（理论物理专业论文）弯曲时空中的混沌动力学.pdf

摘要 本文将广义相对论与非线性动力学理论结合起来，同时主要运用 相空间技术和彭加莱截面方法研究了弯曲时空中的混沌动力学问题。 首先，在第一章中，我们给出几个混沌系统的例子，说明了牛顿轨 道动力学理论在研究复杂的动力学系统时的局限性。在此分别对牛顿 动力学理论和非线性动力学理论作了简要的介绍。 在第二章中，我们研究了在几种引力场中试验粒子运动状态的动 力学演化。在牛顿极限下，引力场的势函数关于赤道平面是对称的， 而且在赤道平面上试验粒子的运动是可积的。为了研究试验粒子偏离 赤道平面的运动，把整个运动近似地看成受到高阶徽扰的二维谐振子， 这时系统有不可积的h e n o n h e i l e s 势函数。在相空间中研究试验粒子 运动状态的演化时，我们发现试验粒子运动状态具有非周期的随机振 动特性，而且试验粒子运动状态的演化对初始条件有高度敏感性。同 时利用彭加莱截面分析的方法对不同的参数和初始条件进行研究，找 到了试验粒子运动状态在非赤道平面上的混沌演化，而且进一步发现 当电( 磁) 偶极矩增大时系统的混沌动力学演化更加显著。 在第三章中，我们研究了几种极早期宇宙模型的动力学演化。此 前，在研究宇宙早期爆胀期间各向同性和各向异性宇宙的动力学演 化时，o l i v e i r a 等人发现在相空间中有鞍点一中心型和鞍点型平衡点， 并且在平衡点附近的相空间拓扑结构具有不稳定同宿型轨道，该结 构由于轨道的纠缠而产生混沌动力学演化。我们在研究 y a n g m i l l s ( y m ) 场在毕安基i 型宇宙中动力学演化时，注意到其动力 学演化对初始条件有高度敏感性，同时我们还利用彭加莱截面分析的 方法发现了y m 场在毕安基i 型宇宙中动力学演化具有典型的混沌演 化特点。另外，在研究宇宙爆胀期间两个相关耦合的标量场的演化时， 得出了如下结论：随着场的能量密度和祸合系数的增加，系统的演化 从规则的运动转化为显著的混沌演化。 最后，我们研究了在黑洞时空中试验粒子运动状态的演化。在研 究试验粒子在极端荷电黑洞的引力场中运动时，我们利用相平面分析 法进行系统地研究了试验粒子轨道的稳定性。同时我们找到了椭圆型 轨道和双曲型轨道稳定性的条件。在研究e i n s t e i n m a x w e l l d u s t 系统 时，我们发现当引力场的强度较大的时候，系统的演化对初始条件有 高度的敏感性，即混沌动力学演化的特性。 众所周知，爱因斯坦方程是典型的非线性动力学方程。在弯曲时 空中动力学系统具有非常复杂的演化性质，因此我们期望在广义相对 论理论中找到另外的混沌动力学系统。 关键词：混沌动力学，彭加莱截面，相空间 p a c s n u m b e r s ：0 5 4 5 p q ，9 8 8 0 c q ，1 1 1 0 l m ， p a c c ：0 3 1 4 i nt h i st h e s i sw ei n v e s t i g a t et h ec h a o t i cd y n a m i c si nt h ec u r v e d s p a c e t i m ei nt h ep h a s es p a c e a n d u s i n gt h ep o i n c a r 6s e c t i o n m e t h o d t h i sw o r ki st h ej u n c t i o nb e t w e e nt h en o n l i n e a rd y n a m i c sa n d g e n e r a lr e l a t i v i t y a tf i r s tw eg i v es e v e r a le x a m p l e so fc h a o t i cs y s t e mt op r o v et h e l i m i t a t i o no ft h ec l a s s i c a ln e w t o n i a n d y n a m i c a lt h e o r y w h e nw e i n v e s t i g a t e t h e c o m p l i c a t e dd y n a m i c a ls y s t e m a s a n o v e r v i e w , w e i n t r o d u c et h eg e n e r a lt h e o r yo ft h en o n l i n e a rd y n a m i c si nc h a p t e ri i n c h a p t e r 1 1w ei n v e s t i g a t et h ee v o l u t i o no ft h et e s t p a r t i c l e i n s e v e r a l g r a v i t a t i o n a lf i e l d s b yc o n s i d e r i n g t h en e w t o n i a nl i m i t ，t h e g r a v i t a t i o n a l f i e l dp o t e n t i a li san o n i n t e g r a b l eh e n o n h c i l c ss t r u c t u r e t h e p o t e n t i a lh a sa r e f l e c t i o ns y m m e t r ya b o u ta l le q u a t o r i a lp l a n ea n dt h e m o t i o n ，w h i c hr e s t x i e t st ot h ee q u a t o r i a lp l a n e ，i si n t e g r a l t oi n v e s t i g a t ea n o n p l a n a r s t e l l a rm o t i o n d e v i a t i n gf r o m t h ep l a n a ro n e ，w e a p p r o x i m a t e l y c o n s i d e rt h em o t i o na sab i d i m e n s i o n a lh a r m o n i co s c i l l a t o rp e r t u r b e d b y h i g h e r o r d e r t e r m s ，s 0 w eo b t a i nh e n o n - h e i l e s p o t e n t i a l ，w h i c h i s n o n i n t e g r a b l e w i t hp e r f o r m i n gt h ee v o l u t i o no ft h em o t i o no ft h et e s t p a n i d e i nt h e p h a s es p a c e ，w e c a n o b v i o u s l y s e et h a tt h em o t i o n r a n d o m l yo s c i l l a t e sw i t h o u ta n yp e r i o da n dt h a tt h em o t i o no ft h et e s t p a r t i c l es e n s i t i v e l yd e p e n d so nt h ei n i t i a lc o n d i t i o n sa n dp a r a m e t e r s b y 1 1 1 p e r f o r m i n gp o i n c a r ds e c t i o n sf o rd i f f e r e n tv a l u e so ft h ep a r a m e t e r sa n d i n i t i a l c o n d i t i o n s ，w ef i n dt h ec h a o t i cm o t i o no ft h et e s tp a r t i c l e a n d f u r t h e rc o n f o r mt h a tt h ec h a o t i cm o t i o no ft h et e s t p a r t i c l e i nt h e g r a v i t a t i o n a lf i e l db e c o m e so b v i o u sw h e n t h ee l e c t o r a l ( m a g n e t i c ) d i p o l e i n c r e a s e s i nc h a p t e r1 1 1w ei n v e s t i g a t et h e d y n a m i c a le v o l u t i o no fd i f f e r e n t e a r l y u n i v e r s e sm o d e l s i nt h e p a s ty e a r s o l w e k ae ta lf o u n dt h a t p r e i n f l a t i o n a r y f r i e d m a n n - - r o b e r t s o n - w a l ka n db i a n c h ii xu n i v e r s e s p r e s e n tav e r yc o m p l i c a t e dd y n a m i c sw i t ht h ee x i s t e n c eo f c r i t i c a lp o i n t s o f s a d d l e - c e n t e r - t y p ea n ds a d d l e - t y p ei nt h ep h a s es p a c e t h et o p o l o g yo f t h ep h a s es p a c ea b o u tt h es a d d l ec e n t e r si sc h a r a c t e r i z e db yh o m o c l i n i c a l c y l i n d e r se m a n a t i n gf r o mu n s t a b l ep e r i o d i c a lm o t i o n sa n dt r a n s v e r s a l c r o s s i n g o ft h e c y l i n d e r s r e s u l t si nac h a o t i c d y n a m i c s w h e nw e i n v e s t i g a t et h ed y n a m i c a le v o l u t i o no ft h ey a n g m i l l s ( y m ) f i e l di nt h e b i a n c h iic o s m o l o g y b a c k g r o u n d ，w ef i n dt h a tt h el o n g - t i m eb e h a v i o ro f t h ee v o l u t i o ni sh i g h l ys e n s r i v et ot h ec h o i c eo ft h ei n i t i a lc o n d i t i o n s b y u s i n g t h ep o i n c a r 6s e c t i o n m e t h o d ，w ef u r t h e ri l l u s t r a t et h a tt h e d y n a m i c a le v o l u t i o no ft h ey m f i e l di nb i a n c h iic o s m o l o g y b a c k g r o u n d h a st y p i c a l l yc h a o t i c p r o p e r t y w ea l s of i n dt h a tt h ee v o l u t i o no fc o u p l e d s c a l a rf i e l d ss y s t e md u r i n gi n f l a t i o nm a y c h a n g ef r o mar e g u l a rm o t i o n i n t ot h ec h a o t i cm o t i o nw h e nt h e e n e r g yd e n s i t y a n dt h e c o u p l i n g c o n s t a n to ft h es y s t e mi n c r e a s e i nc h a p t e ri vw e i n v e s t i g a t et h ee v o l u t i o no f t h et e s tp a r t i c l ei nt h e b l a c kh o l e s p a c e t i m e w i t h t h e p h a s es p a c e m e t h o dw ef i n dt h a t e i n s t e i n - - m a x w e l l d u s t s y s t e m i sac h a o t i c d y n a m i c a l s y s t e m u n d e r a p p r o p r i a t ep a r a m e t e r sa n d i n i t i a lc o n d i t i o n s ，w h i c hm e a n st h a tn o n l i n e a r p r o p e r t yb e c o m e so b v i o u sw h e nt h eg r a v i t a t i o n a lf i e l db e c o m e ss t r o n g e n o u g h i ti sw e l lk n o w nt h a te i n s t e i n d y n a m i c se q u a t i o n s a t e t y p i c a l n o n l i n e a r e q u a t i o n sa n dt h ed y n a m i c a ls y s t e m i nt h ec u r v e ds p a c e - t i m ei s c o m p l i c a t e d ，s ow ee x p e c tt o f i n do t h e rc h a o t i c d y n a m i c a ls y s t e m si n g e n e r a lr e l a t i v i t y k e y w o r d s ：c h a o t i c d y n a m i c s ，p o i n c a t 6s e c t i o n ，p h a s es p a c e p a c s n u m b e r s ：0 5 4 5 p q ，9 8 8 0 c q ，1 1 1 0 l m ， p a c c ；0 3 1 4 v 湖南师范大学博士学位论文 第一章绪论 自从人类产生以来，人们对纷繁复杂而又变化多端的世界的认识 经历了从初浅的认识到较深刻地理解的漫长认识过程。 特别是对宇宙之初的认识，古今中外人们产生了非常浓厚的兴 趣，同时引入了“混沌”的概念。传统的“混沌”概念通常是描述混 乱、杂乱无章、乱七八糟的状态，从这个意义上讲，“混沌”与无序 的概念相同。我国古代的三五历中“未有天地之时，混沌如鸡子， 盘古生其中，万八千岁，天地开辟，阳清为天，阴浊为地。”它反应 了中国古代在盘古开辟天地之前，世界处于混沌状态的哲学思想。公 元前5 8 0 年左右，易乾凿度中“太易者，未见气也。太初者，气 之始也。太始者，形之似也。太素者，质之始也。气似质丽未相离， 谓之混沌。”另外大概在公元前4 5 0 年左右，庄子最后一篇中有一 则寓言生地描述为：在遥远的古代，“南海之帝为倏，北海之帝为忽， 中央之帝为混沌，倏与忽相遇于混沌之地，混沌待之甚善。倏与忽谋 报混沌之德，日：“人皆有七窍，以视听食息，此独无有，尝试凿之， 日凿一窍，七日而混沌死”。再者三国时期的曹植的七启中有“夫 太极之初，混沌未分”。旧时著名的启蒙读物幼学琼林的首句就 是“混沌初开，乾坤始奠。气之轻清上浮者为天；气之重浊下凝者为 地”。 弯曲时空中的混沌动力学 古巴比伦和古希腊对混沌的认识和中国古代相似。在古巴比伦人 认为混沌就是“在秩序的宇宙之前就已经存在的无秩序、无定形的物 质”。在古希腊早期的自然哲学和宇宙论中，混沌被认为是原始的混 乱和不成形的物质，而宇宙的创始者就是用这些物质创造出秩序井然 的宇宙。 然而在牛顿力学理论的建立和人们的日常经验影响下，却形成了 系列的机械决定论观点。特别是伟大的物理学家拉普拉斯【1 】在 ( ( p h i l o s o p h i c a le s s a yo np r o b a b i l i t i e s ) - - 书中关于决定论的一段描述： “g i v e nf o ro n e , i n s t a n ta ni n t e l l i g e n c ew h i c hc o u l da o m p r e h e n da l lt h e f o r c e sb yw h i c hn a t u r ei sa n i m a t e da n dt h em s p e c f i v es i t u a t i o no ft h e b e i n g sw h oc o m p o s ei t - - a ni n t e l l i g e n c es u f f i c i e n t l yv a s tt os u b m i tt h e s e d a t at oa n a l y s i s - - i tw o u l de m b r a c ei nt h es a m ef o r m u l at h em o v e m e n t s o ft h eg r e a t e s tb o d i e s o ft h eu n i v e r s ea n dt h o s eo ft h el i g h t e s ta t o m ；f o ri t ， n o t h i n gw o u l db eu n c e n a ma n dt h ef u t u r e ，a st h ep a s t tw o u l db ep r e s e n t b e f o r ei t se y e s ” 关于自然界的决定论牛顿力学有这个一个完美描述，一直到今天 人们都认同这样的观点。牛顿力学三大定律利用二阶微分方程很好地 描述了质点动力学特性，而对于研究有一定大小物体的动力学时只要 把它看成质点的集合来处理就可以了。这样如果我们知道了质点的初 始位置和初始速度，那么我们就能够根据牛顿定律计算出质点过去和 将来的运动状态。但是我们现在知道由牛顿定律为出发点形成的决定 论的观点是有问题的。因为通常情况下牛顿定律仅仅能够告诉我们那 湖南师范大学博士学位论文 些可积的动力学系统的演化情况，而这样的可积的动力学系统在自然 界是非常有限的。对于大量的具有内在随机性、不可积的现实非线性 动力学系统，我们不可能从牛顿定律出发利用统计的方法来研究它们 的演化特点。 在某种意义上说牛顿是非常幸运的，因为即使考虑到复杂的太阳 系时，它的运动轨迹是如此有规律，从而使人们能够非常准确地在较 短时间内的演化特点。为什么会如此呢? 主要是因为引力场的微弱 性，并且两体开普勒系统是可积系统。然而简单的三体引力系统就是 不可积系统。众所周知我们生活的太阳系是有大量有相互作用的天体 构成，因此它的运动必然和开普勒定律所预计的有所偏离。从而会使 人们想到这样的问题：太阳系为什么会如此有规律? 【2 】它的现状会永 远维持下去吗? 在英国皇家学会主办的纪念牛顿( p r i n c i p i a ) ) 一书发表3 0 0 年会 上，拉特希奥( l i g h t h i l l ) 【3 】对由牛顿定律为出发点形成的决定论的 观点提出疑问，他说：“is p e a k o n c ea g a i no nb e h a l fo ft h eb r o a d g l o b a lf r a t e r n i t yo fp r a c t i t i o n e r s o fm e c h a n i c s w ea r ea l l d e e p l y c o n s c i o u st o d a yt h a tt h ee n t h u s i a s mo fo u rf o r e b e a r sf o rt h em a r v e l o u s a c h i e v e m e n t so fn e w t o n i a nm e c h a n i c sl e dt h e mt om a k eg e n e r a l i z a t i o n s i nt h i sa r e ao fp r e d i c t a b i l i t yw h i c h ，i n d e e d ，w em a y h a v eg e n e r a l l yt e n d e d t ob e l i e v eb e f o r e1 9 6 0 ，b u tw h i c hw en o wr e c o g n i z ew e r ef a l s e w e c o l l e c t i v e l yw i s ht oa p o l o g i z ef o rh a v i n gm i s l e dt h eg e n e r a le d u c a t e d p u b l i cb ys p r e a d i n gi d e a sa b o u tt h ed e t e r m i n i s mo fs y s t e m ss a t i s f y i n g 弯曲时空中的混沌动力学 n e w t o n sl a w so fm o t i o nt h a ta f t e r1 9 6 0 w e r et ob e p r o v e d i n c o r r e c t 。” 牛顿理论建立3 0 0 多年以来，关于太阳系的演化及其运动的稳定 性问题直萦绕在物理学家和数学家心中。直到计算机的飞速发展和 微扰展开方法数学理论的建立，问题才有新的进展。到1 8 世纪，欧 拉( e u l e r ) 、拉格朗日( l a g r a n g e ) 、和拉普拉斯( l a p l a c e ) 等人利用小 微扰方法在物体运动的几何特性及其稳定性的研究方面作出了重要 的贡献。同时拉格朗日( 4 】按不变原则重构了牛顿力学，这样极大地拓 展了我们对动力学系统的研究领域，使我们能够直接研究连续物体的 动力学。 1 9 世纪期间随着两非常重要的理论的建立，奠定了我们现在力 学理论的基石。第一，哈密顿( h a m i l t o n ) 【5 】重建立了在正则动量一 正则坐标相空间中研究动力学系统的方法，它代替了在速度一坐标相 空间研究动力学演化的拉格朗日方法。哈密顿理论的重要性在于在相 空间中运动轨道流体积是不变的。另外如果系统具有某种对称性时就 会有对应的守恒量存在，因此在利用相空间技术研究动力学系统的演 化时可以减少相空间的维度。 纳塞( n o t h e r ) 6 首先给出了系统的对称性与守恒律之间的关系。 系统的对称性意味着经典力学的守恒量，同时还可能存在守恒的热力 学量和流体力学量。 在1 9 世纪第二个非常重要的工作是彭加勒( p o i n c a r e ) 关于三体 运动的研究。它不仅是牛顿决定论的结束，而且开辟了一个摄动理论 湖南师范大学博士学位论文 的新时代。他和随后一些人计算了受到第三个小物体影响的两体开普 勒系统运动。他们的思想是把两体开普勒系统看成第一级近似，然后 利用微扰理论对它进行修正。然而随后他们对于运动物体的长时期演 化的研究方面却没有取得进一步的发展。直到1 9 5 4 年柯尔莫哥罗夫 【7 】( k o l m o g o r o v ) 在研究金星的运动时，他发现金星的大量轨道运 动都是准周期的同时可以把它描述为按某种微扰方法进行展开的形 式。1 9 6 2 年，阿若德i s 】( a r n o l d ) 耐用哈密顿量重构了柯尔契哥罗 夫关于三体问题的结果。1 9 6 8 年莫塞【9 】( m o s e r ) 也得到了和阿若德 类似的结果。他们三入【删】都证明即使不是在共振的条件下多体运 动的展开级数仍然是收敛的。 保守动力学系统可以分为可积系统和不可积系统两种形式。可 积的动力学系统有与自由度相同的运动积分常数。对于一个具有n 自由度的经典力学系统，每一个运动积分常数对应予在2 的相空间 的2 n 1 维曲面。在相空闯里中轨迹流就处在这些曲面的交线上。 于是对于一个可积系统的轨道则位于2 n 相空间的n 维曲面上，而且 每一个轨道要么是准周期的，要么是周期的稳定的。对于n ，2 维的 可积经典力学系统就是著名的t o d al a t t i c e 系统【1 0 】。 不可积经典力学系统可分为两种类型。第一种类型的不可积经典 力学系统是完整的混沌系统，这种类型动力学系统哈密顿量通常是不 光滑的。它们演化包含大量无限的周期运动轨道，但是它们都是不稳 定的。第二种类型不可积经典力学系统的哈密顿量通常是光滑的，大 部分类型力学系统是属于这种形式的不可积经典力学系统。它们要么 弯曲时空中的混沌动力学 包含大量互相纠缠的准周期轨道：要么是完全的混沌演化，这样的力 学系统是由于非线性共振产生稳定的和不稳定的周期运动的混合形 态。正是由于共振使得各能层面互相纠缠，导致在相空间中出现局域 拓扑结构发生变化。也就是说由于能层面互相交叉破坏了准周期运 动，从而导致混沌的演化。 圈i - i 袅袅上升的烟云 现在我们看看在我们日常生活中的几个不稳定力学系统。例如每 天早晨我们看到袅袅升起的一缕缕青烟( 见图1 1 ) 和在大海上航行 的轮船边缘的海水或飞机机翼附近的气流，等等。但是根据流体力学 的理论，我们知道组成流体的元素的动力学方程是可以有牛顿理论确 定，因此它的演化应该是完全确定的而不应该是随机的、不稳定的。 在低速的情况下，流体的运动形式有流体力学方程确定，且运动是规 则的、可预计的层流形式。当运动速度达到。一定的限度，流体的运动 湖南师范大学博士学位论文 就转化为随机的不可预测的湍流形式。另外，1 9 6 3 年美国著名的气 象学家洛仑兹( l o r e n zen ) 【1 1 】对研究气象动力学方程( 1 - 1 ) 巨- - c o c + z o y 船 m - ， 腰1 - 2 洛仑兹吸引子 进行数值解时，他发现这样一个确定的微分方程组的解有时具有类似 随机的行为，后来称为“决定论非周期流”。这是对物理学家拉普拉 斯机械决定论观点的严重挑战。现在我们来看看( 1 1 ) 的解如图1 2 ， 我们发现轨道永远不自我相交，却又仅占住有限的空间具有无限嵌 套的复杂结构。例如，每一环都有靠得很近的无穷多层，每一层都细 密地排列着无穷多个螺线，它代表相点在右侧转几圈后又跳到左侧转 几圈，运动轨道无法预料什么时候从一侧过渡到另一侧，并且它绕各 自中心的方式和圈数也有明显的随机性。正当人们惊叹于这种优美的 弯蓝时空中的混沌动力学 圈l - 3 蝴蝶效应 蝴蝶图案时，又有谁能预言，今天在东京有一只蝴蝶的翅膀煽动一下， 将会在美洲某处引起一场龙卷风? 这种对初始条件的敏感依赖性气 象学上叫“蝴蝶效应”。( 见图1 - 3 ) 也就是我们平常所说的“天有不 测风云”。 随着人们对复杂系统的认识水平的深入和现代科学技术的飞速 发展，尤其是计算机的发展，人们从描述复杂系统的一些确定非线性 方程出发发现了大量的具有随机的特性。自1 9 6 3 年美国著名的气象 学家洛仑兹发现“决定论非周期流”到1 9 7 5 年“混沌”一词作为一 个新的科学名词正式出现在科技文献中。 遇泣( 照塾q ! 是二弛麴型玉规则数运动：堂在确定丝韭线性丕 缝虫：丕盏隧加焦值堕扭圈丞痊丑出现羞世瞳扭鲍短蕴( 凼查堕扭 湖南师范大学博士学位论文 缝! 退渔丕统的量太挂壶是查王丕统的演化殖扭丝釜佳的盆堑壁 性! 固丝丛长期意墓土进：丕缠的圭塞短左是丕巫瑟测鲍。迄今为止 人们对它的认识，混沌至少有以下特点：1 ) 混沌运动是决定性和随 机性的对立统一，即它具有随机性但又不是真正的或完全的随机运 动。2 ) 对初始状态的高度敏感性。3 ) 只有非线性系统才可能作混沌 运动。 日本著名统计物理学家久保 1 2 1 在1 9 7 8 年所指出：“在非平衡非 线性的研究中，混沌问题揭示了掰的一页。”混沌科学最热心的倡导 者、美国海军部官员施莱辛格( s b l e s i n g e rm ) 说；“2 0 世纪科学将永 远铭记的只有三件事：相对论、量子力学和混沌。”物理学家福特( f 0 f d j ) 认为混沌就是2 0 世纪物理学的第三次最大的革命。 众所周知，牛顿力学所描述的世界是一幅静态的、确定的、永恒 不变的图景，形成了一种自然关于“存在”的机械自然观。而人们真 正面对的世界是地质变迁、生物进化、社会变革这样一幅动态的、复 杂的、不可逆的、随机的、千变万化的自然图景，是一幅随时“演化” 的世界。混沌就是这种关于过程的科学两不是状态的科学，关于演化 的科学而不是关于存在的科学 1 3 1 。 实际上，混沌科学的研究表明 1 4 1 ，现实的世界是一个有序与无 序相伴、确定性和随机性统一、简单与复杂一致的世界。因此人们只 有抓住复杂性并对它进行研究，才能描绘出一个真实的世界图景。 本文将广。义相对论与非线性动力学理论结合起来，同时主要运用 相空间技术和彭加莱截面方法研究了弯曲时空中的混沌动力学问题。 弯曲时空中的混沌动力学 我们研究了在几种引力场中试验粒子运动状态的动力学演化。在 牛顿极限下，引力场的势函数关于赤道平面是对称的，而且在赤道平 面上试验粒子的运动是可积的。为了研究试验粒子偏离赤道平面的运 动，把整个运动近似地看成受到高阶微扰的二维谐振子，这时系统有 不可积的h e n o n h e i l e s 势函数。在相空间中研究试验粒子运动状态的 演化时，我们发现试验粒子运动状态具有非周期的随机振动特性，而 且试验粒子运动状态的演化对初始条件有高度敏感性。同时利用彭加 莱截面分析的方法对不同的参数和初始条件进行研究，找到了试验粒 子运动状态在非赤道平面上的混沌演化。我们在研究y a n g - m i l l s ( y m ) 场在毕安基i 型宇宙中动力学演化时，注意到其动力学演化对初始条 件有高度敏感性，同对我们还利用彭加莱截面分析的方法发现了y m 场在毕安基i 型宇宙中动力学演化具有典型的混沌演化特点。另外， 在研究宇宙爆胀期间两个相关耦合的标量场的演化时，得出了如下结 论：随着场的能量密度和耦合系数的增加，系统的演化从规则的运动 转化为显著的混沌演化。我们在研究试验粒子在极端荷电黑洞的引力 场中运动时，我们利用相平面分析法进行系统地研究了试验粒子轨道 的稳定性。同时我们找到了椭圆型轨道和双曲型轨道稳定性的条件。 在研究e i n s t e i n m a x w e l l d u s t 系统时，我们发现当引力场的强度较大 的时候，系统的演化对初始条件有高度的敏感性，即混沌动力学演化 的特性。 湖南师范大学博士学位论文 参考文献 【1 】fw t r u s c o t t a n dfl e m o r y ( d o v e r p u b n e wy o r k1 9 5 1 ) 【2 】jm o s e rn a e h r a k a d w i s s g o t t i n g e ni i1 9 6 5m a t h p h y s k d11 【3 】jl i g h t h i l l1 9 8 6p r o c r o y s o c ( l o n d o n ) a 4 0 7 3 5 【4 】4 jl l a g r a n em e c h a n i e sa n a l y t i q u e ( g a u t h i e r - v f l l a r sp a d s1 8 8 9 ) 【5 】w rh a m i l t o nt h em a t h e m a t i c a l p a p e ro fs i r w i l l i a mr o w a n h a m i l t o nv 0 1 i id y n a m i c se d i t e db yaw c o n w a y a n djl s y n g e ( c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s sc a m b r i d g e1 9 4 0 ) 【6 】en o e t h e r1 9 1 8n a e h r i e h t e ng e s e l l w i s s e n s e h a f t g o t t i n g e n22 3 5 【7 】ank o l m o g o r o vd o k l 。a k a d n a u k 1 9 5 4s s s r 9 85 2 7 【8 】via r n o l d1 9 6 3r u s s m a t h s u r v e y1 89 ；1 88 5 【9 1jm o s e rn a c h r a k a d w i s s g o t t i n gi i1 9 6 8m a t h p h y s k d11 【1 0 】m t o d a t h e o r yo f n o n l i n e a r l a t t i c e s ( s p r i n g e r - v e f l a g b e r l i n1 9 8 1 ) 【1 1 】jg r e e n e1 9 7 9j m a t h p h y s 2 62 5 7 【1 2 】sjs h e n k e r lpk a d a n o f f1 9 8 2 j s t a t p h y s 2 76 3 1 【1 3 】rsm a c k a y 1 9 8 3 p h y s i c a7 1 ) 2 8 3 【1 4 】df e s e a n d ea n dfd o v e i l1 9 8 1 j s t a t p h y s 2 62 5 7 弯曲时空中的混沌动力学 2 - 1 引言 第二章引力场中的混沌 自从1 9 6 3 年美国著名气象学家罗仑兹( l o r e n z ) 【1 】在研究气象 动力学方程时发现“决定系统的非周期流”以来，许多物理学家对 非线性动力学系统的混沌现象产生了浓厚的兴趣。特别是过去的几 十年中，人们发现混沌是自然界中许多非线性动力学系统特有且普 遍的性质。 即使在牛顿力学和开普勒定理所决定的天体力学领域，人们曾为 多体问题所困惑。在1 9 8 1 年意大利召开的一次天体物理学会上， 天体物理学家泽贝利( s z a b e n h e l ) 在列出一系列根据后提出：天体力 学是确定论的吗? 伴随着数值计算方法和计算机的发展，物理学家 们，例如彭家勒，发现即使是简单的三体问题( 不可积系统) ，其解 也不一定是稳定的，而且也确实发现三体问题出现了随机性。作为 天体运动不稳定性和随机性的例子还有木星附近的小行星 ( a s t e r o i d s ) 运动。人们发现，当小行星运动频率和木星运动频率之 比为有理数时，小行星的运动便是不稳定的混沌运动。另外如土星 光环、光环内的卫星和土星构成一个不可积的多体系统。在共振条 件f 光环运动自然不稳定。观察发现，土卫7 的运动确实是混沌运 湖南师范大学博士学位论文 动。同时人们在研究早期宇宙的演化时发现了混沌的演化【2 ，3 】。 在广义相对论领域，我们有望在如下两个方面进行研究发现混 沌：第一，早期宇宙的演化，如o l i v e i r a 【4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 ，1 0 】等人在 研究毕安奇( b i a n c h i ) i x 宇宙的早期演化时发现了宇宙的早期演化是 混沌的；m o n e r a t 【1 1 】和c a l z e t t a 【1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 】等人在研究有宇 宙常数的f r i e d m a n n r o b e r t s o n w a l k e rf f r w ) 和慕形标量场相互作用 时，他们发现宇宙演化也具有混沌演化的特性。第二，在一定的时 空背景下试验粒子的测地线运动。虽然在三体运动和土星以及木星 的卫星运动中已找到了混沌的运动。然而象在黑洞时空这样的强弯 曲的、非线性特别明显的时空中，人 f j 1 6 ，1 7 ，1 8 ，1 9 ，2 0 ，2 1 ， 2 2 ，2 3 ，2 4 1 更期望找到试验粒子在这样的时空中的混沌运动。 l e t e l i e r 【2 5 ，2 6 ，2 7 】等人研究黑洞周围具有晕时的演化找到混沌演 化。 陈菊华和王永久1 2 8 研究了试验粒子在极端葡电黑洞的时空中 运动的稳定和不稳定的轨道。as a af 2 9 ，3 0 进- 步地研究了具有薄 或厚盘的黑洞时空中的试验粒子的混沌运动。另外还有许多关于黑 洞时空中试验粒子的混沌运动，如：两个中心的黑洞时空【1 7 ，3 1 ， 3 2 】试验粒子的演化；黑洞时空中引力波的演化1 2 2 ，2 7 】l 有壳层结 构的黑洞时空中试验粒子的演化f 3 3 】。最近c c h i e o n ef 3 4 l 等人利用 在牛顿近似条件下研究了h i l l 系统的混沌行为。 为了研究广义相对论非线性动力学系统的混沌演化特性，人们 主要利用彭加勒一麦里可夫( p o i n c a r e m e l n i c o v ) 【3 5 ，3 6 】方法。彭 加勒一麦利可夫方法是研究在有微扰作用的不可积系统混沌演化时 弯曲时窄中的混沌动力学 的分析方法。在这样的系统中由于同宿或异宿的几何结构的纠缠而 产生混沌的演化。 天体物理学家对有中心的壳层结构质量系统是非常感兴趣的。 因为像黑洞或中子星周围被层物质粒子壳层或环行残留物所包围 的结构是天文中的常见天体，例如著名的超新星1 9 8 7 a 3 7 ，3 8 ，3 9 】 外面就包围这样的质量环。而且这种结构也可描述星系的壳层 4 0 ， 4 1 ，4 2 1 或环面【4 3 ，4 4 ，4 5 ，4 6 1 结构。同时中心包围着黑洞的星系 系统【4 7 1 在天文中也是常见的。 因此研究单极质量核心( 如黑洞) 加上外围的偶极子、四极子 和八极子的壳层是有普遍意义的。显然这些多极子就是壳层的勒让 德展开式的高级项。对于质量中心静态的壳层结构可运用这种展开 形式。事实上对于质量中心稳态的轴对称的壳层结构也可以利用类 似的展开方法，例如最近l e t e l i e r 4 8 等人就研究了此类稳态的壳层 结构系统的混沌演化。然而在天体物理学中质量中心旋转的壳层结 构是常见的系统，b a f l o w 4 9 ，5 0 】等人运用这种方法来研究旋转对 称的结构体系的演化。最近r a l s t o n 【5 1 ，5 2 ，5 3 】等人类似地研究了 质量中心外有晕系统的混沌演化。 从彭加勒( p o i n c a r e ) f 5 4 1 研究三体问题发现混沌运动和关于哈 密顿系统的k a m 定理【5 5 ，5 6 ，5 7 ，5 8 】建立以后，a f f 5 9 ，6 0 ， 6 1 ，6 2 ，6 3 ，6 4 ，6 5 ，6 6 ，6 7 ，6 8 ，6 9 ，7 0 ，7 1 ，7 2 ，7 3 ，7 4 ，7 5 ， 7 6 ，7 7 对天文中很多的系统进行了深入的研究时发现了一系列的混 沌演化系统。 湖南师范大学博：i ：学位论文 2 2 相对论动力学系统模型的牛顿近似 出2 - e 扣d t 2 一p 2 扣扛k 2 + d r 2 ) - e - 2 v ，2 d 妒2 ，( 2 - 1 ) v ，+ 吾，w ；- o ，( 2 - 2 ) d r - r 【以) 2 - ( v ，) 2 d r + 2 r v ，：d 2 ( 2 - 3 ) 我们把球坐标9 ，r ，8 ，妒) 僻一r ，l ) 转化为扩展的球坐标( t v ，们 卜卜挚婴+ 坚翌一1 p 4 ， | v i 瞄口- 主厢一厢1 ，嵩1 p v 此时( r ，z ) 为 f = = 啦2 黧叫2 ) _ 厕面s i n 只删( 2 - 5 ) l z - u v - ( r - 1 ) c o s o 方程( 2 1 ) 和( 2 - 2 ) 写成“，v 的函数的形式为 似2 一钞，】，+ 【( 1 一v 2 p ，】，0 ，( 2 6 ) y ，