（控制理论与控制工程专业论文）非线性控制系统观测器研究.pdf

摘要 状态反馈在控制系统的各种综合问题的讨论中已充分显示出其优越性。不管是系统的 极点配置、镇定、解耦控制、无静差跟踪还是线性二次型的最优控制，人们首先想到的是 用状态反馈去加以实现。但是，或者是由状态不易直接量测，或者是由于量测的设备在经 济上和使用上的限制，使得不可能来实际获得系统的全部状态变量，从而使状态反馈的物 理实现成为不可能。状态反馈在性能上的不可替代性和在物理上的不能实现性形成了一个 尖锐的矛盾。解决这个矛盾的途径之一，就是通过重构系统的状态并用这个重构的状态 来代替系统的真实状态，以实现所要求的状态反馈。状态观测器正是在这样的背景下提出 的一个同时具有理论意义和应用价值的研究课题。 、一厂 【对线 生系统而言，著名的k a l m a n 滤波器和l u e n b e r g e r 观测器为该领域的观测器设计 t 问题提供了较为完美的答案。非线性系统观测器设计问题情况并不这样乐观。对非线性 系统而言，观测器问题没有系统的方法可采用，通常对不同的情形有不同的方法，因而非 线性系统观测器设计问题要比线性系统复杂得多，因而引起了众多学者的关注。非线性观 测器主要设计方法有：类l y a p u n o v 方法，坐标变换法( 标准型方法) 扩展的k a l m a n 滤 波器方法和扩展的l u e n b e r g e r 观测器设计方法等。本文在兼顾考虑非线性系统全维观测器 设计问题的前提下，着重考虑了非线性系统降维观测器的存在性及其设计问题。首先针对 l i p s c h i t z 非线性系统讨论了全维观测器和降维观测器两者之问的关系并在此基础上，进 一步讨论了该类系统全维观测器、降维观测器和l u e n b e r g e r 观测器三者之间的关系。经过 一定前提条件的变动，对相应结果在指数收敛的意义下进行了推广，并得出了相应的结论。 也对这类系统的自适应观测器设计问题进行了讨论。 考虑到l i p s c h i t z 非线性系统的局限性，本文还试图对以上主要结论往一般非线性系统 进行推广，为此引入了l y a p u n o v 稳定意义下相对于某l y a p t m o v 函数存在观测器的概念， 以此充分研究了非线性系统全维观测器和降维观测器两者之间的关系并在此基础上针对 、 某非线性系统具体提出一种降维观测器设计之方法。彳 | 本文的主要创新成果是： 对l i p s c h t i z 非线性系统指出了若存在全维观测器，则必存在降维观测器，并提出 了降维观测器通常的设计方法。 针对l i p s c h i t z 非线性系统揭示了全维观测器、降维观测器和l u e n b e r g e r 函数观 测器三者之问的关系。 在指数收敛的意义下对上述问题进行了推广。 引入了l y a p u n o v 稳定意义下相对于某l y a p u n o v 函数存在观测器的概念，井在此 基础上对一般非线性系统讨论了全维观测器和降维观测器两者之间的关系，指出 如果在l y a p u n o v 稳定意义下相对于种特别形式的l y a p u n o v 函数存在全维观测 器则必在同样的意义下存在降维观测器。并给出了降维观测器的增益矩阵的表 达形式。这相当于在一定意义下回答了非线性系统存在全维观测器是否存在降维 观测器的问题。 ， 、! 本文共分六章。第一章综述了非线性系统观测器研究的动态和各种设计方法。第二章 i 、 为基础知识和数学基础，主要介绍了线性系统观测器设计的一般方法以及非线性系统观测 器设计问题所牵涉到的数学内容和本文讨论中所用到的数学知识包括l u e n b e r b e r 观测器 和k a l m a n 滤波器、代数r i c c a t i 方程和微分r i c c a t i 方程解的存在性及其数值解方法等内容。 第三章对l i p s c h i t z 非线性系统观测器设计问题进行了讨论。这章分为四部分，第一部分讨 论了l i p s e h i t z 非线性系统全维与降维观测器的关系，并给出了降维观测器之设计方法。第 二部分在第一部分的基础上进一步研究了l i p s c h i t z 非线性系统全维观测器、降维观测器和 l u e n b e r g e r 函数观测器三者之间的联系。第三部分在指数收敛的意义下推广了第一部分的 相应结论。第四部分对具有未知参数的l i p s c h i t z 非线性系统的自适应观测器设计进行了研 究。第四章对l i p s e h i t z 非线性系统观测器存在性的条件作了进一步的研究。该章分两部分 第一部分对观测器存在性条件的判定作了一定地改进，第二部分提出了一种观测器存在性 的迭代判断方法。第五章对一般形式的非线性系统的观测器设计问题及其降维观测器之存 在性问题进行了研究。该章主要分两部分，第一部分提出了一种指数型全维观测器之设计 方法，该方法不必寻找l y a p u n o v 函数。第二部分提出了l y a p u n o v 稳定意义下相对于某 l y a p u n o v 函数存在观测器的概念，并在此概念的基础上讨论了输出部分为线性的非线性系 统的降维观测器的存在性问题。最后第六章在总结全文的基础上，提出了若干有待进步 、 研究的问题。 关键词l i p s e h i t z 非线性，l y a p u n o v 函数，全维观测器，降维观测器，指数收敛，自适应 观测器。 a b s t r a c t t h es t a t ef e e d b a c kh a ss h o w ni t sa d v a n t a g e si nm a n ys y n t h e t i c a lp r o b l e m s i nt h ed e s i g no f l i n e a rs y s t e m s ，t h es t a t ef e e d b a c ks e e m st ob et h em o s tp o w e r f u lm e t h o d f o rn o n l i n e a rs y s t e m s ， i ti sa l s oau s e f u lt e c h n i q u ei nt h es y s t e ms y n t h e s i s t h ep o l ea s s i g n m e n t ，s t a b i l i z a t i o n ，e r r o rf r e e t r a c ka n d o p t i m i z a t i o n o ft h ec o n t r o l s y s t e m s a 1 1 d e p e n do ni n l x o d u e i n gs o m ep r o p e r s t a t e f e e d b a c kt ot h es y s t e m s i np r a c t i c e ，h o w e v e r , a l ls t a t ev a r i a b l e sa r er a r e l ya v a i l a b l ef r o mo n l i n em e a s u r e m e n td u et oe i t h e rt h ed i f f i c u l t i e so fm e a s u r i n gs t a t ed i r e c t l yo rt h ee c o n o m i ca n d u t i l i z i n gl i m i t a t i o n so fm e a s u r i n ge q u i p m e n t t h i sm a k e ss t a t ef e e d b a c kc a nn o tb ep h y s i c a l l y r e a l i z e d t h ef a c tt h a tt h ef u n c t i o no ft h es t a t ef e e d b a c kc a l ln o tb er e p l a c e da n dt h ep h 3 ，s i c a i r e a l i z a t i o nf o rs t a t ef e e d b a c kc a nn o tb er e a c h e dm a k e su pak i n do fc o n t r a d i c t i o n o n eo ft h e w a y s t os o l v et h i sp r o b l e mi st or e c o n n u c tt h es t a t ev a r i a b l e so f t h es y s t e ma n dt ou s ei tt or e p l a c e t h ea c t u a ls t a t ev a r i a b l e so ft h es y s t e mt os a t i s f yt h er e q u i r e m e n to ft h es t a t ef e e d b a c k s t a t e o b s e r v e ri sb o t hat h e o r e t i c a la n d8a p p l i e ds u b j e c td e v e l o p e du n d e rt h eb l 【g r o u n dm e n t i o n e d a b o r e i nt h ec e s eo fl i n e a rs y s t e m s ，b o t ht h ew e l lk n o w nk a h n a nf i l t e ra n dl u e n b e r g n ro b s e r v e r d e s i g nt h e o r yh a v eo f f e r e dac o m p l e t e a n d c o m p r e h e n s i v e b n s w e rt ot h i sp r o b l e m i nt h ef i e l do f o b s e r v e rd e s i g no f n o n l i n e a rs y s t e m s ，h o w e v e r , t h ed e s i g no f o b s e r v e r si sm u c hm o r ec h a l l e n g i n g a n dh a sr e c e i v e dac o n s i d e r a b l ea m o u n ta t t e n t i o ni nt h el i t e r a t u r e m a n ym e t h o d sh a v eb e e n p r e s e n t e ds u c ha st h el y a p u n o v - l i k em e t h o d ，t h e c o o r d i n a t et r a n s f r o m a t i o nm e t h o d ，t h ee x t e n d e d k a l m a nf i l t e ra n dt h ee x t e n d e dl u e n b e r g e ro b s e r v e rd e s i g nm e t h o d t h i sp a p e rm a i n l yd i s c u s s e st h ep r o b l e m so ft h ee x i s t e n c e sa n dt h ed e s i g r , m e t h o d so f r e d u c e d o r d e ro b s e r v e r sf o rn o n l i n e a rs y s t e m s ，t h ep r o b l e m so ft h ed e s i g no ff u l l o r d e ro b s e r v e r s f o rn o n l i n e a rs y s t e m sb e i n gd e a l tw i t ha tt h es a m et i m e f i r s t ，t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ef u l l - o r d e ra n dt h er e d u c e d o r d e ro b s e r v e r sf o rl i p s c h i t zn o n l i n e a rs y s t e m si sc o n s i d e r e d a f t e rt h i s ， w ed i s c u s st h er e l a t i o n s h i pa m o n gt h ef u l l - o r d e r , t h er e d u c e d o r d e ra n dt h el u e n b e r g e ro b s e r v e r s f o r t h es o m ec l a s so f n o n l i n e a rs y s t e m s t h ed e s i g n o f a d a p t i v e o b s e r v e r so f l i p s c h i t zn o n l i n e a r s y s t e m si sa l s og i v e n c o n s i d e r i n gt h el i m i t a t i o no fl i p s e h i t zn o n l i n e a rs y s t e m s ，w ea t t e m p tt o e x t e n dt h em a i n c o n c l u s i o n so b t a i n e da b o v et om u c hm o r eg e n e r a l i z e dn o n l i n e a rs y s t e m s f o rt h i sp u r p o s e ，t h e c o n c e p to ft h ee x i s t e n c eo f o b s e r v e r su n d e rt h em e a n i n go fl y a p u n o vs t a b i l i t yr e s p e c t i n gt oa l y a p u n o vf u n c t i o ni s i n t r o d u c e d t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ef u l l o r d e rm a dr e d u c e d - o r d e r o b s e r v e r so fg e n e r a l i z e dn o n l i n e a rs y s t e m si sd e a l tw i t hb a s e do nt h ec o n c e p tw ed e v e l o p e d a f t e rt h i s ，ad e s i g na p p r o a c ho fr e d u c e d - o r d e ro b s e r v e rf o rt h es a n l ec l a s so fn o n l i n e a rs y s t e m si s p r o v i d e d t h e m a j o r c o n t r i b u t i o n sg i v e n b y t h i st h e s i si sl i s t e da sf u l l o w s ： w e p o i n to u tt h a tt h e r ee x i s t sar e d u c e d - o r d e ro b s e r v e rf o fl i p s c h i t zn o n l i n e a rs y s t e m s i faf u l l o r d e ro b s e r v e re x i s t sf o rt h es y s t e mu n d e rs o m ea s s u m p t i o n s ad e s i g n a p p r o a c h o f r e d u c e d - o r d e ro b s e r v e ri sp r o v i d e d t h e r e l a t i o n s h i p sa m o n g t h ef u l l - o r d e r , t h er e d u c e d - o r d e ra n dt h el u e n b e r g e rf u n c t i o n o b s e r v e r sf o rl i p s c h i t zn o n l i n e a rs y s t e m sa r eg i v e n s o m ec o n c l u s i o n sa r ee x t e n d e du n d e rt h em e a n i n go f e x p o n e n f i a lc o n v e r g e n c e t h ec o n c e p to ft h ee x i s t e n c eo fo b s e r v e r su n d e rt h ec o n s i d e r a t i o no fl y a p u n o v s t a b i l i t yr e s p e c t i n gt oal y a p u n o vf u n c t i o ni sd e v e l o p e d t h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e n t h ef u l l - o r d e ra n dt h er e d u c e d o r d e ro b s e r v e r sf o rg a n e r a l i z e dn o n l i n e a rs y s t e m sa r e d i s c u s s e db a s e do ot h i s c o n c e p t t h er a a = j o r c o n c l u s i o ni st h a t ，f o r g e n e r a l i z e d n o n l i n e a rs y s t e m s ，i ft h e r ei saf u l l o r d e ro b s e r v e ru n d e rt h em e a n i n go fl y a p u n o v s t a b i l i t yr e s p e c t i n gt oas p e c i a ll y a p u n o vf u n c t i o n ，ar e d u c e d - o r d e ro b s e r v e r m u s te x i t s a n dt h eg a i nm a t r i xf o ri tc a na l s ob ec o m p u t e db yt h es p e c i a ll y a p u n o vf u n c t i o n t h i sm e a n st h a tw eh a v eg i v e nt h ea n s w e rt ot h i s q u e s t i o n ：d o e s ar e d u c e d - o r d e r o b s e r v e re x i s tf o r g e n e r a l i z e dn o n l i n e a rs y s t e m s i f t h e r ei saf u l l o r d e ro b s e r v e r ? t h et h e s i sc o n s i s t so f 6 c h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w es y n t h e s i z et h ed e v e l o p m e n t s a n dt h ed e s i g n m e t h o d so fn o n l i n e a rs y s t e m s t h eo b s e r v e rd e s i g nm e t h o d sf o rl i n e a rs y s t e m s a r es u m m a r i z e d a n dt h eb a s i cm a t h e m a t i c sc o n s i s t i n go ft o p i c so f t h et h e o r yo ft h ea l g e b r a i ca n dt h ed i f f e r e n t i a l r i c c a t ie q u a t i o na r eg i v e ni nc h a p t e r2 i nc h a p t e r3 ，t h ep r o b l e m sr e l a t e dt ot h ed e s i g no f o b s e r v e r sf o rl i p s c h i t zn o n l i n e a rs y s t e m sa r ed i s c u s s e d t h e r ea r ef o u rp a r t si nc h a p t e r3 - t h e r e l a t i o n s h i p sb e t w e e n t h ef u l l - o r d e ra n dt h er e d u c e d - o r d e ro b s e r v e r sa r ed i s c u s s e di np a r t1 p a r t 2c o n s i d e r st h er e l a t i o n s h i p sa m o n g t h ef u l l - o r d er ，r e d u c e d - o r d e ra n dl u e n b e r g e ro b s e r v e r sb a s e d 0 1 7 1t h ec o n c l u s i o n sg i v e nb yp a r t1 p a r t3d i s c u s s e st h es i m i l a rp r o b l e m s t ot h a ti np a r t1f o rt h e 。船eo fe x p o n e n t i a lc o n v e r g e n c eb ym o d i f y i n gs o m ea s s u m p t i o n s ，w h i l et h e p m b l e m so f 血e d e s i g nm e t h o d so fa d a p t i v eo b s e r v e r sf o rl i p s c h i t zn o n l i n e a rs y s t e m sa r ed e a i tw i t hi n p a r t4 t h ef u n h e rs t u d yo ft h ee x i s t e n c ec o n d i t i o n so f o b s e r v e r sf o rl i p s c h i t zn o n l i n e ”s ”t e m si s p r o c e s s e di nc h a p t e r4 ，w h e r es o m ei m p r o v e m e n t sf o rt h ee x i s t e n c ec o n d i t i o n so f o b s e r v e r sf o r l i p s c h i t zn o n l i n e a rs y s t e m sa r ep u tf o r w a r da n da ni t e r a t i v em e t h o do fv a l i d a t i n ge x i s t e n c e c o n d i t i o n sf o ro b s e r v e r so f l i p s c h i t zn o n l i n e a r s y s t e m si sd e v e l o p e d i nc h a p t e r5 w ed i s c u s s e s t h e d e s i g n o fe x p o n e n t i a lo b s e r v e r sa n dt h e e x i s t e n c eo ft h er e d u c e d o r d e r o b s e r y e 坪f b r g e n e r a l i z e dn o n l i n e a rs y s t e m s t h e ma r et w op a r t si nt h i sc h a p t e r a ne x p o n e n t i a lo b s e r v e ro f n o n l i n e a rs y s t e m si s d e v e l o p e di np a r t 1a n dt h ee x i s t e n c eo ft h er e d u e e d - o r d e ro b s e l y e rf o r g e n e r a l i z e dn o n l i n e a rs y s t e m sa r ed e a l tw i t hb a s e do nt h ec o n c e p tw ep l nf o r w a r d f i n a l l y , s e v e r a lp r o b l e m sw h i c ha r ev a l u a b l ef o rf u r t h e rs t u d i e da r ep o i n t e d o u t k e yw o r d s ：l i p s c h r zn o n l i n e a rs y s t e m s ；l y a p u n o vf u n c t i o n s ；f u l l - o r d e ro b s e r v e r ；r e d u c e d o r d e r o b s e r v e r ；e x p o n e n t i a lc o n v e r g e n c e ；a d a p t i v eo b s e r v e r 第一章非线性系统观测器研究动态及一般设计方法 1 1 非线性控制系统 数学模型是很多科学研究的基础，任何一个模型都只是真实过程在一定层次上的抽象。 长期以来，人们广泛研究和使用线性模型和理论取得了巨大的成就。然而，在实际的生 产过程中，精确的分析结果表明几乎所有系统都是非线性的，而线性系统则是一种简化 或近似系统的非线性主要体现在如下几个方面。一是由于系统的不完善而产生非线性， 例如随动系统的齿轮传动具有齿隙和干摩擦等，许多执行机构都不可能无限制地增加其输 出功率，因此就存在饱和非线性特性。二是系统动态特性本身所固有的，如高速运动的机 械手各关节之间有哥氏力的偶合这种偶合是非线性的如果要研究机械手的高速运动控 制就必须考虑非线性的偶台。又如电力系统中的传输功率与各发动机之间相角差的正弦成 正比要研究电力系统中的大范围运动就必须考虑非线性特性的影响。三是对象本身是 线性的，但为了对它进行商质量的控制，常常在控制系统中有意识地引进非线性的控制规 律。例如最短时间的控制就要采用b a n g - b a n g 控制，它是非线性的。由此看来非线性问 题自然地成为人们所关心的问题之一，并日益为各学科所重视。 可以用不同的方法和手段来对非线性系统进行研究，方法之一是非线性系统的线性化。 毕尽线性系统始终是被研究的对象，在过去的几十年中取得了众多的结果和重要的进展，已 形成和发展为十分完善和成熟的理论因而人们总希望用线性理论方法去解决所面临的众多 实际问题。主要有三种非线性系统的线性化方法。 1 ) 局部线性化方法如果我们所要处理的非线性函数是可解析的那么它在微增量的 情况下可以在平衡点进行泰勒级数展开然后，取其一次近似项代替非线性函数便得 到一个近似的线性化方程。经过这样处理的线性化系统叫做局部线性化系统，很多非线性 理论就是建立在这个基础上展开讨论的局部线性化方法的主要缺点是它只能研究在平衡 点附近受扰运动的行为而且当线性化系统接近临界的情况下，该方法常常会失效。 2 ) 全局线性化有一类非线性函数，它的自变量的增量不是“微”的，而是大范围的。 这时仅用泰勒级数一次近似来逼近它的效果就不佳，典型的例子就是机器人运动的控制问 题。因此，从上世纪7 0 年代末，人们开始寻求各种各样的非线性补偿办法( 串联的、状态 反馈的、以及逆系等方法) 以消除系统中的非线性函数，把非线性系统改造成线性系统 然后用各种线性理论和方法来设计系统的性能指标。因为这种补偿办法是对变量大范围变 化进行的，所以称为全局线性化。 上海交通大学博士论文 非线性控制系统观捌器研究 3 ) 谐波线性化方法有一类非线性函数，它们不是解析的，如继电型函数、齿轮啮合型、 干摩擦等。对这类非线性系统研究，以上所提到的两方法显然都不能很好的发挥作用，而要 用到谐波平衡法加以线 生化方法，称为谐波线性化方法，然后再用线性理论的方法来研究非 线性系统的某些行为。这个方法的优点是不仅非解析函数可用，解析函数也可用，从这个意 义上来讲它是一个更广泛的全局线性化方法。 微分几何方法近几十年，微分几何方法在非线性系统的控制理论中得到了广泛的 应用。逐渐形成了线性理论中的一个新的分支一一非线性系统的几何理论。尽管在某种意 义上来讲它可以归为线性化的范畴，但鉴于其在非线性系统研究中所起的重要作用，在 此专门对其进行一定的讨论。非线性系统的微分几何理论，起源于上世纪7 0 年代初期， b r o c k e t , s u s s m a n n 以及k l e l l e l 等人作了许多开创性的工作。其中b r o c k e t 的工作m 通常被 看作是微分几何理论的开端。 上世纪6 0 年代线性代数方法在线性系统的控制理论中得到了成功的应用，其基本原 理是：对于一个给定的线性系统可以把状态空间依要求分解为一些特定的子空间，例如 能控子空间、能观子空间、，丑) 一不变子空间等。而线性系统的状态轨线、输出或干扰 等，只属于某些子空间或由它们生成的超平面。因此，讨论这些子空间的性质即可以了解 线性系统的性质。这些子空间蛆及有关反馈控制都可以用线性代数的方法算出。因此，几 何概念加上线性代数的工具，对实际系统设计或控制工程问题提供了行之有效的方法。 对于非线性系统，不管是运动轨线或输出等，一般地说，都不能用子空间来描述，但 它们往往只属于一些低维子流形或粗略的说r “中的一些低维曲面。类似于线性系统 的几何理论，我们可以通过对低维子流形的讨论来了解非线性系统的性质。因此在非线 性系统理论中，微分流形的方法得到了成功的应用。 真接讨论低维子流形往往是比较困难的，但借助于f r o b e n i u s 定理、c h o w 定理以及它 们的各种推广p ，低维子流形与它们的切向量以及切向量场所形成的分布形成了联系。这 些分布对于流形的每一点而言是切线性空间的子空间，讨论起来要方便得多。因此，我 们可以把对低维子流形的讨论转换为对向量场及分布性质的研究。 众所周知，线性空间之问的线性变换不影响线性映射及子空间等性质。因此，线性代 数方法在线性系统的研究中十分有效。微分流形之间的变化是微分同坯，由于向量场之间 的李代数结构对微分同坯是不变的，所蛆，李代数就成了研究向量场以及向量场所形成的 分布的重要工具。具有类似性质的还有李导数等，我们把这些系统统称为李代数方法。粗 略地说，在线性系统与非线性系统的几何方法之间，存在着如下的对应关系：状态子空间 微分流形：向量向量场；子空间子流形、分布；线性变换微分同坯；线性代 数方法李代数方法。 2 第一章非线性系统观测器研究动态及一般设计方法 经过几十年的努力，非线性系统的几何理论已经有了很大的发展。它不但在理论上已 初步形成了自己的完善体系，而且，在一些尖端工程技术中及工业上得到了广泛的应用。 例如机器人的控制【e ”，直升飞机的控制f 】，都得到了很好的结果。 1 2 非线性系统观测器及一般设计方法 状态反馈对控制系统中各种综合问题解决具有重要意义。不管是系统的控制、镇定、 解耦、无静差跟踪以及最优控制，都有依赖于引入适当的状态反馈才能得以实现。但是， 或者由于状态不易直接测量或者由于测量设备在经济性或使用上的限制，使得不可能实 际获得系统状态变量的全部信息，从而使状态反馈的物理实现成为不可能。状态反馈在性 能上的不可取代性和物理上的不可实现性形成了一对矛盾。解决这一矛盾的途径之一就是 通过重构系统的状态并用这个重构的状态代替系统的真实状态来实现所要求的状态反 馈。状态重构问题正是在这种背景下提出的一个同时具有理论意义和应用价值的课题。 具体地说来，状态重构问题( 亦称观测器设计问题) ，就是重新构造一个系统利用原 系统中可直接测量的信息如输入和输出作为新系统的输入信号并使其输出信号在一定的 提法下等价于原系统的状态这个用以实现状态重构的新系统通常称为观测器。 观测器按其功能可分为状态观测器和函数观测器。输出渐近等价于原系统之状态的观 测器，称为状态观测器输出渐近等价于原系统状态的一个函数的观测器，称为函数观测 器。一般来说，函数观测器的维数要低于状态观测器对于状态观测器，还可按其结构分 为全维观测器和降维观测器维数等于原系统的观铡器称为全维观测器，维数小于原系统 的观测器称为降维观测器。显然降维观测器在结构上要较全维观测器简单。 自从l u e n b c r g e r 于1 9 6 4 年提出了线性系统的观测器设计方法以来【，1 ，有关线性系统的 观测器设计方法及其理论已e l 趋完美井得到了广泛的应用。与线性系统不同对非线性系 统不存在一个总的方法来设计观测器，但对不同的非线性系统可以找出不同的设计方法， 因而对非线性系统观测器的研究要复杂得多。 1 2 1 基本概念 非线性系统通常具有如下一般形式 p 2 母川 ：1 ) iy = 厅( x ) 其中x r “，r ”，y e r 9 分别为系统的状态，输入和输出f ：r ”r ”- 9 r ”和 h ：r ”斗r 。 一缝至望查兰竖主堡壅韭垡丝墼型墨堑塑型墅堑塞 定义1 2 1 ；设一动态系统描述如下 量= g ( i ，y ，“) ( 1 2 2 ) 其中j r “，g ：r ”r 9x r “呻r ”为连续可微分。记( 1 , 2 1 ) 和( i 2 2 ) 相对于同 一输入及分别经过和毛的解为x ( t ，“) 和量o ，“) ( 简记为x ( f ) 和王( f ) ) 。如果 ( a ) x o = 章。意味着x ( t ) = 章( r ) 对任意的f o 和所有的输入“成立。 ( b ) 存在原点的一个开邻域u r ”使得u 意味着x ( t ) 一量( r ) u 并且 i i x ( t ) 一量( r ) 9 斗。当r 斗0 0 时 那么系统( 1 2 2 ) 就称为系统( 1 2 i ) 的一个( 局部) 渐近观测器。 定义1 2 2 ：如果定义1 2 i 中的条件( b ) 改为 ( c ) 存在原点的一个开邻域【，r ”使得屯u 意味着x o ) 一量( ，) u 并且 l i x ( 0 一i ( f ) 忙me x p ( - c t ) 对正数吖和c 成立，则系统( 1 2 2 ) 称为系统( 1 2 1 ) 的( 局部) 指数型观测器。 文献 8 】进一步讨论非线性系统观测器所具有的更一般的形式，指出条件( b ) 成立的 必要条件是g 具有如下形式 量= g ( 量，y ，) = ，( 量，“) + i ( i ，y ，“) ( 1 2 3 ) 其中k ：r “r r “一r ”为连续可微分，且满足 忌( 量， ( 主) ，“) = 0 ( 1 2 4 ) 对任意的王r “及所有的输入“成立。因而( 1 2 3 ) 和( 1 2 4 ) 是非线性系统观测器所应 具有的更一般的形式。观测器设计的关键就是如何寻找这样的k 使条件( a ) 、( b ) 或( c ) 满足。 更进一步地，仿照线性系统观测器之设计方法，很多情况下k 为如下形式 k = l ( y 一 ( )( 1 2 5 ) 这样，观测器设计的关键是如何设计增益矩阵工，使观测器之输出渐近趋向于原系统的真 实状态。 1 2 2 设计方法 自从t h a u 于1 9 7 3 开始对非线性系统观测器进行了讨论以来【1 0 l ，非线性系统观测器理 论及其设计问题就得到了广泛的注意。在过去的几十年中，人们提出了各种各样的构造非 线性系统观测器的方法。一般而言，对非线性系统观测器的研究可归纳为如- v j l 类方法： 4 t 第一章非线性系统观测器研究动态及一般设计方法 类l y a p u n o v 方法、坐标变换法( 标准型方法) 、扩展的k a i m a n 滤波器方法、扩展的l u e n b e r g e r 方法及自适应观测器和鲁棒观测器设计方法。往下分别对各类方法加毗简介。 类l y a p u n o v 方法( l y a p u n o v l i k e m e t h o d s ) 从以上的讨论可知观测器设计关键是如何寻找满足条件( 1 2 4 ) 的连续函数k 以使 观测器( 1 2 3 ) 的输出量渐近趋向原系统的真实状态。由( 1 , 2 1 ) 减去( 1 2 3 ) 得 膏= f ( x ，) 一，( 章，村) 一膏( 章，j ) ( 1 2 6 ) 其中章= x 一王为真实状态与估计状态之间的误差，式( 1 2 6 ) 通常被称为误差方程。由此 看来，观测器设计问题可转化为如何寻找k 使误差方程( 1 2 6 ) 具有稳定的平衡点零的问 题。这样，有关系统稳定设计的各方法及其相应的l y a p t m o v 稳定性理论很自然地被引用到 观测器的讨论之中，并成为观测器设计的常用手段之一我们通常把这类方法称为类 l y a p u n o v 方法。类l y a p u n o v 方法给出了一大类非线性系统观测器存在的充分性条件该 方法的不足是构造l y a p u n o v 函数通常不是一件容易的事。 类l y a p u n o v 方法在非线性系统观测器讨论之初就被采用。1 9 7 5 年k o u 等人对如下的 非线性自治系统观测器的存在性进行了讨论【9 】。 ；黧 z m 其中x r ”，y r 。观测器中的k 取( 1 2 5 ) 的形式。即考虑如下形式的观测器 量= 厂( 主) + l ( y 一 ( 量) ) ( 1 2 8 ) 得出了这样的结论：如果存在增益矩阵工r “9 及正定矩阵p r 使得 ，( 芒( 砷一三罢( x ) ) o 对任意的x 成立，则( 1 2 8 ) 是系统( 1 2 7 ) 的指数型观测器。利用l y a p u n o v 稳定性理论。 该结论得到了证明- 其l y a p u n o v 函数取为v = x 7 p x 。 t h a u 等人早在1 9 7 3 年就对l i p s e h i t z 非线性系统观测器设计问题进行了讨论i l 。1 。 l i p s c h i t z 非线性系统可描述如下 j 扣出加( 圳)( 1 2 9 ) 【) ，= c x 其中x r ”，“r ”，a r ，c r ”而m ( x ，”) 是具有l i p s c h i t z 常数y 的非线性函 数，即满足 i l ( x ，“) 一m ( 量，“) | l ，i k 一章0 v x ，量r ”，”r “ ( 1 2 1 0 ) 堂奎望盔堂坠丝塞 ! ! 垡丝丝型墨堕塑型堡堕塞 般而言要求( 一，c ) 可观测。 定理1 2 i t ”】：如果能找到增益矩阵使得 ， ， ( 1 2 1 4 ) 则( 1 2 1 2 ) 是( 1 2 9 ) 渐近观测器。充分性条件( 1 2 1 4 ) 同样是在事先给出了增益矩阵 的前提下才行之有效但还是没有给出构造工的方法，甚至这样的是否存在，也不能 依系统的本身信息做出判断。之后，r a j a m a n i 在文献 1 2 1 中基于不可观测的距离的概念 根据系统本身信息给出了存在增益矩阵l 使条件( 1 2 1 4 ) 成立的一个充分性条件，指出 不可观测的距离如果大于l i p s c h i t z