（基础数学专业论文）多项式扩张及广义幂级数环模.pdf

摘要 本文研究环的多项式扩张理论以及广义幂级数环模的性质文 中的环都是有单位元1 的结合环，文中的q 是环的自同态，而6 为 o t 一导子我们分七章讨论 第一章简要介绍研究背景和本文的主要结果 第二章作为对对称环的推广，我们引进了弱对称环与弱( a ，6 ) 一 对称环的概念并研究环的弱对称与弱( q ，6 ) 一对称性质在其多项式 扩张环中的保持问题在本章中我们首先探讨弱对称环的性质，证明 了所有对称环都是弱对称环同时也证明了环r 是弱对称环当且仅 当环兄上的上三角矩阵环是弱对称环接着我们探讨了环r 的弱对 称性质与它的o r e 扩张环兄k ；o t ，川之间的关系，证明了如果环兄 是( o t ，6 ) 一相容的可逆环，那么环r 是弱对称环当且仅当r p ；o l ，5 】 是弱对称环第三，我们研究了环r 的弱( q ，6 ) 一对称性质与它的 多项式环r x 1 之间的关系，证明了如果环兄是半交换环，那么环r 是弱( q ，6 ) 一对称环当且仅当r x 】是弱( 西，万) 一对称环，其中西与 6 分别是o t 与6 的扩张映射 第三章作为对口一刚环的推广，我们引进了弱( q ，6 ) 一相容环 与弱( q ，6 ) 一a r m e n d a r i z 环的概念并探讨弱( q ，6 ) 一相容环与弱 ( q ，5 ) 一a r m e n d a r i z 环的性质我们在本章中证明了如果环兄是弱 ( o l ，6 ) 一相容的半交换环，那么r 是弱( o l ，6 ) 一a r m e n d a r i z - 环； 如果兄是弱( q ，6 ) 一相容环且r x 】是半交换环，那么多项式环r m 是弱( 瓦，6 ) 一a r m e n d a r i z 环，其中西与6 分别是o t 与6 的扩张映 射 t t 第四章作为对q 一刚环与q s k e wa r m e n d a r i z 环的推广，我 们引进了弱口一刚环与弱q s k e wa r m e n d a r i z 环的概念并研究这 类环的性质在本章中，我们首先研究弱a 一刚环的性质并举例说明 弱a 一刚环是q 一刚环的真推广接着我们探讨弱q 一刚环与弱a s k e wa r m e n d a r i z 环的关系，证明了如果礼i l ( r ) 是环兄的理想，那 么弱q 一刚环必是弱q s k e wa r m e n d a r i z 环；如果环兄是弱q 一 刚的半交换环，那么多项式环r x 】是弱q s k e wa r m e n d a r i z 环 第五章作为对m c c o y 环的推广，我们引进了a - m c c o y 环和弱 m c c o y 环，并研究环的弱m c c o y 性质在其多项式扩张环中的保持 问题在这一章中，我们首先对m c c o y 环与a - m c c o y 环进行了比 较，说明a - m c c o y 环是m c c o y 环的真推广，并证明了如果环兄是 及一相容的可逆环，则环r 必是a - m c c o y 环，从而推广了m c c o y 环的相关结论 7 6 ，t h e o r e m2 】接着我们研究环的弱m c c o y 性质 在其多项式扩张环中的保持问题，证明了如果环r 是( q ，6 ) 一相容 的可逆环，那么环尺是弱m c c o y 环当且仅当环兄的o r e 扩张环 r k ；口，司是弱m c c o y 环，从而把许多熟知的有关m c c o y 环的结论 推广到了更广泛的环类上 第六章引进弱z i p 环的概念，并研究环的弱z i p 性质在其多项 式扩张环中的保持问题首先，作为零化子的推广，我们引进弱零化子 的定义，并研究环的弱零化子的相关性质接着以弱零化子为基础， 作为对z i p 环的推广，我们引进弱z i p 环，并证明了当环只是可逆 的( a ，j ) 一相容环时，环r 的弱z i p 性质在环的o r e 扩张r k ；q ，卅 中是保持的 t 第七章主要研究广义幂级数环，模的性质在7 2 节，我们研究 形式三角矩阵环的g m 一性质，证明了环上形式三角矩阵环的g m 一性 质在广义幂级数环上的形式三角矩阵环中是保持的在7 3 节，我们 证明了广义幂级数环的g r o t h e n d i e c k 群与环r 的g r o t h e n d i e c k 群 同构，从而刻画了广义幂级数环和广义幂级数环上m o r i t ac o n t e x t 的g r o t h e n d i e c k 群同时我们研究广义幂级数环上m o r i t ac o n t e x t 的稳定性质证明了如果环a 与环b 分别是( s t 2 ) 一环，u n i t l 一s t a b l e r a n g e 环，那么广义幂级数环上的m o r i t ac o n t e x t ( a s 】，【旧s 】， 【m s 】， i n s , ，矿，矿) 也分别是( s ，2 ) 一环， u n i t l s t a b l er a n g e 环从而得到了新的满足稳定度条件的环类在7 4 节，作为对a r m e n d a r i z 环的推广，我们引进了广义幂级数环上s a r m e n d a r i z 模的 概念证明了广义幂级数环上的s a r m e n d a r i z 模有许多类似于a r m e n d a r i z 环的性质作为s a r m e n d a r i z 模性质的运用，我们证明了 如果r 是环，m 为s - a r m e n d a r i z 模，且对任意2 = r s ， 】， 存在e 2 = e r 使得矽= g ，那么m 分别是b a e r ，q u a s i b a e r ， p p 模当且仅当 m s ， 】是分别是b a e r ，q u a s i b a e r ，p p 模 关键词：弱对称环；弱m c c o y 环；弱z i p 环；广义幂级数环 i v a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o n ，c o n s i s t i n go fs e v e nc h a p t e r s ，i sc o n c e r n e dw i t ht h ep r o b - l e mo fp o l y n o m i a le x t e n s i o no fr i n g sa n dt h ep r o p e r t i e so fg e n e r a l i z e dp o w e rs e - t i e sr i n g sa n dm o d u l e s u n l e s so t h e r w i s em e n t i o n e d ，i nt h i st h e s i s ，rw i l ld e n o t e a na s s o c i a t i v er i n gw i t hi d e n t i t y , a n d 口a ne n d o m o r p h i s m 6a na - d e r i v a t i o n o far i n gr c h a p t e r1i n t r o d u c e st h eb a c k g r o u n da n dt h em a i nr e s u l t so b t a i n e di nt h i s t h e s i s c h a p t e r2i n t r o d u c e sw e a ks y m m e t r i cr i n g sa n dw e a k ( a ，6 ) - s y m m e t r i c r i n g s ，w h i c ha r eg e n e r a l i z a t i o n so fs y m m e t r i cr i n g s ，a n ds t u d i e sw e i t h e rt h e w e a ks y m m e t r i co rw e a k ( q ，5 ) - s y m m e t r i cp r o p e r t i e so fr i n g sc a nb ep r e s e r v e d i nt h e i rp o l y n o m i a le x t e n s i o nr i n g s i nt h i sc h a p t e r ，w ef r s ti n v e s t i g a t et h e p r o p e r t i e so fw e a ks y m m e t r i cr i n g s ，a n ds h o wt h a ta l ls y m m e t r i cr i n g sa r ew e a k s y m m e t r i c ，a n dt h eu p p e rt r i a n g u l a rm a t r i xr i n go v e rri saw e a ks y m m e t r i c r i n gi fa n do n l yi fri saw e a ks y m m e t r i cr i n g ；s e c o n d l y w es t u d yt h er e l a - t i o n s h i pb e t w e e nt h er i n gra n dt h eo r ee x t e n s i o n 兄kq ，司，a n dp r o v et h a t 兄陋；a ，卅i saw e a ks y m m e t r i cr i n gi fa n do n l yi fri saw e a ks y m m e t r i cr i n g w h e nri sa n ( q ，6 ) 一c o m p a t i b l ea n dr e v e r s i b l er i n g f i n a l l y ，w es e et h a ti fri s as e m i c o m m u t a t i v er i n g ，t h e nri saw e a k ( q ，6 ) 一s y m m e t r i cr i n gi fa n do n l yi f r x 】i saw e a k ( _ ，万) 一s y m m e t r i cr i n g ，w h e r e 西a n d 否i st h ee x t e n d e dm a p o f aa n d6 r e s p e c t i v e l y c h a p t e r3d c f i n e sa n ds t u d i e sw e a k ( q ，6 ) 一c o m p a t i b l er i n g sa n dw e a k ( 口，6 ) 一 a r m e n d a r i zr i n g s ，w h i c ha r eg e n e r a l i z a t i o n so f 口r i g i dr i n g s w em a i n l yo b t a i n i nt h i sc h a p t e rt h a ti fri saw e a k ( q ，6 ) 一c o m p a t i b l ea n ds e m i c o m m u t a t i v er i n g ， t h e nri saw e a k ( q ，6 ) 一a r m e n d a r i zr i n g ，a n di fri saw e a k ( q ，6 ) 一c o m p a t i b l e r i n g ，a n dr mas e m i c o m m u t a t i v er i n g ，t h e nr x 】i saw e a k ( 石，否) 一a r m e n d a r i z r i n gw h e r e 瓦a n d6i st h ee x t e n d e dm a po f 口a n d6 r e s p e c t i v e l y c h a p t e r4i n v e s t i g a t e sw e a kq r i g i dr i n g sa n dw e a kq s k e wa r m e n d a r i z r i n g s w h i c ha r eg e n e r a l i z a t i o n so fq r i g i dr i n g sa n dq s k e wa r m e n d a r i zr i n g s ， v r e s p e c t i v e l y i nt h i sc h a p t e r w ef i r s td i s c u s st h ep r o p e r t i e so fw e a kq r i g i d r i n g sa n ds h o wt h a taw e a ka - r i g i dr i n gi sat r u eg e n e r a l i z a t i o no fa na - r i g i d r i n gb yp r o v i d i n gs o m ee x a m p l e s t h e nw ei n v e s t i g a t et h er e l a t i o n s h i pb e t w e e n w e a ka - - r i g i d sa n dw e a ka - - s k e wa r m e n d a r i zr i n g s ，a n ds e et h a ti fn i l ( n ) i s a ni d e a lo far i n gr ，t h e naw e a ka - r i g i dr i n gi saw e a ka - - s k e wa r m e n d a r i z r i n g ，a n di fr i saw e a ka - r i g i ds e m i c o m m u t a t i v er i n g ，t h e nr x 】i saw e a kq s k e wa r m e n d a r i zr i n g c h a p t e r5i sc o n c e r n e dw i t ha - m c c o yr i n g sa n dw e a km c c o yr i n g s ，w h i c h a r en a t u r a lg e n e r a l i z a t i o n so fm c c o yr i n g s ，a n ds t u d i e sw e i t h e rt h ew e a km c c o y p r o p e r t i e so far i n grc a nb ep r e s e r v e di nt h eo r ee x t e n s i o n 刷z ；q ，讣i nt h i s c h a p t e r ，w ef i r s to b t a i nt h a ta na - m c c o yr i n gi sat r u eg e n e r a l i z a t i o no fa m c c o yr i n gb yc o m p a i r i n ga - - m c c o yr i n g sw i t hm c c o yr i n g s ，a n ds h o wt h a t i fri sa na - c o m p a t i b l ea n dr e v e r s i b l er i n g ，t h e nri sa na - m c c o yr i n g t h u s p p n i e l s o n st h e o r e m2i n 【7 6 i sad i r e c tc o r o l l a r yo fo u rr e s u l t f i n a l l y , w eo b t a i nt h a ti fri sar e v e r s i b l ea n d ( a ，5 ) - c o m p a t i b l er i n g ，t h e nt h ew e a k m c c o yp r o p e r t i e so far i n gc a nb ep r e s e r v e di nt h eo r ee x t e n s i o n 捌z ；q ，0 1 c o n s e q u e n t l y , s e v e r a lk n o w nr e s u l t so nm c c o yr i n g sa r ee x t e n d e dt oag e n e r a l s e t t i n g c h a p t e r6d i s c u s s e sw e a kz i pr i n g sa n ds t u d i e sw e i t h e rt h ew e a kz i pp r o p - e r t i e so fr i n g sc a nb ep r e s e r v e di nt h ep o l y n o m i a le x t e n s i o nr i n g s a sag e n - e r a l i z a t i o no fa n n i h i l a t o r ，i nt h i sc h a p t e rw ei n t r o d u c ew e a ka n n i h i l a t o ra n d i n v e s t i g a t et h e i rp r o p e r t i e s t h e nb a s e do nt h ep r o p e r t i e so fw e a ka n n i h i l a t o r ， w ed e f i n ew e a kz i pr i n g sa n do b t a i nt h a tt h ew e a kz i pp r o p e r t i e so far i n gr i s p r e s e r v e di nt h eo r ee x t e n s i o nr k ；o t ，卅w h e nri sa n ( q ，5 ) - c o m p a t i b l e r e v e r s i b l er i n g c h a p t e r7s t u d i e st h ep r o p e r t i e so fg e n e r a l i z e dp o w e rs e r i e sr i n g sa n dg e n e r a l i z e dp o w e rs e r i e sm o d u l e s i ns e c t i o n7 2 ，w ei n v e s t i g a t et h eg m p r o p e r t yo f f o r m a lt r i a n g u l a rm a t r i xr i n g s ，a n dp r o v et h a tt h eg m p r o p e r t yo ff o r m a lt r i a n - g u l a rm a t r i xr i n go v e rar i n gri sp r e s e r v e di nt h ef o r m a lt r i a n g u l a rm a t r i xr i n g o v e rag e n e r a l i z e dp o w e rs e r i e sr i n g i ns e c t i o n7 3 ，w eo b t a i nt h a tt h ek 0 一g r o u p o f 【 r s 】i si s o m o r p h i ct ot h ek 0 g r o u po fr t h u s t h ek 0 g r o u p so fs o m er i n g s o fg e n e r a l i z e dp o w e rs e r i e sa r ee x p l i c i t l yd e s c r i b e d m o r e o v e r ，w es t u d yt h es t a - b l er a n g ep r o p e r t i e so ft h em o r i t ac o n t e x to v e rg e n e r a l i z e dp o w e rs e r i e sr i n g s w es h o wt h a ti fr i n g saa n dba r e ( s ，2 ) - r i n g s ，t h e ns oi st h em o r i t ac o n t e x t ( 【as 】，【b s ，】， 【ms s 】，【s 】，妒s ，咖s ) o v e rg e n e r a l i z e dp o w e rs e r i e sr i n g s a l s ow eg e ta n a l o g o u sr e s u l t sf o ru n i t1 - s t a b l er a n g er i n g sa n dr i n g sw h i c hh a v e s t a b l er a n g eo n e t h e s eg i v en e wc l a s s e so fr i n g ss a t i s f y i n gs u c hs t a b l er a n g e c o n d i t i o n s i ns e c t i o n7 4 ，w ei n v e s t i g a t et h ea r m e n d a r i zp r o p e r t i e so fm o d u l e s o v e rg e n e r a l i z e dp o w e rs e r i e sr i n g s a sag e n e r a l i z a t i o no fa r m e n d a r i zr i n g s ， w ei n t r o d u c es a r m e n d a r i zm o d u l e so v e rg e n e r a l i z e dp o w e rs e r i e sr i n g s a n d p r o v et h a tt h es a r m e n d a r i zm o d u l e so v e rg e n e r a l i z e dp o w e rs e r i e sr i n g sh a v e m a n yp r o p e r t i e ss i m i l a rt oa r m e n d a r i zr i n g s a saa p p l i c a t i o no fs - a r m e n d a r i z m o d u l e s ，w ep r o v et h a ti fri sar i n g ，a n dm a ns a r m e n d a r i zm o d u l e ，a n d f o re a c h 2 = 【r s ，】，t h e r ee x i s t se 2 = e rs u c ht h a t 妒= g ，t h e nm n i sab a e rm o d u l e ，q u a s i b a e rm o d u l eo rp p m o d u l ei fa n do n l yi f 【m s 】i sa b a e rm o d u l e ，q u a s i b a e rm o d u l eo rp p m o d u l e ，r e s p e c t i v e l y k e yw o r d s ：w e a ks y m m e t r i cr i n g ；w e a km c c o yr i n g ；w e a kz i pr i n g ； g e n e r a l i z e dp o w e rs e r i e sr i n g v i i 多项式扩张及广义幂级数环模 】1 3 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果除文 中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结 果由本人承担 学位论文作者签名彻嘶年j 月咖 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，研究生在校攻读学位期间论文工作 的知识产权单位属湖南师范大学同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印，缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书 2 不保密匝一 ( 请在以上相应方框内打。、。) 作者签名：胁门。拂啕 导师签名：优野l 吣乙伙y 日期：7 年为妇 醐：尹桫 第一章研究背景与主要结论 环的多项式扩张理论中研究的主要问题是环的性质在环的一系列 多项式扩张( 普通多项式扩张，l a u r e n t 多项式扩张，s k e w 多项式扩张以 及o r e 扩张) 中的保持问题众所周知，环的许多性质在环的多项式扩 张环中仍然保持最简单的例子就是如果r 是整环，那么多项式环r x 】 仍然是整环研究环的性质在环的一系列多项式扩张环中的保持问题 已成为环论研究中的重要课题d d a n d e r s o n ，v c a m i l l o ，e h a s h e m i ， c y h o n g ，h i r a n o ，n k k i m ，t k k w a r k ，y l e e ，j k r e m p a ，z h o n g k u i l i u 等人在这方面已做了大量的研究工作在这篇文章中我们做的主 要工作就是把一些熟知的环类的条件进行弱化，得到一类比我们熟知 的环类更广泛的环类，然后在更广阔的背景下来研究这些环类的性质 在环的一系列多项式扩张环中的保持问题，从而推广了许多已有文献 中的主要结论 1 9 7 1 年l a m b e k 为了统一交换环与约化环的s h e a f 表示，引进了对称 环的概念( 5 7 2 0 0 3 年n k k i m 与y l e e 证明了如果环r 是a r m e n d a r i z 环，那么环r 是对称环当且仅当r n 是对称环，当且仅当l a u r e n t 多 项是环剜z ；z - 1 】是对称环【5 4 2 0 0 5 年c h a nh u h 等人证明了如果环 r 是对称环，多项式环r x 1 不一定是对称环，但是如果环r 的中心包 含有非零元素都是正则的无限子环，那么环r 是对称环当且仅当多 项式环r x 】是对称环，当且仅当l a u r e n t 多项式环冗k ；z 1 】是对称环 【4 9 】2 0 0 7 年l m o u f a d a lb e ny a k o u b 等人把对称环的性质推广到了更一 般的s k e w 多项式环与o r e 扩张环上，证明了如果环r 是( o t ，6 ) 一相容 与( o t ，6 ) 一s k e wa r m e n d a r i z 环，那么环r 是对称环当且仅当o r e 扩张 环r 囟；口，司是对称环 7 0 】作为对称环的推广，我们在本文中引进了弱 对称环与弱( q ，6 ) 一对称环的概念并证明了： 定理2 2 1 2 设r 是环如果r 是( a ，6 ) 一相容的可逆环，那么r 是弱对称环当且仅当r k ；o t ，卅是弱对称环 j 2 博士学位论文 定理2 3 9 设冗是半交换环，那么r 是弱( 口，6 ) 一对称环当且仅当 r c z l 是弱( 西，否) 一对称环 1 9 7 4 年a r m e n d a r i z 首先注意到约化环满足a r m e n d a r i z 条件，但是 当时没有明确提出a r m e n d a r i z 环的概念【5 】1 9 9 7 年r e g e 和c h h a w c h h a r i a 首先引进了a r m e n d a r i z 环的定义，并且构造出了a r m e n d a r i z 环与 非a r m e n d a r i z 环的例子，证明了如果环r 是主理想环，那么r i 是a 卜 m e n d a r i z 环，并且提出了一个问题：如果环r 是a r m e n d a r i z 环，能否推 出r m 是a r m e n d a r i z 环 7 9 】? 1 9 9 8 年d d a n d e r s o n 和v i t o rc a m i l l o 对 这个问题做了肯定的回答，并给出了一系列a r m e n d a r i z 环的例子” 随后一系列研究a r m e n d a r i z 环的文献相继出现，如：k i ma n dl e e 【5 5 】， h u he ta 1 【4 7 】等2 0 0 3 年刘仲奎与赵仁育通过引进弱a r m e n d a r i z 环的 定义，把a r m e n d a r i z 环的概念进行了推广，证明了如果r 是半交换环， 那么r 是弱a r m e n d a r i z 环当且仅当r x 】是弱a r m e n d a r i z 环；如果r 是半交换环，那么r x l ( x n ) 是弱a r m e n d a r i z 环【6 3 2 0 0 3 年c y h o n g 等人首次研究了s k e w 多项式环的a r m e n d a r i z 性质，并作为对a 一刚环 与a r m e n d a r i z 环的推广，引进了a s k e wa r m e n d a r i z 环的概念，且以 此为工具，探讨了环r 的b a e r 与p p 性质与s k e w 多项式环r b ；o z 】 的b a e r 及p p 性质之间的关系证明了如果环r 是q s k e wa r m e n - d a r i z 环，那么环r 是b a e r 或p p 环当且仅当兄b ；a 1 是b a e r 或p p 环 【4 4 】作为对a r m e n d a r i z 环与2 - p r i m e 环的另一个推广，2 0 0 7 年c h a nh u h 等人提出了一a r m e n d a r i z 环的概念，并运用不同的环扩张的方法，构 造出了许多1 2 一a r m e n d a r i z 环的例子证明了多项式环r x 】与l a u r e n t 多项式环尺p ；z 。】满足1 2 一a r m e n d a r i z 条件的等价性【4 8 2 0 0 8 年a r n a s r z s f a h a n i 推广了q s k e wa r m e n d a r i z 环与q 一刚环的定义，提出 了s k e wa r m e n d a r i z 环的概念，并以此统一了a r m e n d a r i z 环的相关结论， 探讨了s k e w - a r m e n d a r i z 环r 与它的o r e 扩张环r k ；a ，田之间的关系 7 5 】本文作为对弱a r m e n d a r i z 环与s k e w - a r m e n d a r i z 环的推广，引进了 弱( 口，6 ) 一a r m e n d a r i z 环的定义并证明了： 定理3 3 2 设r 是半交换环，q 是环r 的自同态，6 为口一导子如 多项式扩张及广义幂级数环模 3 果r 是弱( q ，6 ) 一相容环，那么环r 是弱( q ，6 ) a r m e n d a r i z 环 定理3 3 8 设r 是弱( q ，6 ) 一相容环如果r m 是半交换环，那么 月m 是弱( 石，- ) 一a r m e n d a r i z 环 为了深入研究约化环的相关性质，k r e m p a 【5 8 1 引进了q 一刚环的定 义：环r 的自同态o t 称为是刚的如果对任意a r ，o q ( n ) = 0 号n = 0 环冗称为q 一刚环如果环r 中存在q 一刚同态显然环的刚同态是单 同态，口一刚环必是约化环k r e m p a 【5 8 ，c y h o n g 4 a 】和h i r a n o 【4 0 】对 o t 一刚环做了大量的研究工作，得到了一系列好的结果作为对q 一刚 环的推广，本文引进了弱q 一刚环的定义，探讨了弱q 一刚环的性质作 为对口一s k e wa r m e n d a r i z 环的推广，本文引进了弱a s k e wa r m e n d a r i z 环的定义，并讨论了弱口一刚环与弱q s k e wa r m e n d a r i z 环之间的关 系我们主要证明了： 定理4 3 3 设兄是弱q 刚环，且n i l ( r ) 是环r 的理想，那么环兄 是弱q s k e wa r m e n d a r i z 环 定理4 3 7 设环r 是弱甜刚的半交换环，那么r 吲是弱a s k e w a r m e n d a r i z 环 n h m c c o y 首先证明了这么一个事实：如果环r 是交换环，且多 项式f ( x ) 是多项式环r x 1 的零因子，那么存在环r 中的非零元素r 使 得f ( m ) r = 0 【7 2 1 p p n i e l s o n 以此为基础，在2 0 0 0 年提出了m c c o y 环的 定义，并证明了可逆环是m c c o y 环，但m c c o y 环不一定是可逆环 7 6 】 由于约化环，交换环，对称环等都是可逆环，由此可知m c c o y 环是一个 很大的环类2 0 0 7 年z h i l i n gy i n g 等人和l e iz h e n 分别对m c c o y 环的扩 张进行了讨论，证明了环r 是m c c o y 环当且仅当n x l 是m c c o y 环【9 5 】 2 0 0 8 年宋雪梅对幺半群m ，首先引进了相对于幺半群的m m c c o y 环 的概念，给出了环r 是m m c c o y 环的几个充分条件本文继续研究 m c c o y 环对环r 的自同态q ，我们首先引进了q m c c o y 环的概念当 q = 如为环r 的恒等同态时，所有的m c c o y 环都是i n m c c o y 环同 4博士学位论文 时我们给出了是o t m c c o y 环但不是m c c o y 环的例子，说明q m c c o y 环 是m c c o y 环的真推广同时证明了如果环r 是q 一相容环，那么当r 是可逆环时，r 必是a m c c o y 环，从而p p n i e l s o n 【7 6 】的结果可以看 做是这个结论的推论，推广了p p n i e l s o n 7 6 】的结果另一方面，我们 引进了弱m c c o y 环的概念，探讨了环的弱m c c o y 性质，研究了环的弱 m c c o y 性质在环的o r e 扩张中的保持问题我们的主要结论是： 定理5 2 6 q 是环r 的自同态，且环r 是口相容环如果环r 是 可逆环，那么环r 是q m c c o y 环 命题5 3 9 设r 是可逆的( q ，6 ) 一相容环，那么剐z ；q ，o q ) 是弱 m c c o y 环当且仅当r 是弱m c c o y 环 1 9 7 6 年z e l m a n o w i t z 最先提出了z i p 环的概念，并证明了右零化子 满足降链条件的环必是右z i p 环，但反过来不一定成立 9 6 1 紧接着c f a i t h 【2 8 】，f c e d o 【1 6 ，s u c h a s e 【1 7 ，a w c h a t t e r 【1 8 】与w e c l a r k 2 3 】等人从不同角度对z i p 环做了多方面的研究工作b e a c h y 与b l a i r 探讨了z i p 环的扩张性质，证明了如果环兄是交换z i p 环，那么环r 上 的多项式环r x 1 也是z i p 环【8 】2 0 0 5 年，c y h o n g 等人进一步证明了 当环r 是a r m e n d a r i z 环时，环r 是z i p 环当且仅当r x 】是z i p 环【4 5 】 2 0 0 8 年w a n g e rc o r t e s 研究了z i p 环的s k e w 多项式扩张，证明了如果环 兄是口一s k e wa r m e n d a r i z 环，则r 是右( 左) z i p 环当且仅当捌z ；o t 】是右 ( 左) z i p 环，当且仅当r x ，x - i ；a 】是右( 左) z i p 环 9 1 】本文中我们推广 了z i p 环的概念，引进了弱z i p 环的定义，探讨了环的弱z i p 性质与弱 z i p 环的o r e 扩张主要结论如下： 命题6 2 8 设r 是半交换环，那么环r 是弱z i p 环当且仅当r x 】 是弱z i p 环 定理6 2 1 3 设r 是可逆的( q ，6 ) 一相容环，则下列条件等价： ( 1 ) r 是弱z i p 环 ( 2 ) s = 冗p ；o t ，卅是弱z i p 环 多项式扩张及广义幂级数环模 5 对b a e r 环和p p 环的研究，始于上个世纪六十年代【2 7 】在上个世 纪七十年代将b a e r 环推广到q u a s i - b a e r 环，这是一种比b a e r 环意义更 广泛的环【7 ，9 ，1 0 到2 0 0 0 年，g r a gf b i r k e n m e i e r 等人将q u a s i b a e r 环推 广到p r i n c i p a l l yq u a s i b a e r 环【1 4 】在对b a e r 环的研究中，环的b a e r 性质， q u a s i b a e r 性质，p p 一性质在环的一系列多项式扩张中的保持问题占着 重要地位，w e c l a r k ，i k a p l a n s k y , e p a r m e n d a r i z ，g f b i r k e n m e i e r 等 人在这方面做了许多工作，取得了许多突出的成果【1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 ，2 3 ，5 2 1 国内学者在b a e r 环方面研究成果最多的是刘仲奎他着重研究了广 义幂级数环的b a e r 性质并得到了一系列好的结论【6 8 ，9 7 ，9 8 b a e r 环 的研究一直是一个热点问题，引起许多学者的关注 在h i g m a n 以r 中的元素为系数，偏序幺半群( s ，) 中元素为指 数推广了幂级数，并由此构造出了广义幂级数环a = 【冗s 】之后， 由于环r 和偏序幺半群s 的丰富可选性，人们利用这一方式获得了 许多令人感兴趣的新的环类：如胆】，【 z q ，】，【z r ，】，等这些形 形色色的广义幂级数环的基本特征以及它们与环r ，偏序幺半群s 之间的关系已成为人们研究的一个热点问题由于p a u l or i b e n b i o n ， b r o o k f i c l d ，刘仲奎等人对广义幂级数环的深入研究，目前对广义幂级 数环的n o e t h e r i a n 性质，分解性质、b a e r 性质以及p p 一性质、r e g u l a r 性质等性质有了比较清楚的认识【8 0 ，8 1 ，8 2 ，8 3 ，9 7 ，9 8 ，9 9 ，1 0 0 ，1 0 1 但对 广义幂级数环上形式三角矩阵环与广义幂级数环的g r o t h e n d i e c k 群的 研究，目前还很少有这方面的文献由于幂级数环是特殊的广义幂级 数