（应用数学专业论文）几类非线性时滞系统的稳定性和分岔分析.pdf

几类j f 线性时滞系统的稳定性和分岔分析 摘要 随着科学技术的发展，在工程、生态、经济、社会科学等领域中涌现出大量用 时滞微分方程描述的非线性模型本论文在现有模型的基础上提出了几类时滞非 线性模型，包括三类不同耦合方式的环状神经网络模型和一类具阶段结构的捕食 者一食饵模型我们运用泛函微分方程稳定性理论、分岔理论、中心流形约化与正 规形计算方法以及微分方程中的比较原理，对相关模型的平衡点的稳定性和h o p f 分岔等动力学性质进行了研究全文由以下六个部分组成 第一章，首先对非线性科学和非线性时滞系统进行了概述，然后介绍了本文所 研究的几类模型产生的实际背景以及我们的主要研究内容 第二章，给出了本文将要用到的一些基本概念和重要引理 第三章，对一类具有双向循环结构的四元神经网络模型进行了讨论通过分 析相应特征方程根的分布，研究了模型平衡点的线性稳定性，并证明了在一定条件 下h o p f 分岔的存在性运用中心流形约化和正规形计算方法，我们还计算出一组 决定分岔周期解性质的公式所得结论是现有关于四元环状网络模型研究结果的 推广或补充另外，验证横截性条件成立的方法可应用于一般形式的具单指数项的 超越方程 第四章，考虑了两类环状神经网络模型的对称耦合对于第一个模型，利用循 环矩阵理论将特征方程进行因式分解，导出了关于平衡点渐近稳定性的充分条件 我们不仅讨论了分岔周期解的时空模式，还使用不同于第三章的正规形计算方法， 获得了关于分岔方向和分岔周期解稳定性的判据通过举例说明该模型的耦合方 式可能导致更为复杂的动力学性态出现对于第二个模型，着重分析了模块的耦合 对系统动力学性质的影响我们利用等变h o p f 分岔理论证明了系统在一定条件下 存在多个周期解数值模拟验证了我们的理论分析结果 第五章，提出了一类食饵具阶段结构的l o 墩a v r o l t e 仃a 型捕食者一食饵模型我 们借助特征根分析法、微分方程比较原理和迭代技巧讨论了模型的参数在不同取 值范围内平衡点的全局渐近稳定性另外，还分析了时滞对模型动力学性质的影 响，给出了系统在正平衡点附近发生h o p f 分岔的条件数值模拟验证了所得结论 的正确性我们的研究结果揭示了两种群的长时间演化规律，并阐明了幼年期食饵 到成年期食饵的转化率是两种群能否共存的一个关键参数 论文最后，总结我们的研究工作并对今后的研究方向进行展望 关键词：非线性时滞系统；神经网络；捕食者一食饵模型；渐近稳定性；全局吸引 性；h o p f 分岔；等变分岔；正规形 一一 博上学位论文 a b s t r a c t w i t ht h ed e 、，e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt c c h n o l o g y al a 略en u m b e ro fn o f l l i n e a u rr i ”d d e l s d e s c 曲e db yd e l a yd i 虢r e n t i a le q u a t i o i l ss p r i n gu pi nt l l ee n g i r i e 舐n g ，e c 0 1 0 9 y ，e c 叩o i n y a n ds o c i a ls c i e n c e h lt h i sd i s s e r t a t i o n ，b yi i i l p r o v m gt l l ee x i s t e dm o d e l s ，w ep r o p o s es e v e r a l n o r l l i n e a rm o d e l sw i ld e l a y s ，w h i c ha r em r e ec l a s s e so fr i n gn e l l r mn e 附o f k sw i t hd i 疵r e m c o u p l i n gf o m s a n d0 n e p r e d 乏l t o f - p r e ys y s t e m w i ls t a g es 缸u c m r e s o m ei m p o r t a n td y n 疵c s s u c ha ss 切【b i l i t ) ro ft h ee q u i l i 晡a h o p fb i 鼬a t i o n sa r es t u d i e db ye n l p l o y i n gs t a b i u t ) rm e o 巧 f o rf u n c d o n a ld i 舭r e n t i a le q 吼t i o n s ，b i f u u c 撕o nt h e o c e n t e ri i k 血f o l dr e d u c t i o n ，n m a l f b n na p p r o a c ha i l dac o i n p 撕s o nm e o r e mi i lm 丘色r e n t i a le q u a t i o 璐t l l i s 血e s i sc o n s i s t so f s 故p a r t s i nc l l a p t e r1 ，w e 百v e 锄o u i n eo fn o i d i i l e a rs c i e n c e 锄dn o n n n e a rt i m e d e l a ys y s t e r n s ， i n 缸硼u c et h eb a c k g r o u n d0 ft h ec o n c e m e dm o d e l s ，觚dp r e s e n t 血e 删nr e s e a r c hc o n t e n t s h c h a p t e r2 ，w el i s tt h eb a s i cd e f i n i t i o n s 柚di m p o 咖t l e m m 笛i nt h i sd i s s e r t a t i o n h c h a p t e r3 ，w ed i s c u s sa f o u r n e u r o nr i n gw i n l 附ol o o p s b y 觚a l y z i n gm ed i s t r i b u 一 丘o n0 ft h er o o t so f 山ea s s o c i a t e dc h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o i l w es t u d yt i l el i n e a rs 切b i h t yo fm e e q u i l i 晡u m 锄dp r 0 v et t l ee x i 咖n c eo fh o p fb i f h r c a t i o n 岫d e rs o m ec o n d i t i o i l s b yu s i n g 血en o m ：l a lf 0 衄m e 廿1 0 d 柚dm ec e n t e rm a m f o l dr e d u c 矗o n ，w ew o 伙o u t 卸a l g o r i t l l mf o r d e t e 加曲1 i i 培t l l ep r o p e r t ) ro ft h eb i f u r c a t e dp e r i o d i cs o l u t i o n s o l l rr e s u l t sc o m p l e i i l e n ts o m e e a r l i e ro n e so n 山ef o u r - n e u r o nr i n g f u n h e n l l o r e ，t h em e t h o do fv e r i 母i r l gt t l e 仃姐s v e r s a t ) r c o n d i t i o nc a nb ea p p l i e dt 0g e n e r a lc h 黜t e r i s 石ce q u a t i o nw i t t ls i n g i ee x p o n e n t i a lt e m h lc h 印t e r4 ，m es y i 啪e 时c o u p l i n go ft 、) l ，oc l a s s e so fr i n gn e u r a ln e m o f k si sc o n - c e m e d f o rt h ef i r s tm o d e l ，w ef a c t o n z et h ea s s o c i a t e dc h a r a c t e r i s t j ce q u a t i o nb yu s i n gt h e t h e o 巧o fc y c l i cm a t r i x t h es u 衔c i e n tc o n d i t i o n so ft i l e 嬲y m p t o t i c a ls t a b i l i 哆o f l ee q u i l i m aa r ed e d u c e d w en o to n l yp r e s e n tad e t a i l e dd i s c u s s i o na b d u t l es p 撕。一t e n 唧r a l 眦锄so ft h eb i i m a t e dp e r i o d i cs o l u 6 0 n s ，b u ta l s oo b 佐i i i lt h ec r i t e r i o nd b o u tt h e 曲优t i o n 锄ds t a b i l 时o f l eb i m r c 锄e dp e r i o d i cs 0 1 u t i o i l sb a s i n go n 血en o m m lf o m la p p a c h ，w h i c h i sd i 仃e r e n tf b mm a ti nc h a p t e r3 a ne x a i 】叩l em u s 廿a t e s l a td l ec o u p l i n gm a i l i l e ro f 皿s m o d e lm a yg i v er i s et 0m a i l yc o n l p l e xd y n a i i l i c s f o rt l l es e c 叩dm o d e l ，w ee m p h 撕c a l l y 觚a l y z et l l ee 行e c to fm o d u l ec o u p l i n g0 nd y n a l i l i c so ft 1 1 em o d e l w ce s t a b l i s ht h ee 财s t e n c e o fm u l t i p l ep e r i o d i cs o l u t i o n sb ye m p l o y i n gt h e 也e o 巧o fe q u i v a r i 珊h o p f b i 胁撕o n n u m e r i c a ls i m u l a t i o nr c s u l t sa r e 垂v e nt os u p p o r tt h et i l e o r e t i c a lp r e d i c t i o i l s h c h a p t e r5 ，w ep r o p o s eap r e d a t o r - l m 汜ys y s t e mw i m l o t l 【a - - v b l t e i r at y p ea n ds t a g e s 咖c 眦f o rp r e y b yu s i n gt h em e m o do fc h a r a c t e r i s t i c 瑚ta i l a l y s i s ，ac o m p a r i s o nt l l e 0 一 一一 几类非线件时滞系统的稳定性和分岔分析 r e mi nd i f ! i e r e n t i a le q u a d o n sa n da ni t e r a t i o nt e c h i l i q u e ，w ed i s c u s s l e9 1 0 b a l 硒y m p t o t i c a l s t a b i h 妙0 ft l l ec q u i l i l 嫡aw h e nn l ep a m m e t e r so fm e m o d e l sa r ei i ld i 伍：r e n tv a er a i l g e s i na d d i t i o n ，w e 觚a l y z et h ee f f e c to ft h ed e l a y so nd ) r i l 枷c so ft l l em o d e l 锄dd e i i v e 吐l e s u 饰c i e n tc o n d i t i o n so c c u 币n gh o p fb i f u r c a t i o na b o u tt h ep o s i t i v ee q u i l i b n u m n u m e c a l s i m u l a t i o n sa r ec 枷e do u tt 0i 1 1 u s t r a t eo u r 也e o r e t i c a lr e s u l t s t h em a i nr e s u l t sr e v e a lt l l e e v o l u t i o no f l ep 砌d a t i d ra i l dp r e ys p e c i e s ，a n da l s 0i r 印l y l a tm er a t eo f 锄j l s i t i o nf r o m i i i l m a n 玳p r e yt 0m a t 毗ep r e yi st l l ek e yf 如t o rf o rt 1 1 ec o e x j s t e n c eo fm ep r e d a t o r 加dp r e y s p e c i e s l a s tp a r ti st l l es u i i l 】【i l a 巧o fo l l rw o r ka i l d 血ep r o s p e c to fo l l rf h m r er e s e a r c h k e y w o r d s ：n o i l l i n e 盯t i i i l e - d e l a ys y s t e m ；n e u r a in e t w o r k ；p r e d a t o 卜p r e ym o d e l ； 嬲珊p t o t i c a ls t a b i l i 坶；g l o b a la t t 髓c t i v i 锣；h o p fb i f u r 阻t i o n ；e q u i 豫r i a n t b u r c a t i o n ：n o m a lf o 珊 一一 博十学位论文 1 1 引言 第1 章绪论 大干世界，非线性现象普遍存在，例如伽利略研究过的钟摆问题和牛顿研究 过的天体运动都是非线性的随着科学技术的发展，非线性问题在工程、生态、经 济、社会科学等领域中大量涌现非线性科学，作为研究各类系统中非线性现象的 共同规律的一门交叉学科，也就应运而生近年来，由于计算机的广泛应用，非线 性科学发展迅猛，已成为2 1 世纪科学研究的主流学科之一 工程科学、生命科学、生态科学和社会科学等领域中的大量系统都是由相互作 用而又相对独立的“同质介体 构成的复杂非线性系统f 1 2 】因此，运用动力学的 理论和方法研究非线性系统长时间的动态行为，解释其表现出的绚丽多彩的自然 现象，不但对非线性科学理论的发展有推动作用，而且对技术应用领域也有重要的 指导意义 时间滞后现象在许多系统中均存在，系统的动力学行为不仅依赖于当前的状 态，也受其历史状态的影响【 1 于是，为了更精确地反映实际现象，相当多的模 型采用非线性时滞系统来描述各状态变量随时间变化的规律与非线性时滞系统 对应的数学理论是泛函微分方程理论从动力学理论的角度看来，泛函微分方程本 质上为相空间定义在无穷维空间上的连续动力系统相比常微分方程而言，泛函微 分方程有着更为丰富的动力学性质许多情况下，时滞对系统的动力学行为有着显 著影响例如，时滞常常可使得系统平衡点的稳定性发生改变，产生各种形式的分 岔另外，一些例子表明，一维时滞动力系统可产生混沌现象【6 ，7 】，而对于一阶常 微分方程甚至二阶常微自治系统，这是不可能的 在动力学理论中，稳定性问题一直是人们最为关注的重要课题简单地说，稳 定性理论就是研究当时间趋于无穷时系统解的性态稳定性理论和方法在自然科 学、工程技术、环境生态、社会经济等领域有着广泛的应用数学家l y a p u n o v 在 稳定性理论的发展过程中做了开创性的工作，他不仅对稳定性的相关概念予以明 确定义，还创立了用于理论分析和工程应用的方法另外，随着泛函微分方程理论 的发展，关于常微分方程的l y a p u n o v 方法已被相应地推广到时滞微分方程上值 得注意的是，在运用l y a p u n o v 方法时，针对具体系统构造l y a p u n o v 函数( 泛函) 技巧性较强，而证明过程通常需要不等式估计技巧，这就可能导致所得关于系统稳 定性的条件过于保守在非线性时滞微分方程自治系统的稳定性研究中，特征根分 析法也是常用方法之一该方法先将系统在平衡点附近线性化，然后通过分析相应 特征方程根的分布推导出关于系统平衡点渐近稳定的充分条件 几类非线性时滞系统的稳定件和分岔分析 如前所述，分岔在时滞系统中更易出现所谓分岔，是指依赖于参数的某一系 统结构不稳定，当参数在某一特定值附近作微小变化时，系统所决定的向量场的拓 扑结构发生突然改型2 1 非线性动力学理论研究主要集中在三个方面：分岔、混 沌和孤立子混沌与孤立子这两者和分岔理论是紧密相连的例如，已有研究表明 倍周期分岔是系统通向混沌的途径之一；孤立子与系统同宿轨和异宿轨分岔相关 因此，分岔研究是非线性动力学理论中的核心课题另一方面，分岔理论在应用领 域中发挥着重要作用，如工程中各种非线性振动的解释、时滞反馈控制器的设计等 都与分岔理论有关最后需要指出的是，近年来分岔理论已经得到蓬勃发展，关于 常微分方程的分岔理论已发展较为成熟但对非线性时滞系统的分岔研究，起步较 晚，研究结果也相对较少 本论文的主要研究工作正是围绕几类具有实际背景的非线性时滞系统的稳定 性和分岔问题而展开的我们着重讨论了时滞对系统动力学性态的影响 1 2 选题背景及主要研究内容 本论文主要研究几类用时滞微分方程所描述的非线性模型，它们在神经网络 和生态学中有着广泛应用我们运用泛函微分方程稳定性理论、分岔理论、中心流 形约化与正规形计算方法以及微分方程中的比较原理，并借助数值模拟，对相应系 统平衡点的稳定性以及由于系统结构不稳定而产生的h o p f 分岔等动力学性质进行 研究下面将介绍模型的实际背景和我们的主要研究工作 人工神经网络是利用仿生学的原理，在对人脑生理结构和运行机制的认识理 解基础之上模拟人脑学习、联想、记忆和模式识别等信息处理功能的一种工程系 统f 1 3 1 自上世纪4 0 年代第一个神经网络模型建立以来，人工神经网络发展至今己 愈大半个世纪，经历了一个跌宕起伏的历程如今已成为世界科学研究的重要课 题，并渗透到应用数学、人工智能、认知科学、自动控制和军事科学等多个学科研 究领域 人工神经网络是一种高度非线性动力系统，它通过电路模仿人的大脑神经 元结构和功能特征，来揭示生物神经网络所具有的复杂动力学性质【1 4 】许多神 经网络模型均是用微分方程或差分方程来建模的，例如著名的h o p f i e l d 神经网络 模型1 s ，1 6 1 、c o h e n g r o s b e 略神经网络模型【1 7 1 8 】和细胞神经网络( c n n ) 模型【1 蝴 因此可以将非线性动力学理论和方法应用到神经网络的研究中，通过对具体模型 的动力学行为进行分析，来探索模型中各神经元长时间的性态另外，动力学性质 的研究还可揭示模型的一些特性，如学习，记忆，感知等，这不仅可以丰富和发展 神经网络理论，还能给模型的电路设计提供参考，并为神经网络的工程实现指明方 向 一2 一 博士学位论文 h o 曲e l d 模型是神经网络动力学模型的经典代表最初，h o p f i e l d 神经网络模 型是用常微分方程组描述的【1 6 1 然而，生物神经网络中神经元存在细胞时滞、传输 时滞以及突触时滞，人工神经网络中放大器开关以及信号传输的速度都是有限的， 因此时滞不可避免地存在于神经网络中于是，m a r c u s 和w r e s t e e l t f 2 2 】在h o 叩e l d 模型中引入时滞，得到如下时滞微分系统 掣一删+ 妾酬啪刊m ，2 ， ( 1 ) 其中，地( 亡) 表示第i 个神经元在时刻t 的活动状态；地 0 表示衰减率，即当与 网络及外部输入断开且无自反馈时，它将以指数速度地衰减到松弛状态；常数 死f 0 表示从第歹个神经元发出信号到第t 个神经元接受到信号的时间；正f r 表示第，个神经元与第1 个神经元的连结权重，若正f 0 ，则表示连结是激励的， 若正f 0 ，五，m c 1 ( 酞；r ) 且五( 0 ) = 仇( 0 ) = 0 ，i = 1 ，2 ，3 ，4 我们将利用r u a i l 和 w d 在文 6 l 】中给出的一个关于超越方程零点分布的结果，分别获得保证系统平衡 几类非线性时滞系统的稳定性和分岔分析 点渐近稳定和系统产生h o p f 分岔的充分条件；运用h a s s 砌等人在文 6 2 】中建立 的关于中心流形约化和正规形计算的方法，推导出一些公式来判断h o p f 分岔的方 向以及分岔周期解的稳定性 众所周知，对称结构无论在微观世界还是宏观世界均普遍存在许多系统是 由大量恒同单元经对称耦合而构成的为了研究具有对称结构的动力系统的复杂 动力学行为，上个世纪八十年代g 0 1 u b i t s b 和s t e w a r t 等人在等变分岔理论方面做 出了杰出工作【6 3 1 他们不仅为对称性破缺的研究建立了相应的数学理论，还发现 对称结构可导致系统同时出现许多有趣的振动模式2 0 世纪末，w h 和他的合作者 将等变h o p f 分岔定理推广到滞后型泛函微分方程上，得到了关于对称时滞微分方 程的周期解存在性的一般性理论【诈研】作为该理论在神经网络模型上的具体应用， w h 在文献 5 5 ，6 4 】中考虑了如下用时滞微分系统描述的具自反馈和双向循环结构 的三元神经网络模型 也( ) = 一戤( t ) + q ，( 以( 一7 ) ) + p ，( 航一1 一7 - ) ) + ，( z 件1 一7 ) ) 】，t ( m o d 3 ) ，( 1 3 ) 主要研究了该系统的锁相振动波和同步稳定性另外，h u a n g 和w u 在文献【6 8 】中 讨论了在一定条件下系统( 1 3 ) h o p f 分岔周期解的时空模式，即研究系统可能出现 的三种非线性波：镜面反射波、驻波、离散波( 锁相振动波) ，以及它们的大范围 存在性g u o 在文 6 9 】中将模型( 1 3 ) 推广为下面由竹个神经元耦合的环状网络模 型 圣i ( ) = 一甄( ) + ，( 戤( 一下) ) 一9 ( 盈一1 ( 一丁) ) 一夕( z 件1 ( 亡一7 - ) ) ， i ( 瑚【o d 佗) ( 1 4 ) 随后，作者对( 1 4 ) 进行了系统而又深入的研究，得到了一系列关于该模型动力学 性质的深刻结果，见文献 1 3 ，3 9 ，7 0 ，7 1 】 受此启发，在第四章中，我们将分别对两类环状神经网络的对称耦合模型的动 力学性质进行分析首先，我们研究两个z n 对称的单向循环结构网络的对称耦合， 即如下z 2 对称的神经网络模型： l 圣町( ) = 一z 叮( t ) + ，( z 町0 一f ) ) + 9 ( z o j + 1 ( t 一7 - ) ) + 巧 一7 - ) ) ，。 i 圣巧( ) = 一z u ( t ) + ，( z u ( 一7 ) ) + 夕( z 1 j + 1 一7 - ) ) + ( 锄( 一7 ) ) ， 这里歹= o ，1 ，n 一1 ( m o dn ) ，夕，危c 1 ( r ；r ) 且，( o ) = 夕( o ) = 危( 0 ) = o 我们 将通过分析相应特征方程根的分布得到关于系统线性稳定性的结果，以时滞为分 岔参数讨论系统的分岔现象并运用等变h o p f 分岔定理研究分岔周期解的时空模式 我们还将利用不同于第三章的关于正规形的计算方法，同样获得关于h o p f 分岔方 向以及分岔周期解稳定性的判据另外，用一个例子说明模型在某些条件下1 ：2 4 一 博士学位论文 强共振h o p 脚f 分岔的存在性我们所得结果是文【5 9 ，6 0 】中相应结论的推广 其次，我们考虑形如( 1 3 ) 的环状模块的d 3 对称耦合，即下列d 3 d 3 对称的 神经网络模型： 圣巧( ) = 一z 巧( ) + ，( z 玎( 一7 - ) ) + 夕( z t j 一1 ( t 一7 _ ) ) + 夕( z t j + l ( t 一下) ) + ( z t l j ( 一r ) ) + ( z t + 1 j ( t r ) ) ，( 1 6 ) 这里主，j = o ，1 ，2 ( 1 0 d 3 ) ，9 ，危c 1 ( r ；r ) 且，( o ) = 夕( 0 ) = ( 0 ) = 0 我们研究发 现，在某些情况下当系统发生h o p f 分岔时，相应的广义特征空间是8 维的这导 致群d 3 d 3 s 1 的最大迷向子群共有2 0 个在此种情形下运用等变h o p f 分岔定 理可知，1 0 0 个不同的周期解( 可能有重合现象) 从平衡点同时分岔出来，而且可 分别用相应的迷向子群来刻画其对称性 非线性动力学理论不但可应用于神经网络的研究，而且在种群动力学研究领 域也发挥着重要作用种群动力学是生物数学中发展最为迅速、研究最为深入、应 用最为广泛的一个重要分支【7 冽它通过建立描述种群演化规律的微分方程、差 分方程等数学模型，运用动力系统的观点和理论方法来研究种群与环境之间的关 系，研究种群之间的相互作用 种群动力学中捕食者与食饵之间的关系由于在生态系统中的普遍性和重要性， 一直以来倍受关注许多捕食者一食饵模型相继被提出，并得到了深入研究和广泛 应用例如，著名的l 0 t k a _ v o l t e 肌型捕食者一食饵模型 l 圣( 芒) = z ( ) p 1 一c l z ( z ) 一口1 1 ， ) 】， ( 1 7 ) i 雪( ) = 可( ) 【- r 2 + 0 2 z ( t ) 一c 2 秒( ) 】， 这里z ( ) 和可( ) 分别表示在时刻捕食者与食饵( 被捕食者) 的种群密度； n ，砚，q ( i = 1 ，2 ) 均为正常数 众所周知，生态系统中许多因素对种群的影响具有滞后性，如物种的成熟期、 妊娠期因此对捕食者一食饵系统引入时滞更为合理，更能准确反映该食物链的两 种群的演化规律第一个具时滞的捕食者一食饵系统是由v 0 l t e 舰提出的【7 那之后， 经b r e l o t 改进模型具有如下形式【7 6 】： f i圣( 亡) = z ( ) p 1 一c l z ( ) 一0 1 f ( 一s ) 可( s ) d s 】， o ，若z ： 一7 - ，a ) _ r n 连续，则定义耽c 为钆( 口) = z + 9 ) ，亡 o ，a ) ，口【一7 ，o 】考虑如下滞后型泛 函微分方程( d e ) 圣( 亡) = f ( 耽) ， ( 2 1 ) 这里f ：c 一舯连续可微 对于给定的c ，方程( 2 1 ) 在= 0 处具有初始条件的解z ( ，) 为定义在 区间【一7 - ，4 ) 上使得方程( 2 1 ) 成立的连续函数且满足z o = 关于( 2 1 ) 的初值问 题解的存在唯一性、连续依赖性、延拓性以及整体存在性，可参见文献 4 ，5 ，9 0 】， 在此不作介绍下面给出平衡点稳定性的概念以及一个重要结论 设矿为系统( 2 1 ) 的平衡点，则可以通过变换z ( ) = 矿+ u ( t ) 将平衡点矿移 至原点o 因此不妨设f ( 0 ) = 0 ，即原点。为系统( 2 1 ) 的平衡点 定义2 1 【4 9 1 1 若对任意给定的 0 ，存在一个正数6 ，使得当 0 有i z ( t ，砂) i 0 使得当 0 以及一个连续可微函数入：( 咖一南，知+ 如) 一c 使得a ( q o ) = i 阮，且对每一 q ( q o 一南，q o + 品) ，入( 乜) 是a ( q ) 的特征根于是，再假设如下横截性条件： ( a 2 ) 熹r e 入( q ) i 口：咖o 引理2 1 ( h o p f 分岔定理) 【4 】若( a 1 ) 和( a 2 ) 成立，则方程( 2 5 ) 在原点附近发生 h o p f 分岔，即存在一周期接近于馨的非常数周期解从原点分岔出来 2 2l i e 群与等变h o p f 分岔定理 w h 将g o l u b i t s 母等人关于常微分方程等变分岔理论f 6 3 】推广到具对称性的泛函 微分方程上去，建立了相应的等变h o p f 分岔定理【硎通常，对称性的概念可通过 变换群来刻画本节，我们首先介绍l i e 群理论中的几个基本概念f 1 2 6 3 蚴 定义2 2 【1 2 】称集合r 为l i e 群，指r 即是可微流形又是群，并且群运算( f ，7 7 ) 卜 翻一1 ：r ror 可微称“e 群r 是紧的，指作为可微流形r 是紧，称r 是舭l 的，指它的群运算可交换 定义2 3f 1 2 】l i e 群r 在b a n a c h 空间y 上的( 线性) 表示是指一个映r 到y 上的可逆 线性变换群g l ( y ) 中的同态 p ：rog l ( y ) ， ( 2 7 ) 满足 ( 7 ，z ) 卜p ( 7 ) z ：r y _ y ( 2 8 ) 连续此时称映射( 2 8 ) 为r 在y 上的一个作用 对每个，y r 及z y ，记，y z = p ( ，y ) z 有时也将，y z 简记为7 z 定义2 4 【1 2 1 设p 为l i e 群r 在b a n a c h 空间y 上的表示，称y 的子空间w 是r 不 变的，指7 c 彬v 7 r 一9 一 几类非线性时滞系统的稳定性和分岔分析 定义2 5 【1 2 1 称l i e 群r 在b a n a c h 空间y 上的表示j d 是不可约的，指y 没有非零的 r 不变真子空间，即y 仅有的r 不变子空间为 o ) 和y 定义2 6 【1 2 6 3 】设“e 群r 同时作用于空间矿和w 称映射f ：y - 为r 等变 的，是指f ( ，y z ) = ，y f ) ，v z vv 7 r 称r 在空间y 和上的作用是同构的， 指存在线性同构映射a ：y _ w 使得a ( ) = 7 ( a 钐) v z vv ，y r 此时也称a 为r 同构映射 定义2 7 【1 2 】设l i e 群r 作用于空间y 上，2 ( y ) 表示y 到其自身的( 连续) 线性 变换的全体称a 夕( y ) 是r 等变的，指7 a z = a ( 7 z ) ，v 7 r ，z y 记 薪( y ) 为乡( y ) 中r 等变的线性变换的全体称r 在y 上的作用( 或表示) 是绝 对不可约的，意指崭( y ) = 0 使得 ( i ) a ( q o ) 具有特征根士i 岛； ( i i ) 特征根士i 风的广义特征空间以风( a ( q o ) ) ，由a ( q o ) 的所有特征向量构成； ( i i i ) a ( q o ) 的其余特征根均不为士i 岛的整数倍 ( h 2 ) 存在一个作用在黔上的紧l i e 群r 使得l 陋) 和，( q ，) 都是r 等变的，即， 三( q ) 7 矽= ，y l ( q ) 咖，( q ，7 咖) = ，y ，( q ，妒) ，v ( q ，y ，) r r c ，这里，y c 由 ( ，y ) ( p ) = ，y 砂( p ) ，p 【_ 7 ，0 】给出 博士学位论文 ( h 3 ) 存在r 在仇维空间y 上的绝对不可约表示使得k e r ( q ，i 风) 与yoy 同 构，这里r 在yoy 上的作用定义为，y ( u 1 ，耽) = ( 1 u 1 ，7 耽) ，y r ，秒1 ，忱y ， m = d i m k e r ( 口，i 风) 若( h 1 ) 和( h 3 ) 成立，令 幻1 + i 2 ) 凳1 为k e r ( q ，i 风) 的一组基那么西a = ( 1 ，2 m ) 的所有列 勺) ；兰就构成以卢0 ( a ( a o ) ) 的一组基，这里 白( p ) = 如1s i n ( 风口) + 2c o s ( 风p ) ， e m 卅( 口) = b 1c o s ( 风口) 一幻2s i n ( 岛p ) ，j = 1 ，m 令u = 警，兄为由所有映r 到p 的连续的u 周期函数构成具上确界范数的 b 锄c h 空间那么，对圆周群s 1 ，r s 1 在兄上的作用定义为 ( 7 ，e i 8 ) z ( t ) = 7 z ( h 嘉p ) ，( 7 ，) r s 1 ，z 兄 记s 兄为兄的子空间，它表示当q = q o 时方程( 2 6 ) 的u 周期解的全体那么， 对于r s 1 的任意子群，不动点集 f i x ( ，s 兄) = z s 兄i ( 7 ，口) z = z ，v ( 一y ，口) ) 为s 兄的一个