（应用数学专业论文）关于具有特殊系数的两类解析函数子类的性质及特征的研究.pdf

关于具有特殊系数的两类解析函数子类的性质及特征 摘要 在第一章中，引入并研究了一类具有正系数解析函数类僻( q ，p ) 的特征，包含关系， 系数估计，h a d a m a r d 卷积，偏差定理，覆盖定理以及( 佗，6 ) 一邻域问题同时，还给出了关 于s r i v a s t a v a s a i g o o w a 分式积分算子的偏差定理 在第二章中，引入并研究了p 叶负系数解析函数子类。峻口m ，g ，q ，7 ) 的一些性质特别 地，证明了这个子类的系数估计式和偏差定理，同时，也得到了这个子类的6 ( 0 6 1 ) 阶 近于凸半径，6 阶星像及6 阶凸半径对这类函数的拟h a d a m a r d 卷积的性质也做了讨论 关键词：解析函数；包含关系；系数估计；偏差定理；覆盖定理；积分算子；( t l ，6 ) 一邻 域；s r i v a s t a v a s a i g o o w a 分式积分算子；p 叶函数；负系数；半径；拟h a d a m a r d 卷积 p r o p e r t i e sa n d c h a r a c t e r i s t i c so fc e r t a i ns u b c l a s so fa n a l y t i c f u n c t i o n sw i t hp a r t i c u l a rc o e f f i c i e n t s a b s t r a c t i nc h a p t e ro n e ，t h ea u t h o r si n t r o d u c ea n di n v e s t i g a t et h ev a r i o u sp r o p e r t i e sa n dc h a r a c t e r - i s t i c so ft h es u b c l a s s 埘( 及，p ) o fa n a l y t i cf u n c t i o n sw i t hp o s i t i v ec o e f f i c i e n t s ac h a r a c t e r i s t i c ， s e v e r a li n c l u s i o nr e l a t i o n s h i p s ，c o e f f i c i e n te s t i m a t e s ，h a d a m a r dp r o d u c t s ，d i s t o r t i o nt h e o r e m s ， c o v e r i n gt h e o r e m sa n d ( 扎，6 ) 一n e i g h b o r h o o d sa r ep r o v e nh e r ef o rt h i sf u n c t i o nc l a s s f u r t h e r - m o r e ，s o m ei n t e r e s t i n gd i s t o r t i o nt h e o r e m sf o rt h es r i v a s t a v a - s a i g o - o w af r a c t i o n a li n t e g r a lo p e r a t o ra l ea l s oo b t a i n e d i nc h a p t e rt w o ，t h es u b c l a s s e s 磁pm ，q ，o t ，y ) o fp v a l e n ta n a l y t i cf u n c t i o n sw i t hn e g a t i v e c o e f f i c i e n t si si n t r o d u c e d s o m ec o e f f i c i e n te s t i m a t e sa n dd i s t o r t i o nt h e o r e m sf o rf u n c t i o n s b e l o n g i n g t ot h i sc l a s sa r ei n v e s t i g a t e d t h er a d i io fc l o s e t o - c o n v e x i t y , s t a r l i k e n e s s ，c o n v e x i t y o fo r d e r6 ( 0 j 吣u ) ) 2 0 0 2 年，j l l i 和s o w a 在文献 1 4 中证明了下面的定理： 定理a ( 1 4 ) 设q 0 ，及，a 1 如果 r em a z 2 f r ( z ) + 错) 一弘u ) ， 那么。 f ( z ) 5 + ( 0 ) = s + 不久，r a v i c h a n d r a n 等对定理a 做了如下改进： 定理b ( 1 7 】) 设q o 及o p q 即+ 詈- 1 ) 伊竺2 心u ) ， 毗， k z l u 脚 +z l l z 9 ， 术 夕 = 惫 z 七 6 缸 0 脚 + z = 9 术 ，j 则有 f ( z ) s 4 ( p ) 若设o l 0 ，0 1 及j p a ，2 0 0 8 年，刘名生等在文献 2 2 】中引入了函数 类咒n ( a ，p ) 和咒i ( q ，p ) 其中，函数厂属于咒竹( ，p ) ，当且仅当函数，满足条件( o 0 2 ) 7 - t z ( a ，卢) 是咒n ( q ，) 的一个子类，且冗二( q ，p ) 中的函数，( z ) 满足下列形式： ( a k o ；尼礼+ 1 ) ( 0 0 3 ) 刘名生等在文献 2 2 中对这两种函数类的性质及特征进行了研究其中，他们得出了 这两种函数类的包含关系，h a d a m a r d 卷积，系数估计，偏差定理及覆盖定理等结论 下面引入a 中的一个函数子类( p ) ，它是由满足条件 r e ( 错) 1 时m n ( 矽) e e 的函数的系数估计及 其充分条件 用互( 几) 来表示在开单位圆盘u = z c ：i z l 口( z 6u ；0 q q ( z 6u ；0 a q ，z u ，( 0 0 1 0 ) 其中，0 q q 令( k ) 竹定义如下： ( k ) o = 1 = ： ( 0 k ) ，c k ，n = k c k 一1 ，c k 一礼+ 1 ，= ：矗：( ：) c 佗n ，k n ， 对于互( n ) 中的函数厂( z ) ，有( 参考文献【1 1 】) ： o o 产( z ) = ) g 矿一g 一( 后) g 口知一g ( q n o ；p g ) k = n + p 在文献 1o 中，c h e n 等给出了这两个函数类的充要条件： 定理c 1o 设，( z ) 为( o o 5 ) 定义的函数，那么，( z ) 属于& ，q ，q ) 当且仅当 ( 七一q q ) ( 七) 。口七 一q a ) ) g ， k = n + p ( o 0 11 ) 其中，0 o t q 定理d i o 设- 厂( 名) 为( o 0 5 ) 定义的函数，那么，厂( z ) 属于厶( p ，q ，q ) 当且仅当 豇三o op ( k p ! q q ) ( k - q - a 凇惫- - q - - o l ( o o 1 2 ) 其中，0 q q 设函数夕( z ) 互( n ) 且 荆= 护一b k z 血，( 6 惫o ；k n + p ；p ，n n ：= 1 ，2 3 ) ， ( o 0 1 3 ) k = n + p 则对于函数9 ( z ) & ( p ，q ，q ) ( 0 o g ) ，m k a o u f 在文 献 2 1 引入了一个函数类写( p ，q ，口，p ，7 ) ： 帮一 一g ) 夕( q ) ( 2 ) ，y ， 每群+ ( p - q 一2 q ) 3 7 ( z u ) ， ( o 0 1 4 ) 其中，0 p g ) 且0 7 1 并且，m k a o u f 得到了这个函 数类的必要条件，即系数不等式： 定理e 2 1 设函数f ( z ) 露( p ，q ，q ，p ，y ) ，那么 ，妻 ( 1 + 7 ) ( 凇知+ 虹型掌丝必) 妫 一m 在第一章中，本文定义并研究了函数类埘( 口，p ) 的一些性质及特征，讨论了包含关 系，系数估计，h a d a m a r d 卷积，偏差定理，覆盖定理以及( 几，6 ) 一邻域问题同时，还给出了 关于s r i v a s t a v a - s a i g o o w a 分式积分算子的偏差定理 在第二章中，对函数类& ( p ，g ，q ) 和露，q ，n ，卢，- y ) 做了推广，引入并研究了p 叶负系数 解析函数子类嫒pm ，q ，口，7 ) 的一些性质特别地，证明了这个子类的系数估计式和偏差 定理，同时，也得到了这个子类的6 ( 0 6 1 ) 阶近于凸半径，6 阶星像及6 阶凸半径对这 类函数的拟h a d a m a r d 卷积的性质也做了讨论 4 第一章一类正系数解析函数子类的性质及特征 1 1 定义与引理 本章内容取自文献【2 3 用筋来表示在开单位圆盘u = z c ： 1 及，钟，则厂( z ) 属于孵( q ，p ) 当且仅当，( z ) 满足条件 r e ( 帮+ 搿) 。( z eu ) 引理1 1 3 ( r u s c h e w e y hf f l s h e i l s m a l l 【1 】) 设妒( z ) 和夕( z ) 是u 上的j 阶星像函数，那么， 对于每一个在u 上解析且满足下述条件的函数f ( z ) ： r e ( f ( z ) ) 0 ( z u ) ， 有 r e ( 簪鬻) 。( z eu ) 气 + 他 一 七0 一 0z0 槲 + z | i z ，j 町 一 一 口 叩 一七 一 由系数不等式( 1 2 2 ) ，有 1 一p ( z 1 2 一1 一p ( z ) 【1 一a k ( k 一1 ) 一k a k z 七一1 k = n + 1 0 0 ( 2 一2 ) + e 2 一1 一o l k ( k 一1 ) 一k a k z 七一1 k = n + 1 0 0 e a k ( k 一1 ) + k 一1 a k k = n + 1 0 0 2 一2 一e a k ( k 一1 ) + k 一2 + 1 a k k = n + 1 0 0 e c i k ( k 一1 ) + k 一7 a k + e ( 一1 ) a k k = n + lk = n + l 0 0o o 2 一2 一e 【a k ( k 一1 ) + k 口南+ e ( m 一1 ) a k k = n + l k = n + l 6 因此，可得到 o 。 一1 + ( 一1 ) a k k = n + 1 - = 2 ( 一1 ) 一( 一i ) + e ( 一1 ) a k k = n + 1 = 1 也即是f ( z ) 蝣( q ，p ) 这里 r e ( p ( z ) ) ( z u ) ， 反过来，设f ( z ) 埘( q ，p ) ，那么 p ( z 、= 仅z 2f i z 、 f ( z ) r e ( z ) ) ( z u ) ， + 搿= 选取实数z = r ( 0 r 1 ) ，由( 1 2 3 ) 可得 也即是 1 + k ( k a + 1 一q ) a k z 七一1 k = n + 1 0 0 1 + a k z 扣1 k = n + 1 k ( k a + 1 一a ) o 惫r 七一1 t n ( 1 + 噼( 1 + k a q ) 一7 = a k r 南一1 一1 又因为a 0 5 - f l l p 0 ( k 佗+ 1 ) 因此，对任意m n + l 和0 ? 1 ，有 陋( 1 + k a q ) 一】口矗r 知一1 k = n + 1 1 【k ( 1 + 后a 0 1 ) 】o 知7 船一1 一1 一 r0 槲 k 一 + 槲 仇一 成立对上述式子，令r r ，则 m 阶+ k a q ) 一】。七一1 k = n + 1 由此可得不等式( 1 2 2 ) 成立定理1 2 1 证明完毕 推论1 2 1 设q20 ，1 p 0 1 2 o 及1 尻 恳1 + 参那么 证明首先证明 1 2 ( q 1 ，历) c 蝣( q 2 ，岛) i n + ( c t l ，尻) c 埘( 乜1 ，岛) 设，m 2 ( o r l ，侥) ，根据定理1 2 1 ，有 。 k = n + 1 k ( 1 + k a l q 1 ) 一 7 n ( 0 1 ，尻) 】o ( l ，尻) 一1 ( 1 2 5 ) ( 1 2 6 ) 成立，其中( q 1 ，风) 为定理1 2 1 中所定义的式子注意到对于口1 o 和1 0 ，由此可得 妣1 又因为q 1 0 ，l p 1 q 2 0 ，1 尻 尾1 + 鸶及忍n + 1 ，通过计算容易得到 ( 1 2 1 0 ) k ( 1 + 七2 一q 2 ) 一( q 2 ，仍) 殆( 1 + 忌0 ：1 0 1 1 ) 一( a 1 ，3 2 ) ( q 2 ，阮) 一1 t n ( o l l ，尾) 一1 = ( o e l 瓦- a 瓦2 ) ( 万k - - f 1 ) 可( 1 7 2 丽- 1 磊) ( 3 玎2 + j 2 - - 厂k ) 。( 1 2 1 1 ) 5 瓦五万f 可丽i 两丁u 7 再根据定理1 2 1 及( 1 2 1 1 ) ，可推出( 1 2 1 0 ) 成立定理1 2 2 证明完毕 口 推论1 2 2 设o l o 及1 p 1 + 罟若对于z u ，f ( z ) 瞬( q ，p ) ，贝t l f ( z ) 埘) 在推论1 2 2 中令p = q 2 和n = l ，可得到下面的推论： 推论1 2 3 若厂( z ) a ，且对于q ( 2 q 3 ) ，厂( z ) 满足 耻( 帮十错) 譬c x ( z e u ) 那么，f ( z ) 埘( a 2 ) 定理1 2 3 设q 0 ，0 7 7 i 矛i i p 1 + 业n + 2 - - 2 r i 若，埘( q ，p ) ，则，髭( 叩) 证明设f 瞬( q ，卢) 由于o 7 7 1 ，注意到 1 + 端 1 + 罢 2 - n + 地v 1 7 竽n 2 + 2 婴0 n + 4 ， 那么由定理1 2 1 ，有 成立，其中为定理1 2 1 中所定义的式子根据引理1 1 1 ，只需要证明 易知， 一k - r 一坐篁竺挚 o 1 7 一l ( 1 2 1 2 ) ( 七一? 7 ) ( 一1 ) 一噼( 1 + k a q ) 一 ( 1 一? 7 ) = ( k - 叩) 州p + 互n 一1 ) + 卢一竺2 1 卜岬+ a - c 0 一q p ( p + 虿n 一1 ) 一p + 等卜7 7 ) = q ( 忌一2 7 + 1 ) f 1 2 + ( 互n 一1 ) ( 七一2 , 1 + 1 ) 3 2 ( k 一2 7 + i ) 一k ( k 一1 ) ( 1 7 7 ) 】 + ( 忌一2 7 7 + 1 ) 3 2 k + 7 7 + 刀 9 因为1 卢 1 + 业n + 2 - 2 r t 1 + 参通过计算，对于尼n + 1 ，可得 ( k - 2 q + i ) # - 2 k + ，+ k t = ( k - 2 7 + i ) # 一紫 0 ， 且 因此。 ( 后一2 7 + 1 ) p 2 + ( 百n 一1 ) ( 七一2 7 1 + 1 ) p 一昙( 七一2 ，7 十1 ) 一k ( k 一1 ) ( 1 一叩) = ( k 一2 7 7 + 1 ) ( p 一1 ) ( p + 等) 一尼( 七一1 ) ( 1 7 7 ) ( 扎+ 2 2 叩) ( p 一1 ) ( p + 芸) 一n ( 佗+ 1 ) ( 1 一叩) n ( z 一叼) ( p + 百n 一礼一1 ) ：n ( 1 7 7 ) ( p 一百n 一1 ) 0 ( k 一叩) ( 一1 ) 一 k ( 1 + k a o l ) 一 ( 1 7 7 ) 0 ， 由此得至u j ( 1 2 1 2 ) 成立定理1 2 3 证明完毕 口 定理1 2 4 设口0 ，0 叩 1k 1 。( z eu ， 因此， f ( z ) ：= ( ，木9 ) ( z ) a 豺( q ，) ， 定理】2 4 证明完毕口 根据引理1 1 3 ，应用定理1 2 4 中的证明方法，可得到下面的推论 推论1 2 4 设q 0 ，互1 7 7 1 及1 p l + 业n + 2 - 2 ，若 那么， 北) 蝣( q ，p ) 且ge 鬣( 去) n 钟， ( - 厂术9 ) ( z ) a 豺( 乜，p ) 下面将研究函数类埘( q ，p ) 的偏差定理 定理1 2 5 设q 0 ，1 2 - - n b , 写1 7 n 霉2 + 2 0 n + 4 ，且= ( q ，p ) 是由( 1 2 1 ) 定义的式 子若厂( z ) 纣( 口，p ) ，则 且 r i ；i j = - i 了 靠r n + 1i f ( z ) i r + i 磊_ ；_ i 了 靠r n + 1 ， ( h = r 1 ) ， ( 1 2 1 3 ) 1 一石_ 坚! 禁r 几i ，( 名) i 1 + j 。 ( n + 1 ) ( 1 + 佗q ) 一 一r 川。l 。 每一个不等式都是精确的，极值函数为 兽裂孕一 + 1 ) ( 1 + n q ) 一 7 - 。 1 ) ( 1 2 1 4 ) ( 佗 ( z i = 7 厶+ ( z ) = z + i 元_ = f - j 巧 靠z n + 1 证明由定理1 2 i ，有 成立因此，由 。两前景 得到偏差不等式( 1 2 1 3 ) 再者，由定理1 2 i 也能得到 由 1 一r nf ：一 k = n + i 0 0 fk a 砖 k = n + 1 ( n + 1 ) ( 一1 ) ( n + 1 ) ( 1 + 几q ) 一 k a ksi 厂7 ( z ) i 1 + r n 1 l k = n + 1 ( 1 2 1 5 ) 1 七 1 r = z0 槲七 lr 一一 z 奄 0后 得到不等式( 1 2 1 4 ) 由此定理1 2 5 证明完毕 口 推论1 2 5 设q 0 ，1 p 1 + 号，且= ( q ，p ) 是m ( i 2 1 ) 定义的式子若f ( z ) 埘( q ，p ) ，则厂( z ) 把单位圆映射到一个包含圆盘l 训 。 这个结果是精确的，极值函数厶+ 1 ( z ) m ( i 2 i 5 ) 给出 根据定理1 2 1 ，得到下面的结论 定理1 2 6 设n 0 ，1 p 2 - - n + x 1 丁7 n 2 + 2 0 n + 4 ，且= ( q ，p ) 是由( 1 2 1 ) 定义的式 子，则子类埘( q ，p ) 是一个凸集 定理1 2 7 设o l 0 ，1 p 2 - n + 、1 丁7 n 2 + 2 0 n + 4 ，且= ( 口，卢) 是由( 1 2 1 ) 定义的式 子令 眦) 引且眦) 一+ 耵最舞( 娩时1 ) 那么，( 名) 属于函数类蝣( o ，p ) ，当且仅当它能表示成下面的形式： ，( z ) = 肌 ( z ) ， 其中， 舰o ( k n ) 且 纵= 1 k = n 推论1 2 6 在定理1 2 7 的条件下，函数类埘( q ，p ) 的极值点就是定理1 2 7 中所给出的 函数丘( z ) ( 克2n ) 下面讨论函数f ( z ) e 埘( 口，p ) 的积分算子 定理1 2 8 设a 0 ，1 p - 1 若f ( z ) 蟛( q ，p ) ，则函数 f ( z ) ：掣f 2 r 1 邢) d t ( 1 2 1 6 ) 也属于函数类懈( q ，p ) 证明m f ( z ) 的表达式，可得到 其中， 未n 南 1 2 z6 一 +z = zf 因此 。 尼( 1 + k a q ) 一】6 七 k = n - t - 1 由于，( z ) 蝣( q ，p ) ，根据定理1 2 1 ，可得到 k ( i + k a q ) 一 n 一1 那么，m ( 1 2 1 7 ) 和( 1 2 1 8 ) 得至u f ( z ) 埘( q ，p ) 成立定理1 2 8 证明完毕 定理1 2 9 设q 0 ，1 p 一1 若( 1 2 1 6 ) 定义的函数f ( z ) 埘( q ，p ) ，, m l f ( z ) e i z l - i ) 为得到定理的结论，需要证明在i z i r + 内，i 厂7z ) 一1 i 1 成立而 ，( 沪1 l 妻等叫计 k = n + 1 那么，i ，z ) 一1j 1 成立，如果 因为f ( z ) 埘( q ，) ，则有 所以，( 1 2 1 9 ) 成立，如果 。惫惫一1 1 妻业半。斛。 二一一l 。一 k = n + 1 ，n 生掣一 0 ，则函数，( 2 ) 的( 佗，6 ) 邻域定义如下： 特别的，对于函数 则有 定理1 2 1 0 设q20 ，1 p 2 - - n + 近x 1 季7 n 2 墨+ 2 0 n + 4 ，且= ( q ，p ) 是由( 1 2 1 ) 定义的式 子那么。 蝣( q ，) c ，6 ( e ) ， 共甲， n = 者糕 证明i 妇t f ( z ) 蝣( o l ，p ) ，根据定理1 2 1 ，有 血萎o o 。概尚熬 成立再由定义1 2 2 ，证得定理1 2 1 0 成立 口 下面讨论如下定义的函数类埘( q ，p ) 的邻域4 者中的函数t 厂( z ) 属于函数类峨1 ( q ，p ) ， 如果存在一个函数g ( 2 ) 埘( ，p ) ，使得 i 筹一1 l 1 1 ( z eu ；0 卜 、， r u 一 k 一 磨 0 七 槲 且 z k 槲 + z i l z 9筋 9 r l = ， f 0 m a x o ，7 6 ) 一1 ) 1 5 一k导 业 壁一 了 去 矗 0 ，7 - 2 ，一y 一6 2 及，y ( 7 7 + 6 ) 叩( n + 2 ) 同时设q 0 ，1 p 2 - n + 近、1 季7 n 2 皿+ 2 0 n 4 ，且= ( 口，p ) 是由( 1 2 1 ) 定义的式子若函 数厂( z ) 属于函数类埘( q ，p ) ，那么， 且 彤饥训卷嵩 ( 1 + f 意等赫等法i z t n ) ( z eu o ) ， 骷项圳卷瓣 ( 1 一f 意等赫糌麓1 名i n ) ( e u o ) i u o ) , 。l 卜酉i 丽再百而两万万丽i 面= 砑名 u 。= 0 ，一y 一2 ，y 一艿 2a n d ，y ( 叩+ 6 ) 曰( n + 2 ) ， g ( k + 1 1 g ( k ) ( k + 1 ) ( 七+ 1 一，y + j ) ( k + 1 一，y ) ( 七+ l + 叩+ 6 ) ( k + 1 ) 2 一( k + 1 ) ( 7 6 ) ( 七+ 1 ) 2 一( k + 1 ) ( ，y 一6 ) + 叩( 尼+ 1 ) 一一y ( 叩+ 6 ) 1 ，( k 礼+ 1 ) 所以，9 ( 尼) 是关于整数后佗+ 1 的非增函数，且有 。 夕( 七) 夕( 佗+ 1 ) = i i 譬 号专兰瑞，( 七几+ 1 ) ( 1 2 2 3 ) 因此，应用定理1 2 5 9 ：( i 2 2 3 ) ，得到 和 g ( z ) i i z i + g ( z ) i ( 2 ) n ( 2 一，y + 6 ) n ( 一1 ) ( 2 7 ) n ( 2 + 叩+ 6 ) 礼 ( 仃+ 1 ) ( 1 十n a ) 一 一9 ( 礼+ 1 ) 1 z p o 惫 k = n + 1 i z i 一 ( 2 ) n ( 2 7 + 6 ) 几( 一1 ) ( 2 7 ) n ( 2 + 7 7 + 6 ) n ( n + 1 ) ( 1 + n q ) 一 z l 叶1 ( 1 2 2 4 ) z l n + 1 ( 1 2 2 5 ) 在( 1 2 2 2 ) 定义中，运用( 1 2 2 4 ) 和( 1 2 2 5 ) ，就能得到上述定理1 2 1 2 所提及的不等式不等 式的精确性由( 1 2 2 2 ) 定义的函数 + 1 ( z ) 可得定理1 2 1 2 证明完毕 口 0 一 + n z + n 9 + z 第二章 某类具有负系数的p 叶解析函数类的性质及特征 2 1 定义 u 用五( n ) 来表示在开单位圆盘u = z c ：i z i 1 ) 内解析且满足下面形式的函数类： m ) = 矿一o 惫， a 知o ；k 佗+ p ；p ，n n ：= 1 ，2 3 ) k = n + p 下面给出两个具有负系数的p 叶解析函数类的定义 定义2 1 1 设函数厂五( 礼) ，0 q 一g ) m ，p ，礼n ，m ，q n o r m + q 嘶删， 偿， 则称函数，( 名) 属于子类p ( m ，q ，q ) 定义2 1 2 设函数，而( 礼) ，0 仞一g ) m ，p ，扎n ，m ，q n o ，m + q p 及o 7 l - 如果 l 菇一i 州， 亿地， i2 帮+ 一g ) m 一2 q 】l 、v 。门 _ 叫 则称函数厂( z ) 属于子类。吆pm ，q ，q ，7 ) 注2 1 1 令仇= 1 及g = 0 ，则咳p ( 1 ，0 ，q ，y ) 为p 叶q 阶卢型负系数星像函数( 参考文 献 8 】 1 2 】) 再者，令m = 1 ，q = o 及，y = 1 ，磁p ( 1 ，0 ，q ，1 ) 为子类露( p ，q ) ( 参考文献 9 ) 2 2 p 叶负系数解析函数子类哝pm ，g ，a ，y ) 的性质 下面给出函数类嚷pm ，q ，o g ，y ) 的系数特征 定理2 2 1 设函数厂( z ) 互( n ) ，- 厂( z ) pm ，g ，o g ，y ) 当且仅当，( z ) 满足条件 芝二【( 1 + 7 ) ( 七一q ) m + ( 7 1 ) 一q ) m 一2 q 7 】( 七) g q 2 7 ( p q ) m q 】( p ) 口，( 2 2 1 ) k = n + p 其中，0 口 ( p q ) m ，礼，p n ，m ，q n o ，m + q p 及o ，y 1 1 8 证明假设不等式( 2 2 1 ) 成立对于z u ，有 竺群一( p - 口) m l z m f ( m + q ) ( 2 ) 一( p 一口) m ，( 口) ( z ) 褂+ 一q ) m 一2 q _ j 防，( m ( z ) + p q ) m 一2 q 删( z ) ( 忍一g ) m 一( p g ) m 】( 七) 口a k z 七一g 兰堂l _ 百一i o 。 2 【( p g ) m q ) q 汐一口一 ( 七一q ) m + ( p q ) m 一2 q 】( 七) q a k z 七一q ( 尼一q ) m 一一g ) m 】( 后) g a k z 知一p k = n + p o 。 2 【( p g ) m a ( p ) q 一 ( 七一g ) m + ( p g ) m 一2 口 ( 尼) g a k z 七一p k = n + p o o ( 七一g ) m 一0 一口) m 】( 后) 。a k k = n + p 2 ( p g ) m q 】) 口一 ( 七一g ) m + ( p 一口) m 一2 a 】( 尼) q a k k = n + p 1 成立因此，由定义2 1 2 ，可得到，( z ) 嫒p ( m ，g ，a ，y ) 反过来，假设 则 z m f f ( ( m q ) + f ，q 1 ) ( z ) 一( p q ) m ，( q ) ( 2 ) ，- 生，7 n z m f ，( ( m 。) + ( ：q ) ) ( z ) + 一g ) m 一2 ( 忌一g ) m 一( p g ) m ( 忌) g a k z 七一p k = n + p o 。 2 一g ) m q ( p ) 口一 ( 七一g ) m + ( p q ) m 一2 a ( 后) q a k z 惫一p k = n + p ，o o i ( 七一q ) m 一 一g ) m 】( 尼) 口a k z 七一p r e 旦旦百一 l2 ( p g ) m 一口 ) g 一 ( 七一g ) m + ( p g ) m 一2 q 】( 尼) q a k z 七呻 k = n + p 选取实数z = 7 ( 0 r 1 ) ，则 o o ( 七一q ) m k = n + p r 7 2 一口) m l 也即是 一一口) m ( 忌) g a k r 七一p 卜 ， ( 1 + 一y ) ( 七一口) m + ，y 一口) m 一2 a ( k ) q a 7 砷2 一y ( p q ) m q g ( 2 2 2 ) k = n + p 1 9 由于o 口 0 于是，对于每一个钆n + p 以及0 7 - m + g ；o 7 1 ) 这个结果是精确的极值函数为 ( z ) ： 眦) = z p - - 丽而毒鲁世杀面丽引七帅) ( 2 2 4 ， 在定理2 2 1 中令7 = 1 ，可得到另一个推论： 推论2 2 2 设函数，( z ) 互( n ) ，则，( z ) 属于函数类p ( m ，q ，q ) 当且仅当它满足 ( 尼一q ) m a ( k ) q a 一口) m 一口 仞) g ， ( 2 2 5 ) k = n + p 其中，0 o t ( p g ) m ，n ，p n ，m ，q n o 及m + q p 下面讨论。哝pm ，q ，o l ，7 ) 的偏差定理 定理2 2 2 设函数厂( z ) ( 扎) ，( z ) 属于哝pm ，q ，o l ，7 ) ，对于h q + m ) 其中，a 伽( m ，q ，a ，y ) 为定理2 2 2 中所定义的式子i g j ! 里2 2 2 证明完毕 口 定理2 2 3 设函数厂( z ) 互( n ) ，f ( z ) 属于垓p ( m ，g ，o t ，7 ) ，则，( z ) 在 r 1 内是p 叶6 ( o 6 p ) 阶近于凸函数，其中 r = ；鼍f = 丢，c 2 2 4 ， 厶，p ( m ，q ，q ，7 ) 为定理2 2 2 中所定义的式子 证明只需证明 事实上， 等一p b “( i z l 剐 等斗倭- - - - n + p 少p i 七驴0 0 出r p 由( 2 2 8 ) 式，( 2 2 1 5 ) 式要成立，如果满足 m ( 2 2 1 6 ) 式。 比p 苟舞而 ( 2 2 1 5 ) ( 2 2 1 6 ) 鑫广 由于七一南是关于正整数后n + p ( p ，礼n ) 的增函数，则( 2 2 1 5 ) 式在h r i 内成立，其 中，r 1 为定理2 2 3 中所定义的式子定理2 2 3 证明完毕 口 定理2 2 4 i f ( z ) 互( 佗) ，( z ) 属于。吆pm ，口，q ，7 ) ，则，( z ) 在h r 2 内是p 叶6 ( o 6 p ) 阶星像函数，其中 r 2 = t 鼍f = 击，c 2 2 - 7 ， a 叩( m ，q ，q ，7 ) 为定理2 2 2 中所定义的式子 证明只需证明 搿一p 卜“( i z i 蚴 2 2 ( 2 2 1 8 ) 事实上， 搿一p l _厂( 名)，l o o 一( k p ) a k z 扣p k = n + p 0 0 1 一a k z 惫_ p k = n + p 因此，( 2 2 1 8 ) 式成立，如果满足 0 0 ( k p ) a 七i z l 知一p k = n + p o 。 1 一a , l z l k p k = n + p ( 忌一6 ) 口七坩呻p 一6 k - - - n + p 由( 2 2 8 ) 式，( 2 2 1 9 ) 式成立，如果满足 再根据( 2 2 2 0 ) ，可得到 ( k 一6 ) l z l 七呻 p 一6 a 竹，p ( m ，q ，a ，7 ) 。 枢 f 磋知 、南 ， ( 2 2 1 9 ) ( 2 2 2 0 ) 由于( 七一6 ) 一南是关于正整数后n + p ，礼n ) 的增函数，贝j j ( 2 2 1 8 ) 式在i z l r 2 内成 立，其中，疡为定理2 2 4 中所定义的式子定理2 2 4 证明完毕 口 定理2 2 5 设函数，( z ) 五( n ) ，( z ) 属于。吆p ( m ，q ，乜，7 ) ，则厂( z ) 在h 危内是p 叶6 ( o 6 p ) 阶凸函数，其中 兄= t 譬 q + m ) 再者，在定理2 2 3 、2 2 4 、2 2 5 中，令6 = 0 ，能得到这个函数类哝p ( 仇，q ，o t ，7 ) 中的函 数，( z ) 的近于凸半径、星像半径及凸半径 令函数f j ( z ) ( j = 1 ，2 ) 定义为如下形式： 则函数 ( z ) 和函数，