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哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 具有对称性的双正交元的存在性 及其相关问题的研究 摘要 在欧氏几何理论中，正交是一个非常重要的基本概念，其作用体现在许多 基本理论中。在赋范空间几何学的研究中，一个潜在的主题就是在更为一般的 空间中寻找一个新的概念来替代欧式空间中的正交性。随着赋范空间几何学的 发展，许多学者在一般的赋范空间中引入了广义正交的概念。然而对广义正交 性之间关系的研究通常是定性的，只是关注两种正交性之间是否有差异，而对 于不同的广义正交性之间差异的大小以及这种差异大小对于空间几何性质产生 的影响的研究相对较少。 本文主要对经典的二维赋范线性空间中具有对称性的双正交元的存在性质 进行了研究，这里的双正交元是指既b i r k h o f f 正交又等腰正交的元，并且结合 刻画等腰正交和b i r k h o f f 正交性之间量化差异的几何常数的一些重要理论，研 究了双正交元的特征性质，从而得到了一些新的结论。 首先，介绍了内积空间的基本知识，b i r k h o f f 正交和等腰正交的基本知识 及其特征性质，总结了以前的主要研究成果，并且展示了所要讨论的内容及相 关背景和意义。 其次，讨论了经典赋范空间中b i r k h o f f 正交和等腰正交的情况。同时，还 结合经典赋范空间的一些重要理论，得到了满足b i r k h o f f 正交和等腰正交的条 件。另外，本文还给出了一些相关定义，得到了一些基本结果。 最后，证明了在一些经典赋范空间中对称性的双正交元存在。 关键词b i r k h o f f 正交；等腰正交；双正交元；对称 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 r e s e a r c ho np r o b l e m sr e l a t e dt ot h ee x i s t e n c eo f s y m m e t r i cbi o r t h o g o n a le l e m e n t s a b s t r a c t i ne u c l i d e a ng e o m e t r yt h e o r y , o r t h o g o n a l i t yi sav e r yi m p o r t a n ta n db a s i c c o n c e p ti nm a n yf u n d a m e n t a lt h e o r i e s d u r i n gs t u d y i n gt h eg e o m e t r yo fn o r m e d s p a c e s ，ap o t e n t i a ls u b j e c ti sl o o k i n gf o ran e wc o n c e p ti nm o r eg e n e r a ls p a c e st o r e p l a c et h ec o n c e p to fo r t h o g o n a l i t yi ne u c l i d e a ns p a c e w i 廿lt h ed e v e l o p m e n to ft h e g e o m e t r yo fn o r m e ds p a c e s ，m a n ys c h o l a r si n t r o d u c e dt h ec o n c e p to fg e n e r a l i z e d o r t h o g o n a l i t i e si ng e n e r a ln o r m e ds p a c e s h o w e v e r ，t h er e s e a r c h e sa b o u tt h e r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n g e n e r a l i z e do r t h o g o n a l i t i e su s u a l l y a r e q u a l i t a t i v e ，t h e d i f f e r e n c e sb e t w e e nt w og e n e r a l i z e d o r t h o g o n a l i t i e si so n l yc o n c e m e d ，b u th o w d i f f e r e n tb e t w e e nt h ed i f f e r e n tg e n e r a l i z e do r t h o g o n a li t i e sa n dt h e i ri n f l u e n c eo nt h e g e o m e t r yo fs p a c e sa r er a r e l ys t u d i e d i nt h i sp a p e r , t h ee x i s t e n c eo f s y m m e t r i cb i o r t h o g o n a le l e m e n t si nc l a s s i c a lt w o d i m e n s i o n a ln o r m e dl i n e a rs p a c e si sm a i n l ys t u d i e d ，w h e r et h eb i o r t h o g o n a le l e m e n t s a r et h ee l e m e n t sw h i c ha r eb o t hb i r k h o f f o r t h o g o n a la n di s o s c e l e so r t h o g o n a i a n d c o m b i n i n gw i t hs o m ei m p o r t a n tt h e o r i e so ft h eg e o m e t r i cc o n s t a n t sw h i c hp o r t r a i t t h e q u a n t i t y d i f f e r e n c eb e t w e e nb i r k h o f f o r t h o g o n a l i t ya n dt h ei s o s c e l e s o r t h o g o n a l i t y , t h ec h a r a c t e r i z a t i o n so fb i o r t h o g o n a le l e m e n t sa r es t u d i e d ，t h e ns o m e n e wc o n c l u s i o n sa r eo b t a i n e d f i r s to fa l l ，s o m eb a s i ck n o w l e d g eo ft h ei n n e rp r o d u c ts p a c e ，b a s i ck n o w l e d g e a n dc h a r a c t e r i z a t i o n so fb i r k h o f fo r t h o g o n a l i t ya n dt h ei s o s c e l e so a h o g o n a l i t ya r e i n t r o d u c e d ，m a i nr e s u l t so fp r e v i o u ss t u d i e sa r es u m m a r i e d ，a n dt h er e l e v a n t b a c k g r o u n da n ds i g n i f i c a n c eo f t h er e s u l t si nt h i sp a p e ra r ed e m o n s t r a t e d s e c o n d ，b i r k h o f fo r t h o g o n a l i t ya n dt h ei s o s c e l e so r t h o g o n a l i t ya r ed i s c u s s e di n c l a s s i c a ln o r m e ds p a c e s a tt h es a m et i m e b a s e do ns o m ei m p o r t a n tr e s u l t si n c l a s s i c a ln o r m e ds p a c e s s o m es u f i i c i e n tc o n d i t i o n sf o rb i r k h o f l fo a h o g o n a l i t ya n d t h ei s o s c e l e so r t h o g o n a l i t ya r eo b t a i n e d i na d d i t i o n ，b yi n t r o d u c i n gs o m er e l e v a n t 哈尔滨理工大学理学硕上学位论文 d e f i n i t i o n sw eg e ts o m eb a s i cr e s u l t s f i n a ll y , t h ee x i s t e n c eo fs y m m e t r yb i o r t h o g o n a le l e m e n t si ns o m ec l a s s i c a l n o r m e ds p a c e si sp r o v e d k e y w o r d s b i r k h o f fo r t h o g o n a l i t y , i s o s c e l e so r t h o g o n a l i t y , b i o r h o g o n a l ，s y m m e t r y i i i 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文具有对称性的双正交元的存 在性及其相关问题的研究，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士 学位期间独立进行研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分 外不包含他人已发表或撰写过的研究成果。对本文研究工作做出贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名：韩莺日期：莎秽年月叫日 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 具有对称性的双正交元的存在性及其相关问题的研究系本人在哈尔滨 理工大学攻读硕士学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究 成果归哈尔滨理工大学所有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。 本人完全了解哈尔滨理工大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留 并向有关部门提交论文和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨 理工大学可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文，可以公布论文的全部 或部分内容。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用授权书。 f 不保密叼。 ( 请在以上相应方框内打4 ) 作者签名： 导师签名：彳列7 日期跏d 夕年刁月刁日 日期：加刁年夥月罚日 哈尔滨理工大学珲学硕上学位论文 1 1 课题背景 第1 章绪论 正交性的概念在欧氏几何中扮演着一个很基本的角色，这个概念不仅仅出 现在欧几里德的第四公设中( 即所有的直角都相同) ，它在欧氏几何的一些基 本定理如勾股定理( 毕达哥拉斯定理) 中也起着很重要的作用。在赋范空间几 何学的研究中，一个潜在的主题就是在更为一般的空间中寻找一个新的概念来 代替欧氏空间中的正交性，从2 0 世纪开始到现在许多新的正交的概念被提出 来，我们接下来要考虑的b i r k h o f f 正交、等腰正交是这些概念中最为重要的两 种。 1 2 内积空间的基本知识和特征性质 设日是域k 上的线性空间，对任意x , y 日，有一个k 中数( x ，力与之对 应，使得对任意x , y ，z 日，口k 满足： ( 1 ) ( 五x ) 0 ；( x ，x ) = 0 当且仪当x = 0 ； ( 2 ) ( x ，y ) = ( j ，x ) ； ( 3 ) ( a x ，j ，) = a ( x ，y ) ； ( 4 ) ( x + y ，z ) = ( x ，z ) + ( y ，z ) 。 称( ，) 是日上的一个内积，日上定义了内积称为内积空间。 从定义可以看出，内积( x ，y ) 对于每一y h 是日上的一个线性泛函：当 k = c 时，对于每一x h ，( x ，y ) 是何上的一个共轭线性泛函，即它是可加 的，并且是共轭齐次的，( x ，o t y ) = a ( x ，y ) 。 定理1 1 ( s c h w a r z 不等式) 设日是内积空间，则对任意五y h ，有 i ( x ，y ) l ( 毛x ) ( y ，y ) 设h 是内积空间，对任意x h ，令l l x l l = ( x ，x ) ，则i | i i 是日上的一个范 数。事实上，由s c h w a r z 不等式有： 8 x + j ，i i z = ( x + y ，x + y ) = ( x + y ，工) + ( x + y ，y ) s0 x + y l l l n i + i i x + y l l l l y l i m 此i i x + y j l i i x l i 则称x b i r k h o f r 正交于y ，记为x 上。y 。 可以从两种角度来理解上面的定义： 第一，x 到j ，所在的直线的距离大于，也就是说0 是x 在s p a n y ) 上的 最佳逼近元； 第二，直线x + 口y 在点x 处和球面 z ：z x ，i i z l l = i i x l l ) 相切，或者说，直线 哈尔滨理工大学瑁学硕上学位论文 x + c t yq ! e x 点支撑球面 z ：z x ，1 1 = 1 1 = i l x l l ) 。 基于第二种理解，可以给出赋范线性空间中两个元b i r k h o f f 正交的充分条 件： 定理1 5 【习设x 是一赋范线性空间，x , y x ，则x 上8y 当且仅当存在线 性泛函厂，满足 i s ( x ) l ：l l s l ll l x l i 并且厂( y ) = 0 。 根据h a h n b a n a c h 定理，对于任意非0 元，总存在线性泛函厂，满足 i s ( x ) l = l l s l l l l x l i ，根据上面的定理容易有工上矗k e r ( f ) ，这同时说明了对于任意元 x 总存在y x 使得x 上。y 。 关于b i r k h o f f 正交的存在性，我们有如下结论： 定理1 6 l s l 2 7 0 设x 是一个赋范线性空间，则 ( 1 ) 对于x 中的任意两个元x 和少，总存在数口使得xj - 8o t x + y 。如果 xk 血+ y 并且xk b x + y ，则对于彳和b 之间的任意一个数口都有 xl _ 县c t x + y 成立。 ( 2 ) 对于x 中的任意的两个元x 和y ，总存在数口使得c t x + y 上bx 。如果 a x + ykx 并且b x + ylx ，则对于彳和b 之间的任意一个数口都有 c t x + y lx 成立。 上面的定理同时说明，对于给定的元x ，y ，满足条件x 上。c t x + y 或 o r x + y l 。x 的数口并不一定是唯一的。因此对于b i r k h o f f 正交性而言，存在左 唯一和右唯一的概念。 称b i r k h o f f 正交是左唯一的是指对于任意两个元工( 0 ) 和y ，满足条件 口工+ y 上。x 的数口都是唯一的；称b i r k h o f f 正交是右唯一的是指对于任意两个 元x ( o ) 和y ，满足条件x 上8a x + y 的数口都是唯一的。 定理1 7 t 5 1 2 7 4 设x 是一个赋范线性空间，则 ( 1 ) b i r k h o f f 正交在x 中是右唯一的或者是可加的当且仅当x 的范数在每 一个非0 点都是g a t e a u x 可微的，即x 是光滑的。 ( 2 ) b i r k h o f f 正交在x 中是左唯一的当且仅当x 是严格凸的。 前面提到过，对于给定的元x 一定存在某个过原点的超平面日，使得 x 上8 日，但是对于某个给定的超平面日是却不一定有某个元x 使得x 上。日。 定理1 8 【5 1 2 对任何一个过原点的超平面日都存在某个元x 使得x 上。h 的 充分必要条件是对于x 上的任意一个线性泛函厂，总存在使得 s ( x o ) ：l l s l l l l x o l l 哈尔滨理工大学理学硕上学位论文 上面的定理也可以表述为： 定理1 9 【5 j 2 7 睨8 7 对任何一个过原点的超平面h 都存在某个元x 使得x 上。日 的充分必要条件是x 是自反的。 b i r k h o f f 正交的另外一个重要的性质是它不具有对称性，也就是说对于满 足条件x 上。y 的两个元x ，j ，不一定满足y 上bx 。 定理1 1 0 5 2 s 2 三维或三维以上赋范线性空间上的b i r k h o f f 正交是对称的当 且仅当空间是内积空间。 定理1 1 l t 6 j 设x 是一个赋范线性空间，d i m 似) 2 ，下列事实彼此等价： ( 1 ) 任袁：甜，s ( x ) ，( u + 1 ，) 上口( 一1 ，) ； ( 2 ) 任瓤y 吼( h 揣舭小一丽i l x l l 办 ( 3 ) 任意y x ，o + 口y ) k ( x - a y ) jl i x l l = l a l l l y l l ； ( 4 ) 任意甜，1 ，s ( x ) ，“上占， + v ) b 似一，) ； ( 5 ) 任意甜，1 ，s ( x ) ，存在c 0 ，即上bvj ( u + c v ) 上b ( u - v ) ( 6 ) 任意”，1 ，s ( x ) ，材上占，ji l u + v l i 2 ( 7 ) 任意，s ( x ) ，以k ，i i , + v l i _ 2 ； ( 8 ) 任意二维子空间mcx ，存在t l ( m ，m ) ，t 0 ，xk a ，任意 x em ： ( 9 ) 彳是内积空间。 定理1 1 2 【6 1 1 6 4 设x 是一个赋范线性空间，d i m ( x ) 3 ，下列事实彼此等 价： ( 1 ) 任意，1 ，s ( x ) ，材上口1 ，= v 上占甜； ( 2 ) 任意x , y ，z x ，x 上县z ，yk zj o + y ) 上占z ； ( 3 ) 任意过原点的超平面日，存在甜s ( x ) ，hk 砧； ( 4 ) 任意甜s ( x ) ，存在过原点的超平面日，hk “； ( 5 ) 存在x 的稠子集彳，任意x ，y a ，xkz ，y 上占zj + j ，) l z ； ( 6 ) 存在s ( x ) 的稠子集r ，任意r ，存在甜s ( x ) ，k e r ( f ) b 甜； ( 7 ) x 上的b i r k h o f r 正交是对称的； ( 8 ) x 是内积空间。 虽然赋范线性空间上的b i r k h o f f 正交一般是不对称的，但是对于任意一个 m i n k o w s k i 平面( 实二维赋范线性空间) ，至少存在一对互相b i r k h o 旺交的单 位向量，我们称互相b i r k h o f 旺交的一对单位向量为单位圆的一对共轭直径。 定理1 1 3 t 7 】任何一个m i n k o w s k i 平面的单位圆都存在一对共轭直径，并且 哈尔滨理工大学珲学硕上学位论文 可以选出一对共轭直径使得他们都是单位球面的端点。 有两种不同的方法寻找共轭直径。其一是考虑单位网的最大的内接平行四 边形，其二是考虑单位圆的最小的外接平行四边形，这些平行四边形和单位圆 的交点就构成了单位圆的一对共轭直径，而且使用这两种方法所得到的共轭直 径一般是不同的。事实上，任何单位圆至少存在两对不同的共轭直径。 与b i r k h o f 旺交对称性有关的另外一个概念是r a d o n 曲线。如果一个m i n k o w s k i 平面上的b i r k h o f 旺交是对称的，那么我们称这个m i n k o w s k i 平面的单位圆 是一条r a d o n 曲线l 川。r a d o n 于1 9 1 6 年引入了这个概念，b i r k h o f f 4 1 1 7 0 独立地发 现和构造了r a d o n 曲线，r c j a m e s 5 肼和m m d a y 9 分别叙述 r a d o n 曲线的 构造方法。 最典型的r a n d o n 曲线的例子是，。范数，其中p ，q 是一对共轭数，这个范 数在平面的第一和第三象限取p 范数，在第二和第四象限取q 范数。 下面是关于r a d o n 曲线的一些有趣的结论【1 0 l ： ( 1 ) 正2 力边形是r a d o n 曲线当且仅当刀是奇数，例如仿射正6 边形就是r a d o n 曲线。 ( 2 ) 一个m i n k o w s k i 平面的单位圆是严格凸的r a d o n 曲线当且仅当对于它的 任何一个闭凸子集，最近点映射是非扩张的。 ( 3 ) 如果一个m i n k o w s k i 平面的单位圆是r a d o n 曲线，那么它的单位圆的周 长大于等于6 且小于等于2 1 r ，单位圆周长为6 当且仅当它是仿射正六边形，周 长为2 万当且仅当空间是h i l b e r t 空间。 ( 4 ) r a d o n 曲线在可逆的线性变换下的像仍然是r a d o n 曲线。 还有一些关于r a d o n 曲线的其它方面的研究 1 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 1 。 j o l y 在19 6 9 年提出了矩形( r e c t a n g u l a r ) 常数 伍) = s u p 趾i i + h ) l l z + y 1 1 ) x 1 b y 的概念，并且指出，( e ) = 2 时，空间的b i r k h o 脏交是对称的【”】。m d r i o 和c b e n i t e z 证明了如果一个实二维赋范线性空间的矩形常数( e ) = 2 ，那么这 个空间是内积空吲1 6 】。 b i r k h o f 旺交是各种正交性中最重要且被研究最多的正交性，它在广义逆 矩阵论，非欧式空间中的最佳逼近等理论中发挥着越来越重要的作用 1 7 , 1 5 , 1 9 郐】。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 1 4 等腰正交的基本概念和性质 欧氏空问的正交性所具有的另外两个性质分别是“垂直平分线上的点到线 段两端距离相等”，“等腰三角形底边上的中线和底边垂直”。根据前者，r o b c r t s 提出了r o b e r t s 正交的概念。 定义1 2 t 2 1 】设x 是一个赋范线性空间，五y x ，如果对任意k r 它们满 足忙+ 砂i | _ 肛一砂i i ，则讯r o b e r t s i e 3 盱y 。记为xk y 。 r o b e r t s 正交是一个很强的概念，可以证明两个r o b e r t s 正交的元一定是b i r - k h o 旺交的，同时很容易说明r o b e r t s 正交也一定蕴含着我们接下来提到的等 腰正交的概念。 在平面几何中平行四边形的对角线相等当且仅当该平行四边形是矩形。根 据这个背景r c j a m e s 指出存在一类特殊的空间，这个空间中任意两个r o b e r t s 正交的元，其中一个必须是0 t 2 2 1 。有鉴于此，j a m e s 提出了下面的等腰正交的概 念。 定义1 3 【2 2 】雠设x 是一个赋范线性空间，五y x ，如果它们满足 l i x + y l l - - i i x - y l l 则称x 等腰正交( 或j a m e s 正交) 于y ，记为x 上，) ，。 下面介绍等腰正交的一些基本性质。 首先，等腰正交显然是对称的，也就是说，对于任意的五y x ，如果有 x 上，y 成立，那么一定有y 上，x 成立。下面我们来考虑等腰正交的“存在 性”，由于等腰正交一般来讲不是齐次的( x 上，y 一般不能推出x 上，a y ，任意 口r ) ，所以关于等腰正交的存在性我们有下面的两个结论。 定理1 1 4 t 2 2 1 2 9 4 设x 是一个赋范线性空间，x ，y x ，则总存在数口使得 i lx + ( 口x + 少) i i - - - d ix - ( a x + y ) i i 或者 x 1 it z x + y 定理1 1 4 使得等腰正交不像r o b e r t s 正交那样具有很坏的性质，但是它是 有很大的局限性的，首先，我们知道在欧氏空间中，对于任意一个非零元x 在 任何以原点为心的球面上都存在和它正交的元，定理1 1 4 显然不能保证这一 点。其次满足定理1 1 4 条件的数口的唯一性也没有得到说明。这些问题直到 1 9 9 4 年才被较好的解决。 定理1 1 5 t 2 3 1 2 3 8 设x lcx ，d i m ( l ) = 2 ，则对于所有的实数y ，总存在 哈尔滨珲工大学理学硕上学位论文 y l ，使得l iyl i = y ，x 上，y 。 定理1 7 说明给定一个元，一定有一个元和它等腰正交，而定理1 1 5 则给 出了一个更深刻的结论，那就是给定一个元x ，在空间的每个球面上都存在与 x 等腰正交的元。 类似的，我们可以讨论等腰正交的唯一性。由于，等腰正交具有对称性， 所以，它不存在“左唯一”和“右唯一的概念。 定理1 1 6 1 2 3 1 2 5 。3 3 设x lcx ，d i m ( l ) = 2 ，则对于所有的实数0 厂- - l l 圳存在唯一的( y 视为同一元) y l ，使得l i y l i l 厂，x 上，y 。 上面关于等腰正交的存在性和唯一性的几个定理同时也显示出等腰正交不 具有齐次性对它的影响，事实上，下面的定理进一步说明如果等腰正交是齐次 的或者可加的那么空间就是内积空间。 定理1 1 8 2 2 1 2 设x 是一个赋范线性空间，如果x 上的等腰正交是齐次的 或者可加的，那么x 是内积空间。 定理1 1 9 2 2 2 9 4 - 2 势设x 是一个实赋范线性空间，d i m 似) = d 2 ，下列事实 等价： ( 1 ) 等腰正交是齐次的，即任意x ，y x ，x 上，y j x 上，织任意f r ： ( 2 ) 任意1 1 ，s ( x ) ，t o ，t u 上，1 ，j u 上，1 ，； ( 3 ) 任意“，v s ( x ) ，存在w s ( s p 4 1 1 ，) ) ，使得材上jt w ，任意t r ； ( 4 ) 存在c ( o ，1 ) ，任意x ，y x ，x 上，y j x 上，c y ； ( 5 ) 等腰正交是可加的，即任意x ，弘z x ，x 上，z ，y 上z j ( x + y ) 上，z ； ( 6 ) 任意甜s ( x ) ，存在过原点的超平面日，使得”上，h ； ( 7 ) 任意过原点的超平面，存在1 1 s ( x ) ，使得上，h ； ( 8 ) 对任意的点x ， z ：工上，z ，z x 是凸集； ( 9 ) 对任意的点x ， z ：x 上，：，z z 含于某个过原点的超平面中； ( 1 0 ) 对于某些满足条件2 ”d 的刀，如果x l ，一，x n 线性无关，并且任意 xes p a 1 ( x l ，x 。) 满足x 上，x ，- ，= l ，刀，贝0 x = 0 ； ( 1 1 ) x 是内积空间。 最后，我们介绍一个和等腰正交性密切相关的几何概念。 定义1 4 【2 4 1 设x 是一个赋范线性空间，称 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 c ，似) = s u p b + y l i ：i i x + y l i = 忙一y i l x ，y s 口) ) 为x 的非方常数。 根据等腰正交性的定义，x 的非方常数还可以表示成如下形式： c o r ) = s u p b + y l l ：x 上，y ，x ，y s ( x ) 也就是说，x 的非方常数等于单位球面上两个等腰正交元和的范数的上确 界，这就使得我们把等腰正交的研究和非方常数的研究联系起来。 有了上述等价表示，我们还可以把非方常数理解为单位圆的内接等边四边 形的最大边长，这里面“等边”是指各边的范数相等，还有对单位圆的内接等 边刀边形边长圆的更为一般的讨论。 我们知道内积空间的非方常数是2 ，但是非方常数是2 的空间不一定是 内积空间，更为经典的一个问题是j b o r w e i n 和l k e e n e r 在1 9 8 0 年提出的：如 果一个空间x ，对某个固定的兄r ，满足下面的只性质，那么这个空间是不 是内积空间【2 6 】? 任意为y s ( x ) ，x 上，y = i i x + j t y l l 2 = l i - x y l l 2 = 1 + 名2 j a l o n s o 和c b e n i t z 在1 9 8 8 年否定的回答了这个问题，并且指出：如果r 2 上某个赋范空间的单位球面旋转z t 2 n ( n = 2 , 3 ，) 不变，且名- - 1t 柚( 七万2 刀) ，( 七 = 1 , 2 ，刀一1 ) ，则这个空间满足只性质【2 7 1 。 另外一个概念是对称的m i n k o w s k i 平面的概念。对称的m i n k o w s k i 平面实际 上就是b c h a l m e r s 等人在1 9 9 6 年所提到的具有对称基的实二维b a n a c h 空间【2 8 1 。 他们进一步指出，对称的m i n k o w s k i 平面单位圆的周长大于2 万，小于等于8 ， 周长取值为2 万当且仅当它是h i l b e r t 空间，周长取值为8 当且仅当它的单位圆是 平行四边形。 设x 是一个m i n k o w s k i 平面，s ( x ) 是x 的单位球面，如果存在e 。， p ：s ( x ) ，使得p 。+ l l , l e ：0 = 0 知。+ 胪：0 = l 胆。+ 厄：8 对于任意的兄，r 成 立，我们就称x 是一个对称的m i n k o w s k i 平面。 定理1 2 0 1 2 9 3 1 令x 是一个对称的m i n k o w s k i 平面，e i ，e 2 是x 的一对对称 轴，则任意x , y s ( x ) ，x = a e l + 厥，x 上，y 当且仅当y = + _ ( - f i e l + 口乞) 。 关于对称的m i n k o w s k i 平面我们已经可以证明如下事实。 ( 1 ) 对称的m i n k o w s k i 平面的单位球面是r a d o n 曲线当且仅当它是h i l b e r t 空 间； ( 2 ) 正2 刀边形是对称的m i n k o w s k i 平面的单位球而当且仅当刀是偶数。 与r a d o n 曲线相比，对称的m i n k o w s k i 平面没有得到广泛的研究，目前己知 的结论只有“对称的m i n k o w s k i 平面单位圆的周长不小于2 万以及对称m i n k o w s 哈尔滨理工大学i 甲学硕士学位论文 k i 平面上非方常数的等价表示”p o 。但是，对对称的m i n k o w s k i 平面进行深入 的研究是有必要的。这是因为，一方面对称的m i n k o w s k i 平面是广泛存在的， 例如实二维，。空间的单位球面都是对称的m i n k o w s k i 平面：另一方面，正如文 献【2 】中提到的：“r e c e n t l y ，i no p e r a t i o n sr e s e a r c h ( 运筹学) a n dv l s i ( 超大规模 集成电路) d e s i g n ，v a r i o u sn o r m sh a v es t a r t e dp l a y i n ga ni m p o r t a n tr o l e ，e s p e c i a l l y l p - n o r ma n dp o l y g o n a ln o r m s 【3 1 j 2 1 ，而r a d o n 曲线和对称的m i n k o w s k i 平面正好 对正多边形范数进行了一个分类。 等腰正交和v o r o n o id i a g r a m s 之间的关系也促使我们对等腰正交的各种性 质进行细致的研究。 问题起源于所谓的“邮局问题”。假设某地有一些邮局，为当地的居民提 供邮递服务，那么我们怎么样划分这些邮局的服务范围，使得每一位居民都可 以享受到最为便捷的服务? 作为对这个问题的抽象，我们可以给出如下的v o r - o n o id i a g r a m s 的定义。 设扫，蒎l 是平面上的刀个点，则由伽，n ：i 所生成的v o r o n o id i a g r a m s ，是对 平面的一个划分，他把平面分成刀个区域，每个区域包含唯一一个 以乜中的 元，并且对于平面上任意一个点q ，q 属于p 。所在的区域当且仅当对于任意的 _ ，f ，j 刀，q 到见的距离小于等于q 到p ，的距离。 在原始问题当中，两点之间的距离指的是欧氏距离，但是随着科学研究的 深入和实践的需要，人们已经不满足于仅仅考虑欧氏距离的情况，例如，。范数 意义下的二维v o r o n o id i a g r a m s l h - 题【3 3 1 。v o r o n o id i a g r a m s l h - 题关键在于寻找区 域之间的边界，而边界上的点恰好是到某两个p ，p ，距离相等的点的集合的 一部分。我们称集合 b ，q ) - - b ：忙一p = 忙一9 1 1 ) 为p ，g 的b i s e c t o r 。那么，构造v o r o n o id i a 酣粕s 的关键在于确定任意两个只，p ， f f j b i s e c t o r 。很显然的，z b 0 ，q ) 当且仅当iz 一旦# l 上，旦，于是研究 z z b i s e c t o r 的性质就转化为研究等腰正交的性质，还有一些关于b i s e c t o r 的性质的 现有结论1 3 4 , 3 5 3 6 1 可以参考。 1 5b i r k h o f f 正交和等腰正交之间的关系 由前面两节的讨论，我们已经看到等腰正交和b i r k h o f f 正交之间存在着很 多差异，比如一般来讲等腰正交是对称的，而b i r k h o f f 正交并不对称；b i r k h o 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 f 1 f 正交是齐次的，而等腰正交是非齐次的；对于任意的实二维空间，单位球面 上的等腰正交都是唯一的，而b i r k h o f f 正交的唯一性确与空间的凸性和光滑性 有着密切的联系。 关于它们之间的关系，我们有如下重要的结果。 定理1 2 11 6 1 1 6 6 设x 是一个赋范线性空间，则下列事实等价： ( 1 ) 任意x ，y x ，x 上，y = ，x 上口y ； ( 2 ) 任意x ，y x ，xkyjx 上，y ； ( 3 ) 任意x , y s ( x ) ，x 上，yj xl y ； ( 4 ) 任意x ，y s ( x ) ，xly j x 上jy ； ( 5 ) 任意x ，y s ( x ) ，x 上，yjo + y ) b ( x - y ) ； ( 6 ) x 是一个内积空间。 1 6b i r k h o f f 正交与等腰正交之间差异的数量刻画 一般来说，赋范线性空间中等腰正交和b i r k h o f f 正交是不同的，对 而，s ( x ) ，x o 上，儿，我们知道i n f l l x o + 兄y o l l ：r l ，上占y o 当且仅 当i n f l l x o + j t y oj j ：彳r ) = l 。同时，m f l l x o + a y o l l ： r ) 也表示了两种正交的某 种差异程度。计东海和吴森林【3 7 1 引进了几何常数d ( x ) d ( x ) = i n f l l i n 。r f 。i x + 五y i i x , y e s ( x ) ，x 上，y j 对这种差异进行了量化研究。 正交性问题研究中另一个容易让人关注的问题就是：s ( x ) 上是否存在 x oy 。，使上，y 。nx 。上口y o ( x 2 正交元的存在问题) 。相关学者试图从某种角 度加以解决，但从目前文献看，无论是方法还是结论上，都还没有得到完全的 解决。容易知道，若而么口，则存在唯一的j t ( x o ，y o ) r 且2 ( x o ，y o ) 0 ，使 0 x o + 五( x o ，y o ) y o0 = 1 。 为引入五( 五y ) 的定义，给出如下结果。 定理1 2 2 p 柳任意，y o s ( x ) ，记a ( x o ，) = 五r ：0 + 砜0 = 1 ) ，则 ( 1 ) 0 t l ( x o ，y o ) ； ( 2 ) l ( x o ，y o ) 是闭集，并且a ( x o ，y o ) c 【- 2 ，2 】： ( 3 ) 若上，y o ，则a ( x o ，y o ) cf - 1 ，l 】； ( 4 ) 上口y 。当且仅当a ( x 。，y 。) 是闭区间( 可以是一点) 。 对x ，y s ( x ) ，x 上，y ，定义 哈尔滨理工大学理学硕- 上学位论文 ，、fd i a m ( a ( x ，y ) ) ； 彳( x ，y ) 是闭区间 九【五y ) 。1 五( z r o ) ，满足忙+ 砂i l = 1 ) ；其他 易知，对x ，y s ( x ) ，x 上，y ，五( x ，y ) 是有意义的。同时引入如下定义。 定义1 5 【3 8 】2 3 任意而s ( x ) ，定义 g ( x o ) = s u p l , 乇( x o ，) i ：y o s ( x ) e x o 上， 五( 而) = i n f 1 2 ( x o ，) l ：y o s ( x ) f l x o 上，y o 定理1 2 3 t 3 s 口3x 为一个实b a n a c h 空间，d i m ( x ) 2 ，则对于任意的x , y e s ( x ) ，x 上，y ，有恤g ，y ) i l 。 定理1 2 4 p 删对任意x s ( x ) ，g ) 是连续的当且仅当x 么口r ( x ) 或者0 是闭区间a ( x ，丁b ) ) 的端点。 推论1 1 1 3 8 1 2 6 若f ( x ) 在x o s ( x ) 不连续，贝, u x o 上占t ( x o ) 。 定理1 2 5 p 舾x 为一个m i n k o w s k i 平面，若对任意的x s ( x ) ，f ( x ) 均 连续，则存在x o s ( x ) ，使得力( ) = 0 。 定理1 2 6 p 8 1 2 7x 为一个m i n k o w s k i 平面，则存在x , y s ( x ) ，使得x 上8 y 且x 上ly 。 其它的一些正交性还有： c a r l s s o n 正交由s 0 c a r l s s o n 提出： 定义1 7 p g 设x 是一个赋范线性空间，x , y x ，称x c a r l s s o n 正交于y ， 当且仅当x ，y 满足： 训胁+ 圳1 2 = o 1 = 1 其中q ，届，以是满足条件局2 = q 以2 ，属乃= o 的实数。 i f f i li = li = 1 d i m i n n i e 正交由c r d i m i n n i e 提出： 定义1 8 1 4 0 设x 是一个赋范线性空间，x ，y x ，称xd i m i n n i e 正交于y ， 当且仅当x ，y 满足： s u p f ( x ) g ( y ) - f ( x ) g ( y ) ：f ，g s ( x ) = l i x l ll l y l l 面积正交由j a l o n s o 提出：设x 是一个赋范线性空间，x ，y x ，称x 面 积正交于y ，当且仅当z ，y 中至少有一个为0 ，或者x ，y 所在的直线将它们所张 成空间的单位圆分成面积相等的四个部分【4 l j 。 在这些正交性当中，最基本几何背景最直观并且得到较为广泛的研究要算 b i r k h o f f - 正交、等腰正交和勾股正交三种。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 1 7 课题来源 本课题来源于指导教师计东海教授的国家自然科学基金项目( 项目号码： 1 0 6 7 1 0 4 8 ) 。 1 8 本文的主要内容 通过本章的内容，可以看到b i r k h o f f 正交和等腰正交的特征性质已经得到 了广泛的研究，其中b i r k h o f f 正交和等腰正交之间的联系也得到了很好的理 论。但