（市政工程专业论文）基于GIS的城市洪涝模型研究.pdf

基于g ls 的城市洪涝模型研究 摘要 结合先进的计算机技术和信息技术，采用现代化的计算理论来模拟和再现城 市外洪和内涝过程是当前用非工程措旄预防和治理城市洪涝灾害的热点，具有良 好的社会效益和经济效益。本文根据计算流体力学的基本原理，结合g i s 组件技 术，建立了城市洪涝模型，实现了城市洪涝过程的模拟。主要工作如下： ( 】) 根据三级解法建立了一维河网非恒定流模型，并提出了一种新的数据 结构来描述和储存河网拓扑信息，方便了g i s 平台和数值计算程序的衔接，实现 了三级解法程序的通用性；从河段方程组出发，根据虚设河段法推导出了内边界 条件的双追赶法公式，指明了虚设河段的追赶系数和非虚设河段追赶系数的关 系，从而使模型可以模拟集中旁侧入流、堰、闸、水泵等内边界对行洪过程的影 响。 ( 2 ) 根据简化有限体积法建立了二维漫顶非恒定流模型，提出了漫顶条件 下三级解法和有限体积法耦合的计算方法，提出网格数据结构的生成算法。 ( 3 ) 根据c o m 技术基本原理，在模型计算程序中引入g i s 技术，提出相应 的算法实现河网拓扑数据结构和网格数据结构的可视化、自动化读取和显示，方 便了模型的应用和普及。 ( 4 ) 将温州市区1 9 9 9 年的“9 4 暴雨”作为计算实例，计算了9 月3 日2 3 ： 0 0 至9 月6 日2 4 ：时段内的河网洪水过程及河段漫顶过程，与实测水位值的 对比结果表明，本文模型具有令人满意的精度，在城市的防洪减灾中具有较高的 实用价值。 关键词：城市洪涝模型三级解法有限体积法g i s 拓扑数据结构、 二维耦合模型 r 姻朗比ho g i s - b a s e dm o d df o r 川o o d & w a t e r l o 嚣i n g i nu r b a n a i e a a 蜘细c f i ti sah o tt o p i ct ob u i l dn 啪硎c a lm o d e l s ，n o te n g i n e 嘶n gm e 鹪u r e s ，t os i m u l a t c a n dp r c d i c t 也ep i o c e s so f t l l es t o n n w a t e r ，n o o d i n ga 1 1 dw a t i 耐o g g i n gi nt l l el l i b 趾a r e a t h o s em o d e l sa l w a y sb ee s t a b l i s h e db a s e do na d v a n c e dc o m p l i t c rt c c l l n o l o g ya n d 组f o r m a t i o nt e c h n o l o g y ，l a t e s ta l g o r i 也m 廿l e o r y ，w h i c hh a v eg r e a te c o n o m i ca i l d s o c i a lb e n e f i tc o m p a r i i l gt ot h ee n g 证e e 血gm e a s u r c s i i lt h i sp a p e r ，an o o d i n ga 1 1 d w a t e d o g g i n gm o d e l 、a sd e v e l 叩e du s i n gt h e l e o r yo fc f da 1 1 dm ec 0 m g i s t e c h l 0 1 0 9 y ，w t l i c hc a ns i m l l l a t et h ew h o l en o o d i n gp m c e s s 协1 1 i k mr i v e m e ta 1 1 dt 1 1 e w a t e d o g i n gp r o c e s si nm b a na r e a t h em a i nw o r k so f t l l i sp a p e ra r ea sf o l l o w s f i r s t ，a c c o r d i n gt ot 1 1 et h r e e s t 印m e m o d ，l du n s t e a d yf l o wm o d e li nr i v e r n e 柳o r ki si n t r o d u c e d an e wt o p o l o g i c a ls 协1 c t l l r ei sp r e s e r l t e dt 0d e s c r i b ea n ds t o r e t l l et o p o l o g y 血f o r m a d o na i l dd a t ai i lr i v e rn e 铆o r k ，w h i c hr e a l i s c st h ec o n n e c t i o n b e t w e e ng i sa n d 铷em l m e f i e a lp r o g r 锄o fh y d i 丑u l i cc a l e u l a t i n ga n d 抛m st h e p r o g r a l ni n t oau 面v e r s a lo n c an e wf b 珊l l l ao fi n t l ：m a lb o l l n d a r yc o n d i 埴o n s ，i t h d o u b l e - r e c l l r s i o na l g o r i t h mi sd c d u c c d ，a n d 也er e l a t i o n s h i po fr e 咄。s i v ec o e m c i e n t b e 佩圯e n i m a g i n a d r c h a n n e l l e n g t h 蛐d n o n i m 晤i l a r y c h a n n e l l e n g i h i s p r e s e n t e d ，w h j c hm a k e ss u i et h a t 也em o d e lc a nc o m p r i s e 血en m e r i c a ls i n l u i a t i o no f 也ei n t 铷a 1b o u r l d 商e ss u c ha ss i d ep i p eo u t n o w a r m g e ，s 【i c eg a t ea n d 出a i 髓g e p u i i l ps t a t i o n s e c o n d l y ，t 1 1 em o d e lo f2 一do v e r t o p p i n gu n s t e a d yn o w b a s e do nf i m t ev o l 啪e m 酣l o d f v m ) i sp r e s e n t e d m 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o2 4 ：o o 1 9 9 9 9 5 c o m p a r i i 坦t ot 1 1 et c s t i n gd a 慨o f w a t e rl e v e l ，t h er e s u hs h o w st t l a tt h ea c c u r a c yo f t l l e m o d e li se n g i n e e r i n gp r a c t i c a la n dt h em o d e lc a nb eu s e dw i d e l yi n b a nn o o d c o n t m la n dd i s a s t e rp r e v e n t i o n k e y w o r d s ：n o o d & w a t e r l o g g i n gm o d e li nu r b a na r e a t l l r e es t e pm e t l l o d f i i l i t ev o l 啪em e t h o d ( f v m ) g i s t 叩o l o 西c a ld a t as 缸u c t i l r ec o u p l i n gm o d e l o f 】j da 1 1 d2 d 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 6 )第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究的背景及意义 在城市发展过程中，河流一直扮演着极其重要的角色。具体来说，除了可以 用作供水水源外，它还兼有防洪、排涝、航运、灌溉、景观及生态环境保护等功 能。特别是其中的排涝和防洪功能在当今城市规模日益扩大、不透水面积不断增 加，城市防洪和排涝形势日趋严峻的情形下显得更加突出。 外洪和内涝是城市水灾的两个方面，这两个方面既互相联系，又互相区别。 说相互区别是两者的侧重点不一样。防洪侧重于防止外江水倒灌城市，内涝侧重 于城市积水的排除。而之所以又说互相联系，是由于两者都是由暴雨或台风引起， 通常是外洪同时伴随内涝。尤其是临江沿海城市，由于受到外江高洪水位的影响， 内涝难以排出，需要使用泵站抽排，但如此又抬高了外江水位，如若碰上大潮， 极易形成洪水倒灌，造成内河漫顶，形成更严重的内涝。 据统计，1 9 9 3 年至1 9 9 7 年之间，我国因洪灾造成的直接经济损失7 1 9 2 亿 元，其中城市的损失约占7 0 。1 9 9 8 年至2 0 0 2 年的5 年间，我国洪涝受灾面积 6 0 4 7 万h j i l 2 ，成灾面积3 6 2 7 万h m 2 ，直接经济损失5 6 5 3 8 亿元。与此同时，内 涝的灾害也日趋严重。2 0 0 4 年，北京市因强降雨造成城区大面积积水，交通局 部瘫痪，近5 0 0 0 间平房进水严重。上海市因灾造成7 人死亡、2 5 人受伤。广州、 武汉等市城区局部遭受水浸。2 0 0 5 年，6 月2 2 日广东特大暴雨造成直接经济损 失4 个亿。 由此可见，洪涝灾害已成为制约我国发展稳定，构建和谐社会的心腹之患， 如何做好城市防洪治涝工作，减少灾害损失是2 l 世纪我国防灾减灾的重中之重。 就目前来看，治理城市洪涝灾害可以分为工程性措施和非工程性措施。利用 现代先进的计算机技术、计算方法来建立城市雨洪和排涝模型，准确地预测不同 量级外洪及内涝可能形成的内河水位、淹没范围、水深、流速以及淹没持续时间， 评估洪涝灾害的损失，对即将发生的洪涝进行实时预报，并为科学地制定防洪排 涝方案提供参考和决策支持是目前城市防涝减灾新的研究方向。 然而，目前我国却普遍存在着城市防洪和排涝不协调的状况。防洪往往侧重 外江水位，治涝往往侧重城区内积水，很少将两者结合考虑。事实上，外洪过程 往往伴随内涝过程，没有泾渭分明的界限，尤其在沿海城市，存在外洪、内涝、 大潮“三碰头”的情况。因此，在构建城市防洪排涝系统的时候，应该将城市的 l 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 6 ) 第一章绪论 暴雨过程、地面产汇流过程、管网汇流过程和河网汇流过程统一考虑，并结合城 市外江水位和潮位过程，才能准确的模拟城市外洪和内涝的排除过程，并根据暴 雨强度、城区内地形、外江潮位水位等边界条件，自动模拟外江倒灌、河流漫项、 市内积水等各种特殊情况。 本课题“基于g i s 的城市洪涝模型的研究”是浙江省重点科技攻关项目“城 市雨洪及排涝模型的研究”的子课题。在城市雨洪及排涝模型建立过程中，城市 河网是连接内涝和外洪的重要部分。本文将对城市河网的非恒定流计算进行研 究，并结合考虑洪水漫顶后的一、二维耦合计算。这对城市防洪与排涝模型的建 立有重要的意义。 1 2 研究方法及研究现状 本论文中城市洪涝模型采用的研究方法有两个，一是一维河网非恒定流的三 级解法，另一是模拟二维非恒定流的有限体积法。 1 2 1 一维河网非恒定流计算的研究现状 一维河网非恒定流演算常采用差分求解圣维南方程的方法。河网计算问题虽 然属于一维问题，但由于在节点上要考虑水流衔接情况，增加了问题的复杂性。 因此，人们对此进行单独研究。发展到现在，河网洪水演算的差分方法可分为显 格式差分法和隐格式差分法。隐格式差分法又可以分为直接解法、分级解法，汉 点分组解法。 具有岔道支流的明渠不恒定流一文中作者采用了显格式差分方法“1 。由 于显格式稳定性受柯朗条件的限制，计算的时间步长控制非常严格，否则会发生 不稳定，因此在这方面的研究文献相对较少。 隐格式方法可以分为直接解法和分级解法。直接解法是求解由河段内各微小 河段及内( 汉点) 、外边界方程构成的河网方程组。李岳生“1 等提出的河网不恒 定流隐式方程的稀疏矩阵解法就属于这种解法，是国内首篇有关河网水系计算的 研究论文，是早期常用方法。但是由于直接解法形成的矩阵是大型的、不规则的、 不对称的稀疏矩阵，计算量十分庞大，对于求解大型河网几乎是不可能的。 分级解法是在近期才发展起来的方法，相比较改变矩阵结构，硬性减少未知 数的方法“”及省略惯性项的方法“”，它在不降低精度的前提下简化了计算。 它首先由荷兰学者d r o n k e r s 提出。它的基本思想是将未知数集中到汉点上，待 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 6 ) 第一章绪论 汊点的未知数求出后，再对各个河段当作单一河段求解“1 。因而分级解法较直接 解法更为有效。据此有关专家又提出河网求解的三级解法和四级解法。 三级解法由河海大学张二骏等在2 0 世纪7 0 年代提出，基本思想是在二级解 法的基础上，将所得到的河段方程进行自行消元，可以得到一个以流量和水位为 隐函数的方程组：然后将方程组直接代入叉点衔接方程和边界点方程，消去流量， 就可以得到河网的三级连接方程组，然后求得各个汉点的水位值，并对各个河段 进行求解0 1 。三级解法是目前河网非恒定流演算的主流方法之一，相关文献比较 多，研究较成熟。 四级解法由吴寿红等提出，他的基本思想是从三级解法中的三级连接方程组 中分离出外边界方程和汉点方程，由剩下的方程构成四级连接方程组，然后将第 一步所得到的结果和汉点能量衔接方程，最后由剩下的方程构成四级连接方程 组，四级方程一解出，乘以相应的系数就可以得到三级解。然后按三级解法进行 求解“”。 河网的其他解法包括叉点分组、单元划分“”“2 “”1 等。 综合上述方法，显式差分方法对差分步长有严格限制，不适合具有通用性的 程序编制。隐式虽然对时间每一次迭代都要求解一次高阶代数方程组，但随着计 算机技术的发展，已可满足河网计算需求。直接解法系数矩阵阶数为河网选取断 面数的两倍，二级解法为河段数的4 倍，三级解法是2 倍，四级解法是1 倍。 由此可见，四级解法应该最经济。但是它在形成四级连接方程组的时候增加了计 算代价，且该过程比较复杂。因此笔者认为求解河网非恒定流，三级解法是最好 的方法。 河网三级计算自张二骏等提出后，程文辉等用双消除法推导了三级解法的基 本公式“”。后为了避免采用因高斯消元法带来的断面优化编码等问题，提出了 基于迭代法求解线性方程组的矩阵标识法“”。但是，这些文献仅仅通过适当的 方法优化代码，但并没有对河网的拓扑结构、断面数据的存储和交互进行探讨。 为了提高程序的通用性和优化代码，本论文将采用一种新的数据结构描述河网。 1 2 2 二维浅水非恒定流计算的研究现状 描述二维非恒定浅水流动的控制方程组是二维圣维南方程组，通常没有解析 解，只能采用数值方法。数值解法可以分为有限差分法、有限元法和有限体积法。 有限差分法( f d m ) 是最早提出的方程离散方法，但真正应用于流体力学计 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 6 ) 第一章绪论 算是在2 0 世纪6 0 年代后，最初多用于正规网格和松弛解法。1 9 6 8 年引入交替 方向隐式差分法，7 0 年代末提出上游加权有限差分法，至今已形成许多成熟的 算法格式和软件“”“”。 有限差分方法理论简洁，直观易懂，是一种传统而又成熟的方法。其收敛性、 误差分析、稳定性等理论上研究较多，尤其适合于非恒定流问题。计算机模拟浅 水流动最初用的就是f d m ，至今其应用仍最为广泛。但是弱点是传统的矩形网格 不能较好的适应复杂的边界，对计算域的周边界逼近较差，尤其是转折点处。 有限单元法( f e m ) 是1 9 5 0 年一些飞机结构工程师首先提出的一种数值方 法，2 0 世纪6 0 年代有限单元法开始应用于流体力学，最初是联解一些线性问题， 到7 0 年代已推广应用于非线性问题的研究“”。 有限单元法对控制方程在空间上用有限元离散在时间上用有限差分求解。该 方法计算精度较有限差分法高，并能很好的适应不规则的复杂边界。但是由于计 算非恒定流的时候计算量太大，且基于残差最小的有限元法适于求解椭圆方程问 题，主要用于不可压流，因此该方法在浅水流模拟中应用不广“”。 有限体积法( f v m ) 通过将计算域划分为不规则网格单元，逐单元进行水量 平衡和动量平衡。它最早由m c d o n a l d 在1 9 7 1 年首次用于求解二维欧拉方程， 1 9 7 2 年被p a t a n k a r 等用于s i m p l e 算法，计算恒定不可压流。但当时的f v m 采 用交错矩形网格，通量计算也相当中心格式。1 9 7 7 年j 锄e s o n 开始应用于气流 计算。随后，随着无结构网格的普及和通量算法的改进，在f v m 的实现上有很大 的丰富和提高，在计算流体动力学中广泛应用，十分成功“”。 程晓陶在分蓄洪区洪水演进数值模拟中，吸收了有限差分法和有限体积法的 优点，在网格周边计算流量，在网格形心计算水位。由于考虑到漫滩洪水的特殊 性，作者对动量方程进行了适当的简化。这种计算方法，值得借鉴“”。 有限体积法结合了有限单元法和有限差分法的优点，因而是理想的计算方 法。但也增加了计算量。其他方法如坐标变换等，也存在着计算量大和缺乏网格 划分灵活性等问题。“”因而本文采用程晓陶的简化有限差分法。 1 2 3 一维与二维水动力学耦合模型的研究现状 关于一维河网的三级解算和二维漫滩的耦合计算，所涉及到的文献较少。本 论文将对此进行研究。 大范围水体全过程、全系统耦合模型研究是当前的水环境数学模型领域的研 浙、大学硕士学位论文( 2 0 0 6 )第一章绪论 究热点。如大气水、地表水耦合模型，地表水和地下水耦合模型等“”。综合目 前的研究，一、二维耦合模型主要用于河口模型。主要成果需要解决的问题有两 个。第一，数值计算方法的选取。一般对河网计算采用有限数值差分计算方法。 其中赖锡军、汪德灌考虑了支流汇入的模型。具体对干流用二维的有限差分法计 算水流。对一维的支流采用隐格式的有限差分法求解“”。诸裕良、严以新等在 海湾模型中对河网采用三级解法模拟，对海湾采用有限差分的交错网格方法1 。 张惠英、严以新等在黄茅海域入海口模型中，用显格式来模拟一维水流，用交错 网格的有限差分法模拟海水流动”。郑国栋、黄东等在河口模型中用三级解法 模拟河网水流运动，用有限差分法模拟二维水力运动”1 。而徐祖信、尹海龙则 用有限元法求解一、二维水流“”。第二，一维与二维水动力模型的耦合。在一 维、二维水动力模型的耦合计算中，基本思路是在断面的连接处，根据流量、水 位相同的条件求解，至于具体的求解方法，在河口处，一是将一、二维模型区域 延长一段重叠段求解，或者不延长一段重叠段，而在耦合模型连接处求解“”“” 本论文所涉及的一、二维耦合模型与上述模型存在重大区别1 - 上述模型均 是河口模型，而本论文涉及的模型是洪水漫顶模型。两者在性质上有所区别2 上述模型在计算数值方法上各有侧重。而本论文所采用的三级解法和简化的有限 体积法在漫顶处的衔接上面的论文并未涉及。3 衔接处，河口模型常考虑水位流 量值相等，而漫顶计算中，上下游水位显然不同，且流量由上下游水位决定。4 河口模型为了避免形成锯齿形网格，在交接处常常用特殊的方法划分网格，而本 模型并不需要。 为此，本论文在河口模型的基础上，探讨了漫顶模型的一、二维衔接方法。 1 2 4 相关仿真模型的研究现状2 7 2 们n 钉 目前在国内比较成功的城市暴雨沥涝仿真系统是中国水利水电科学研究院 开发的沥涝仿真系统。该系统在g i s 的基础上，在城市平面划分网格，采用数值 计算二维非恒定流的有限体积法，在网格中心计算水位，在周边计算流量，从而 模拟地面积水的形成和排除过程。在具体涉及河道和管道的地方，采用一维非恒 定流模型计算，在二维和一维的边界上，用流量或水位条件进行衔接。模型的主 体是城市地表的二维非恒定流模型，主要侧重点在于地面积水的模拟，主要计算 成果是地面积水的范围和积水水深和积水时间，管道和河道的一维计算主要为城 市地表的二维计算服务。 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 6 ) 第一章绪论 g i s 在该系统中的作用主要体现在两个方面。一是在信息前处理部分，对地 表进行网格划分，读取地表各个属性数据，并输入系统。二是信息后处理部分， 主要体现在三个方面：( 1 ) 用颜色深浅表示网格水深大小，水量深浅，以城市地 形为背景，并将两者叠加来表示计算结果；( 2 ) 计算结果查询，系统可以让用户 对任意网格和计算重点区域进行查询，查询内容包括最大值和过程；( 3 ) 图形管 理，实现地形图放大、缩小和储存等功能。 该系统已经运用于国内天津、深圳等城市，取得了较好的计算精度，可以较 合理的模拟城市的暴雨沥涝过程，并用于暴雨沥涝的监测及预报模拟。该系统在 收集了城区雨量站实况降水资料和数值预报模式预报结果之后，通过对地面产汇 流的数值模拟，实时监测城区的积水范围和积水过程，并对未来可能降水条件下 城区可能积水情况提供预报预警，为市政排水和规划部门提供决策参考，从而提 高城市的防灾能力。 天津市沥涝仿真模型确切的说是一个模拟内涝积水的模型。其主要模拟的是 暴雨过程中，地面积水的生成过程和退水过程，和城市地表积水由河道排除的过 程。因此该模型以城市地表的二维计算为主体，以河网的一维计算结果作为二维 网格计算的修正，一维计算和二维计算紧密结合，不考虑外洪的进入和内河水位 的漫项，也不涉及外江潮水的倒灌，朗该模型只能模拟内涝，不能模拟外洪。 本论文的河网洪涝模型以河网为主要计算对象。具体计算方式是一维三级解 法计算和二维漫顶计算并重，在处理方式上，两个模块相对独立，只是在连接处 即漫项处进行连接。这样的计算能更准确的反应实际情况。 1 3 本论文的主要研究内容 作为城市防洪排涝模型的子模型，本论文在g i s 的平台上，以城市外江湖位 和潮位过程、地表暴雨汇流过程作为计算的边界条件，通过数值方法，模拟城市 河网行洪过程，并综合考虑河流漫顶，外江潮水洪水倒灌等特殊情况，从而实现 城市防洪计算和排涝计算的结合，为后续的城市防洪排涝其他子模型的建立打下 坚实的基础。 一般来说，城市暴雨过程、地面产汇流过程、排涝和防洪过程是一个有机整 体。只有把各个方面结合起来考虑，才能准确、全面的反映一个城市暴雨沥涝过 程。而城市河网是排除内涝和防止外洪的关键，以目前的研究来看，以g i s 为平 台，把计算河网非恒定流的三级解法运用于城市防汛，并考虑一维的三级计算和 6 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 6 ) 第一章绪论 二维的有限体积法计算耦合以实现城市洪涝模拟相结合尚无先例。这也是本论文 的价值所在。 河网演算的三级解法自张二骏“”提出以后经过程文辉“、李光炽“”等人 的改进，已经成为一种成熟的算法，并经过了长期的实践检验。二维非恒定流计 算的有限体积法也在湖泊、分蓄洪区、地表积水等方面的广泛运用并得到了检验 且日趋成熟。因此在本论文中采用这两种方法进行建模是可行的。但是把它们运 用于城市河网的防洪和排涝计算是一种新的尝试，会带来一些新的问题，它们分 别是： ( 1 ) 关于河网拓扑结构描述的问题。在程序中需要采用一种新的数据结构 来储存和表达河网，使程序具有通用性。 ( 2 ) 关于河网内边界条件的计算的问题。城市河网不同于天然河网的地方 主要是涉及大量的内边界条件，它们分别是堰、闸、排水泵站、两岸雨水管道的 集中旁侧入流等。需要采用合适的方法加以解决。 ( 3 ) 关于一维河网的三级解法和二维漫顶的有限体积法衔接的问题。河流 的二维漫顶不同于湖泊的二维流动。因此需要对动量方程进行适当的简化，并采 用合理的方法进行一、二维耦合。 ( 4 ) 关于水力计算和g i s 结合的问题。 基于以上问题，本论文的研究内容主要有五块： ( 1 ) 建立一维河网拓扑结构模型。提出一种不同于邻接矩阵和邻接表的新 的数据结构，该数据结构不仅能储存并描述河网的拓扑结构，同时可以储存河网 断面及河道有关数据，从而实现程序的通用性。 ( 2 ) 采用虚设河段法，对双追赶法，推导并证明新的河道集中入流公式。 并对堰和闸门等内边界处理方法进行推导。 ( 3 ) 建立二维漫顶模型。使用新的方法，对一维河网演算的三级解法和二 维漫顶计算的有限体积法进行耦合计算。 ( 4 ) 编制相应的计算程序，采用组件技术，把g i s 引入模型，使得数据输 入和输出可视化。 ( 5 ) 结合具体的算例，对模型进行验证，并进行误差分析。 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 6 ) 第二章一维河网非恒定流模型的建立 第二章一维河网非恒定流模型的建立 本章的主要内容是采用三级解法建立一维河网非恒定流计算模型。在具体建 模过程中，提出了新的描述河网拓扑信息的数据结构，并对集中旁侧入流、堰、 闸等内边界条件推导了新的计算公式。在本章的最后设计了三级解法计算程序。 由于程序录入的数据太多且易出错，因而在第四章将引入g i s 实现数据录入的自 动化和可视化。 2 1 一维河网计算的三级解法简介 一维河网三级演算的方法是基于圣维南方程组的四点隐式差分。它最初由张 二骏提出，后由程文辉推导了外河道和内河道的流量水位递推公式，最后由李光 炽等提出矩阵标识法解决了河网编码复杂性的问题1 0 1 41 5 1 。 2 1 1 河网非恒定流基本方程组 在河道、渠道、水库、湖泊、池塘，以及在有自由表面的排水管道、输水管 道、廊道、隧洞和涵洞中的水流，当其流速随时间变化时，称为明渠非恒定流。 非恒定流计算是一个重要且困难的数学问题，圣维南在研究明渠非恒定流的 时候，作了以下假设”： ( 1 ) 波面是渐变的，即沿垂线压力呈静水压力分布： ( 2 ) 非恒定流的摩阻损失和恒定流相差无几： ( 3 ) 断面流速分布对传播无实质性影响； ( 4 ) 波的运动是二维的，由横断面中最终可能出现的水位差造成的影响 可忽略； ( 5 ) 渠道底部的平均坡度很小。 正是在这些假设的基础上，圣维南推导出了后来以他名字命名的圣维南方程 组。 连续方程： 能量方程： 望+ 曰丝：。 叙a 1 ( 2 1 ) 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 6 ) 第二章一维河网非恒定流模型的建立 署+ 2 “署+ c 鲥一肼，罢一“2 ( 罢 ，+ g 慕絮= 。 c z z ， 其中，x ，f 为距离和时间，爿为过水断面面积，q 为流量，z 为水位，g 为旁侧 入流，“为流速，g 为重力加速度， 为糙率，r 为水力半径。 对于河网还需要补充结点处衔接条件，衔接条件包括两个方程，一个是水量 平衡方程，另外一个是能量衔接方程“1 。 喜钟= 警 亿s ， 矿1 + 譬埘1 譬叫譬埘1 譬 汜a ， 2 9 z gz g z g 式中：聊分别表示与某一叉点相连的河段数和叉点号，吒表示叉点的蓄水量。 “代表流速，艿代表修正系数。 再假设汇合区水位变化很小，水位变化引起的汇合区的水体体积变化不计的 情况下，( 2 3 ) 式可以简化成 钟= o 忙1 ( 2 5 ) 在不考虑能量损失和流速水头的情况下，可假定叉点处水位处处相等，即 ( 2 4 ) 式可改写为： z l = z q t 2 6 ) 由于圣维南方程组是一阶双曲型偏微分方程组，目前尚无解析解。一般采用 数值求解，如特征线法和有限差分法等。 2 1 2 差分格式的选取及差分方程组的建立 在各种非恒定流计算的数值方法中，隐式差分法由于无条件稳定，对时间步 长的选取和河段划分等方面限制较少，特别在单河道的情况下，所形成的矩阵 比较规则，因此是广泛采用的方法。隐式差分中的线性隐式的好处是计算相对简 9 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 6 ) 第二章一维河网非恒定流模型的建立 单，可以根据时段初的情况来确定运行方式，因此在实用上线性隐式被广泛采用。 三级解法就是采用四点线性隐式差分格式“。 式( 2 1 ) 和式( 2 2 ) 中的偏导数、系数项、一般项可用下面的差商近似“： 丝：型：! 盛1 二型二丝s a 2 f 堂：堡f 盛! 二复：1 2 ! ! 二鱼! ! 兰! ! ：二益! a x缸 ( 2 7 ) 图2 1 四点短形网格 式中善代表变量、系数或一般项，上标表示时刻，下标表示断面位置，口为权重 系数( 图2 1 ) 。 当取 岛= 岛= o ( 2 8 ) 时，式( 2 7 ) 就是显格式差分；取 q = 岛0 5 ( 2 9 ) 时，式( 2 7 ) 就是非线性隐式差分格式；取 最o 5 ，岛= 0 ( 2 1 0 ) 时，式( 2 7 ) 则构成线性隐式差分格式。 显格式虽然简单，但是受计算稳定性条件的限制，计算步长f 要取得很短。 而一般天然河道中水流受洪水，潮汐和水电站所引起的非恒定流历时很长，因此 用显格式需要花费很多时间。 非线性隐式是无条件稳定，其f 往往比显式大几倍到几十倍。虽然非线性 1 n 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 6 )第二章一维河网非恒定流模型的建立 方程组求解较麻烦，需迭代计算，但花费机时较显式少，因此此格式较为经济。 线性隐式只需要求解线性代数方程组。从计算稳定性角度来看，线性隐式也 是无条件稳定。但由于其系数项和一般项是根据时段初值近似估计的，因此从计 算精度而言，计算时间步长不宜太长。在精度相仿的情况下，线性隐式机时仍较 显式少。 当边界条件较复杂时，非线性隐式求解变得非常复杂，往往导致迭代不收敛。 而且线性隐式的好处就是可以根据时段初的情况来确定运行方式，所以在实用上 线性隐式被广泛的采用“”。 按照p r e i s s m a n n 格式( 四点线性隐式差分) 的要求对圣维南方程组进行离 散，即将式( 2 7 ) 、式( 2 1 0 ) 代入连续性方程( 2 1 ) 和动量方程( 2 2 ) 并整 理可得差分方程组( 即所谓微段方程组) “： 一q ：+ c 。z 。+ q t “七c i z i n = d ( 2 1 1 ) e f 蟛一，j zj 十l ，r 蟛+ 1 十，l 三2 + 1 = 仍 方程组中将时间上标j 省略，下同。 方程组中的计算系数为： e = 盖( 功0 d f = 字托( z 烨m + 半( q j 缘1 ) 耻盖也：；+ 争馘壮) ； q = 盖他：；+ 詈扯，( 曲二， ( 2 1 2 ) f = ( 毋4 一口“2 ) i 川， 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 6 )第二章一维河网非恒定流摸型的建立 纯2 鲁c 纠蛾心眦+ 竽k m c 。+ 鱼竽( 刚嘞2 战小互也。) + 等枷。，： 其中口为权重系数，可以根据计算的要求进行选取，为了确保稳定性，本文取 目：1 ，且城市河道一般为棱柱形断面，因此，掣：o ，由此，系数可以简化为： 珊 c = 篆( 功0 d i = q 缸j + c t q | + z ：0 驴告地：；+ 弘一c 器 组 g 。= 鲁他l + 争吲甚 f = ( 鲥一渤2 ) j + 。 红= 鲁( 纠+ 由于方程组( 2 1 1 ) 系数中并未包含未知数z j “，纠“，因此，差分方程组 ( 2 1 1 ) 是线性方程组。 2 1 3 三级解法基本思想 假定一个河网系统中断面数为，河段数，汊点数m ，边点数j v 。那 么系统中就有2m 个未知数。由四点线性隐式差分格式建立的微段方程个数有 2 ( 。一，) ，再加上2 ，一。个汉点方程，。个边界点方程，组成的方程组即 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 6 )第二章一维河网非恒定流模型的建立 所谓连接方程组的方程的数目是2 。，方程组封闭，因此从理论上来说，这个 方程组是可解的。 但是连接方程组的系数矩阵即所谓连接矩阵是一个庞大的、不对称的稀疏矩 阵。直接求解，即采用所谓的直接解法，代价是巨大的。 一般来说连接矩阵之所以庞大是由于微段方程的缘故。如果每一个河道只有 一个微段方程，则矩阵的尺度和存量必将大大减小。因此，这就提示我们，在一 个河道中，如果能采用一对表示河道首尾断面问水位和流量关系的方程组，代替 众多的微段方程，以缩小存量是我们可以考虑的步。 通常来说，我们可以先不考虑边界点方程和汊点衔接方程，先针对每一个河 道的微段方程组。对微段方程组进行消元，可以消掉除首末断面外所有中间断面 的未知流量和水位，最后得到2 个只包含首末段面未知流量和未知水位的方程 组。如果有，个河道，则最终的河段方程组数目为2 ，未知数为4 ，个。结 合边界点方程和汊点衔接方程，可以得到连接方程组的个数为4 ，个。如果我 们更进一步，在联解前将2 个河段方程再进行一次消元，消掉首末断面的未知流 量。这样我们形成的连接方程组只以水位为未知数，这样我们的方程个数又减少 到了2 j v ，个。求解这个连接方程组，便可以得到每个首末断面的未知流量和水 位，再将他们回代到每个河道的微段方程组中求解，便可以得到所有断面的未知 流量和水位。这个就是三级解法的基本思想“”。 2 1 4 用双消除法( 追赶法) 实现三级解法1 按照三级解法的要求，我们应该首先对一个河道的微段方程组进行消元，本 小节就从这里入手。 设一条概化河道如图2 2 。 l2 it r l l2 3i _ lin _ 1n 图2 2 河道、结点、断面 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 6 ) 第二章一维河网非恒定流模型的建立 图中，直线上数字代表河段数目，直线下数字代表断面编号，l 为首断面， n 为末断面。该概化河道共划分为n 个断面，n 1 个河段。对该河道列形如( 2 1 1 ) 的河段方程组，可得到n 1 个河段方程组( 2 1 5 ) ，方程组共缺乏2 n 个首末断 面的边界条件，方程组不闭合。 g + c l z l + 皱+ c l z 2 = d l e lq 1 一ez l + g l q 2 + e z 2 = 仍 一q f + c ，z l + q j “+ c i z f + 1 = d e q fz f + g 。q “+ f z l + 1 = p 第一河段 第i 河段( 2 1 5 ) 一绒一+ c “乙一，+ q + q 一乙= d 一 第n l 河段 e 一，q 一一一e 一- z “+ 瓯一，q + 一，乙= 吼一， 求解如上方程组，可采用双消除法，从正反两个方向，消去一系列中间变量 q ，互，具体如下操作。 先从后往前消元，可得递推关系： q = 口，+ 屈z 。+ 茧z 。 ( f = 月一i ，聆一2 ，1 )( 2 1 6 ) 式( 2 1 6 ) 中的追赶系数如下： 口：兰! 丝二竺! ：! 堡2 二蔓! 垒二竺芏! 1 r e + y 届= 箍警 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 6 ) 第二章一维河网非恒定流模型的建立 六= 锴 y l = c 。+ p i + ，2 = u f f + i + ，j 当i = n 一1 时迭代初始值： 一镣 鼬= 筹 知= 糌 由此可得，河道首断面流量水位关系式 q 1 = 口l + 届z l + 鼻z 。 对方程组从前往后消元，可得： q = 只+ 玎z ，+ y z ( f = 2 ，3 ，n ) 追赶系数如下 y 2 ( d ，一+ 只一。) 一k ( 红一，一e 。只一) 旷等警 _ = c j _ i 一野j _ l 匕= 巨一。叩。一f 一 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 1 5 背 = ， 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 6 ) 第二章一维河网非恒定流模型的建立 对于迭代初始值i = 1 时有如下系数 a ：墨璺鱼 1 e + g ， 。一c 1 点l + e 旷一嵛 u ( 2 2 2 ) ，：生二g 墨 “ e + g 1 由此可得，河道末断面流量水位关系： q 。= 岛+ 巩z 。+ 以z 1 ( 2 2 3 ) 联立式( 2 1 6 ) 和式( 2 2 0 ) ，消去9 可得： z i ：生掣霉盥 ( 2 2 4 ) t p ! 一? 。 q 。= 仅+ p j z 。+ ：z 。 式( 2 2 4 ) 是求解河道非恒定流的基本方程，只要知道河道首末断面的水位 值，就可以代入求解得到各个断面的水位和流量值。根据三级解法，在上面的推 导中，我们得到的最重要的公式就是式( 2 1 9 ) 和( 2 2 3 ) 。 接下来考虑汉点衔接方程组，我们假定汉点水位处处相等，这样每个结点处 就只有一个水位，连接方程组得到进一步简化。将结点各个入流河道的末断面的 水位流量方程( 2 2 3 ) 、结点各个出流河道的首断面的水位流量方程( 2 1 9 ) 代 入结点水量平衡方程( 2 5 ) ，并结合式( 2 6 ) 便可以得到以该结点的水位及与 该结点相邻接的结点的水位为未知数的方程，称为结点方程。对于外节点，需要 边界条件，对于流量边界条件，只需将 钟= o 改为钟= q o ，对于水位 边界条件便可以直接知道该结点处的水位值。 假设河网共有n 个节点，则存在n 个未知水位，结合边界条件，每个节点可 列一个节点方程，正好形成n 个方程，方程组封闭。方程组的形式为： 爿z = 尺( 2 2 5 ) 式中a 为系数矩阵，即所谓的连接矩阵，其形式为 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 6 )第二章一维河网非恒定流模型的建立 = 口l l q 2 n 1 月口2 n 肼 z 为结点水位矩阵，r 为右端项列阵，r = ( ，1 ，如) 。 求解这个连接矩阵便可以得到每个结点处的水位，然后作为各个河道的首末 断面的边界条件再回代入方程( 2 2 4 ) 便可以求解得到各个断面的流量和水位。 如果是大型天然河网，那矩阵a 将是大型稀疏矩阵，为了减少循环次数，可 以用矩阵标识法求解该方程组。 2 1 5 矩阵标识法钉 在连接方程组求解过程中，有两种方法可以使用，一种是直接解法，另种 是迭代法。 直接解法必须解决下面三类问题： ( 1 ) 排列方程的未知元，使得对角线是 一个合适的主元，而且在消元过程中要保持系数矩阵的稀疏性结构；( 2 ) 尽量 避免零元素的运算； ( 3 ) 存储矩阵元素时应使矩阵的一行和一列元素能有效的 存取。因此，常采用带形储存的高斯消元法：即将方程按带宽极小的准则优化排 列系数矩阵，使其成为一带形矩阵，在带形矩阵中运算求解，避免零元素的储存 和运算，程序简单，没有收敛性的问题。但无法避免带内零元素的储存和运算， 且由于求解依赖于结点编码优化而难以通用。迭代法具有编程简单的优点，但必 须考虑收敛性问题。根据矩阵a 的所有特性，可采用迭代法求解，最常用的迭代 法是超松弛法。 式( 2 2 5 ) 的超松弛迭代法公式为： ，、卜l” z ? “= z j 一 ( z y + z ；一) ( 2 2 6 ) “” j = lj = l 从式( 2 2 6 ) 可见，如果能避免所有零元素的运算，即可以大幅提高计算效 果。按照矩阵标识法的基本思路，采用3 个数组来具体标识矩阵a 中随机分布的 非零元素序列 b = 6 1 ，6 。占， ，并将其存放于一