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递归集的维数 基础数学 研究生史丽敏指导教师周吉 论文摘要： 分形几何是描述自然物形态结构的一门新的几何学，是上世纪七十年代末期 由美籍数学家b b m a n d e l b r o t 1 4 创立的，它以“极不正规”的几何图形为研究 对象，用各种数学工具来刻画这种不正规性由于这种“不正规”对象在各种不同 的领域中大量出现，因此它越来越多的和物理、化学、生物和计算机等不同的学 科发生联系也正是这样，近几年来，分形几何迅速发展成为- - f 新兴的学科 为了研究分形的机理，d e k k i n g 3 】给出了一种用递归方式生成的分形集，被 称为递归集递归集已经成为一类重要的分形集，利用该方式可以生成几乎所有大 家熟悉的分形集，例如：p e a n o 曲线，c a n t o r 集，s i e r p i n s k i 垫片，k o c h 曲线等 在递归集的生成过程中，它的同阶生成元之间会有重叠，因此，确定其维数就 变得非常困难在自相似情形下，b e d f o r d 2 】利用动力系统的方法给出了一类递归 集的h a u s d o r f f 维数，文志英等i s 用初等方法也得到了同样的结果 在非自相似情形下的递归集的h a u s d o r f f 维数的确定更是异常困难，b e d - f o r d 1 $ h m c m u l l e n 6 讨论了一些在相对简单的非自相似映射下的递归集的维数， d e k k i n g 3 】曾给出了递归集的h a u s d o r f f 维数的一个上界估计后来，吴敏 9 给 出了它们的一个非平凡的下界估计本文利用文【8 和【9 】中的方法，得出了在非自相 似情形下的递归集的h a u s d o r f f 维数的一个下界，可以看到该下界比【9 】中所得到 第i 页，共2 6 页 中文摘要 的下界更佳 利用文 3 】中给出的递归集的h a u s d o r f f 维数的上界估计，d e k k i n g 4 】猜想在 自相似情形下的递归集的h a u s d o r f f 维数等于这个上界的充要条件是该递归集是 可解的b e d f o r d ( 2 】用动力系统的方法证明t d e k k i n g l 拘猜测本文证明了该猜想 在非自相似映射下仍然是成立的因而也推广t d e k k i n g 、吴敏等人的结果 关键词：h a u s d o r f f 维数；b o x 维数；分形集；递归集 s l m 2 0 0 5 e y o u c o y i i第i i 页，共2 6 页 毕业论支 t h eh a u s d o r f fd i m e n s i o no fac l a s so fr e c u r r e n ts e t s p u r em a t h e m a t i c s w r i t e r ：s h il i m i n s u p e r v i s o r ： z h o uj i a b s t r a c t ： i no r d e rt os t u d yt h ef o r m a l i s mo ff r a c t a l s ，d e k k i n g 【3 】h a si n t r o d u c e da p o w e r f u lm e t h o d o fd e s c r i b i n ga n dg e n e r a t i n gf f a c t a ls e t sa n ds u c hf r a c t a ls e t s a r ec a l l e dr e c u r r e n ts e t s u s i n gi tw ec a nc o n s t r u c ta l m o s ta l lw e l l - k n o w ns e t s ， f o ri n s t a n c e ，t h ep e a n oc u r v e ，c a n t o rs e t s ，y o nk o c hc u r v e ，a n ds oo n i ti sk n o w nt h a tm a k i n gd i m e n s i o nc a l c u l a t i o n s ，i nt h ec a s ew h i c ht h el i n e a r m a p i sn o ta s i m i l i t u d e ，i sv e r yd i f f i c u l t ，b e d f o r d 1 】a n dm c m u l l e n 6 i n d e p e n - d e n t l yd e a l tw i t has i m p l ep r o b l e m o ft h i ss o r t i n 3 ，a nu p p e rb o u n d f o rt h eh a u s d o r f fd i m e n s i o no ft h e s es e t si s g i v e n ， f u r t h e rw u 9 】c o n s i d e r e dt h er e c u r r e n ts e t sw h e r et h el i n e a rm a pi sn o tas i m i l i t u d ea n do b t a i n e du p p e ra n dl o w e rb o u n d sf o rt h e i rh a n s d o r f fd i m e n s i o n s i nt h i sp a p e rw ef o c u sa t t e n t i o no nt h ec a s eo fan o n - s i m i l i t u d e f i r s t l y u s i n gt h em e t h o d si n 【8 ，9 】w ew i l lg i v ea b e t t e rl o w e rb o u n df o rt h eh a u s d o r f f d i m e n s i o no fr e c u r r e n ts e t st h a nt h a ti n 9 w h e nt h el i n e a rm a pi sas i m i l i t u d e ，t h a ti s ，t h em o d u l io fa l le i g e n v a l u e s o ft h el i n e a rm a pa r et h es a m e ，d e k k i n g 4 】c o n j e c t u r e dt h a tt h eu p p e rb o u n d i si n d e e dt h e i rh a n s d o r f fd i m e n s i o ni fa n do n l yi f r e s o l v a b i l i t yh o l d s b e d f o r d 2 】p r o v e dt h a tt h ec o n j e c t u r ei s t r u eu s i n gd y n a m i c a lt h e o r y i nt h i sp a p e r ， w es h o wt h a tt h ec o n j e c t u r eo fd e k k i n gi sa l s ot r u ei ft h el i n e a rm a p i sn o ta s i m i l i t u d e k e y w o r d s ：r e c u r r e n ts e t s ；h a u s d o r f fd i m e n s i o n ；b o xd i m e n s i o n r “ 竹h ? r i d j a l e d i a m l e 日( z ) p 豫 s “ 甜5 c ( 础) 小 d i m h c l z m b d i m b 口 娲( s ) s + ， l 日 ”| i q e c l h 部分符号说明 d 维欧式空问 1 维勒贝格测度 d 维勒贝格测度 a 中元在e 中的个数 集合e 的直径 以x 为中心，以r 为半径的球 自然数集 求和符号 实数集 有限字母集 可歹i j 集族 毪) 和式h | 8 剧中所有紧集构成的集合 集合a 的e 平行体 h a u s d o r f f 维数 上盒维数 下盒维数 扩上的自同态 由自同态8 与词s 生成的递归集 由s 生成的自由半群( 由s 中的字母组成的长度有限的词的集合) 由到r o 上的同态映射 口的线性表示 范数 哑元集合 e = z q 本性元集合 h a u s d o r f f 度量 第v 页洪2 6 页 引言 分形几何是研究不规整的图形和是描述自然物形态结构的一门新的几何 学，是上世纪七十年代末期由数学家曼德勃罗特创立分形几何的创立标志着 人类对形的认识由规则的形态进入了不规则的形态，为研究不规则点集或非线 性现象提供了一种重要的思想、方法和技巧它以极不规则的几何图形为研究 对象、用各种数学工具来刻画这种不规则性由于这种不规则对象在许多不同 领域中大量出现因此，它越来越多的和物理、化学、生物、医学、地质和计 算机等不同学科发生联系，也正因此，这一新兴学科在上述领域中获得了巨大 成功同时，不同学科中提出的大量问题又刺激了分形几何的深入发展 分形理论是来自牛顿建立微积分以来数学中的又一次革命分形几何“是 研究自然界中没有特征长度而又具有自相似性的形状和现象古代的几何学在 希腊曾大放异彩，但它研究的图形只是用圆规和尺规画的简单图形，这样的图 形全都是平滑的自牛顿以后，由于微积分学和几何学的结合，才能表现更为复 杂的形状，但这些形状的重要特征是具有特征长度的，是平滑的，是可微的分 数维研究的图形是更为复杂的图形，是不光滑的，是不可微的从这个意义上来 说，分数维否定微分，这是个划时代的革命，将建立在一个全新的理论的体系 上” 过去，数学已广泛涉及到那些可以用经典的微积分进行研究的集类和函数 类，而那些不够光滑和不够规则的集和函数却被认为是“病态”的，不值得研究 而不被理睬确实，它们被当成个别的特例，其中只极少数被认为是可以利用一 般理论进行研究的 近几年来，这种态度发生了变化，人们已经意识到，对“不光滑集”可以而 且必须进行详细的数学描述不规则集比经典的几何图形能更好的反应许多自 然现象，分形几何恰好为研究这样的不规则集提供了一个总的框架 人们努力给分形一个数学定义，但是这些定义都很难验证是适用于一般的 情形这里我们不给分形下确切的定义，考虑欧几里德空间中的集合e ，如果它 具有下面所有的或是大部分的性质，它就是分形： 第1 页，共2 6 页 引言 f i l e 具有精细的结构，即有任意小比例的不规则的细节 ( i i l e 是如此的不规则，以至于无论它的局部或整体都不能用微积分的或 传统的几何语言来描述 ( i i i ) 通常e 具有某种自相似或者自仿射性质，可能是统计或者是近似意义 上的 ( i v ) e 的“分形维数”( 以某种方式定义) 通常严格大于它的拓扑维数， ( v ) 在许多令人感兴趣的情形，e 具有非常简单的，可能是由迭代产生 f v j ) 通常e 有“自然”的外貌。 对于各种不同种类的作为分形的物体的几何性质我们能如何描述呢? 传统 的几何给我们思路，在本文的第一部分，研究了分形与熟悉的几何性质类似的 一些性质，主要说明了h a u s d o r f f 维数和b o x 维数的性质 现实中有许多分形的例子，云彩的边界，地表面的形状，海岸线，流体的湍 流等等，但，这些例子没有一个不是实际的分形，用充分小的比例观测时，它们 的分形特征就消失了，然而在一定的比例范围内，它们表现了许多类似分形的 性质，而在这样的比例下，它们通常被看作是分形实际上，自然界没有真正的 分形刻画分形性质的一个重要参数就是维数，而h a u s d o r f f 维数是刻画这种 不正规几何中不正规性的一个重要参数分形集正是指它的h a u s d o r f f 维数与 拓扑维数不相同的这样一类集合如何计算一个分形集的h a u s d o r f f 维数，如何 构造新的分形集是分形几何的重要课题。d e k k i n g l 3 1 给出了一种利用字母集上 的代换递归生成分形的一种方法，由此将得到的分形集称为递归集，对递归集 人们做了很多研究递归集已成为一类重要的分形集，它可以生成几乎所有熟 悉的分形集，例如：c a n t o r 集、p e a n o 曲线、s i e r p i n s k i 垫片、雪化曲线等等 本论文将着重研究递归集 递归集的生成过程的一个显著特点是它的同阶生成元之间产生了重叠，因 此，研究其性质就比较困难虽然文志英f 8 】和钟红柳 1 1 等人讨论了递归集的 一些性质，但对递归集维数这一性质的研究仍然是一个重要的课题 递归集的构造如同迄今所知的由迭代生成的几何集的构造一样，在每步迭 代过程中均采用了相同的压缩尺度，在自相似的情形下，b e d f o r d 2 1 利用动力 第2 页，共2 6 页 毕业论文 引言 系统的方法得到了递归集的h a u s d o r f f 维数和b o x 维数，钟红柳【1 1 用初等方 法得到了相同的结果并且，b e d f o r d 2 及钟红柳( 1 1 j 在自相似情形下证明了 d e k k i n g 4 中的猜想，即递归集的h a u s d o r f f 维数与b o x 维数等于最大上界时 的充要条件为递归集是可解的 迄今为止，在非自相似情形下，研究递归集的ha _ u s d o r f f 维数与b o x 维数 显得更加困难d e k k i n g 3 1 曾给出了一个h a u s d o r f f 维数的上界估计。后来， 吴敏 9 】对一般递归集做了一个h a u s d o r f f 维数的非平凡的下界估计，然而，对 递归集的h a u s d o r f f 维数等于上界( 也即d e k k i n g 4 】中的猜测) 的充要条件，仍 然是没有解决的问题 本文中，利用文志英 8 】及吴敏 9 中的初等方法，给出了非自相似映射下 的递归集的h a u s d o r f f 维数的一个下界，可以看到该下界是比f 9 1 中所得到的下 界更好 其次，利用所得到的递归集的h a u s d o r f f 维数的下界这一结果，结合 d e k k i n g 【3 】估计的上界与d e k k i n g 4 在自相似映射下的猜测，我们证明了在非 自相似映射下，递归集的h a u s d o r f f 维数与b o x 维数等于上界的充要条件依然 为此递归集是可解的从而我们在非自相似映射情形下证明了d e k k i n g 4 中的 猜想，使般递归集维数的探讨走向完善，同时，把b e d f o r d f 2 j 在自相似条件下 的结论作为特殊情况，且把吴敏f 9 】中讨论递归集维数的条件简化 s l m 2 0 0 5 e y o u ，e o m第3 页洪2 6 页 毕业论文 第一章预备知识 在这一章里，主要叙述一些本文所用到的基本概念首先回忆了测度论中 的一些基本概念，因为测度在分形几何的理论上起着重要的作用；然后主要讨 论分形维数，特别是h a u s d o r f f 维数，记盒维数的定义和性质 1 1 集合论基础及测度 首先，提及一些在本文中将要遇到的标准数学定义和符号通常，用记号爬 表示实数集，z 为整数集，表示自然数集础表示d 维欧氏空间，r d 中的 点通常用小写字母表示，如。，y 等础上的距离或者度量为通常的欧几里德距 离，即掣中两点z ，y 之间的距离为 茁一g 这里z ，y 的坐标形式分别为z = ( x z ，z d ) 和y = ( y l ，驰) 一般用大写 字母a ，曰，x 等表示瓞4 的子集 一个非空集合e 的直径由 i ej = s u p i x y ：z x ，y y ) 给出非空集合x 和l ，问的距离，记作 d ( x ，y ) = i n f i z y l ：茹x ，y y ) 对r 0 ，集合e 的r 平行体由下式给出 f = y ：1 z 一引墨r ) ， z e 中心在点z ，半径为r 的球定义为 耳( z ) = ：i y x i r ) 用c ( r o ) 表示由掣中的所有紧子集所组成的集合 定义1 1 1 设x 为一个集合，x 的子集族b 称为x 的一个口代数，如果 满足： 第4 页洪2 6 页 。下 可 一z 。“ 第一章预备知识 ( a ) x 嚣； ( b ) 如果e 日，则x e 8 ； ( c ) 如果矗舀，n 1 ，则ue 。8 n 1 欧氏空间础上的波莱尔集类为包含r o 的所有开集的最小o - 代数，因此 ( a ) 每个开集是波莱尔集，每个闭集也是波莱尔集 ( 6 ) 如果a 1 ，a 2 是任意波莱尔集组成的集族，那么u 墨1a l ，n 墨，a 和 a ，a 2 也是波莱尔集 定义1 1 2 设b 是x 的盯代数肛：8 一 0 ，。】称为一个测度，如果它满 足： ( a ) p ( 妒) = o ； ( b ) 如果e n 日，n 1 ，且b 两两互不相交，则 m ( u 日)，。) 由上述定义立刻看到： ( a ) 测度p 具有单调性，即如果ecf 】这里e ，f b ，则p ( e ) p ( f ) ( b ) 若a ，a 2 ，为一可数( 或有限) 集序列，则 m ( u a t ) m ( a t ) i = 1i = 1 定义1 1 3 集函数u ：2 。一 0 ，o o 】称为x 上的外测度，如果它满足： ( a ) ”( ) = o ； ( b ) 如果ac bc x ，则v ( a ) ”( b ) ； ( c ) u ( u ) ”( 昂) n 1 n 曼1 定义1 1 4 给定一个测度肛，如果集合acx ，对任意ecx 都满足 ( e ) = 肛( e n a ) + 肛( e a ) 则称a 是“一可测的 s l m 2 0 0 5 e y o uc o r n第5 页，共2 6 页 毕业论文 第一章预备知识 命题1 1 1 设p 是x 上的测度，川是x 的所有“一可测的子集族 ( 8 ) 如果a 1 ，a 2 ，m 是不交的，则 肛( u a ) = p ( a ) ， ( b ) 如果a 1ca 2c 是州中的一类不降集序列，则 舢( u a t ) = l i r n p ( a ) ， ( c ) 如果a 1 ) a 2d 是川中一列不增的集序列，及f f ( a 1 ) 0 的x 子集a ，b ， 有肛u b ) = 芦( 以) + 弘( b ) 如果对于所有的ec 剃，存在波莱尔集f ，使得 ecf 且p ( e ) = p ( f ) ；称波莱尔集测度_ 为波莱尔规则的，实际上，本文中 遇到的所有的测度( 包括h a u s d o r f f 测度等) 都是上的波莱尔规则测度 舻上的勒贝格测度是对具有”d 维体积”的一大类集族的自然推广定 义“坐标平行体”a = ( 。l ，茁a ) 彤：a 玉以) 的d 维体积为 v o l 4 ( 4 ) = ( b l a 1 ) ( b 2 一2 ) ( b d n d ) ， 那么d 维勒贝格钡9 度m d 定义为 r o d ( a ) = i n f v o l 4 ( a ) ：a c u a i ， t = 1t = 1 这里的下确界是对a 的所有可数平行体覆盖取的 定义l ，1 5 设x 是一个拓扑空间，如果x = ug 。，其中，对每个q ，： a i g 。是开集，则称 g 。) 。e j 是x 的开覆盖如果x 的任意开覆盖中必存在有穷 n 予覆盖，即存在n 1 1 ，q 。i ，使得x = u 瓯。，则称x 为紧集 七= 1 s l m 2 0 0 5 e y o u c o m 第6 页，共2 6 页毕业论文 第一章预备知识 1 2h a u s d o r f f 维数和h a u s d o r f f 度量 集合的“分形维数”的概念几乎是整个分形几何的中心，通常我们只对剩 的子集的维数感兴趣，但本质上同样的定义在一般距离空间上也成立这里主 要涉及集合的h a u s d o r f f 维数，b o x 维数，虽然还有许多其它定义，但这些是最 常用的维数定义h a u s d o r f f 维数是通过测度定义的，这样它的定义比盒维数要 复杂一些 定义1 2 1 设5 0 ，对于x 的可列( 或有限) 子集族 v d ，如果它满足下 述两条性质：任一矾的直径不超过6 ，即l 阢l 6 ；并且它们的并覆盖e ，即 u 职 e ，则称 u i ) 为e 的一个乒覆盖， t l 定义1 2 2 设ec 础，s 0 ，对任意的5 0 ，定义 弼= i n f j 以5 ： u d c , z 为e 的d 一覆盖) i z 这里i n f 表示对e 的所有6 一覆盖取下确界注意到随着j 的减少，h 是单调 非减的，故当6 0 时，它趋于一极限 咒5 ( e ) = 0 吗7 ( e ) 这个极限对所有的e c 剌存在称钾。旧) 称为e 的争维豪斯多夫钡4 度 但是它的值可能为0 ，也可能是正无穷，如果0 o = s u p s ：7 t 8 旧) = 。) s l m 2 0 0 5 e y o u c o r n第7 页，共2 6 页毕业论文 第一章预备知识 = i n f s ：7 - 1 5 ( e ) 0 ：db ，b 6d 舢， 不难看到：妇( a ，b ) 是e ( x 8 ) 上的一度量，并且( c ( x 8 ) ，d n ) 是一个完备的距 离空间 容易验证：妇具有下述两性质： ( 1 ) 对任意的a ，b c ( e 8 ) ，z r d d h ( a - i - 。，b - i - x ) = 妇( a ，b ) 记a 十z = t - i - 。：y a ) ，z r “ ( 2 ) 对任意a 1 ，a 2 ，b 1 ，疡c ( r 4 ) ，有 妇( a 1 u a 2 ，b 1ub 2 ) m a x d h ( a 1 ，b 1 ) ，妇( a 2 ，岛) ) 定义1 2 4 对彬的一个非空有界子集e ，用r ( e ) 表示覆盖e 的直径为 r 的集合的最少个数则e 的下、上盒维数为： 血b e = i i ，m i n 。百l o g n r ( e ) ， 和 而且e ：l i r a s u p 掣 r u l o g 7 如果它们相等就把这相等的值称为e 的计盒维数或盒维数记： d i m b e ：l i m 掣 7 + u t o g 上述定义有若干经常用到的等价形式如果坼( e ) 取以下任意一个数，上 述中的极限值都不变： ( i ) 覆盖e 的半径为r 的闭球的最少个数； ( i i ) 覆盖凹的边长为r 的立方体的最少个数； s l m 2 0 0 5 q e y o u c o r n 第8 页，共2 6 页毕业论文 第一章预备知识 ( i i i ) 中心在e 内半径为r 的不交球的最多个数； ( i v ) 与e 相交的r 一网立方体个数( r 一立方体是形如f m l r ，( m l + i ) r ) f 竹k _ ( 仇。+ 1 ) r ) 的立方体，这里m 1 ，m 。是整数) 另个等价定义是：e 为呼中的非空子集，则 地b e = l i 蝉( d l o g m 。d ( e ) ) ， 一d i m b e ：l i ms u p ( d 一l o g _ m d ( e 7 ) , j r - + 0 一l o g 7 命题1 2 1h a u s d o r f f 维数，上盒维数和下盒维数都有以下性质： ( 1 ) 如果e 1ce 2 ，则d i m h e l d i m h e 2 ；! ! 迪曰e 1 ! i 殛日e 2 ；百丽口e 1 丽日e 2 ( 2 ) 如果e 是有限的，则d i m h e = 0 ，d i m b e 一0 ，面五口e = 0 ，d i m b e = o ( 3 ) 如果e 是豫4 上的( 非空) 开子集，则d i m h e = 吐d i _ m b e = d ，d - 面m b e = d ， d i m b e = d ( 4 ) h a u s d o r f f 维数是可数稳定的，设 肠 蹦为集列，则 d i m n u 且= s u p l 。，l i 。m 。i 。n f 竺样= 。) ( 2 2 ) s l m 2 0 0 5 q e y o u c o i t i第1 1 页洪2 6 页毕业论文 董三主望塑叁箜里! 竺! 璺! 堕竺鳖 其中m d 是剌上的勒贝格测度在( 2 2 ) 式中用l i r a s u p 代替l i m i n f ，可相应 定义另个值，记为阮，即： 3 0 = s u p a ：b e o , l i m s u p 等刊n 一 i v i oj lf = i n f a ：3 s o , l i 。m 。s 。u p 竺雠= 。) n _ i u l ojjp 显然8 0 岛 s l m 2 0 0 s e y o u c o e l l 第1 2 页，共2 6 页 毕业论文 第二章递归集的h a u s d o r f f 维数 2 2 已有的结果及几个引理 在以上假设下，我们给出几个相关引理，并引入关于递归集已有的相关结 果 引理2 , 2 1 在( 2 2 ) 式中，若存在e 0 0 使其成立，则对任意的 0 ( 2 2 ) 式仍然成立 证明设p 1 ，s s + ，由勒贝格测度的单调性，对任意e 0 ， 有 m d ( 【s ) 叫m d ( k 5 ) 5 将小适当平移后，就有a c p a p 于是 m d ( k 【s ) 5 p 4 m d ( k 【s ) 叫9 也即 m d ( 【s 1 ) 6 扫m d ( s 1 ) 6 ( 耳【s 1 ) p 。 设存在数印使( 2 2 ) 成立，我们不妨利用a o 的上确界的定义来证明我 们有 ，i 。m 。i 。n f ! 篱= o o ，。a 乜。， 那么对于每一个固定的a ，由于( k o ”( s ) 】) “ v ( k o “( s ) ) 。， 从而 m d ( k p “( s ) 】) 。m d ( p k o “( s ) 】) 。， 因此，有 ，i m i n r 气焉萨一 t i m i n r 麴鞴萨一 s l m 2 0 0 5 e y o u c o r n 第1 3 页盐2 6 页毕业论文 第二章递归集的h a u s d o r f f 维数 由于p 1 、且为常数，则 - i m i n f 等一 也就是说，o p 也使( 2 2 ) 成立，所以，( 2 2 ) 式中只要存在某个翮 0 使其成立，则对任意的e 0 ，( 2 2 ) 式依然成立 同理，可证明( 2 2 ) 式用下确界的定义证明时同样成立 _ 引理2 2 2 【6 设b ：则一彬为线性映射，其特征值为a l ，a 2 ，h 假 设1 ) 、l l l a 2 l i a d | 】则对于任意a l 沁1 ，存在常数b 1 ，使得对于 所有的 础，有i i l k ( v ) l i b n = 1 ，2 ，并且对足够大的礼，有 l i l ；如) a “i l ”| | 目i 理2 2 3 2 ，7 ，8 1 若s e ，则k 0 ( 日( s ) ) = l 8 ( s ) 目l 理2 2 4 【2 ，7 ，8 若i t ，u s + ，贝0 ( u u ) = k o ( u ) u ( ) + ，( u ) ) 引理2 2 5 当厶是相似映射时，如果存在e 0 ， 使得 。 f 扎i ，存在b o 1 ，使得对于所有的可r d ，有 i i l y ( v ) i i b o a 3 现在从球族 b ( 可，r ) ，1 j i o “( 圳e ) 中挑出厶 个球 日( 壤，r + e ) ) 1 ( 。) ，满足： ( i ) 若k f ，则d ( 毪，毪) 3 b o ( r + e ) ， ( i i ) 若砩毛q ，则一定存在下标如，使得d ( 礁，觋。) 3 b 0 ( r + e ) 从而有 ( s ) i o “( s ) i e ub ( 残，4 6 0 ( r + e ) ) dub ( 霹，r + e ) ， k = l j = l s l m 2 0 0 5 e y o u c o i n 第1 6 页，共2 6 页 毕业论文 卵 ， + 譬 e w u 赳 p = 、j印叮p 第二章递归集的h a u s d o r f f 维数 由( 2 - 5 ) 式，有 厶( s ) m d ( b ( o ，4 b o ( r + ) ) ) m d ( ug 、_ - r ，n 。，4 b o ( r + e ) ) ) ， 1 日“( 3 ) i e、 m a ( ub ( 写，r + e ) ) 观( 南妒( 5 ) 胪( 2 - 6 ) 设0 o t a o 1 ，由( 2 - 2 ) 式，得 m d ( k 【酽( s ) 】) i o “( 酬量一o o ， n o o ( 2 - 7 ) 设 。 p r = ( 口聃d 魄锱) 崦m i ， 则有 曲幽一 a l o g a e - i - 磐谢， 亦即 。g 1 ；j i ：；d - 。g a 尝 因此 掣 研1 蚤一, - u ( 。p 纛y 。i l 删) _ ( 2 _ 9 ) 选择k o 使得e j l ：v 。( u o f 在上述j 砒个和式中为最小，由( 2 8 ) 和 l t o ( v d v o f 2 - 9 ) ，有 i i 畔瓦 选 鱼 h f 肌j 沁i ( p 一曲o x , i v 。i x d l ( p d ) 0 醅a 护 f a l ，a d i 。l a dj ( p 一4 ) t o o 瑶a 0 p i l f 。( u o i ， 驴姒) 矿。 l 铲( 以) l 一 ( 2 一1 0 ) 如果铲m ( 仉a 肭x i l 铲( 以) j ( r 删冰那么由( 2 - 1 0 ) 得 驴险c 警卜赭端加 s l m 2 0 0 5 e y o u a o i i l第1 8 页，共2 6 页 毕业论文 第二章递归集的h a u s d o r f f 维数 否则， 上0 ( 以) l ( 巩) 。y * 。为某一递归集硒( t ) ，t e 的一个( r + e ) n 护一 覆盖族，从而我们可以继续上面的过程由于 u j 是有限族，从丽经过有限步 后，存在一个常数c 0 ，使得 f 矾f ，芝c 0 由于p f 是任意选择的，我们有 a i m h m ，a l o g a e + 姜d ，。g 铡) k 酬 同样，由于n 0 ，使得1 骢i 。n f 盟筹焉严 o ； ( b ) d i m h k o ( s ) = ( 1 0 9 a e + 垒1 l o g 蹦) l o g i , , i 1 证明( a ) = ( 6 ) 由于对任意5 0 ，有 i 口”( s ) i s、 m d ( k 妒( s ) 】) = 嘞( u ( k w + ，( sn - 8 “i _ 1 ) ) )