（固体力学专业论文）端部约束条件对钻柱正弦屈曲的影响.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 近年来，随着深井、水平井、大斜度井和大位移井在油气勘探开发中所占的 比重越来越大，井眼轨道控制、钻具疲劳失效、钻井成本等问题逐年突出，因此 现代石油钻采工程要求能够对钻柱的屈曲行为有一个较为准确的了解，以此来优 化钻井设计，降低钻探成本。因此，钻柱屈曲分析必须朝着更贴近井眼的实际工 况、控制和计算精度更高的方向发展。 本文首先给出了井内钻柱屈曲问题的研究概况，在深入了解和总结前人研究 成果的基础上给出了本文的研究内容。然后，基于平衡微分方程及自然边界条件， 给出了能保证能量泛函的驻立值与平衡微分方程本征值间一致性的端部约束方 程，基于d q 单元法编写了分析斜直井内钻柱蛇形屈曲问题的f o r t r a n 程序， 研究了几个算例，对于受圆形管柱约束的一段杆柱，分析了十一种不同端部约束 条件下的正弦屈曲载荷。通过数值分析来解释斜直井内钻柱的正弦屈曲机理以及 端部约束条件对钻柱屈曲的影响，结合与现有实验结果比较证实了本文模型及分 析方法的合理性。给出了一些有工程参考意义的结果。 在论文的最后一章对全文做了总结和展望，指出了有创新意义的研冗成果， 并提出了一些尚需进一步研究的内容。 关键词：正弦屈曲，端部约束，微分求积单元法，钻柱 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，t h ed e e pw e l l s ，h o r i z o n t a lw e l l s ，b i gh i g h d e v i a t e dw e l l sa n d l a r g ed i s p l a c e m e n tp l a ym o r ea n dm o r ei m p o r t a n tr o l e si ni no i la n dg a se x p l o r a t i o n c o n t r o l l i n go fw e l l b o r et r a j e c t o r y , d r i l l i n gf a t i g u e ，d r i l l i n gc o s th a v eb e e nas h a r p p r o b l e m s ，i ti sr e q u i r e dt ou n d e r s t a n dt h ed e t a i l e db u c k l i n g b e h a v i o ro ft h e mi no r d e r t oo p t i m i z et h ed e s i g no fd r i l l i n ga s s e m b l e sa n dt or e d u c et h ec o s t t h e r e f o r e ，t h e i n e v i t a b l ya c t u a lw o r k i n gc o n d i t i o n so ft h eb o r e h o l e ，c o n t r o la n dp r e c i s i o n t h e r ei st h e d r i l ls t r i n gb u c k l i n g a nd e v e l o p m e n td i r e c t i o n f i r s t ，t h er e s e a r c hc o n t e n t sa r ed e t e r m i n e db a s e do nt h ec u r r e n ts t a t u so ft h e d r i l l s t r i n gb u c k l i n gi nw e l l b o r e s t h e n ，b a s e do nt h ea c t u a lw o r k i n g c o n d i t i o n so ft h e d r i l l s t r i n gi nw e l l b o r ea n dt oe n s u r et h ec o n s i s t e n c yo ft h em i n i m u mo fa ne n e r g y f u n c t i o n a lw i t hi t sc o r r e s p o n d i n ge q u i l i b r i u me q u a t i o n e i g e n v a l u e ，t h eb o u n d a r y c o n d i t i o n sa r eg i v e n f o ral e n g t ho fd r i l l s t r i n gu n d e rc i r c u l a rs t r i n gc o n s t r a i n t ，u s i n g t h ed i f f e r e n t i a lq u a d r a t u r e ( d q ) e l e m e n tm e t h o df o r t r a np r o g r a m sw e r ew i l t o n f o rs i n u s o i d a lb u c k l i n ga n a l y s e so fd r i l l s t r i n g si ni n c l i n e dw e l l b o r e s ，a n dv a r i o u s n u m e r i c a le x a m p l e sw e r eg i v e n t h ee f f e c t so fo b l i q u ec o n s t r a i n tc o n d i t i o n so f e n d s ，a n g l e so f w e l l b o r e sa n dd r i l l s t r i n gl e n g t ho nt h eb u c k l i n gl o a d sa r ei n v e s t i g a t e d ， a n dt h er a t i o n a l i t yo ft h ep r o p o s e dm o d e la n dm o t h o di sc o n f i r m e db yb e i n g c o m p a r e dw i t ht h et h e o r e t i c a ls o l u t i o na n de x p e r i m e n t a lr e s u l t si nl i t e r a t u r e ，s o m e r e s u l t sf o re n g i n e e r i n gr e f e r e n c ea r eg i v e n k e yw o r d s ：s i n u s o i d a lb u c k l i n g ，e n dc o n s t r a i n t s ，d i f f e r e n t i a lq u a d r a t u r ee l e m e n t m e t h o d ，d r i l l s t r i n g s 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文 的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的 复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大 学可以将本学位论文的全部内容或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和 汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密口。 学位论文作者签名：薹瑚匆纱指导教师签名：铭彳刍兰 孙护年多月多日 袖f p 年彳月3 日 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的 指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引 用的内容以外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表 或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明 的法律结果由本人承担。 学位敝储躲翻勿纱 日期：刁和年多月弓e t 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 研究的工程背景与现状 石油及天然气资源产业是我国重要的支柱产业，对我国的经济发展做出了巨 大贡献，是我国工业的重要组成部分，素有“工业的血液”之称，是我国经济稳 定快速发展，人民生活水平不断提高，实现全面小康社会的重要基石。由于它们 大部分是埋藏在地下数千米的深度，钻井费用占到了油气勘探开发费用的一半以 上。因此，国内外各石油公司都在研究和发展先进适用的钻井技术作为降低勘探 开发成本的主要手段，以降低作业成本及增强技术竞争能力为目标。钻井在进行 作业过程中，钻柱是连接地面和井下的工具，是钻井液循环的通道，也是钻进过 程中岩屑流动的通道。因此钻柱是否稳定直接关系着定向井钻采作业的成败。在 钻柱的稳定性分析中，一般研究其受压段。钻柱失稳后，与井壁间的接触力会发 生急骤变化，并导致局部的摩擦阻力增加，严重时会发生“锁死 的情况。这不 但不利于井眼方位的控制，而且由于弯曲变形产生的附加应力也使钻柱的疲劳寿 命大大降低，因此，钻柱力学的研究一直是定向井技术中的一个关键问题。近五 十多年来，许多研究成果已经应用到生产实践并产生了巨大的经济效益，但由于 钻柱在充满流体的狭长井眼内处于相当复杂的受力、变形和运动状态，至今仍然 无法做到对钻柱力学特性的准确描述和精确的定量计算。实践表明，受井壁约束 的钻柱具有两种基本的屈曲形态：正弦屈曲( s i n u s o i d a lb u c k l i n g ) 和螺旋屈曲 ( h e l i c a lb u c k l i n g ) ，在工程实际中也存在兼有两种基本形态的混合屈曲形态，属 非线性屈曲问题。如何对钻柱的屈曲位移和载荷进行较为客观和精确的分析，将 有利于优化钻井设计、提高钻采效率、降低钻探成本，进一步提高我国钻井行业 的自身水平和国际竞争能力。 近年来，随着欠平衡井、深井、超深并、水平井、大斜度井和大位移井在油 气勘探开发中所占的比重越来越大，井眼轨道控制、钻具疲劳失效、钻井成本等 问题逐年突出，对钻柱屈曲研究提出了更高的要求。与现代钻井技术发展相适应， 钻柱屈曲必然朝着更贴近井眼的实际工况、控制和计算精度更高的方向发展。 1 2 现有工作及其存在的问题 由于早期的油气钻采工程是从直井开始的，人们最初对受径向约束管柱屈曲 问题的认识也是从直井内钻柱的屈曲问题开始的。随着人类社会对油气资源的需 江苏大学硕士学位论文 求不断增加，寻找油、气的工作转移到更为复杂的地区，难以避免碰到了建筑物、 河流、小山等地面障碍，地下的断层或不稳定的岩石结构也会妨碍竖直形式的钻 井。因此，钻井工程在技术和经济上的成功也越来越依赖于人们把握住向其目标 钻进的能力。本文研究的是斜直井内有重钻柱的屈曲问题，因此，以下按照研究 发展的先后顺序对这方面的研究进展作一概述。 1 9 6 2 年，l u b i n s k i 等人【1 】首次根据垂直井中带封隔器油管失稳破坏的实际情 况，假设垂直井中管柱的失稳形态为等螺距的螺旋屈曲形态，在忽略了钻柱自重 和井壁摩擦的情况下，采用能量法计算了钻柱失稳的临界载荷以及发生屈曲后钻 柱的弯矩，但是他们采用了等螺距假设并且未考虑重力的影响。 1 9 8 2 年，m i t c h e l l l 2 总结了钻柱螺旋屈曲研究模型的几个基本假设：1 细长 梁理论在钻柱屈曲分析中依然适用；2 假设钻柱屈曲形态为螺旋屈曲形态；3 忽 略钻柱和井壁的摩擦。随后他放弃了等螺距假设，在不计钻柱重力和摩擦的情况 下建立了直井中钻柱发生平面屈曲和螺旋屈曲的平衡方程，采用解析法求解了简 化后的非齐次常微分方程，并计算了钻柱的弯矩和钻柱与井壁的接触力。 1 9 8 4 年，d a w s o n 、r a p i e r 和p a s l e y l 3 】指出在大井斜角和小井眼间隙情况下， 钻柱由于自身重力的作用而紧贴在下井壁上，可以在承受轴向压力的情况下工 作。在考虑钻柱重力的情况下采用小位移假设给出了斜直井中钻柱屈曲的临界载 荷表达式。 1 9 8 6 年，m i t c h e l l l 4 1 利用l u b i n s k i 的模型计算了等螺距下两种简单工况中摩 擦阻力对钻柱屈曲的影响，分析表明摩擦对钻柱屈曲时的长度变化有较大的影 响，但要直接求解考虑摩擦时的屈曲微分方程还存在较大的困难。同时m i t c h e l l 首次采用钻柱发生屈曲时紧贴井壁假设，在不考虑边界条件的影响下，利用圆柱 面坐标系将屈曲微分方程中的两个线位移未知量变为一个侧向角位移未知量，进 一步地简化了方程，但在求解方程时他去掉了高阶项，并在此基础上计算了井壁 约束力。k w o n 5 】在不考虑钻柱重力的情况下，用与m i t c h e l l 类似的方法求解了直 井中钻柱的屈曲问题，但没有考虑边界条件对屈曲的影响。 1 9 9 0 年，c h e n 等【6 】在考虑钻柱重力的情况下采用等螺距假设给出了水平井 中钻柱屈曲的临界载荷表达式。1 9 9 1 年s c h u h 7 利用c h e n 的结果和l u b i n s k i 等 螺距情况下载荷和螺距之间的关系导出了井斜角和钻柱屈曲临界载荷之间的关 系，并计算了钻柱的弯矩和最大正应力，但分析中仍然间接采用了等螺距假设。 1 9 9 3 年，t a n 和d i g b y t 8 】采用能量法及等螺距假设对无摩擦情况下有重钻柱 2 江苏大学硕士学位论文 的螺旋屈曲进行了分析，基本思路仍与l u b i n s k i 的相似。w u 和j u v k a m l 9 1 总结了 c h e n 等人的结果，分析了水平井中管柱的正弦屈曲和螺旋屈曲，并且认为在水 平井中管柱发生螺旋屈曲的临界载荷比一般的值要大，是文献中给出的正弦屈曲 临界载荷值的1 8 倍和螺旋屈曲临界载荷值的1 3 倍，并指出报导过的螺旋屈曲 临界载荷值是管柱发生螺旋屈曲过程中轴向力的平均值，当管柱发生螺旋屈曲时 会发生“锁死”现象无法继续钻进。 1 9 9 4 年，s a l i e s 和a z a r 1 0 l 对直井内钻柱的屈曲进行了实验研究，并使用 舢b a q u s 软件进行了相应的有限元分析，部分实验结果和有限元计算结果吻合 较好。高国华【1 1 】使用小角位移假设，根据微元体的平衡条件，建立并求解了钻柱 在水平井眼中的正弦屈曲平衡方程，分析了不同边界条件下临界失稳载荷因子与 钻柱长度因子间的关系，但没有能明确说明长度对屈曲载荷的影响。李子丰【1 2 , 1 3 】 建立了水平井内受压扭细长圆杆的线性弯曲和非线性弯曲的微分方程和边界条 件，并用解析法对方程进行了求解，但在求解的时候忽略了钻柱重力的影响，并 且认为侧向角位移的一阶导数为常数，二阶以上的导数为零，限制了研究结果的 适用范围。彭勇【1 4 】在不考虑钻柱重力和井壁摩擦条件下，用有限元法分析了水平 井中钻柱的临界钻压，未充分考虑井眼对钻柱的约束条件。 1 9 9 5 年，k y l l i n g s t a d 1 5 】运用最小位能原理对等曲率井中钻柱屈曲行为进行了 分析，在分析正弦屈曲时采用了假设的位移函数，分析螺旋屈曲时采用了等螺距 假设。高国华【1 6 】根据钻柱在水平井眼中的变形几何方程和静力平衡方程导出了钻 柱的屈曲方程，通过线性化方程的小参数摄动解，讨论了不同边界条件下钻柱在 水平井眼中的临界失稳载荷，指出在小角位移假设下减小摩擦系数可以提高钻柱 在水平井眼中的临界钻压，且由于重力的作用，钻柱在水平井内的稳定性远比在 垂直井内的高，所以可以用普通钻杆代替加重钻杆。高国华【1 7 】还分析了水平井中 用于模拟稳定器的中间铰支座对杆柱稳定性的影响，指出对于长的杆柱来说，中 间铰支座对提高杆柱的稳定性作用不大，而对较短的杆柱则有较大影响。高德利 【1 8 】依据动力学的普遍原理，采用微元矢量分析方法，建立了钻柱的一般平衡方程， 导出了不可伸长弹性钻柱变形的一般动态控制方程，并且对钻柱下部组合的静力 分析方法及钻柱摩阻分析方法进行了讨论，对钻柱弹性稳定性问题也做了初步探 讨，给出了钻柱研究的基本方程。s u r y a n a r a y a n a 1 9 】对直井和等曲率井内受横向约 束管柱的屈曲和后屈曲进行了实验研究，着重对直井内受约束管柱的屈曲进行了 试验分析。试验过程中考虑了井斜角、筒柱中心距、外筒曲率、摩擦阻力对管柱 3 江苏大学硕士学位论文 屈曲、后屈曲以及无屈曲的影响。此外，该文基于实验数据，还对一些典型的屈 曲载荷理论计算公式进行了分析，说明了部分理论公式的合理适用范围。 1 9 9 6 年，m i t c h e l l 2 0 1 总结了d a w s o n 和p a s l a y 3 】的结果，给出了直井中钻柱正 弦屈曲和螺旋屈曲临界载荷的计算表达式，以及钻柱弯矩和井壁约束力表达式， 指出当轴向载荷的值位于p a s l a y 的临界载荷值1 倍和2 8 倍之间时，钻柱发生正 弦屈曲；当轴向载荷的值大于p a s l a y 结果的2 8 倍后，钻柱发生螺旋屈曲。 h i s h i d a t 2 1 】通过实验和有限元方法分析了直井中钻柱的屈曲问题，通过修正轴向 力的分布来将扭转和井斜的影响考虑到屈曲问题中，但没有考虑钻柱的重力和钻 柱与井眼间的摩擦。高国华【冽继续他以前的工作，导出了管柱在垂直井眼和水平 井眼中的屈曲方程，在小位移假设下用摄动法求解了含小参数的四阶微分方程， 并计算了钻柱弯矩和弯曲应力。王世圣【2 3 】将水平井眼中的钻柱简化为两端固支的 直梁，通过假设位移函数，求解了钻柱的屈曲临界载荷、固支端内力和钻柱与井 壁间的接触力，并与能量法的结果做了对比。覃成锦建立了弯曲井眼中稳定器之 间钻柱弯曲变形微分方程及边界条件，得到最大径向变形量的计算公式，并得出 临界跨度和临界轴向压力之间的关系式，但未能充分考虑井壁对钻柱的约束，计 算表明当钻柱下入深度越大时失稳程度也越大。 1 9 9 7 年，高宝奎【冽利用有限差分和n e w t o n 迭代法，对水平井中钻柱的屈曲 方程进行了求解，将侧向角位移为1 8 0 度时接触力为零作为钻柱发生螺旋屈曲时 的临界点，得到了钻柱发生螺旋屈曲的临界载荷。于永南【2 5 】利用能量法，采用假 设的正弦位移函数分别对铅垂平面内钻柱的屈曲和钻柱的正弦屈曲进行了分析， 力学模型中考虑了钻柱重力和井斜角对屈曲的影响，给出了斜直井眼中钻柱发生 正弦屈曲的临界载荷表达式，但是在分析中忽略了能量表达式中的高阶项。于永 南【矧还利用能量法研究了等曲率井眼中钻柱的稳定性问题，但采用了假设的位移 函数进行分析，力学模型中考虑了钻柱重力和井眼曲率的影响，给出了等曲率井 眼中钻柱正弦失稳临界压力表达式。分析表明：弯曲井眼中钻柱的临界压力与钻 柱的长度、截面尺寸、井眼的曲率有关，且临界压力随着曲率的增大而增大。 1 9 9 8 年，张永弘【2 7 】总结了直井中的典型接触压力计算式，采用等螺距假设 对接触力进行了理论推导，并通过实验给出了采用三维光弹性应力冻结法的实验 结果，认为由于管端约束的影响，管柱与井壁间有一个非接触段，从接触点开始 到接触压力达到稳定值有一个过渡段。于永南【冽继续以前的工作，在小位移假设 下去掉了能量表达式中的高阶项，以钻柱侧向角位移为未知函数采用有限元法对 4 江苏大学硕士学位论文 直井和等曲率井中钻柱的正弦屈曲进行了分析，将钻柱的屈曲问题归结为特征值 问题进行了求解，在力学模型中考虑了钻柱重力、井斜角和弯曲井眼的曲率对屈 曲的影响，认为当钻柱长度超过8 0 米时可以不考虑端部约束的影响。m i s k a 和 q i u l 2 9 l 对等曲率井眼中钻柱的屈曲进行了分析，他们假设在钻柱从正弦屈曲到螺 旋屈曲的整个过程中轴向载荷与钻柱长度变化均呈线性关系，同时他们也给出了 钻柱正弦屈曲和螺旋屈曲的临界载荷表达式。 1 9 9 9 年，m i t c h e l l 删修正了他以前的结果，在将整根钻柱轴向载荷假定为常 量的条件下，认为在直井中只有当轴向载荷大于1 4 倍的p a s l a y 临界载荷时才会 发生螺旋屈曲，当高于p a s l a y 临界载荷2 8 倍时则只有螺旋屈曲状态，同时 m i t c h e l l 也给出了屈曲平衡方程计算结果的拟合公式，计算了屈曲段的长度变化， 弯曲应力和最大角位移，但仍然没有考虑端部边界条件对钻柱屈曲的影响。黄涛 【3 1 1 利用自行设计的钻柱稳定性试验台使用不同内外径的紫铜管模拟钻柱，以有机 玻璃管模拟井筒，在各种不同的倾斜角下进行了试验，给出了比较详细的实验现 象描述。实验表明各试件在载荷逐渐加大过程中经历了稳定状态、初始失稳及准 螺旋失稳状态、准螺旋失稳和螺旋失稳三个阶段，摩擦阻力对钻柱失稳具有迟滞 作用，试件的自重侧向分量也有较强的增加稳定性的作用。黄涛【3 2 】还建立了钻柱 失稳的准螺旋模型，将钻柱与井壁的接触假设为多点接触而非连续接触，并用能 量法推导出水平段和弯曲段钻柱的准螺旋失稳临界屈曲载荷，给出了水平段钻柱 失稳后的摩阻力计算公式，计算表明弯曲段井壁的约束增大了该段钻柱的刚度， 因此，弯曲段钻柱的临界失稳载荷大于水平段的相应载荷值。刘凤梧【3 3 , 3 4 利用小 参数摄动法求解了水平圆管中受压扭作用管柱的四阶非线性屈曲方程，为了分析 封隔器对油管屈曲的影响，他将管柱分为封隔器附近的空间梁柱段和与约束井壁 连续接触的屈曲段，考虑管柱固支端边界条件和连续条件，得到了管柱屈曲变形 解和封隔器附近的内力。刘亚明【3 5 】建立了连续油管在水平井中的稳定性方程，在 油管两端铰支或者固支情况下，用差分法求解这个方程，计算了连续油管的临界 失稳载荷；分析表明井斜角越大或筒柱中心距越小，管柱越不容易失稳。 m i t c h e l l 3 6 】采用能量法求解屈曲平衡方程，在假设的屈曲位移函数基础上分析了 等曲率井中钻柱的正弦屈曲，并且考虑了井眼曲率对钻柱屈曲的影响。 2 0 0 0 年，h u a n g l 3 7 1 在考虑管柱自重影响下，运用能量法导出了斜直内中受压 管柱的平衡方程，分析了斜直井眼中的钻柱在自重和上端轴向压力作用下的螺旋 屈曲，分析中假设钻柱上端为铰支边界条件，下端为自由边界条件。螺旋屈曲临 5 江苏大学硕士学位论文 界载荷被表示为r a y l e i g h 商的形式，并用r a y l e i g h r i t z 法进行了求解，分析表 明当钻柱上端的轴向力较小时，钻柱由于重力的作用将躺在下井壁，随着轴向载 荷的增大钻柱经历了正弦屈曲和螺旋屈曲过程，在屈曲过程中钻柱始终紧贴井 壁。m i t c h e l l l 3 s , 3 9 1 给出了垂直井和水平井中的螺旋屈曲平衡微分方程，在考虑管 柱与井壁接触力和管柱重力的情况下用解析法进行了求解，并分析了连接器对井 壁接触力、管柱弯曲应力的影响，指出当轴向载荷较大时，连接器对井壁接触力、 管柱弯曲应力影响很大。高德利【加】利用有限差分法和n e w t o n 迭代法，采用等螺 距假设，计算了斜直井段管柱螺旋屈曲临界载荷、沿螺旋段分布的管柱与井壁接 触力以及后屈曲平均侧向接触力，提出了计算钻柱正弦屈曲临界载荷的新方法， 给出了水平井段钻柱出现反转的判别式。张广清【4 1 】利用能量方法研究了轴向载荷 和扭矩共同作用下钻柱的屈曲问题，着重研究了扭矩对钻柱屈曲的影响，他发现 轴向载荷、井斜角和扭矩是影响钻柱屈曲的重要因素。当其他条件相同时，钻柱 的屈曲载荷随井斜角的增加而增加，呈非线性；扭矩使钻柱的屈曲载荷降低，并 且随井斜角的增大，降低的幅度减小；扭矩值越大，钻柱的屈曲刚度越小，钻柱 屈曲载荷的降低程度就越显著。张福祥【4 2 】对垂直井中管柱螺旋弯曲屈曲平衡方程 进行了求解，求得了这组非线性方程在对称性条件下的渐近螺线解；分析了摩擦 系数对管柱的变形、轴力分布、“中性点 位置、“自锁点 位置以及“自锁力 等的影响；导出了“中性点 、“自锁点”以及“自锁力 的计算公式。高德利 【4 3 】在不考虑管柱重力的情况下，利用微元体的平衡导出了弯曲井眼内管柱屈曲平 衡方程，通过假设的屈曲位移函数求解了管柱屈曲平衡方程，对等曲率井内管柱 正弦屈曲和螺旋屈曲进行了分析，给出了屈曲临界载荷的表达式，但没有考虑端 部边界条件对屈曲的影响。 2 0 0 1 年，高国华【删运用最小势能原理和变分方法，导出了描述水平井眼内 管柱屈曲变形的四阶非线性微分方程，求得了该非线性系统的两个分叉点及相应 的两个临界屈曲载荷，指出钻柱屈曲存在直线稳定状态、正弦屈曲状态和螺旋屈 曲状态。张广清【4 5 皓行了斜直井中旋转状态下钻柱稳定性的试验研究，描述了旋 转钻柱失稳的过程，分析了旋转状态下影响钻柱稳定性的主要因素。高德利等人 【倒在不考虑管柱重力的情况下，分析了直井和曲井内受井眼约束管柱的屈曲及后 屈曲行为，考虑了封隔器作为固支端对管柱屈曲的影响，给出了管柱屈曲变形和 受力的解析解。 2 0 0 2 年，m i t c h e l l l 4 7 ，镐】使用假设的位移函数来模拟垂直和水平井中钻柱的屈 6 江苏大学硕士学位论文 曲状态，并以钻柱和井壁的接触力为压力这个条件作为标准来求得了钻柱正弦屈 曲和螺旋屈曲的临界载荷，并指出钻柱发生螺旋屈曲时可能出现反螺旋的情况， 以及在钻柱自重的作用下钻柱发生螺旋屈曲时螺距是变化的；还计算了钻柱的弯 矩和接触力，但他未能对轴向载荷在某个中间区域时钻柱的状态作出说明，也未 能在分析中将边界条件对屈曲的影响考虑进来。刘风梧【4 9 】利用能量变分原理得到 了受径向约束水平受压管柱的屈曲微分方程，通过能量方法得到了管柱处于正弦 屈曲状态时变形与载荷的关系，并证明了发生正弦屈曲时管柱的平衡状态是稳定 的，求出了初始正弦屈曲的临界载荷和能保持正弦屈曲状态的最大载荷。 2 0 0 3 年，m i t c h e l l 5 0 】分析了水平井中带连接器油管的侧向屈曲问题，在考虑 油管重力情况下，给出了水平井内梁柱方程的解析解。 2 0 0 4 年，高德利【5 1 】对高温高压井中钻柱的屈曲行为进行了研究，指出在高 温高压井中钻柱的塑性变形不可忽略，且钻柱的变形不仅和初始状态有关而且也 与加载过程有关，井中的摩擦阻力能阻止载荷的传导，因此钻柱只有一小部分会 出现很严重的变形。刘峰【5 2 ，5 3 】构建了有限元增量加权迭代法，计算分析了斜直 井中钻柱的非线性屈曲。 2 0 0 5 年，刘峰【5 4 5 5 】运用有限元法分析了不同约束下水平井中钻柱的非线性 屈曲。采用n e w t o n r a p h s o n 法对非线性结构方程组进行迭代计算中，在每个载 荷步的第一个迭代步均给钻柱一个较小的初始位移作为挠动条件；指出重力在水 平井中对屈曲有较强的抑制作用，扭矩对屈曲的影响很小，可以忽略。 2 0 0 6 年，m i t c h e l 5 6 】l 对管柱屈曲的研究现状进行了总结与回顾，认为对受约 束管柱屈曲的研究主要是回答临界载荷和后屈曲构型这两大基本问题，指出摩擦 阻力仍然是一个挑战；给出了弯矩、弯曲应力、接触力、屈曲应变和长度改变量 的计算公式，然而其弯矩计算公式仅考虑位移的一阶导数。 2 0 0 7 年，刘峰【5 7 】基于有限元分析的结果，给出了钻柱非线性螺旋屈曲临界 载荷定义，分析了位移高阶项在钻柱弯矩计算中的影响。分析表明，根据给出的 定义确定的钻柱螺旋屈曲临界载荷与实验数据吻合，位移高阶项在弯矩计算中不 可忽略。并基于等曲率井中有重钻柱屈曲的平衡方程及对应的泛函表达式，建立 了采用有限元法对变曲率井中有重钻柱屈曲过程进行分析的方法，给出了求解变 曲率井中钻柱屈曲非线性方程的算法。谈梅兰1 5 8 】基于最小位能原理，研究了斜直 井内钻柱的非线性螺旋屈曲问题。对于上端周向自由，下端铰支的钻柱，用 r a y l e i g h r i t z 法得到了有一定横向分布载荷作用下，确定螺旋屈曲临界载荷无量 7 江苏大学硕士学位论文 纲形式的非线性积分方程。 2 0 0 8 年，谈梅兰等【5 9 】针对斜直井内钻柱在自重和上部压力共同作用下的屈 曲，用r i t z 法研究了端部约束方程的合理性，认为端部约束边界条件将是一种 不可忽略的因素，不可随意给定，必须根据杆柱的实际工作状况和保证平衡微分 方程非零最小本征值与能量泛函取驻立值间的一致性来确定。甘立飞【删用d q 单 元法和n e w t o n r a p h s o n 法直接对受径向约束管柱屈曲平衡微分方程进行迭代求 解。 2 0 0 9 年，何小宝【6 1 】通过数值分析来解释斜直井内钻柱的蛇形屈曲机理以及 考察井斜角和钻柱长度等因素对钻柱屈曲的影响，结合与现有的解析解和实验结 果证实了模型及分析方法的合理性。 综上所述，有关井内钻柱屈曲分析的研究极其丰富，但由于钻柱屈曲问题的 复杂性，许多学者在进行研究时都做了很多假设，使得有一些方法仅限于学术讨 论，还有一些想当然的分析所得出的结果与实际相差太远。从这些研究资料可以 发现或多或少存在着下列的一些问题： 1 ) 用有限元来进行数值计算分析时，对于受径向约束管柱屈曲平衡微分方 程中某些有关管柱重力的项，很难以积出相应的泛函，因此很多研究者 忽略了钻柱重力对钻柱屈曲的影响。 2 ) 在分析中采用了小角位移假设，忽略了与位移有关的一些高阶项，使问 题局限在正弦屈曲的范围内，无法对钻柱的螺旋屈曲进行分析。 3 ) 基于d q 单元法和n e w t o n r a p h s o nj 塞代法构建的增量迭代法在求解钻柱 螺旋屈曲这样的强非线性问题时，常常出现收敛上的困难，没有通用性。 4 ) 对于工程实际中的整体钻柱，存在一中性点，在中性点以上受拉，中性 点以下受压，且受压段变形后的形状既非正弦曲线也非等螺距曲线。实 际上，在对其进行屈曲分析时，研究对象仅仅是整体钻柱底部的一段受 压部分，其长度该取多长，没有任何报导。 5 ) 在进行屈曲分析时，对端部边界条件对屈曲的影响没有足够重视。 1 3 常用的研究方法 在对钻柱的屈曲研究过程中，经过不断的优化和比较，形成了几种比较典型 的研究方法，即经典微分方程法、能量法、有限差分法、纵横弯曲连续梁法、有 限元法、加权余量法、微分求积法、微分求积单元法等。 8 江苏大学硕士学位论文 经典微分方程法【6 2 】是钻柱力学中应用最早的研究方法。该方法要求在满足经 典材料力学的基本假设的前提下，建立钻柱线弹性的经典微分方程并求解。这种 方法在考虑因素较多时，建立的微分方程很复杂，用经典微分方程法求解比较困 难，不得不进行一些处理。 能量法【6 3 】是一种求解简单的弹性力学问题的方法。它要求势能函数不仅要满 足弹性力学的控制方程，而且要满足边界条件，通过解的形式的假设及有关参数 的确定，可得到问题的解答。由于满足以上2 个条件是一件非常困难的事情。因 此，这一方法的应用受到了限制。 有限差分法【6 4 1 是一种近似方法。是通过对钻柱进行力学分析得到钻柱微分方 程式，再通过适当的差分转换将位移控制方程转化为差分的形式求解。由于差分 方程的系数是可变的，因此可以很容易考虑非线性的影响；同时，由于差分区间 可以减小，可以比较容易考虑井眼的约束。但是要得到精确的解答，差分区间必 须取得t i e d , ，这样就使矩阵的维数增加，降低了计算速度。 纵横弯曲连续梁法【6 5 】是一种精确解法，这种方法是将钻柱视为相互联系的纵 横弯曲的连续梁，应用材料力学中的三弯矩方程建立一组非线性代数方程，该方 程物理概念清楚，计算简单，且速度较快。由于这种方法是将三维空间问题分解 成2 个独立的二维问题求解，力学模型简化得太多，忽略了扭矩及可能白j 力和变 形的耦合问题。 加权余量法【删是一个求解微分方程定解问题强有力的数值方法，具有简便、 准确、工作量小、残差可知等优点，已成功地用于下部钻具组合的大小挠度力学 分析中；当然，要进一步提高精度就得增加试函数项数，也会增加一些运算量。 有限元法【6 7 】也是一种近似数值计算方法，这种方法是通过将钻柱分解为有限 的离散梁单元，再通过适当的合成方法将这些单元组合成一个整体，用以代表原 来的钻柱状态，并最终得到一组以节点位移为未知量的代数方程组。有限元法的 物理概念清楚、简单，实用性强。不限制钻柱的材料和几何形状，且对单元尺寸 也无严格的要求；又可以较容易地考虑非线性的影响。但对与重力相关的项不得 不做一些技术上的近似处理，无法较精确地计算钻柱与井壁问的接触力线密度。 微分求积法【6 7 】其实质是用全域上全部节点的函数值进行加权求和来表示函 数及其导数在给定节点处的值，因而，可以将微分方程变成以节点处的函数值为 未知数的一组代数方程组。 微分求积单元法【删是将一个结构或一个区域划分为多个微分求积单元进行 9 江苏大学硕士学位论文 分析求解的方法。划分单元的原则是将载荷不连续处、几何不连续处或边界条件 不连续处划分为单元的交界面。求出单元的权系数矩阵后，根据力学原理组合在 一起，施加边界条件即可求解。 1 4 本文的主要研究内容 现有资料表明，微分求积单元法是对微分方程进行直接求解的简单而有效的 方法。由于微分求积单元法不依赖于变分，计算量较少，精度令人满意。鉴于现 有研究工作中存在的问题，本文将针对斜直井内有重钻柱的正弦屈曲，直接应用 微分求积单元法( d i f f e r e n t i a lq u a d r a t u r en e m e mm e t h o d ，即d q 单元法) 求解受径 向约束钻柱屈曲的平衡微分方程，在保证平衡微分方程非零最小本征值与能量泛 函取驻立值间的一致性的前提下，分析各种不同端部约束条件对j 下弦屈曲载荷的 影响。具体地说，本文主要的研究内容包括以下几个方面： 一、首先基于圆柱面坐标系，在保证平衡微分方程非零最小本征值与能量泛 函取驻立值间的一致性的前提下，定义钻柱端部约束条件； 二、给出斜直井内有重钻柱在轴向压力作用下，屈曲分析的d q 单元法的刚 度方程； 三、基于d q 单元法的刚度方程，编写相应的f o r t r a n 程序，通过数值计 算，重点分析受压段钻柱端部约束条件、钻柱分析长度和井斜角等对屈曲时的钻 压、屈曲模态、以及在给定最大屈曲位移的条件下接触力线密度和内力弯矩的影 响规律。 l o 江苏大学硕士学位论文 第二章变分法与边界条件 变分法的发展始于1 7 世纪末，是数学的一个分支，它是研究依赖于某些未 知含函数的积分型泛函的极值的普遍方法，是泛函分析的重要组成部分。自2 0 世纪中叶以来，随着有限单元法在科研和工程上的广泛应用，变分法越来越显现 出了它的重用性。 本章先从几个古典变分问题作为引例来详细介绍变分法以及边界条件，应用 变分法对其进行分析，为后面章节对变分法的应用做好铺垫。 2 1 变分法 2 1 1 古典变分问题的几个例子 彳 1 ) 例一：最速降线问题【6 8 l a 和口是铅直平面内的不在同一铅直线上 。 的两点，且a 高于丑，两点间可有无数多条曲 v 线连接，求：使得重物由a 下滑到曰所需时间 为最短( 图2 1 ) 的曲线形状，不记摩擦。 解：建立图示坐标系，设所求曲线为 y = y ( x ) 已给定： 图2 1 最速降线 纠脚卸，叫捌旬 设p 是曲线上一点，重物在该点的速度y 可有能量守恒原理得： 争作哪 其中g 为重力加速度，有( 2 3 ) 得忙厮。用s 表示曲线的弧长，则有 ，= r ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 江苏大学硕士学位论文 于是，最速降线问题可归结为在满足式 ( 2 2 ) 的条件下，所有曲线式( 2 1 ) 中使得时 间式( 2 5 ) 最短的线。 2 ) 例二：短程线问题【6 9 l 在光滑曲面f ( x ，y 歹) = 0 上( 见图 2 2 ) ，有两点a 瓴，y l , z 1 ) 0 曰( 娩，y 2 , z 2 ) ，在该 曲面上连接这两点得一条最短曲线c ，这 条长度最短的曲线就称为短程线。 解：设这条曲线的方程可写成 y = y ( 功，z = z 其中，y = y ( x ) 和z = z ( x ) 为连续的可微函数。 束条件 f ( x ，y 声) = o 由高等数学，可得曲线的长度 z 图2 2 短程线 “程恐)( 2 6 ) 因为曲线在曲面上，所以应满足约 三= i 4 1 + y 佗( x ) + z 屹( x ) d x o 佴l 于是，短程线问题可归结为在满足式( 2 7 ) 的条件下， 使得式( 2 8 ) 给出的长度为最短的曲线。 3 ) 例三弹性地基梁最小势能问题【删 设有一个放在弹性地基上的梁，承 受分布载荷鸟，已知梁的弯曲刚度 日，一端是固支，另一端是自由，地基 的弹性刚度系数k ，如图2 3 所示，问 取怎样的挠度w 能使这个系统的总 势能刀最小。 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 式( 2 6 ) 表示的所有曲线中， q t x ) 解由题意得梁的弯曲应变能届为 皿专蚓2 出 地基中贮存的能量屈为 皿= 吾球w 2 出 由于梁的挠度，载荷的势能玛可以写成 皿一j ：撇 1 2 图2 3 弹性地基梁 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 江苏大学硕士学位论文 系统的总势能是三者之和，因此得 = 油2 t , 鲻d x 2 ) 审一士 在x = - o 处有边界条件 叫捌= o ， 划= 0 出l 枷 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 这样，本例的力学问题就转化为了数学问题即：在o z z 区间内，找一个函数 w 满足条件( 2 1 3 ) ，并且使式( 2 1 2 ) 中的总势能仃取最小值。于是，最小势f l l - - , i i ：1 题可归结为在满足条件( 2 1 3 ) t ，在所有挠度曲线w 中，使得式( 2 1 2 ) 给出的仃 为最小的曲线。 2 1 2 变分法中的基本概念 1 ) 泛函 从上节的例子可以看出，对于取极值并有积分给出的变量，z 、或刀均取 决于函数的选取。因此，丁、三或仃可以看做是依赖于未知函数的变量，而这些 函数又扮演着自变量的角色，故称为自变函数。简言之，这种依赖于自变函数的 函数就称为泛函。 以积分形式出现的泛函称为积分型泛函，变分法就是求解积分型泛函极值的 方法。 2 ) 驻立值 习惯上把极大值点、极小值点合称为极值点，对应值称为极值。把极大值 点，极小值点和拐点合在一起称为驻点，对应值称为驻值。 3 ) 一阶变分 设f ix ，y ( 功，y ( x ) l 是三个独立变量x ，y ( x ) ，y ( 工) 在已知区间【而，置】上的已知 函数，二阶连续可微，且满足边界条件： 叫一= m ，叫捌= ) ，2 ( 2 1 4 ) 则泛函 j y ( x ) - - ef 训( z ) ，y ( x ) 出 ( 2 1 5 ) 称为最简泛函，值- ，的大小取决于函数的形式，故j 是y ( x ) 的泛函，取一曲线咒( 石) 则有州y ) 】增量为 叫删h 揪叫= e ( 等聃等卜叫删以瑚 ( 2 1 6 ) 江苏大学硕士学位论文 式( 2 1 6 ) 等号右边的第二项6 d y 。( z ) ，y ( x ) 】是高阶无穷小量，第一项是，在y ( z ) 上 的一阶变分简称变分，记作甜，可化简为 甜= e 等一丢( 等冲础+ 等艿y 睫 c 2 m ， 4 ) e u l e r 方程 式( 2 1 4 ) 已经给定了函数y ( x ) 在两端的值，万y 在两端没有变化，这样式( 2 1 7 ) 等号右边的第二项的值应为零，故 甜= 晴一乏渤呐 仁均 若 6 j = 0 ( 2 1 9 ) 则必有 一o f 一旦f 笔1 ：o (220)o y d xl 砂j 。 、 此时y 能使，取驻值。式( 2 2 0 ) 是y o c ) 的微分方程，称为e u l e r 方程。 2 2 定解条件 2 2 1 一般约束条件 从上节例子中，可以知道如何从一个物理问题或几何问题及相应的物理或几 何知识导出问题的泛函。但是仅有泛函还不足以求解所研究的变分问题，还应对 所研究的变分问题加以相应的限制，这些附加的限制条件称为约束。如果给出的 是未知函数在端点或区域的边界上满足的附加条件，则称为变分问题的边界条 件，如式( 2 劲；其他的附加条件则称为约束条件。边界条件与约束条件统称为定 解条件，相对应的变分问题称为定解问题。 一般情况下，一个定解问题可以没有约束条件但不能没有边界条件。 2 2 2 自然边界条件 当待求函数的边界值不是定值，而是可以随意变动的情况。一般地，在已知 n n x o ，x n 】内，决定一个函数y ( 砷，使得泛函式( 2 1 5 ) 取驻立值，e u l e r 方程( 2 2 0 ) 仍旧必须成立，否则能找到一个砂使大于( 或小于) 零。对于( 2 1 7 ) 中的边界值， 必须有 z = 和z = 而时，万o f = o ( 2 2 1 ) 1 4 江苏大学硕士学位论文 否则也能找到一个砂能使& ，大于( 或小于零) 。 边界条件式( 2 2 1 ) 是根据取驻立值的要求推导出来的，不是事先指定的，所 以这类边界条件称为自然边界条件郾1 。 在l 叉_ f - j i x o ，西】内，若要使含有二阶导数的泛函 ，【y ( x ) 】= 【1f x ，j ，( x ) ，y ) ，y ”( x ) l d x ( 2 2 2 ) 取驻立值，应该满足怎样的条件呢? 求- 厂的一阶变分，得到 甜= 蜷一丢+ d 2l ( 驯o f ) j o ，d x + i 笔一丢( 孑) 乏+ 等扭似23，)oy + i 一i 1 1 6 v i ? + 6 v i 1f 2 【出l 方”川，i 而方”川知 r 7 由于在( ，蕾) 上的变分万y ( 石) 和在端点上的变分8 y ( x o ) ，8 y ( x a ) 都是独立的 7 0 1 ，为保证式( 2 2 2 ) 的泛函取驻立