（控制理论与控制工程专业论文）混沌同步的控制与应用研究.pdf

华中科技大学博士学位论文 摘要 混沌运动是一种复杂的动态行为，并且具有对初始条件极为敏感、在相空间有界 等特点。研究结果表明，两个混沌系统可以通过施加一定的控制而达到同步。本文深 入研究了混沌同步的控制问题，并对混沌同步在保密通信中的应用进行了尝试。 论文首先回顾了混沌及混沌同步的有关概念，对国内外有关混沌同步的控制及其 在保密通信中的应用研究进行了详细地总结与概括。 针对反馈控制和耦合控制混沌同步问题，论文分别为l o r e n z 和陈氏混沌系统设 计了单变量线性反馈、部分变量非线性反馈以及单向单变量耦合同步控制器。篁，其中， 部分变量非线性反馈控制器较为复杂，而且由于控制器选择的不同，有的甚至薷要驱 动系统的全部状态信息，因此实施困难；单变量线性反馈控制器具有结构简单的特点， 仅需传送驱动系统的一个状态，就可以驱动响应系统实现同步，但是由于反馈系数的 范围难以准确确定，给实施带来了一定的难度；而单向单变量耦合控制方法也仅需驱 动系统的一个状态，就可以驱动响应系统实现同步，却没有控制系数难以确定的问题， 因此是实现同步的一种较好选择。l v 针对自适应控制混沌同步问题，论文以陈氏混沌系统为例，在参数已知的情况下， 首先给出了自适应控制器设计的一个简单示例，然后进一步设计了一种新型的自适应 控制器和一个单变量自适应控制器，解决了单变量反馈同步控制中反馈参数难以确定 这一问题。 就混沌同步中经常遇到的参数未知或不匹配的问题，论文以陈氏混沌系统为例， 首先针对一个参数不匹配的情况设计了自适应同步控制器，然后进行了适当的改进， 使之能够适应所有参数均未知或不匹配的情况，但这种控制器较为复杂。随后，借助 于l y a p u n o v 函数设计了一种结构较为简单的自适应控制器，并进一步提出了耦合自 适应控制方法，同样解决了陈氏混沌系统所有参数均未知或者不匹配时的同步问题， 而且控制器较为简单，同步响应速度也较快。 基于脉冲控制的特点，论文以陈氏混沌系统为例设计了脉冲同步控制器，并借助 比较系统理论进行了证明。但是这种方法设计的脉冲控制器的脉冲时间间隔难以准确 确定。 针对一类非线性连续系统，本文建立了基于单变量耦合的脉冲控制同步理论，进 行了证明，并将其成功地应用于几个典型混沌系统的同步，解决了利用比较系统理论 华中科技大学博士学位论文 = = ；= 斜i, i n j , q l n l , i = ：# = = = = # = ；# = ：常 设计脉冲间步控制器时存在豹脉i 串时闼阀氍难以确定的问题。 论文还回顾了模糊控制的发展、基本原理_ 葶特点，阐述了基予t - s 模型采用反馈 思憨实现港淹同步篱基本理论，并将其成功应用予陈氏混沌系统。通过巧妙逾求解线 性矩阵不等式，求得了单变量反馈模糊控制同步的反馈系数，大大地简化了模糊控铜 同步的控制器，提离了闵步响应速度。 蓁于脉冲控制思想，本文建立了脉7 申模糊模型，提蹬了脉冲控南模糊系统同步的 基本理论，并避稃了诞明。该理论逶用于般非线性连续系统的丽步问题，文中戳多 种典型的混漶系统必例进行了仿真验证。￥、 论文介绍7 现有的几种典型的混沌保密通信方案。以陈氏澹沌系统为例，利用混 i 窀载波调制的方法逛行了通傣方案的设计，实现了正弦渡信号的传输：并以i d e a 算 法为基础，利用陈氏混沌系统产生混沌密钠实现一次一密的傈密通信。 最后，对全文_ | 舞研究的务秘控铡方法遵行了总缩，对今赢要做的研究工作进行了 设想。 vx o 、。， 关键词：混通阉嗲脉冲控制攘期控制自适应控制反馈螽制保密透信 n 华中科技大学博士学位论文 a b s t r a c t ac h a o t i cd y n a m i c sh a sc o m p l e x d y n a m i c a lb e h a v i o r s t h a tp o s s e s ss o m e s p e c i a l f e a t u r e s ，s u c ha sb e i n ge x t r e m e l ys e n s i t i v et ot i n yv a r i a t i o n so f i n i t i a lc o n d i t i o n s ，h a v i n g b o u n d e d t r a j e c t o r i e si nt h ep h a s es p a c e ，a n d s oo n m a n yr e s u l t si n d i c a t et h a tt w o c o u p l e d c h a o t i cs y s t e m sa r el i k e l yb e i n ga b l et or e a c ht h es t a t eo f s y n c h r o n i z a t i o n i nt h i st h e s i s ， t h es y n c h r o n i z a t i o n p r o b l e m o f c h a o t i cs y s t e m si sa n a l y z e da n dt h ea p p l i c a t i o no f c h a o s s y n c h r o n i z a t i o n t os e c l l r ec o m m u n i c a t i o ni se x p e r i m e n t e d f i r s t l y , t h ec o n c e p t i o n so fc h a o sa n dc h a o ss y n c h r o n i z a t i o na l er e v i e w e da n dt h e r e p o r t e d r e s e a r c hw o r k so nc h a o s s y n c h r o n i z a t i o n a n di t s a p p l i c a t i o n s t os e c u r e c o m m u n i c a t i o n $ a r cs u m m a r i z e d t h el i n e a ra n dn o n l i n e a rf e e d b a c k s y n c h r o n i z a t i o n s c h e m e sa n d c o u p l i n g s y n c h r o n i z a t i o ns c h e m e sa r ea n a l y z e df o rl o r e n zs y s t e ma n dc h e nc h a o t i cs y s t e m 1 1 1 e l i n e a rf e e d b a c kc o n t r o l l e rv i aa s i n g l ev a r i a b l e ，t h en o n l i n e a rf e e d b a c k c o n t r o l l e rv i a p a r t i a l v a r i a b l e sa n dt h eu n i - c o u p l e dc o n t r o l l e rv i aas i n g l ev a r i a b l eh a v eb e e nd e s i g n e d t h e n o n l i n e a rf e e d b a c kc o n t r o l l e r sa r eal i t t l ec o m p l e xa n ds o m eo ft h o s em a yn e e dt h ef u l l i n f o r m a t i o no fs t a t e s o nt h ec o n t r a r y , t h el i n e a rf e e d b a c ka n dt h ec o u p l i n gc o n t r o l l e r s p r o p o s e dh e r ea r es i m p l e r , a n do n l yo n es t a t en e e d st o b et r a n s f o r m e dt ot h er e s p o n s e s y s t e m s ，b u ti nt h el i n e a rf e e d b a c kc o n t r o ls c h e m e s ，t h ee s t i m a r e sf o rt h er a n g eo f t h e f e e d b a c kt o e f f i c i e n t sa r ed i f f i c u l t 。 t h e a d a p t i v es y n c h r o n i z a t i o n o fc h e ns y s t e mi s p r o p o s e d i n t h ec a s et h a ta l l p a r a m e t e r sa r ek n o w n ，as i m p l ed e s i g nm e t h o df o ra d a p t i v es y n c h r o n i z a t i o ni si l l u s t r a t e d f i r s t l y a n dt h e nan e wa d a p t i v ec o n t r o l l e ra n da na d a p t i v ec o n t r o l l e rb a s e do n as i n g l e v a r i a b l ea r ed e s i g n e dr e s p e c t i v e l y ；t h el a t t e rc a ns o l v et h ep r o b l e mo ft h el i n e a rf e e d b a c k c o n t r o l l e rv i aa s i n g l ev a r i a b l e t h e n t h ec h a o s s y n c h r o n i z a t i o n o fc h e nc h a o t i c s y s t e m 、黼n 1 t h eu n k n o w n p a r a m e t e r si sa n a l y z e d f i r s t l y , t h ea d a p t i v es y n c h r o n i z a t i o nc o n t r o l l e r sa r ed e s i g n e dw i t h o n eu n k n o w np a r a m e t e r a f t e rs o m e i m p r o v e m e n t s o ft h e s e c o n t r o l l e r s ，t h e y c a n s y n c h r o n i z et h ec h e ns y s t e m sw i t l la l lu n k n o w np a r a m e t e r s w h i c hs e e mt o b eal i t t l e c o m p l e x t h e nas i m p l e ra d a p t i v ec o n t r o l l e ri sb r o u g h tf o r t h ，f u r t h e rm o r e ，a na d a p t i v e c o n t r o l l e rb a s e do n c o u p l i n gi sd e s i g n e d t h el a s tt w oa d a p t i v ec o n t r o l l e r sa r es i m p l e ra n d 1 华中科技大学博士学位论文 u n d e rw h i c ht h es y n c h r o n i z a t i o nr a t e sa l ef a s t t h ei m p u l s i v es y n c h r o n i z a t i o nc o n t r o l l e ri sd e s i g n e df o rc h e ns y s t e m s ，w h i c hi s p r o v e db a s e d o nt h et h e o r yo f c o m p a r i s o ns y s t e m t h ed e s i g nm e t h o d b a s e do nt h et h e o r y o f c o m p a r i s o ns y s t e m i sd i f f i c u l tt oe s t i m a t et h ei m p u l s i v ei n t e r v a l t h ei m p u l s i v es y n c h r o n i z a t i o nt h e o r e mb a s e do nt h ec o u p l i n go fas i n g l ev a r i a b l ei s d e r i v e da n d p r o v e df o rac l a s so f n o n l i n e a rc o n t i n u o u s s y s t e m s ，w h i c hh a sb e e na p p l i e dt o s e v e r a lt y p i c a lc h a o t i cs y s t e m ss u c c e s s f u l l yt h i si m p u l s i v ed e s i g nm e t h o dc a ne s t i m a t e t h ei m p u l s i v ei n t e r v a lo f t h ec o n t r o l l e re a s i l ya n d e x a c t l y t h ed e v e l o p m e n ta n dt h ec h a r a c t e r so f f u z z yc o n t r o la r er e v i e w e d t h et h e o r e mf o r t h es y n c h r o n i z a t i o nb a s e do nt - sf u z z ym o d e li si n t r o d u c e d i th a sb e e na p p l i e dt oc h e n s y s t e m ，a n db ys o l v i n gt h el m is k i l l f u l l y , af u z z yc o n t r o l l e rb a s e do nas i n g l ev a r i a b l eh a s b e e n g o t w h i c hs e e m st ob es i m p l ea n dc a ns y n c h r o n i z ec h e n s y s t e m s f a s t t h e i m p u l s i v ef u z z y m o d e lh a sb e e ne s t a b l i s h e da n dt h es y n c h r o n i z a t i o nt h e o r e mh a s b e e nt h e o r i z e da n dp r o v e d t h et h e o r e mi s a p p l i c a b l e t o g e n e r a ln o n l i n e a rc o n t i n u o u s s y s t e m s t h es i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a t i ti s a p p l i c a b l e t o m a n yt y p i c a lc o n t i n u o u s c h a o t i cs y s t e m s m a n yt y p i c a lc h a o s - b a s e ds c c u i 屯c o m m u n i c a t i o ns c h e m e sa r ei n t r o d u c e d i nt h e e x p e r i m e n t s ，c h o nc h a o t i cs y s t e mh a sb e e nt a k e nt op m d u c et h ec h a o t i cs i g n a l c h a o t i c m o d u l a t i o nf o rt h et r a i l s f o r m a t i o no fs i n ew a v eh a sb e e nd e s i g n e d i no r d e rt ot r a n s f o r m t h ef i l e si nc o m p u t e rs e c u r e l y , i d e a a l g o r i t h mi su s e db a s e do nc h a o t i ck e y sp r o d u c e db y c h e n s y s t e m ；t h u s ，i tw i l lh a v ed i f f e r e n tk e y sf o re a c ht i m eo f t r a n s f o r m a t i o n f i n a l l y ，as t m m m r y h a sb e e nd o n ef o ra l lt h e p r o p o s e ds y n c h r o n i z a t i o nm e t h o d s t h e r e s e a r c hw o r k si nf u r t h e r s t u d ya p r e s e n t e d k e y w o r d s ：c h a o ss y n c h r o n i z a t i o n i m p u l s i v ec o n t r o lf u z z yc o n t r o l a d a p t i v ec o n t r o l f e e d b a c kc o n t r o ls e c u r ec o m m u n i c a t i o n l v 华中科技大学博士学位论文 1 绪论 提要阐述了本文研究的目的和意义，介绍了有关概念和方法，给出了与本文研究内容相关的文 献综述，简要说明了全文研究的主要内容和章节安排 1 1 引言 混沌运动是自然界中客观存在的、有界的、不规则的、非常复杂的运动形式。自 从混沌现象被揭示以来，混沌一直被认为不可能象周期解那样具有同步效应，因为混 沌运动最基本的特征之一就是对初值的极端敏感性，即著名的蝴蝶效应。即使是同一 个混沌系统，从相平面上两个几乎相同但不同的初始条件出发的轨线，也很快不一致。 因此，人们一度认为，在实验室里建立两个混沌同步的非线性系统几乎不可能实现。 直到1 9 9 0 年，l m p e c o r a 和tl c a r o l l 发现，混沌信号是可以实现同步的。从此， 混沌同步成为国内外的一个研究热点。 混沌同步的应用领域非常广泛，其中一个重要的应用领域就是混沌保密通信。在 当今的信息时代，通信的保密性和安全性显得非常重要。通信中的加密技术关系到通 信的安全性，长期以来一直是通信中的重要问题。随着通信特别是计算机网络通信的 飞速发展，如何提高传输数据的安全性已成为日益重要的研究课题。混沌信号一个本 质的特征是对初始条件极为敏感，并由此导致了混沌信号的类随机特性，用它作为载 波调制出来的信号当然也具有类随机特性，因而经过混沌信号调制后的信号即使被敌 方截获，也很难被破译。医此混沌保密通信就成为混沌同步应用研究的重要领域。 除了在保密通信方面的应用之外，混沌同步在大脑神经信号等生物神经网络、耦 合混沌神经元、多模激光器、耦合电子振荡器和人工神经网络等领域均有潜在的应用 价值。 虽然关于混沌同步的控制问题已经有很多研究成果，但是某些同步理论仍然不够 完善，很多同步控制方法仍然有待发掘。而且现有的混沌同步控制方法在应用上仍然 处于试验阶段，许多问题仍然有待解决。本课题正是基于这样的背景，对混沌同步的 控制进行分析和研究，并对混沌保密通信问题进行试验和探索。 本课题得到了国家自然科学基金“脉冲非线性动力系统的混沌控制”( 6 0 0 7 4 0 0 9 ) 、 华中科技大学博士学位论文 “网络化复杂控制系统的分析与综合”( 6 0 1 7 4 0 4 4 ) 以及“广义混合系统的稳定与控 制及在网络化系统中的应用”( 6 0 2 7 4 0 0 4 ) 的联合资助。 1 2 混沌及其特点 混沌科学是随着现代科学技术的迅猛发展，尤其是在计算机技术的出现和普遍应 用的基础上发展起来的新兴交叉学科2 1 。在现实世界中，混沌现象无处不有，如气候 变化会出现混沌，数学、物理、化学、生物、哲学、经济学、社会学、音乐、体育中 也存在混沌现象。因此，科学家认为，在现代的科学中普遍存在着混沌现象，它打破 了不同学科之间的界线，它是涉及系统总体本质的一门新兴科学口1 。 1 2 1 混沌科学的发展 混沌( c h a o s ) 是一种貌似无规则的运动，是非线性动力学系统具有内在随机性 的一种表现。 1 9 0 3 年，美国数学家j h p o i n c a r e 在科学与方法一书中提出了p o i n c a r e 猜想。 他发现三体问题，如太阳、月亮和地球三者的相对运动与单体问题、二体问题不同， 是无法求出精确解的。他把动力学系统和拓扑学两大领域结合起来，并指出三体问题 中，在一定范围内，其解是随机的，这实际上是一种保守系统中的混沌。他从而成为 世界上最先了解存在混沌可能性的人【4 l 。 1 9 6 3 年，l o r e n z 在大气科学杂志上发表了“决定性的非周期流”一文，讨 论了天气预报的困难和大气湍流现象，指出在气候不能精确重演与长期天气预报者无 能为力之间必然存在着一种联系，这就是非周期性与不可预见性之间的联系。他还认 为一串事件可能有一个临界点，在这一点上，小的变化可以放大为大的变化。而混沌 的意思就是这些点无处不在。这些研究清楚地描述了“对初始条件的敏感性”这一混 沌的基本性态。这就是著名的蝴蝶效应。该文中给出了三个变量的自治方程，即著名 的l o r e n z 方程，这是在耗散系统中，一个确定的方程却能导出混沌解的第一个实例， 从而揭开了对混沌现象深入研究的序幕【”。 与此同时，由柯尔莫戈洛夫( a n k o l m o g o r o v ) 提出、由阿诺尔德( v i a r n o l d ) 和莫塞尔( j m o s e ) 分别严格证明的k a m 定理揭示，可积的h a m i l t o n 系统对微扰几 乎是稳定的1 6 j 。k _ a m 定理讨论的是保守系统，而l o r e n z 方程讨论的是耗散系统，它 华中科技大学博士学位论文 们分别从不同的角度说明，两种不同类型的动态系统，在长期的演化过程中是怎样出 现混沌态的。从此，对混沌理论的研究便进入了一个新的时期1 3 】。 1 9 7 5 年，美籍华人学者李天岩和美国数学家j y o r k e 发表了“周期三意味着混沌” 的著名文章，深刻揭示了从有序到混沌的演变过程。这篇文章第一次将混沌一词概括 到了现代意义上的科学词、汇【”。 1 9 7 6 年，美国生物学家r m m a y 发表了“具有极复杂的动力学的简单数学模型” 一文，它向人们表明，简单的确定论数学模型也可以产生看似随机的行为，如 _ 。= 线( 1 一矗) ，即著名的l o g i s t i c 模型，该模型看起来似乎很简单，但当参数在 一定范围变化时，却具有极为复杂的动力学行为，其中包括了分岔和混沌【引。 1 9 7 8 年和1 9 7 9 年费根包姆( m j f e i g e n b a u m ) 等发现了倍周期分岔现象中的标 度性和普适常数，从而为混沌科学打下了坚实的理论基础 g q o ! 。 2 0 世纪8 0 年代以来，人们对系统如何从有序进入新的混沌及其混沌的性质和特 点进行了研究( 即混沌的反控制) 。除此之外，借助于分形理论和符号动力学，还进 一步对混沌结构进行了研究和理论上的总结。进入9 0 年代，基于混沌运动是存在于 自然界中的一种普遍运动形式，所以对混沌的研究不仅推动了其他学科的发展，而且 其他学科的发展又促进了对混沌的深入研究。因此，混沌与其他学科相互交错、渗透、 促进，综合发展，使得混沌不仅在生物学、数学、物理学、化学、电子学、信息科学、 气象学、宇宙学、地质学，还在经济学、人脑科学，甚至在音乐、美术、体育等多个 领域中得到了广泛的应用 3 1 。 目前，关于混沌的研究除了混沌的抑制外，还包括混沌的反控制( 及混沌的激发 或加强) 、混沌同步以及混沌模型跟踪控制等。混沌科学在现代科技的促进下，随着 人们对非线性与复杂系统认识的深入，正在蓬勃发展，并必将在各个领域得到成功的 应用! l - 2 2 混沌的特性 混沌自发现以来，人们一直致力于混沌动态行为的研究。为了了解混沌的基本特 性，这里首先介绍一下混沌的有关定义，从中可以对混沌的特性有一个大致了解。 混沌一词由李天岩( t yl i ) 和约克( j a y o r k e ) 于1 9 7 5 年首先提出。1 9 7 5 年， 他们在“周期三意味着混沌”一文中给出了混沌的一种数学定义f 7 j ： 设连续自映射厂：，一，c r ，是r 中一个子区间。如果存在不可数集合s c ，满 华中科技大学博士学位论文 足 ( 1 ) s 不包含周期点。 ( 2 ) 任给x 。，x ：e s ，( x i 五) ，有 受s u p l ：伍一) 一厂伍z 】 o ， ! i m i n f l f 伍。) 一f 阮】= 0 ，其中厂f ( ) = ，驴( 厂) ) ) 表示f 重函数关系a ( 3 ) 任给x s 及，的任意周期点p i ：苜! i r a s u p f 佤) 一f 7 ( p 】 0 。 则称厂在s 上是混沌的。 在上述定义中，由于前两个极限说明子集的点x ，x ：e s 相当分散而又相当集 中，第三个极限说明子集不会趋近于任意周期点，所以这个定理本身只预言有非周期 轨道存在，既不涉及这些非周期点的集合是否具有非零测度，也不涉及哪个周期是稳 定的。因此，该定义的缺陷在于集合s 的龙贝格测度有可能为零，即这时混沌是不可 观测的，而人们感兴趣的则是可观测的情形，即s 有一个正的测度的情形【3 1 。 1 9 8 9 年d e v a n e yrl 给出了混沌的又一种定义【“】： 定义1 1 设v 是一个度量空间，映射f ：v _ v 称为在v 上是混沌的，如果 ( 1 ) 厂是拓扑传递的，即对v 上的任一对开集x 和】，存在k 0 ，使得 厂伍) n y 妒： ( 2 ) f 的周期点在x 中稠密； ( 3 ) f 具有对初始条件的敏感依赖性，即存在万 0 ，对任意的占 0 和x v ， 在x 的占临域内存在y 和自然数一，使得d ( ，”g l 厂“( ，” 占。 简而言之，混沌的映射具有不可预测性与不可分解性，但仍有一种规律性。这是 因为对初始条件的敏感依赖性，使得混沌系统是不可预测的。又由于拓扑传递性，使 得它不能被细分或不能被分解为两个在下相互影响的予系统，但在混沌行为中确实 存在着规律性的成分，即有稠密的周期点【1 2 】。 除上述对混沌的定义之外，还有诸如s m a l e 马蹄、横截同宿点、拓扑混合以及符 4 华中科技大学博士学位论文 号动力系统等定义。然而迄今为止，混沌一词还没有一个公认的普遍适用的数学定义。 但是，通过长期的研究可以总结出，混沌具有如下一些特性： ( 1 ) 长期运动对初值的极端敏感依赖性，即长期运动的不可预测性( 通常称为 “蝴蝶效应”) ； ( 2 ) 运动轨迹的无规则性。相空间中的轨迹具有复杂、扭曲、缠绕的几何结构： ( 3 ) 是一种有限范围的运动，在相空间有受约束的轨道； ( 4 ) 具有正的l y a p u n o v 指数，有限的k o h n o g o r o v s i n a i 熵和连续功率谱； ( 5 ) 具有分数维的奇异点集，对耗散系统有分数维的奇异吸引子出现，对于保 守系统亦有奇异的混沌区。 下面简单介绍一下本论文中重点讨论的两种混沌系统的混沌特性：l o r e n z 混沌系 统和陈氏混沌系统。 1 、l o r e n z 混沌系统 l o r e n z 混沌系统是由l o r e n z 于1 9 6 3 年提出的【s l 。系统结构如下： 降= 而一x ) 夕= r x x z y ( 1 1 ) l j = x y 一犀 其中盯，r ， 0 为系统参数。当选取仃= 1 0 ，r = 2 8 ，声= 8 3 时，其混沌行为如图1 1 所示。 2 、陈氏混沌系统 陈氏混沌系统是由g u a n r o n gc h e n 在1 9 9 9 年首次提出的1 3 1 ，可用下面方程来描 述。 降= a ( y x ) 夕= 0 一口h x z + c y ( 1 2 ) i j = 拶一k 其中口，b ，f 0 为系统参数。当选取陈氏混沌系统的参数a = 3 5 ，b = 3 , c = 2 8 时，其混沌 行为如图1 2 所示。 华中科技大学博士学位论文 图1 1l o r e n z 系统的混沌行为图1 2 陈氏混沌系统的混沌行为 陈氏混沌系统的描述方程与l o r e n z 混沌系统的方程极为相似，但是它们的拓扑 结构并不相同i i ，也就是说，没有微分同胚映射( 或非奇异连续变换) 能够将两种系 统方程互相转换。而且，陈氏混沌吸引子在动态行为方面比l o r e n z 混沌吸引子更加 复杂，这种特征在保密通信中尤为有用。另外，由于陈氏系统更复杂的拓扑特性，尤 其是在z 方向的快速变化，与l o r e n z 和c h u a s 系统相比，陈氏混沌系统相对更加难 以控制【1 4 】。 1 3 混沌同步的基本概念、控制方法与应用概况 混沌行为具有对初值的敏感依赖性，也就是说无论初始的两个状态离得多么近， 在混沌系统的作用之下两者的轨道都可能分开较大的距离，而且在每个点附近都可以 找到离它很近而在混沌系统的作用下终于分道扬镰的另一个点，对这样的系统，如果 用计算机计算它的轨道，任何微小的初始误差，经过若干次迭代后都将导致计算结果 的失效。同时，混沌运动轨迹具有无规则性，长时间发展趋势具有不可预测性。这就 使得混沌信号具有类随机特性。 另一方面，1 9 9 0 年l m p e c o r a 和t l c a r r o l l 提出了混沌同步的思想，他们发现， 如果复制一自治混沌系统的适当子系统( 称该予系统为响应系统) ，并用原自治混沌 系统( 称为驱动系统) 的混沌信号激励该响应系统，在某些条件下，响应系统中的混 沌信号会很快与驱动系统中相应的混沌信号同步【l 】。这一开创性工作引起了各国科学 工作者的极大兴趣，并由于其广阔的应用背景很快成为当前非线性研究中的热点课题 之一。 6 华中科技大学博士学位论文 1 3 1 混沌同步的基本概念 下面介绍一下连续非线性混沌系统完全同步的数学定义。 定义1 2 【1 5 1 考虑两个非线性混沌系统 膏= 厂( ，x ) ( 1 3 ) 夕= g ( t ，j ，) + h o ，x ，y ) ( 1 4 ) 其中x , y r ”，f , g c l r + r n , r ”l ，y e c 7 k + r ”r n , r “j ，r 1 ，r + 为非负实数 集设( 1 3 ) 为驱动系统，( 1 4 ) 为响应系统，“( f ，z ，y ) 为控制向量，使得( r o ) y ( f o ) e r ” 有 到卜o ) 一y ( f o 成立，则称响应系统( 1 4 ) 和驱动系统( 1 3 ) 完全同步。 文献0 6 给出了更一般的混沌同步的定义： 定义1 3 f 1 们考虑七个以七个相互联系的常微分方程描述的动力系统 s ：毫= f “，x ：，黾，f li = l ，k ( 1 5 ) 其中f ：r ”1 r “x r + 呻置“。考虑定义在上面方程的解薯( ) 上的时间函数 q ：石x 。以。r + _ r ，其中石c k ：肘哼r “j 。则当 q f g i ( 1 ，以( ) ) 一0 ( 1 6 ) 对所有，r + 成立时，称具有初值五( 0 卜- ，乓( o ) 的系统s ，瓯的解五n ，屯( ，) 关于 函数q 同步。当 熙q ，k 限”，( ) ) = o ( 1 7 ) 成立时，称具有初值五( o ) ，黾( o ) 的系统墨，最的解而( f l ，( f ) 关于函数q i 渐近同 步。 如果上面关于同步的条件对任意初值成立，则称之为全局同步。如果仅对特定初 值成立，则称之为条件同步。 文献【1 7 】和【1 8 】中也有类似于定义1 3 的阐述。而且在文献【1 8 】中还给出了近似同 7 华中科技大学博士学位论文 步的定义。 关于混沌同步的研究工作基本上将混沌同步分为以下几种不同程度的同步： 完全同步( c o m p l e t es y n c h r o n i z a t i o n ) ：即驱动系统和响应系统的状态完全一致。 这种同步是混沌同步研究中最普遍的一种。 相位同步( p h a s es y n c h r o n i z a t i o n ) 1 9 1 ：指当振幅的变化表现为混沌特性而且不 相关联的两个系统在相位上是同步的。 滞后同步( 1 a gs y n c h r o n i z a t i o n ) 【2 0 】：指驱动系统和响应系统状态之间有一个固 定的时间差。 广义同步( g e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o n ) 2 1 i ：指驱动系统和响应系统状态间有 函数关系。 有效完全同步( e f f e c t i v e l yc o m p l e t es y n c h r o n i z a t i o n ) ：驱动系统和响应系统的 状态之间相差一个常量，这实际上是广义同步的一种特殊情况。 其中，完全同步是目前关于混沌同步研究最多的一种同步。本论文所进行的研究 就是基于完全同步进行的。今后，论文中提到的混沌同步，如果不特别说明，约定指 混沌完全同步。 从混沌同步系统之间相互作用的角度来看，混沌同步可以分为相互同步( m u t u a l s y n c h r o n i z a t i o n ) 和主从同步( m a s t e r - s l a v e rs y n c h r o n i z a t i o n ) 。相互同步指混沌同步的 两个或多个系统之间相互耦合、相互控制。主从同步则是在混沌同步中，有一个主系 统( 或称驱动系统) ，一个从系统( 或称响应系统) ，从系统受到控制，而主系统不受 控制1 2 “。 1 3 2 混沌同步的控制方法研究概况 概括地说，混沌同步是指两个混沌系统( 相同或不同的混沌系统) 的状态最终达 到一致。从理论的角度来看，混沌同步主要关心的是传送系统和接收系统状态之间误 差的渐近稳定性，因此它是一个控制问题。混沌同步的控制方法有很多，包括线性和 非线性反馈控制、时间延迟反馈控制、自适应控制、脉冲控制、混沌信号驱动控制、 不变流形方法、基于状态观测器控制和耦合控制等。下面对其中几种典型的控制方法 的国内外研究概况分别进行介绍。 1 、驱动响应同步 驱动响应同步使用驱动变量替换响应系统中的变量，因此也可称为变量替换型。 华中科技大学博士学位论文 在1 9 9 0 年，l m p e c o r a 和t l c a r r o l 的关于同步的研究方法就是这种方法【”。在该 文的同步方法中，必须把一个混沌系统驱动系统分成两个子系统：一是稳定的子系统 ( l y a p u n o v 指数均为负值) ，二是不稳定的子系统，这大大限制了该类型的实际应用 范围。 王胜远等利用该方法研究了l o r e n z 和r 6 s s l e r 混沌系统的同步问题，利用两个状 态变量驱动一个状态变量响应达到同步田】。文献f 2 4 】提出了一种改进方案，称为主动 被动同步法，他们将原系统写成含有某种驱动变量的非自治系统形式，复制相同的响 应系统，通过用线性化稳定性分析方法或l y a p u n o v 函数方法分析两个系统的差值， 证明它们达到了稳定同步。 2 、反馈控制同步 反馈控制可以说是一种经典控制方法，混沌同步中反馈控制方法的研究非常多， 涵括了线性和非线性反馈控制方法。 高金峰等针对一般连续混沌系统的同步问题，将系统分线性和非线性两部分设计 出了非线性反馈控制器，利用l y a p u n o v 稳定性定理进行了证明，并以l o r e n z 、c h u a s 和一个四阶超混沌为例进行了仿真验1 正1 2 s 1 卢俊国等也对一般连续混沌系统分线性和 非线性部分设计出了非线性反馈控制器，并用l y a p u n o v 稳定性定理证明，以c h u a s 电路为例作了仿真验证1 2 “。 张宇等对c h u a s 混沌电路设计了电路图，将要传送的信息融合在混沌系统中， 利用最大条件l y a p u n o v 指数( c l e ) ( 用w b l f 方法求解) 得到了同步区间，然后定 义了恢复同步系数评估了通讯性能，并采用p s p i c e 软件( 电路模拟器) 进行了仿真 验证口“。任晓林等针对一般离散混沌系统，提出同步问题就是同步流形的稳定问题的 设计思想，定义了最大c l e ，采用非线性反馈，利用最大c l e 小于0 来证明，并以 l o g i s t i c 映射、h e n o n 混沌神经网络( e l m a n 网络) 为例作了仿真验证【2 8 1 。 王智良等采用非线性控制系统的微分几何理论，将原混沌系统进行输入输出部 分线性化，并结合极点配置方法，在一定的假设前提下，设计了一个实现高维混沌系 统同步控制的非线性反馈控制器例。 e r w e ib a i 和h n a g i z a 等分别对l o r e n z 、r 6 s s l e r 和c h e n 混沌系统的非线性反 馈同步做了研究，在设计控制器时，首先消去非线性项，然后对线性部分通过调整反 馈系数实现同步【3 ”“。在文【3 2 】中，e r - w e ib a i 等针对文【3 0 】中设计的非线性反馈控制 器，提出了一种顺次施加控制实现同步的方案，即对l o r e n z 响应系统的三个状态依 次施加控制器，而不是同时对三个状态施加控制。仿真验证了这种同步方案的有效性。 9 华中科技大学博士学位论文 宋本祥等针对l o r e n z 系统，利用l y a p u n o v 稳定性理论，采用试凑的方法寻找非线性 控制器1 3 3 l 。方天华针对c h u a s 、r 6 s s l e r 和改进的l o r e n z 系统，同样利用l y a p u n o v 稳定性理论，采用试凑的方法寻找非线性控制器，并列表比较了几种非线性反馈控制 的效果 3 4 - 3 5 j 。 f e n gl i u 等基于非线性观测器设计理论，对一类混沌系统，利用驱动系统中最后 一个状态变量作为驱动信号，设计了线性输出误差反馈控制规则【3 “。 罗晓曙等针对l o r e n z 系统同步问题，分别提出了仅对x 状态变量进行控制的非 线性控制器和对y 状态的单变量线性反馈控制器，并对前者进行了理论证明【37 l 。马文 麒等阐述了全变量线性反馈以及y 状态的单变量线性反馈实现l o r e n z 系统同步的方 案，但是没有进行理论证明，仿真结果验证了该方案的可行性【3 酆。宋杨在文献【3 9 】中 引入了单调同步的概念，以l o r e n z 系统为例，分析了x 和y 状态的单变量反馈同步， 并利用l y a p u n o v 稳定性定理进行了证明，给出了反馈系数范围的估计，但是他的结 果中，反馈系数的下限的估计值依赖于变化的状态变量。 s h o u l i a n gb u 等提出了超混沌系统( 有多个正的l y a p u n o v 指数的混沌系统) 的 状态非线性反馈同步方案，该方案可用于不同混沌系统之间的同步【4 0 l 。y c h e m b o k o u o m o u 等对类d u f f i n g 振荡器分析了有时延情况( 假设驱动信号传递到接收方，即 响应系统时有一定的延时) 的同步问题j 。 通过上面文献的分析不难发现，反馈控制方法几乎适用予所有类型的混沌系统的 同步问题，包括超混沌系统的同步。 3 、自适应控制同步 在混沌同步的研究中，有时会遇到混沌系统的数学模型未知或其参数未知，或者 是响应系统和驱动系统的参数不匹配的情况，在这种情况下，传统的反馈控制方法很 难解决两个系统的同步问题，对于受控对象