（应用数学专业论文）常微分方程组边值问题正解的存在性.pdf

中文摘要 童 中文摘要 本文主要研究几类常微分方程组边值问题正解的存在性及多重性全文分五 第一章介绍常微分方程边值问题的物理背景，给出结论需要的公共条件及两条 重要的不动点定理，并介绍主要结果 第二章至第五章分别研究二阶，三阶，四阶。偶数阶常微分方程组的边值同题， 从g r e e n 函数的性质入手。通过将原边值问题转化为相应的积分方程，运用不动点 存在定理和多重不动点存在定理，在合适的条件下相应获得正解和多重正解的存在 性，并构造相应的例子说明所得结果的应用 关键词：边值问题；正解；多重性；格林函数；锥 ，、 i；”一，p - ； j 、 ， 英文摘要 a b s t r a c t t h i st h e s i si sc o n c e r n e dw i t ht h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fp o s i t i v es o l u t i o n so f b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rs e v e r a lc j 日mo fo r d i n a r yd f l t e r e n t i a le q u a t i o n st h et h e s i s c o n t a i n sf i v ec l m p t e r a c h a p t e r1i n t r o d u c e sr e s e a r c hb a c k g r o u n d so fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fo r d i n a r y d i 如眦t i a le q u a t i o n s ，p u b l i cc o n d i t i o n s tt w ot h e o r e m sf o rf i x e dp o i n t s a n dm a i nr 嘲她 b o u n d 哪v a l u ep r o b l e m so fs e c o n d ，t h i r d 。f o u r t h , e v 姐o r d e zo r d i n a l td i 丑白h i t i a l e q u a t i o n sa r ec o n s i d e r e di nc h a p t e r2 - 5 ，r e s p e c t i v e l y b y 珊i n gp c o p e r t i e so fg r e e nf h 吣 t i o n s ，o r i g i n u lp m b l e m sa r et r a n s f e r r e di n t oi n t e g r a le q u a t i o n s b yr e r t i n gt of i x e dp o m t 。7 t h e o r e n m ，t h e 白凼t e i ma n dm u l t i p l i c i t yo fp o s i t i v es o l u t i o n sa r eo b t a i n e du d t b em 舡 a b l ec o n d i t i o n s e x a m p l e sa r eg i v e nt oi l l u s t r a t em a i nr 目u l t s k e y w o r d s ：b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，p o s i t i v es o l u t i o n s ，m u l t i p l i c i t y , g r nf u n 争 t i o n ，c o n e s n 独创性声明 9 7 8 7 8 7 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究s - 作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得寝唰黼其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：名目念 签字日期： 聊6 年f 月驴日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解尊并毅次芽有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授磁徽六孽可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：胡硷 导师签名： 夕勿多 签字日期：炒易年f 月i o 日 签字日期：庐盹呸年厂月，。日 学位论文作者毕业去向： 蓣山尊剐 工作单位： 黄山、学f 乳电话：廖7 钐多莎口铲，。 第一幸绪论 第一章绪论 本章主要介绍常微分方程边值问题的物理背景，然后给出了得出主要结论的几 个公共条件，以及两个重要的不动点定理 1 1 物理背景 常微分方程边值问题在理论与应用方面都有着非常重要的意义很多物理现象 都可以用常微分方程边值问题来刻画对常微分方程边值问题的研究有着很长的历 史，在这里，我们简单介绍一些物理方面的背景知识由于边值问题有很多应用。 现在我们仅关注种常微分方程边值问题。称作梁方程 许多建筑物的框架都是由粱构造的，这些梁在自身的重力及外力的影响下会发 生倾斜及变形这种倾斜f ( 动可以描述成相对简单的四阶常微分方程， p 矿扛) 一 0 ) ， ( 1 1 ) e 与j 均为常数，f 为梁的材料的弹性模，j 为梁的惯性大小，日称为梁的刚 度，”0 ) 为在z 点的每单位长度的负载 截分方程边值问题正解的存在性 ( l 13 的边值条件依赖于粱末端的支撑悬梁是一螭被固定而另一端是自由的 在悬粱的自由端，我们有 在固定端有 矿如) = 仁) = 0 y ；，；0 有时梁可被简单的支撑( 钉子。支点或饺链等) ，这种梁的每端都有 p 0 ) ；旷0 ) = o 在上述梁方程的研究中，我们遇到了些边值的形式。例如； i e 矿扛) = 如) ，0 霉 l ， ( 1 2 ) 1p ( o ) = 矿( o ) = 0 ， ( 1 3 ) 【口( l ) 一旷l f f i 0 ( 1 4 ) 假设( 习在l o , l l 是对称的( 指 扛) ；仁一习，? e l o , l d ，( 甸是( 1 2 ) ( 1 3 ) c t 4 ) i ，( 习；v 0 ) = 0 2 第一幸绪论 还有另一种方式阐述这个问题；当一个均匀檠被有弹性的基点支撵时，对于它 的倾斜仁) 有下列微分方程。 。 其中k 为基点的模 e j 聊仕) + 七”( z ) = t l j 扛) ，0 0 ，口0 ) o 1 0 第二章 二阶常微分方程组边值问题 证明由( 月1 ) ，存在研( o ，1 ) ，使得对任意( e u ) 【o ，1 】( o ，h i ) ，有 其中目 0 满足 f ( x ，u ) s ，m ，g ( z ，u ) s 灯地 q f 0 1 g ( z ，z ) 如1 对于任意的u p 和f lu i l - h 1 2 ，注意到 因此 z 1 ，咖( 砌如s 口f o i g ( 舻) ”。) d z 1 1 ”i i ；等 日l ， ，lr l 舢扛) 上g 白，y ) y ( y ，五g 白，：) 9 ( 毛( z ) ) 如) 咖 - 4 i i 训j ( 1 z 1 晔纠蛐 1 1u i i 当9 ”1 1 - , 甑 设n 2 ；“e ：1 1 “1 1 0 充分大。我们有 0 i i 1 i | l ，v u p n a n 2 ( 2 6 ) 因此由( 2 5 ) ( 2 6 ) 和引理1 ，我们知道算子 在pn ( 也n 1 ) 中有个不动点证 毕 定理2 2 若( 也) 和( 山) 满足。那么( 2 3 ) 至少有个正解扣， ) 伊( 1 0 1 】冗+ ) 俨( i o ，1 】，肘) 满足u 0 ) o ，口扛) o 证明由( 也) ，存在扇e ( o 1 ) 使得对于每个( z 【0 ，1 】( o ，扇) ，有 1 3 截分方程边值问题正解的存在性 一 其中a 和y 满足 ，( z ，t ) a u 9 仕，u ) a t ， - m 序如如扎 砌f 舶 1 - 由p 扛，0 ) ；o 及口仁，岫的连续性，我们知道存在玩( 0 岛) 充分小使得 如班志，v ( 钟) 【o l l ( 0 ，风) 对于任意口p 和huh = 凰，注意到 9 因此 ， r g 缸枇州砌如脚舭) 存如 1 iu0 设n 3 一扣e ：1 1 “1 1 _ 1 1 “i i ，p n 锄 ( 2 7 ) 另方面，由( ) 我们知道存在三个常数彳，q 和岛使得对每个0 ， 【o ，1 】胪， 其中 因此我们有 ，扛，u ) i l l t 1 - c ；9 0 ，“) 彳u + c 鲁， 彳j ( 1 g ) 如s ； 加。) j ( 1 g ( v ，f ) 阿f g ( 毛。蛔( ：，。o ) ) 如+ c 4 d p s 彳j ( 1 g 白，p ) a z , i l a 。，力h u ( 力+ c t 】如+ c , f o o 白，) 咖 t ； l 饭分方程边值问题正解的存在性 刘1 u i i + c 6 岛= 瓯彳z 1 g ( 玑v ) 咖z 1 g ( ：，：) 如+ c t z l g ( p ，) 妇 由此可得a u ( x ) 剑“i i 当i i u i i 一设啦z “f ：uuj i 0 充分大。我们有 证毕 h 胤怄0 ，v u e p n a n 4 ( 2 8 ) 由( 2 7 ) ( 2 8 ) 及引理1 ，我们知道算子 在p n ( a 4 n 3 ) 中至少有个不动点 为了得到解的多重性，我们给出条件。 ( 也) i ( - ，9 ( ，关于u 是单调上升的，且存在n 0 使得 ，。，z 1 白，) d x ) 0 ，地( z ) 0 ，o ：l ，2 ) 证明- 注意到g ( 霸”) ；( n + 卢) ( 1 + = 设b = f u e ：h “j l r ) ，那 么由( 也) ，对于每个u # b n r i p , z f 0 ，1 l ，我们有 因此 由( a 2 ) 和( 也) 我们有 倒班，j ( 1 m ，0 1 砌4 n ) d z ) d z 等z n a uu i iu i i ，v “阳n p h a u 眨0u i l ，a n 2 n p 0 a u 0 “0 ，u 夙b n p ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 适当选择日2 ，- 3 和n 使得日3 n 胁和( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 满足由引理2 ，a 至 少由两个不动点分别在p n ( 奶丑打) 和p n ( 雪) 证毕 2 3 例子 1 7 擞分方程边值问题正解的存在性 一。 ( ) 设，扛， ) = 铲，9 ( ，u ) = u 3 , 则定理1 条件满足所以b v p ( 2 1 ) 至少有一 个正解 ( i i ) 设，扛， ) = 口，9 ( z ， ) = u ，则定理2 条件满足所以b v p ( 2 1 ) 至少有一 个正解 ( i i i ) 设，( z ， ) = 生萨，g ( z ，u ) = u + u 2 ，a = 卢= 7 = 6 = 1 因此：；我们 选择nt1 ，则定理3 条件满足所以b v p ( 2 1 ) 至少有两个正解 第三章三价常微分方程组边值问题 第三章三阶常微分方程组边值问题 本章研究如下三阶常微分方程组 j _ = m 【一亍口( 刚) 其中l , g c ( 1 0 ，1 】x 渺，矿) ，扛，o ) io , g ( z ，o ) o 在下列六种边值条件下解的存 在性和多重性， ( a ) 口( o ) z u ( 0 ) t u ( 1 ) zo ( o ) ；i ，( o ) = ( 1 ) 一0 ， ( c ) ( o ) 一t ，( o ) t c ( 1 ) 一0 ， ( o ) 一t ，( o ) t t ，( 1 ) 一o ( 仍) u ( o ) ；t ，( o ) t t ，( 1 ) = 0 ( 0 ) = t ，( 0 ) 一t ，( 1 ) 一0 ， ( c i ) “( o ) = ( 0 ) = u ( 1 ) = o v c o ) = ( 0 ) 一u ( 1 ) 一o ( c 5 ) u ( o ) = t i ，( o ) = 0 ( 1 ) 一0 v ( o ) = ( o ) 一4 ( 1 ) ；0 ， ( c a ) ( 0 ) = 矿( 0 ) t “( 1 ) = o t ，( o ) 一矿( o ) 一口( 1 ) 一o - 3 1 格林函数的性质 显然。“0 o ，1 1 伊i o 1 1 是( 3 1 ) 一慨) ， 一1 , 2 ，6 的解当且仅当 坞 ( 地”) c o ，1 】c o ，1 】是下列积分方程组的解 f 鬻二善嚣篡黜 其中g l ( z ，p ) 是如下格林函数 g l 扛，) 一 g 2 协们一 g 3 ( 霉，们= g 4 似f ) 一 ；$ 2 ( 1 - v ) 2 一；( 一v ) 2 ，0 ，2 s 1 。 扣2 ( 1 一p ) 2 ，0 s 2 p 1 茹2 ( 1 一i ，) ：( 零一材) 2 ，0 sf s 茹s 1 ， 护( 1 一，) ，0 s $ p s l 一一( 卫一计2 ，0 ，霉s 1 ， 护，0 $ p s l 。 ；( 1 一p ) 2 一 ( $ 一d 2 ，0 s p s $ s 1 。 如( 1 一p ) 2 ， 积分方程组( 3 2 ) 可以转化为非线性积分方程 o s $ 蔓f s l 0 s $ 1 。 0 z s s 1 0 p s 茁s 1 ， o 嚣f 1 ( 3 2 ) 札( 甸t z l q 扛，v ) ( v ，z 1 酝饥z ) 9 。，。( 砌如) 咖 ( 3 3 ) 引理3 l 嘲设q 伤( 们，计；想嚣q ( z ，f ) p e 【o i i ， ；l ，2 ，6 ，我们有 2 0 2 ， 只 计 嘻 p p “孙 j - 一 小珐扩以 一 一 一 一 m m 抛抛 ，il，1l，li，、_l、 霉 皇 计 咖 慨 k 侥 岛 州加南，g t u 1 ( = 簧搿； 血1 ， 岛位白) ，) = 坐产； 州加l ，g 3 ( j 3 ( 洲= 掣； j 4 白) 一掣，瓯执( f ) ，) = , o + v ) r 2 ( 1 - 一v ) 2 j 5 白) 一l ， g 5 协0 ) ，p ) ；- ( 1 w 一，- - ) 2 ； j 6 ( u ) = 弘 c e u o ( y ) ，们：o 盲- v 一) 2 引理3 2 对于f ；l ，2 ，6 ，我们有。 m 任) g l u 白) ，y ) s q 如y ) s 岛纽白) ，f ) 0 ，) 【0 ，l j f o ，l 】 其中 “= ( 1 一习，口2 ( z ) = x 2 ( 1 一z ) ，口3 ( z ) ：矿。 e 4 ( x ) 2 x ( 1 一$ ) 2 ，q s ( x ) = z ( 1 - x ) ，驰0 ) = ( 1 一习2 设 = r a s i n 啦， t l ，2 ，6 ，那么o 0 。 证明由( a 1 ) ，存在研e ( o ，1 ) ，使得对于每个白，f 0 ，1 j x ( o h 1 ) ，有 其中目 0 满足 y ( x ， ，9 ( z ，私， 口z 1 q 眈，z ) 如s 1 2 3 截分方程边值问题正解的存在性 _ 二- 二二二二 对于每个u 只和i iu i i = i 2 注意到 因此 上1 咖( 。) ) 如”z 1 q k m 出剑训；孚 研 a “( z ) s z 1 q 伉( 珐v ) c v ，z 1 q ( 1 ，。b 亿。( 圳如) 匆 矿”z 1 岛哆。) ，计z 1 g i 戗o ) ，：) 出匆 - l i j i 设n l ；扣e i i u t l 1 1u l l 当i lu 1 | 一o o 设n 2 t 伽e ：u i l 0 充分大，我们有 a “i j 0 ，v “只n a n 2 ( 3 6 ) 因此由( 3 5 ) ( 3 6 ) 和引理1 ，我们知道算子a 至少有个不动点在只n ( 奶n 1 ) 证 毕 定理3 2 若( 也) 和( 山) 满足，那么( 3 3 ) 至少有个正解( ) c 3 ( o 1 | j 矿) c 3 ( o ，l l ，j 卜) 满足u 0 ) 0 ，p 0 ) o 证明由( 山) ，存在也( 0 1 ) 使得对于每个p ，妨1 0 ，1 】( 0 ，岛) ，有 其中 和r 满足 ，眩u ) 地 口( 茁，u ) r u ， 第三幸三阶常微分方程组边值问题 h 岔q c 扣如扎 石2 q 缸( 乩y ) 咖1 由9 ( z 0 ) i0 及9 ( 。，u ) 的连续性，我们知道存在肌( 0 ，曹3 ) 充分小使得 如u ) s 丽焉舞，v ) 【0 l l ( o t m 对于每个e 忍和“8 = 风，注意到 因此 j ( 1 一如俐出s z l 印，力丽若蕊如 扇 j 4 州；) = z 1g ( ；，p ) ，白，0 1q ( 玑：) 口仁u ( 枷如) 咖 岔q c 洳岔础。蚴 圳小fg t ( 渺f 劬一蛐 i f 0 设啦z u e ：0u i l 日3 ) 。我们有 l a u 8 l l f e b n a n 3 ( 3 7 ) 微分方程边值问题正解的存在性 另方面，由( 血) 我们知道存在三个常数彳，q ，和岛，使得对于每个扛，u ) 【0 1 】r + ，有 其中 因此我们有 ，扛，u ) 叶u + c x ，g 扛，u ) st u + 岛 彳r g 戗( 动，曲出s ； u ( 动z 1 岛伉( p ) ，p ) z 1g l 伍( z ) ，。b 眩。( ：) ) 如+ 瓯l 由 彳z 1g i 眈( n v ) 咖r q 伍。) ，：) 一“( z ) + 岛】如+ 伍z 1 q 伍( n ”) 由 知u i i + 岛， 其中 q ；岛叩，1g l “白) ，p ) 由1g i u ( 。) = ) d z + g 4 ，1g i 眈o ) ，”) d u j ouj o 由匕可知a 让f 曲 0 使得 盹j c l t 咖，n ) d y ) o 地( z ) 0 ，( i = 1 ，2 ) 证明注意到g 1 0 ，们g i 瓴( ，) ，f l 孵 设鼬。 e e ：0u 那么由( - 4 6 ) 。对于每个e o b j v n 只，z 1 0 ，l 】我 因此 又由( 如) 和( 山) 得 q 艇j c ，( y ，上n m t t 厶川如胁 ，l 0 证明由( a 1 ) 。存在凰( o ，1 ) 使得对于0 ，u ) i o ，1 】( o 历) ，有 其中 0 满足 ，缸，1 ) 叶9 忙，u ) f l u ， l d og d 粤) ，。) 4 。1 对于每个u p 和j iu i l f f i 粤，注意到 ，1 g 白，。) g ( ：，u 。) ) 如，l g o ( 力，；沁( z ) d z - 1 1ui i = - f 1 j o n j o- 1 1i i , 1 ，g 白，。) g ( 2 ，q 0 ) ) d ；g o ( 力，；沁 u ；f ， 因此 - l1 1 舢( z ) - j og d 扫) ，p ) ，( p ，o c ( y ，：) g o ，( 。) ) 如) 匆 矿u , 0 1 c u ( p ) u ) 0 1 c ( j ( ：) ，：) 如咖 s i i 设f h t 扣e ：0u0 1 1u4 当n u 一 设n 2 t 扣f ：0 “j i 0 充分大，我们有 口a n l iuh ；v u p n a 因此。由“5 ) ( 4 6 ) 和引理1 ，算子a 至少有个不动点在p n ( 奶n 1 ) 证毕 ( 4 6 ) 定理4 2 若( 3 ) 和( 血) 满足。则( 4 3 ) 至少有个正解( u ，c 2 ( i o ，1 1 ，r + ) 6 2 ( 1 0 ，l l ，肘) 满足u ( x ) 0 ，v ( z ) 0 证明由( a 3 ) ，存在岛e ( 0 ，1 ) 使得对每个0 【0 ，1 】( o ，岛) ，有 其中 和r 满足 ，0 ，) 地， 口慨t t ) t ， 第四幸四阶常截分方程组边值问题 龛r g c 扣如扎 薹厅g ” 由o ( x ，o ) 9 0 及，仁，“) 的连续性，我们知道存在日3 ( 0 ，反) 充分小使得 如丽高丽，v ( x 9 u ) i o , l l 1 ( 0 m 对于每个u p 和0 u9 = 刀毛注意到 因此 脚舭m 嘶眦j ( 1 鼬刁志如 - i l ”n 设n 3 t 伽e ：# u0 凰 ，我们有 8 a u 险0 ，“p n a n 3 3 7 “7 ) 截分方程边值问题正解的存在性 另一方面。由( 山) 知存在三个常数玎，q 和岛便得对于每一个( 文“) 1 0 ，l l r + ，有 ，( 茹，札) r i t + c 4 ，g ( 工，“) sr t = + 岛， 其中 f j ( 1 g ，啦s ； 因此我们有 a - 扛) z 1 g u ( n ，) 阿z 1 c o ( 巩：) g ( 毛n ( ；) ) 出+ c d d y 彳上1 c o ( 珐p ) d r f 0 1 c o ( z ) ，力u ( 。) + c s a z + q r g 。( n f ) 咖 沁+ c 6 ， 其中 侥一岛彳z 1 g u ( n ) 咖z 1 g d ( 碛。) 如+ q r g u 。) 妇 由上可知舢( 甸- 0 ，使得 m，1，咖，n)dy) o 饥( 功 o a 一1 ，2 ) 证明注意到g 扛，f ) s g o ，幻冬 设置 r ；伽e ：0 “i l 那么由( 山) 对于每个让8 b n np ，z l o ，1 l ，我们 有 u 扛) ，1 m ，1 9 ( 毛n ) d z ) d z j 0j o n 胃n = n 因此 由( 2 ) ( 也) 我们有 h a u i l 1 iun ，q 8 n 2 n 只 i a un u l ，u a n 3 n 只 3 9 “1 0 ) ( 4 1 1 ) 截分方程边值问题正解的存在性 我们选择日2 ，风和使得风s n - 2 且( 49 ) ( 4 1 0 ) ( 4 1 1 ) 满足由引理2 ，a 至 少有两个不动点分别在pn ( 奶虱) 和pn ( 鼬n 3 ) ，上证毕 4 3 例子 ( d 设，( ，口) ；t ，l ，9 ( z ，u ) 一一，则定理( 4 1 ) 条件满足，因此b v p ( 4 1 ) 至少有 个正解 ( i i ) 设，缸，= ”i ，9 似 ) = “i ，则定理( 4 2 ) 条件满足。因此b v p ( 4 1 ) 至少有 个正解 ( m ) 设，扛，”) = l + 护，口0 ，= u l + 铲，因为， 0 证明由1 ) 。存在h i ( 0 ，1 ) 。使得对于每个( 毛u ) 【0 ，1 1x ( 0 ，日1 ) ，有 其中町 0 满足 ，如，“) s 口嵋o ( z ，u ) 帕 g n z t g 妇，z ) 如1 对于每个u p 和h “l l f f i 凰2 注意到 j ( 1 瓯( 舭) 9 ( 删( ：) s 州z 1 g ( 引) u ( ：) 出s i i “i i = t h l 历。 因此 ，, i li h ( s 上g b ，y ) f ( y ，j og ，m ( 1 ，：如( z ，u o ) ) d z ) d y - p 2nu j ( 1 g 扫，v ) f 0 1 c ( 毛：) 蛐 - - 0 1 g 。( j 1 山上1 g 。( f ，。) g ( 毛”( 枷出一q 胁 p j ( 1 靠( ；，v , 0 1 ( 1 ，咖( 础( z ) ) d z d v c , j o c 。( 1 ) 咖 p 0 1g t 。( ；，们rg t 。觚：) u 。) 一c = d z d v a z l g 。【互1 ，p ) 由 j ( 1 g m ( ；，y ) f 0 1 b u ( z ) d z d v a ( 争 岛( ；) 一硒z 1 c k ( ；，z 1 g k 缸= ) 出咖+ q z l g k ( ；由 4 6 第五幸偶阶常微分方程姐边值问题 p c 2 n 2 f 0 1 g ( v ，) l o n g ( 毛z ) d z d y + q j ( 1 g ( 弘v ) 由 zc 3 州扣p 肘f g ( 1 ，剐咖m e g 眩州如一q 2 i 由上可得舢i i 舢( ；) - 1 1u i i 当h 0 一 设n 2 一伽e b ：u i i 0 充分大。我们有 8 a u i i 1 i v e p n a n 2 ( 5 6 ) 因此由( 5 5 ) ( 5 6 ) 和引理1 ，我们知道算子 至少有个不动点在p o ( 矗2 f t l ) 证明 定理5 2 若( a 3 ) 和( 山) 满足。则( 5 3 ) 至少有个正解( ，”) c ( 2 仃嘲o ，1 1 ，r + ) c 胁日( i o ，l 】，j 矿) 满足u ( x ) 0 ，t ，扣) 0 证明由【a 3 ) 存在岛e ( 0 ，1 ) 使得对于每个缸，e 1 0 1 】( o ，岛) ，有 其中 和满足 ，0 ，之h ， g ( x t g ) - ， 4 7 氍分方程边值问题正解的存在性 埘2 岔g ( 叫) 如 1 ， 一等f g 眦 1 由9 ( z ，o ) i0 和g c = ，u ) 的连续性，我们知道存在凰( o ，虎) 充分小使得 9 丽- 3 ，v 1 0 ，l l ( 。，塌) - 对于每个口p 和l “i l 一 3 ，注意到 因此 z 1 g m 如删蜒j ( 1 嘶一志如 - i i h 设n 3 = “e ：0 1 1 10 1 1 1 1 , | i ，u p n a n 3 ( 5 7 ) 第五章偶阶常微分方程组边值问题 另方面，由( 山) 我们知道存在三个常数彳，c 4 ，和侥，使得对于每个t ) 【o ，1 l 胪，有 其中 ，0 ，“) 彳t + c _ ，9 0 ，u ) s 彳v + c t 和j ( 1 g ( 舭) 如sj 1 因此我们有 舢。) s r g f ) z 1 n a ( z ，咖( 毛u ( 瑚如+ c , d y s 彳z 1 g ( 1 ，v ) 由z 1 n g ( 毛力阿“( 力+ c s d z + a z l l v o ( f ，) 咖 5 扣”n 帕， 其中 c 缸= c k 叼，z 1 n o ( p ，掣) 咖z 1 | ! v g ( z ：) 出+ c z 1 g ( 弘p ) 妇 由上可知血( 功 0 ，使得 ；f ( x , f 0 1 i n 9 ( 弘) d y ) 0 ，v i ( z ) 0 ，a = i ，2 ) 证明注意到c k k 幻i v g ( u ，) s 譬 设b i g , 一 “e f ： u i i ，) 那么由( a s ) ，对于每个ue o b n , np ，z 【0 ，1 j ，我 们有 a u ( z ) - 譬f 0 1 倚，0 1i n ，瓴n ) d z ) d z n 百n l | n i 因此 0 a u i i i iu8 ，“a n 3 n 只 ( 5 z o ) ( 5 u ) 可以选择日2 ，日3 和使得风s ，s 日2 和( 5 9 ) ( 5 z 0 ) ( s i i ) 满足由引理2 ，a 至 少有两个不动点分别在pn ( 也d j r , ) 和pn ( 跏啦) 证毕 第五幸偶阶常徽分方程组边值问题 5 3 例子 ( i ) 设，( z ，口) = t ，4 ，9 ( 霸u ) = 护则定理( 5 1 ) 条件满足，因此b v p ( 5 1 ) 至少有 个不动点 ( u ) 设，( z ，”) = ” ，9 ( z ，u ) ；u l ，则定理( 5 2 ) 条件满足，因此b v p ( 51 ) 至少有 个不动点 设，和，口) 一v l + t 1 2 ，g ( x ， ) 一u ；+ 舻，因为 ；，可以选择，。1 ，则定 理( 5 3 ) 条件满足。因此b v p ( 5 1 ) 至少有两个不动点 5 4 问题 在解决了偶阶常微分方程组边值问题之后。剩下的问题就是研究如下奇数解 常微分方程组t fu ( + l o ) ：( 一l p ，如，”) lp ( 槲1 ) o ) = ( - 1 ) ( z ， 在某些边值条件下的解的存在性和多重性本人即将对此类问题进行进步研究 参考文献 r e f e r e n c e s 1 1 】ry m a ，e x i s t e n c et h e o r e mf o ras e c o n do r d e rt h r e e - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m j 】 j m a t h a n 8 1 a p p l ，2 1 2 ( 1 9 9 7 ) 4 3 0 - 4 4 2 【2 1 2i 乙y m a , e x i s t e n c et h e o r e mf o ras e c o n do r d e rm - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m j 】 j m a t h a u a l a p p l ，2 1 1 ( 1 9 9 7 ) 5 4 5 - 5 5 5 【3 j 凡y m a , p o s i t i v es o l u t i o n sf o ran o n l i n e a rt h r e e - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m e l e c - t r o n i cj o u r n a ld d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 唧3 4 ( 1 9 ) 1 - 8 1 4 1l ly m m u l t i p l i c i t yo fp o s i t i 硼s o l u t i o n sf o rs e c o n d - o r d e rt h r e e - p o i n tb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m s j ，c o m p u t e ms a dm a t h e m a t i c sw i t ha p p l i c a t i o n s ，4 0 ( 2 0 0 0 ) 1 9 3 - 2 0 4 【5 j 凡y m s p o s i t i v es o l u t i o n sf o rs e c o n d - o r d e rt h r e