（基础数学专业论文）无界域上半线性椭圆方程非平凡解与多解的存在性.pdf

v 无界域上半线性椭圆方程非平凡解与多解的存在性心 1 n - 摘要 这篇硕士论文集中了作者在攻读硕士学位期间的主要研究成果 在第二章我们首先考虑以下非线性s c h r s d i n g c r 方程 一a u = v ( z ) “+ ，( u ) ，u h 1 ( r “)( 1 ) 的非平凡解的存在其中n 3 ，( s ) ：尺一r 是连续非线性函数，而v ( x ) 在 冗v 上是不定的 利用上述闻题的极限问题的一些结果，结合l i o n s 的集中紧性原理，我 们讨论了问题( 1 ) 非平凡解的存在性在这里我们所讨论的非线性项f ( s ) 不 再满足经典的a r 条件，也不具有一般的超线性性质，我们讨论，( s ) 是有 界情形的问题我们注意到这类问题与讨论特征值问题时一类渐近情形相 关，也可看作s z u l k i n - w i l l e m 的特征值同题的一个摄动问题， 在第三章我们研究无界域上具h a r d y 临界指数项的半线性椭圆方程的 多解存在性考虑如下方程 一“一p 砰u = j “1 2 - 2 u + a h ( 。) “ u = 0 _ q ( 2 ) z a n 通过研究如下特征值问题， 一“一p 芒_ _ = a h ( x ) u ( 3 ) l “l 我们证明问题( 2 ) 所对应的能量泛函满足局部( p s ) 条件，然后结合指标理 论在( p s ) 条件满足处构造极小极大值，证明多解的存在性 在第四章，我们考虑一个与问题( 2 ) 相关的无界域上具h a r d y 临界指数 项的半线性椭圆方程的共振与非共振问题，即 一“一p 奔2 a ( z ) u + n ( z ) 9 ( “) + m ) ， z q ( 4 ) 乱= 0z a n 其中似，a 是正参数，f 2c 月。v ，是具光滑边界a n 的无界开区域，0 qg ( u ) 有界 连续且9 ( o ) ：0 ，而。( z ) l7 告( q ) n l 。c ( f 1 ) ，( z ) l7 书( n ) ，。( z ) l 孚( n ) ， ( z ) 芝0 ， n 3 我们称上述问题是一个非共振问题，若a k , k k + 1 而当 = k ，对 某个k 成立时，我们称上述问题在h 处共振 关键词：非线性s c h r b d i n g e r 方程，集中紧性原理，h a r d y 临界指数 山路引理，鞍点定理，局部( p s ) 条件，椭圆共振问题 n o n t r i v a la n dm u l t i p l es o l u t l 0 n sf o r s e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n si nu n b o u n d e d d o m a i n a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nc o l l e c t st h em a i nr e s u l t so b t a i n e db yt h ea u t h o rd u r i n gt h ep e r i o d w h e nh eh a sa p p l i e df o rt h emdt h ec o n t e n t sa r ea sf o l l o w ： i nc h a p t e rt w o w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fn o n t r i v i a ls o l u t i o nf o rt h ef o l l o w i n gn o d - l i n e a rs c h , 6 d i n g e re q u a t i o n s ： h = y 扛) u + ，( u ) ，t h 1 ( r ) ( 1 ) w h e r ea | 3 ，( s ) ：r ri sac o n t i n u o u sn o n l i n e a rf u n c t i o na n dv ( z ) i ss i g n c h a n g i n gi nr j 、f w e p l o k r et h ee x i s t e n c eo fn o n t r i v i a ls o l u t i o n ：b yu s i n g s o m er e s u l t sa b o u tl e a s te n e r g y s o l u t i o nf o rt h el i m i tc a s eo e p r o h l e m ( 1 ) a n dt h ec o n c e n t r a t i o n c o m p a c t n e s sp r i n c i p l e i n t r o d u c e d1 ) yl i o n sw er e m a r kt h a tt h en o n l i n e a r i 哆h e r ed on o ts a r i s f ，t h ec l a s s i c a l a l lc o n d i t o no rs u p e r l i n e a ra s s u m p t i o n s ，i n s t e a dw ea s s u m ef ( s ) i sb o u n d e d w ek n o w t h a tt h i sk i n do fp r o b l e mi sa s s o c i a t e dw i t ht h ea s y m p t o t i c a l l yl i n e a rc a s ef o re i g e n v a l u e p r o b l e m ，a n dw ea l s oc a nt r e a tt h ep r o b l e m a st h ep e t u r b a t i o no fa ne i g e n v a l u ep r o b l e m c o n s i d e r e db ys z u l k i n w i l l e m i nc h a p t e rt h r e e ，w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gs e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o nw i t hh a r d y c r i t i c a le x p o n e n t ： a u - p 许 2 u + a h ( z ) n ， z q b ，ri n v e s t i g a t i n gt h ef o l l o w i n ge i g e n v a l u ep r o b l e m ( 2 ) ( 3 ) ，f1li【 zha | l 旦”j 量 肛 一u一 w ep t o r et h a it h ee n e r g yf u n c t i o n a la s s o c i a t e dt op t o b l e m ( 2 ) s a t i s f i e s ( p s ) l o c a l l y , t h e n w cw i l ln s ei n d e xt h e o r yt oc o n s t r u c tm i n m a xw d u e sw h e r e ( p s ) c o n d i t i o ni ss a t i s f i e d i n c h a p t e rf o u r ，w ec o n s i d e rar e s o n a c ea n dn o n r e s o n a e ep r o b l e mf o rt h ee l l i p t i c e q u a t i o nw i t hh a r d yc r i t i c a le x p o n e n ti nu n b o u n d e dd o m a i n ： ( 4 ) w h e r encr “i sa no p e nd o m a i nw i t hs m o o t hb o u n d a r ya n ，0 n 0 ( u ) i sb o u n d e da n d c o n t i n u o u sg ( 0 ) = 0 ，0 ) l 7 告( n ) n 二。( q ) 、，( z ) l 寿苦( n ) ， ( z ) l 孚( q ) ， ( 。) 0 ， n 3 w es a yt h ea b o v ei s an o n r e s o n a n te s s e ，i fa k a 0 ，= 。 o ) )v + l 譬( r ) n l o 。( r ) w t e a $ z r v + 扛) o = o c ( )i mv 一( z ) = v - ( 。o ) 0 ，对所有的z r v ，v 一( z ) v 一( 。) ，在某个正测 度集上v 一( z ) - v - 一7 f 。- 卜f o ( + + ) 本章的主要结果是将临界点理论运用到方程相应的能量泛函，上，通过变分法得 到的，定义 ，：h 1 f r “1 一兄 m ) = i 厶， v 砰+ 州咖一互1 厶。v 沁) 幽。一厶。脚) 扛 ( 2 1 2 ) 那么问题( p ) 在h 1 ( r “) 上的弱解u 就是，在h 1 ( r “) 上的临界点，即对任意的 曲h 1 ( r ) ， 厶。v u v 母+ v _ ( 。) “咖出一上。v + ( z ) u 曲妇一厶。，( u ) 曲出= o ( 2 ，l 。3 ) 为了引出我们的主要结果，我们首先需要： 引理2 1 1 1 1 2 1q 是r 的开区域，若 ( 。) l 享( q ) ( z ) 0 ，n 3 那么如 下定义的泛函k 弱连续， _ ：d j 2 ( n ) 一只：u 。： ( z ) “2 如 性质2 1 2 【7 1假设条件嵋和成立，那么对任意的a 0 特征值问题 一u + a v 一( z ) u = p v + ( 卫) u ， u h ( 21 4 ) 有特征值序列 0 风 面2 凤_ 。，一o 。 五 每一特征值重数至多有限并按重数重复，且第一特征值是单的这里 珂= u d 1 , 2 ( r ) ，五。v 一( 。) u 2 如 。o ) 足h i l b e r t 空问，可由特征函数 饥) 张成，其上的范数是 备2 厶。i v u l 2 + v 一( 。) u 2 虹 注2 1 3在性质2 12 中取入= 1 ，我们知道 有特征值序列 一a u + v 一( 茁) u = 弘v + 忙) u ， u h 0 肛1 卢2 肌_ 。k 一。 我们的主要结果如下： 定理2 1 4假设n23 ，( ，) ，( ，2 ) ，( ) ，( k ) 和( + + ) 成立，如果l 肛1 ，那么问 题( j d ) 至少有一个非平凡解 由p ll i o n s 的集中紧性理论，在证明有界( p s ) 序列弱收敛到问题( p ) 相应的能 量泛函的非平凡临界点的过程中，“极限问题”起了关键作用定义p ：h 1 ( 兄) 一r 为 ，。( “) = ；五。i v u | 2 + y 一( o 。) u z d x 一厶。f ( 札) d z ( 2l f 5 ) 令 l 。= i n f u 。沁) ：“0 、，0 。( u ) = o )( 2 1 6 ) 我们将证明c m 。， u 。，有非平凡弱极限( c ， u 。 的定义见第二节) 本文的结构如下：在第2 节，我们给出自治问题关于极小能量解的一些结果( 定义 见下文) ，同时构造我们需要的能得到弱解的( p s ) 序列在第3 节，我们将证明如上 构造的( p s ) 序列含有界子序列在第4 节，我们给出有界( p s ) 序列的一个分解 在第5 节，证明非平凡髌的存在性 ( 二) 、自治问题与( p s ) 序列 在这一节，我们回忆自治方程 一a u = 9 ( u )u ，h 1 ( r ) ，( 2 2 1 ) 一些的结果这里我们给出的结果不仅是对n 3 ，而且还包括n = 2 时的情形 定义2 2 1称( 2 2 1 ) 的解。( z ) 是极小能量解，如果 6 ( u ) = m 铀= n l f j ( “) ，“e 爿1 ( h “) o ) 足( 222 ) 的解) 这里 。，：h 1 ( r ”) _ 叶r 屉( 221 ) 相应的能量泛函，定义为 j ( “) = ；五。l v u 一厶，g ( u ) 抚 ( 222 ) 其中g ( u ) = 片9 ( s ) d s 以下结果是众所周知的 引理2 2 2 1 ，2 1假设 ( 鲥9 c ( j r ，r ) 是奇的 ) 3 时，一。 1 1 卿掣剑哿p 掣= - - 3 0 那么。，是e 1 的，r c j 日, 1 - m o 0 ，并且( 2 2 1 ) 存在极小能量解“是古典解，在r ”上满 足“ 0 最近在 5 中，作者补充了引理22 2 ，对极小能量解u 给出了更深刻的刻画，即： 引理2 2 a 5 】 假设引理222 的条件成立设 f j = e ( o ，1 h 1 ( r ”) ) , x o ) = 0 ，j n ( 1 ) ) 0 且 磐a x ，l ，( 7 ( t ) ) = b * 【o ，1 】“ 为了得到适当的( p s ) 序列，从而产生问题( p ) 的非平凡弱解，我们仍需要以下 引理 7 引理2 2 4 1 2 f 足实b a l l a c h 空i 训，若对于某“ 0 和“l e t l | | e ，e 1 ( e ，r ) 满足 m a x ，( o ) ，( “i ) ) sd 0 使得 五。i v “f 2 + y 一( z ) “2 如岛上。i v 1 2 + “2 如 ( 2 2 5 ) 由h 1 ( r “) 到口( r ”) ( 2 r 2 + ) 的嵌入的连续性得到h 到口( r ) ( 2 r 2 ) 的嵌 入的连续性 口 现在我们考虑问题( p ) 的极限情形，即 一a u = 一v ( o 。) “+ ，( 口) ，u h 1 ( r ”) ( p 。) 相应的能量泛函是 ，。( “) = ；上。f v “ 2 + 矿_ ( o 。) t z 2 如一上。f ( “) 如 ( 22 6 ) 那么( p ”) 的任意解可以看成是以下这个自治方程的解 - - a u = g 心) ，“h 1 ( r “) ， 其中9 ( “) = 一v 一( o z ) , u + 厂( “) r 性质2 2 ，6 ，满足引理2 _ 2 ，4 的条件，即，具有山路几何 证明1 由条件 j 和( “) 知，引理2 2 2 的所有条件都满足，根据引理22 2 知 f ，一= 7 e ( o 1 】，1 ( r “) ) ，v ( o ) = 0 ，。( 7 ( 1 ) ) 0 ) 是非空的 我们可以取 ，0 r p 、使得，。( 7 0 ( 1 ) ) 0 对任意的“1 ( 咒) 因为y 一( z ) sv 一( 。) 且在一个正可测集上有v 一( z ) v 一( o 。) 有 ( u ) ( 乜) ， 因此 t ( v o ( 1 ) ) ，”( o ( 1 ) ) o 由条件矗，对任意的2 0 使得 i f ( “) h 1 2 + c ：f u l p ， 因此 ，( “) = ；厶。j v “1 2 一- v - ( z ) u 2 妇一；厶，v + ( 。) u 2 如一厶。f ( u ) 妇 ；( 1 一去) 二。i v 扎| 2 + 矿一( z ) u 。出一s 上。u 2 妇一e 厶。u 出 2 ( 27 ) 取适当的= ，由引理2 2 5 知，存在g 1 ，岛 0 使得 ( + u ) e l l l | i 备( r ”) 一q i | t c i i 备。( r w ) 因此存在p o 0 使得 i n f“u ) 0 】_ h 1 f r f p 0 、 又由引理2 2 4 知，存在序列 u 。) ( 也即( p s ) 序列) 使得 ，( c k ) 一。卢( 1 + l l u 。i i h - ( r w ) ) | 。( u n ) j 日一z ( r w ) ，0 注2 2 7在应用引理2 24 时，我们取u 1 = o ( 1 ) 0 p 0 l b o ( 1 ) l l h ，( r ”) ( 三) 、( p s ) 序列的有界性 性质2 3 1 “。 足第二节中得到的( p , s ) 序列，那么扣。 在h 1 ( r “) 中存在 有界子序列 证明因为 “。) 是由第二节得到的f p s ) 序列，即 u 。) 满足： ，f f = ；厶。v “。 2 + v - ( z ) ( ) 2 咖一；厶。v + ( 。) ( “。) 2 如一厶，( t h ) d x c 、( 231 ) 且对任意的毋h 1 ( r ) 有 ( ，( u n ) t 。) 2 厶wv u n v 妒+ v 一( z ) u n 母d z - r n v + ( 。u n 8 z 一厶w ，u n 。d 。f 23 ，2 ) = o ( 0 首先，我们证明对任意的日1 ( 冗) ，满足以上式子的( u 。) 按范数 ( j 如j v “2 d z ) 在d t , 2 ( r ) 中有界如果( 厶v “。i 2 如) = t 。一。，令t h = 等， 则对任意的n 有( 如。 v u 。 2 d z ) = 1 ，这意昧着 ”。) 在d 啦( r n ) 中有界由此在 d 1 , 2 ( r ) 中存在子序列( 仍记为 t ) ) u 。一i nd 1 , 2 ( r ) 我们将证明u o = 0 以下 证明对曲d ( r ”) 口o = 0 成立，因为很容易由稠密性过渡得到对任意的9 h 1 ( r ”) 成立， ( 。7 ( u n ) ，9 ) 2 厶。可1 l n v 妒+ v ( ) u n g ) d z - 厶一v + ( t n 。d z 一厶”7 u n 击如f 233 1 = o ( 1 1 等式两边除以。= ( 厶一i v “。f 2 d x ) ，得到 五。v t k 可击十v ( z h 。妒d z 一厶。v 。( z ) t n 西d z 一五。毪导西咖= 。( 1 ) ( 234 ) 因为，( s ) 有界，西d ( r ) ，由l e b e g s u e 控制收敛定理知 厶。v ”。v + 矿一( 咖。西出一厶。v + ( 咖n 地= 。( 1 ) ( 23 5 ) 令n 一。，则有 厶。v v + y l z ) u 。妒出一厶。y + ( z ) 咖d z = o t 因为l 肛l 和d ( r 。) 在日1 ( r ) 中稠密，得 ”o = 0 ， a ei n 胪 现在( 2 34 ) 中取曲为得 厶。 可i 1 - + v - ( 。) ( ) 2 如一厶。v + ( z ) ( “。) 2 咖一厶。丛z 盟n u = ( 2 3 6 ) i o 因为l ”l 警( r “) 且t - 。一m 应用引理211 有 当：麓v 幽- ( 轰绁( u 蚺。( 1 ) s 。， = l 十五。 z ) ( n ) 2 d z + 。( 1 ) 、 7 厶。( y _ ( 。) 一y 一( 。) ) ( ”n ) 2 如= 。( 1 ) ， l + 。( 1 ) _ 五。( 掣一州。( ) ) ) 纰 0 ，有 厶。v + ( z ) ( “n ) 2 如m ( f 7 n ) ，) 2 丘。 v u r 。 2 + v 一( z ) ( ) 2 d z 一厶v + ( z ) ( u 。) 2 出一上。，( “。) 妇 圳u n 幢- ( 一厶。v + ( z ) ( ) 2 如一厶。，( “n ) “n 出 如果“，0 在h 1 ( r “) 中无界，令 2 丽丽丙 那么怕。怕- ( ) = 1 由( 2 38 ) ，我们有 ( ，7 ( ) ，“n ) 十五，v + ( z ) ( ) 2 如+ 上。，( “。) u 。出e - f f u 。幅”) 由于扇wv + ( z ) ( “n ) 2 d x m ，上式两边同除以f f “。幢- r 且得 o ( 1 ) + 厶。掣靠砣c | 。 接下来我们证明对任意的妒d ( r ”) ，有 r n u n ( 2 39 ) 因为“。在h 1 ( r “) 中有界，“。一a ，e 于r ， 五，掣删z = k 掣岍蚺如掣抛 偿。 1 1 对“。0 的那部分由“n ( ) 一o 。，条件。甄掣= 0 ，妒d ( r “) ，l e b e g s t l e 控 制收敛定理蕴涵 坐生“。妒如：。( 1 ) 对“o = 0 的那部分我们由t “。一0 和妒d ( r “) ，且由条件知掣有界 l e b e g s u e 控制收敛定理蕴涵 ，丛盟“。妒如：。( 1 ) 因为垆上_ ) ( 矗”) 在h 1 ( r 。v ) 中稠密，得 韭尘“：出：。( 1 ) ， r n n 与( 2 , 39 ) 矛盾因此 “，0 在，1 ( r ) 中有界 口 ( 四) 、有界( p s ) 序列的分解 本节的目标是用p 。ll i o n s 的集中紧陛原理得到的有界( p s ) 子序列的分解 引理2 4 1假设 ”。) 在h 1 ( r ) 中有界，且 ：s 。u r p ，j 蚴( v n ) 2 如_ o ， 那么如肛一0 ，当n23 时r ( 2 ，砉生) ，当n = 1 ，2 时，r ( 2 ，+ o o ) 口l ( z ) = y r i 一z j 1 ) 引理2 4 2假设 “。) 是由第二节得到的在1 ( j r ”) 中的有界( p s ) 序列，那 么存在 。) 的子序列，仍用( “。 表示，整数f n u o ，序列( 珐 cr “，峨 h 1 ( r ) ，1 k f 使得 ( 1 ) 。一o ，九t z o ) = 0 ( 2 ) 1 9 ! l o 。，! 嘏一城! 一o 。，e l 七，女z ( 3 )“0 ，。+ ( u ) = 1 1 u n 一“o 一u t ( k = 1 - 0f o r1 女1 ( 5 )i ( u 。) ，( “o ) + ，。( ) k = 1 其中 州“) = ；厶1 v u 2 + v 一( o 。) u 2 如一厶，脚) 出 是，对应的极限问题的能量泛函 1 2 证明引理24 2 的证明屉受 s j 启发得到，我们将证明过程分为几个步骤 第一步，过渡到子序列，n 。在爿1 ( r “) 中弱收敛到，的i 临界点u 。 事实上，因为 n ，足有界的不妨假设子序列“。在2 y l ( r n ) 中弱收敛到咖证 明“o ) = 0 注意到d ( r ) 在h 1 ( r ) 中是稠密的，所以我们只要验证，对任意的 妒d ( r ) ，有( 7 ( o ) 妒) = o 成立 因为“n 。咖，在上二。( r ) 中就有h 。一u o ( 3 ，q 2 ，盟n - 2 ) ，若n ：1 ，2 ，g 2 ) 我们有 所以 ( ，( 札。) ，妒) 一( 7 ( o ) ，妒) r 。厶。v ( “n u o ) v p + y 一( z ) ( u n 一“o ) 妒d z ，r 一厶。矿+ ( 。) ( “n 一“。) p d z 一五。( ，( u n ) 一，( 。) ) 妒如一。 这样，( ) 一。蕴涵 即 t o 是问题( p ) 的弱解我们的最终目的是要证明“。是非平凡的 第二步，定义u 。1 = 。一u o ，若 伽s u p ( 们卅d x i f f l _ 。， r t 圳 那么u 。一“o ，引理2 4 2 在f = 0 时成立 先计算 ( ，( u 。) ，甘：) f 2 4 1 1 2 五。v u n v ”。1 一v - ( z ) “n 1 出一厶。v + ( 。) u 。砖妇一二。，( “。) ”i 如 = 五。v ”：v u ：出+ 厶。v 劬v “：如+ 五。y - ( z ) ( ”：) 2 出+ 厶。v - ( z ) “。t t 出 一五。矿1 z ) ( u ：) 2 出一厶。y + ( z ) 札0 ”j 如一上。，( u 。) ”：出 f 242 1 1 3 因此由( 242 ) 可知 | “n t | | 2 h r 。 v ”：| 2 + v 一( 。) ( ”凇z = ( ，( u 。) ，。：) 一上。v u 。v ”：如一厶。v _ ( z ) ”。”：如 ( 243 ) + 厶，v + ( z ) ( 畦) 2 出+ 厶。v + ( z ) “。”：如+ 厶。，f u 。) 。：出 ( ，( o ) ，j ：) ：0 ，得到 i i 砖 备= ( 7 u n u ：+ 厶一圹+ z ：2 4 。 f 24 4 1 + 厶。m 。) ”。i 出一厶，m 。) ”池 一方面， ( ，( u 。) ，w ：) 一0 另一方面，因为v + l 孚( 兄) 且 ：= “。一u o 一0 ，由引理2 11 厶。v + ( z ) ( ”珈z o x x f f ：, np ，2 0 使得 i f ( u ) l = l u l + e m 9 、 因此 厶。m n ) 1 d 嚣s i i t , d t 。i i ”挑+ g i i “n i i 龇“ 由引理24 1 我们有l i v ：i i 。+ - 一0 结合! 0 的任意性，得到 厶。，( 越n ) ”：出：_ o ( 245 ) 类似地，我们有 r 。巾幻) u 枷_ 0 ( 24 6 ) 综上所述，在h 中u ：一0 由范数等价性，h 1 ( r ) 中 t 1 l 一0 第三步，畦如第二步定义，若存在序列( 珐 c 且n 使得 k ) 8 z _ d 。 那么选取一个子序列，对。h 1 ( r ) 有如下性质成立； ( 1 ) g ：i 一。o 【2 )”j ( + ：) 。l 0 ， ( 3 )，”7 ( u 1 ) = 0 ， ( n，”( ”：) 一c 一“u o ) 假设子序列( ： cr ”使得 t i ) d 2 令坼1 。= r ，：( + j ) 由有界性，在1 1 1 ( ，f ”) 中“：一“t ，在r 上几乎处处有“：( z ) 一 “1 ( z )因为 k ) 2 出 d 2 ， 由s o b o l e v 嵌入定理得 厶l ( 0 ) 灿t d 2 ， 因此叭0 但在1 ( r ) 中 j = t h z 0 0 ，因此( 如 无界 为证明，”( u 1 ) = 0 ，我们首先证明 j ( u 。1 ) = 。( 1 ) 对任意的妒d ( r ) ， ( f ( ”：) 妒) = 厶。v ( u n 一“。) v q o + v 一( z ) ( 一“。) 妒出 一正。v + ( z ) ( 一“。) 妒如一厶( 球k 。) ) 妒如 = ( ，( “n ) 妒) 一( ，7 ( “。) 妒) 一厶。( ) + m n 一“。卜，( c 。) ) 妒如- 因为u ：= “。一咖一0 ，所以在l l 。( r “) 中“。一u o f ( “。) 一0 ，( “o ) = 0 假设和l e b s g u r e 控制收敛定理，我们有 j 7 ( ”：) = o ( 1 ) 同第一步的证明，对任意的妒d ( r “) 有 ( ，。7 ( “：) ，妒) 一( ，”+ ( “1 ) ，妒) 一0 要证明，。7 ( u 1 ) = 0 ，只需证明对任意的妒d ( r ) 有 ( ，。7 ( u ：) ，妒) 一0 事实上， ( ，( t t ) ，妒( 如) ) = 厶。v ”j v 妒( 以) + 矿一( z ) ”：妒( 一目i ) 如 一厶。矿+ ( 碱妒( 一p 一五，八u m 一口， 1 5 ( 2 4 了) ( 248 ) 等价于 ( f ( t ，j ) ，妒( 一j ) ) = 、厶。v u ：( + ：) 甲妒( ) 十矿一( y ) 1 ，：f + 巩) 妒( ) d 妙 丘。矿+ ( ) ”：o + 以) 妒( ) 由一五。，( w ：( y + ：) ) 妒( ) 匆 由( “w 拙妒( 诚) ) + o 和u ：的定义，得 ( f ( 峨) + 妒( 城) ) 2 五，v “：v 妒( ) + v 一( 9 + ：) “：妒( ) d 上。y + 扫+ 如) “：妒( y ) 劫一上，( u ：) 妒( y ) 西一o 又因为f 9 ：f o 。，由条件v l ，嵋和妒d ( r ) 有 厶( y 1 驴+ 如) v ( 。) ) ：妒( 可) 西一0 ， 厶。y + 扫+ y ：) “：妒( ) 幽一0 这样我们就证明了 ( p7 ( 。：) ，妒) 2 厶。v “：v 妒( 可) + y ( 。c ) u ：妒( ) 咖一丘。，( 。：) 妒( f ) 咖一。 根据 7 】中的证明，我们知道 五。v 弋z ) “：出一上。v - ( z ) u ：d z = 五。v 一( z ) ( ”j ) 。出+ 。( 1 ) 又由 1 3 1 中的b r e z i s l i e b 引理和 3 】中的经典结论，可知 二。 v “n 2 d 。一二。j v 蜘f 2 如= 五。l v ”： 2 出+ 。( 1 ) ， 厶。f ( “n 一“。) + f ( u o ) 一f ( u n ) d z 一0 ， 因此 7 。( ”：) 2 i 五。f 审”：1 2 + 矿弋。) ( 畦) 2 咖厶。f ( ”：) 如 = ，( 札。) 一，( u o ) + 。f 1 ) = c i ( u o ) + o c t ) 第四步，设t = 畦一“z ( - 一昧) ( i ) 如果 。s u 。p e 。蚰如一o 1 6 ( 249 ) ( 24 1 0 ) ( 24 1 1 ) ( 241 2 ) f 24 1 3 、 ( 24 ，1 4 】 ( 24 1 5 ) 那么u 。一“o + u i ( 一：) 且当? = 1 时引理成立 ( i - ) 如果存在序列 ：) cr “，使得 t i ) 出_ d o ， 那么过渡到如i ) 的一个子序列，存在2 珂1 ( r ) 满足 ( 1 )i ：i 一。，i y ：一巩l o o ， ( 2 ) u ：( 十i ) 一峨0 ， ( 3 )1 “( g 2 2 ) = 0 ， ( 4 ) j 。( 碟) ，c i ( u o ) 一j 。( 2 ) 证明过程类似干第二步和第三步，在此省略 第五步，综合上述四步，我们获得有界( ps ) 序列的分解程序如下： 定义u ：。：”? 一u 。一。( 一7r n 一1 ) ，假设有一个整数m u o ) ，序列 谵 c r g , u 女 h l ( r ) ，1 k 茎”1 使得 ( 1 )1 i l o o ，l g i g ：i c o ，k ，1 b ，b m ( 2 )u 孑( 十翟) 1 u m 0 ， ( 3 ) p 7 ( u 。) = 0 ， ( 4 )，( t h ) + ，( “o ) + e ，。( u k ) 那么若 ( a ) 器厶。( 。) i ”：“i 如。o 则有z t 。一“o + u p ( ：) 且引理2 4 2 当f = m 时成立 ( b ) 如果存在 。r n + 1 ) cr ，使得对d 0 ，有 那么 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) l ) i 昭+ 1 _ d o ， 选取一个子序列后，有一个u m + 1 h 1 ( r n ) 满足 l 矿z ij 。， 。：一目! l 一。，i1 ，m u n ”+ 1 ( + 署+ 1 ) ，“，仇+ 1 0 ， ，。( “m + 1 ) = 0 ， 。( u ? + 1 ) 一c i ( u o ) 一，”( ) k = 1 第六步，在有限步后上述程序第五步的( a ) 必然出现 1 7 一方面，我们观察到，c l 、根据弱收敛的性质和w 0 的定义，有 劁也瞻”旷到媚l ( r “，( 。4 1 6 ) 2 j 骢一“。一唇“m ( 一) 喙”一) o 另一方面，在我们的条件下，存在伽 0 使得，。0 的任意非平凡临界点满足 一惰f w 1 p o 这样经过有限步后( a ) 必然出现 口 ( 五) 、非平凡解的存在性 定理2 1 4 的证明 u 。) 是第二节得到的有界( p s ) 序列首先我们可以证明 c 0 ，7 0 ( o ) 一o ， 7 ”( 7 0 ( 1 ) ) o ，特别地， 。1 0 ( 0 ，1 】) 且有m 【0 a ，x l i7 。( 加( 。) ) = ，。) 由条件，我们知道，对任意的( 0 ，1 】，有 ，( 7 0 ( f ) ) 0 隐含 1 1 u 。吩( r “) 一d 0 由引理2 4 2 得，若u o = 0 那么1 0 且 f c = ”( u ) ? t 1 0 = i n f s 。( “) ，“0 ，j 。( u ) = o ) = t 得到矛盾，所以，t o 是，的非平凡临界点 口 1 8 三、无界域上具临界指数项的半线性椭圆方程的多解 ( 一) 、前言与主要结果 近年来许多作者考虑了问题 f 也一嚼讣r 2 “ u = 0 , 3 7 f 2 ( 3 1 1 ) 卫a 52 非平凡解的存在性，其中a ，0 卢 口= ( 告2 ) 2 是两个正参数，f 2cr ”是具光滑边 界o q 的有界开区域，0 殳 a n e l l i 】证明了当0 a a 1 ( p )