（应用数学专业论文）混沌动力系统的同步及其数值计算中的一些问题.pdf

复里大学硕士毕业论文 摘要 本文主要讨论混沌系统的同步问麓研究方法以及应用于一些舆体系统的结论和揭示数 鏖方法处理连续系统时出理戆一些动力学行为发生改变的现象。本文一共分疆部分第一 部分由第一章和第二章组成，第一章络出目前较为流行的阊步的一些数学定义，并总结了 舀前讨论同步阔懿的主癸框架及其常觅静醑究方法，霹时也捂岛了紊觅的误蔽+ 第二章主 要是利用l y a p u n o v 函数汝等一些常用婚方法来讨论类厨等混淹系统的完全同步问题，尤 其是双向耦合同步问题，本文同时指出了一蝗相关文献【3 l 】讨论此类问题所出现的不严密 洼并遥过泼遴算法，剩薅一些数徨方法寒禳羧霹步舞检验交中黪褥戆缨论。黪二部分主要 出第三章组成，主要是探讨连续的动力系统在三种常用的离散方法下进行数值计算时发生 动力学行为改变的现象，着重讨论岛瑗在乎衡点处倍焉期分岔酶现象，给出了一种判断连 续宴治系统寓教蘑是否会导致穰周期分岔的算法，弗给出维遣续动力系统离散化藤发生 动力学行为改变的一般结论。以及在抛物线映射下的自治系统发生倍周期分岔的离散化参 数条件以及分岔点，最爵通遘绘出具体鲮铡子及英麓分方程鳇分岔罄寒证实文孛静结论 关键词：混沌同步l y a p u n o v 函数l o r e n z 系统线性藕合倍周期分岔离数化 复旦大学硕士毕业论文 a b s t r a c t 2 i nt h i st h e s i s ，t w om a i nt o p i c sa r ec o n s i d e r e d i np a r to n e ，w h i c hi sc o n s i s to fc h a p t e r1a n d c h a p t e r2 ，t y p i c a lr e s e a r c hm e t h o d sa n da p p l i c a t i o no f c h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o nr r er e v i e w e da n d i n v e s t i g a t e d i np a r tt w o ，n a m e l yc h a p t e r3 ，w em a i n l y d i s c u s st h ep h e n o m e n ao f d y n a m i cb e h a v i o r t oc h a n g ew h e n s y s t e mc h a n g e d f r o mc o n t i n u et od i s c r e t ei nt h ep m c e s s i 鳝o f c o m p u t e rs i m u l a t i o n ， t h e r e f o r e ，i ti sp o s s i b l et h a ts o m es t a b l ec o n t i n u ed y n a m i cs y s t e m sw i l lb ef a l s e l yd e s c r i b e dt ob e c h a o t i cb yc o m p u t e rs i m u l a t i o n s o m er e s u l t so fo n e - d i m e n s i o n a ls y s t e m sa r ep r e s e n t e da n ds o m e e x a m p l e sa x eg i v e nt os u p p o r t 。 i nc h a p t e rl ，t h er e v i e wo ft h ec h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o nr e s e a r c hb a _ c 1 【g r o u n da n dd e v e l o p m e n t i n v o l v i n gm a t h e m a t i c a ld e f i n i t i o no fs y n c h r o n i z a t i o na n dt h et y p i c a lc o n f i g u r a t i o n so fc o m p l e t e s y n c h r o n i z a t i o n ( c s ) i sp r e s e n t e d b yt h ee n do ft h ec h a p t e r ，w ep o j n to u ts o m e e r r o ra p p e a r e di n r e f e r e n c e s i nc h a p t e r2 ，w em a i n l yd i s c u s sc so f8c l a s so fi d e n t i c a lc h a o t i cs 淞t e m sb a s e do nl y a p u n o v s t a b i l i t yt h e o r y , e s p e c i a l l yc sf o rb i d i r e c t i o n a lc o u p l i n g w ef i r s tc l a r i f yt h ep r o b l e m si nr e f e r - e n c e 3 1 w h i c hd i s c u s s e dt h es r n r ep r o b l e ma n dt h e ng i v eas i m p l eg l o b a ls y n c h r o n i z a t i o nc r i t e r i o n f o r c o u p l e d c h a o t i cs y s t e m sa n d s u p p o r t t h er e s u l t sa t t a i n e df r o mr i g o r o u s l ym a t h e m a t i c s t h e o r yb y s i m u l a t i o n f u r t h e r m o r e ，r e f e r i n gt os u f f i c i e n tc r i t e r i o nf o rt h es t a b i l i t yo fs y n c h r o n i z a t i o ns t a t e s g i v e nb yb r o w n 3 0 w ep r o v i d e 馘a l g o r i t h mt og e tt h eb e t t e rr e s u l t sf o rd e s i g n i n gb i d i r e c t i o n a l c o u p 娃n go fi d e n t i c a lc h a o t i cs y s t e m s ， i nc h a p t e r3 ，w ef i r s t p o i n to u tt h a tt y p i c a ln u m e r i c a lm e t h o d su s e di nd y n a m i cs y s t e m s s i m u l a t i o ns u c ha se u l e rm e t h o d 。r o u g e - k u t t am e t h o dw i l lc h a n g et h e i rd y n a m i c a lb e h a v i o r 。w e f o c u s0 nt h r e en u m e r i c a lm e t h o d sa n dt h ed y n a m i c a lb e h a v i o ro fb i f u r c a t i o n w em a i n l yd i s c u s s t h ep h e n o m e n a o f p e r i o d - d o u b l i n g b i f u r c a t i o na te q u i l i b r i u m sa n d g i v et h ea l g o r i t h m f o rp r e d i c t i n g p e r i o d - d o u b l i n g b i h l r c a t i o n g e n a r a lr e s u l t so f o n e d i m e n s i o n a ls y s t e m sa n d s p e c i a l r e s u l t so f s o m e m a p sa r ea l s op r e s e n t e di nt h i sc h a p t e r ，a tl a s t ，s e v e r a le x a m p l e so fd y n a m i c a ls y s t e m sa n dt h e n u m e r i c a lb i f u r c a t i o nf i g u r e sa r ea l s os h o w nf o rd e m o n s t r a t i o n ， k e yw o r d s ：c h a o ss y n c h r o n i z a t i o n l y a p u n o vf u n c t i o n l o r e n zs y s t e m l i n e a r l y c o u p l e dp e r i o d d o u b l i n gb i f u r c a t i o n t i m e - d i s c r e t e 第一章关于嚣线性动力系统的同步问题 纂一麓混沌动力系统嗣步的实际意义及其概念 同步( s y n c h r o n i z a t i o n ) 这一词最早起源于希腊词盯0 7x p d u o c ，意思是猩同一时间里 共事+ 在爨史上，对于在动力系统演稳过程中瑟毒爨懿霹步瑷象黪最早分辑露滋遣濒翻1 7 世纪h u y g e n s 发现两个弱耦合的悬摆时钟的相同步现象【1 最近，对于动力恭统的同步现 象的研究兴趣逐渐地转移到混沌动力系统中来原因之一是混沌无所不在，人们越来越多 建在各令巍然辩学颁域申发理浅涟，势绘高援：以蘩黪送曩鬟豹线瞧戆摸黧更势客鼹熬霉缓洼 模型原因之二，随着数学理论的不断完善和计算机辅助工具的不断加强，我们对混沌所 展示的一些属性和现象有了更深的了解当然，还有一个最重要酌原因是混淹动力系统本 身掰具有的动力学行为绘我翅鼹示了个据爨广耀的应用踅景。倒如遥年来竞争最为激烈 的应用研究领域就是利用混沌同步实现保密通讯，其主要依据是：只有当秘密通讯的双方 具有完全藕同的非线性( 混沌) 线路时，才能达到滤淹同步，莰丽实现秘密信号从发射机的 编码到接受机战解玛的众过程这里包括了利用混沌系统信号本身的特征来成用于密码发 射的思想，还包括了利用混沌系统隐藏秘密通讯信号的思想 我f f 3 这里指的非线靛动力系统黪溺步简单来说就是指两个( 也可以是多个) ； 线性动力 系统( 同等的或不同等的) 分别从不同的初始条件出发，随着时间的推移，两者轨线的某一 给定属性逐渐趋予一致根据要求趋予一致的属性的不同，同步问题在过去的十年中主要 研究的有；完全同步1 2 訇，褶同步墨，镯，有瑕疵樱潮步 7 】，有涝后丽步f 8 】，凝歃滞后同步 7 ，9 ，随机同步 1 0 ，调整控制同步【1 1 ，广义同步 1 2 ，1 3 ，大体同步 1 4 】等等这里我们主 要研究两个同等的动力系统的轨线在褶空间的轨迹或状态逐渐趋于一致的同莎问题，郎完 全同步阍题( c o m p l e t e o ri d e n t i c a ls y n c h r o n i z a t i o n ) ， 另外，根据同步的两个系统之间的关系，同步问题大体又可以分成两类：单向耦合与 双弼瀚合隰体模麴和禳檠觅下一节) 。单向黼合叉可掰说是驱动一晦痊模式静蔺步禧槊，它 是出主从关系的两个子系统组成，其中豹一个子系统自由演化，并驱动着另一个系统的演 化这里的响应系统便燕从系统，它通常由混沌的主系统的一部分信号所驱动而双向耦 合同莎静两个系统稽互驱动，穗互藕合 4 复旦大学硕士毕业论文5 下面我们给出两个非线性系统同步的简单定义： 定义1 1 1 考察下列两个耦合非线性幼矗系统 诂f ( 茹，鳓( 1 1 ) l 昏= c ( x ，g ) ，( 茹，y ) r “r ” 当满足l i m t 一。i i x ( t ) 一y ( t ) | | = 0 ，我们就说状态变量x 和y 或两系统可实现同步 值彳罨濂意静鼹，在突际应掰中我们有l 雩无法获敬获态燮量静值，邵狭态交量菸不是可 观测量，这时我们舞要储助于一些可观测的中间变基来实施并庭义同步 定义1 1 2 考察下列两个耦合非线性动力枭兢 惟a 曩( z 巍瑚一r 一 ( 1 z ) l 雾=，笋) ，( g ，掣) m 1 王l 冀。 、。 当满足l i m t - o 。鼢 ( t ) ) 一q i ( ( ) = 0 ，i = 1 ，2 ，m ，我们就说状态变罄$ 和y 或两系统 在可观测变量( s 1 ，& ，岛) ，( q 1 ，0 ”，q 。) 意义下可实现同步，其中最，岛，为状 态变量g 毫秽1 的撩量霸数， q l ，q 2 ，q 。为凝态变量y 秽。酌橼量函数，且他稍分 别为两系统的可观测量 由上面的定义可以看出，当两个系统的维数不一样时，我们无法通过刻瓣这两个系统 鳇孰遗翦鼹嵩溺邀趋近予零来定义同步，我寒 载通过一个掭量菡数映射约值寒进行鬻量厨 步的数学意义把这种数学思想推广，下面我们还将给出遣用于各种同步的数学上的严格 定义，其主簧思戆还是通过在两个系统之间祷造一个桥梁，使得有一个阉按的衡量标准来 定义所谓的两者的软迹逐步趋予一致螅概念例如，我 | 可以在叛个予系统之间构造一个 坐标空间作为桥梁，分别通过两个向激函数把两个子空间的轨迹映射到这个坐标空间上 具体定义魏下： 定义1 1 3 考察下列两个耦合j # 线性动力系统 扣f ( 刚) 、f1x l 1 分= g ( 搿，) ，( 。，y ) l 誓t r m = 、 定义一个蘩舞系统妖态变量辩= y 】渺；+ “，记土逮两夸系统姆瓿运集合分嗣袭 妊( “o ) ，九( u o ) 山为给定的初值 乳：r m l - 4 r d ，幽：r m 。- r 4 ，h ：r 4 r 8 - 4 础， 当满足l i m t + 。h g x ( 钆) ，脚( 南) j = 0 ，我们就说两系统在同步函数h 意义下可实现同步 复旦大学硕士毕业论文6 通过选择不同的g 。，g y ，h 函数，我们可以定义不同类型的同步关于同步的最初的数 学意义可觅文献f l 繇b r o w n 和k o c a r e v 1 6 】也给出一个类似静数学定义其主要的憋想丽 襻怒把两个羼步的系统露成是囊一个统一的系统分戏的两个子系统，这搀这骶个子系统的 轨谶的同步就可以在统一的相空间中研究并定义最近，文献 1 7 1 中，提供了一个照为筒 洛蠹接酶数学悉怒，它辩鬻多瀚嚣个系统之阕静驱凌睫应关系看成是袄态交藏之闯豹一一 映射关系，这样我们无潞掏造一个间接的桥粱，只精把这个映射关系嚣作两个系统之间的 一个直接的桥梁，而两系统的同步概念就可以刻画成这个映射关系的连续性上这样我们 魏露苏爱连续燕意义戆数学浯蠢来定义广义黪露步概念。 第二繁同等系统完全同步的主要框架 正螽上一节掰讲，我f f j 主要研究两个蔺等的动力系统静状态逐渐趋予一致的简步阉麓， 即完全同步问题( c s ) ，又h q 紫规同步【l8 或同等同步尽繁根据藕合豹方式，嬲步的蠛槊大 体分为双向耦合和单向耦合( 驱动响_ | 燕耦合) 目前被讨论的同步耦合框架主要有：p c 耦合 框巢( p e c o r a 霖c a x r o l l 簸莩奔绥的方法滓，1 9 ，2 0 】) ，受反篌方法f 2 l 知馁发驱魂方法【2 2 b a p d 框架( a c t i v e - p a s s i v ed e m p o s i t i o n ) f 23 ，2 4 l 扩散耦合和一蝗其他的混合方法 25 】 下面我们主要讨论p c 耦台框架，a p d 框架和双向耦合三种常用的同步框架 驵pc r 框絮 考虑如下混沌动力系统： z = f ( z 】 其中，z = z l ，邑，+ ，磊) r “，f ：叶帮 我们假设动力系矗蝴具有驱动可分性，即可分解为下列3 个子系统： d = ( u ，v l d r i v e r , 幸一g ( u ，v ) l ( 王4 ) ( t 5 ) 由= h ( u ，w ) r e s p o n s e ， 这里， 1 1 = t 1 ，珏2 ，u m ) r ，v = u 1 ，础2 ”，u k r 产1 w = 仞1 ，叫2 ，州l r l ，n = 讯+ 老+ 5 ； 复旦大学硕士毕业论文7 ；=a(y-，z)卜扩z=xy-bzs1=-xz+r= - - 2 ：z r + r x 叫卜e ，江s ， 一卜 哪。卜江6 ) 2 a p d 摄禁 这种方法把一个自治的混沌系统改写为非自治的形式： x = e ( x ，s ( t ) )( 1 7 ) 这里f ：r “o ，s ( t ) 是驱动信号，s h ( x ) 或一 ( x ) ，其主溪目的是在原米系 统懿基础主分离鹭部分幸# 秀驱动信号，并麓它来驱动两个蔺等翡滢淹系统扶褥达羁完全 同步由前颇知遭，p c 结构为了能够实现同步，我们往往要对暇系统徽恰当的分髂，其 选择余地通常比较小，而a p d 结构对驱动信号s ( t ) 的选择相对来说较为自由，从而使得 这转方法更菸一般健 同样，以l o r e n z 系统为例： l 庙= - l o x + s ( t ) 乎一2 8 x 一。一y ( 1 8 ) l2 = x y 一；z 复旦大学硕士毕业论文8 这里，x = ( x ，z ) f ，3 ( t ) = h ( x ) = 1 0 y ，通道l y a p u n o v 函数方法知道，在驱动信号 s 静驱动下，这个响应系统帮它的嫠髓系统将实璇潜步 2 3 】 3 双向耦奁的完全同步 嗣等系统款双蠢藕合是嚣令闫等瓣霉绞经动力系统遥过两者之鬻静获态交量静误差来 进行调整控制从而达到同步的一种框架： 虹f ( x ) + c ( y - - x ) t( 1 t 9 ) l 亨一f ( y ) + c ( x y ) t 、 其孛x ，y 黔，f ：秘_ r n ，g 静。n 从理论上讲，当我们增加耩合强度( 矩阵c 的系数) 到定的时候，这种同步框架一定 能够实现同步特别的，当c = c i 时，只需满足条侔c ；a 。( 土。是藕合前的混沌系 统熬最大l y a p u n o v 撂嬲，系统斑攥锯实凌宠垒懑步强。嚣我靛嚣戮究窭栋是尽爨褥翼 一个比较小的耦含强度阏值 1 同样，以l o r e n z 系统为俩 2 7 j ，藏线性双向耦合模型如下： 葫= 盯p 2 茹t ) 十。f t 一, t i ) ；7 3 2 。p x l x l z 3 z 2 + e ( 现一x 2 ) i 3 2z ：嚣2 一卢：3 + ：”3 - x 、a )( 1 1 0 ) 蠡一盯( 强一y 1 ) + e 扛l y 1 ) 、 如= p y l 一孽1 挑y 2 + c ( 霉2 一钝) 酶= 9 1 撕一声驰+ c ( x a 一蜘) ， 这里取拶= 1 6 ，声= 4 ，p = 4 0 以确保同步系统为混沌系统，计算其l y a p u n o v 指数分尉 为；a l = 1 , 3 7 ，a 2 = 0 ，乜= 一2 2 3 7 ，髓以当满足e 0 6 8 5 孵，系统触) 达到阉步。 “t l 第三繁混妻担系统同步的稳定性分析 复里大学硕士毕业论文 9 由前面的介绍和讨论看出，混沌系统的同步的一个核心问题就是同步运动的稳定性的 分析，只有一个稳定静同步才是有意义的这里完全同步的稳蠢性问题主要就是同步流形 x 曼y 的稳定性或等价的同步误差e 篓y x 的零艇稳定性 例如，对于p c 框架和a p d 椴架来说，同步误差的演化方程可以写成： 6 = f ( x ，s ( t ) ) e ! l 羔! 坐如 ( 1 1 1 ) 这里的x ，y 楚响应系统和其复铺的状态向量s ( t ) 是驱动信号轨道，如聚对于混沌吸 引子所有可能的轨道s ，同步流形鬻渐进稳定，这说明完全同步是存在的，这个性质可以 通过对小谈差向量e 的线性化系统的稳定性分析得到即把方稷齄骞可以写成： 6 = d 。( s ( t ) ) e( 1 1 2 ) 其中d 。为句量函数f 在驱动轨道s ( t ) 上的j a c o b i a n 矩阵当轨道s ( t ) 为不动点或 投蔽蚕l ：薅，麓步稳定栏鬻题匏群究冒疆转诧为求d 。静将经蕴蔽f t o q u e t 乘子f 2 8 ，2 翻毽 当驱动信号s ( t ) 为混沌信号时，这种简单的方法就不能使用了。我们需要用到下面一些常 用的方法，他们各有利弊，有时可以结合使用 l 。数蕴方法一诗葵l y a p u n o v 鹫数 在驱动- 响应耦合框架里，通常又叫做计算条件l y a p u n o v 指数，即计算在轨道s ( t ) 上的响应系统的l y a p u n o v 指数其计算方法如下： 翩) 拦渤扣觜鼎) = l i 。却z 1 t ) 蚓 s o 为驱动信号的初始条件， u 。：稻，z ( s o , t ) 为方程跫豸裔基本解阵， 条件l y a p u n o v 指数为负数是同步状态稳定的必要条传邋过计算条传l y a p u n o v 指 数，我们就可以判别出同步状态是否定不能稳定，这种方法的缺点就是计算量比较大， 并且无法判别出同步状态是否一定稳定 驼理论方法一l y a p u n o v 函数方法 这种方法是目前使用的最多也是最可靠的方法，它是建立在严密的微分方稷的稳定性理 论上的其穷法是如果憝稳遣一个满足下面两个条 孛静连续可微静实变函数v ( e ) ( l y a p u n o v 函数) ，则完全同步流形全局渐进稳定 ( i ) 当e 0 时，y ) 0 ，当e 一0 时，v ( e ) = 0 复旦大学硕士毕业论文1 0 ( i i ) 当e 0 时，w d v o ，搜 得b ( ”的所有最大特征值 ( t ) 0 ，有下面的定理： 定理2 2 1 如果耦合系敷d 1 ，噍，d 3 满足 糕 黼一! 如 逛8 v b 堕- 1 一i 鑫 糕一 ( 2 1 0 ) = ：鬈= 鏊篡然醛z t ：二蕞蒜? 九运弱；哭簧涯臻勰豹零薅是濒透稳定懿，涮釜在+ o 。辩遮翻阂多 协o ) 考察矧，作l y a p u n o v 灏数y = ；( 驴+ ”2 + e 2 ) ，则有： y = - ( a + 2 d 1 ) f 2 + o s q + ( c x 3 ) 叩一( 1 + 2 d 2 ) r 2 一1 f q + 茹2 0 + y l 叩( 一( 6 + 2 d 3 ) ( 2 = 一江+ 2 d 1 ) e 2 一( 1 + 2 d ) v 2 一+ 2 南) 2 + ( b + c x 3 ) f 叩+ x 2 9 e - ( a + 2 文) 护一( 1 + 2 d 2 ) r 2 一( 6 + 2 d 3 ) 2 + 、( 8 + 。一。3 ) 2 + 茹氢露罩尹了? 羚 又出予存农有界聪域rc 印包含整个吸引予，使婆龄的繇一个轨道都包含农r 中【4 3 1 ， 其中： f 然 ( 。，y ，甸t 霞3 i x 2 + y 2 + z 一程一。) 2 黧s 其中e ：餐苎芋。因此旷+ 。一8 一。) 。芒擎。杰定理的麓箨，些系统是雾囊孰遭 落入吸弓l 域内，则得到大约估计；。；+ x 。一。一c ) 2 错等，所以t v s 一( n + 2 d 1 ) 2 一( 1 + 2 d 2 ) 矿一( b + 2 d 3 ) e 2 + 字( 铲+ 矿十e 2 ) = 一f 弛+ 2 d ，) 一乎】f 2 一k l + 2 龟) 一孚】矿一f p 十2 商) 一孚】2 i 乞0f 厶)f 2 0 ) 由条件麓) 或；嗡，寿：矿0 盈只毒警= 野一f 对，取等警。莰掰衙静零躲是滚 近稳定的，证毕。 注：1 ，尽管这个条件相对 3 1 】中的条件略为强一些，但比较容易验证。比如当d ，= 如= 复旦大学硕士毕业论文 1 8 d 3 一d 时，条件可以化为耦合系数d 满足条件d ；粤趁一；( 当n 1 一 1 ) ，即可达到混 沌同步 2 + 憩条 孚仅经是楚分条传，鄹恣条 孛满足时可以达到 霆涟遐步，若条转不滚足越也寒螫不 能同步。比如x 耦合时，即d l 0 ，d 2 = d 3 0 ，此时这个充分条件就失效了，因为邈时充 分条件变成了；等辫 l ，b 1 ) ，哦 ；瞪糌一8 】( 杀州，d 3 罴一； f 舢 刘系撬侧辑耦合在t 叫+ 。时达到冠步。 关于x 耦合( d t 0 ，d 2 = d 3 = 0 ) 问题，或y 耦合，z 耦合问题，可以同样利用 l y a p u n o v 黼数的方法褥翻箕充分条件，足需耩镦改一下诞髓过程中藏辅方法，英舀静是要 捷褥v 函数对t 的导数小于零 推论2 2 2 对于l o r e n z 系统p 1 ，的z 耦合问题仰d l 0 ，d 2 = 如= o j ，如果耦合系 数d l 满足 。菇糕一；泔， 则对适当的初值，只要其轨道最终落农吸引域范围内，耦舍系统p 甜在t 叶+ 。时达到 同步。 复旦大学硕士毕业论文 1 9 证明：阉样，作l y a p u n o v 姻数v = j ( 2 + 叼2 十( 2 ) ，则有； 1 ：，= 一( 。+ 2 d 1 ) f 2 + 8 f 智+ ( c 一3 ) 7 7 一( 1 + 2 南) ? 7 2 掣1 e ，7 + z 2 荨0 + y l 卵一( b + 2 d 3 ) m 吐茹( 纽专三进+ 蠹) ，即可得到矿 3 3 时， 弘藕念就零豁稳定阔步( 嚣螯? ) 及褒沦上漭，逶避梅造爱为复杂豹l y a p u n o v 函数，可 以改进充分条件的结论，这一点在后面的讨论中将还有说明 下面考虑一般情况线性耦合的同步问题设微分方程缀为： x = f ( x ) 其中x r ”，f ( x ) 可傲，虽导函数宥界邵存在m 0 ，使得1 d f ( x ) i l m ，这里 戆d f ( x ) 努愈薰溅数f ( x ) 熬j a c o b i 矩薄。 其藕合系统为； x = f ( x + d ( 卜x )( 2 1 1 ) ly = f ( y ) + d ( x y ) ， 、1 两式相减得； x y = f ( x ) 一f ( y ) 一2 d ( x y = ( d f ( x ) i x ：一2 d ) ( x y ) = ( a ( t ) 一2 d ) ( x y ) 这墨令4 ( ) = d f ( x ) i x ： 搿，为了计算鞠讨论的方倭，我稍经常取a ( t ) = d f ( x ) t x ：魁睁 利用l y a p u n o v 函数的方法，我们有下藏的定理。 复旦大学硕士毕业论文 2 0 f 2 ，l l 、 定理2 2 2 对于锄。，若存在m 0 ，使得i a ( t ) l 茎m 且d t + d m e 正定，则系 镰，| | j 统馏扩在t 呻十o 。畸遮到同步。 r ) 1 l 、 证明：令z = x y ，则戮4 可化为 牙= ( a ( t ) 一2 d ) z( 2 ，1 2 ) 作l y a p u n o v 函数v ( t ) 一矿z ，于魑 y 矗) = 汐z + 矿玄 = z r ( a 丁( 站一2 d ，) z + z t ( a ( t ) 一2 d ) z = z t ( a t ( t ) + a ( t ) 一2 d 一2 d t ) z = - z t ( 2 d + 2 j 尹一a r 0 ) 一蔗0 ) ) z 一2 z t ( d + d t ) z + 2 m z t z = 一2 z t f d + d r m e ) z 王l t 、 2 l 拄 因为d + d r m e 正定，所以l 的零解怒渐近稳定的，扶而系统漪在t + o 。时 达到麓步， 茏毕。 注：1 对于耦合矩阵为d = d i 来说，满足条件d m 即可达到混沌同步此结论与上 一帮中提到的【2 j 的结论类俄， 2 】申的结论稽当把材取为a ( t ) 的一个时闻平均值静最大 篷，鄹最大条l 孛l y a p u n o v 指数。 2 由条件得知耦合矩阵鼢一般要求正定，通过相似变换可化成对角元素都大于零的对角矩 阵。为了逐一步改善结论，漳舔低淫淹同步簸侔霹藕合短簿蚤酶要求，我翻霹滚重灏梅遣 l y a p u n o v 黼数：v ( t ) 一z t s z = ，其中s 为正毙矩阵不妨设b ( t ) = a ( t ) 2 d v ( t ) = + = + 2 , 1 3 ) = z q b t s s b ) z 所以当b 。r s + s b 确保负定时，原系统就可以达到同步。我们可以通过数值的方法来调整 矩阵s 的选择，从而降低对耦合矩阵d 的黧求。 ( 气t l x 、 一- 下嚣我寒】分橱方程。鼢 麴线性他方程，这里取a ( t ) 避织的必囊量麟数矽( x ) 程孰遂 x ( t ) 上的j a c o b i 矩阵。令w y x ，则原耦合系统够酊的同步问腻转化为方程； w = ( 2 d + d f ( x ( ) ) ) w 7 = ( 一2 d + a ( t ) ；t ) ) l 矿( 2 1 4 ) 复旦大学硕