（信号与信息处理专业论文）求解微波电磁场反问题的神经网络方法.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 微波电磁场反问题是微波工程中的一个重要课题，是电磁学反问题中的个重要分 支，是人们渴望深化认识电磁规律的重要体现。当电磁学要深入解决工程上的实际问题 时，就必然会遇到各种各样的反问题。然而传统求解微波电磁场反问题的方法都存在计 算量大、需要掌握反问题模型的先验知识等缺点，因此在实际工程中也就无法得到广泛 的应用。本文针对传统微波电磁场反问题求解方法的上述缺点，提出了基于人工神经网 络的微波电磁场反问题求解法。由于人工神经网络具有自学习、自组织、模拟高度复杂 非线性的能力，使用它来求解微波电磁场中的反问题，无需建立相应问题的数学模型， 只要有体现该模型问题的输入输出样本数据，网络通过自学习，就可模拟出相应的“计 算模型”。而且网络极强的容错能力和良好的鲁棒性，既使个别数据出错，也不会对整 个结果产生影响。人工神经网络的这些特点，为其在微波电磁场的优化设计和控制问题 中的应用提供了的广阔的前景。 本文针对多波导力日载的矩形谐振腔系统激励源的反演问题，采用基于电磁场算子本 征函数展开的解析法进行相应电磁场问题的正向计算，以期获得精确的网络训练样本数 据和测试样本数据。选取具有二阶收敛速度且无需直接计算目标函数海森矩阵的网络训 练算法( _ 共轭梯度法、自调节交尺度法) 加速网络的收敛速度、防止陷入局部最优。提 出了一种快速有效的一维线性搜索方法对学习步长进行寻优处理以保证该训练算法的有 效性。 本文最后通过反演实例验证了基于人工神经网络的微波电磁场反问题求解法的有效 性。该方法克服了传统方法的计算量大、过程复杂等缺点，而且其求解过程具有通用 性，只要待求解的微波电磁场反问题的数据在已训练样本数据空间的邻域内，该方法都 能够精确的计算出结果，这与传统的方法只能求解单一数据形成鲜明的对比，更加体现 了用人工神经网络求解微波电磁场反问题的优越性。 关键词：电磁场反问题；并矢格林函数；共轭梯度法；变尺度法 求解微波电磁场反问题的神经网络方法 s o l v i n g t h ei n v e r s ep r o b l e mo fm i c r o w a v ef i e l db a s e do nt h ea r t i f i c i a l n e u r a ln e t w o r k a b s t r a c t f o rt h es a k eo fl a r g ec o m p u t a t i o na n dg r e a tc o m p l e x i t yo f u s i n gc o n v e n t i o n a la p p r o a c ht o s o l v et h ei n v e r s ep r o b l e mo fm i c r o w a v ee l e c t r o m a g n e t i cf i e l d , i nt h i sp a p e r , w ew i l la p p l y a r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r kt 0s o l v et h i sk i n d0 f i n v e r s ep r o b l e m d u et ot h en o n - l i n e a rn a t u r eo f t h ea r t i f i c i a la n d p a r a l l e ll r e a t m e n to nd a t a , t h er e s o l u t i o no f t h em i c r o w a v ee l e c t r o m a g n e t i c f i e l di n v e r s ep r o b l e mc a l lb em a d ew i t h o u tc a l c u l a t i o nm o d e l sb u t o n l yw i t h t h es i m p l ec o u p l e d a t aa b o u tt h e i rm i c r o w a v ef i e l ds y s t e m , t h em o d e lc a l lb es i m u l a t e db yt h es t i r - s t u d yo ft h e n e t w o r k , m o r e o v e r , t h a n k st ot h er o b u s tc h a r a c t e ra n dr e s i s t a n tb o t h e r e dc a p a c i t yo ft h e n e t w o r k , t h er e s u l tw i l ln o tb eb o t h e r e de v e ni ft h e r ea r es o m em i s t a k e sh d a t a t h ea b o v e f e a t h e r so ft h ea r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r kw i l lo f f e rab r o a df u t u r ei nt h ea p p l i c a t i o no ft h e m i c r o w a v e e l e c l r o m a g n e t i cf i e l di n v e r s ep r o b l e m t oo b t a i nt h ea c c u r a t ed a t aw h i c hi ti su s e dt ot r a i nt h ea r t m c i a ln 涮n e t w o r k , w e a p p l y t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n a p p r o a c hb a s i n g 0 1 2t h e o p e r a t i o n se i g e n f u n c t i o n t os o l v et h e c o m p u t a t i o no f t h em i c r o w a v e e l e c t r o m a g n e t i c d u r i n g t h et r a i n i n gp r o c e s s ，w ew i l lh a v et h e c o n j u g a t eg r a d i e n tt ot r a i na r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r ka n d s e l e c tt h el e a r n i n gr a t eb yo u rw a yt o e n s u r et h ev a l i d a t i o no f t r a i n i n ga l g o r i t h m i nt h e p a p e r , w e w i l lc h e c k u p t h ei n v e r s ep r o b l e ms o l u t i o nw h i c hi so b t a i n e db yt h ew a y o fa r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r kb ys o m en u m e r i c a le x p e r i m e n t b yt h ee x p e r i m e n tr e s u l t , w ec a n i n c l u d et h a ts o l v i n gt h ei n v e r s ep r o b l e mo f m i c r o w a v e p r o b l e mb a s i n g 0 1 1t h ea r t i f i c i a ln e u r a l n e t w o r ki sm o r ea c c u r a t e 也a nt h et r a d i t i o n a la p p r o a c h k e y w o r d s ：t h e i n v e r s e p r o b l e m o f e l e c 缸o m a g n e f i c ；d y a d i c g r e e n s f u n c t i o n ；c o n j u g a t e g r a d i e n tm e t h o d ：v a r i a b l e m e t r i cm e t h o d 独创性说明 作者郑重声明：本硕上学位论文是我个人在导师指导卜进行的研究 工作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地力。 外，沦文巾不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 大连理r 大学或其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我l | 司】作 的同，占对本研究所做的员献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢 意。 ，、 写 作者签名：型，堡堑日期：趔坠兰。皇l 大连理工大学硕士学位论文 l 绪论 1 1 本课题的提出与意义 近期随着微波技术和微波器件的广泛应用，有关微波电磁场优化设计和控制问题的 研究在一定程度上引起人们广泛的关注。例如在微波加热方面，人们期望设计的微波加 热器具有良好的加热性能；在微波治疗方面，人们希望微波治疗仪能根据提取的生物电 位信号判断出病因、病情程度等信息，为进一步正确治疗提供保障；在微波天线设计方 面，人们要求天线阵列发射波束具有强方向性、辐射效率高、能消除噪声信号、抑制干 扰的特点。我们发现解决上述实际工程问题有一个共同点那就是根据结果寻找原因，或 者说根据现象发现本质，按照系统论的观点就是根据输出反演输入，从实现角度看都需 要逆向计算。自2 0 世纪6 0 年代以来，在地球物理、生命科学、材料科学、遥感技术、 模式识别、信号( 图像) 处理、工业控制乃至经济决策等众多的科学技术领域中，也都 提出了此类问题 卜4 ，3 1 ，通称数学物理反问题。由于此类问题有着广泛而重要的应用 背景，其理论又具有鲜明的新颖性与挑战性，因而吸引国内外许多科学工作者从事该项 研究 1 7 - 2 0 ，3 6 j 。 本文研究的微波电磁场反问题是属于电磁逆问题的研究领域。它是由“果”反推 “园”，即已知或部分已知方程的解反求方程中的未知成分包括激励源和非齐次边界条 件。在工程技术各领域中，尤其以待求激励源这样的反问题最常遇到，因为从数学角度 看，非齐次边界条件也可以等效为相应的激励源。人们研究微波电磁场反问题主要目的 就是期望探索到一个法则，使人类能够利用它对微波器件、微波电路作定量改进，达到 进一步优化和控制微波系统的目的。从实际应用角度来看，可以概括的说，研究微波电 磁场反问题主要有两种不同的意义。 ( 1 ) 通过深入研究微波电磁场反问题，能够使人们了解电磁物理过程过去的状态或辨 识出其传播介质特性、电磁传播速度等参数，为进一步预测电磁系统的目的服务。 ( 2 ) 通过深入研究微波电磁场反问题，能够使人们能够通过干预当前的状态或调整 某些参数去影响或控制该微波电磁场系统，以使其在未来达到人们所预期的状态。 1 2 微波电磁场反问题的数学模型 近年来，随着电磁场传统计算方法的不断改进和新方法的提出，促使计算电磁学领 域取得突破进展，使它成为电磁学中的一个重要分支。计算电磁学的主要任务就是计算 求解微波电磁场反问题的神经网络方法 各种给定边界条件下的麦克斯韦方程组。对于本文所涉及的微波电磁场反问题，它相应 的正问题可以描述为： v v 五扩) 一k 2 五扩) = i o a , u j ( f ) 营( f ) = h x ，i g 豆( f ) = 0 ，i 乏 其中r 2 = 出2 肛，占分别是介质磁导率和介电常数，国是激励源相的频率， q ，q ，分别代表齐次边界面和非齐次边界面，h 代表边界面外法向的单位向量，尹代 表三维场点的坐标，豆( 芦) 是一个矢量电场，e & 代表非齐次边界面上的电场状态。 如果己知非齐次边界上的电场状态、激励源的值、介质特性和边界形状，那么正问 题的主要任务是计算域内的电场。相反的，如果已知臼，q 2 所包围区域的电场豆( ，) ( 实 际情况中不是已知电场丘( f ) 的分布函数，而是给定空间离散点上的值) 反求激励源的参 数( 振幅、相位和频率) 或者非齐次边界上的电场状态、介质特性和边界形状问题称之为 反问题。当谈到反问题时，人们马上就会问：什么是反问题? 反演成什么? 粗略的说， 反问题是相对于正向问题而言的。若在两个问题中，一个问题的表述或处理涉及到或包 含到有关另一个问题全部的或者部分的知识，我们称其中一个为正问题，而另一个就为 反问题。显然我们称那个先前被研究的相对充分或完备的问题为正问题，而与此相对应 的另一个问题为反问题。因而人们还有更深层的约定：在两个相互为逆的问题中，如果 一个问题在h a d m a r d 意义下是非适定的( 后文将给出它的定义) ，特别是问题的解不连续 依赖于原始数据，则称其为反问题。因此反问题又与非适定性紧密相连。 为了简化下文微波电磁场反问题求解的推导过程，我们把方程( 1 1 ) 所描述的正向问 题的数学模型写成算子的形式。 az=砧 ( 1 2 ) 其中算子a 代表相应的微分方程和边界条件，z 代表算子a 的作用对象，h 是z 相应的 响应。那么已知算子a 和的条件下，z 可以表示为如下公式： z = a 一1 一2 ( 1 3 ) 大连理工大学硕士学位论文 其中a 。为a 算子的逆算子。一般的，当g ，仍为不规则边界形状时，公式( 1 3 ) 所 描述算子的逆算子没有解析的表达式或者不容易找到解析表达式。而当q ，q 为规则边 界形状如矩形体的表面时，根据本文第二章的内容，算子a 。就有解析表达式。进而 营( 力就可以写成如下公式： 豆( 力= f & 弛卢( 尹，尹。) 了扩1 ) 西。一f v 否( f ，f ) 是瓦( 尹。) 西 ( 1 。4 ) y q 其中，代表场点坐标，f 代表源的位置坐标，否( ，f 。) 是矩形微波谐振腔的并矢格 林函数，它只与谐振腔的尺寸有关。如果求解区域内没有激励源了( f ) ，则豆( 芦) 就可以 简化成如下公式： 丘( 尹) = 一j v 弓( i ，芦。) h 黾( 芦+ ) d s q 记露( ，f 。) = 一v 舀( 芦，尸) ，牙( ，) = 自最( ，) ，则式( 1 5 ) 相应的算子方程为： 豆( 芦) = ，爱( 芦，产。) j ( 尹。) 出 皿 ( 1 5 ) ( 1 6 ) 此式是本文的研究对象。给定非齐次边界上的电场条件牙( f ) ，通过上式我们就可 以计算区域内部的电场，这是正问题，豆( i ) 是贾( 尹。) 的线性函数。它涉及到积分问题。 采用数值计算方法求解积分问题都是数值稳定的，我们之所以称之为正问题也是因为它 求解简单、数值稳定等原因。那么与式子( 1 6 ) 相对应的反问题就是已知区域内部的 e ( f ) 反演非齐次边界上的电场状态贾( f ) ，牙( 尹。) 不是豆( 尹) 的线性函数。明确一点，也 就是求第一类f r e d h o l m 积分方程的解，它涉及微分问题，因此是数值不稳定的，是相 对困难的研究课题 3 5 。 微波电磁场反问题的例子不胜枚举，从实际应用角度来看，可以概括的说，有两种 不同的动机驱动着微波电磁场反问题的研究。 ( 1 ) 想了解物理过程过去的状态或辨识其参数( 以便为预测的目的服务) 。 一3 一 求解微波电磁场反问题的神经网络方法 ( 2 ) 想了解如何通过干预当前的状态或调整某些参数去影响( 或控制) 该系统，以 使其在未来达到人们所预期的状态。 但是不管是哪一种动机，要实现其目的都离不开微波电磁场反问题的数值计算。因 此，我们可以这么说，反问题就是要定量地探求在已经观察到的效果的背后它的动因是 什么以及对于期望达到的效果而言，应当预先施加何种措施或控制。 通过分析我们得知，求解微波电磁场反问题等效于求解式( 1 6 ) 所对应的积分方 程。而该积分方程是属于第一类f r e d h o l m 积分方程，它是不适定的。关于“适定” ( w e l l - p o s e d ) 和“不适定”( i 1 1 p o s e d ) 的概念是h a d a m a r d 为了描述数学物理问题与定解 条件的合理搭配于2 0 世纪初引入的 4 3 。设所，胁，分别是空间f ，【，的度量， a ：f 寸u 是线性或非线性映照。为了描述方程( 1 6 ) 的不适定性问题，我们记( 1 6 ) 为 式( 1 2 ) 的形式： 4 z 2 摊豆扩) = l 露( 尹，尹) 霄( 尹。) d s ( 1 7 ) 其中a 代表积分算子，z 代表边界电场的状态，l f 代表域内的电场。 定义1 1 称( 1 7 ) f q 题或方程为适定的，如果它同时满足下述三个条件【4 8 ： ( 1 ) v u u ，都存在z f 满足方程( 1 7 ) ； ( 2 ) 设“j ，u ，若为，z 2 分别是方程( 1 7 ) 对应于l t 2 的解，则有； ( 3 ) 算子方程的解答相对于对偶空间( f ，) 而言是稳定的，即： 0 ，劭0 ) 0 只要满足如下： 便有 助 ，) ) ( 吩，吩e p f ( 孑i ，z 2 ) 0 ( 1 1 2 ) 当参数。较小时与第一类算予方程( 1 7 ) 是相邻近的。而且此时的算子方程( 1 1 2 ) 对于 任何a 0 都是适定的。根据变分原理，可知算子方程( 1 7 ) 相对应的泛函表达式 m ( z ，) 如下： m ( z ，u ) = | | a z g i j 2 而算子方程( 1 1 1 2 ) 相对应的泛函为 m 8 ( z ，g ) = a z ui 2 + o z f fzi 2 则极小化问题 m i n m 。( z ，u ) a 0 z f 、。7 当参数o t 较小时与下述问题 mi nm ( z ，“) ：f 、 7 7 一 ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) 求解微波电磁场反问题的神经网络方法 是相邻近的。显然从逼近的角度看，参数。不能取得太大，否则辅助问题将与原问题相 差太远。然而从数值稳定性的角度来考虑，参数a 又不能取得太小，否则将由于把原问 题的不适定性“继承”得太多而难于处理。于是剩下的问题就是如何把参数“选的大小 适当以及如何选择该参数的原则，是否存在“最优参数”。 至此，我们亦可粗略地看出：如何构造“邻近问题”即如何构造正则算子，以及如 何决定相应的合适的参数o ，将成为正则化理论或策略的两大核心问题。只是随着场合 不同( 例如对卷积型积分方程，是在时域中处理还是变换到频域中处理) ，所采用的工 具不同( 例如，是采用变分方法，还是采用谱分析方法) ，其实施方法和形式各有不同 罢了。得到算子方程等效变分的泛函是求解微波电磁场反问题的第一步，接下来就是要 求泛函的极小值。使泛函取极小值的z 便是算子方程的解。虽然各种方法不尽相同，但 其求解思路都是基本相同的，都是在某个参数子空间里，寻找一个最优的点，使它逼近 原问题的解。以微波电磁场方程( 1 7 ) 所描述的算子方程的邻近方程( 1 1 1 ) 为例，简单 说明其求解的基本思路。 ( 1 ) 将( 1 1 2 ) 所对应的变分方程离散化，采用的方法是将碧( f + ) 在某一完备的矢量函 数空间中的子空间展开，写成如下的形式： 牙( f ，f ) = q ( f ) 磊( i ) 其中为子空间的维数，q ( f ) 为展开函数的系数，它由下式计算 q ( f ) = ( 牙( 尹。，f ) ，币，( 产) ) ， ( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) 其中是t 标量或矢量，它的值决定了展开系数的值，就本文的问题来说，f 可能是激励 源的幅度系数或者激励源的位置参数等。 ( 2 ) 将式( 1 1 7 ) 代入式( 1 1 4 ) ，重新写出变分泛函的表达式如下： 胪( f ，叻爿l ( 3 ) 不同的方法，对上式处理方式就不尽相同。 8 一 ( 1 1 9 ) 大连理工大学硕士学位论文 基于上述思想，目前发展的微波电磁场反问题的求解方法大体上可以分为两大类： 一类直接法。直接法首先选定t ，再将式( 1 1 9 ) 对d ( f ) 求导，因为目标函数与q ( f ) i 。f 在 着线性关系，所以求导后便得到一组关于q ( f ) 的线性方程组，通过求解线性方程组得 到一组系数q ( f ) ，把所求q ( f ) 的代入式( 1 1 7 ) 就求出微波电磁场反问题的解。但是这种 方法强烈的依赖于初始模型t 的选择，只能说是初始模型附近的最优解。另一类为搜索 法。而搜索法又可分为两类：一类为确定性方法如梯度法、牛顿法、共轭梯度法、变尺 度法 1 0 1 3 ，另一类为随机性方法或称全局性方法如模拟退火算法、遗传算法、禁忌 搜索算法 1 4 1 6 。确定性反演方法又称为局部最优方法。确定性反演方法一般需要进 行迭代改进，从某一初始模型出发，按一定思想在初始模型附近进行搜索，得到模型的 修正量，根据修正量来修改原模型得到新模型，然后再在新模型附近进行搜索，再得到 修正量再修改模型，又得到新模型，如此反复迭代，不断搜索，直到满足某一个判别迭 代已经收敛的标准( 例如二次迭代中模型的修正量小于某一给定的值等) 为止，此时得到 的解为满意的解。各种确定性方法的共同特点是在每一次迭代搜索修改旧模型，得到新 模型所遵循的准则相同，即新模型所对应的目标函数值必定比旧模型所对应的目标函数 值要小( 若求极小值对应的解) 或大( 极大值对应的解) ，起码是不变。各种方法之间的差 异仅在于每次迭代时向目标函数值增大( 或减小) 方向搜索的方式不同而已。梯度法是基 于目标函数的一阶导数信息；牛顿法是基于目标函数的二阶导数信息；共轭梯度法实质 上只利用了目标函数的一阶导数信息，但算法的性能却等价于牛顿法，而且不需要求目 标函数的海森矩阵及其逆矩阵，计算量比牛顿法小很多：变尺度法是一种拟牛顿法，它 的提出是为了避免直接求目标函数的海森矩阵及其逆矩阵，而是采用迭代的方式逐渐逼 近目标函数的海森矩阵及其逆矩阵。由于上述这些方法都是基于目标函数的导数信息， 因而采用上述确定性反演方法求解微波电磁场反问题得到的所谓满意的解并不一定是我 们欲求的“最佳”解。其意义仅仅是指在初始模型附近的最好解，实际上是初始模型附 近某一极值所对应的解。因此确定性反演方法强烈地依赖于初始模型。若初始模型选取 的不恰当，则所求得解答只能是对应于初始模型附近局部极值处的解，即陷人局部极 值。只有当初始模型位于整体极值附近时，才有可能求得整体极值所对应的在某种意义 下的“最佳”解。能否恰当地给出初始模型完全在于人们对模型的先验了解，即先验知 识和先验信息。尽管确定性方法有上述局限性，目前仍然是解微波电磁场反问题中用得 较多的方法。然而随着科学技术对解决非线性、多参数问题的需求，上述方法在某些方 面己经不能满足要求。因此必须研究新的反演方法。鉴于确定性方法的缺点，广大科学 工作者一直都在致力于随机性反演方法的研究，也就是全局性反演方法研究。全局性反 一9 求解微波电磁场反问题的神经网络方法 演方法吸取了生物进化、自然现象中的一些规则应用于求解微波电磁场反问题的过程 中，因此是求解各种反问题的根本方法。由于这种反问题求解方法的研究起步较晚，困 难较大，故与确定性反演方法相比还比较落后。目前发展出来的全局性反演方法种类不 多( 可以说屈指可数) ，特别是能在实际工作中使用的方法更不多见。但是全局性反演方 法的研究代表了非线性反演研究的方向，更也代表了反演研究的方向，是反演研究的最 前沿课题。因此只要有一种新的完全非线性反演方法问世，马上就会得到广大反演工作 者的注意，甚至整个科学技术界的注意。一种实用的全局性反演方法可以迅速地在自然 科学的各个领域中流行开来，例如基于模拟退火算法的蒙特卡洛全局性反演方法。但是 以模拟退火算法、遗传算法、禁忌搜索算法为代表的全局性反演方法，虽然比确定性的 反演方法更精确，但是它是以大计算量为代价的。而这问题对于微波电磁场反问题就显 得格外突出，因为电磁场的正向计算已经相当耗时，所以就导致它们很难广泛的应用于 实际微波工程。 总结上述方法，不管是直接法还是确定搜索法，它们都依赖于初始参数的选取，而 且它们都是局部最优的。要想取得全局最优的方法，就得采用非基于导数信息的随机搜 索算法如模拟退火算法、遗传算法。然而由于随机搜索算法复杂、计算量大的缺点，限 制了这类全局陛算法的应用。能不能找到一种新的方法，它既能够克服确定性方法局部 优的缺点又能够避开全局性方法大计算量的问题呢? 在力学领域里，一些学者采用人工 神经网络方法求解力学系统中的反问题并取得一定的成效 2 1 2 4 1 。本文就是在吸收了前 人思想的基础上，利用人工神经网络自身的优点来研究和解决微波电磁场反问题。 1 4 本文主要的研究内容与结构安排 常规的微波电磁场反问题求解方法，必须首先提出反问题的模型和算法，然而由于 在电磁学反问题中，其研究对象的复杂性，要想得出其数学模型，必须对其研究对象作 一定的假设或忽略一些影响的因素。试想在建立算法模型时已与实际模型不符，想要算 出正确的解是不可能的。再就是反问题多为非线性、非适定问题，其解具有非唯一性， 使计算结果误差太大，因此许多反问题的求解显得非常困难，甚至无法求解。人工神经 网络是一个高度非线性的模型，使用它来求微波电磁场反问题，无须知道实际的模型结 构。只要有描述该实际问题得输入输出数据样本对，网络通过自学习，不断调整网络的 连接权值，学习结束后，网络的权值系数矩阵隐含着实际系统的输入输出之间的映射关 系。基于误差反向传播网络进行微波电磁场反问题的求解，只要有大量的体现其电磁学 规律的输入输出关系的数据样本，将微波电磁场系统的激励源作为误差反向传播网络的 输出，而将微波电磁场系统的响应豆( 尹) 作为该网络的输入，网络通过学习最终逼近输 1 0 大连理工大学硕士学位论文 入、输出样本数据，建立起求解微波电场反问题的神经网络计算模型。为了实现求解微 波电磁场反问题，本文的主要工作包括以下几个部分： ( 1 ) 进行微波电磁场正向问题的计算。通过正向问题的计算，将得到一定数量的体 现微波电磁场系统输入输出关系的样本。计算方法是采用基于算子本征函数展开的解析 法，并采取相应的改进措施来提高计算精度和减少计算时间。 ( 2 ) 提出了基于一种b p 人工神经网络的微波电磁场反问题分析方法，它的主要特点 包括：网络模型的非线性本质，可实现复杂微波电磁场系统的非线性映射：而且这种映 射是通过网络的学习自动实现的，与我们研究的反问题的复杂过程无直接关系；我们仅 需要提供给网络反映实际微波电磁场的输入输出数据，网络就可以达到近似模拟一个真 实的微波电磁场系统，从而求出反问题的解；信息存储的分布式，对少量残缺数据、矛 盾的数据都有良好的容错性，这就使得即使个别数据出错，也不会对最终的结果产生严 重影响；而且网络可以不断学习，使求解范围逐渐扩大。 ( 3 ) 针对传统的b p 神经网络算法中存在的不足，本文采取相应的改进措施。主要 包括：采用一种新的误差性能函数，它是网络所有训练样本的输出值( 通过网络计算得 到) 和样本值均方差的加权之和。它对训练样本中样本值较小的数据权值较大，而对训 练样本中样本值较大的数据权值保持为i 。这样的改进使样本值较小的数据也得到充分 的学习，使收敛后的网络更接近于真实的系统；采用一种快速有效的变步长学习方法， 避免了传统的一维搜索方法搜索不精确、耗费时间的缺点，保证我们的网络能在每一步 迭代之后，其性能都得到相应的改善。 ( 4 ) 设计出微波电磁场反问题的神经网络反向计算模型。选取只含一个隐含层的三层 网络，来减少网络的训练时间和陷入局部最小点的概率；根据实验数据结合一定的规 则，选取适合于实际问题的隐含层单元数目，保证收敛后的网络不仅对训练样本集有高 的逼近度，而且对未知的样本数据还有相当好的泛化性能，实现对未知数据良好的内插 和外延。 本文后续的章节安排为如下： ( 1 ) 第二章是电磁场的数值计算，通过数值计算，我们获得网络的样本数据。计算的方法 采用基于算子本征函数展开的解析法，并采取相应的措旌的使其能在计算机上编程实 现。 ( 2 ) 第三章是基于神经网络的微波电磁场反问题反演法，具体的内容就是如何设计一个网 络，实现本文的微波电磁场反问题的逆向计算。 ( 3 ) 第四章是结论与展望。首先对本文所作的工作进行总结，然后给出本文的结论，并指 求解微波电磁场反问题的神经网络方法 出有待深入的工作。 1 2 大连理工大学硕士学位论文 2 微波电磁场正向计算的数值实现 2 1 引言 微波电磁场的数值计算不仅是微波电磁场反问题的求解的基础，更是微波电磁场反 问题求解成败的关键。由于麦克斯韦方程是满足电磁场普遍现象的基本方程组，所以对 所有电磁场问题解决的最终要求是得到满足实际边界条件的麦克斯韦方程的精确解或者 封闭形式的解析解 3 3 。但是现代的电磁场工程中，由于系统的形态、构成材料、表面 的孔和缝、内腔结构和入射波特性等各种实际复杂因素的影响，构成的往往是一个极其 复杂的电磁系统。简单的微波等效模型已远远不能满足需要，而采用经典的电磁理论想 得到封闭形式的解析解一般是不可能的，即使半解析的近似方法也只能在个别问题中得 到有限的应用。因此在经典电磁场理论的领域内，唯有各种各样的数值计算方法能够广 泛的发挥作用。 目前微波电磁场数值计算方法按是否对麦克斯韦方程组进行变换主要分为二大类： 属于变换域技术方面的有限元法 2 5 ，2 6 、矩量法 2 8 】和单矩法 4 1 】等；属于时域技术方 面的时域有限差分法 2 9 】、传输线矩阵法 3 7 】和时域积分方程法 3 8 】等。此外还有属于高 频技术的几何衍射理论 3 9 】和衍射物理理论 4 0 等。 变换域方法可以分为积分方程形式和微分方程形式。积分方程形式是把电磁场的作 用作为边值问题来对待，对电场或磁场根据边界条件导出积分方程。但这些方程不是具 有一般性，不得不对具体的几何边界和材料特性进行再推导。矩量法是运用最广泛的解 这类积分方程的近似方法。它首先把积分方程转化为等效的矩阵方程，而后对矩阵方程 进行求逆计算。这种方法适用于任意形状和非均匀性问题，但可能导致非常大的矩阵， 而且是病态的，使其运用范围受到了限制。近期快速傅立叶变换和共轭梯度法等迭代技 术的应用，使得矩量法的应用范围得到了扩展。微分形式的方法主要是有限差分法和有 限元法。有限元法需要微分方程的变分形式，这并不是对所有的问题都能办到的。有限 差分法是近年来研究比较多的方法，特别是结合完全匹配边界条件后 2 9 ，有限差分法 得到了更广泛的应用。然而有限元法和有限差分法的主要缺点是需要较多的存储空间和 计算时间。属于微分方程形式的还有单矩法，这一方法的要点是根据问题的维度用球面 或柱面环绕给定的结构，其最小半径选择为把结构全部包围在内以便使外部区域的散射 场能用球或柱函数表示，而在内部区域可用有限元法解，这种方法保持了有限元的特 点。 直接时域法也可分为积分方程法和微分方程法两种形式。积分方程形式叫做滞后位 。1 3 一 求解微波电磁场反问题的神经网络方法 积分法，在这种方法中用格林函数和散射体表面的边界条件建立时域积分方程。方程求 解的基本方法是把空间变量的积分区域和时间区域都离散化，从而把积分方程组化为了 线性方程组。与直接频域法不同的是，方程组不是按求逆矩阵的方法求解，而是基于如 下的考虑：在外加激励没有到达散射体时，其上的感应电流处处为零，由于场的传播速 度是有限的，空间中各点在激励的影响没有到达之前电场值亦为零，而空间某点某时刻 的响应仅仅受到满足滞后关系的那些激励源的影响。这样可以从初值开始计算，并按照 时间步进的方法求出各时间取样点的场值。这种方法的主要优点是计算区域限制在结构 的表面，从而减少计算量。其缺点是需要时间的后存储，以完成推迟积分，这大大增加 了对存储空间的要求。采用微分形式的主要有时域有限差分法。这是一种保持麦克斯韦 旋度方程中的时间变量不经变换而直接在时域或者空域中求解的方法。它能提供方程齐 次部分( 瞬时) 和非齐次部分( 稳态) 的全部解答。它在每一网格反复运行由麦克斯韦 旋度方程直接转化来的有限差分格式，从而实现在计算机的数值空间中对波的传播及物 体作用进行模拟。在这种模拟中不需要后存储，一般只涉及上一时间步的场值。这种方 法的缺点是计算区域不仅在结构的表面，还必须包括内部和足够的外部空间，以便有效 的满足辐射条件，其计算量是相当大的。但由于它以最普遍的麦克斯韦方程作为出发 点，国有非常广泛的适用范围。 综上所述，微波电磁场的各种数值计算方法都有自己的优缺点，一个复杂的问题往 往难以依靠一种单一方法得到解决，常需要将多种方法结合起来，互相取长补短，因此 混合方法日益受到人们的重视 4 2 。 尽管电磁场的数值计算方法已日趋成熟，但人们并没有停止对解析计算方法的研 究，特别是现代函数空间理论的成熟与完善，更是为电磁场解析方法的研究提供了坚实 理论基石。以戴振铎为首的电磁场工作者，以广义函数理论、矢量函数空间理论为工具 提出了各种边界条件下的电磁场解析计算方法，并通过实例验证了这些计算方法的正确 性。人们称这种以广义函数理论、矢量函数空间理论及算子理论为基础的电磁场研究方 法为现代电磁场理论。虽然在一些简单地场合，经典电磁场理论已经够用了，但是对于 复杂的边界条件或者高精度需求的工程问题，经典电磁场理论就显得相形见绌了。现代 电磁场理论就是为了解决经典电磁场理论中出现的困难和不足而提出的。 经典电磁理论发展到现在已经相当成熟，但是还有一些困难亟待解决，主要的困难 可以列举如下。 ( 1 ) 本征函数计算中出现“非物理模”的问题 按照经典场论，电磁场的本征问题是式( 2 1 ) 对应的齐次问题： 1 4 大连理工大学硕士学位论文 v 2 置4 - a 2 罾：0( 2 1 ) 上式加上边界条件应该不难计算出电磁谐振腔的本征频率和本征模式。但守际上用 这种方法计算会出现很多实际上并不存在的“本征频率”。 ( 2 ) 格林函数的奇异项问题 戴振铎教授在1 9 7 1 年的著作中 4 7 ，利用电磁场在m 类和n 类矢量波函数上，。开，得 到空间对称性并矢格林函数，但是从经典数学的角度无法论证m 波和n 波对于电矿场的完 备性，因而在1 9 9 3 年他在并矢格林函数中又加入了对应于无旋场的l 类函数。所得结果 为： 弓= ( 五，夏) 一古瑟眠爱) ( 2 2 ) 可以证明奇异项古笼6 暖，豆) 在物理上是不合理的，因为它破坏了并矢格林函数的 几何对称性，即对于一个具有几何对称性的系统，它的并矢格林函数会因为所选择取的 领示矢量方向的不同而不同，这是与实际情况不符的。 ( 3 ) 矢量算符的直接离散化的收敛性问题 对于电磁场本征问题的数值计算如果直接采用双旋度算子的本征问题： v v 童一a 2 置：0 ( 2 3 ) 进行离散化做数值计算，大量计算证明这一计算结果仍保留着无旋场的影响。虽然现在 很多计算三维电磁场的软件用一些计算技巧来减少无旋场的干扰，但不能完全消除无旋 场的影响。 所有这些都说明，电磁波中的场，不论是磁场还是电场都是纯旋量场。在经典数学 的范围内，即在欧氏空间的三个方向射影进行计算的基础上是难以完全消除无旋场的影 响的。同时经典数学也无法给出对于旋量场、无旋场以及任意矢量场的精确的定义，因 而也难以给出纯旋量场的解析方法。这就是我们需要为电磁场问题寻找新的数学理论和 方法现代电磁场理论的原因。 基于矢量偏微分算子及算子本征函数的现代电磁场理论对麦克斯韦电磁场方程组采 用的规范化形式与经典洛仑茨规范不同，电磁场不是在欧氏空间分解为三个射影，而是 1 5 求解微波电磁场反问题的神经网络方法 首先在算子空间中分解为旋量场和无旋场。旋量场是一个“二维场”，可阻用两个标量 函数来表示。这样的规范没有引入任何人为的数学假设，只是用函数空间的观点来看待 麦克斯韦方程组，同样可以使方程与变量数目一致，使边值问题可解。用数学公式描述 如下： v x e ? = 一i w l i h ? 飞x h ? = j ，一i e ? v 豆，：旦 v f = 0 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 式中下标为厂的量是旋量场，它的散度为零。下标为，的量是无旋量场，它的旋度为 零。 2 2 微波谐振腔电场计算的本征函数展开法 2 2 1 本征函数展开法的原理 本征函数展开法是电磁场计算中的一种重要方法，它以矢量函数空间的完备性为前 提，采用泛函分析中的最佳逼近定理求解麦克斯韦方程。我们以本文要解决的问题为例 讲述利用它来求解电场的主要步骤。我们问题中的电场满足如下的微分方程及边界条 件： v x v x 豆扩) 一茁2 豆( f ) = 0 尹v 詹( i ) = h x 尹见 a 豆( i ) = 0f 臼j ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 其中匿2 = 6 0 2 卢s ，z ，s 分别是介质磁导率和介电常数，是v 外部激励源的频率， 8 ，g 分别代表齐次边界面和非齐次边界面，v 是q ，q 所包围的闭合空间。自代表 边界面外法向的单位向量，f 代表三维场点的坐标，豆( 产) 是一个矢量电场，它在v 内满 足微分方程( 2 8 ) ，而在边界日，g 上分别满足齐次边界条件( 2 9 ) 与非齐次边界条件 ( 2 1 0 ) 。代表非齐次边界面上的电场状态。 1 6 大连理工大学硕士学位论文 现在假设有一个完备的矢量函数空间 露( a ，尹) 。，其中a 是相应矢量函数的本证 值，我们用下标0 表示这个完备的函数空间露( a ，f ) 是经过归一化的。元( a ，f ) f 蓠足；d t 的微分方程及相应的边界条件： 碱嘶伉刁一龋 力= of v 五p o ( a ，尹) = 0 尹q 1 u q 2 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 这里的处理方式把所谓的非齐次边界条件看成是相对于齐次边界条件而言的。在一 些文献中 4 5 还讨论第二类非齐次边界，即切向磁场不为零。那么在对应的齐次问题中 就必须有第二类的齐次边界存在。由于到现在为止，物理上还没有发现切向磁场等于零 的物质存在，在某些问题上第二类齐次边界条件是用来表示某些对称面的，同时在对称 模式条件下的一种虚拟边界。由于在这样的边界上不可能再存在非齐次边界的问题，所 以这里只用一种非齐次边界。非齐次边界是一种虚拟边界，它实际上并不存在，电磁场 在这个所谓的边界上是可以自由的输入输出的，而在这一所谓的边界上电磁场所应满足 的条件与域内其它的点是没有任何差别的。但是为了处理上的方便，我们在这里加上一 个虚拟边界。在这一虚拟边界上，从域外传来的长可以通过这一边界进入域内，而一旦 进入域内以后我们可以想象这一边界被突然的关闭而成为齐次边界。这种思想弪典电 磁场中的等效源方法是相同的。基于本征函数展开法的电磁场解析方法就是利用了这一 思想。 我们把式子( 2 8 ) 、( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) 所描述的微分方程以及相应的边界条傺成算子 的形式如下： r 置( f ) 一t 2 豆( f ) = 02 1 3 ) 同时把式子( 2 1 0 ) 和( 2 1 1 ) 所描述的微分方程以及相应的边界条件写成算子的形式 如下： i l 昂( a ，芦) 一a 2 q ，f ) = 0 一1 7 ( 2 1 4 ) 墨坚丝鎏皇壁堑垦塑里塑塑丝塑丝互鳖一 我们要强调的是上述微分算子包括两个方面的内容：域内要满足的微分方程和边界 上要满足的电场状态。因此上面的两个算子是不相同的。为了求出电场的表达式，我们 把满足条件( 2 1 3 ) 的电场展开为满足( 2 1 4 ) 的最( a ，f ) 的和，采用数学公式可以描述如 下： 豆扩) = g ( ) 塌( 丑， 其中g ( ) 是豆( f ) 关于或( ，) 的展开系数。它可以表示成如下的表达式 g ( 丑) = ( 雪铲) ，磊( ，尹) ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 现在我们计算电场的任务就转化为求出电场豆( f ) 关于元( 凡，芦) 的展开系数g ( 丑) 。 我们用瓦( k ，f ) r 寸2 2 2 - 程- ( 2 8 ) 两边取内积得到如下的式子： ( 丘( ，f ) ，( r 9 一女2 ) 豆( ，) ) = o ( 2 1 7 ) 再对式子( 2 1 5 ) 两边用雷( ，) 为权函数取内积，不同的是把豆( f ) 作为内积的后项得到如下 的式子： ( ( r a 2 ) 届( ，f ) ，置( f ) ) = o 把上式( 2 1 7 ) 减去( 2 1 8 ) 并用内积的运算法则得到以下的式子： ( 2 1 8 ) ( 露( ，芦) ，r 9 雪( 芦) ) 一( 瞒f ) ，舌( 芦) ) + ( 2 一仡2 ) ( 露( ，芦) ，五( 芦) ) = o ( 2 1 9 ) 我们把式( 2 1 9 ) 左边前两项的差算子称为m ( 露，豆) ，显然当r 一= r 时，m 饵o ，五) = 0 ， 式( 21 9 ) 就变成齐次边界下的非齐次矢量波动方程的求解问题，所以现在的问题是求解 差算子m ( 丘，豆) 的问题。 1 8 大连理工大学硕士学位论文 m ( 磊，雪) = ( 辰( ，芦) ，r 9 五( 芦) ) 一( 峨( 气，芦) ，