方程是否可 根式求解的定义已经演变为是否存在这样的一个根式扩张塔! 至此这一前后持续约三百 年的数学难题得以解决。 就在拉格朗日和阿贝尔之间，人们绝对不可以忽视一个人的工作，那就是数学王子 高斯( c a r lf r i e d r i c hg a u s s ，1 7 7 7 m 1 8 5 5 ) 。高斯在他的名著算术研究( ( ( d i s q u i s i t i o n e s a r i t h m e t i c a e ) ) ) 【4 1 的第七章中完整的解决了分圆方程的根式可解性问题。从拉格朗日的 扩域思想到阿贝尔的根式扩张塔之间，高斯的工作是尤为重要的，他的工作给予阿贝尔、 柯西以及伽罗瓦等人极大的启发。应当说阿贝尔是从高斯的工作中看出，如果方程 厂( z ) = 0 可根式求解，则方程有如下扩张塔： kck 1ck 2c ck 。= k ( 口) = k ( 五，x 2 ，x n ) 其中k = k ( 掘) ，k 2 = k ( 叫) ，心= k m 一。( 一。) ，k = c ( 以。，以：，口。) 被称为基 本域( g r o u n df i e l d ) ，包含了原方程的系数与各阶单位本原根。阿贝尔反复利用柯西 定理证明了对于五次方程p = 2 ，但是p ，是不存在的，由此阿贝尔证明了对一般的五次 方程是不存在根式解的。 但可惜的是，大多数的中外相关文献都极少的提及高斯研究方程根式可解性的工 作，都只是认为高斯只不过给出了一类特殊的可以根式求解的方程，在讲完阿贝尔的工 作之后概括出高斯的分圆方程只不过是“阿贝尔方程”的特例。例如，在范德瓦尔登( b l v a nd e rw a e r d e n ) 的代数学史【5 】中，虽然高斯的工作被作为独立的第五章给出， 并且介绍了他的分圆方程工作，但是该书仅给出了高斯求解n2 1 7 时的分圆方程的例子， 对高斯是如何证明方程的不可约性以及辅助方程的可解性只字未提，该章的剩余篇幅则 详细的介绍了高斯关于代数基本定理的三个证明。在m 克莱因的古今数学思想【6 】第 三册中的第3 l 章，有“二项方程 一节内容，介绍了高斯关于求解分圆方程的工作， 但也都是概要性的没有提及高斯证明的思路与过程，书中主要思想是认为高斯解决了正 多边形的尺规作图问题；而在t h ed e v e l o p m e n to f g a l o i st h e o r yf r o ml a g r a n g et oa r t i n ) ) ( w r i t t e nb yb m e l v i nk i e m a n c o m m u n i c a t e db ym k l i n e ) 【7 1 中也未提及高斯关于扩域的 2 西北大学硕l ：学位论文 思想。 本文重点着眼于高斯是如何证明分圆方程的根式可解性的。首先以现代数学的角度 审视了拉格朗日在回顾前人的工作之后所给出的解方程的程序，并展示了按照他的策略 是怎样解三次和四次方程的，之后讨论了拉格朗日所遇到的困难。在本文第三章详细的 回顾了算术研究第七章的内容，从现代数学的角度分析了高斯解分圆方程的策略， 以及他如何证明分圆方程的根式可解性的。从中可以发现，高斯解分圆方程的方法完全 继承了拉格朗同解方程的策略，可以说高斯是完全按照拉格朗日的程序来解分圆方程 的。但是高斯证明分圆方程可解的过程却给予阿贝尔和伽罗瓦很大的启发，他利用根式 扩域的方法被阿贝尔所继承，基于此阿贝尔证明对于一般的五次方程是没有根式解的。 1 2 高斯生平 高斯，1 7 7 7 年4 月3 0 日出生于德国布隆什维克一个贫穷的工人家庭中。但是高斯 显然是个数学天才，在他三岁时就已经能纠正他父亲的计算错误，他自己曾说他在学说 话以前就会计数了。八岁时他能精准的算出l 至1 0 0 的和，而其他孩子费好大力气把数 一个一个加起来还加错了。十一岁时高斯酷爱数学的年轻数学教师巴特尔斯( j o h a n n m a r t i nc h r i s t i a nb a r t e l s ，1 7 6 9 1 8 3 6 ) ，表现出非凡的数学天才。十四岁时，当地的布隆什 维克公爵得知自己领地上的高斯有非凡的才能，召见了他并资助他上学。次年，高斯进 入布隆什维克的卡罗琳学院求学，攻读牛顿、欧拉、拉格朗日等人的著作。 1 7 9 5 年1 0 月高斯离开卡罗琳学院，就读于哥廷根大学。1 7 9 6 年3 月3 0 日，高斯 尺规作图出正十七边形，这一发现使他决心献身于数学。高斯有写日记的习惯，1 8 年中， 他一共写了1 4 6 条，由于他作风严谨，有些很晚才发表。这本日记直到1 8 9 8 年才被发 现，1 9 0 1 年由克莱因编辑出版。在大学期间，他阅读了费马、欧拉、拉格朗月、勒让德 等数学家的著作，得出一系列结果。比如，他重新发现并证明了二次互反律，得出分圆 域的概念以及二次型的许多算数结果。这时他决定写算术研究。 高斯于1 7 9 8 年秋离开哥廷根大学，回到家乡。这时他写了关于代数学基本定理的 第一个证明。1 7 9 9 年底他到海尔姆斯台德大学，以普法夫为名义上的导师，用这篇论文 取得博士学位。他利用大学的图书馆进行阅读和写作，到1 8 0 0 年复活节返回布隆什维 克，并完成算术研究。不过，这布著作远远超出当时数学家的水平，并没有为学术 界所理解。 高斯在1 9 世纪的名望主要来源于他在天文学方面的工作，特别是有关小行星轨道 的确定，这使他最终就任哥廷根天文台台长。他用来寻找行星运动轨道的方法至今还在 使用，而且可以编成程序上计算机运算。 1 8 世纪末1 9 世纪初，频繁的战争和欧洲经济发展的需要要求绘制精确的地图。因 此欧洲各国便开始本国的国土测量及地图的绘制工作。1 8 2 0 年，高斯虽然已经过了4 0 岁，但还用了许多年亲自搞野j t , n 量工作。他从事大量的劳动，夏天到野外进行测量， 冬天进行数据处理。当时的工作条件十分糟糕，交通不便，天气恶劣，居住条件不好， 当地官吏不合作，事故很多，政府资助又少，助手没有几个，许多事情都要亲自动手。 他就是在这种情况下干了8 年，而且在理论上及实际上都有发明创造，后来在物理学上 也做了很多工作，还发明了最早的电报。1 8 2 7 年他发表的曲面的一般理论研究就是 通过大量的观测和计算总结出来的理论。在书中他证明：曲面的高斯曲率只与弧长要素 有关。这是微分几何学中的基本定理，他称之为“伟大定理”。 高斯在5o 岁以后，兴趣有集中在物理学上面。他对于力学、毛细现象、声学、光 西北大学硕l 学位论文 学以及结晶学都做出了一些重要贡献，其中最主要的是他关于地磁的研究。高斯和w 韦 博( w i l h e l me d u a r dw e b e r , 1 8 0 4 1 8 9 1 ) 合作发明了磁强计，而且还通过组织欧洲地磁观 测网来测量各地地磁场的变化。高斯通过理论分析证明，地磁是在地球内部产生的，他 把他的理论写成一本书地磁的一般理论，在1 8 3 9 年发表。 1 8 3 3 年高斯还发明了最原始的电报，实际上是一条连接天文台和韦博实验室的8 0 0 0 英尺导线，线的两端都有电磁铁，电流通过后通过小针敲铃，但当时还没有普及推广， 原来一条铁路想采用，最后因太贵而最终放弃，但是他们的确是把电流用于通讯的先驱 者。 长期以来，高斯的主要精力花在自然科学上，但对数学也不断进行许多研究。他的 数学成果既深且广，许多结果超出当时的学术水平。但是他追求完美，又不愿因不被理 解而引起争议，所以他生前所发表的著作不多，以致有些结果在他发现后几年、十几年 甚至几十年，让别人先发表。高斯于1 8 5 5 年2 月2 3 日在哥廷根去世。高斯的著作收集 在他的1 2 卷全集( w e r k e ) ( 1 8 7 0 1 9 2 7 ) 之中 s l 。 4 西北大学硕士学位论文 第二章高斯之前拉格朗日在方程论方面的工作 十七世纪末，一些新的数学分支逐渐形成，比如：解析几何以及微积分逐渐发展成 独立的体系，这就不奇怪在这个世纪未期代数学的发展近乎停顿，但也有像车恩豪斯 ( e h r e n f r i e dw a l t h e ry o nt s c h i m h a u s ，1 6 5 1 1 7 0 8 ) 这样的杰出的数学家在努力的推动代数学向 前发展。但是其他分支中的一些研究成果也间接的被引入代数学，这其中的一个就是“棣 莫弗公式”( d em o i v r e 、sf o r m u l a ) ： 对任意整数n 以及任意口孵 ( c o s o + i s i n 0 ) ”= c o s ( n o ) + s i n ( n o ) = e ” 从今天的角度看来这个公式用数学归纳法很容易就证明出来，但是它却对数学的发展产 生的很大的影响：首先，棣莫弗( a d em o i v r e ，1 6 6 7 1 7 5 4 ) 的工作使得人们对于“代数 基本定理”( f u n d a m e n t a lt h e o r e mo f a l g e b r a ) 的认识更进了一步，并且对于定理的正确 性不再怀疑；其次，由于前人的工作四次以及四次以下的方程根式可解性已经被人们所 熟知，而棣莫弗的工作则告诉人们四次方程在复数域上是可以分解成线性因式的。 而棣莫弗公式的另一个作用就是通过它可以求得分圆方程的三角形式的解： 令 仅= c o s o + i s i n o = e e i 则有 口“= c o s 2 疵+ f s i n 2 刀站= 1 口：c 丝+ f 丝 j | ：0 12，一10s s l n 1 n1口= c + z 肛= ，一 nn 则口是分圆方程! ；：o 的一个复形式的根。 x i 到十八世纪，代数方程的根式求解问题吸引了无数的知名数学家，但是只有拉格朗 日将人们的视野吸引到了一个全新的领域【8 1 。在这个时期，多项式的基本性质己被数学 家们所熟知，计算技巧也发展到了很高的水平。通过棣莫弗的工作人们对方程的复根不 再陌生，并且对代数方程理论的研究产生极大影响。不管代数方程的起源如何，这一时 期一些极其重要的研究使得这个问题已经不同于卡尔达诺时代的解方程问题：对方程的 数值解已经没有直接的应用，这个分支已经完全成为纯粹的数学问题，并且按照它自己 的路线发展下去。 在研究过欧拉( l e o n a r de u l e r , 1 7 0 7 1 7 8 3 ) 、贝祖( e t i e n n eb e z o u t ，1 7 3 0 1 7 8 3 ) 、车 恩豪斯等人的工作之后，拉格朗日开始以他独特的眼光审视前人的工作。拉格朗日长达 二百页的论文关于代数方程解的思考不仅仅是对前人解代数方程的概括：是对先前 所有方法的总结与重新思考。他的目标很明确：不是找出这些方法是怎样解方程的而是 这些方法为什么能够解方程! 他说道： “ip r o p o s ei nt h i sm e m o i rt oe x a m i n et h ev a r i o u sm e t h o d sf o u n ds of a r f o rt h e a l g e b r a i cs o l u t i o no fe q u a t i o n s ，t or e d u c et h e mt og e n e r a lp r i n c i p a l s ，a n dt ol e ts e eap r i o r i 两北大学硕士学位论文 w h y t h e s em e t h o d ss u c c e e df o rt h et h i r da n dt h ef o u r t hd e g r e e ，a n df a i lf o rh i g h e rd e g r e e s t h i se x a m i n a t i o nw i l lh a v ead o u b l ea d v a n t a g e ：o no n eh a n d ，i tw i l ls h e dag r e a t e rl i g h t o nt h ek n o w ns o l u t i o n so ft h et h i r da n dt h ef o u r t hd e g r e e ；o nt h eo t h e rh a n d ，i tw i l lb eu s e f u l t ot h o s ew h ow i l lw a n tt od e a lw i t ht h es o l u t i o no fh i g h e rd e g r e e s ，b yp r o v i d i n gt h e mw i t h v a r i o u sv i e w st ot h i se n da n da b o v ea l lb ys p a r i n gt h e mal a r g en u m b e ro fu s e l e s ss t e p sa n d a t t e m p t s ( 【3 ，p p p 2 0 6 - 2 0 7 ；t r a n s l a t i o nc i t e df r o m 9 ，p p p 2 3 5 6 ) 拉格朗日的这篇论文是由1 1 5 篇小文章构成的，包含四个部分： 第一部分：关于三次方程的解； 第二部分：关于四次方程的解； 第三部分：关于五次和更高次方程的解； 第四部分：对以上情形的总结，以及研究方程的变形，并且如何将方程的次数降低。 前两个部分如他所说主要是总结和回顾前人关于解低次( 五次以下) 方程的方法， 他在后两个部分中揭示前人解法的基本原理，并试图求解五次方程。他发现前人的种种 方法都有一个共同的特征：将原方程逐步化为次数更低的一系列“辅助方程”，通过解 辅助方程从而解出原方程。 下面我们将先介绍拉格朗日对前人解二、三、四次方程方法的基本原理重新解释， 在其后我们将简要讨论他的关于解代数方程的一般性想法以及他所遇到的困难。 2 1 、三次方程解的获得 假设在解三次方程之前已经得到一般形式二次方程 石2 + a l x + a 2 = 0 的解为： 五= ( 一日1 + 口? - 4 a 2 ) 2 x 2 = ( - a l - , a ? - 4 a 2 ) 2 我们设三次方程一般形式为：石3 + 口l x 2 + 口2 x + a 3 = o ，并且设它的根为_ ，x 2 ，x 3 ，考虑根 的线性函数： u = x l + ( o x 2 + 缈2 而 其中缈是三次单位本原根，即有 l + c o + c 0 2 = 0 或者国= 昙( _ l + 厅) ； 我们记3 次置换群为s 3 ，并且有墨= 1 ，( 1 3 2 ) ，( 1 2 3 ) ，( 2 3 ) ，( 1 2 ) ，( 1 3 ) 。则“在所有的置换下 可以取6 个不同的值，分别为： u 2 = ( 1 3 2 ) u = x 3 + 髓珑1 + 彩2 x 2 = f t y u u 3 = ( 1 2 3 ) u = z 2 + 髓珑3 + 缈2 x 1 = 缈2 u 6 西北大学硕士学位论文 u 4 = ( 2 3 ) u = z l + 僦3 + 国2 工2 = ， u 5 = 0 2 ) u = z 2 + m r l + 国2 x 3 = 翻v “6 = ( 1 3 ) u = x 3 + 嬲2 + c 0 2 五= 缈2 ， 拉格朗日的目标是寻找甜的函数y ( “) ，使得它在s 3 的所有置换下只取两个不同的值，因 为： u ? = u ；= “；= u 3 ； u ；= u ；= “；= v 3 ； 为了达到上述目的我们令y ( “) = u 3 ，所以对于墨中的置换盯( y ) 只取两个不同的 值，即： y l = u3 ，y 2 21 ，3 n i f t y ，y 2 是以下二次方程的两个根： y 2 一a 1 y + a 2 = 0 ( 1 ) 并且其系数根据韦达定理可以表示为： a 1 = y l + y2 = 一2a ? + 9a la2 2 7a 3 a 2 = y ly2 = ( 口? 一a2 ) 3 现在我们已经将三次方程转化为上面的二次方程，根据先前所述二次方程是可根 式求解的。 通过解方程( 1 ) ，y i 和y ：是可以算出的，并且它们是原方程系数q ，a ：，口，的函数。 因此： 甜= 佤，y = 佤 现在我们可以构造出线性方程组 一a l2 + x 2 + x 3 u 2 + o ) x 2 + 国2 而 ，= 五+ 国2 艺+ 屯 因此可以解出原方程的解为： 7 西北大学硕上学位论文 五= 翌产 屯= - a i + ( 0 广2 + c o y 恐= - a 1 + ( 9 广l t + 0 9 2 v 2 2 、四次方程解的获得 假设四次方程的四个根为分别为，恐，而和x 4 。与上例相仿，我们考虑根的线性函 数： u2 工1 + 石2 一x 3 一x 4 我们记4 次置换群为& ，对于墨中的所有置换盯，盯 ) 可取6 个不同的值。拉格朗日 的目标是寻找一个“的函数y ( ) 使得它对于墨中的所有置换只取厂= 3 个不同的值。因此 可取： y ( u ) = “2 并且可以计算得到 y = 口；- 4 a 2 + 4 ( x l x 2 + x 3 x 4 ) 令 t 2 戈1 工2 + x 3 x 4 这样我们可以很容易验证由于f 在蜀中只取三个不同的值，因此y ( “) 也在s 4 中取三个不 同的值，并且有： t 1 = x 1 x 2 + 石3 x 4 t 22 工3 + x 2 x 4 t 32 x 4 + x 2 x 3 以及： y l = a ；一4 a 2 + 4 t 1 = y y 2 = a 卜4 a 2 + 4 t 2 = ( 2 3 ) y y 3 = a 卜4 a 2 + 4 t 3 = ( 2 4 ) y 设咒，y 2 ，乃是以下三次方程的根： y 3 一a l y 2 + a 2 y a 3 = 0 8 西北人学硕 ：学位论文 根据根与系数的关系，上面方程的系数应当为： a l = y l + y 2 + y 3 = 3 a ? 一8 口2 a 2 = y l y 2 + y l y 3 + y 2 y 3 = ( 口? 一4 a 2 ) ( 3 口? + 4 a 2 ) + 1 6 a l a 3 6 4 a 4 a 3 = y l y 2 y 3 = ( 一口? + 4 a l a 2 8 口3 ) 2 如我们所看到的，拉格朗日把一个解四次方程的问题转化为求次数更低的三次方 程，根据上一小节的内容我们已经得到三次方程一般形式的解，所以可以得到： “，= 万= 甜 u 2 = 4 y 2 = ( 2 3 ) u u 3 = 4 y 3 = ( 2 4 ) u 由此我们可以得到一个关于根而，x 2 ，恐和x 4 的线性方程组： 一a l 。五十恐十x 3 十 u l2 + 屯一x 3 一x 4 u 22 西一x 2 + x 3 一x 4 u 3 。而一x 2 一x 3 + x 4 ( 其中的“。、“：、“，已经按照上面的计算化为原方程系数q ，a ：，口，和口。的函数) 通过解上述线性方程组我们可以得到四次方程的解为： 五：! 二鱼竺! 竺2 型 4 矗：! 二! ! 丝二丝二型 4 而= 虹掣 而= 虹掣 这样四次方程的根式求解问题也被解决了。 2 3拉格朗日对于一般门次方程的思考 从上面的例子中我们看到一个非常关键的地方，即根的置换。我们用y 表示成x 的 函数，降阶后的辅助方程次数取决于原方程根的置换的个数! 首先我们设，z 次方程的一般形式为： 工”+ 口l z ”一1 + + a n l x + a = 0 并假定它的系数q ，口：，口。之间是无关的，也就是说魄( 七= o ，1 ，2 ，2 ) 之间没有任何关系 9 两北人学硕士学位论文 成立。拉格朗日设原方程的解为五，x 2 ，x n ；并给出根的一个线性方程为： u2 q z l + c 2 x 2 + + c 月毛 在上述两例中u 分别取作了u = x l + c o x 2 + c 0 2 x 3 以及“= _ + x 2 一x 3 一x 4 ，这就是后来被称 作“拉格朗日预解式”( l a g r a n g er e s o l v e n t ) 的多项式，其中的c ，可以以特殊的方式得到。 在解方程的过程中这个预解式起到了关键的作用。 ( 在数学史上一些重要的结论并不是“一流”的数学家做出来的，范德蒙在拉格朗 日出版他的关于代数方程解的思考之后稍晚一些的时i 日j 出版了自己关于解代数方程 的论文( ( m e m o i r es u l l ar e s o l u t i o nd e se q u a t i o n s ) ) ，在这篇论文中范德蒙应用了与拉格朗 日预解式极为相似的预解式，他的一些想法与拉格朗同也很相近，但是并不明确。因此 后来也有人称这种预解式为“范德蒙拉格朗同预解式l 1 1 0 ) 下一步将要决定一个u 的函数y ( u ) ，使得它对于置换群鼠中所有的置换只取厂个不 同的值： 因此根据代数基本定理它一定是一个，次方程的解： y 一4 y 1 + 4 y 2 一+ ( 一1 ) 4 = 0 它的系数必定满足以下关系( 根与系数的关系) ： 4 = 乃+ 款+ + ” 4 = y l y 2 + y l y 3 + + 只一l 如= 丕掣 a r = y l y 2 y r 我们称一个函数容许置换，是指这个函数在它的变量进行置换时不变。例如函数 x l + 恐容许玉和恐的置换，但是五一恐却不容许。接着拉格朗日证明了两个重要的命题 ( 定理) 。 命题一的叙述如下：“如果一般的，2 次方程的根的一个函数y ( 一，而，) 容许另一 个函数伊( 五，x 2 ，) 所容许的t 的所有的置换( 可能还容许驴所不容许的一些置换) ， 那么函数y 可以用缈和原始方程的系数口，口：，a 。有理地表示出来。 命题二的叙述为：如果一般方程的根的一个函数j ，( 五，恐，吒) 不容许函数 1 0 西北大学硕十学位论文 妒( 五，屯，吒) 所容许的所有置换，但是9 所容许的置换下取，个不同的值，那么y 是一 个厂次方程的根，这个方程的系数是够和给定的一般船次方程的系数的有理函数。这个， 次方程是可以构造出来的。 这两个命题出现在论文关于代数方程解的思考的第1 0 0 篇中，用现在的语言叙 述为如下定理： “i f y ( 五，t ，x n ) i sn o ti n v a r i a n tu n d e ra l lp e r m u t a t i o n sw h i c hl e a v e 缈( 五，砭，矗) i n v a r i a n tb u tt a k e so nrd i s t i n c tv a l u e s ，t h e nyi sar o o to fa ne q u a t i o no fd e g r e erw h o s e c o e f f i c i e n t sa ia r er a t i o n a lf u n c t i o ni n pa n dc o e f f i c i e n t so ft h ep r o p o s e de q u a t i o n 4 = a i ( p ；a 1 ，口2 ，a 。) ” 如果你用这个定理仔细的查看上面三次和四次方程的例子，就会发现这个定理的重 要性，它是拉格朗只解代数方程的重要基础：也就是说可以通过根式求解一系列次数较 低的辅助方程来达到根式求解原方程的目的。 通过这个定理我们可以洞察到拉格朗目的想法，对于一般系数的n 次方程拉格朗日 从根的对称函数y o 出发，函数虬容许根的所有的，z ! 个置换。他指出y o 可以取为 y o 。五- i - x 2 + + x n ： 然后他再取一个函数乃，它只允许置换群中的某些置换。假设m 在，z ! 个置换下只能取， 个不同的值，那么根据代数方程基本定理，y 。是一个厂次方程的根，这个方程的系数是 和给定的一般方程的系数的有理函数。这个，- 次方程可以构造出来。更进一步，如果 殊取为根和系数的一个对称函数，那么由给定的一般方程的系数，这个，次方程的系数 就完全知道了。如果先前已经假定这个次数更低的厂次方程是可以根式求解的，那么依 据原方程的系数，m 也就求得了。 然后再选择一个函数儿，使它只容许m 所容许的根的置换的一部分，y ：在乃所容 许的置换下假设只取s 个不同的值，那么儿就是一个s 次方程的根，这个方程的系数是m 和给定的一般方程系数的有理函数。如果先前的，次方程( y 1 只是它的一个根) 能够根 式求解出来，那么这个s 次方程的系数就可以求得。如果这个s 次方程可以用代数方法 解出来，那么根据原方程的系数y ，也就知道了。 西北大学硕十学位论文 如此按照这样的方法继续下去，选择一系列的函数儿，y 4 ，一直到最后一个函数选 择为五于是，如果这些，s ，次的方程都能根式求解出来，那么根据给定的一般方程的 系数，也就知道了，其他的根也，x 3 ，可以通过同样的方法得到。我们今天把这些 ，次、s 次、的方程称为“预解方程 。例如，对于三次方程，u = + 僦：+ 国2 工，就 是拉格朗日意义下的预解方程的一种形式。 2 4拉格朗日遇到的困难 拉格朗同的方法看起来切实可行，对于求解一般的二次、三次、四次方程都卓有成 效，但可惜的是，当他把这种方法用于去解五次方程的时候，他发现工作是如此的艰难， 以至于不得不放弃。对于三次方程他只要解一个二次预解方程，但对于五次方程，他就 必须解一个六次的预解方程。在解五次方程的时候拉格朗r 想尽力去求得一个预解方程 使它能满足一个次数低于五次的方程。( 他的学生鲁菲尼( p a o l or u f f i n i ，1 7 6 5 1 8 2 2 ) 后 来在他的论文方程的一般理论中成功的证明了不存在一个预解函数能满足一个次数 低于五次的方程) 但是，他的工作没有给出选择y ，的任何准则和方法，使得这些函数办 满足一个代数可解的方程。此外，他的方法只能用于一般的方程，因为他的两个基本命 题都假设是与根无关的。但是拉格朗同从来不怀疑自己方法的可行性，他认为是可以解 高次方程的，只不过他的能力达不到，他并没有放弃自己的想法，并且还乐观的说： “t h e s ef i r e ，i fia mn o tm i s t a k e n ，t h eg e n u i n ep r i n c i p l e so ft h es o l u t i o ne q u a t i o n sa n dt h e a n a l y s i sw h i c hi sm o s ts u i t a b l et ol e a dt oi t ；e v e r y t h i n gi sr e d u c e d ，a si ss e e n ，t oak i n do f c a l c u l u so fc o m b i n a t i o n s ，b yw h i c ht h er e s u l t st ow h i c ho n ei sl e da r ef o u n dap r i o r i i ts h o u l d b eo p p o r t u n et o a p p l yi t t ot h ee q u a t i o n so ft h ef i f t hd e g r e ea n dh i g h e rd e g r e e s ，w h o s e s o l u t i o ni ss of a ru n k n o w n ；b u tt h i sa p p l i c a t i o nr e q u i r e sat o ol a r g ea m o u n to f r e s e a r c h e sa n d c o m b i n a t i o n s , w h o s es u c c e s si s ，f o rt h a tm a t t e r , s t i l lv e r yd u b i o u s ，f o ru st o t a c k l et h i s p r o b l e mn o w ；w eh o p eh o w e v e r t oc o m eb a c kt oi ta ta n o t h