（基础数学专业论文）加倍测度的若干性质.pdf

d - n l_ b o m ep r o p e r t i e so id o u b l i n 2m e a s u r e s a t h e s i ss u b m i t t e df o rt h ed e g r e eo fm a s t e r c a n d i d a t e ：f uw e n ji a o s u p e r v i s o r ：p r o f w e ns h e n g y o u h u b e i u n i v e r s i t y w u h a n ，c h i n a 论文作者签名：付文听 日期：2 0 l o 年乡月日 明 进行研 本论文 文的研 本人完 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服 务；学校可以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文； 在不以赢利为目的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容。( 保 密论文在解密后遵守此规定) 作者签名：街爻奸 指导教师签名：友f c jz 么 b 觏：功 d 冬6 迫2 日 日期：z oio 占歹 摘要 测度是分形几何研究的核心部分，是分形这一支数学分支中最重要的工具及 研究对象之一测度是把集合数值化的一种方法，它使“部分和 的原理得到了应 用这样，如果用一种合理的方法将一个集合分成有限个或可数个部分，那么整个 集合的测度就是这些部分的测度之和自从1 8 9 5 年b o r e l 将测度作为度量集合大 小的一个工具以来，人们就尝试着在不同的集合和空间上构造各式各样的测度， 尤其在度量空间上，人们利用度量性质定义了许多测度度量空间给了加倍测度 后，很多数学分析中的定理和性质就可以更一般化，可以应用到各种空间为了 进一步研究加倍测度，我们需要深刻理解加倍测度的定义与性质，特别是在不同 维空间上的加倍测度的定义 本文主要探讨了加倍测度的定义和相关性质。全文共分三个部分：第一部分， 我们概括地介绍了前人所做的工作，并由此引出本文所考虑的主要问题第二部 分，我们给出了本文的主要结论，把加倍测度的定义从一维实直线上推广到高维 空间，然后给出了加倍测度的一些性质第三部分，我们证明了本文的主要结论 关键词：加倍测度；拟对称映射；拟对称瘦集；拟对称肥集 a b s t r a c t m e a s u r ei st h ec o r ep a r to ft h ef r a c t a lg e o m e t r y i ti sa no b j e c ta sw e l la so n eo f t h em o s ti m p o r t a n tt o o li nt h es t u d yf r a c t a lm a t h e m a t i c s m e a s u r ep r e s e n t sa w a yt o q u a n t i f ya s e ts ot h a t ”p a r ts u m ”p r i n c i p l eh a sb e e n a p p l i e d i fa s e ti sd i v i d e di n t oa f i n i t en u m b e ro fs u b s e t si nar e a s o n a b l ew a y , t h e nt h ew h o l em e a s u r eo ft h es e ti st h e s u mo fm e a s u r e so ft h e s ep a r t s s i n c e1 8 9 5 ，b o r e li n t r o d u c e dh i sm e a s u r ea sat o o lt o m e a s u r es e t s ，p e o p l eh a v et r i e dt oc o n s t r u c tv a r i o u sm e a s u r e si nd i f f e r e n ts e t sa n d s p a c e s ，e s p e c i a l l yi nt h em e t r i cs p a c e ，p e o p l eh a v ed e f i n e dal o to fm e a s u r e si nt e r m s o ft h em e t r i cp r o p e r t i e s o n c ead o u b l i n gm e a s u r ei sd e f i n e do nam e t r i cs p a c e ，m a n y i m p o r t a n tt h e o r e m si nm a t h e m a t i c a la n a l y s i sc a nb ee x t e n d e dt ot h em o r eg e n e r a l s e t t i n g , w h i c hi su s e f u li ns t u d y i n gv a r i o u ss p a c e s t of u r t h e rs t u d yt h ed o u b l i n g m e a s u r e ，w en e e dt od e e p l yu n d e r s t a n dt h ed e f i n i t i o na n dp r o p e r t i e so ft h ed o u b l i n g m e a s u r e si ns p a c eo fv a r i o u sd i m e n s i o n s i nt h i sp a p e f ，w ed i s c u s st h ed e f i n i t i o na n dp r o p e r t i e so fd o u b l i n gm e a s u r e s i t c o n t a i n st h r e ep a r t s i np a r to n e ，w es u m m a r i z et h ew o r k sd o n eb yf o r m e rr e s e a r c h e r s t h e n ，w ed r a wf o r t ht h ep r o b l e m sw ew i l ld i s c u s s i np a r tt w o ，w es h o wt h em a i n r e s u l t so ft h i sp a p e r s i m i l a rt ot h ed e f i n i t i o no fd o u b l i n gm e a s u r eo nr e a ll i n e ，w e d e f i n et h ed o u b l i n gm e a s u r eo nh i g h e rd i m e n s i o n a le u c l i ds p a c e i np a r tt h r e e ，w e g i v et h ep r o o f o ft h em a i nt h e o r e m k e y w o r d s ：d o u b l i n gm e a s u r e ；q u a s i s y m m e t r i cm a p p i n g ；q u a s i s y m m e t r i ct h i ns e t ： q u a s i s y m m e t r i ct h i c ks e t n 目录 第一章绪论1 第二章预备知识及本文主要结论2 2 1 加倍测度的定义和基本性质2 2 2r “上的加倍测度5 2 3r 1 上的加倍测度8 2 4r 4 上关于一般集加倍的测度1 0 第三章主要结论的证明1 3 参考文献1 5 致谢1 6 i i i 第一章绪论 第一章绪论 测度是分形几何研究的核心部分，是分形这一支数学分支中最重要的工具及研究对 象之一，它以自身特有的方式反映分形的特征测度是把集合数值化的一种方法，它使 “部分和”的原理得到了应用这样，如果用一种合理的方法将一个集合分成有限个或可 数个部分，那么整个集合的测度就是这些部分的测度之和，测度还被通俗的认为是一种 “质量分布”或“负荷分布自从1 8 9 5 年b o r e l 将测度作为度量集合大小的一个工具 以来，人们就尝试着在不同的集合和空间上构造各式各样的测度，尤其在度量空间上，人 们利用度量性质定义了许多测度以c a r a t h e o d o r y 构造为基础建立的h a u s d r o f f i 贝l j 度与维 数可以定义在任何集合上，特别对不规则的分形集的研究h a u s d r o f f 测度具有重要的作 用 此外，在利用测度度量几何对象时需要用维数作为测量的“尺度在研究经典集 合对象时人们总是采用整维数但是，在分形集上，h a u s d r o f f 将传统的维数概念通过覆盖 的方式推广到一般的非负实数现阶段关于分形的研究中，h a u s d r o f f 维数具有如下意义： 测度几何对象适当的尺度和充斥空间的能力因而h a u s d r o f f 具有极为重要的作用，并且 目前对于维数的研究结果也是比较丰富和深入的【l j 加倍测度的出现与定义在复平面上单位圆盘映射到自身的拟共形映射有关每个 这样的映射，决定了其单位圆周上的一个同胚，问题是：哪些映射能作为这种拟共形映射 的边界映射? b e u r l i n g 和a h l f o r s 给出了一个著名定理，该定理给出了一个充分必要条 件，即与奇异积分和极大函数有关的一些估计式，就l e b e s g u e 测度的情形来说是调和分 析中的经典结果这些结果可以推广到加倍测度的情形 因此，近几年来加倍测度成为许多学者讨论和研究的新方向为了进一步研究加倍 测度，我们需要深刻理解加倍测度的定义与性质，特别是在不同维空间上的加倍测度的 定义，对其进行对比，给出一般集的加倍测度的定义与性质，同时研究一些特殊集的加倍 测度该工作主要是总结前人已有的基础知识上，再研究一些特殊集，经过认真研究，得 到一些有用的结果 湖北大学硕士学位论文 第二章预备知识及本文主要结论 2 1 加倍测度的定义和基本性质 在欧氏空i 司中，测度满足加倍条件通常是用一些开集( 例如：球和方体等) 来定义的 在本文中，我们借助球和方体来定义加倍测度我们用b ，) ： ys x d ( x ，y ) 0 ， 有0 0 ，对任意z x 和，( 0 ，r o ) ，有p 0 ，2 r ) ) s c p ，) ) 例如：设x - z , 设定肛协) 一l 兰芸，z 测度肛满足条件1 ，但不满足加倍条 件 条件2 ：存在c 苫1 ，对任意z x ，l i m r - - - 0 s u p 笔暑苦等c ，r ，r ，、 例如：集 i ：n s s ) 上的计数测度满足条件2 ，但不满足条件1 条件3 ：对任意x x ，确- l ，i m 。s u p 笔暑丧高芋 1 ( 2 ) 每个孤立点具有正测度，每个聚点具有零测度，s p t ( i z ) 一x ( 3 ) 当x 无界时，有( x ) = ( 4 ) 当o ) 一。时，l 一d 即) ( 5 ) ，e d ( x y ) 证明：( 1 ) 设x ，y x 是不同两点，有 伽o ，掣脚盹掣脚讹掣m 砌，掣) ( 2 ) 设x x 是聚点，则存在点列呻工和数列，：l ，使得色= b 瓴，：1 ) c b ( x ，1 不交且x 2 e ，由此有z x ) = o ( 3 ) 当x 无界时，可作不交球列色使2b , 3b ，故( x ) = ( 5 ) 规定度量l 瓴，y 3 - ( x ：，y ：) i - m a x l x 。- x 2 ，l m - y ：1 ) 这样， 口( o ，y ) ，) tb o ，) 宰b ( y ，) 定理2 1 1 ：若x 上存在加倍测度，则x 是加倍空间反之亦然【3 】 证明：设b ( x ，2 r ) 含n 个两两间距大于( 或等于) r 的点，则2 b 含n 个两两不交的 半径为r 2 的球，因此( 2 b ) ，j c l ( 忍) 苫c n i u ( 2 b ) 反之，并非每个加倍空间上都有加 倍测度，例如有理数做成的子空间 定理2 1 2 ：设x 是完备空间，则( 1 ) x 上的加倍测度是r a d o n 的( 2 ) 若 段) d c ( x ) 的弱木极限局部正有限，则4 ( x ) ( 3 ) x 紧时，d c 僻) n m ( x ) 是m ( x ) 的紧凸子集【3 1 证明：( 1 ) 既然x 上有加倍测度，x 为加倍空间，从而x 可分完备可分空间的上局部 有限b o r e l 正则测度是r a d o n 的 ( 2 ) 完备加倍空间是有界紧空间由弱木收敛的性质得 湖北大学硕士学位论文 肛( ( 2 + 2 e ) b 。) sl i m i n f i “2 + 2 ) 曰。) c l i m s u p 比k ( ( 1 + ) 曰) sc ( ( 1 + e ) b ) 再令呻0 即得口( 2 b ) cj c l ( 2 b ) 定理2 1 3 ：设i = c ：d c ( x ) 乃 为x 的加倍常数集，则( 1 ) 两点空间的加倍常数集 为 2 ， ( 2 ) 若x 完备，则x 的加倍常数集i 为闭集【3 】 证明：( 1 ) 若测度是c 一加倍的，则 删州y 脚( 毗掣肛吼( 毗掣炉劬 腿刖州y 肼因此c - 1 m a x l 【删z ( x ) ，筹卜盯劾此允均铡 度是2 - i j h 倍的 ( 2 ) 不妨设x 上存在加倍测度，证x 上存在i n f i 一加倍测度即可固定球b ( x o ，1 ) cx ， 对每个正整数n ，取i n f i + ! 加倍测度以，使得以b ( x o ，1 ) = 1 这样对紧集k 邮s u n 以( k ) 可不妨设心弱木4 殳敛于j 1 由弱木收敛的性质得再令- 0 即得 a ( 2 b ) si n f i l u ( b ) 还可验证0 c p b ( x ，2 ( 1 一f 皿) ，归纳即可 推论1 ：若是一致完全空间x 上的加倍测度，acx 有界，则任给x 彳， 0 换言之，一致完全的零维 集上不存在加倍测度，完备的一致完全的加倍空间的h a u s d o r f f 维数大于零彤中一致 完全的闭子集的h a u s d o r f f 维数大于零【3 】 4 第二章预备知识及本文主要结论 2 2 r “上的加倍测度 r “中中心x 边长2 r 的方体为q ( x ，r ) 2 兀三。i x , 一，x j + 厂】简记q 0 ；q ( o ，1 2 ) 定义2 2 1 对任意q 有0 2 ，i i 为【0 ，1 r 中k 级n 进方体集若 o , l r 上的概率测度序列 心靖满足条件( 1 ) 心是i r 分片l e b e s g u e 的，( 2 ) 对任意i i i 有心( ，) 一以+ 。( ，) ，( 3 ) 对任意相邻方体i ，j i 。有心( ，) 一心+ ，( ，) ，则 心 弱水收敛于一个加倍测度此 外，【0 ，1 】”上每个概率加倍测度肛都是满足上述条件的分片l e b e s g u e 测度列的弱术极限 证明：定义使得对任意，k 有( ，) - 肛k ( ，) 可唯一扩张为【0 ，1 r 上一个b o r e l 正则测度是加倍的且置弱水收敛于应用定理构造 j l 置时，常以条件( 4 ) 方体 第二章预备知识及本文主要结论 i ，je 1 足相邻同父时有j l 置( ，) s 彳x ( ，) 和( 5 ) 方体i ，je i 置相邻异父时有 置( o z x u ) - 鬈一。( o z 置一l u ) 代替( 3 ) 定理2 2 8 ：设为r “上的规范化( ( q o ) - 1 ) 加倍测度，满足对任意相邻等体二进 方体l ，m 有( l ) s ( 1 + f ) ( m ) ，则存在加倍测度v ，使v 在q o _ l z - 与口恒等，在r “2 0 0 _ l z - 与 i j 恒等，且对任意相邻等体二进方体l ，m 有，犯) s ( 1 + c ) 1 ，( m ) ，其中c 仅依赖于n 证明：取m 为( 2 0 的内部的w h i t n e y 二进方体分解，w o 为q o 的外部的w h i t n e y 二进 方体分解，使得存在多值映射p ：m _ w o 满足： ( 1 ) 对每个q m ，p ( q ) 由w o 中一些与q 边长相等的方体组成， ( 2 ) 在h 中所有与0 边长相等的方体中，q 距p ( q ) 中的方体最近， ( 3 ) 2 q o ( 2 0 2 u 供m p ( q ) 。 ( 4 ) w o 中每个方体至多有一个原像 具体图示这样一个分解m 和设v 在q o 上与恒等，在r “2q 0 上与l e b e s g u e 测 度j 1 恒等在2 q o q o - j = 定xv 使对每个q 嵋及每个b o r e l 集a c p ( q ) 有 v ( a ) 2 眢l 彳i 这样v 为r 4 上一个b o r e l 测度，对每个q 及每个方体j e p ( o ) 有v ( j ) = ( q ) 现在证明v 满足定理要求设l ，m 为边长 0 且对e 的任意两个相邻拷贝有( 肛+ 石，) s ( 1 + f ) ( 旭+ x ：) 记 d ( e ，) 为怛，s ) 一加倍测度的集简记d ( q 。，) 为d 0 ) 【4 】 定理2 4 1 ：设s ( 0 舢，方体q 边长为1 ，是r 4 上局部有限测度，则 f o - s ) q l u ( 1 s e + 工) d xs ( q ) 蚓s f ( 1 删ql u ( 1 s e + 工) a x 1 n 第二章预备知识及本文主要结论 证明：注葸当x ( 卜s ) q 时，l s e + x q 由f u b i n i 定理， 且- j ) qj l ( 砸+ z ) 出4 且卅口正k + x ( y ) d l t ( y ) d x 咆f ( 1 叫口1 z 啦+ 毒( y ) d 埘( y ) 。正厶卅口1 ，一艟( x ) 删) s ，, ( q ) l t s e 因此左不等式成立同理可证右不等式 定理2 4 2 ：d ( e ) 一彩当且仅当i e i o 证明：设f re d ( e ) 若i e l 一0 ，由上面的定理2 4 1 得i t ( 1 s e + 工) 一。对l a e x ( 卜s ) o 成立由e 一加倍性，：有l u ( 1 s e ) 0 ，矛盾! 另一方面，设吲 0 ，则| j d 但) 定理2 4 3 ：若j l 是e 一加倍测度，则对e 的任意拷贝有比( a e + x ) o 定理2 4 4 ：v e 0 ，| 6 0 ) o ，使d ( e ，) cd ( 6 ( e ) ) j | 1 i m ，枷6 ( f ) 一0 换言之，e 一加倍 测度都是方体加倍的：e - 力i ：i 倍测度的加倍常数很小时，它的方体加倍常数也很小 证明：设i te d ( e ，) ，s ( 0 山，q 。，q ：为q o 的两个边长1 0 的相邻拷贝由定理 2 4 1 ，存在五e ( i + s ) q 1 和x 2e ( 1 - s ) q 2 使 怒sf+=，o丽,g(1se+x)dxs ( 等) 4 i t ( i s e 丽+ x 1 ) ； ( q 2 ) l - s ) q ：p ( 厶层+ 工) 出 、1 一s g ( 1 s e + 工2 ) 因为l z ，一x ：is ( 2 + s ) v 石m n ，由的仁，) 一加倍性质， 怒s ( 等h 一 其中七一【( 2 + s ) i s + 1 因此j c l 是方体加倍测度 推论：d ( e ，0 ) 一 c i 1 ：c 吣，即对一个l e b e s g u e 正测集e 的各种拷贝平移不变的局部 有限测度是l e b e s g u e 测度的倍数 自然会问：e 满足什么条件时，方体加倍测度是e 一加倍测度? 下面讨论这个问题，为 此引入集e 的如下性质 层：任给占 0 ，存在6 0 ，使d ( ) cd ( e ，6 ) 罡：任给 0 ，存在6 o ，使d ) cd ( e ，) e p 1 即一方体加倍测度都是e - j j i 倍的且其e 一加倍常数一致有界e p 即加倍 湖北大学硕士学位论文 常数充分小的方体加倍测度都是( e ，) 一加倍的 记d 。 ) 一缸d ( s ) ：j c ( q 。) ；n ，称为规范化f 一加倍测度集记 蛳，- m s u p 黜- m s u p 器 定理1 ：( 1 ) e 号当且仅当对任意占 0 有a ( e ，) 0 有a ( e ，) 0 ，存在6 o ，使d ( c e ) c d ( e ，6 ) 任给以，肛2 日 ) ， 按定理2 4 1 修正之得到4 ，：q ( c f ) ，有 地。盟丝! ! 墨! 丝! 墨兰s ( 1 + 6 ) s z 2 ( e ) 忘( e ) 盒( e + 3 ) j c ：( e ) 因此，a ( e ，e ) 0 有饵，) 0 ，存在6 o ，使d ( c 6 ) c d ( e ，) 任给以，2 q ) ，按 定理2 4 1 修正之得到厶，反d l ( c 6 ) ，有 盟趔。竺! l 墨! 丝2 1 墨兰! ( 1 + f ) s ：但) 应但) 盎但+ 3 ) 忘陋) 这表明a ( e ，e ) 1 给定d o ) ，对e 的两个相邻拷贝 1 3 湖北大学硕士学位论文 置埘坼2 ，有器s 掣因此e e 日 定理3 ：若e 为开集且i 征i 。0 ，则e 昱 证明：用l 表示含于e 的k 级二进方体的并，则厶te 用以表示与e 相交但不含于 e 的k 级二进方体的并，则，。i 咂设, u ed 1 ( 6 ) ，则对任意两个方体q c q ，后者边长为 前者的两倍，有 2 “( 1 + 6 ) 吼( q ) s ( q ) s2 “( 1 + 6 ) 吼肛( q ) 因此，任给 0 ，当6 充分小时有丁( q ) ( q ) ( 1 一s ，l + e ) 迭代得，对任意k 级二 进方体q 有 参考文献 参考文献 【1 】j m w u h a u s d o r f fd i m e n s i o na n dd o u b l i n gm e a s u r e so nm e t r i cs p a c e s p r o c a m e l m a t h s o c ，1 9 9 8 ，1 2 6 ：1 4 5 3 - 1 4 5 9 【2 】2 八lv o l b e r ga n ds vk o n y a g i n o nm e a s u r e sw i t ht h ed o u b l i n gc o n d i t i o n m a t h u s s r - i z v , 1 9 8 8 ，3 0 ：6 2 9 - 6 3 8 【3 】3 j l u u k k a i n e na n de s a k s m a n e v e r yc o m p l e t ed o u b l i n gm e t r i cs p a c ec a r r i e sad o u b l i n g m e a s u r e p r o c a m e lm a t h s o c ，1 9 9 8 ，1 2 6 ：5 31 5 3 4 【4 】4s m b u c k l e y , b h a n s o na n dpm a c r n a n u s d o u b l i n gf o rg e n e r a ls e t s m a t h s c a n d ， 2 0 0 1 ，8 8 ：2 2 9 - 2 4 5 【5 】kl f a l c o n e r t h eg e o m e t r yo ff r a c t a ls e t s ，c a m b r i d g eu n i v p r e s s 1 9 8 5 【6 】r k a u f m a na n dj m w u t w op r o b l e m so nd o u b l i n gm e a s u r e r e v m a t h 1 b e r o a m e r i c a n a , 1 9 9 5 ，1 1 ：5 2 7 - 5 4 5 【7 】e s a k s m a n r e m a r k so nt h en o n e x i s t e n c eo fd o u b l i n gm e a s u r e s a n n a c a d s c i f e n n m a t h ，1 9 9 9 ，2 4 ：1 5 5 - 1 6 3 【8 】e b o r e l s u