北师大版选修4-5 1.2 2 绝对值不等式.ppt

第一节绝对值不等式,三年16考高考指数:1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：|a+b|a|+|b|;(a，bR)|a-b|a-c|+|c-b|.(a，b，cR)2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|c;|ax+b|c;|x-c|+|x-b|a.,1.利用不等式的性质考查函数的单调性、比较实数的大小、求函数的最值是考查的重点.2.利用绝对值的定义及绝对值的几何意义解含有绝对值的不等式或证明不等式是考查的重点也是难点.3.常以填空题或解答题的形式出现，属中低档题.,1.绝对值不等式(1)定理：对任意实数a和b，有|a+b|_.(2)几个结论：对任意实数a,b,c有|a|-|b|_;|a-b|_;|a+b+c|_.,|a|+|b|,|a+b|,|a-c|+|c-b|,|a|+|b|+|c|,【即时应用】(1)思考：|a+b|与|a|-|b|,|a-b|与|a|-|b|、|a|+|b|之间有什么关系？提示:|a+b|a|-|b|,|a|-|b|a-b|a|+|b|.,(2)已知|a|b|,则m,n之间的关系是_.【解析】|a|-|b|ab|a|+|b|,m1n,即mn.答案：mn,2.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集,x|-axa,x|xa或x-a,xR|x0,R,(2)|ax+b|c(c0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法|ax+b|c_;|ax+b|c_.,-cax+bc,ax+bc或ax+b-c,【即时应用】(1)思考：不等式|x-c|+|x-b|a的几何意义是什么？提示：不等式|x-c|+|x-b|a的几何意义是：数轴上满足到坐标为c的点的距离与到坐标为b的点的距离之和大于或等于a的点的坐标的取值范围.(2)|2x-1|3的解集是_.【解析】即不等式|2x-1|3的解集是x|-1x2.答案：x|-1x2,绝对值不等式的解法【方法点睛】1.解绝对值不等式的基本方法有(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(2)当不等式两端均为正时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解.,2.几种绝对值不等式的等价形式解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不等式(组)，根据式子的特点可用下列公式进行转化.(1)|f(x)|a(a0)f(x)a或f(x)-a;(2)|f(x)|a(a0)-af(x)a;(3)|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)-g(x);(4)|f(x)|g(x)-g(x)f(x)g(x);(5)|f(x)|g(x)|f(x)2g(x)2.,【例1】(1)不等式|2x-1|1的解集为_；(2)不等式|x2-9|x+3的解集为_；(3)(2011江西高考)对于xR，不等式|x+10|-|x-2|8的解集为_.【解题指南】(1)转化为不含绝对值的不等式；(2)利用绝对值的定义或|f(x)|a(a0)-af(x)a去掉绝对值符号或利用数形结合思想求解；(3)不等式的左边含有两个绝对值符号，可以采用“零点分段法”.,【规范解答】(1)由|2x-1|1得-12x-11,解得0x1,原不等式的解集为x|0x1.(2)方法一：原不等式或不等式组或3x4.不等式组原不等式的解集是x|2x4或x=-3.,方法二：原不等式等价于原不等式的解集是x|2x4或x=-3.,方法三：设y1=|x2-9|,y2=x+3(x-3)，由|x2-9|=x+3，解得x1=4,x2=-3,x3=2.在同一坐标系下作出y1,y2的图像.从图中可看出使y1y2的x的取值范围是x=-3或2x4.原不等式的解集为x|x=-3或2x4.,(3)当x-10时，原不等式变为：-x-10+x-28,即-128，不符合要求；当-10x2时，原不等式变为：x+10+x-28,即2x0,解得0x2;当x2时，原不等式变为：x+10-x+28,即128,恒成立，x2.综上所述，原不等式的解集为x|x0.,答案：(1)x|0x1(2)x|x=-3或2x4(3)x|x0,【互动探究】若将本例(3)中“|x+10|-|x-2|8”改为“|x+10|+|x-2|20”,则不等式的解集为_.【解析】当x-10时，原不等式变为-x-10+2-x20，即-2x-820，即x-14,故-14x-10;当-10x2时，原不等式变为x+10+2-x20,即1220,恒成立；,当x2时，原不等式变为x+10+x-220，即2x+820,即x6.2x6.综上所述，原不等式的解集为x|-14x6.答案：x|-14x6,【反思感悟】用“零点分段法”解|x-a|+|x-b|c或|x-a|+|x-b|c型不等式的一般步骤为：(1)令每个含绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；(2)将这些根按从小到大排序并把实数集分为若干个区间；(3)由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出解集；(4)取各个不等式解集的并集求得原不等式的解集.,【变式备选】(1)不等式1|x-2|3的解集为_；(2)不等式|x+3|-|2x-1|+1的解集为_；(3)(2011江苏高考改编)不等式x+|2x-1|3的解集为_.【解析】(1)方法一:原不等式等价于不等式组解得-1x1或3x5,所以原不等式的解集为x|-1x1或3x5.,方法二:原不等式可转化为:由得3x5，由得-1x1,所以原不等式的解集是x|-1x1或3x5.,方法三:原不等式的解集就是1(x-2)29的解集,-1x1或3x5.原不等式的解集是x|-1x1或32.综上可知：原不等式的解集为x|x2.,(3)原不等式可化为解得所以原不等式的解集是答案：(1)x|-1xa的解集为R，a的取值范围为aa的解集为R，a的取值范围为a3;综上可得|x+1|+|x-2|3,所以只要a3,即实数a的取值范围是(-,3.答案：(1)(-,-4)(2)(-,3,【互动探究】若本例(1)中不等式有解，则a的取值范围是_；若不等式的解集为，则a的取值范围是_.【解析】由本例(1)的解析过程可知，-4|x+1|-|x-3|4.故若不等式|x+1|-|x-3|a有解，只要a比|x+1|-|x-3|的最大值小即可，即aa的解集为，只要a不小于|x+1|-|x-3|的最大值即可，即a4.答案：am的解集是，则f(x)m恒成立)也是不等式恒成立问题，要注意区别.,【变式备选】已知函数f(x)=|x-a|.(1)若不等式f(x)3的解集为x|-1x5,则实数a的值为_；(2)在(1)的条件下，若f(x)+f(x+5)m对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围为_.【解析】(1)由f(x)3得|x-a|3,解得a-3xa+3.又已知不等式f(x)3的解集为x|-1x5,所以解得a=2.,(2)方法一：当a=2时，f(x)=|x-2|.设g(x)=f(x)+f(x+5),于是所以当x-3时，g(x)5;当-3x2时，g(x)=5;当x2时，g(x)5.综上可得，g(x)的最小值为5.从而，若f(x)+f(x+5)m，即g(x)m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(-,