（系统分析与集成专业论文）二维环面分片线性映射与平面分片等距映射的动力学性质.pdf

2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 本文在第一章中对二维环面分片线性映射与平面分片等距映射的动力 学性质的研究状况和近年来的最新进展作了介绍；第二章介绍了环面上分 片线性映射的一些基本知识，并由其线性部分给出了分片线性映射的三种 分类；第三章着重研究了分片等距动力系统的动力学性质；第四章对两种 映射的网络同步态稳定性做了描述；最后对今后的工作作了展望 分片线性映射系统研究的是分片线性映射迭代生成的系统所谓分片 线性是指函数在每一个空间划分上都是线性的分片线性映射的不连续性 可以是取模造成的数值舍入不连续性或者由于符号函数s g n ( ) 造成的量子 化不连续性本文介绍了分片线性不连续映射的一些一般原理同时对与 之相关的分片等距系统也作了分析分片等距动力系统是由平面上的分片 等距映射迭代而生成的该类系统可产生于许多实际领域，如数字信号处 理系统和数字滤波器等 本文主要做了三个方面的工作；首先，应用符号动力学对a s h w i n 和f u 等人提出的公开问题“e 一模型的轨道编码的允字条件”做了分析；其 次，基于上述分析提出了在一模型中寻找系统n 周期点的方法；最后， 对复杂网络上的分片线性映射和分片等距映射的同步态稳定性做了分析， 并运用l y a p u n o v 函数分析了两种映射在一般复杂网络中的情况，同时对于 特殊的星形网络应用线性稳定性分析方法给出了显式的稳定性条件 关键词：分片线性映射，分片等距映射，符号空间，轨道编码，复杂网络， 同步态，稳定性，l y a p u n o v 函数 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 i i a b s t r a c t i nc h a p t e ro n e ，t h ea u t h o ri n t r o d u c e st h er e c e n tp r o g r e s so nt h es t u d yo f d y n a m i c a lp r o p e r t i e so fp i e c e w i s el i n e a rt o r n sm a p sa n dp l a n a rp i e c e w i s ei s o m e - t r i e s i nc h a p t e rt w o ，t h ea u t h o ri n t r o d u c e st h ep r e l i m i n a r i e so fp i e c e w i s el i n e a r m a p sa n dc l a s s i f i e ss u c hm a p sb yt h el i n e a rp a r ti n t ot h r e ec l a s s e s i nc h a p t e r t h r e e ，t h ea u t h o rs t u d i e st h ed y n a m i c a lb e h a v i o ro fp i e c e w i s ei s o m e t r i cs y s t e m s i nc h a p t e rf o u r ，t h es t a b i l i t yc o n d i t i o nf o rt h es y n c h r o n i z a t i o no fp l m sa n d p w l so nc o m p l e xn e t w o r k sa r es t u d i e d f i n a l l y , i nc h a p t e rf i v e ，t h ea u t h o r l i s t ss o m ep r o b l e m sf o rf u r t h e rr e s e a r c h ap i e c e w i s el i n e a rm a p p i n g ( p l m ) s y s t e mi st h es y s t e mg e n e r a t e db yt h e i t e r a t i o no fap i e c e w i s el i n e a rm a p am a pi ss a i dt ob ep i e c e w i s el i n e a ri ft h em a p i sl i n e a ro ne a c ha t o mo ft h es p a c e t h ed i s c o n t i n u i t yo fap i e c e w i s el i n e a rm a p i si n d u c e db yt a k i n gm o d u l e ( r o u n d o l fd i s c o n t i n u i t y ) ，o rb yt h ef u n c t i o ns g n ( ) ( q u a n t i s a t i o nd i s c o n t i n u i t y ) i nt h i sp a p e rw ei n t r o d u c es o m eg e n e r a lp r o p e r t i e s o fp i e c e w i s el i n e a rd i s c o n t i n u o u sm a p sa n do t h e rr e l a t e ds y s t e m s ，n o t a b l yp l a n a r p i e c e w i s ei s o m e t r i c s ( p w i s ) ap i e c e w i s ei s o m e t r i cs y s t e mi st h es y s t e mg e n e r - a t e db yt h ei t e r a t i o no fap i e c e w i s ei s o m e t r yd e f i n e do nt h ep l a n e s u c hm a p s c a na r i s ei nm a n y6 e l d e s p e c i a l l yi nd i g i t a ls i g n a lp r o c e s s i n ga n dd i g i t a lf i l t e r s i ns u m m a r y , w ec a r r yo u tt h r e ea s p e c t so fw o r ki nt h i sd i s s e r t a t i o n f i r s t l y , r e f e r r i n gt ot h em e t h o do ft h es y m b o l i cd y n a m i c s ，w ea n a l y z et h ea d m i s s i b i l i t y c o n d i t i o n sf o rt h ee 一m o d e l s e c o n d l y w ep r e s e n tam e t h o dt of i n dp e r i o d i c p o i n t sb a s e do nt h ea b o v ea n a l y s i so f 一am o d e l f i n a l l y , w es t u d yt h es t a b i l i t y c o n d i t i o n sf o rt h es y n c h r o n i z a t i o no fp l m sa n dp w i so nc o m p l e xn e t w o r k sb y u s i n gt h el y a p u n o vf u n c t i o nm e t h o d ，w ea n a l y z et h ep l m sa n dp w i s0 na g e n e r a lc o m p l e xn e t w o r k ，a n di np a r t i c u l a r ，w eg i v et h es t a b i l i t yc o n d i t i o n sf o r s y n c h r o n i z a t i o no ft h es t a r - s h a p e dn e t w o r k sb yu s i n gl i n e a rs t a b i l i t ya n a l y s i s k e yw o r d s ：p i e c e w i s el i n e a rm a p ，p i e c e w i s ei s o m e t r y , s y m b o h cs p a c e ，o r b i t c o d i n g ，c o m p l e xn e t w o r k ，s y n c h r o n i z a t i o n ，s t a b i l i t y , l y a p u n o vf u n c t i o n 原创性声明 本人声明；所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中 特；n 自n p g 标注和致谢的地方外，论文不包含其他人已发表或撰写过的研究成果参 与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示了谢意 签名日期：砂6 ，纠 ， 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留论 文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 第一章前言 1 1 研究背景 1 1 1 学科综述 动力系统是2 0 世纪最富有成就的一个数学分支，也是非线性科学的一个重要 组成部分，在不少领域中有重要的应用 牛顿于1 6 8 7 年在其名著自然哲学的数学原理中，提出了万有引力定律， 而后用数学的形式一一常微分方程一一推出了开普勒定律，完成了日心地动说的力 学解释，也同时开始了以常微分方程为对象的动力系统的研究然而现实生活中绝 大多数微分方程不能用已知函数的积分来表示其通解这导致了微分方程定性理 论【8 ，2 ，3 】的研究，其肇端始于法国数学家p o i n c a r e 在1 8 8 1 1 8 8 6 年间连续发表的论 文微分方程所确定的曲线到1 9 2 7 年，g d b i r k h o f f 继承并发展了p o i n c a r e 的工作，使“动力系统 一词首见于其著作 7 】 一般而言，动力系统研究的主要问题是： ( 1 ) 轨道长时间的渐近性质，如极限点集、非游荡点集、周期点集等 ( 2 ) 轨道在相空间中的稠密性，如极小性、拓扑传递性、拓扑混合性等 ( 3 ) 动力系统的整体性质，如全局敛散性和全局吸引子等 ( 4 ) 动力系统的拓扑分类与结构稳定性，如双曲不动点和双曲不变集的稳定性 ( 5 ) 动力系统的复杂性，包括集合复杂性。如混沌、分形，以及动力学复杂性，如 拓扑熵、l y a p u n o v 指数等 定义1 1 1 设g 僻，z ) ，x 是一拓扑空间，称连续映射妒：g x x 为x 上的 一个拓扑动力系统，若妒满足： r z ，v ( 0 ，z ) = z ， v x x v ( t + s ，z ) = 妒( t ，妒( s ，$ ) ) ，v t ，s g ，x 此时，空间x 又称为相空间，妒也简称为动力系统当g = r 时，称动力系统l p 为x 上的流；当g = z ，称动力系统妒为x 上的离散动力系统 1 1 2 研究方向近期进展 离散动力系统是由函数迭代而生成的，动力系统的类型是多样的，而映射的非 线性性质又使得动力系统的大范围性状是复杂的尤其是2 0 世纪6 0 年代以来，随 着计算数学和计算机技术的发展，采用数值模拟的计算可视化方法，得到了许多令 1 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 2 学界惊叹不已的发现，如分歧( 或分支、分岔) 、混沌、孤立子和分形等，极大推动 了动力系统的研究及其在非线性科学研究中的应用 分片线性系统是动力系统中一个新的研究领域，它是由分片线性映射迭代生成 的系统它的动力学性质非常复杂以至研究起来比较困难，到目前还没有一个比较 完善的理论基础分片线性系统应用极广，例如：不少数字信号处理系统是保面积 不连续的分片线性映射系统，典型的有数字滤波器的溢流( o v e r f l o w ) 问题1 2 2 ，2 3 ， 2 4 ，2 5 ，2 6 】，以及带通( b a n d p a 8 8 ) 一模型【1 3 ，1 4 一维的分段等距系统是该领域中比较简单的一小类，特别是区间交换变换系 统( 饱t ) ，很多学者都深有研究并且得到相当丰富的理论结果【2 7 ，2 8 ，2 9 】推广到 二维或更高维上的分片线性系统，其动力学性质研究起来并不象一维空间中区间交 换变换那么容易事实上，一维空间上的很多性质在高维空间上就不再具有同时 研究区间交换变换系统所用的方法在二维或更高维的空间上就不再有效 近年来，主要局限在对二维平面上的分片线性系统动力学性质研究，主要涉及 以下几方面的问蹈： ( 1 ) 可逆分片等距动力系统中例外集e 的描述，如自相似结构【3 0 ，3 1 1 ，e 的l e b s g u e 测度，不变圆盘填充【4 9 ，3 2 】 ( 2 ) 平面上不可逆分片等距系统的全局敛散性和全局吸引子 3 3 ，3 4 1 ( 3 ) 分片等距系统中的复杂性，拓扑熵，符号增长率估计【3 5 ，3 6 ，37 】 ( 4 ) 分片等距系统中的不变曲线存在性【3 8 ，3 9 】 ( 5 ) 分片线性系统的最大不变集的测度估计【4 0 】 1 2 研究意义 正如前面所说，分片线性系统是一个“开放的。领域，对这一课题的研究非常 具有挑战性，因为很少有前人的脚印，我们所走的每一步都是试探性的，因而每一 步都显得很艰难 分片线性系统这一课题中的很多问题都有直接的实际背景，很多模型都来自于 工业与电子技术问题，比如一模型【1 3 ，1 4 】，o v e r f l o w 2 2 ，2 3 ，2 4 ，2 5 ，2 6 】振荡模 型最开始研究这类问题的大部分都是电子工程方面的学者，后来很多数学工作者 也对这类问题产生了浓厚的兴趣，所以对该课题的研究有重要的现实意义另外， 我们知道，很多数学分支都是起源于对现实问题的研究，但是一旦数学工作者把这 些问题从具体的问题中抽象出来，形成一类专门的数学问题，那么新的数学分支也 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 3 就孕育而生所以从大的方面来说，对该课题的研究有助于该分支的成熟和动力系 统理论的完善 1 3 作者的主要研究工作 本文中，作者所作的主要工作如下： 首先，应用符号动力学对a s h w i n 和f u 等人提出的公开问题“一a 模型的 轨道编码的允字条件”做了分析 其次，基于上述分析提出了在e 一模型中寻找系统n 周期点的方法 最后，对复杂网络上的分片线性映射和分片等距映射的同步态稳定性做了分 析，并运用l y a p u n o v 函数分析了两种映射在一般复杂网络中的情况，同时对于特 殊的星形网络应用线性稳定性分析方法给出了显式的稳定性条件 第二章二维环面上的线性映射 本文中，我们介绍了保面积分片线性不连续映射的一些一般原理，同时对与之 相关的分片等距系统也作了分析最后我们通过对信号处理系统的动力学研究来证 实了这些结论我们考虑的是分片线性映射，也即映射的线性部分是相同的，但其转 换部分在不同的划分元中各不相同我们将保面积映射的线性部分分为“抛物型” ( 两个特征值相同且等于1 ，只有一个特征向量) 、“椭圆型”( 两个共轭复特征值 在单位圆上) ，或称为“双曲型”( 两个特征值都不在单位圆上) 同时我们考虑了 两种不连续性，第一种是由于舍入造成的，第二种是由于量子化 平面上的保面积线性映射形式如下； ， 一2 “+ 岵抽1 ) iy = c z + d y + 卢 其中( z ，y ) r 2 ，o ，b ，c ，d 一口r ，且州一b c = 1 由于其转换部分o ，卢为常数， 故其动力学性质相当简单容易发现在非奇异情况下，( a ) 所有点的轨道都是有界 的( 椭圆型的情况下) ( b ) 所有点的轨道( 除了在经过( n ，卢) 直线上的) 都是无界 的( 双曲型与抛物型) 2 1 二维环面上分片线性映射的不连续性引入 以上线性映射是具有连续性质的，通常可通过两种方法得到分片线性映射的阿 种不连续性 一种是由取模舍入型造成的不连续性：考虑模型2 , 0 1 被限定在矩形b = f e ，) b ，h ) 内通过参数( k ，f ) 舻的转换( 缸1 ，i g 2 ) k ! 。a x + + 由b y 州+ c 。( 。m 嘞o d # l ； 抛， 其中( z ，口) b ，p 1 = - e ，u 2 = h - g 系统2 1 2 具有舍入不连续眭，其具有丰富的动 力复杂性对这一系统有不少研究，较典型的有( o ，b ，c d ) = ( 0 ，1 ，一1 ，2 c o s 口) ，q = 卢= 0 与( e ， 9 ，h ) = ( 一1 ，1 ，一1 ，1 ) 这种情况是无损失的o v e r f l o w 振子的数字滤波器问题 _ 般我们将变量标准化卢= 面x - 一e ，一= 学，于是b 变为i = f o ，1 ) 2 于是映射2 1 2 4 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 5 变为 ：一。，。：r + + b 7 y ，+ + c d 。( 。m 。o 。d ，l ； c 。- 。， 其中( “) ，0 ，= n ，6 ，= 嚣6 ，c ，= 舒c ，d = d 注意到a d 一矿c ，a d b e 1 ，说 明映射2 1 3 仍然是局部保面积的 另外一种是由于符号函数s g r t ( ) 造成的量子化不连续性这种映射的形式如 下： 。7 2 。+ b y + 。1 5 9 “扛) + 卢1 8 9 ”( 9 ) ( 2 1 4 ) l ，= 黜+ 妇+ 0 2 卵n ( z ) + 如s 9 n ( 可) 卜 其中( z ，y ) r 2 ，我们称之为有量子化不连续性的线性映射该映射在简化到一个 全局吸引子上后，与2 1 3 的动力学性质非常相似 2 2 二维环面上分片线性映射的分类 由于a d b c = 1 ，我们可将映射2 1 2 分为椭圆型( 1 a + d i 2 ) 三种我们将q b ，c ，d 参数化如下： ( a 。：) = ( 叼+ a 篇一a ) c 。2 s ， 其中a ，b ，c 都是实数矩阵的迹为2 v l + a 2 - b 2 ，于是当i b | i a i 时，映射为椭圆型 对于双曲型和抛物型，我们可将矩阵写为如下参数形 ( a 。6 d ) = ( 叫：m 其中a 是一个特征值而对于椭圆型映射，可化为如下参数型 ( ：d 6 ) = ( 。s 一0 。+ 。a i 。s 。i n 口。- l 。( 1 。+ 一a 2 。) i 。s i n 。9 ) 其中c o s 8 + ls i n 是特征值 第三章平面上的分片等距系统 分片等距系统是由分片等距映射迭代生成的系统所谓等距映射一般意义下是 指旋转变化、反射变换、平移变换以及他们的合成变化一维的分段等距系统是该 “领域”中比较简单的一类，特别是区间交换变换系统( 1 e t ) ，很多学者都深有研 究并且得到相当丰富的理论结果 3 1 分片等距系统基础 在正式介绍分片等距动力系统前，我们首先了解平面上的等距定义与平面上的 等距的分类 定义3 1 1 如果一个平面上的映射r ：c c 是保距的，即对于所有z l ，砘c ，有 h z 2 i = i r z l r z 2j 那么我们该映射是等距映射 平面上的等距映射通常分为三类：平移变换、旋转变换与反射变换 命题3 1 1 任何旋转变化或者平移变换都可统一写成r ( z ) = p z + 的形式，其中 p = e j o ，0 n 皿，那么存在一个碟和其他碟重合如果n r ， 那么对任意p ，其中n p 皿，碟岛( 锄) 将与最多有限多个其他碟相交因而填 充在集b ( 锄) b ( 瓢) 中不可能为稠密于是n = r 因而，如果o 魂 n ，那 么f ( d p ( ( q ，n ) ) ) l ( d p ( ( x l ，s t ) ) ) ，于是得出填充是最大的 - 搬仑3 3 1 仗心彰中推论u 若分片等距，的不变商盘填充c 稠密，那么周期轨 道集唯一确定了圃盘填充的中心 定理3 3 2r 文5 0 中定理) 假设g 是m = u 磁中的一圆盘填充，g 在m 中 稠密的一个必要条件为对于任意圆盘边界d c ( s ) 中的一点x ，存在一圆心占、列 z 。 使得l i mz 。= z n 4 证明：具体证明参见【5 0 1 中定理1 的证明，此处略 定理3 3 3 仗肛哪中定理2 ) 区域m 中一团盘填充c 是稠密的当且仅当m 中的 任意一点z 要么在一开圆盘中，要么为一圃心点列 z 。 的极限占、 证明：不任z 是哪种情况，都可以得到z 为圆盘填充g 的一聚点所以g 在m 稠 密其必要条件的证明类似i 5 0 】中定理1 的证明 构造不稠密圆盘填充方法：通过分割一个包含周期无理旋转的划分元，我们可 以使得可达周期编码点集c 不稠密考虑在m 的分区 地) 1 上有无理旋转可逆 分片等距，：m 一吖选取任意一个划分元如 矗，其至少拥有一个编码为k 的周 期圆盘c ( k ) 将此划分元分割为二，得新分区t 帆 芷：，其中 帆= m k 对1 k 1 ， k ( z ) = 一l 如果 r e ( z e ”) 一l ， ( 3 3 2 ) 1 0 其它情况 显然k ( z ) 将区域元素分为 一1 ，0 ，+ 1 ) ，我们并以此为编码依据排除不连续性，几 何上容易验证，该映射是可逆的 定理3 3 4r 文1 4 9 中定理3 ，只有有限可数个0 【0 ，2 丌) ，使得在由如映射下的 圆盘填充中的周期圆盘问有相切性，所以有一个满测度0 集合，使得圃盘填充c 无 相切性 令w = e ”，考虑所有周期为n 的周期编码( 我们并不假设状态可达) k ，其 中b - a ，0 ，+ 1 ，这样 k = p ( k o k l k 2 k 1 ) 其中p 表示周期序如果状态可达，那么存在一个唯一周期点z = 讯，使得z ( z ) = k 满足 这表示 t l 一1 = = w n g 十w w k 十l j = o 。k ：丙w n - - 1 k 十1 。2 丙乙j = o 一一1 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 1 3 我们记q = e “且p = 2 t ，那么上式 绦= 南薹”2 j - n = 蕊n 驴- 1 ”慨s 。， 这表明相切性只发生在一些孤立的参数值上 注3 3 1 上述定理说明，对于一维参数族如的环面上分片等距( o v e r f l o w 映射) ， 对于几乎所有p 值，在圃盘填充中不存在相切性我们相信这是不变圃盘填充的一 般性质现在仍需证明对其他p w i s 族存在同样性质 引理3 3 1r 文9 中引理2j 假定k ，m 尸是不同的可达周期序列那么这些元 胞的最大内切圃盘在最多有限多个目值上才发生相切因而相应的，存在最多有限 个无理p 使得圆盘c ( k ) 与e ( m ) 是相切的 证明：假定两个圆盘c ( k ) 与c ( m ) 是相切的如果k o = m o ，那么它们在同一划分 元中，那么它们在，下的象将会相切，因此不失一般性，我们假定k o m o 相切性必然发生在具相切性的划分元中，因此在线r e ( w 2 z ) = = k l 上由于圆 盘中心由钰与给出，我们发现只要有相切性，那么 西= i m ( w 2 ( 讯一卸1 ) ) = 0 尽管注意到这一条件并不充分令 d = ms i n ， 使用式( 3 3 3 ) ，我们注意到左边 = ，m ( 志圣q 4 + 2 j - n k 十l 一s i n j _ r a t 圣7 4 + 2 j - m m m - j - 1 ) 于是 ， n 一1 ， m - i 忙志萎k - j - 1 s i n ( 4 + 2 j ) t - 志蕃”m - - j - - 1 s i n ( 4 均一h ( 3 。3 4 ) 其中t = 口2 。注意到咖( q ) 是一个比例多项式，其阶最多2 n m 次，所以对所 有”c ，要么是恒等为零的，或者针对分子有有限个零反应特别地，如果其 不恒等为零，那么在川= 1 上它只有有限个零值令币= p ( t ) q ( t ) 为一个有理三角 多项式，其中口( t ) = s i n n ts i n m t 我们发现 ”一1m - 1 p ( t ) = _ f - j - 1 s i n m t s u l ( 4 + 2 j n ) t - m 。一j 一1s i n 眦s i n ( 4 + 2 j m ) j = oj = o 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 1 4 如果m = n ，我们移除因子s i n m t ，那么它将一致收敛于零，当且仅当 t l 一1 ( k 手l - - r i b , 手1 ) s i n ( 4 + 2 j 一, 0 t j = o 一致收敛于零对所有n 1 ，最高频率项为( k o r a o ) s i n ( 2 + , 0 t 由于它不能由 低频率项的和来消除，这仅在k o = m o 时发生，导致矛盾 如果m n ，我们将p ( t ) 展开成c o s k t 项的和合并同类项并乘上和v e t o ， 我们有s i n m t s i n ( 2 + h m o s i n n ts i n ( 2 + m ) t ，展开后得到 ( m o k o ) c o s ( 2 十n + 竹；) t 如上项不能被其他c o s 船项所消去因为j k i 2 + n + m ，所以p 一致收敛到零， 表明k o = m o ，又导致矛盾 定理3 3 4 的证明：考虑所有由三个符号 - 1 ，0 ，+ 1 】组成的可达周期序列对 任意数对( k ，m ) ，引理3 3l 表明存在至多有限个0 值，使得相切性发生所以使 得相切发生的口的集合是至多可数无限个的 3 3 3 稠密性和相切性的关系 人们可能认为相互之问不相切的圆盘填充，其必然不具有满测度，然而事实并 非如此本部分，我们构造了一个无切点( t a n g e n t f r e e ) 圆盘填充，其具有零测度的 补集图3 2 中是其构造，我们考虑一个“向上的”等边三角形n ，用最大内切圆 盘a 填充，而后无限多个“向下的”等边三角形 五，。) 。o o 如图所示 于是重复上述过程，用内切c 1 圆盘填充“向下的”等边三角形噩“这样“向 上的”( 五，i ，j ) 器l 通过相似变换鼠，使得& ( t 1 ) = n ，这一过程，在每一三角形 上重复可得到可数个圆盘c 1 。i 。，且我们令c 为这些圆盘的并集每一步所 有点要么在一个曲边三角形中( 该三角形最多有一个曲边会被再分) ，要么在一个 圆盘中因此，可发现如此构造的圆盘集在五中是稠密的而且，任意两个填充 圆盘在不同三角形中内切，并且由于变换生成“向上的”和“向下的”三角形，三 角n ，t 。阮。最多与另一三角的一条边上的点相接触所以c 的填充圆盘问不相切 定理3 3 5r 文肛郫中定理2 ，上述构造的填充是满测度的，即l ( 噩) = t ( c ) 证明：定义d 1 = c 1 ，d 。+ 1 = d n u ( u l & ( d n ) ) 且记c = u 。d n 现定义p = t ( c ) t ( t 1 ) 为圆盘填充占噩的比例由构造方法，我们知 l ( r 1 ) = z ( c 1 ) + z ( 丑，t ) ( 3 3 5 ) 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 1 5 图3 2 ：无切但是稠密的圆盘填充 在t l c l 中u 五，i 是可数个s i e r p i n s k ig a s k e t s 的并集，因而具有零测度而相似 集s i 的测度的一致性，表明了对所有i ，p = ! ( g nt 1 ，) z ( 丑t ) ) ，于是 z ( g ) = t ( c o + f ( g n 丑，1 ) = l ( c 1 ) + p f ( 噩，1 ) ti 表明p i ( t 1 ) = i ( c 1 ) + p e 。f m ，) 于是联立上式与3 3 5 式，可得l ( c 1 ) = 0 ( 导 出矛盾) 或者p = 1 得出结论p = 1 即f ( c ) = f ) 3 4 关于e 一调幅器模型的研究 本部分，我们对出现在信号处理中的带通一模型进行了探讨，该映射具有 全局吸引子【1 4 ，5 1 在其上整个映射可变为一个几乎可逆分片等距( 除了一个零 测度集) 而且，本部分给出了其动力学符号描述和迭代的允字条件 - 模型作为二维分片等距系统的一个特定模型，是一个著名的保面积不连 续系统【1 3 】中，a s h i w i n ，d e a n e 和n l 简化了由f e e l y 和f i t z g e r a l d 1 5 1 中提出的单 参数分片等距映射f ：r 2 一r 2 ，得出以下方程： 弱+ 1 ：，( ) ：r ( 口) + 6 ( ) 一c o t 8 】 ( 3 4 6 ) 1 其中x 。= 【z 。】t ，6 ( j 0 ) = s g n ( x 。s i n o + y c o s o ) 一2 c o s o s g n y 。，其中r ( 口) 是 2 2 的矩阵代表了旋转0 角的顺时针旋转变换该映射出现在零阻滞的数字电路 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 1 6 图3 3 ：由四个风筝状四边形构成的m 的结构 中 对于带通一振荡器，将平面分为四个分区，p 1 = 臼：0 a r g ( z ) ”一日) ， p 2 = z ：霄一日a r g ( z ) 丌 ，p 3 = t 2 ：霄a r g ( z ) a 2 a 3 一a v ( 4 2 5 ) 为耦舍矩阵 的特征值如果以下n 1 个n 维线性时变系统是关于零解指数稳 定的 w (