（基础数学专业论文）jordan李代数的engle定理及其应用.pdf

i 1 j 独创性声明 删 y18 0 u a w 5 ；i r i l 7 r l l j t j 1 7 i ( i1611 1 | | 。 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东 北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 谢意 学位论文作者签名： 磁盗 日期：碰垒殳2 互 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范人学有关保留、使用学位论文的 规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论 文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权东北师范人学可 以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：姓指导教师签名： 澧坠兰 e l 期：迹。区，l 箩日期：型矿 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 摘要 j o r d a n 李超代数作为李超代数的自然推广，在1 9 9 7 年文献川给出了饿勺 定义本文讨论了j o r d a n 李代数的一些基本性质，证明了j o r d a n 李代数 的e n g l e 定理，并应用e n g l e 定n f 导n t 幂零j o r d a n 李代数一些结果同 时，论文给出了j o r d a n 李代数的c a r t a n 子代数的定义和性质 关键词：j o r d a n 李代数；e n g l e 定理；幂零性；c a f t a n 子代数 a b s t r a c t a san a t u r a lg e n e r a l i z a t i o no fl i es u p e m l g e b m s ，j o r d a nl i es u p e r a l g e b m sa n d i t sp r o p e r t i e sw e r ef i r s tg i v e nb ys o k u b oa n dn k a m i y ai n1 9 9 7 【1 i nt h i st h e s i s ig i v es o m ep r o p e r t i e so fj o r d a nl i ea l g e b r a ，p r o v et h a tt h ee n g l et h e o r e mo fj o r d a n l i ea l g e b r aa n da p p l yi tt oo b t a i ns o m ep r o p e r t i e so nn i l p o t e n tj o r d a nl i ea l g e b r a f u r t h e r m o r e ，ig i v et h ed e f i n i t i o na n ds o m ep r o p e r t i e so f c a n a ns u b a l g e b r ao nj o r d a n l i ea l g e b r a k e yw o r d s ：j o r d a n l i ea l g e b r a ；e n g l et h e o r e m ；n i l p o t e n t ：c a r t a ns u b a i g e b m 目录 中文摘要i 英文摘要i i 目录i l i o 引言1 1 预备知识3 2 j o r d a n 李代数的e n g l e 定理7 3 c a r t a n 子代数1 2 结论。1 6 参考文献1 7 致谢1 9 东北师范大学硕士学位论文 o 引言 李代数是现代数学前沿领域中有重要地位的学科之一，它历史悠久， 至今仍然在蓬勃地发展它既是现代数学的蓑要基础，又与理论物理， 微分几何，拓扑，群论等有着密切的联系，并且在这些领域中都有着许 多重大的应用1 2 1 早在1 9 5 5 年的时候，a n o e n h u i s 就给出了李超代数的一个例了，至 此拉开了对李超代数研究的序幕在二十世纪七十年代的时候，为了在物 理学上建立相对论的费米了与波色子的统一理论，z u m i o n 和w e s s 提出了 超对称性，将时间和窄间的p o i n c a r e 李代数扩充成为超p o i n c a r e 代数人 们对李代数的研究不仅促进了物理学的发展，在数学上更与微分流形， 微分方程，拓扑学，算子代数等有着广泛而深刻的联系1 3 基于对李代数，李超代数，j o r d a n 代数等的研究，1 9 9 7 年s u s u m u o k u b o 提出了j o r d a n 李超代数的概念【l 】：设是一个z 阶化向量空间，记 为 l = l 6 0 i 设盯( x ) 是上的一个阶化函数 删= r 篡e l 为方便起，记 ( 一1 p ：= ( 一1 ) ”( 。) r 7 ，v x ，y l 如果在上定义一个【，】满足以下条件： ( 1 )矿( 【l 卅) = f 矿( x ) + 矿( v ) l ( r o o d2 ) ， ( 2 ) 【x ，j ，】= - 6 ( - i ) 叫b ，胡 ( 3 ) 1 - 1 r i x ，一，z 】+ ( 一1 户1 陟，：】，叫+ ( 一1 户【z ，胡纠= 0 其中6 = 1 则称是一个j o r d a n 李超代数 易见当6 = 1 时，j o r d a n 李超代数就是通常所说的李超代数，也就足说 东北师范大学硕士学位论文 j o r d a n 李超代数更具有广泛性在这篇文章还提出了6 结合代数的慨念， 探讨了由6 结合代数生成的j o r d a n 李超代数，并且构造了一些李超代数 的例子 很自然地受这种研究的启示，于是我们在本文中提出了j o r d a n 李代 数的概念( 第1 节) ，同样地当d = 1 时咱们通常所研究的李代数只是j o r d a n 李代数的一种特殊情形，于是j o r d a n 李代数也就更具有代表性 为了研究j o r d a n 李代数的结构与理论，我们下边将重点证明j o r d a n 李代数的e n g l e 定理t 第2 节) 因为e n g l e 定理对于李代数，n o v i l ( o v 代数， 李超代数都是成立的，但是对于一般的李三系来说未必成立在以下的 研究中，我们将会发现j o r d a n 李代数与通常的李代数的不同之处，有一 些事实在这里将不再成立当然，也会有一些有趣的现象发生例如：若 ，是由6 结合代数生成的j o r d a n 李代数，则j 是幂零的 = 一1 ) ，并且其长 度不会超过4 这也同时表明咱们对于j o r d a n 李代数的研究更有意义 我们知道，在研究李代数的结构理论时，c a r t a n 子代数的研究的挥着 巨大的威力因为已证得e n g l e 定理，它保证了c a r t a n 子代数的存在性和 幂零性所以我们在本文中也在证明e n g l e 定理之后提出了j o r d a n 李代数 的c a a a n 子代数的概念( 第3 节) ，并且证明了它的相关性质等等同时，由 于k i l l i n g 型对李代数的研究具有重要意义，所以在这里也对j o r d a n 李代 数上的k i l l i n g 型进行了初步讨论，并且指出在j o r d a n 李代数上的k i l l i n g 未必具有不变性 此外，本文尚且没有对j o r d a n 李代数上的l i e 定理是否成立作出研 究如若能推出l i e 定理的成立，这将是又向前迈进一大步 2 东北师范大学硕士学位论文 l 预备知识 定义1 1 设，是域f 上的向量宅间我们在其上定义了一个乘法运 算【，】：【五) ，】z y x 。j ，如果该乘法满足以下三个条件： ( 1 ) 【a i x l + ，t 2 x 2 纠= 1 【x 1 j ，】+ _ 2 x 2 ，y 】；v l l ，a 2 f v x l x 2 ，y 1 2 ) 【x ，y 】= 一6 v ，j ；其中6 = 士i ，y x ，y z ( 3 ) 【工 覆：】+ 玑刁，卅+ 【e z ，卅，刀= 0 眠m z 则称是一个j o r d a n 李代数 易见，当6 = 1 时，j o r a n 李代数就是我们通常所说的李代数由( 1 ) 和( 2 ) 两个等式可知 ，】的双线陛性，第三个式子则足j a c o b i 等式我们 将j 作为向量宅问时的维数称为j o r d a n 李代数的维数，记为d i m 本文中 我们将主要讨论当，为有限维时的情况 命题1 1由定义1 1 的等式( 2 ) 很容易得出等式( 3 ) 的两种我们将经 常使用的等价形式： ( 3 ) 【x ，b ，z 】+ 陟，瞳，明】+ k z ，叫】= 0 y x ，y ，z 以 ( 3 ”) 【x ，陟，z 】= 6 【 x ，力z 】+ 6 b , 【x ，刁 ，y x j ，z z 下面我们给出一个j o r d a n 李代数的例子，当然，这样的例子会有很 多 例1 1 设，是一个以 x l ，x 2 。x 3 l 为基底的三维复向量空间在，上定 义一个满足双线性条件的【，】，并且在基底上满足如下的运算： 【x 1 ，x 2 】= 一6 【尥工i = x 2 ； 【工1 x 3 = 一6 x 3 ，x l 】= 0 ； 娩，x 3 】= - 6 x 3 ，x 2 】= 0 ； 【工l x l 】- 【x 2 ，x 2 】= 【x 3 。x 3 = 0 这样定义的【， 构成了一个j o r d a n 李代数 对于任何一个结合代数，都能够由它诱导出一个李代数这之于j o r - d a n 李代数又当如何呢? 为此，我们先做如下的工作： 定义i 2 1 1 】设a 是域f 上的向量窄间在爿上定义一个二元乘法双 线性运算：v z ，r a ，x v a 若它满足( ) z = 6 m = ) ，则称a 是一个6 一结合 代数 当6 = 一1 时，也称其为反结合代数 3 东北师范大学硕士学位论文 命题1 2 若一是一个6 一结合代数， = 一1 ，则对c x ，y ，z ，w a ， 事实上， ( 习，) ( z w ) = 一( ( 习，) ：) w = ( 工c 惯) ) ， ( 习，) ( z w ) = - x o ( z w ) ) = 可( k 渺) 令声= 城上边两式相加，有2 0 0 ，) ( 驯) = ( 期) ，+ x ( u w ) = 0 显然还有 ( ( 砂) = ) w = x ( ( - 馆) w ) = x 0 t z w ) ) = 0 命题1 3 设4 是一个6 一结合代数对比，y a 令 【五纠：= 矽一! x ) 则a 关于【】构成一个j o r d a n 李代数 此结论根据j o r d a n 李代数的定义很容易证得即由一个6 一结合代数 能诱导出一个j o r d a n 李代数 定义1 3 设是一个有限维j o r d a n 李代数，记j 2 = m 川，= u ，一】， 若3 n n ，使得，= 0 则称j 是一个幂零j o r d a n 李代数 命题1 4 设，是一个由6 一结合代数生成的j o r d a n 李代数，6 = 一1 ， 则j 4 = 0 事实上，由命题1 2 ，对v x ，y ，：，w 以 d ，【z ，h 】 = 【x ，d ，：+ ：】= 【x ，d ，z w 】+ 【x 陟，_ z 】 = 【工，砌，) + 化w p 】+ 【j j _ z ) + ( w ：b ，】 = x o z w ) ) + ( w ( z w ) h + 珂( ：w 沙) + ( ( ：w 沙弦 + x 似睨) ) + 似眦j h + “( + ( ( 此沙h =0 也就是说，对于6 = 一1 时，由艿一结合代数生成的j o r d a n 李代数必 是幂零的我们已经知道，对于任何一个李代数都可以同构地嵌入到一 个由结合代数生成的李代数中，那对于6 = 一1 时，j o r d a n 李代数都能嵌 入到一个由6 一结合代数( 6 = 一1 ) 生成的j o r d a n 李代数中吗? 回答是否定 的在s u s u m uo k u b o 的一篇关于j o r d a n 李超代数和j o r d a n 李三系的文章 中便构造了一个这样的j o r d a n 李超代数的例子，可以类似地用在此处为 例因此，并不是所有的j o r d a n 李代数都足幂零的，我们已经有必要讨 4 东北师范大学硕士学位论文 论j o r d a n 李代数的相关的幂零性质在讨论j o r d a n 李代数的e n g l e 定理是 否成立之前，我们还需要做一些准备 定义1 4 【1 j 设j 足一个j o r d a n 李代数，作a d ：_ e n d , ( a d x b ，= 6 x 。j ，v 工，y z 更进一步，有如下的换位运算： 【a d x a d 3 】：= a d xa d 9 ，一6a d ya d x 命题1 5 1 1 】设j 是一个j o r d a n 李代数，对y x ) ，：z 有： ( 1 ) a d x 纠= a d x ，ad 订； ( 2 ) 【a d x ，a d y 】- 一6 l a d y ，a 以 ； ( 3 )【 a d x ，a d 3 ，】，a d z 】+ 【a 由，a d z ，a d z 】+ 【 a d z ，a d x ，a d y = 0 证明：对v x ，y ，：z ( 1 ) 左边= ( a d x ，月) z = 6 【x ，j ，】。：】， 右边= ( a 出，a d v 弦= ( a d x 咄，) ：一6 ( a d 3 ，a d x ) z = 【x ，b ，z 】一6 b ，【x ，：】 由命题1 1 可知上边这两个式子相等，从而( 1 ) 式成立 ( 2 ) 由( 1 ) 得， ( a d x ，a 由， l z = ( a d ( ，h x l + a 2 x 2 ) 。a d y k = ( a d x ) ) z = 万【x ，川，z 】= 一 眦j 】，： = 一6 ( a d b ，x ) z = 一6 ( 【a 由，a d r 】) z 即【a d x a d v 】_ 一6 a 4 v ，a a x 第( 3 ) 式运用第( 1 ) 式和j a c o b i 等式可以直接得到 口 为方便起冕，记a d d = a d x l x j 易见，a d d 是作用在空间，上的线 性变换的集合因为v j 卜x 2 ，y z v , t 1 1 2 f ， a d ( ，t l x l + a 2 x 2 ) t y l = 6 【一l i x l + _ 2 x 2 ，纠 = l l6 x l 。) ，】+ a 2 6 x 2 。) ，】 = & ( a d x lb ，+ ，t 2 ( a d x 2 抄 注由上可知，( a d ，刀是的一个表示 于是对y x l x 2 ，y ，z z v ，1 1 ，t 2 f ， ( 【lla 血l + a 2 a d x 2 ，a d y 弦 5 东北师范大学硕士学位论文 = ( a d ( 3 i x l + ，| 2 x 2 ) ，ad 1 ) 二 = 【a d 一 ix 1 + ，1 2 x 2 j ，】) = = 巧【i x l + 3 2 x 2 n ：】 = 硼i x l ，川，z 】+ 6 3 2 x 2 月，：】 = ， l ( a d x l ，y 】) z + a 2 ( a d x 2 。纠弦 = l l a d x l ，a d y ( z ) + ，| 2 a d x 2 ，a 妙】( ：) = ( i a d x l ，a d y 】+ 3 2 a d x 2 ，a d ) ，】k 从而我们在a d d 上定义的【，】还是双线性运算，根据上述命题知a d d 也是一个j o r d a n 李代数 6 东北师范大学硕士学位论文 2j o r d a n 李代数的e n g l e 定理 定义2 1 若j 足有限维j o r d a n 李代数，记，= 川，km 一1 】如 果存在一个正整数玎，使得尸= 0 则称j 是幂零j o d r a n 李代数 显然，川，并且对 n ，是，的一个理想 ，是幂零j o r d a n 李代数等价于，存在一个正整数刀使得v x l ，x 2 ，x n 一1 ，x 。 z 有 【x h ， x n 一1 ， x 2 ，工1 】 】= 0 定义2 2 若j 是j o r d a n 李代数，x z 若对如，j ：存在 n ，使得 ( a d x ) y = 0 ，则称工是a d 一幂零元 引理2 1 设x 是j o r d a n 李代数上的a d 幂零元，则a d x 在a d d 上也是 a d 幂零元 证明：由于x 是a d - 幂零元故3 n n 使得对v y 以有( a d x ) i 一0 ， 即 t 妒 ”一， x , y 】= 0 、。、。一 ，j 从而有 【a d x ，【a & r ，a d y 】= a d x ，【工，门】= 0 1 。、，。一。、，。一 丹月 故a d x 在a d j 上是也是幂零的 口 定义2 3 设有域f 上的两个j o r d a n 李代数j i 和止，若妒是以到以的 线性映射，且满足如下运算： 妒( x ，y 】) = 【c t x ) 妒u ) 】y x y d j 则称妒是同态映射如果妒还是一一映射，则称妒是，l 到以的同构映 射 定义2 4 设妒是j o r d a n 李代数以到以的同态映射记 k e r 妒= i x d l i 妒( x ) = 0 ，i m 妒= 妒( x ) i x j j ， 分别称k e 即和嘶为同态映射妒的核与像 性质2 1 设妒是j o r d a n 李代数 到止的同念映射则 ( 1 ) 烈以) 足j o r d a n 李代数 ( 2 ) 若 是幂零的，则烈 ) 也是幂零的j o r d a n 李代数 7 东北师范大学硕士学位论文 证明：( 1 ) 由于妒( i ) 以显然满足j o r d a n 李代数的运算只需要验 证其封闭性对v l f j 1 1 1 f 有 妒( j ) + 妒o ? ) = 妒( x + ，) o ( j j ) ； a o ( x ) = o o x ) i ，o ( j i ) ： 【妒( x ) ，妒o ，) 】= 妒( 【x ，y 】) o ( j i ) 从而妒( 一) 是j o r d a n 李代数 ( 2 ) 因为 足幂零的，故存在正整数仇使得圻= 0 ，从而 ( 妒( ，1 ) ) ”妒( 彳) = 0 这就是说妒( 川也是幂零的 口 定理2 1 设上是一个有限维j o r d a n 李代数，j 是l 的一个子代数 若对于y x l ，x 都是a d 一幂零元，则在中存在一个非零元素x o ，使得对 y x z ( a d x ) x o = 0 证明：设d i m = ，对j 的维数用数学归纳法 若d i m j = 0 ，则命题显然成立 假设对于任何维数小于，一的j o r d a n 李代数该命题都成立我们证明 对维数等于r 时的所有j o r d a n 李代数也成立 下面，我们先证明j 含有一个维数为，一1 的理想，当然，我们可以 设，有一个维数为m ( m r ) 的子代数 对v x a d x 是的一个线性变换易见，7 v 是a d x 的一个不变线 性子空间，从而a d x 诱导了j n 的一个线性变换甙工) 由引理2 1 知，对 v x n ，由于工是a d 一幂零元，所以a d x 是幂零的，故甙x ) 也是幂零的由 于反加是的同态项，故耵) 也足j o r d a n 李代数已知d i l 砌v 所以 d i m g ( n ) _ r 由归纳假设，而，+ n 且且y + n 0 ，使得x 寸v x n ，有 a d x ( v + ) = 巧 x y + i v = 0 即 工纠( v x m 于足和j ，就可以生成j 的一个m + 1 维子代数，这 个子代数显然足包含j 的如此下去，我们就可以得到，的一个维数为 ，一l 维的子代数，我们记作j r ，易见这个子代数是的一个理想 由归纳假设，存在：l ，且：0 。满足( a d x ) z = o ( v x n 令 m = z l z 厶( a d x k = 0 ，y x 1 1 由于d i m = ，一1 知m 1 0 1 若j ，z 且yg ，则m 是a d y 的不变子空 问事实上，若x m , z j r 由【z ，y ，得 ( a d z ) ( a d y f x ) ) = 【：p ，叫】= 研【：，门，工 + 6 眇， z ，卅 = 0 8 东北师范大学硕士学位论文 由于j ，是a d 幂零的，于是由a 畦l ，诱导了一个变换作用在肘上也是幂零 的因此，存在x 0 mx o 0 使得( 咄) x o = 0 从而，对v x z ( a d x ) x o = 0 命题得证 口 推论2 1 设j 是有限维j o r d a n 李代数，若对y x z x 是a d 一幂零的， 则j 的中心c ( 力i o 由引理2 1 直接可得 定理2 2 e n g l e 定理) 设j 是有限维j o r d a n 李代数，则，是幂零的当 且仪当v x z 工是a d 一幂零元 证明：一方面，若，是幂零j o r d a n 李代数，则存在正整数，使得 瞳， ，【x 1 川】= 0 ，y x l ，x n ，y z 特别地，取x _ 工，( i = 1 ，”) ，有 6 ” x ， j y 】= 0 、_ 。、，_ - 月 即t a d x ) 5 0 从而x 是a d 幂零元 另一方面，已知v x a x 是a d 一幂零元，欲证j 也是幂零的我们对 ，的维数用数学归纳法 设d i m j = 显然当d i m j = 1 时成立，假设当d i m , r 时命题成立 由推论2 1 知，的中心c ( 刀0 于是我们设了= c ( 力若i _ 则 更也足a d 一幂零元事实上，若( a d x ) ”= 0 则 6 ”【五“工，卅】= 0 ( y y 刀 、_ - 。h 。_ _ 一 ” 从而 7 匠，f 习】= 0 ( 呵了) 、- _ 。v _ 盯 显然d i m 了 ，由归纳假设知了是幂零的即存在刀n ，使得 际，匝x - 7 】= 0 ，呵，瓦，石j 从而 ，【工2 ，x l 】c ( 力，y x l ，x 2 ，x n z 故 【h + 1 ，【x n ，“娩，工i 】= 0 。v x j ，x 2 ，“，葺件i z 即，件1 = 0 ，从而l ，是幂零李代数 口 9 东北师范大学硕士学位论文 引理2 2j 是有限维j o r d a n 李代数，设凡d 是j 的所有极大子代数 的交，则有 ( 1 ) 尺，) g 其中i l = 似，】 ( 2 ) 如果是j 的予代数并且日+ r 力= j ：则h = 证明：( 1 ) 如果j = u 月，显然有f 【刀 如果j m 刀，反证假设x ，f j ) 并且x 甓n 不妨令d i m j = 我们可以构造，的( ，一1 ) 维子空间j v ，并f j ln ，x 垡m 由的维 数显然有是，的一个极大子代数但由x f ( ，) 知x 是属于任何一个 极大子代数的，当然就有x n ，这就产生了矛盾所以f ( ( 2 ) 反证若h j = 则有，的一个极大子代数。使得h 于是 只力由于j = + 凡刀n ，所以n = 这与是极大子代数矛盾从 而h = z口 引理2 3 若，是域f 上的一维j o r d a n 李代数，且c h f = 0 ，则m 刀= 0 这时我们也称l ，是可交换的 证明：由于j 是一维的，所以不妨设x z = f x 因为c h f = 0 ，由 j a c o b i 等式知k x ，工】 = 0 设 x ，州= a x ，a f 则 0 = 工， 工，工】= 1 2 x 由于c h f = 0 故只有a = 0 ，即 五明= 0 从而，是可交换的 口 定理2 3 设j 是域f 上的有限维幂零j o r d a n 李代数，c h f = 0 则 ( 1 ) ，的每一个极大子代数也是，的理想 ( 2 ) f f 力= 一 证明：( 1 ) 因为，幂零，所以存在m n 和一个理想序列，满足 j = a od ，1d d ，= 1 0 1 于是由n j ，知存在门n ，使得少+ n n 并且，+ 1 + n = 于是虫上 满足x ，且x 叠h 从而我们有 f x ，刀 ，。刀= ，+ 【，f 工】mf x 】= 6 f x ，刀，+ 1 故 【j v + f x ，+ f 叫n n + f x 即+ f 工是，的一个子代数又由于j 7 v 是j 的极大子代数，故+ f x = 一 从而 【 刀 n + f 五+ f x 】 1 0 东北师范大学硕士学位论文 即是的理想 ( 2 ) 由( 1 ) 可知，的任何极大子代数都是j 的理想于是卅j ) v 没 有真予代数，也没有真理想，从而j 只能足一维的由引理2 3 知 是可交换的，即 i j | n 。j f n 、= 0 ，小、n 因为是j 中任意的极大子代数， f ( 刀= n 故1 f ( 力由引理2 2 ，f ( d 1 知 口 东北师范大学硕士学位论文 3c a f t a n 子代数 我们知道，在研究复数域李代数g 的理论结构时，c a r t a n 分解是最 常用的方法因此c a f t a n 子代数的研究，对于我们在研究j o r d a n 李代数 的结构和表示理论时也将起重要的作用因为我们已经证明了j o r d a n 李 代数上的e n g l e 定理，这就保证了c a r t a n 子代数的存在性和幂零性 定义3 1 设是j o r d a n 李代数，的幂零子代数若n = 成，则称 是，的一个c a r t a n 子代数其中 ，导= i x 川，3 n n ，s t ( a ( h ) ”工= 0 1 下面给出c a r t a n 子代数的一些性质： 性质3 1 设、r 是j o r d a n 李代数，的c a r t a n 子代数，c ( ，) 足，的中 心，则有c ( 力 证明：对搬c ( 刀，彤，n 有6 卧x - 0 即x 以= 从而c 口 性质3 2c a r t a n 子代数是j 的极大幂零子代数 证明：设n m ，且m 是j 的幂零子代数对的，n m 由于肘是 幂零的，由e n g l e 定理可知，y 是a d - 幂零元，即对3 n n ，使得 ( a d y ) “x = 0 v x m ，飞v n 。 故x 碍= 从而m n 故m = n 是极大的 口 命题3 1 设是j 的c a a a n 子代数，妒是，上的自同构则妒( 忉也 是，的c a r t a n 予代数 证明：由于是c a r t a n 子代数，故j v 是幂零的，妒( m 也是幂零的 显然妒) 艺( m 另一方面，对v z3 x z 使得“x ) = x 7 若，以l 则3 n n ，v 时) 妒( 忉 0 = ( a d 妒尸， = 6 ”【妒( v ) ， 妒o ，) ，妒( 】- = 6 ”妒( 陟，d 7 工】) 、_ 。、，- ， 肝 = 妒t ( a d y ) ”j r l 1 2 壅垄堕蕉盔堂堕堂笪迨塞 从而( a d y ) ”r = 0 ，即x 碍= n x 妒( ) 故以( 妒【忉因此妒( ) = ( 妒( r ) 是，的c a f t a n 子代数 口 定义3 2 设m 是j o r d a n 李代数，的了代数，令 n j ( m ) ：= 工j l x ，m m 称它为m 在j 中的正规化子 易见m n a 又若m = m ( m 则称肘是自正规的 定理3 1 设，是j o r d a n 李代数，m 是，的c a f t a n 子代数， 零自正规子代数 证明：由于m 是c a f t a n 李代数，根据定义，m 是幂零的 理知，m j ，在m 上是a d 一幂零元，即3 n n 使得 ( a 由，) ”x = 0 ，v x m 又 v x n a m ) ，v v 磊陟，胡 t 则m 是幂 由e n g l e 定 从而 ( a m ，) ( 肿1k = ( a d j ，) ”( a d v ) x = 5 ( a d y ) ，q = 0 故x 观= m 即n j ( m ) m m 是幂零自正规子代数 i 1 下面的证明类似予【2 】 定理3 2 设，是一个有限维j o r d a n 李代数，x 0 j 是一个固定的元 素如果对v v z 都有无穷多个复数，使得( 劢+ 膨，) 是a d 一幂零元，则j 足幂零李代数 证明：不妨设d i m , = n , a d ( x o + ) 的特征多项式为 i ， ) = _ ”+ a l ( x o + ) ，1 ”一1 + a ：( x o + 彬，) _ ( 卜- 2 + + 口”( + m ，) 注意其中系数a i ( x o + 膨，) ，i = 1 ，2 ，珂与( 翔+ 彬，) 有关当取定如和j ，是 可变化的时候，a i ( x o + u y ) i = 1 ，2 ，门是关于的多项式 ( 抽+ 缈，) 是a d 幂零元，当且仅当a d ( x o + 缈，) 的特征多项式为以 ) = ， 即 a i ( x o + m ，) = 0 ，v ，= 1 2 ，行 由条件已知存在无穷个复数使得( 粕+ ，) 是a d 幂零元，故这无穷 多个都是a _ f ( x o + 缈，) 的零点 根据多项式零点定理得a i ( x o + ) v i = 1 ，2 ，川都足零多项式从而对 咿z 札c 均有 a i ( x o + m ，) = 0 v i = 1 ，2 ， 1 3 东北师范大学硕士学位论文 对于v 工，若令y = x x o 且p = 1 则有 a i ( x o + m ) = a i ( x ) = 0 ，v i = 1 2 ，胛 从而( 翔+ p y ) = 鼻是a d 幂零元 由于j 的任意性，根据e n g l e 定理可知，j 是幂零的 r n 我们知道，c a n t a n 利用k i l l i n g 型来判断李代数的半单纯性k i l l i n g 型是一个能反映本质问题的数学概念但是我们将不再讨论j o r d a n 李代 数的k i l l i n g 为什么呢? 下面仍然先给出k i l l i n g 的概念由于用到矩阵的 迹的概念，所以我们讨论的k i l l i n g 型的时候，都足有限维的 定义3 3 设，是一个有限维j o r d a n 李代数，对v x ，y z 我们称 0 ，y ) = 6 t r ja d xa d y 是j 的k i l l i n g 型 显然，这个定义与通常的李代数中的k i l l i n g 型的定义并不矛盾利 用矩阵的迹的相关性质，很容易得到下面关于k i l l i n g 型的性质： 性质3 3j o r d a n 李代数的k i l l i n g 型足对称型，即 ( 五j ，) = ，工) ，y x ，一 证明：由矩阵的性质t r ( a b ) = t r ( b a ) 可得 性质3 4j o r d a n 李代数的k i l l i n g 型是双线性的，即： ( a x + 弘y ，力= l ( x z ) + ，：)v _ p c ，j ，j ，z z 证明：利用矩阵的性质t r ( a a + 口) = a t r a + p t r b 可得 性质3 5 设妒是j o r d a n 李代数j 上的自同构，则 ( 妒移，) = ( x j ，) ，v x y z 证明：( j 。j ，) = t s t ra d xa d y ，( 驴x ，眵，) = 6 t ra d ( 妒j ) a d ( ，吵) 叉寸、，2 z 有 ( a d ( 妒) ) z = 6 i ，o x ，习= 6 妒( x 妒一1 z 】) = 妒a d w 一1 z 从而有a d ( 妒工) = 妒a d w ，同样地有，a d ( 仍，) = 妒a m 妒故 a d ( 妒j ) a d ( 1 ，少) = 妒a c l 婶一1 = c a d xa c l w 一1 根据线性代数的知识，相似矩阵的迹足相等的，故有 6 t ra d xa d v = 6 t ra d ( 妒x ) a d ( ) 1 4 东北师范大学硕士学位论文 从而，( j ，j ，) = ( 妒l 仍，) 口 但是j o r d a n 牵代数j 的k i l l i n g 型不再是不变型，也就是说在内导子 的作用下下面的式子未必成立： ( f a d x 办，z ) + o ，( a d x ) z ) = 0 ，v x ，y ，j 事实上， ( ( a d x l v ，z ) + o ，( a d x ) z ) = 一t r ( 6 a d 工，y a d z ) + 6 t r ( 6 a d va d x ，：】) = 仃【a d x ，a d y a d z + a d j ， a d x ，a d z 】 = t r ( a d xa 由，一6 a ，a d x ) a d z + t r a d y ( a d xa d z 一6a d z a d r ) =tr a d x a 由，a d z 一6 t r a 由，a d xa d z + t ra d ya d xa d z 一6 t r a d ya d za d x 当 = 一1 时，上边式子为四项相加，这将不再保证之和为0 k i l l i n g 璎之所以在李代数中很莺要，就足因为其不变性，利用李代 数上它的不变性和非退化性，我们能得到李代数的分类和结构问题中几 乎所有关键性的结果，但是由于其在j o r d a n 李代数中未必成立，所以这 里将不再深入 1 5 东北师范大学硕士学位论文 结论 本文主要讨论了j o r d a n 李代数的e n g l e 定理及其应用首先给出了 j o r d a n 李代数的定义和基本性质，与李代数不同，并不是所有的j o r d a n 代 数都能由6 一结合代数产生其次，证明出了j o r d a n 李代数上的e n g l e 定理 的成立，并凡利用e n g l e 定理证明了许多与幂岑性质相关的结论再次， 因为e n g l e 定理的提出，文章随之给出了j o r d a n 李代数上的c a a a n 子代数 的概念，并给了相关的一些性质同时，指出了j o r d a n 李代数上k i l l i n g 型 的不变性未必成立这对研究j o r d a n 李代数的结构和表示理论都将起到 非常霍要的作用 1 6 东北师范大学硕士学位论文 参考文献 【1 】s u s u m uo k u b o j o r d a n - l i es u p e ra l g e b r aa n dj o r d a n l i et r i p l es y s t e m j j o u r n a lo f a l g e b r a ，1 9 9 7 ，1 9 8 ：3 8 8 - - 4 11 【2 】苏育才，卢才辉，崔一敏有限维半单李代数简明教程【m 】- 北京：科学出版 社，2 0 0 8 1 5 9 f 3 】吴险峰，陈良云。张永正e n g l e 定理及其应用f j 】东北师大学报，2 0 0 9 ，4 1 ( 1 ) ：1 6 【4 】ang r i s h k o v s p e c i a l i t yo fl i e - j o r d a na l g e b r a j j o u r n a lo fa l g e b r a 2 0 0 1 ，2 3 7 ：6 2 1 6 3 6 【5 】5 孟道骥复半单李代数引论【m 】北京：北京大学出版社，1 9 9 8 【6 】陈良云，张永正关f 限制李超代数的分解【j 】数学物理学报，2 0 0 7 ，2 7 ( 4 ) ：5 7 7 5 8 2 【7 】h o d g etl - l i et r i p l es y s t e m sr e s r t i c t e dl i et r i p l es y s t e m xa n da l g e b r ag r o u p s j j o u r - h a lo f a i g e b m 。2 0 0 1 。2 4 4 ：5 3 3 5 8 0 【8 】k a cvg l i es u p e r a l g e b r a s j a d vm a t h 19 7 7 2 6 ：8 9 6 【9 】ms c h e u n e n t h et h e o r yo fl i es u p e r a l g e b r a s m b e r l i n ，h e i d e l b e g n e wy o r k ： s p r i n g e r - v e r l a g 19 7 9 2 7 0 【1 0 】j a c o b s o nn l i ea i i g e b r a s m n e wy o r k ：w i l e y ，1 9 6 2 【li 】dwb a r n e s n i l p o t e n c yo f l i ea l g e b r a s j m a t hz e i t 1 9 6 2 7 9 ：2 3 7 1 2 】d w b a r n e s o n t h ec o h o m o l o g y o f s o l v a b l e l i ea l g e b r a s j m a t h z e i t 1 9 6 7 1 0 1 ：3 4 3 3 4 9 【i3 】hs t r a d e ，rf a r s t e i n e r m o d u l a rl i ea l g e b r a sa n dt h e i rr e p r e s e n t a t i o n s m n e w y o r k ：m a r c e ld e k k e r i n c ，19 8 8 3 0 0 1 4 】n o r ach o p k i n s n i l p